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UNIVERSITE PARIS IV { SORBONNE<br />
ECOLE DOCTORALE CONCEPTS ET LANGAGES<br />
(Nd'enregistrement attribue par la bibliotheque)<br />
TH ESE<br />
pour obtenir le grade de<br />
DOCTEUR DE L'UNIVERSITE PARIS IV<br />
Discipline : In<strong>format</strong>ique<br />
presentee et soutenue publiquement<br />
par<br />
Anca Vaetus{Pascu<br />
le 30 juin 2001<br />
Titre :<br />
Logique de la Determination d'Objets : concepts de<br />
base et mathematisation en vue d'une<br />
modelisation{objet<br />
Directeur de these :<br />
Professeur Jean-Pierre Descles<br />
JURY<br />
MM. : Michel De Glas Rapporteurs<br />
Ioannis Kanellos<br />
MM. : Francois-Gilles Carpentier Examinateurs<br />
Jean-Pierre Descles<br />
Denis Mieville
\C'est une verite generalement admise que le langage est un instrument de la<br />
raison humaine,<br />
et non pas simplement un moyen d'expression de la pensee."<br />
G. Boole<br />
\Mais penser n'est-ce pas parler? Comment est-il possible que la pensee entre en<br />
conit avec le langage?<br />
n'est-ce pas la unconit ou lapensee entre en guerre avecelle-m^eme?<br />
La possibilite delapensee n'y trouverait-elle pas son terme?"<br />
G. Frege
Remerciements<br />
Mes remerciements s'adressent tout d'abord a Monsieur Jean-Pierre Descles,<br />
Professeur a l'Universite de Paris-Sorbonne et directeur de l'Ecole Doctorale<br />
Concepts et Langage, qui m'a recu dans l'equipe LALIC et qui a initie et dirige<br />
cette etude.<br />
Je tiens a remercier <strong>au</strong>ssi les membres du jury.<br />
Je remercie Monsieur Michel De Glas, Directeur de Recherches <strong>au</strong> CNRS et<br />
Monsieur Ioannis Kanellos, Ma^tre de Conferences a l'ENST-Bretagne qui ont<br />
bien voulu accepter la charge de rapporteurs, et dont les critiques et encouragements<br />
m'ont ete precieux.<br />
Je remercie egalement Monsieur Denis Mieville, Professeur, Recteur de l'Universite<br />
de Neuch^atel et Monsieur Francois-Gilles Carpentier, Ma^tre de Conferences<br />
a l'Universite de Bretagne Occidentale qui ont accepter de juger ce travail.<br />
Par ailleurs, je tiens a remercier les nombreuses personnes gr^ace a qui ce travail<br />
a pu aboutir.<br />
Monique Le Coz, responsable honoraire du Departement In<strong>format</strong>ique de la<br />
Faculte des Lettres de l'U.B.O., m'a encourage a mener a bien cette these dont<br />
elle a relu et commentea plusieurs reprises le manuscrit. Qu'elle recoive ici toute<br />
ma gratitude.<br />
Je remercie enn mes collegues du Departement d'in<strong>format</strong>ique de la Faculte<br />
des Lettres et de l'ISHA.
Chapitre 1<br />
Introduction<br />
La logique est la science ayantpour objet de determiner,<br />
parmi toutes les operations intellectuelles tendant a laconnaissance duvrai,<br />
lesquelles sont valides, lesquelles ne le sont pas.<br />
A. Lalande<br />
Qu'est-ce qu'une logique?<br />
Voila quelques reponses possibles [Des01] :<br />
Un art pour bien raisonner?<br />
Une methode d'argumentation?<br />
Une science de la demonstration?<br />
Une discipline dont la norme est la verite?<br />
Une etude des operations mentales?<br />
Une identication des lois de la pensee?<br />
Une composition formelle des concepts?<br />
Une analyse mathematique du langage des mathematiques?<br />
Une recherche sur les fondements theoriques de l'in<strong>format</strong>ique?<br />
Ces questions traversent l'histoire de la logique et leurs reponses representent<br />
l'evolution de la logique a travers des siecles.<br />
La logique classique a ete developpee et utilisee pour etablir les bases du<br />
raisonnement ou pour construire un fondement theorique des mathematiques<br />
ou d'<strong>au</strong>tres sciences \deductives". L'intelligence articielle utilise <strong>au</strong>jourd'hui
4 Introduction<br />
d'<strong>au</strong>tres logiques { des logiques non-classiques { pour modeliser des situations<br />
reelles ou la connaissance est incomplete et imprecise, ou il est necessaire de<br />
faire des hypotheses pl<strong>au</strong>sibles, parfois refutables a posteriori, par l'acquisition<br />
de nouvelles connaissances.<br />
Ce travail presente les aspects theoriques et la formalisation de la Logique de<br />
la Determination d'Objets (LDO). La Logique de la Determination d'Objets<br />
(LDO) est une logique non-classique, un systeme de categorisation comprenant<br />
une theorie de la quantication.<br />
Cette logique a ete introduite pour permettre de resoudre certains problemes<br />
en linguistique in<strong>format</strong>ique et de developper des applications notamment en<br />
traduction <strong>au</strong>tomatique.<br />
1.1 Pourquoi categorisation et quantication?<br />
Nous vivons dans un monde d'objets, nous sommes confrontes chaque jour avec<br />
ces objets par leur \perception", par le discours a leur sujet. Notre cognition sur<br />
les objets du monde est complexe et variee. Si on accepte que cette cognition est<br />
basee sur un ensemble de processus, il f<strong>au</strong>t accepter un premier decoupage qui se<br />
fait selon le paradigme : qualier{quantier.<br />
Le dictionnaire donne pour chacun sa denition :<br />
Qualier : = caracteriser une chose en la designant de telle maniere, attribuer<br />
une qualite.<br />
Quantier = attribuer une mesure, attribuer une quantite a une chose.<br />
Les entites du monde sont qualiables et quantiables. Comprendre l'organisation<br />
du monde revient a ledecouper dans des modeles dans lesquels ces<br />
objets sont regroupes dans des sous-ensembles. On les regroupe selon certains<br />
criteres. On les qualie. On determine l'ordre de grandeur des sous-ensembles.<br />
On les quantie. Il est generalement accepte que les operations cognitives de<br />
qualication (determination) conduisent comme resultat a desclassications ou<br />
categorisations ou encore, ontologies. Les operations de quantication conduisent<br />
a etablir l'ordre de grandeur des classes. C'est le sens \commun", \ordinaire" de<br />
la qualication et de la quantication. Mais il a fallu d'abord que l'humanite<br />
decouvre le concept de \nombre" pour se rendre compte du sens de la quantication.<br />
Les notions de quantication et de qualication comme les notions d'objet,<br />
de classe, de categorie sont assez oues dans le sens ordinaire et assez eloignees<br />
du sens que leur ont attribue les dierentes sciences vues comme domaines de la<br />
connaissance. Ce sont les sciences qui ont commence a construire des categorisations<br />
de leurs objets de travail dans le but d'etudier leurs proprietes. En m^eme
L'ontologie de l'objet 5<br />
temps elles ont essaye d'etablir un rapport entre les dimensions des classes. Elles<br />
se sont crees leurs propres procedes de categorisation et de quantication. Les<br />
mathematiques par exemple, ont \invente" les dierents ensembles de nombres<br />
dont la construction a comme base un procede classicatoire. Ce sont toujours les<br />
mathematiques qui ont \invente" la quantication pour exprimer le fait qu'une<br />
certaine classe n'est pas vide, ou que toute une classe est comprise dans une<br />
<strong>au</strong>tre :<br />
Tout x est y<br />
Il y a des x qui sont y<br />
Mais tout d'abord il f<strong>au</strong>t s'interroger sur l'objet :<br />
Qu'est-ce qu'un objet?<br />
A quelles conditions la connaissance d'un objet est-elle possible?<br />
Pourquoi la connaissance est-elle une connaissance d'objets?<br />
Quel est le principe de l'unite des objets?<br />
Comment fonder une ontologie?<br />
1.2 L'ontologie de l'objet<br />
Une ontologie est une classication ou une categorisation. Quelle est la dierence<br />
entre une classication et une categorisation?<br />
Selon J.-P. Descles :<br />
Une classication represente une simple distribution des objets<br />
dans des classes, tandis qu'une categorisation contient en plus des<br />
classes, les relations entre ces classes. Une categorie ne peut ^etre<br />
pensee qu'avec d'<strong>au</strong>tres categories. Une categorie est plus qu'une<br />
classe. Elle ne se denit pas par elle-m^eme. Elle rentre dans des<br />
hierarchies.<br />
Une ontologie est plut^ot une categorisation qu'une classication. Un premier<br />
probleme qui se pose est la relation entre l'ontologie du sens commun qui<br />
parle d'objets et l'ontologie formelle, liee classiquement et traditionnellement a<br />
la logique qui specie les proprietes des objets, en utilisant la theorie de la quantication<br />
et des modeles [Nef98].
6 Introduction<br />
1.2.1 Un apercu historique sur l'ontologie de l'objet<br />
Du point de vue historique les trav<strong>au</strong>x sur l'ontologie de l'objet ont leurs sources<br />
dans la metaphysique analytique liee a Kant et continuee par Nietzsche et Heidegger.<br />
On a assiste a un renouvellement du projet d'ontologie formelle, ou de<br />
metaphysique analytique, sous plusieurs formes concurrentes. Par cette expression<br />
on entend l'investigation sur la nature ultime de la realite <strong>au</strong> moyen de la<br />
methode d'analyse, investigation qui peut prendre plusieurs formes, purement<br />
conceptuelles ou egalement formelles.<br />
Mais qu'est-ce que l'ontologie formelle? Ce terme appara^t vers 1900 chez<br />
Husserl et en m^eme temps chez Meinong sous le nom de la \theorie de l'objet".<br />
C'est une metaphysique rationnelle construite avec une methode, en general la<br />
logique mathematique. Cette metaphysique rationnelle doit ^etre formelle c'est-adire<br />
\transversale a toutes les ontologies materielles" { les ontologies relatives a<br />
des domaines dierents d'objets, le contenu specique de tel ou tel savoir. F. Nef<br />
montre que R. Ingarden dans \Der Streit um die Existenz der Welt" distingue<br />
trois types d'ontologies [Nef98]:<br />
Ontologie existentielle : recherche des dierents modes d'existence des objets<br />
Ontologie materielle : etude des aspects qualitatifs des objets<br />
Ontologie formelle : investigation des formes d'objets, a priori, independamment<br />
du type d'objectiviterealisee dans la structure ontique particuliere du<br />
monde actuel.<br />
Les deux premieres ontologies ont une forte composante descriptive, tandis<br />
que l'ontologie formelle est be<strong>au</strong>coup plus normative.<br />
F. Nef montre que la denition de Ingarden peut ^etre modiee en :<br />
Une ontologie formelle est une investigation des caracteres gener<strong>au</strong>x<br />
des objets, mais qui ne se confond pas avec une description. La description<br />
presente les dierents types d'objets sans une hierarchie des<br />
species (sur-classes) dont l'objet est la specie ultime. Une ontologie<br />
formelle doit tenir compte de certaines hierarchies.<br />
On voit que si l'ontologie du sens commun peut ^etre consideree comme une<br />
classication, alors une ontologie formelle doit ^etre necessairement consideree une<br />
categorisation.<br />
La theorie de l'objet a sa source dans la philosophie transcendantale de Kant.<br />
On trouve chez Kant pour la premiere fois le concept quasi formel d'objet. Pour<br />
Kant l'objet transcendantal est le correlat entre le sujet transcendantal et l'objet
L'ontologie de l'objet 7<br />
transcendantal. Il est \quelque chose en general" , un \X". Le sujet transcendantal<br />
est le \Je" de la pensee, une loi d'unication du divers de la conscience.<br />
Brentano (1838-1917) classie la pensee-connaissance en :<br />
Presentation<br />
Jugement<br />
Emotion.<br />
L'ontologie correspondante est :<br />
objets { correlats possibles de la presentation.<br />
etats de choses { correlats des actes de jugements.<br />
valeurs { correlats des actes de preference.<br />
Frege considere la notion de l'objet comme une notion premiere, implicitement<br />
posee:<br />
Je considere une denition analytique impossible, parce que nous<br />
avons ici quelque chose qui, a c<strong>au</strong>se de sa simplicite, n'admet pas<br />
d'analyse logique. Il est seulement possible d'indiquer ce qui est signie.<br />
Meinong (1853-1920) considere en plus des objets non-existants:<br />
Le contenu d'une idee existe necessairement en tant que partie<br />
integrante d'une idee, m^eme si l'objet n'existe pas du tout. [Fin33]<br />
Meinong distingue <strong>au</strong> moins deux types d'objets inexistants :<br />
Les objets dont la non-existence est purement empirique : un roman de S.<br />
Kripke.<br />
Les objets avec des proprietes contradictoires : le carre rond.<br />
Le point de vue de Meinong est :<br />
[...] imaginer un cent<strong>au</strong>re n'est certainement pas la m^eme chose<br />
que ne rien imaginer bien <strong>au</strong> contraire, puisqu'imaginer un cent<strong>au</strong>re<br />
n'est pas la m^eme chose qu'imaginer un grion. Or, si et l'un et<br />
l'<strong>au</strong>tre n'etaient rien, c'est-a-dire etaient de pures non-entites,iln'y<br />
<strong>au</strong>rait, semble-t-il, <strong>au</strong>cune dierence entre imaginer l'un et imaginer<br />
l'<strong>au</strong>tre. [Nef98]
8 Introduction<br />
Pour Meinong l'objet est <strong>au</strong>-dela del'^etre et du non-^etre il est exterieur <strong>au</strong><br />
fait de l'^etre. Il n'echappe pas <strong>au</strong> tiers exclu, mais plut^ot il verie : qu'il soit ou<br />
qu'il ne soit pas, il est un objet.<br />
Cette distinction est a l'origine de celle faite par E. Mally entre des proprietes<br />
constitutives (nucleaires) et des proprietes extra-constitutives (extra-nucleaires).<br />
Une propriete nucleaire est par exemple \bleu", tandis qu'une propriete extranucleaire<br />
est soit \complet", soit \contradictoire".<br />
Les objets peuvent ^etre complets ou incomplets. Ceux qui appartiennent a la<br />
realite eective sont complets, en vertu du principe du tiers exclu. Mais les objets<br />
abstraits, comme le triangle, ne sont pas complets. L'objet conceptuel triangle<br />
est tel qu'il lui manque certaines determinations.<br />
Frege nous legue le moyen d'operer une approche purement syntaxique de<br />
l'objet a partir de la logique de la quantication. Husserl fournit, avec le concept<br />
d'ontologie formelle liee a la logique, un cadre de recherches et Meinong pose<br />
un programme a la fois empirique et rationnel pour hierarchiser les objets. Le<br />
developpement des theories neo-meinongiennes de l'objet devient un programme<br />
de recherches sur la semantique des referents de discours.<br />
Pour Wittgenstein, dans le Tractatus [Wit93] les objets sont des constituants<br />
ultimes de la realite. Pour lui un objet est simple et il se constitue dans des<br />
complexes :<br />
Je ne puis que nommer les objets. Des signes en sont les representants.<br />
Pour Quine [Qui60] les objets sont relatifs a des manieres de parler. On peut<br />
en faire la genese dans l'apprentissage du comportement linguistique. Quine se<br />
limite a un sous-ensemble d'objets : les corps solides.<br />
L'ontologie des sciences est particuliere a chaque domaine scientique.<br />
Dans l'ontologie des mathematiques, le passage des ensembles <strong>au</strong>x categories,<br />
la reinterpretation de l'inni dans l'analyse non-standard, le developpement des<br />
modeles dynamiques d'inspiration topologique ont une portee ontologique qui renouvelle<br />
l'approche de ce domaine. Les ontologies mathematiques ont evolue a<br />
partir de simples classications vers des categorisations. L'ontologie de la microphysique<br />
est liee <strong>au</strong> probleme des proprietes enmecanique quantique. Dans<br />
la science une ontologie des objets ne se limite pas <strong>au</strong>x objet perceptibles : une<br />
galaxie lointaine, une particule elementaire sont des objets, les nombres sont des<br />
objets. Les objets de Meinong et Husserl etaient des objets perceptibles, des individus<br />
\en chair et en os" pris dans les us et coutumes de la reference naturelle<br />
et commune. Plus tard on a admis d'<strong>au</strong>tres types d'individus.<br />
Mais l'ontologie de l'objet commence asedenir comme theorie formelle en<br />
m^eme temps que les semantiques formelles.<br />
La theorie de la verite deTarski debouche sur les semantiques formelles. Un<br />
modele est un triplet
L'ontologie de l'objet 9<br />
M = hL D Ii<br />
ou L est un langage, D est un domaine qui contient toutes les entites individuelles,<br />
I une fonction (dite d'interpretation) qui associe a tout terme elementaire du<br />
langage une entite deD.<br />
La semantique formelle se propose de decrire de facon recursive l'interpretation<br />
des enonces de L, sous la forme de conditions de verite par rapport <strong>au</strong> modele M.<br />
L'ontologie intervient dans la construction du modele <strong>au</strong> moins de trois points de<br />
vue distincts :<br />
Les entites admises dans D<br />
Les criteres d'admission dans D<br />
Le choix entre deux modeles M et M 0 .<br />
La semantique formelle et l'ontologie formelle ne se reduisent pas l'une a<br />
l'<strong>au</strong>tre. La semantique formelle consiste en une interpretation des expressions du<br />
langage L, l'ontologie a une organisation du domaine D, soit en rapport avec L,<br />
soit independamment deL.<br />
J. Hintikka (1994) [Nef98] a montre que la semantique formelle decrit le rapport<br />
entre le langage et la \realite" par le biais d'une ontologie. En analysant une<br />
distinction de J. Van Heijenhoort entre la logique vue comme langage et la logique<br />
vue comme calcul, Hintikka considere que dans la philosophie contemporaine du<br />
langage il y a deux courants : l'un represente par Frege, Russell, Wittgenstein qui<br />
considerent le langage comme un medium universel, l'<strong>au</strong>tre represente par Tarski<br />
et Godel le considerant comme un calcul.<br />
Les resultats de Godel (son theoreme sur l'incompletude) ont conduit areviser<br />
la conception husserlienne de l'ontologie formelle <strong>au</strong> moins sur un point : comme<br />
toute ontologie formelle qui inclut l'arithmetique est deductivement incomplete,<br />
il f<strong>au</strong>t aaiblir la notion de completude. L'ideal de la completude identie par la<br />
derivabilite de toutes les propositions dans un systeme doit ^etre remplace par un<br />
ideal aaibli qui consiste en une ontologie formelle qui represente \la formalisation<br />
complete d'un corps d'enonces" [Lad57].<br />
La theorie des types de Russell introduit dans l'ontologie formelle une hierarchisation.<br />
C'est une ontologie formelle stratiee. La denition russellienne d'un<br />
objet est : un objet est une classe \en tant que une" par opposition a la classe<br />
\en tant que plusieurs".<br />
Les objets sont concrets ou abstraits. Les objets concrets sont naturels ou articiels.<br />
Les objets naturels sont elementaires ou complexes. Les objets articiels<br />
sont esthetiques ou soci<strong>au</strong>x. Les objets abstraits sont objets arbitraires, entites<br />
theoriques, cta, possibilia.
