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Les axiomes des operateurs et 177
6.8 Les axiomes des operateurs et
Le systeme d'axiomes est forme de six axiomes :
A 1: pour tout concept f, il existe un objet f et un operateur f.
A 2 (8f 2F)[((f(f)) = (f)]
A 3: (8fg 2F)(8x 2O)[[(fx)=>^g 2 Ess f] ) ((g)x) =x]
A 4: (8f 2F)[f f = f]
A 5: (8fgh 2F)[(h g) f = h (g f)]
A 6: (8f 2F)[(f(f)) = > ssi Ext f 6= ? ssi 9 x, x determine et
typique tel que (fx)=>
Ces axiomes representent le fondement epistemique du systeme logique, les
bases qui relient l'intuition et la construction formelle.
La partie intuitive reete au moins trois idees de bases :
{ le statut epistemique confere aux concepts et aux objets dans l'univers
conceptuel du systeme fregeen [Fre*67].
{ la fonctionalite et la notion d'operateur dans le systeme de Curry [Cur58],
etendue par J.-P. Descles [Des90b].
{ la notion de determination telle qu'elle est presentee dans la Logique de
Port Royal [Arn93].
Ces axiomes posent egalement les operateurs introduits comme primitives dans
le systeme de la LDO et formalisent leur contenu intuitif.
L'axiome A 1 exprime le fait qu'on associe a chaque concept son unique
objet typique et son unique operateur de determination.
L'axiome A 2 exprime une propriete de point xe pour l'objet typique f :
il reste invariant par la determination f.
L'axiome A 3 exprime une autre propriete de point xe, mais cette foisci
pour un objet quelconque x de O : cet objet est un point xe pour toute
determination apportee par un concept contenu dans la partie essentielle de l'intension
de f.
Les axiomes A 4 etA 5 expriment l'idempotence, respectivement, l'associativite
de la composition des determinations.
L'axiome A 6etablit une relation entre l'objet typique et l'extension : l'objet
typique d'un concept tombe sous ce concept si et seulement si l'extension typique
du concept (la classe des objets typiques determines) est non vide.