10 Introduction<br />
F. Nef considere que la taxonomie des objets est structuree par des oppositions<br />
binaires de type categoriel :<br />
1. general{particulier<br />
general : accessible sous plusieurs instances indiscernables { par exemple<br />
le triangle quelconque accessible sous de multiple realisations graphiques.<br />
2. temporel{non-temporel<br />
temporel : existant dans le temps et subissant des changements ou variations<br />
a travers le temps.<br />
3. actuel{non-actuel<br />
actuel : occupant du monde actuel, present, passe ou futur.<br />
4. existant{non-existant<br />
existant : occupant present du monde reel. Ainsi Jules Cesar, les licornes<br />
et les cent<strong>au</strong>res sont non-existants. Le probleme delapredication sur du<br />
non-existant ou du non-etant remonte <strong>au</strong> Sophiste de Platon. Le principe<br />
aristotelicien de l'existence conformement <strong>au</strong>quel un non-existant n'a pas<br />
de proprietes s'oppose <strong>au</strong>x approches platoniciennes qui analysent le nonexistant<br />
comme existant d'une certaine maniere. L'ontologie est une theorie<br />
des objets ou des types d'objets. Elle ne limite pas son domaine <strong>au</strong>x objets<br />
existants (l'existence spatio-temporelle). Elle doit tenir compte de non-<br />
^etres.<br />
5. determine{indetermine<br />
determine : susceptible d'^etre distingue sans risque d'erreur. Le cercle<br />
n'est pas confondu avec le carre, Arsene Lupin avec Sherlock Holmes. Ils<br />
sont determines.<br />
6. complet{incomplet<br />
complet :possedant toutes ses proprietes. L'objet complet est determine<br />
par un nombre de proprietes connues, par exemple, le triangle.<br />
Un exemple d'objet incomplet est l'objet quantique { on ne peut pas conna^tre<br />
avec precision sa position et sa vitesse.<br />
D'<strong>au</strong>tres objets incomplets sont les objets mathematiques arbitraires et les<br />
personnages de ction.<br />
7. abstrait{ concret<br />
abstrait : non instancie dans une matiere. Un objet abstrait n'a pas de r^ole<br />
c<strong>au</strong>sal sur des objets concrets. Pour l'objet concret il y a deux possibilites :
L'ontologie de l'objet 11<br />
percu, senti par un sujet.<br />
un arrangement de particules dans l'espace - temps.<br />
L'objet abstrait n'est pas percu.<br />
8. dependant{independant<br />
dependant : un objet est dependant s'il depend d'un <strong>au</strong>tre pour ^etre un<br />
objet. La dependance est une dependance structurelle. Une relation depend<br />
des ses termes, les objets ment<strong>au</strong>x dependent de l'esprit.<br />
9. subsistant{non-subsistant<br />
subsistant : existant et dependant.<br />
10. intermittent{non-intermittent<br />
intermittent : qui n'existe ou ne subsiste pas de maniere continue.<br />
Les objets arbitraires permettent une description des objets generiques qui<br />
fournit une alternative a la solution classique en termes de quanticateurs standard<br />
ou non-standard.<br />
1.2.2 L'ontologie de l'objet de la LDO<br />
La Logique de la Determination d'Objets (LDO) de J.-P. Descles est une<br />
logique qui explore certains fondements conceptuels de la logique. Du point de<br />
vue formel elle se deploie dans le cadre applicatif de Curry, c'est-a-dire dans ce<br />
qu'il appelle une prelogique (Urlogik) ([Cur58], page 45).<br />
Le programme de cette logique est ambitieux, mais semble raisonnable. Cette<br />
logique en premier lieu, permet d'aner certaines notions anterieures : la notion<br />
d'objet, la notion d'objet indetermine, la notion de typicalite, la notion de variable,<br />
la notion de quanticateur formalisant les mecanismes de quantication<br />
dans le langage.<br />
Les objets, du point de vue de la LDO sont :<br />
des objets de pensee<br />
des objets concus comme des entites individuelles, certaines etant indeterminees<br />
du point de vue de leur reference.<br />
Plus precisement, dans la LDO nous ne nous occupons pas des objets de la<br />
pensee en general. Nous considerons \l'objet fregeen" qui n'est pas soumis <strong>au</strong><br />
jugement puisque Frege opposait l'objet a la fonction. C'est la proposition qui<br />
exprime le jugement. L'objet pour Frege est sature, la fonction ne l'est pas.
12 Introduction<br />
Pour Frege les objets etaient totalement determines dans un sens technique<br />
que nous donnerons a ce terme. Dans la LDO on part de l'idee qu'il existe des<br />
objets de dierents degres de determination. La LDO les appelle \plus ou moins<br />
determines". La classe de tous les objets O contient tous ces objets. Une sousclasse<br />
de O est la classe des objets determines O det .Unobjet determine est un<br />
objet tel que toute determination compatible avec la nature intrinseque de l'objet<br />
n'apporte <strong>au</strong>cune in<strong>format</strong>ion supplementaire sur l'objet. Il n'y a plus besoin de<br />
determination pour individualiser cet objet. S'il est reel on peut le toucher, le<br />
montrer etc.<br />
Un objet constructible est un objet pour lequel nous avons une procedure<br />
pour l'obtenir.<br />
Un objet reel (existant) est un objet determine et constructible.<br />
La dierence entre \construire" et \determiner" est : construire un objet signie<br />
exhiber une procedure explicite pour obtenir cet objet determiner un objet<br />
revient a lui appliquer des fonctions pour l'individualiser progressivement, pour<br />
qu'il puisse ^etre distingue sans ambigute des <strong>au</strong>tres objets <strong>au</strong>xquels il est comparable.<br />
Les objets determines sont : les objets existants (O ex ), les objets existants<br />
potentiels O ex;pot ) et les objets non-existants (O n;ex ).<br />
Parmi les objets existants il existe des objets existants avec correlat empirique<br />
(O excc ) et des objets existants sans correlat empirique (O exscc ). Les objets existants<br />
avec correlat empirique sont soit les objets perceptibles, soit les objets pour<br />
lesquels il y a une preuve empirique de leur existence sensible ou perceptible, soit<br />
les objets pour lesquels nous avons des procedures explicites pour prouver leur<br />
manifestation empirique : cet ordinateur (que vous voyez), Napoleon (l'histoire<br />
nous donne la preuve de son existence). Les objets existants sans correlat empirique<br />
sont les objets qui existent sans avoir une manifestation empirique. Pour un<br />
objet existant sans correlat empirique, prouver son existence represente prouver<br />
que ses proprietes sont non-contradictoires et pouvoir exhiber une preuve pour<br />
le determiner. Pour le mathematicien les nombres reels ou e sont des objets<br />
existants sans correlat empirique.<br />
Parmi les objets non-existants il y a le carre rond ou le nombre p 2 comme<br />
rationnel.<br />
Les objets existants potentiels (O ex;pot ) sont les objets pour lesquels on n'a pas<br />
la preuve de leur existence, mais ils sont parfaitement determines et ils pourraient<br />
exister:<br />
Objets de ction. Un personnage de ction n'existe pas, mais il est determine.<br />
{ Les uns pourraient exister. Par exemple Madame Bovary : elle est<br />
determinee, elle pourrait exister.
L'ontologie de l'objet 13<br />
{ D'<strong>au</strong>tres avec une probabilite moins grande. Le cent<strong>au</strong>re Nessus de<br />
la mythologie grecque est <strong>au</strong>ssi parfaitement determine maisiln'a<br />
pas une existence attestee. Pour chacun d'eux la construction est<br />
denie dans un systeme cognitif coherent : le roman francais du XIX<br />
eme siecle et la mythologie grecque. Ces sources font partie de notre<br />
memoire collective, on leur a donne un statut. Ils n'ont pas le m^eme<br />
statut.<br />
Objets empiriques. Le monstre du Loch Ness n'est pas un objet existant<br />
parce qu'on n'a pas la preuve empirique de son existence. Par sa nature empirique,<br />
il est manifestable toutefois, certaines croyances (ou temoignages)<br />
lui attribuent des manifestations empiriques. Le monstre de Loch Ness<br />
n'a pas le m^eme caractere que Madame Bovary ou le cent<strong>au</strong>re Nessus. Il<br />
n'appartient pas a un systeme cognitif avec un statut deni.<br />
Des objets mathematiques. Le cardinal (possible) compris entre @ 0 et @ 1<br />
(le cardinal de
14 Introduction<br />
Une approche fonctionnelle considere un concept comme un \operateur" et<br />
un objet comme un \operande absolu". L'operateur est associe a la notion de<br />
fonction, procedure, methode. Les objets peuvent ^etre vus comme des operandes<br />
absolus. Ily<strong>au</strong>nmonded'objets et un monde d'operateurs. Il a fallu les<br />
relier, parce que chacun d'eux pris isolement ne permet pas d'apprehender de<br />
tres nombreux problemes comme par exemple la predication, la quantication,<br />
les modalites. C'est la logique combinatoire qui a propose une formalisation de<br />
leur liaison.<br />
1.3 Categorisation et quantication en logique<br />
Une periodisation de l'histoire de la logique en tenant compte de sa problematique<br />
nous conduit a distinguer les etapes suivantes :<br />
1. Toute la periode de l'antiquite jusqu'<strong>au</strong> XIX eme siecle caracterisee par le<br />
fait que la problematique se deploie sur deux axes :<br />
celui du langage <br />
celui du raisonnement.<br />
2. Le debut de la periode de la \mathematisation " de la logique qui commence<br />
avec Boole (1815-1864) et Peirce (1839-1914).<br />
3. \Un tournant" avec Frege (1848-1925) son systeme logique ayant comme<br />
but de fonder l'arithmetique echoue de ce point de vue, mais il represente<br />
une mathematisation des notions comme quanticateur, variable liee, concept,<br />
d'un c^ote et un systeme conceptuel pour l'analyse du langage de l'<strong>au</strong>tre c^ote.<br />
4. A partir de 1880, Dedekind, Peano et Russell continuentl'etude et l'analyse<br />
du langage.<br />
5. Dans \les annees 30", commence la periode des logiques non-classiques :<br />
Gentzen (la deduction naturelle), Godel (theoremes d'indecidabilite) Lesniewski<br />
(la mereologie), Turing (la calculabilite), Heyting et Kolmogorov<br />
(la logique intuitionniste), Church ( - calcul) et Curry (la logique combinatoire).<br />
6. Entre 1950 et 1960, apparaissent les logiques temporelles et modales.<br />
7. Apres 1960, nouve<strong>au</strong>x developpements en logique voient le jour, a c<strong>au</strong>se des<br />
problemes poses par l'in<strong>format</strong>ique theorique.
Categorisation et quantication en logique 15<br />
8. A partir de 1980, les sciences cognitives et l'intelligence articielle ont amene<br />
a introduire les logiques non-monotones et paraconsistantes.<br />
Dans ce table<strong>au</strong> la quantication se retrouve sous une forme intuitive (nonformalisee)<br />
dans la premiere periode. Boole a \mathematise" les connecteurs<br />
logiques et les quanticateurs en leur donnant une semantique en termes de<br />
classes. Il n'y a ni notion de fonction, ni notion de concept chez Boole. Les<br />
bases de la theorie de la quantication ont ete mises en place par Frege. Frege<br />
a \mathematise" la quantication [Fre879], [Fre893]. Pour lui le concept est<br />
une fonction non-numerique et le quanticateur un operateur qui s'applique <strong>au</strong><br />
predicat comme argument. C'est une rupture par rapport a la logique classique<br />
d'avant (representee par la Logique de Port Royal [Arn93] et Leibniz [Lei*66])<br />
pour laquelle le syntagme quantie etait l'argument du predicat. Les idees de<br />
Frege sont oubliees et avec Peano et Russell la quantication s'integre dans le<br />
calcul du premier ordre jusqu'a sa forme actuelle : la denition des quanticateurs<br />
et leur regles de fonctionnement.<br />
Les logiques non-classiques se caracterisent, en general, par la remise en c<strong>au</strong>se<br />
soit d'un axiome, soit d'une regle d'inference du systeme de la logique classique<br />
(pour la logique intuitionniste { le tiers exclu, pour les logiques paraconsistantes<br />
[DCo97] { le principe de non-contradiction...) et ont englobe la quantication<br />
dans leur systeme. Elles gardent la demarche syntaxique de la logique classique.<br />
Les logiques non-monotones dans lesquelles additionner des premisses <strong>au</strong>x premisses<br />
de base ne garde pas la verite de la conclusion sont representees par les<br />
logiques des def<strong>au</strong>ts [Rei80], certaines logiques modales [MD80] et l'approche de<br />
la circonscription [DCa97]. Le probleme de la quantication dans ces logiques est<br />
de determiner les conditions dans lesquelles une action a lieu.<br />
Les logiques d'inconsistance des def<strong>au</strong>ts (IDL { Inconsistent Def<strong>au</strong>lt Logic)<br />
et les logiques de l'inconsistance epistemique (LEI { Logic of Epistemic Inconsistency)<br />
[DCa97] representent des alternatives <strong>au</strong> raisonnement par def<strong>au</strong>ts. Elles<br />
apportent de nouve<strong>au</strong>x aspects a la non-monotonie et a la paraconsistance. La<br />
quantication dans ces logiques est de m^eme nature epistemique que la quantication<br />
de la logique classique.<br />
L'idee \d'operatoriel (fonctionnalite)" de Frege est reprise par Curry [Cur58]<br />
dont la logique combinatoire est un systeme non-classique ou la quantication est<br />
exprimee d'une facon \fonctionnelle" par les \operateurs illatifs".<br />
Sommers [Som82] revient a la logique antefregeenne dans sa \syntaxe logique",<br />
mais en utilisant un outil proche de celui de Boole, de nature arithmetique.<br />
En conclusion on peut dire que l'evolution de la quantication en logique du<br />
point de vue epistemique s'est fait de la maniere suivante :<br />
1. dire ce qu'est un syntagme quantie et operer avec des syntagmes quanties.
16 Introduction<br />
2. dire que le quanticateur est un operateur qui s'applique <strong>au</strong> predicat.<br />
3. donner la construction des expressions avec des quanticateurs et leur interpretation.<br />
4. construire un systeme d'operateurs de quantication qui rend compte de la<br />
typicalite.<br />
La premiere demarche appartient a la logique ante-fregeenne, la deuxiemeest<br />
celle de Frege. La troisieme est une des demarches post-fregeennes et notamment<br />
elle est caracteristique de la theorie des modeles (chapitre7). La quatrieme est<br />
celle de la LDO.<br />
En ce qui concerne les approches post-fregeennes, a part celle caracteristique<br />
de la theorie des modeles, il existe l'approche illative de Curry [Cur58] qui reproduit<br />
Frege sans variable, celle de Sommers [Som82] qui renoue avec l'approche<br />
ante-fregeenne, mais qui considere le quanticateur compris dans un operateur<br />
plus general (chapitre 3).<br />
Ceci est \l'etat des lieux" de la quantication dans la logique.<br />
Une nouvelle approche, celle de J.-P. Descles [Des98b], [Des98d], [Des98g]<br />
representee par la LDO (voir chapitre 6), est l'objet principal du present travail.<br />
La categorisation trouvee comme arriere-plan de la quantication reste pour<br />
tous, s<strong>au</strong>f pour Frege et pour Curry, la theorie des ensembles. Pour Frege<br />
cette categorisation est donnee par son systeme conceptuel, pour Curry elle est<br />
construite en m^eme temps que la logique combinatoire.<br />
La LDO represente un systeme de categorisation et elle contient une nouvelle<br />
theorie de la quantication (la theorie star).<br />
1.4 Categorisation et quantication en linguistique<br />
Le langage comme partie de la connaissance peut ^etre vu de deux points de vue :<br />
Il est integre dans les <strong>au</strong>tres domaines de la connaissance comme faisant<br />
partie de la connaissance, donc son etude est regie par les m^emes procedes<br />
que le domaine m^eme.<br />
C'est une partie de la connaissance a part qui entretient certains rapports<br />
avec les <strong>au</strong>tres connaissances, donc son etude fait l'objet d'un domaine<br />
propre, \la linguistique", qui developpe ses procedures et entretient des<br />
rapports avec les <strong>au</strong>tres domaines.
Categorisation et quantication en linguistique 17<br />
Le premier point de vue est a la base des etudes de logique et fondements<br />
des mathematiquesrealisees <strong>au</strong> XIX-eme siecle par Hilbert, Frege et <strong>au</strong> debut du<br />
XX-eme siecle par Russell. Le deuxieme point de vue est celui qui determine la<br />
constitution de la linguistique comme science.<br />
La linguistique se developpe comme l'etude d'une langue naturelle. C'est ainsi<br />
que debute et se constitue l'etude des grammaires. Au debut elle reste confondue<br />
avec la logique. Pour Aristote l'etude de la langue se fait en m^eme temps du point<br />
de vue des categories grammaticales et du point de vue du raisonnement. La<br />
grammaire et la logique de Port-Royal le font de la m^emefacon. A partir de XX-<br />
eme siecle avec Ferdinand de S<strong>au</strong>ssure et plus tard avec Hjemslev et Bloomeld on<br />
s'interesse <strong>au</strong> \sens" des \mots". C'est le debut de la \semantique". Les annees<br />
1950 avec Chomsky sont marquees par le structuralisme. A partir de 1960, on<br />
constate l'apparition des theories semantiques construites en utilisant la logique<br />
classique ou les mathematiques comme outil de base. Ces theories se regroupent<br />
en deux ensembles:<br />
Les theories fondees sur la logique classique : Dummett, Geach, Sommers <br />
Les theories basees sur une formalisation mathematique : Montague, Keenan,<br />
Vanderveken.<br />
En general les theories semantiques qui s'appuient sur la logique et sur la<br />
modelisation adoptent une demarche partant de la logique vers la linguistique.<br />
Elles partent d'un langage formel elles etendent eventuellement le langage en<br />
introduisant de nouve<strong>au</strong>x operateurs, les representent danslemodele et l'on recherche<br />
a posteriori si le modele capte ou non un probleme linguistique. Leurs<br />
but n'est pas de partir de la linguistique et de retourner a la linguistique, mais<br />
de developper le langage formel en soi.<br />
La theorie de J.-P. Descles a une <strong>au</strong>tre demarche : elle part de la linguistique<br />
et revient a la linguistique. Le chemin epistemologique est le suivant (cf. gure<br />
1.1) :<br />
Identier le probleme linguistique d'apres son paradigme linguistique.<br />
Modeliser ce probleme on obtient le modele.<br />
Construire le correspondant du modele dans le langage formel.<br />
Projeter ce correspondant et analyser ses consequences du point de vue<br />
linguistique.<br />
Si la projection du langage formel dans la linguistique donne des in<strong>format</strong>ions<br />
pertinentes sur le probleme linguistique pose, on peut dire que la modelisation a<br />
resolu totalement ou partiellement le probleme (voir la gure 1.2).
18 Introduction<br />
Dans ce table<strong>au</strong> la quantication est retrouvee sous la forme d'une etude<br />
empirique des certaines categories de mots comprenant des mots comme : \tout,<br />
quelques, chacun".<br />
Par contre dans les theories semantiques construites sur la logique on retrouve<br />
la quantication logique. Dans les theories semantiques fondees sur une formalisation<br />
mathematique (Montague, Keenan) on retrouve une quantication dierente<br />
de celle utilisee en logique, enrichie par plusieurs elements de nature purement<br />
linguistique. C'est la theorie des quanticateurs generalises qui considere certains<br />
determinants, dans le sens attribue par la linguistique, comme etant des<br />
quanticateurs (cf. chapitre 5. Un essai de rapprochement de la quantication<br />
linguistique et des approches logiques est presente dans [Bac95]. Les quatre<br />
problemes suivants sur la quantication sont souleves et etudies dans ce recueil<br />
d'articles :<br />
Quelles sont les expressions qui encodent la quantication dans les langues<br />
naturelles?<br />
Quelle est leur structure semantique et leur degre d'universalite?<br />
En ce qui concerne la quantication, existe-t-il des dierences systematiquement<br />
correlees avec d'<strong>au</strong>tres dierences entre les langues?<br />
L'encodage de la quantication est-il adequat pour explorer le langage?<br />
Une solution proposee dans l'article [Par95] est de decomposer le syntagme<br />
quantie en trois elements (cf. schema de la gure 1.3) :<br />
un operateur - le mot qui exprime la quantication.<br />
un restricteur - le syntagme <strong>au</strong>quel l'operateur s'applique.<br />
une portee nucleaire - le predicat.<br />
M^eme s'il existe des essais visant a rapprocher la quantication en linguistique<br />
de la quantication en logique, il n'existe pas de vraie theorie linguistique de la<br />
quantication.<br />
1.5 Categorisation en sciences cognitives<br />
La periode a partir de 1980 se caracterise par le developpement des theories<br />
semantiques basees plut^ot sur la psychologie cognitive. Parmi ces theories on<br />
trouve celles de Langacker, Talmy,LeNy. Le probleme de la quantication n'est<br />
pas aborde en tant que tel dans ces theories. Par contre, sur la categorisation, la
Categorisation et quantication dans la LDO 19<br />
psychologie cognitive apporte des elements nouve<strong>au</strong>x. Rosch [Ros78] a developpe<br />
une importante notion, celle de prototype, avec la dimension correspondante, la<br />
typicalite. D'apres Roch un prototype est une sous-categorie, ou eventuellement,<br />
un exemplaire qui constitue une \meilleure" representation de la categorie que<br />
les <strong>au</strong>tres sous-categories ou exemplaires. Rosch a montre que, si l'on contr^ole les<br />
eets dus a lafrequence des mots dans la langue, le degre de typicalite des souscategories<br />
joue un r^ole essentiel dans ces jugements. Dans sa conception c'est<br />
la quantite de caracteristiques ou d'attributs que les sous-categories possedent<br />
en commun qui determine leur ressemblance mutuelle et c'est semblablement<br />
la quantite de caracteristiques qu'une sous-categorie possede en commun avec la<br />
categorie superieure qui fait que la premiere est, a un degre plus ou moins eleve,<br />
typique ou prototypique en regard de la seconde.<br />
Le fait que les sous-categories d'une categorie n'entretiennent pas avec cette<br />
derniere de relations parfaitement simples n'est pas tres facilement interpretable.<br />
On ne voit pas comment le sous-ensemble des pommes pourrait ^etre \plus inclus"<br />
que celui des tomates dans l'ensemble des fruits (Les fruits, notamment pour la<br />
conception que s'en font les enfants occident<strong>au</strong>x, sont le plus souvent consommes<br />
comme desserts et composent des plats sucres. C'est moins habituel pour les<br />
tomates que pour les pommes !) .<br />
La typicalite de Rosch concerne les representations naturelles et elles seules,<br />
celles qui sont presentes dans la memoire semantique des individus. Le mot<br />
\typique" vise alors a designer une propriete d'une representation.<br />
Ce sont des elements que les categorisations classiques de la logique ou des<br />
mathematiques (notamment la theorie des ensembles) n'ont pas pris en compte.<br />
Les categories des \mots" des grammaires non plus.<br />
Peut-on avoir une categorisation qui tienne compte de ces elements?<br />
Si oui, quelle est la quantication correspondante?<br />
Voila des problemes <strong>au</strong>xquels doit repondre une theorie de la quantication<br />
apres qu'on lui <strong>au</strong>ra donne un statut plus clair.<br />
1.6 Categorisation et quantication dans la LDO<br />
La LDO est une logique qui rend mieux compte des notions d'objet et de concept.<br />
Elle est a la fois une ontologie formelle et un systeme logique. En ce qui concerne<br />
la categorisation, elle considere les objets \plus ou moins determines" comme<br />
representants object<strong>au</strong>x des concepts. Ces objets sont determines par des operations<br />
de \determination" jusqu'<strong>au</strong>x objets determines. Du point de vue de la<br />
construction des objets c'est un retour <strong>au</strong> coeur de la logique, notamment la Logique<br />
de Port Royal, qui tenait compte de ce type d'operation. La determination<br />
des objets est denie par rapport a une operation particuliere elle <strong>au</strong>ssi appelee la
20 Introduction<br />
determination. Cette operation a ete thematisee par la logique ante-fregeene et<br />
surtout par la logique de Port-Royal. La construction des syntagmes nomin<strong>au</strong>x<br />
(termes) etait expliquee dans la logique de Port-Royal :<br />
\Ce qu'il y a de plus remarquable dans ces termes complexes est<br />
que l'addition qu'on peut faire a un terme est de deux sortes: l'une<br />
qu'on peut appeler explication, et l'<strong>au</strong>tre determination."<br />
La logique ou l'art de penser, A.Arn<strong>au</strong>ld, P. Nicole ([Arn70])<br />
Cette operation a ete completement eacee par la logique mathematique qui<br />
met dans la m^eme classe { la classe des fonctions { toutes les operations de<br />
determination et de qualication distinguees par les langues naturelles.<br />
Les langues naturelles distinguent ces operations par des procedes dierents<br />
d'encodage. Donc, c'est en s'inspirant de la langue naturelle qu'on peut conferer<br />
a ladetermination un statut particulier dans notre modele : le statut d'operateur<br />
qui construit des objets plus ou moins determines.<br />
La determination (comme indication sur l'extension) est condition<br />
necessairepour qu'un terme puisse jouer le r^ole de sujet ou de predicat<br />
dans une proposition.<br />
L'analyse de langage a Port-Royal, J-C Pariente ([Par85])<br />
Il y a un <strong>au</strong>tre aspect pris en compte par la LDO : la typicalite des objets. Dans<br />
la LDO les objets peuvent ^etre \typiques" ou \atypiques". Les objets typiques<br />
sont les objets qui ne sont determines que par des determinations compatibles avec<br />
toutes leurs proprietes denitoires. Les objets atypiques sont les objets qui ont ete<br />
determines par <strong>au</strong> moins une determination niant une proprietedenitoire, mais<br />
non-essentielle. La negation d'une proprietedenitoire n'appara^t pas comme une<br />
contradiction parce que cette propriete est non-essentielle.<br />
Dans la logique classique tous les objets sont typiques on peut m^emedireque<br />
la notion d'objet n'existe pas.<br />
Dans la LDO les notions d'objet, de concept, d'objet typique, d'objet atypique,<br />
extension, extension typique, etendue, etendue typique sont les bases<br />
conceptuelles du systeme.<br />
L'analyse de l'evolution de la theorie de la quantication permet de determiner<br />
les problemes epistemiques suivants :<br />
Peut-on developper dans une logique formelle une theorie de la quantication<br />
renouant avec la quantication classique ou le quanticateur s'applique<br />
<strong>au</strong> syntagme nominal de facon que le syntagme quantie devienne argument<br />
du predicat.<br />
Y a-t-il des quanticateurs \typiques compatibles"?
Description de ce travail 21<br />
Cette logique formelle peut-elle ^etre construite avec les outils de la logique<br />
et des mathematiques contemporaines?<br />
La LDO apporte une reponse armative a ces questions.<br />
La quantication de la LDO (representee par la theorie star { voir le chapitre<br />
7) essaie de :<br />
Prendre en compte les acquis de Frege et garder le caractere operatoriel de<br />
la quantication fregeenne.<br />
Aller <strong>au</strong>-dela de la quantication fregeenne et construire une theorie de<br />
la quantication qui renoue avec certains problemes de la quantication<br />
classique.<br />
La quantication de la LDO porte sur les objets existants, determines et typiques.<br />
En decouplant toutes ces notions on s'apercoit qu'il y a des quanticateurs<br />
typiques et atypiques. La LDO reinterprete les quanticateurs fregeens, etablit<br />
que l'un d'eux est typique et l'<strong>au</strong>tre atypique et introduit deux <strong>au</strong>tres quanticateurs<br />
en construisant un systeme coherent. Il n'existe pas une equivalence entre<br />
Qfg et g(Q ? f). L'un est typique, l'<strong>au</strong>tre ne l'est pas.(cf chapitre 7<br />
La LDO ne s'eloigne pas de la logique classique. Elle n'est pas une logique de<br />
l'etrangete et du paradoxal. Elle explore <strong>au</strong> nive<strong>au</strong> des fondements conceptuels<br />
de la logique sans pour <strong>au</strong>tant rejeter la formalisation. Elle part du point de<br />
vue formel d'une \prelogique" { un systeme applicatif. Elle prend en compte le<br />
rapport syntaxe{semantique, ce que la deduction naturelle ne fait pas. La LDO<br />
est une logique applicative typee.<br />
Curry [Cur58] montre qu'on peut obtenir plusieurs logiques a partir d'un<br />
systeme applicatif en fonction des primitives rajoutees a ce systeme. La LDO est<br />
une d'entre elles avec ses primitives, les operateurs et (voir la gure 1.4).<br />
1.7 Description de ce travail<br />
Cette etude s'inscrit dans le cadre de la theorie semantique de J.-P. Descles appelee<br />
Grammaire Applicative et Cognitive (GA et C). Dans cette theorie, le<br />
rapport entre les langues naturelles et la cognition est distribue sur trois nive<strong>au</strong>x<br />
[Des90b] :<br />
le nive<strong>au</strong> phenotypique { le nive<strong>au</strong> d'encodage dans les langues naturelles<br />
qui transforme le sens dans des expressions langagieres.<br />
le nive<strong>au</strong> genotypique { le nive<strong>au</strong> d'abstraction ou le sens est represente par<br />
des expressions d'un langage symbolique, de nature logique.
22 Introduction<br />
le nive<strong>au</strong> cognitif { le nive<strong>au</strong> d'abstraction qui construit le sens a partir de<br />
certaines primitives.<br />
Cette theorie vise a creer des outils theoriques pour la linguistique in<strong>format</strong>ique.<br />
La theorie de J.-P. Descles est construite avec la logique combinatoire comme<br />
outil logique de base. Son systeme de categorisation a comme point de depart le<br />
systeme conceptuel de Frege. Mais, il en diere par une <strong>au</strong>tre notion \d'objet"<br />
qui recouvre l'objet fregeen et l'objet de Curry. La notion de concept est celle<br />
de Frege. Une notion tres importante, celle de \determination" est comprise<br />
dans le systeme categoriel constitue par la Logique de la Determination d'Objets<br />
(LDO). C'est l'equivalent formel de l'operation cognitive de \qualication". La<br />
theorie de la quantication, basee sur ce systeme categoriel est une extension de<br />
la quantication classique, elle prend en compte une <strong>au</strong>tre dimension cognitive<br />
dans la \mesure des choses"{ la typicalite.<br />
Le but de notre etude est de :<br />
Realiser une analyse de la quantication et la categorisation sous-jacente<br />
dans la logique et la linguistique.<br />
Recenser les avantages et les desavantages des approches analysees par rapport<br />
<strong>au</strong>x problemes souleves par la logique et la linguistique.<br />
Presenter l'approche uniee de la categorisation et de la quantication de<br />
J.-P. Descles (la LDO) par rapport <strong>au</strong>x <strong>au</strong>tres approches.<br />
Realiser une formalisation de la LDO comme systeme de categorisation (la<br />
LDO { chapitres 6 et 8) qui contienne un systeme d'operateurs de quanti-<br />
cation (chapitre 7).<br />
Cette etude releve de la logique in<strong>format</strong>ique :<br />
Les constructions faites representent une forme d'application de la logique<br />
a l'in<strong>format</strong>ique.<br />
Les constructions faites gr^ace a l'operation de determination visent une<br />
ecacite plus grande des modelisations en se situant dans le cadre des langages<br />
applicatifs de la logique combinatoire. Elles visent une modelisation<br />
in<strong>format</strong>ique. Le travail realise dans cette these represente les fondements<br />
theoriques pour une modelisation et une implementation in<strong>format</strong>ique. Cette<br />
premiere etape sera suivie d'applications, notamment la these (en cours) de<br />
J. Cardot ou la LDO est appliquee dans un algorithme qui gere l'heritage<br />
des proprietes dans un rese<strong>au</strong> semantique (modelisation et implementation<br />
dans un langage objet).
Description de ce travail 23<br />
La LDO aide a mieux comprendre la logique sous-jacente a lamodelisation<br />
objet.<br />
La LDO aide a faire progresser certains trav<strong>au</strong>x en linguistique in<strong>format</strong>ique<br />
: les systemes a base de connaissances, la modelisation des interfaces<br />
en langues naturelles.<br />
La LDO represente une alternative d'analyse des rese<strong>au</strong>x semantiques concernant<br />
les problemes d'heritage.<br />
La justication et les raisons de la construction de la LDO apparaissent suite<br />
a une analyse de la categorisation et de la quantication dans la logique et la<br />
linguistique. Cette these contient deux parties distinctes :<br />
Une analyse de la categorisation et de la quantication dans la logique et<br />
linguistique. Cette analyse motive et justie la deuxieme partie.<br />
La construction de la LDO.<br />
Le travail est structure delamaniere suivante :<br />
Le chapitre 2 presente le systeme conceptuel de Frege et sa theorie de la<br />
quantication vus <strong>au</strong> travers d'une analyse critique de ses contributions a la<br />
logique du langage. Les approches de Russell, Peano et Peirce sont brievement<br />
rappelees.<br />
Le chapitre 3 contient l'analyse de la theorie fregeenne du langage et une<br />
critique de cette theorie avec les arguments des ante-fregeens, realisee par un<br />
post-fregeen : F. Sommers.<br />
Le chapitre 4 contient une analyse critique de Frege par des arguments postfregeens.<br />
La logique combinatoire de Curry est presentee et ses capacites applicatives<br />
sont exempliees.<br />
Dans le chapitre 5 nous presentons une theorie de la quantication d'origine<br />
linguistique, la theorie des quanticateurs de Keenan.<br />
Le chapitre 6 contient la description du systeme conceptuel de la LDO.<br />
Le chapitre 7 presente d'abord un table<strong>au</strong> de la quantication chez Quine,<br />
chez Curry et dans le calcul du premier ordre (theorie des modeles etdeduction<br />
naturelle). Ensuite, on introduit le systeme des operateurs de quantication de<br />
J.-P. Descles (la theorie star). On donne les regles syntaxiques et la semantique<br />
de ces quanticateurs en termes de classes d'objets . Cette theorie est comparee<br />
avec la theorie star et nous proposons quelques directions de developpement.<br />
Le chapitre 8 presente la formalisation de la LDO.<br />
Le chapitre 9 presente une semantique en termes de classes d'objets de la<br />
LDO.
24 Introduction<br />
Le chapitre 10 analyse le rapport entre la LDO et les rese<strong>au</strong>x semantiques.<br />
On donne des exemples d'inferences en LDO.<br />
Quelques directions de developpement sont presentees en conclusion.<br />
Nous avons presente en annexe de chaque chapitre, selon le cas, soit les demonstrations<br />
des theoremes ou des proprietes contenus dans ce chapitre, soit des<br />
exemples de calcul dans le systeme presente dans ce chapitre.
Description de ce travail 25<br />
<br />
<br />
<br />
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<br />
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#<br />
#<br />
#<br />
#<br />
#<br />
#<br />
#<br />
#<br />
#<br />
#<br />
#<br />
#<br />
# u O n;ex<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
u O det<br />
#c cccccccccccc<br />
u O ex;pot<br />
c u O ex<br />
A A<br />
AAAAAAAAAAA<br />
AAAAAAAAAAA<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
u<br />
O n;exscc u<br />
u u u<br />
O ex;scc u O ex;cc<br />
Le p carre rond<br />
2 comme<br />
rationnel<br />
objets<br />
mathematiques<br />
(@ 0 < @ < @ 1 )<br />
objets<br />
empiriques<br />
(Le monstre<br />
du Loch Ness)<br />
objets<br />
de<br />
fiction<br />
u<br />
@<br />
@@@@@<br />
u<br />
sin 1 x , <br />
le<br />
cent<strong>au</strong>re<br />
u<br />
Mme Bovary<br />
Napoleon,<br />
cet<br />
ordinateur<br />
Figure 1.1: Les objets determines dans la LDO
26 Introduction<br />
probleme n<br />
.<br />
.<br />
Linguistique<br />
.<br />
probleme 1<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
langage formel<br />
6<br />
?<br />
-<br />
modele<br />
Figure 1.2: La modelisation en linguistique d'apres J.-P. Descles
Description de ce travail 27<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
; u<br />
Operateur<br />
S<br />
u@ @@@@@@@@<br />
u<br />
Restricteur<br />
u<br />
Portee nucleaire<br />
Q f g<br />
Tous les hommes sont mortels<br />
Figure 1.3: La quantication linguistique
28 Introduction<br />
la logique<br />
avec variable<br />
@<br />
@<br />
@<br />
@<br />
@<br />
@<br />
@<br />
@<br />
la theorie star<br />
la logique<br />
illative<br />
f ^ :::g<br />
; ;; @<br />
@ LDO<br />
@@I<br />
@ objet<br />
@<br />
@<br />
@<br />
@<br />
u <br />
<br />
prelogique applicatif + combinateurs<br />
@<br />
Figure 1.4: Une classication epistemologique des logiques
Chapitre 2<br />
La categorisation et la<br />
quantication dans la tradition<br />
logico-philosophique<br />
Frege provided the most pl<strong>au</strong>sible general answer yet proposed<br />
to the fundamental question, \What is mathematics ?",<br />
even if his answer cannot yet be unarguably vindicated.<br />
For all his mistakes and omissions, he was the greatest<br />
philosopher of mathematics yet to have written.<br />
M. Dummett, Frege-philosophy of mathematics.<br />
2.1 Introduction<br />
Dans l'article \Les mathematiques et la logique" publie en 1905 dans la revue<br />
Science et methode, Henri Poincare ([Poi86]) ecrit en introduction :<br />
Les mathematiques peuvent-elles ^etre reduites a lalogique sans<br />
avoir a faire appel a des principes qui leur soient propres ? Il y a<br />
toute une ecole pleine d'ardeur et de foi qui s'eorce del'etablir.(. . . )<br />
Dans ces dernieres annees de nombreux trav<strong>au</strong>x ont ete publies sur<br />
les mathematiques pures et la philosophie des mathematiques en vue<br />
de degager et d'isoler les elements logiques du raisonnement mathematique.<br />
Les fondements des mathematiques, le rapport entre la logique et les mathematiques<br />
ont preoccupe les mathematiciens et les logiciens a partir m^eme d'avant<br />
1800 et jusqu'a maintenant. C'est dans ce cadre que se developpe la theorie de<br />
la quantication a l'interieur de la logique.
30 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique<br />
Ce chapitre est un apercu sur les grands axes de la theorie de la quantication<br />
et de la categorisation sous-jacente, jusqu'a son integration totale comme partie<br />
du calcul du premier ordre. Nous presentons le systeme logique de Frege, la quantication<br />
telle qu'elle appara^t chez Peirce, Russell et Peano. Le centre de gravite<br />
est la theorie fregeenne qui reste du point de vue de la logique mathematique moderne<br />
le premier ltre pour la theorie de la quantication. Le systeme categoriel<br />
sous-jacent represente par le systeme conceptuel fregeen { sa notion de fonction,<br />
sa notion de concept, sa notion d'objet, . . . { imprime des caracteristique<br />
epistemologiques a la theorie de la quantication derivee parmi lesquelles, la plus<br />
importante est celle de concevoir le quanticateur comme un operateur.<br />
2.2 L'ideographie fregeenne<br />
Frege est un logicien qui a be<strong>au</strong>coup contribue <strong>au</strong>developpement de la philosophie<br />
du langage. Son uvre est ecrite dans le but d'expliquer \ce que sont les<br />
mathematiques" et de donner des fondements <strong>au</strong>x mathematiques. Cette uvre<br />
n'a pas inuence la logique formelle moderne, dont B. Russell est considere comme<br />
le fondateur, mais elle a donne une ouverture <strong>au</strong> developpementdelamodelisation<br />
dans la semantique du langage.<br />
Ses trois princip<strong>au</strong>x ouvrages sont 1 :<br />
{ Begrisschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des<br />
reinen Denkens (L'ideographie, un langage formel pour la pensee pure),<br />
1879.<br />
{ Die Grundlagen der Arithmetik, eine logisch-mathematische Untersuchung<br />
uber den Begrie der Zahl (Les fondements de l'arithmetique), 1884.<br />
{ Grundgesetze der Aritmetik, begrisschriftlich abgeleitet (Les lois de base<br />
de l'arithmetique), 1893.<br />
Le systeme logique de Frege etait cense^etre \le fondement" de son programme.<br />
Il s'agissait de donner une construction exclusivement logique <strong>au</strong>x mathematiques,<br />
particulierement a l'arithmetique et a l'analyse mathematique. Il voulait<br />
prouver que le contenu exprime par les propositions vraies de l'arithmetique et de<br />
l'analyse mathematique n'a pas un caractere exclusivement mathematique, mais<br />
qu'il represente une verite purement logique. Cette these est formulee pour la<br />
premiere fois en 1884, dans \Die Grundlagen der Arithmetik", en ce qui concerne<br />
1 Dans la bibliographie ces trois ouvrages de Frege sont marques avec l'annee de leur premiere<br />
publication, les <strong>au</strong>tres etant marques par [Fre*aa] ou \aa" est l'annee de la publication de la<br />
traduction.
L'ideographie fregeenne 31<br />
les nombres cardin<strong>au</strong>x. Son systeme logique se voulait ^etre un \generateur" <strong>au</strong><br />
moins de l'arithmetique et de l'analyse mathematique dans le sens ou ilsexait<br />
comme but d'obtenir dans ce systeme tous les theoremes de l'arithmetique et de<br />
l'analyse mathematique comme propositions.<br />
Les principales contributions de l'Ideographie (Der Begrisschrift) de Frege<br />
[Fre879] presentees par J. Heijenoort [Hei77] dans l'article \Ideographie, un langage<br />
des formules pour la pensee pure construit sur le modele de l'arithmetique"<br />
sont :<br />
{ La presentation du calcul propositionnel dans une maniere verifonctionnelle<br />
(proche de la deduction naturelle)<br />
{ L'analyse de la proposition en fonction - arguments a la place de sujet<br />
- predicat <br />
{ La theorie de la quantication <br />
{ La construction d'un systeme logique dans lequel les inferencessontrealisees<br />
exclusivement en concordance avec la forme de l'expression <br />
{ Une denition logique de la notion de suite mathematique.<br />
L'imprecision et l'ambigute du langage ordinaire ont conduit Frege a chercher<br />
un outil be<strong>au</strong>coup plus approprie pour son systeme logique. Il a deni un<br />
nouve<strong>au</strong> mode d'expression, un langage qui s'occupe du \contexte conceptuel"<br />
et qu'il l'a nomme \Begrisschrift" (Ideographie). Cette ideographie est un<br />
\langage des formules" ou une \lingua characterica", un langage ecrit avec des<br />
symboles speci<strong>au</strong>x, pour \la pensee pure", c'est-a-dire libre de toute rhetorique,<br />
modele sur celui de l'arithmetique, construit avec des symboles speci<strong>au</strong>x qui sont<br />
manipules par des regles denies. Frege armait que la logique ne doit pas<br />
mimer l'arithmetique. Les analogies de Boole et d'<strong>au</strong>tres <strong>au</strong>teurs entre la logique<br />
et l'arithmetique (<strong>au</strong>trement inaccomplies) ne sont pas utilisables par Frege<br />
precisement parce qu'il veut utiliser la logique pour prouver un fondement de<br />
l'arithmetique. Il a tenu les symboles logiques a part des symboles arithmetiques.<br />
En 1882, Frege ecrivait:<br />
Mon intention n'etait pas de representer une logique abstraite en<br />
formules, mais d'exprimer un contenu en symboles dans une maniere<br />
be<strong>au</strong>coup plus precise et claire que celle dans laquelle il est presente a<br />
l'aide des mots.<br />
Il ne voulait pas creer un \calculus ratiocinator" comme Hilbert, mais une<br />
\lingua characterica" dans le sens de Leibniz.
32 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique<br />
A partir de l'analyse des propositions des textes mathematiques, Frege s'est<br />
rendu compte que la distinction \sujet { predicat" n'est pas pertinente pour les<br />
propositions mathematiques. Apres une critique de cette classication traditionnelle,<br />
il la remplace par une <strong>au</strong>tre (empruntee <strong>au</strong>x mathematiques, mais adaptee a<br />
la logique) : \fonction { arguments". Frege commence son analyse en considerant<br />
une proposition ordinaire et en remarquant que l'expression garde du sens si on<br />
remplace certains mots par d'<strong>au</strong>tres. Un mot qui peut ^etre substitue successivement<br />
occupe une place argument. Il introduit des lettres pour les fonctions et des<br />
lettres pour les arguments et donne des instructions pour manipuler ces lettres.<br />
Il ne denit pas ici la notion de fonction. Cette notion sera denie plus tard dans<br />
\Grundgesetze der Aritmetik". Il dit simplement qu'une lettre de fonction doit<br />
contenir entre parentheses un argument <strong>au</strong>quel on attribue une valeur.<br />
Dans la preface de \Begrisschrift" Frege ecrivait :<br />
Dans l'apprehension d'une verite scientique nous passons, comme<br />
regle, par plusieurs degres de certitude. Probablement, en premier,<br />
nous faisons une conjecture basee sur un nombre insusant de cas<br />
particuliers, une proposition generale commence a^etre deplusenplus<br />
s^urement etablie en etant reliee a d'<strong>au</strong>tres verites par des cha^nes<br />
d'inferences s'il y a des consequences derivees de cette proposition,<br />
conrmees par un moyen ou un <strong>au</strong>tre, ou si elle resulte comme la<br />
consequence d'une proposition deja etablie. Nous pouvons nous demander<br />
d'un c^ote, comment on peut arriver d'une maniere graduee<br />
a une proposition donnee, de l'<strong>au</strong>tre c^ote, comment on peut prouver<br />
cette proposition avec les fondements les plus s^urs. La reponse est<br />
reliee a la nature intrinseque de la proposition consideree. La maniere<br />
la plus habituelle de realiser une demonstration est de suivre lalogique<br />
pure. Nous divisons une verite qui demande une justication en deux<br />
parties :<br />
{ celle selon laquelle la demonstration peut ^etre construite par des<br />
moyens purement logiques.<br />
{ celle selon laquelle il f<strong>au</strong>t prendre enconsideration des faits de<br />
l'experience.<br />
Frege construit son systeme logique pour fonder le raisonnement mathematique<br />
et, implicitement, il doit s'interroger sur la nature de la proposition. Son<br />
analyse porte sur les propositions mathematiques, mais elle peut ^etre etendue<br />
en general, a toute proposition de la langue. Il arme ses idees sur la nature<br />
cognitive de la proposition de la maniere suivante :<br />
Mais ce qu'une proposition est en premier est sa compatibilite dans<br />
la pensee humaine avec l'activite sensorielle. Il ne s'agit pas ici d'une
L'ideographie fregeenne 33<br />
genese psychologique, mais la meilleure methode de demonstration se<br />
trouve a labase de la classication.<br />
Son \Begrisschrift" est \un langage des formules pour la pensee pure". La<br />
logique a toujours employe le langage ordinaire et elle reste tres proche de la grammaire.<br />
Voila comment il caracterise la relation entre le langage de son systeme<br />
logique et le langage ordinaire en justiant en m^eme temps son choix pour l'analyse<br />
de la proposition dans la forme fonction { arguments.<br />
Je crois que j'ai reussi a mieux etablir la relation entre mon ideographie<br />
et le langage ordinaire. Il est facile de voir comment regarder<br />
un contenu (propositionnel) comme une fonction de ses arguments et<br />
comment ce processus conduit a la <strong>format</strong>ion des concepts. Le remplacement<br />
sujet { predicat par fonction { arguments s'impose.<br />
Dans les trois premieres parties de ce sous-chapitre nous presentons l'ideographie<br />
fregeenne comme systeme logique, sa theorie de la quantication et<br />
une analyse de son systeme conceptuel telles qu'elles sont presentees dans \Les<br />
fondements de l'arithmetique" et dans \Les lois de base de l'arithmetique".<br />
2.2.1 La description de l'ideographie fregeenne<br />
2.2.1.1 Le jugement<br />
Les symboles utilises dans ce systeme logique sont de deux types :<br />
{ ceux par lesquels nous nommons les dierents objets { les lettres.<br />
{ ceux qui ont un sens totalement determine.<br />
Le premier symbole introduit par Frege est concu pour exprimer le jugement ou<br />
l'assertion. Pour Frege une proposition A est caracterisee du point de vue semantique<br />
par un contenu propositionnel. Un jugement est forme par deux parties :<br />
la partie du contenu et la partie d'assertion. Il y a des contenus qui ne peuvent<br />
pas devenir des jugements, par exemple \maison".<br />
Le symbole pour le jugement (assertion) est :<br />
La barre horizontale represente la barre du contenu propositionnel. Le symbole<br />
:<br />
se lit : Le contenu propositionnel de A.<br />
A
34 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique<br />
La barre verticale est celle de l'assertion. Le symbole :<br />
A<br />
se lit : Le contenu de A est arme ou A a lieu.<br />
Le seul predicat de l'ideographie est :<br />
Tous les types de jugement distingues par les logiciens : categorique, hypothetique,<br />
disjonctif ont une signication exclusivement grammaticale et on<br />
peut les ignorer. Les distinctions en ce qui concerne les modalites peuvent ^etre<br />
ignorees elle se referent plut^ot a un arriere-plan du jugement qu'<strong>au</strong> jugement<br />
lui-m^eme. C'est la raison pour laquelle Frege choisit comme seuls connecteurs de<br />
son calcul du premier ordre l'implication et la negation.<br />
2.2.1.2 Sujet { predicat contenu conceptuel<br />
Frege renonce a la distinction entre le sujet et le predicat propre a la logique<br />
traditionnelle et a la grammaire :<br />
La distinction sujet { predicat doit ^etre ignoree la proposition doit<br />
^etre vue comme un jugement.<br />
Il justie cette position par la remarque que deux jugements peuvent ^etre<br />
relies de deux manieres dierentes :<br />
{ Les consequences derivables du premier quand il est combine avec d'<strong>au</strong>tres<br />
jugements resultent toujours du deuxieme combine avec les m^emes jugements<br />
et inversement. Par exemple : les deux jugements \Archimede a peri<br />
a la prise de Syracuse" et \La mort violente d'Archimede a la prise de<br />
Syracuse est un fait connu" sont dans ce premier cas.<br />
{ Ce n'est pas le cas ci-dessus. Les jugements \Archimede a peri a la prise de<br />
Syracuse" et \Socrate est sage" sont dans ce cas-la.<br />
Dans les deux cas nous n'avons pas besoin de mettre en evidence la distinction<br />
sujet { predicat, par contre l'important est de thematiser la distinction fonction {<br />
arguments. Frege commence son analyse en considerant une proposition ordinaire<br />
et en remarquant que l'expression garde un sens si on remplace certains mots par<br />
d'<strong>au</strong>tres. Un mot qui peut ^etre substitue successivement en gardant le sens de la<br />
proposition occupe une place argument et ce mot represente la partie variable de<br />
la proposition. Un mot qui ne peut ^etre substitue sans changer le sens represente<br />
la partie stable de la proposition.
L'ideographie fregeenne 35<br />
2.2.1.3 L'implication<br />
Le connecteur d'implication est introduit comme representant l'assertion : \le<br />
jugement A n'est pas nie tant que le jugement B est arme".<br />
L'implication est denie par rapport <strong>au</strong>x quatre conditions suivantes :<br />
(1) A armee et B armee<br />
(2) A armee etBniee<br />
(3) A niee et B armee<br />
(4) A niee et B niee<br />
Le symbole :<br />
se lit : B implique A<br />
A<br />
B<br />
Il represente une des conditions (1), (2) ou (4).<br />
La barre verticale qui relie le contenu de B du contenu de A est la barre de<br />
condition.<br />
Frege reconna^t que ce symbole n'exprime pas toute la \force" de \si...alors".<br />
Le sens de la barre de condition est rendu par le \si...alors" seulement quand B est<br />
connectea A en conformite avec une certaine loi. Il va plus loin en suggerant que<br />
la connexion doit ^etre c<strong>au</strong>sale et donne cet exemple de \c<strong>au</strong>salite" en geometrie:<br />
Si ce champ a la forme d'un triangle rectangle, alors le carre de<br />
son c^ote le plus grand est egale a la somme des carres de deux <strong>au</strong>tres<br />
c^otes.<br />
Frege note la dierence entre la denition de l'implication et l'utilisation ordinaire<br />
de la locution \si...alors". En fait, l'implication n'exprime que certaines<br />
valeurs de \si...alors" de la langue naturelle.<br />
2.2.1.4 La negation<br />
Le symbole de la negation est exprime par la barre de negation. La negation<br />
est un adjoint du contenu propositionnel. Frege ecrivait:<br />
Je considere be<strong>au</strong>coup plus approprie que la negation soit un adjoint<br />
du contenu.<br />
Le symbole :
36 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique<br />
se lit : Aneserealise pas ou A n'a pas lieu.<br />
La petite barre verticale est la barre de negation.<br />
Le symbole :<br />
represente le contenu de non-A.<br />
A<br />
A<br />
La barre de negation est rattachee a la barre du contenu propositionnel, donc<br />
Frege considere la negation comme un operateur qui agit sur le contenu propositionnel.<br />
Une expression de l'assertion d'un contenu propositionnel et de l'assertion<br />
de la negation d'un contenu propositionnel utilisant des primitives et la logique<br />
combinatoire est presentee en A (III).<br />
2.2.1.5 Autres connecteurs du calcul propositionnel<br />
1. La disjonction _. La disjonction _ est representee en utilisant :<br />
A _ B :B A<br />
Le symbole pour A _ Best:<br />
A<br />
B<br />
2. La conjonction ^. La conjonction ^ est representee en utilisant :<br />
A ^ B :(B :A)<br />
Le symbole pour A ^ Best:<br />
A<br />
B<br />
3. Le \ou exclusif" : \soit...soit". Le \ou exclusif" est represente en utilisant :<br />
(B :A) ^ (: B A)<br />
ou<br />
(: B _:A) ^ (B _ A)<br />
ou
L'ideographie fregeenne 37<br />
(: B ^ A) _ (B^:A)<br />
Le symbole pour la premiere est :<br />
A<br />
B<br />
A<br />
B<br />
4. Le \non" inclusif : \ni...ni". Le \non" inclusif est represente en utilisant :<br />
:(: B A)<br />
ou<br />
: (B _ A)<br />
ou<br />
: B ^:A<br />
Le symbole pour la premiere est :<br />
A<br />
B<br />
En fait la barre d'assertion n'est pas le symbole de la prise en charge du<br />
contenu, mais le symbole qui permet de munir le contenu propositionnel de la<br />
valeur de verite \vrai" 2 . Ainsi, la traduction dans le symbolisme actuel (la theorie<br />
des modeles 3 ) du calcul du premier ordre de ces trois premiers symboles de Frege<br />
est :<br />
2 > pour \vrai" et ? pour \f<strong>au</strong>x"<br />
3 Le calcul du premier ordre est presente dans le chapitre 5
38 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique<br />
L'ideographie de Frege<br />
A<br />
A<br />
A<br />
La theorie des modeles<br />
v(A) = ><br />
A<br />
v(A) = ?<br />
Frege introduit un <strong>au</strong>tre predicat, le predicat de l'identite, deni par :<br />
A B<br />
Ce symbole se lit : L'equivalence des contenus propositionnels de A et<br />
de B est armee ou AetBontlem^eme contenu conceptuel.<br />
2.2.1.6 Les regles d'inference<br />
Frege considere comme regles d'inference le \modus ponens", une de ses variantes<br />
consideree par Aristote et BARBARA.<br />
Le \modus ponens" :<br />
B A,B<br />
A<br />
La traduction du \modus ponens" dans l'ideographie est :<br />
La variante d'Aristote est :<br />
A<br />
B<br />
B<br />
A<br />
C (B A),C,B<br />
A<br />
Sa traduction dans l'ideographie est :
L'ideographie fregeenne 39<br />
A<br />
B<br />
C<br />
C<br />
B<br />
A<br />
B<br />
A<br />
B<br />
La regle \BARBARA" est :<br />
(c b) ((b a) (c a))<br />
Elle est representee dans l'ideographie fregeenne par :<br />
a<br />
2.2.1.7 La fonction<br />
La denition d'une fonction dans l'ideographie est donnee par :<br />
Si dans une expression dont le contenu ne peut ^etre capable de<br />
devenir un jugement, un symbole simple ou compose a plusieurs occurrences<br />
et si on regarde ce symbole comme etant remplacable dans<br />
toutes ses occurrences par quelque chose d'<strong>au</strong>tre, alors nous appelons<br />
\fonction" la partie invariante dans l'expression et \argument" la partie<br />
remplacable. Par exemple :<br />
Le nombre 20peut ^etre ecrit comme la somme de 4 carres.<br />
Tout entier positif peut ^etre ecrit comme la somme de 4 carres.<br />
La fonction est \^etre ecrit comme la somme de 4 carres". Le<br />
concept \tout entier positif" est remplacable par le concept \le nombre<br />
20". Ce dernier est l'argument. Les deux concepts ne sont pas des<br />
concepts du m^eme rang.<br />
Frege considere des fonctions d'une seule variable ou de plusieurs variables.<br />
Pour lui le symbole \(A)" represente la fonction d'argument A.<br />
c<br />
a<br />
b<br />
b<br />
c
40 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique<br />
Le symbole :<br />
(A)<br />
se lit : A a la propriete .<br />
Donc, ce symbole represente l'assertion :<br />
(A) = ><br />
Le symbole<br />
(A,B)<br />
se lit : B est en relation avec A.<br />
Donc,<br />
(A,B) = >.<br />
2.2.1.8 Les axiomes du systeme fregeen<br />
Frege donne comme axiomes de son systeme un groupe de neuf axiomes, appeles<br />
\lois de la pensee pure". Ce sont :<br />
A<br />
B<br />
A A (B A)<br />
La premiere loi de la conditionnalite<br />
A<br />
C<br />
B<br />
C<br />
A<br />
B<br />
C<br />
(C (B A)) ((C B) (C A))<br />
La deuxieme loi de la conditionnalite
L'ideographie fregeenne 41<br />
A<br />
C<br />
B<br />
A<br />
B<br />
C<br />
(C (B A)) (B (C A))<br />
La troisieme loi de la conditionnalite<br />
B<br />
A<br />
A<br />
B<br />
(B A) ( : A :B)<br />
Modus tolens (La premiere loi de la negation)<br />
A<br />
A<br />
::A A<br />
La deuxieme loi de la negation<br />
A<br />
A<br />
A ::A<br />
La troisieme loi de la negation<br />
(D)<br />
(C)<br />
C D<br />
si C D, alors (C) (D)<br />
La premiere loi fondamentale de l'identite
42 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique<br />
C C<br />
La deuxieme loi fondamentale de l'identite<br />
x<br />
(C)<br />
(x)<br />
si ((8 x) (x)), alors (C)<br />
L'instanciation<br />
Nous pouvons remarquer que la premiere loi de la conditionnalite est l'axiome<br />
5 de la logique classique (voir le chapitre 7) qui etait remis en c<strong>au</strong>se par Heyting<br />
et Kolmogorov dans la construction du systeme d'axiomes de la logique intuitionniste.<br />
2.2.2 La theorie fregeenne de la quantication<br />
2.2.2.1 Le quanticateur universel<br />
Frege denit le quanticateur universel en denissant \l'expression de la generalite"<br />
. Il arme que :<br />
Dans l'expression d'un jugement nous pouvons toujours regarder<br />
la combinaison des symboles a droite du symbole :<br />
comme une fonction des symboles qui apparaissent dans cette fonction.<br />
Si nous remplacons cet argument par une lettre gothique et si<br />
nous rajoutons dans la barredecontenu une concavite avec cette lettre<br />
gothique :<br />
(a)<br />
a<br />
nous obtenons le jugement :<br />
Si on prend quoi que ce soit pour l'argument de la fonction, la<br />
fonction est un fait.<br />
Toute <strong>au</strong>tre condition a imposer a l'argument doit ^etre incorporee<br />
dans le jugement.<br />
Il continue :<br />
La barre horizontale a g<strong>au</strong>che de la concavite du symbole :
L'ideographie fregeenne 43<br />
(a)<br />
a<br />
est la barredecontenu pour la circonstance ou quel que soit l'objet qui<br />
remplace a, (a) a lieu. La barre horizontale a droite de la concavite<br />
de ce symbole est la barre decontenu de (a) et ici nous devons nous<br />
imaginer que quelque chose de deni a ete substitue alaplacede a.<br />
L'expression :<br />
X(a)<br />
a<br />
represente le contenu du jugement :<br />
et<br />
X(a)<br />
a<br />
.<br />
Cette expression peut<br />
<br />
^etre une partie des jugements :<br />
X(a)<br />
a<br />
<br />
a<br />
A<br />
X(a)<br />
De ces jugements nous ne pouvons pas deduire d'<strong>au</strong>tres jugements moins<br />
gener<strong>au</strong>x, en substituant a a par un objet deni, comme nous le pouvons faire du<br />
jugement :<br />
X(a)<br />
a<br />
Frege arme que la concavite du symbole de l'expression de la \generalite"<br />
avec la lettre gothique a l'interieur est necessaire parce qu'elle delimite \la portee"<br />
que cette lettre couvre. Cette lettre garde un m^eme sens seulement a l'interieur<br />
de sa propre portee. La portee d'une lettre peut comprendre la portee d'une<br />
<strong>au</strong>tre, comme dans l'exemple :<br />
<br />
a<br />
e<br />
X(a)<br />
Y(a, e)<br />
Les deux lettres doivent ^etre dierentes nous nous pouvons pas mettre e a la<br />
place de a. La substitution d'une lettre gothique par une <strong>au</strong>tre est permise avec<br />
trois prec<strong>au</strong>tions :<br />
{ La substitution doit se faire partout dans la portee
44 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique<br />
{ La substitution est permise seulement si la concavite est juste apres la<br />
barre de jugement, c'est-a-dire que la portee de la lettre est representee par<br />
le contenu entier du jugement <br />
{ Nous ne pouvons pas substituer une lettre par une <strong>au</strong>tre qui appara^t deja<br />
dans la portee de la premiere.<br />
Frege introduit une <strong>au</strong>tre<br />
<br />
notation (il l'appelle \abreviation" ) pour :<br />
X(a)<br />
a<br />
et notamment:<br />
X(a)<br />
et<br />
Il montre que cette notation est possible a c<strong>au</strong>se de l'equivalence entre :<br />
(a)<br />
A<br />
(a)<br />
a<br />
A<br />
si a n'appara^t pas dans A.<br />
L'usage des lettres dans l'ideographie de Frege est important : pour les variables<br />
quantiees il utilise les lettres gothiques, pour les variables libres les minuscules<br />
latines en italique, pour les propositions les majuscules latines. La notion<br />
de variable, de variable libre et de variable liee est donnee par l'usage des lettres,<br />
d'une maniere semiotique.<br />
Il montre <strong>au</strong>ssi que de :<br />
on deduit :<br />
(a)<br />
A<br />
B<br />
(a)<br />
a A<br />
B.<br />
2.2.2.2 Le quanticateur existentiel<br />
Le quanticateur existentiel<br />
<br />
est introduit par :<br />
X(a)<br />
a
L'ideographie fregeenne 45<br />
L'explication de cette formule est : \nous pouvons trouver un objet A tel que<br />
X(A) est nie" ou \il y a des objets qui n'ont pas la propriete X".<br />
Le sens de cette formule<br />
<br />
diere de celui de la formule :<br />
a X(a)<br />
qui signie \pour tout a, X(a) est nie" ou \ il n'y a rien qui a la propriete X".<br />
Le contenu du jugement<br />
X(a)<br />
a<br />
est nie par:<br />
X(a)<br />
a<br />
En fait, le quanticateur existentiel est donne par:<br />
X(a)<br />
a<br />
traduisant Il existe des a qui ont la propriete X.<br />
La formule :<br />
P(a)<br />
a<br />
X(a)<br />
represente : \quel que soit ce qu'on met a la place de a, le cas dans lequel P(a)<br />
est nie etX(a) arme n'a pas lieu", c'est-a-dire : Tout X est P.<br />
La formule :<br />
P(a)<br />
a<br />
X(a)<br />
signie : Aucun X n'est P.<br />
La formule :<br />
P(a)<br />
a<br />
X(a)<br />
signie : Il existe des X qui sont P.<br />
La formule :<br />
P(a)<br />
a<br />
X(a)<br />
signie : Il existe des X qui ne sont pas P.<br />
Le carre de l'opposition logique (le carre d'Aristote) est 4 :<br />
4 CO = contradictoire C = contraire SC = sous-contraire SA = subalterne
46 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique<br />
P(a)<br />
a<br />
X(a)<br />
C<br />
P(a)<br />
a<br />
X(a)<br />
SA<br />
P(a)<br />
a<br />
X(a)<br />
@ @<br />
CO @@@@<br />
; ;;;;;<br />
CO<br />
SC<br />
SA<br />
P(a)<br />
a<br />
X(a)<br />
2.2.2.3 L'analyse de la quantication fregeenne<br />
Il est generalement accepte par la commun<strong>au</strong>te des logiciens modernes que<br />
Frege est le fondateur de la theorie de la quantication.<br />
Nous allons entreprendre une breve analyse de la quantication fregeenne dans<br />
l'esprit des deux theories logiques modernes : la theorie des modeles et la theorie<br />
de la demonstration 5 Cette analyse conduit d'un c^ote, a mettre en evidence la<br />
valeur du systeme conceptuel de Frege et, de l'<strong>au</strong>tre c^ote, a remarquer quelques<br />
limites de la logique mathematique moderne par rapport <strong>au</strong>x possibilites de ses<br />
applications en dehors des mathematiques.<br />
Le sens des expressions construites dans \l'Ideographie" se trouve dans le<br />
symbolisme m^eme et, par consequence, le sens des operateurs de quantication<br />
doit ^etre recherche dans ces symboles. Les symboles englobent les valeurs de<br />
verite comme le font les regles d'introduction et d'elimination de la deduction<br />
naturelle [Gen55].<br />
\L'ideographie" fregeenne est un langage dans lequel \l'expression de generalite"<br />
appara^t comme un operateur. L'idee de denir le quanticateur comme<br />
un operateur est reprise plus tard et independamment par Curry [Cur58]. A<br />
l'epoque de la \Logique combinatoire" de Curry, latheorie mathematique des<br />
operateurs etait deja developpee. Mais l'interpretation du quanticateur fregeen<br />
comme operateur est proposee pour la premiere fois par J.P. Descles [Des80]. Ni la<br />
theorie des modeles, ni la theorie de la demonstration ne voient le quanticateur<br />
comme un operateur, les deux etant construites et restant dans une demarche<br />
ensembliste et non pas dans une demarche fonctionnelle.<br />
5 Elles sont presentees du point de vue formel dans le chapitre 7.
L'ideographie fregeenne 47<br />
Les caracteristiques de la quantication fregeenne s'inscrivent dans la description<br />
generale de son systeme logique, dans la construction de son \ideographie"<br />
et surtout dans son caractere verifonctionnel :<br />
{ Frege distingue la variable de l'objet m^eme si <strong>au</strong> momentou il met les bases<br />
de la theorie de la quantication il ne parle pas d'objets. Son symbolisme<br />
est tres parlant. Dans la formule d'une fonction (A), A est une variable,<br />
mais dans l'assertion :<br />
A est un objet.<br />
Dans la formule<br />
a est une variable.<br />
(A)<br />
(a)<br />
{ Frege distingue la variable libre de la variable liee par l'usage des lettres<br />
minuscules latines en italique et des lettres gothiques plus tard dans \Les<br />
fondements de l'arithmetique" son systeme conceptuel se cristallise et nous<br />
trouvons ici une analyse du statut de la variable.<br />
{ Frege denit la portee d'une variable par rapport a un quanticateur comme<br />
etant le domaine d'action du quanticateur marque par cette variable. Il<br />
decrit ce domaine comme etant le contenu du jugement qui contient la<br />
concavite avec la lettre gothique de la variable. La portee a une \forme<br />
graphique" elle est la partie g<strong>au</strong>che de la barre du contenu a partir de la<br />
barre du jugement jusqu'a la concavite y compris la concavite:<br />
la portee<br />
(a)<br />
a<br />
Cette imagerie facilite la distinction des portees disjointes et des portees<br />
non-disjointes.<br />
L'ecriture de Frege :<br />
X(a)<br />
a<br />
met mieux en evidence la portee par rapport a l'ecriture moderne :<br />
(8 a) ((a))
48 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique<br />
{ Le quanticateur pour Frege est un operateur qui s'applique a un predicat<br />
n-aire pour rendre un predicat (n-1)-aire. Les deux operateurs de quanti-<br />
cation generale et les deux operateurs de quantication restreinte sont :<br />
(8x) (f(x))<br />
x f(x)<br />
(9x) (f(x))<br />
x f(x)<br />
(8x) (f(x) g(x)))<br />
x g(x)<br />
f(x)<br />
(9x) (f(x) ^ g(x))<br />
x g(x)<br />
f(x)<br />
{ La substitution pour Frege se traduit par :<br />
A B<br />
(A ) (B)<br />
m^eme siFrege ne donne explicitement <strong>au</strong>cune regle de substitution.<br />
Pour Frege la substitution est une substitution <strong>au</strong> nive<strong>au</strong> de la variable (certaines<br />
lettres sont remplacees par d'<strong>au</strong>tres lettres). Nous pouvons appeler<br />
cette substitution substitution atomique. C'est a c<strong>au</strong>se de son symbolisme.<br />
Ses formules sont composees de deux types des symboles : les lettres pour<br />
les fonctions, les variables, les constantes, les predicats et les propositions et<br />
les <strong>au</strong>tres symboles graphiques pour les operateurs. Il peut remplacer une<br />
lettre par une <strong>au</strong>tre. Pour remplacer une formule, il encha^ne les symboles<br />
graphiques.<br />
Frege donne des regles pour la substitution : la substitution est permise<br />
pour des portees distinctes, elle doit ^etre realisee avec des prec<strong>au</strong>tions pour<br />
les portees incidentes.
L'ideographie fregeenne 49<br />
{ Nous considerons l'equivalence posee par Frege entre :<br />
X(a)<br />
a<br />
et<br />
X(a)<br />
comme une expression globale des deux regles d'introduction et d'elimination<br />
du quanticateur universel dans la deduction naturelle (voir le chapitre<br />
7).<br />
L'utilisation des quanticateurs pour lier les variables et leur denir une portee<br />
est la plus importante caracteristique de la logique moderne et elle represente<br />
l'outil qui a rendu la logique, en tant que langage, superieure non seulement <strong>au</strong><br />
langage ordinaire, mais m^eme <strong>au</strong>x <strong>au</strong>tres symbolismes algebriques.<br />
Le mecanisme de la quantication, considere comme un grand acquis de<br />
la logique moderne tel qu'il est deni par Frege, a fait du calcul du premier<br />
ordre un outil pour l'etude des fondements des mathematiques et egalement une<br />
semantique formelle des langues naturelles. En ce qui concerne sa deuxieme valence,<br />
il s'est avere bient^ot insusant pour une analyse approfondie des langues<br />
naturelles. La quantication fregeenne est adequate pour l'analyse du langage<br />
mathematique, mais elle eace des categories linguistiques importantes pour<br />
l'analyse du langage ordinaire et pour une formalisation de cette analyse. Et surtout<br />
la categorisation traditionnelle sujet { predicat est eacee par cette theorie<br />
de la quantication. Une remise en c<strong>au</strong>se de cette theorie a ete faite par les postfregeens<br />
qui ont essaye de construire des formalismes qui unient les acquis de<br />
la theorie traditionnelle de la quantication avec les necessites imposees par la<br />
linguistique. Un de ces formalismes est presente dans le chapitre 3.<br />
2.2.3 Le systeme conceptuel fregeen<br />
\C'est seulement dans le contexte d'une proposition<br />
qu'un nom tient lieu de quelque chose."<br />
G. Frege, Les fondements de l'arithmetique.<br />
Dans l'avant-propos du livre \Philosophie de la logique" [Dum92], Michael<br />
Dummett disait :<br />
Au cours de la premiere moitiedece siecle, la philosophie occidentale<br />
s'est fragmentee plus qu'elle ne l'a jamais fait dans son histoire.<br />
Des signes avant-coureurs montrent que l'on est en train de remedier
50 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique<br />
a cet etat de choses. Dans le domaine analytique, on considere <strong>au</strong>jourd'hui<br />
qu'un secteur <strong>au</strong>paravant non reconnu de la philosophie, qu'il<br />
est preferable de designer par l'expression \philosophie de la pensee"<br />
est a labase de toute entreprise philosophique.<br />
Cette discipline comprend une theorie de la structure des pensees<br />
et de leurs relations, et une explication de ce que la saisie de ces<br />
pensees implique ou comporte. Si l'on accepte comme je le fais, ce qui<br />
aete traditionnellement reconnu comme le principe fondamental de la<br />
philosophie analytique, a savoir que l'on ne peut aborder l'analyse philosophique<br />
de la pensee que par le biais d'une analyse philosophique de<br />
son expression dans le langage, ou tout <strong>au</strong> moins, qu'il est preferable<br />
de l'aborder de cette maniere, alors la philosophie de la pensee doit<br />
prendre la forme d'une theorie de la signication linguistique.<br />
Une theorie semantique d'apres M. Dummett doit ^etre construite a partir de<br />
la \philosophie de la pensee". M^eme si notre opinion est dierente, et notamment<br />
qu'une theorie semantique doit ^etre elaboree a la frontiere de plusieurs domaines :<br />
la linguistique, la logique, les mathematiques, la philosophie de la pensee et les<br />
sciences cognitives, il f<strong>au</strong>t reconna^tre le r^ole de la philosophie analytique dans<br />
une telle construction.<br />
Et Frege reste, pour paraphraser Dummett, \le plus grand philosophe du<br />
langage" du dernier siecle. Son systeme conceptuel se trouve explicitement ou<br />
implicitementa la base de toute semantique du langage. M^eme s'il n'a pas reussi<br />
a creer un systeme logique qui represente les fondements des mathematiques<br />
comme il l'<strong>au</strong>rait voulu, son systeme logique deviendra le fondement de plusieurs<br />
theories semantiques du langage.<br />
M. Furth, un des commentateurs de Frege [Fre*67], arme :<br />
Les explications de Frege concernant les bases primitives de son<br />
systeme logique et, particulierement son symbolisme primitif determinent<br />
une interpretation semantique profonde qui, a son tour determine<br />
toute une philosophie du langage. Cette philosophie du langage<br />
est tres profonde, d'un grand inter^et et relativement independante du<br />
\logicisme 6 "dudepart.<br />
Frege construit son systeme conceptuel a partir du langage. Son modele est la<br />
langue naturelle. Son but est de donner des fondements <strong>au</strong>x mathematiques. Si<br />
dans \l'Ideographie" les concepts restent <strong>au</strong> nive<strong>au</strong> du semiotisme (c'est la force<br />
du symbole qui denit le concept), dans \Les fondements de l'arithmetique" et<br />
surtout dans \Les lois de base de l'arithmetique" le systeme conceptuel est deni<br />
explicitement.<br />
6 le nom sous lequel est connu le systeme de l'Ideographie.
L'ideographie fregeenne 51<br />
Frege denit les primitives de ce systeme, appelees par Furth [Fre*67] \termes<br />
quasi-techniques", en les regroupant par paires :<br />
{ 1. Le nom { sens et denotation <br />
{ 2. La fonction { fonction et objet <br />
{ 3. Nom et etiquette <br />
{ 4. Fonction et parcours de valeurs <br />
{ 5. Nom (etiquette) des valeurs de verite et assertion.<br />
2.2.3.1 Le nom { sens et denotation<br />
Frege commence par la description des expressions nominales, les noms. Pour<br />
lui, les noms, dans une premiere classication, sont de deux grandes categories :<br />
{ Les noms complets : un nom complet nomme un objet 7 <br />
{ Les noms incomplets : un nom incomplet nomme une fonction. Exemples :<br />
{ Le frere a^ne de()<br />
{ () 2 (la fonction carre)<br />
Les noms complets se classient en :<br />
{ Les noms simples : un nom simple ou elementaire est forme d'une seule<br />
partie. Exemples :<br />
{ Napoleon Bonaparte, Venus (comme planete) 8<br />
{ Nessus (le cent<strong>au</strong>re), Venus (la deesse) 9<br />
{ les nombres : 9, 7, etc.<br />
{ Les noms complexes : un nom complexe est forme de noms simples comme<br />
parties propres. Exemples :<br />
{ Le frere a^ne de Napoleon Bonaparte<br />
{ la chemise de Nessus (le cent<strong>au</strong>re)<br />
7 L'objet de Frege est un objet totalement determine dans le systeme de J.P. Descles (voir le<br />
chapitre 6).<br />
8 Ce sont les noms qui nomment les objets totalement determines avec correlat empirique<br />
(voir le chapitre 6).<br />
9 Ce sont les noms qui nomment les objets totalement determines existants potentiels (voir<br />
le chapitre 6).
52 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique<br />
{ le nombre : 9 2 .<br />
Frege explique qu'un nom nomme ou denote un objet. Ainsi, par exemple<br />
le nom \Napoleon Bonaparte" denote l'objet \Napoleon Bonaparte" (l'empereur<br />
francais du XIXeme siecle). La denotation d'un nom incomplet n'est pas un<br />
objet, mais une fonction.<br />
Le sens et la denotation sont denis par les \axiomes" suivants :<br />
a1. Un nom exprime un sens et denote une denotation.<br />
a2. Une certaine relation s'etablit entre sens et denotation.<br />
a3. Le sens d'un nom complexe est une fonction des sens de ses composantes.<br />
a4. La denotation d'un nom complexe est une fonction des denotations de ses<br />
composantes.<br />
a5. Un nom peut exprimer un sens, mais manquer de denotation. Pas l'inverse.<br />
a6. Deux expressions complexes qui ont la m^eme denotation peuvent exprimer<br />
des sens dierents : les noms \2 2 " et \2+2" expriment deux sens dierents,<br />
mais ils ont la m^eme denotation, le nombre 4.<br />
a7. La denotation d'un nom complet est un objet.<br />
Nous pouvons considerer ces 7 \axiomes" comme les axiomes de denition<br />
de ce que Frege appelle sens et denotation. Pour encadrer ces deux notions<br />
fregeennes dans la theorie developpee ulterieurement nous allons faire quelques<br />
commentaires sur les 7 \axiomes" du sens et de la denotation dans l'esprit de la<br />
theorie de J.-P. Descles, decrite dans le chapitre 6.<br />
Tout d'abord les mots \exprime" et \denote" sont des \mots-cles" pour denir<br />
ces deux notions. \Exprime" etablit une correspondance entre les expressions du<br />
langage et les concepts (dans le sens fregeen du mot concept) comme indique dans<br />
le schema 2.1. Dans ce schema:<br />
L est l'ensemble des noms du langage e est la fonction \exprimer" qui associe<br />
a chaque nom un concept, donc qui donne le sens d est la fonction de denotation<br />
qui associe a chaque nom un objet, donc qui donne la denotation f est une<br />
fonction qui ferme le diagramme.<br />
L'axiome a1. postule l'existence des fonctions e et d l'axiome a2. postule<br />
l'existence de la fonction f. Les axiomes a3. et a4. postulent une certaine compositionnalite<br />
<strong>au</strong> nive<strong>au</strong> des ensembles O et C par rapport a la structure du langage.
L'ideographie fregeenne 53<br />
C (concepts-sens)<br />
L<br />
; ;;; e<br />
d<br />
f<br />
@<br />
@@@R<br />
? O (objets-denotation)<br />
Figure 2.1: L'univers conceptuel de Frege<br />
Si on considere l'ensemble L comme un langage applicatif 10 , alors le sens et la<br />
denotation comme applications sont soumises <strong>au</strong> principe de la compositionnalite<br />
:<br />
Le sens d'une expression complexe est une fonction des sens de<br />
ses composantes la denotation d'une expression complexe est une<br />
fonction des denotations de ses composantes.<br />
Dans la theorie de Frege le principe de la compositionnalite occupe une place<br />
importante. Sa theorie est compositionnelle, dans le sens qu'elle respecte ce<br />
principe.<br />
L'axiome a5. postule que la fonction e est une veritable fonction (partout<br />
denie) alors que d est une application (elle n'est pas partout denie). Nous<br />
pouvons remarquer que les objets de Frege sont totalement determines et avec<br />
correlat empirique. L'axiome a6. postule l'existence de noms dierents pour le<br />
m^eme objet, avec des concepts associes dierents. Comme exemple Frege donne<br />
les noms \l'etoile du matin" et \l'etoile du soir" pour le m^eme objet { la planete<br />
Venus { et avec des concepts dierents.<br />
De l'axiome a6., il s'ensuit que la fonction f est injective mais la fonction e<br />
l'est-elle? Apparemment, il n'y a <strong>au</strong>cune raison de donner deux noms dierents<br />
a unm^eme concept. Mais, cette armation est vraie en mathematiques ou dans<br />
un domaine ou la construction est coherente et non-redondante. Dans la langue<br />
ou les procedes stylistiques abondent, ou il n'y a <strong>au</strong>cune compositionnalite <strong>au</strong><br />
sens mathematique, ou on peut nommer la m^eme chose par des mots dierents,<br />
la fonction e n'est injective. Par exemple, on peut nommer la m^eme personne<br />
par \le prince heritier", \le d<strong>au</strong>phin", le concept sous-jacent etant le m^eme.<br />
En ce qui concerne l'axiome a7., Frege considere que la denotation d'un nom<br />
complet est un objet, mais il s'interroge sur la denotation d'un nom de fonction.<br />
Comme les objets fregeens sont des objets totalement determines, il ne peut pas<br />
10 voir la notion de langage applicatif de Curry dans le chapitre 4.
54 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique<br />
accepter comme denotation d'une fonction un <strong>au</strong>tre type d'objet, comme nous le<br />
pouvons [Des99a] et notamment un objet plus ou moins determine 11 .<br />
2.2.3.2 La fonction fonction et objet<br />
Frege part dans sa denition de la fonction de la notion mathematique de<br />
fonction. Il etend cette notion <strong>au</strong> nive<strong>au</strong> conceptuel en postulant que la fonction<br />
est non-saturee alors que l'objet il est sature. Frege fait une analogie entre la<br />
dierence entre un nom incomplet et un nom complet: un nom incomplet peut<br />
^etre complete. Il en resulte un nom complet. Le procede de completion est<br />
syntaxique. L'analogue de ce procede applique pour une fonction est le suivant :<br />
une fonction est une entite non-saturee ou l'argument represente une breche <br />
saturee par un objet (a la place de l'argument), il resulte un objet qui s'appelle<br />
la valeur de la fonction pour cet objet comme argument. L'objet est une entite<br />
saturee il n'y a rien a remplir de plus.<br />
Le concept est une fonction dont les seules valeurs sont les valeurs de verite:<br />
> et ?.<br />
La relation est une fonction de deux arguments avec comme valeurs, les valeurs<br />
de verite.<br />
Les axiomes fregeens pour la notion de fonction sont :<br />
f 1 . La fonction est la denotation d'un nom incomplet.<br />
f 2 .Ladenotation d'un nom incomplet :<br />
f 2:1: Un nom incomplet ne peut pas denoter un objet.<br />
f 2:2: Le nom d'une fonction d'un argument a une denotation <strong>au</strong> cas ou:<br />
si on remplit la place argument par un nom complet qui denote une<br />
denotation on obtient un nom complet qui denote une denotation.<br />
Un objet o est deni d'une maniere unique par :<br />
{ Si on se donne un nom complet A, il existe un objet o tel que A denote o.<br />
{ Si on se donne un objet o, il existe un nom A tel que A denote o.<br />
Mais une fonction ne peut pas ^etre denie par les deux conditions f 2:1: et f 2:2:<br />
parce qu'on peut trouver un nom incomplet B tel que f 2:1: est veriee et f 2:2: ne<br />
l'est pas.<br />
Exemples:<br />
racine carree (), le cent<strong>au</strong>re de () sont des noms incomplets.<br />
Et pourtant les noms complets :<br />
11 voir le chapitre 6.
L'ideographie fregeenne 55<br />
{ p ;2<br />
{ le cent<strong>au</strong>re de Brest<br />
ne denotent pas des objets, parce que p ;2 n'est pas un nombre reel et \le cent<strong>au</strong>re<br />
de Brest" n'existe ni dans la realite nim^eme dans la mythologie.<br />
Le systemef 2:1: et f 2:2: n'est pas necessaire et susant pour nous permettre de<br />
denir le fait qu'un nom denote une denotation.<br />
Frege denit les fonctions de premier nive<strong>au</strong> comme etant les fonctions denies<br />
pour les objets, les fonctions de deuxieme nive<strong>au</strong> comme les fonctions dont les<br />
arguments peuvent ^etre remplaces par des fonctions de premier nive<strong>au</strong> et ainsi<br />
de suite. Le concept pour lui est un cas particulier de fonction.<br />
Le quanticateur universel<br />
<br />
:<br />
(a)<br />
a<br />
est un concept de deuxieme nive<strong>au</strong> avec les valeurs :<br />
8<br />
><<br />
>:<br />
> si l'argument est une fonction de premier nive<strong>au</strong> , telle que<br />
(a) => pour tout a<br />
? sinon<br />
C'est ainsi que Frege thematise l'idee d'operateur et qu'il voit le quanticateur<br />
comme un operateur.<br />
Pour les theoremes du calcul du premier ordre, il dit qu'un tel theoreme arme<br />
que toute fonction de premier nive<strong>au</strong> satisfait une certaine condition de second<br />
nive<strong>au</strong>. Dans le langage de Frege : chaque fonction de premier nive<strong>au</strong> \tombe<br />
sous" un certain concept de second nive<strong>au</strong> avec un nom plus ou moins complexe.<br />
2.2.3.3 Nometetiquette<br />
La distinction nom { etiquette porte sur la distinction objet { variable. Le<br />
nom denote un objet. L'etiquette indique une variable. Le r^ole semantique d'une<br />
variable n'est pas de denoter, mais d'indiquer les membres d'un domaine d'entites<br />
parfaitement denies.<br />
La dichotomie objet { variable est denie par les verbes \denoter { indiquer".<br />
Le verbe \indiquer" exprime pour Frege, l'idee de pointeur qui peut parcourir un<br />
ensemble de valeurs. Il est semblable a l'adresse memoire qui indique une case<br />
ou se trouve un contenu dans la metaphore de l'ordinateur. Quant a l'objet, il<br />
represente le contenu de la case memoire.<br />
Objet et variable peuvent { tous deux { avoir des noms simples ou complexes,<br />
complets ou incomplets, mais la distinction de base est leur \r^ole semantique"<br />
donne par \denoter { indiquer".
56 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique<br />
Nous pouvons interpreterlavariable fregeenne comme un objet plus ou moins<br />
determine et l'objet fregeen comme un objet totalement determine 12 .<br />
2.2.3.4 Fonction et parcours de valeurs<br />
La distinction entre les notions de fonction et parcours de valeurs et de concept<br />
et extension est la plus dicile de l'uvre de Frege et en m^eme temps elle est<br />
l'idee la plus mal comprise. De plus, sa theorie des extensions est inconsistante.<br />
Parcours de valeurs<br />
Le parcours de valeurs (Werthverl<strong>au</strong>f) est ce qu'on appelle <strong>au</strong>jourd'hui, dans la<br />
theorie des fonctions le graphe d'une fonction. Mais la distinction entre fonction<br />
et parcours de valeurs porte sur ce qu'on appelle <strong>au</strong>jourd'hui la fonction vue d'un<br />
point de vue fonctionnel (la denition fonctionnelle de la fonction) et la fonction<br />
vue d'un point de vue ensembliste (la denition ensembliste de la fonction). Du<br />
point de vue fonctionnel, une fonction f est une procedure (moteur) qui construit<br />
a partir d'un objet x, un <strong>au</strong>tre objet y note par f(x). Du point de vue ensembliste<br />
la fonction f est denie par l'ensemble des couples (x y) tels que y = f(x). Nous<br />
pouvons remarquer que le premier point de vue thematise le procede, tandis que<br />
le deuxieme met l'accent sur la donnee initiale et le resultat. Le deuxieme point<br />
de vue est d^u a Dirichlet [Die78]. Il est plus ancien que le premier et donne la<br />
theorie ensembliste des fonctions, theorie qui est a la base de l'ensemble de l'edice<br />
mathematique d'<strong>au</strong>jourd'hui. Le premier, plus nouve<strong>au</strong>, s'est developpe a partir<br />
des trav<strong>au</strong>x de Church [Chu41] et il a donne naissance a la theorie fonctionnelle<br />
des fonctions connue sous le nom de -calcul [Chu41], [Bar84].<br />
Pourquoi les mathematiques modernes se sont-elles developpees dans l'ensemblisme<br />
et non pas dans le fonctionnel? C'est une question qui tient de<br />
l'epistemologie des mathematiques et il est dicile d'y repondre.<br />
Cette dichotomie ensembliste { fonctionnel, m^eme si elle n'est pas thematisee<br />
explicitement par Frege, trouve son expression dans son parcours de valeurs.<br />
Ainsi, une expression de la forme 13 :<br />
(::::::) (1)<br />
rencontree chez Frege peut ^etre lue comme la -fonction:<br />
x(:::x:::) (2)<br />
dans le sens ou la fonction est denie par son procede de construction. La m^eme<br />
fonction peut ^etre denie en termes de classes comme 14 :<br />
^y^x(y = :::x:::) (3)<br />
12 voir la construction de la LDO dans le chapitre 6.<br />
13 La notation est la notation de Frege.<br />
14 La notation est la notation de Frege.
L'ideographie fregeenne 57<br />
La formule (3) denote la classe des couples ordonnes (x y) tels que y est la<br />
valeur de la fonction (::::::) pour l'argument x. Le parcours de valeurs est<br />
deni comme etant cette classe. Frege donne l'exemple suivant : le nom<br />
( +7)<br />
denote la classe qui contient les couples ordonnes tels que (0,7), (1,8), (2,9), etc.<br />
M. Furth [Fre*67] arme que, pour Frege, l'operateur d'abstraction qui forme<br />
un nom d'un parcours de valeurs est primitif et que cet operateur n'est deni en<br />
termes de classes d'abstraction d'<strong>au</strong>cune maniere. Par contre, ce qui correspond<br />
dans cette theorie a une classe est un cas particulier de parcours de valeurs : le<br />
parcours de valeurs d'une fonction dont la valeur pour chaque objet-argument est<br />
une valeur de verite. C'est le parcours de valeurs d'un concept.<br />
Extension<br />
Le parcours de valeurs d'un concept est appele l'extension du concept :<br />
Ext(f) =f(o )=o 2 O 2f> ?gg. (4)<br />
Frege arme :<br />
Une fonction n'est pas le sens exprime par un nom de fonction,<br />
elle est la denotation d'un nom de fonction. Un parcours de valeurs<br />
est la denotation d'un nom de parcours de valeurs et non pas d'un<br />
nom de fonction. Si un parcours de valeurs n'est ni la denotation, ni<br />
le sens de la fonction correspondante, alors comment sont-ils relies ?<br />
Frege repond a cette question en montrant que le parcours de valeurs d'une<br />
fonction est un objet qui est determine par la valeur prise par cette fonction pour<br />
tout objet comme argument. Lorsque les valeurs de deux fonctions pour le m^eme<br />
argument sont les m^emes, on dit qu'elles determinentlem^eme parcours de valeurs.<br />
Inversement, si deux fonctions ont le m^eme parcours de valeurs, alors elles ont<br />
les m^emes valeurs pour les m^emes arguments. Pour un concept, l'extension est<br />
determinee par tous les objets qui \tombent sous" ce concept 15 . Pour Frege,<br />
si pour deux concepts, exactement les m^emes objets tombent sous chacun des<br />
deux, alors on dit qu'ils ont la m^eme extension et inversement. Il est clair que le<br />
parcours de valeurs et l'extension sont denis dans un sens extensionnel classique,<br />
sens dans lequel deux ensembles sont identiques s'ils contiennent exactement les<br />
m^emes elements 16 . Dans la theorie de Frege, les fonctions et les concepts sont<br />
extensionnels. Frege insiste sur les deux faits suivants :<br />
{ La denotation d'un nom de fonction est une fonction et celle d'un nom de<br />
concept est un concept.<br />
15 le verbe \tomber sous" est utilise par Frege.<br />
16 C'est le principe de l'extensionalite de la theorie des ensembles.
58 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique<br />
{ Une fonction est dierente d'un parcours de valeurs parce qu'un parcours de<br />
valeurs est un objet et une fonction ne l'est pas. L'extension d'un concept<br />
est un objet et un concept ne l'est pas. Les objets sont satures, les fonctions<br />
et les concepts ne le sont pas.<br />
Ces deux \faits" synthetisent le statut epistemique de la fonction et de son<br />
parcours de valeurs dans la theorie fregeenne. Pour Frege, deux fonctions sont<br />
egales si elles ont le m^eme parcours de valeurs. C'est l'egalite extensionnelle<br />
des fonctions exprimee par l'axiome V (voir le paragraphe 2.2.3.7). L'idee que<br />
deux fonctions peuvent dierer en tant que procedes de construction m^eme en<br />
ayant le m^eme parcours de valeurs est a la base de la theorie fonctionnelle des<br />
fonctions. Cette idee appara^t chez Frege, mais elle ne represente pas un axiome<br />
de son systeme. Il donne l'exemple d'un concept, celui de conique (la conique en<br />
geometrie). Ce concept peut ^etre deni par deux <strong>au</strong>tres concepts dierents (avec<br />
des intensions 17 dierentes), mais avec la m^eme extension :<br />
{ La courbe obtenue par l'intersection d'un c^one avec un plan <br />
{ La courbe representee en coordonnees cartesiennes par une equation de<br />
second degre.<br />
Il dit que :<br />
Ces expressions n'expriment pas le m^eme sens, n'evoquent pas les<br />
m^emes idees et les m^emes images. Je ne comprends pas par cela qu'un<br />
concept et son extension sont une et la m^eme chose concider en<br />
extensions est un critere necessaire et susant pour que les concepts<br />
soit eg<strong>au</strong>x comme pour la relation d'identite pour les objets.<br />
Dans \Les lois de base<br />
<br />
de l'arithmetique", il arme <strong>au</strong>ssi que de :<br />
a (a)= (a)<br />
on peut inferer l'egalite des parcours de valeurs des fonctions et mais non<br />
pas l'egalite des fonctions m^emes.<br />
Une fonction represente pour son parcours de valeurs ce que le sens represente<br />
pour la denotation. En analysant le concept versus son extension, Frege arme<br />
que \le concept se trouve logiquement avant l'extension" parce que, dans l'essai<br />
de denition de la notion d'extension, nous utilisons inevitablement et tacitement<br />
la notion de concept. La relation entre concept et extension est calquee sur le<br />
modele de l'extensionnel a l'intensionnel. Cette relation denie par les deux theses<br />
suivantes, engendre l'inconsistance de la theorie fregeenne :<br />
17 voir la denition de l'intension du chapitre 6.
L'ideographie fregeenne 59<br />
t 1 . Pour tout concept de premier nive<strong>au</strong> () il existe un certain objet ()<br />
qui represente son extension pour lequel la condition d'identite est celle<br />
fournie dans la loi de base V.<br />
t 2 . Cet objet est un objet \propre" dans le sens qu'il est un argument admissible<br />
pour tout concept de premier nive<strong>au</strong>.<br />
L'inconsistance des deux theses est prouvee en construisant le concept :<br />
() =^etre l'extension d'un concept sous lequel cette extension ne tombe<br />
pas<br />
Nous pouvons constater facilement que ce concept est paradoxal et le paradoxe<br />
provient du statut de l'extension (voir la demonstration en annexe A).<br />
Parmi les deux theses, il f<strong>au</strong>t <strong>au</strong> moins en modier une. La modication de t 2 .<br />
conduit a la construction d'une theorie des types. La modication de t 1 . conduit<br />
a donner une caracterisation <strong>au</strong>x concepts determinantlam^eme extension et cette<br />
caracterisation s'exprime par des conditions qui ont genere plus tard la theorie<br />
axiomatique des ensembles. Une de ces conditions est le principe d'abstraction<br />
des classes :<br />
(9y)(8x)(f(x) $ x 2 y)<br />
Le statut d'objet du parcours de valeurs souleve quelques problemes dont la<br />
reponse n'est pas encore donnee :<br />
{ Pour un objet donne, peut-on decider s'il est ou non un parcours de valeurs?<br />
{ Si oui, a quelle fonction correspond-il?<br />
{ Un parcours de valeurs donne a-t-il ou non une propriete donnee?<br />
La notion de parcours de valeurs presque oubliee en logique est be<strong>au</strong>coup utilisee<br />
<strong>au</strong>jourd'hui par des linguistes dans des tentatives metaphoriques d'expliquer<br />
le \sens" des mots [Cul99c]. Mais ces tentatives sont loin de la notion fregeenne de<br />
parcours de valeurs dont la grande vertu semble-t-il est d'eclaircir la dichotomie<br />
fonctionnel { ensembliste et de justier l'approche fonctionnelle dans certaines<br />
applications de la notion de fonction.<br />
2.2.3.5 Nom (etiquette) des valeurs de verite et d'assertions<br />
La dichotomie objet { variable est denie par les verbes denoter { indiquer.<br />
Un nom denote un objet tandis qu'un nom de variable indique une variable. Les<br />
deux peuvent avoir des noms simples ou complexes, complets ou incomplets, mais<br />
la distinction de base est leur \r^ole semantique" donne par denoter { indiquer.<br />
Un <strong>au</strong>tre r^ole semantique est donne par le verbe \armer". Ce r^ole est joue par
60 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique<br />
les noms de propositions. La denotation d'un nom de proposition est une valeur<br />
de verite et son sens est le jugement. Une seule dierence : la valeur de veriteest<br />
denotee, tandis que le sens il est arme. Pour le nom exprime par le symbole :<br />
p<br />
Frege dit que son sens est \vrai" mais il ne dit rien sur sa denotation.<br />
2.2.3.6 La theorie de l'identite deFrege<br />
Frege developpe une theorie de l'identite qui est basee sur le sens d'une expression<br />
:<br />
Je ne parle jamais du \sens d'une expression" mais du \sens exprime<br />
par une expression". Par contre, le sens \est" le sens d'une<br />
denotation.<br />
La denition de l'identite est donnee par :<br />
Denition 2.1<br />
DansA=B,lesens exprime par A et le sens exprime par B sont les sens d'une<br />
m^eme denotation.<br />
Cette denition exprime le fait que deux expressions A et B sont identiques<br />
si f(e(A)) = f(e(B)) (voir gure 2.1). L'identite est une identite <strong>au</strong> nive<strong>au</strong> des<br />
concepts et non pas <strong>au</strong> nive<strong>au</strong> des objets. Frege arme que ce critere d'identite<br />
etablit la dierence entre \A = A" et \A = B". Le critere donne des conditions<br />
dans lesquelles \A= B" et il verie ces conditions dans le cas \A = A". Ses<br />
conditions sont caracterisables independamment de la langue dans laquelle A et<br />
B sont exprimees.<br />
Le systeme logique de Frege est un systeme construit avec sa theorie de l'identite.<br />
2.2.3.7 Le systeme d'axiomes de \Grundgesetze der Aritmetik"<br />
Les lois de base (axiomes presentes dans \Les lois de base de l'arithmetique")<br />
sont :<br />
I. p (q p) cet axiome est etendu a<br />
tout objet
L'ideographie fregeenne 61<br />
II.(a) (8 x) f(x) f(y) l'instanciation<br />
II.(b) (8 f) G(f) G(g) l'instanciation pour le<br />
second ordre<br />
III. g(x = y) g[(8f)f(y) f(x)]<br />
IV. :(p $:q) (p $ q) cet axiome est etendu a<br />
tout objet<br />
V. ^xf(x) =^xg(x) $ (8x)(f(x) $ g(x)) les fonctions egales ont<br />
le m^eme parcours de<br />
valeurs<br />
VI. y =(x)(y = x)<br />
Dans les lois I et IV les variables ne sont pas que des propositions, mais tout<br />
objet fregeen. La loi III est le principe de l'indiscernabilite des identiques. Les<br />
lois II(a) et II(b) sont les lois de l'instanciation pour la quantication du premier<br />
ordre et du second ordre respectivement. La loi V est la loi qui arme que deux<br />
fonctions sont egales si et seulement si leurs parcours de valeurs sont eg<strong>au</strong>x. Cette<br />
loi represente le noy<strong>au</strong> de la theorie extensionnelle fregeenne.<br />
2.2.3.8 Conclusions sur le systeme fregeen<br />
Le systeme logique de Frege est caracterise par :<br />
{ La presentation du calcul propositionnel dans une maniere verifonctionnelle<br />
(proche de la deduction naturelle) <br />
{ Un systeme logique dans lequel les inferences sont realisees exclusivement<br />
en concordance avec la forme de l'expression <br />
{ L'analyse de la proposition en fonction { arguments a la place de sujet<br />
{ predicat <br />
{ La theorie de la quantication : les quanticateurs vus comme operateurs <br />
{ Une denition logique de la notion de suite mathematique <br />
{ Un univers conceptuel dont les primitives sont : le langage avec ses expressions,<br />
le sens et la denotation, le couple concept { objet, le triplet fonction {<br />
objet { parcours de valeurs et le triplet proposition { jugement { assertion.<br />
{ La distinction entre contenu conceptuel et acte de jugement.<br />
{ Le concept est une fonction.
62 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique<br />
Ce systeme de notions represente une categorisation qui s'avere tres exploitable<br />
pour la formalisation des modeles semantiques du langage.<br />
Les principales critiques du systeme fregeen peuvent ^etre formulees dedeux<br />
points de vue :<br />
{ Du point de vue de la logique moderne la theorie de Frege est une theorie extensionnelle.<br />
Peut-^etre cette caracteristique n'est pas vraiment une critique<br />
tenant compte du fait que la plupart des theories mathematiques modernes<br />
sont construites sur une theorie extensionnelle des ensembles.<br />
{ Du point de vue de son application a l'analyse du langage, le systemefregeen<br />
par son interpretation de la proposition comme fonction { arguments et par<br />
la theorie de la quantication eace la categorisation traditionnelle sujet {<br />
predicat et tous les problemes linguistiques qui en resultent.<br />
Le deuxieme trait caracteristique du systeme fregeen est be<strong>au</strong>coup plus important<br />
et sa remise en c<strong>au</strong>se a engendre d'<strong>au</strong>tres \semantiques du langages" que<br />
nous allons decrire dans les chapitres suivants. La notion fregeenne de concept<br />
reste une notion de base dans plusieurs semantiques du langage plus (J.P. Descles<br />
[Des90b]) ou moins formalisees (B. Pottier [Pot92]), m^eme si sa notion d'objet<br />
subit des modications epistemologiques (voir la LDO { chapitre 6).<br />
2.3 La categorisation et la quantication de<br />
Peirce<br />
Entre 1867 et 1893, S. C. Peirce developpe le calcul du premier ordre dans un<br />
systeme categoriel propre et un symbolisme propre [Pei76], [Pei84].<br />
La semantique de Peirce est construite a partir de quelques denitions :<br />
{ Une proposition vraie est une proposition qui <strong>au</strong> passe, present ou futur<br />
rend une pensee et qui a les trois caracteristiques suivantes :<br />
1. Elle ne peut ^etre niee par personne, elle s'asserte elle-m^eme<br />
2. Il n'y a <strong>au</strong>cun raisonnement qui peut la nier <br />
3. Toute presupposition basee sur cette proposition sera veriee si les<br />
conditions dans lesquelles la proposition initiale est armee sont veri-<br />
ees <br />
{ La realite est tout ce qui est represente par une proposition vraie.
La categorisation et la quantication de Peirce 63<br />
{ Une realite positive ou verite est une proposition pour laquelle les trois<br />
conditions ci-dessus sont veriees.<br />
{ Une realite ideale est une proposition pour laquelle les deux premieres conditions<br />
ci-dessus sont veriees, mais la troisieme n'est pas veriee. C'est le<br />
cas de la verite purement mathematique.<br />
{ Une realite ultime (verite ultime) est une proposition pour laquelle la premiere<br />
condition ci-dessus est veriee, mais qui ne peut ^etre jamais explicitee<br />
par un raisonnement et sur laquelle <strong>au</strong>cune prediction ne peut ^etre faite.<br />
Les objets de Peirce sont denis a partir de la categorisation sujet { predicat.<br />
1. Un objet (individu) est un sujet pour lequel tout predicat est soit universellement<br />
vrai, soit universellement f<strong>au</strong>x.<br />
2. Un objet primitif est un individu ayant des caracteristiques en soi : la durete<br />
d'une pierre, par exemple.<br />
3. Un objet derive est un individu qui n'a pas de caracteristiques en lui-m^eme,<br />
mais des caracteristiques induites par celles d'<strong>au</strong>tres choses : par exemple<br />
le peuple francais est un individu pour lequel toute armation passe par<br />
les armations qui concernent les hommes, le pays etc.<br />
La notion d'individu utilisee par Peirce est en fait la notion d'objet, mais d'un<br />
certain type.<br />
Dans \On the Algebra of Logic" [Pei76] Peirce arme que l'activite humaine<br />
de raisonner est soumise <strong>au</strong>x lois generales de l'activite nerveuse. Il dit :<br />
Notre representation de cette habitude s'appelle \jugement". Une<br />
habitude de croyance commence par ^etre oue, elle devient de plus<br />
en plus precise. Ce processus de developpement qui se produit dans<br />
l'imagination s'appelle \pensee". Un jugement engendre un<strong>au</strong>trejugement.<br />
Ce processus s'appelle \inference". Le jugement antecedent<br />
s'appelle \premisse". Le jugement consequent s'appelle \conclusion".<br />
Pour Peirce le type general d'inference est :<br />
P <br />
C<br />
ou P est la premisse, C la conclusion et le symbole<br />
<br />
est le symbole d'inference.<br />
Peirce reprend l'algebre de la logique de Boole dans un nouve<strong>au</strong> formalisme.<br />
Il arme que la logique presuppose non seulement un symbolisme pour les inferences,<br />
mais <strong>au</strong>ssi un moyen de les soumettre <strong>au</strong> criticisme et, donc, la forme :
64 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique<br />
P C<br />
est insusante. Nous avons besoin de la forme :<br />
P PP C<br />
qui exprime la verite du principe d'inference.<br />
Ici P denote une premisse quelconque d'une classe et C la conclusion correspondante.<br />
Le symbole P P represente la copule et il signie que \tout<br />
etat de choses dans lequel une proposition de la classe P est vraie est un etat de<br />
choses dans lequel les propositions correspondantes de la classe C sont vraies".<br />
Mais la logique presuppose qu'il y a des propositions qui ne sont pas vraies et,<br />
donc, il f<strong>au</strong>t avoir une forme pour nier une inference. Pour Peirce, nier l'inference<br />
se represente par 18 :<br />
P <br />
PP C<br />
D'apres Peirce toutes les formes des propositions sont :<br />
1. A PP B Tout A est B A est une espece de B<br />
2. A PP B<br />
Il y a des A qui ne sont<br />
pas B<br />
A contient une partie<br />
externe a B<br />
3. A PP B Aucun A n'est B A est externe a B<br />
4. A PP B Il y a des A qui sont B A et B ont une partie<br />
commune<br />
5. A <br />
PP B Tout est soit A soit B A contient le<br />
complement deB<br />
18 Une barre sur tout le symbole signie la negation du symbole.
La quantication de Russell 65<br />
6. A <br />
PP B<br />
Il y a quelque chose<br />
qui n'est ni A ni B<br />
A et B ne recouvrent<br />
pas tout l'univers<br />
7. A PP B A comprend tout B A est le genre de B<br />
8. A PP B <br />
A ne comprend pas<br />
tout B<br />
A manque d'une partie<br />
de B<br />
Les quanticateurs sont representes par 1. et 4.<br />
2.4 La quantication de Russell<br />
B. Russell est considere comme le fondateur de la logique formelle moderne.<br />
Son uvre s'inscrit dans le courant des trav<strong>au</strong>x sur la philosophie des mathematiques.<br />
Il est egalement le createur d'une theorie des types, theorie qui voulait<br />
resoudre le celebre paradoxe de la theorie des ensembles connu sous le nom du<br />
\paradoxe de Russell" (voir annexe A).<br />
La quantication appara^t chez B. Russell dans le contexte de sa theorie des<br />
types. Elle est presentee d'une maniere assez informelle et moins precise que chez<br />
Frege.<br />
B. Russell appelle fonction propositionnelle une fonction d'un argument qui<br />
pour une valeur xee de l'argument rend une proposition. Dans \Mathematical<br />
Logic as based on the Theory of Types" [Poi86], il remarque que la distinction<br />
entre :<br />
(1) Armer toute valeur d'une fonction propositionnelle<br />
(2) Armer que la fonction est toujours vraie<br />
appara^t en mathematiques a partir d'Euclide comme la distinction entre general<br />
et particulier.<br />
Dans toute suite de raisonnement mathematique, les objets dont les proprietes<br />
sont etudiees representent les arguments de toute valeur d'une fonction propositionnelle.<br />
Quand on arme \toute valeur d'une fonction propositionnelle" on<br />
arme \la fonction propositionnelle".<br />
Si
66 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique<br />
x (1)<br />
est une fonction propositionnelle, alors on denote par :<br />
(x):x (2)<br />
la proposition \x est toujours vraie".<br />
De facon similaire, (x y):(x y) se lit : \(x y) est toujours vraie".<br />
La distinction entre (1) et (2) est que (1) ne peut ^etre traite comme une<br />
proposition determinee. Quand une valeur d'une fonction propositionnelle est<br />
armee l'argument est appele variable reelle quand une fonction est nommee<br />
\toujours vraie" ou \toujours f<strong>au</strong>sse" l'argument est appele\variable apparente".<br />
Russell arme que la distinction entre les assertions de x et de (x):x aete<br />
faite la premiere fois par Frege.<br />
Dans l'article \La theorie des types logiques" publie en 1910 dans la \Revue<br />
de Metaphysique et de morale" comme reponse a un article de Henri Poincare,<br />
Russell explique sa theorie des types et dans ce cadre, la quantication :<br />
Nous denotons par le symbole (x)x la proposition \x toujours",<br />
c'est-a-direlaproposition qui arme toutes valeurs acomprendre sous<br />
^x. Cette proposition enveloppe la fonction ^x elle-m^eme, et non pas<br />
seulement une valeur ambigue de la fonction. Quand nous jugeons<br />
\Tous les hommes sont mortels" nous croyons a laverite de notre<br />
jugement, mais la notion m^eme de verite n'est pas necessairement<br />
presente a notre esprit.(...)<br />
Quand nous disons \x est une proposition", cela signie que nous<br />
armons quelque chose qui est vrai pour toute valeur possible de x,<br />
bien que nous ne decidions pas quelle valeur peut avoir x. Nous posons<br />
une armation ambigue concernant n'importe quelle valeur de<br />
la fonction. Mais quand nous disons \^x est une fonction" nous ne<br />
posons pas d'armation ambigue.<br />
La quantication pour B. Russell est denie par :<br />
Si x est une fonction propositionnelle, alors :<br />
1. (x):x se lit : \x est toujours vraie"<br />
2. (9x):x se lit : \x est quelquefois vraie" ou \x<br />
pour quelques valeurs de x<br />
Russell appelle la verite de ces deux propositions \verite de second genre" en<br />
l'opposant a laveritedex qui est une \verite de premier genre". Il arme que<br />
les deux \genres de jugement" sont des idees primitives.<br />
Nous pouvons conclure par :
La quantication de Peano 67<br />
{ Russell, en denissant la notion de fonction propositionnelle, denit la notion<br />
de predicat : une fonction propositionnelle est un predicat 1-aire.<br />
{ Il essaie, en expliquant la dierence entre (x):x et ^x, d'expliquer la<br />
dierence entre le predicat P (x) etl'operateur 1 applique acepredicat :<br />
1 P 19 .<br />
{ Il ne voit pas les quanticateurs comme des operateurs.<br />
{ La semantique de (x):x et (9x):x est donnee par les mots de la langue<br />
naturelle \toujours" et \quelquefois" et non pas dans le systeme m^eme.<br />
2.5 La quantication de Peano<br />
Dans \Formules de logique mathematique" [Pea58] Peano denit un symbolisme<br />
du calcul du premier ordre ou on retrouve la quantication.<br />
Quelques denitions :<br />
Cls signie \classe". Il a la valeur du mot \Menge" et correspond a la notion<br />
d'ensemble.<br />
Soient a et b des classes : a b signie \Tout a est b".<br />
Soient P et Q des propositions contenant une variable x :<br />
p x q<br />
signie \de P on deduit Q, quelque soit x" ou \les x qui satisfont a la condition<br />
P satisferont <strong>au</strong>ssi a la condition Q". L'indice x du symbole peut ^etre omis<br />
quand il n'y a pas d'ambigute.<br />
La quantication universelle est exprimee par :<br />
x a : \tout x appartient a laclassea"<br />
ou par<br />
x " P : \tous les x qui verient P"<br />
ou P est une proposition qui contient une variable reelle (variable qui appara^t<br />
dans une formule dont la valeur depend du nom de la lettre). Une telle proposition<br />
est appelee \proposition conditionnelle".<br />
La quantication existentielle est exprimee par :<br />
Soit a une classe.<br />
9a signie \il y a des elements dans a" ou \des a existent".<br />
La proposition \il y a des a qui sont b" est symbolisee par:<br />
9ab<br />
La quantication pour Peano est denie en termes de classes, mais si pour<br />
la quantication universelle le symbolisme est celui de la theorie des ensembles,<br />
pour la quantication existentielle, il introduit le symbole 9 du quanticateur. Il<br />
19 voir les operateurs de Curry, chapitre 7.
68 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique<br />
reste toujours <strong>au</strong> nive<strong>au</strong> de la theorie des ensembles, car sa logique est construite<br />
pour fonder l'arithmetique.<br />
2.6 Conclusions<br />
Dans la tradition logico-philosophique la categorisation est plus ancienne que<br />
la quantication. Parmi les premiers systemes de categorisation se trouve l'arbre<br />
de Porphyre [Des98g]. Les systemes de categorisation de l'antiquite essayaient<br />
de construire des classes a partir des \objets" du monde, classes qui veriaient<br />
certaines criteres. Mais, ce n'est qu'a partir d'Aristote que les categories portent<br />
sur les notions : mathematiques, grammaire, etc.<br />
La logique a partir de Frege se developpe par les \systemes logiques", systemes<br />
qui developpent implicitement des systemes de categorisation sous-jacents. Ce<br />
sont des categorisations <strong>au</strong> nive<strong>au</strong> des concepts propres a chaque systeme logique :<br />
la denition des primitives du systeme et leur classication. Et c'est avec le<br />
systeme m^eme qu'on decrit le systeme categoriel sous-jacent.<br />
La quantication se developpe sous deux formes : une forme empirique { la<br />
prise en compte des propositions du type \Tout homme est mortel" et \Il y a des<br />
hommes qui sont sages" une forme logique { partie d'un systeme logique. C'est<br />
a partir de Frege que cette deuxieme forme se developpe et que la quantication<br />
est integree <strong>au</strong> systeme logique. Aujourd'hui elle fait partie integrante de la<br />
logique classique (le calcul du premier ordre) ou d'<strong>au</strong>tres systemes logiques, dans<br />
des formes modiees. L'integration et la constitution de la quantication dans<br />
une theorie ne se sont pas produites facilement. Il reste toujours des \rudiments<br />
d'empirisme" dans l'expression du mecanisme de la quantication. Cette chose<br />
est due <strong>au</strong> fait que la quantication est basee sur le systeme de categorisation sousjacent<br />
<strong>au</strong> systeme logique. Un systeme categoriel adequat determine la denition<br />
de la quantication comme une sous-partie du systeme. C'est pour cette raison<br />
que le systeme categoriel de Frege (ses primitives : sens { denotation, concept {<br />
objet, fonction { objet) determine l'interpretation de la quantication comme un<br />
systeme d'operateurs avec leur syntaxe et leur semantique.<br />
La quantication dans sa forme \empirique" a continueasedevelopper et nous<br />
pouvons constater cette forme dans les approches de Peirce, Peano et Russell.<br />
Pour les fondements des mathematiques, pour l'etude des paradoxes, m^eme<br />
pour l'epistemologie des mathematiques, l'approche de Russell represente un<br />
point crucial dans le developpement. Son systeme categoriel, represente par sa<br />
theorie des types et qui s'est avere utile pour la formalisation de la theorie des ensembles,<br />
reste limite pour une theorie de la quantication a c<strong>au</strong>se de son caractere<br />
ensembliste.
Conclusions 69<br />
Les \theories de la quantication" de Peirce et Peano n'apportent pas d'elements<br />
nouve<strong>au</strong>x a part leur symbolisme.<br />
Mais Frege est celui qui a essaye d'eclaircir le probleme de la quantication<br />
peut-^etre sans en avoir l'intention bien precise, mais dans le seul but d'esquisser<br />
son systeme logique. Le systeme categoriel de son systeme logique permet<br />
d'interpreter les quanticateurs comme des operateurs et donne une ouverture<br />
\fonctionnelle" a la quantication, m^eme si elle est construite dans une theorie<br />
\ensembliste" par excellence.
70 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique
Chapitre 3<br />
Critique de la quantication<br />
fregeenne par les arguments des<br />
ante-fregeens<br />
... There is as much truth in be<strong>au</strong>ty<br />
as there isbe<strong>au</strong>ty in truth.<br />
F. Sommers<br />
3.1 Introduction<br />
Le systeme logique de Frege n'a pas contribue<strong>au</strong>developpement de la logique<br />
mathematique moderne, mais son systeme conceptuel a be<strong>au</strong>coup inuence la<br />
philosophie du langage.<br />
Dans l'introduction de l'etude sur Frege de Michael Dummett [Dum73] on lit:<br />
Il (Frege) a ete l'initiateur de la periode moderne dans l'etude de la logique. . .<br />
La comprehension de la structure fondamentale du langage et, par consequence,<br />
de la pensee, depend de l'explication correcte de la construction des propositions<br />
et des relations entre elles. Cette explication est la t^ache de la logique. La logique<br />
moderne contrairement <strong>au</strong>x grands systemes logiques anciens { l'antiquite<br />
classique, l'Europe medievale, l'Inde { est capable d'une telle explication gr^ace<br />
<strong>au</strong> mecanisme des quanticateurs et des variables liees. Malgre toutes les subtilites<br />
des systemes anciens, leur analyse de la proposition n'atteint pas la profondeur<br />
de l'analyse realisee par la logique moderne qui est capable de manipuler<br />
un mecanisme general. La decouverte de ce mecanisme et sa signication pour le<br />
langage est due a Frege m^eme s'il n'avait realise que cette t^ache, il <strong>au</strong>rait rendu<br />
un grand service alaconnaissance humaine.
72 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens<br />
Le jugement historique sur la signication de la contribution de Frege a la<br />
logique moderne est standard.<br />
Frege propose le mecanisme de la quantication et l'utilisation des concepts<br />
mathematiques de fonction et d'argument dans l'analyse d'une proposition. Le<br />
quanticateur est pour lui, sans qu'il le dise explicitement, un operateur s'appliquant<br />
a unpredicat n-aire pour construire un predicat (n-1)-aire. Construire une<br />
proposition represente, pour lui, donner des valeurs <strong>au</strong>x arguments d'une fonction<br />
de plusieurs arguments (le predicat). Mais cette analyse eace les notions<br />
linguistiques traditionnelles de sujet et de predicat de l'analyse d'une proposition.<br />
Donner a tous les arguments d'une fonction le m^eme statut, comme le font les<br />
mathematiques est sinon contradictoire <strong>au</strong> moins dierent de la position linguistique.<br />
Celle-ci considere que dans l'analyse d'une proposition, il y a deux entites<br />
syntaxiques de base: le sujet et le predicat, entre lesquelles il y a une relation<br />
bien determinee. Les questions qui se posent naturellement sont:<br />
Peut-on decrire la construction d'une proposition par un type particulier de<br />
fonction dont un des arguments est privilegie par rapport <strong>au</strong>x <strong>au</strong>tres?<br />
Quel type de relations entretient cet argument avec sa fonction et quel est<br />
le type de relations entre la fonction et les <strong>au</strong>tres arguments?<br />
Quel est le statut de la quantication dans cette construction si elle est<br />
possible?<br />
F. Sommers propose une analyse des dierences entre la logique mathematique<br />
classique (le calcul des predicats) vue dans une perspective fregeenne et la m^eme<br />
logique vue dans une perspective ante-fregeenne. Les conclusions de cette analyse<br />
sont examinees par rapport a leur possibilite d'application a lasemantique<br />
des langues naturelles, en tenant compte des idees de base qui viennent du c^ote<br />
de la linguistique. C'est ainsi qu'il se propose de construire une \syntaxe logique"<br />
des langues naturelles basee sur l'analyse de base de la proposition en deux<br />
termes: sujet-predicat. Cette idee de nature linguistique appartient egalement a<br />
la logique ante-fregeenne. Frege est le premier qui a rompu avec la tradition en<br />
proposant l'analyse inspiree des mathematiques : fonctions-arguments. Renouer<br />
avec la tradition ante-fregeenne et construire une theorie a deux termes est le<br />
but de Sommers. Sommers appelle la logique ante-fregeenne, la logique formelle<br />
traditionnele (LFT) et la logique mathematique post-fregeenne, la logique moderne<br />
des predicats (LMP). Il construit un systeme syntaxique appele algebre<br />
de la LFT pour l'analyse des propositions de la langue naturelle. Ce systeme a<br />
d'<strong>au</strong>tres bases conceptuelles que la LMP et dans ce systeme, la quantication a<br />
un statut a part.<br />
Nous presentons dans ce chapitre l'analyse de Sommers d'apres [Som82]. Cette<br />
analyse porte sur le statut de l'identite, le statut du pronom, le statut du quanti-<br />
cateur, la pertinence de la theorie a deux termes. Finalement, nous presentons<br />
sa \syntaxe logique", l'algebre de la LFT.
Presentation du systeme de F. Sommers 73<br />
3.2 Presentation du systeme de F. Sommers<br />
Ce qui represente le point focal dans une modelisation logico-mathematique de<br />
la syntaxe du langage est l'hypothese qu'on accepte sur les parties primitives<br />
d'une proposition. D'<strong>au</strong>tres problemes de nature linguistique comme: le pronom,<br />
le statut de la copule, le statut de l'anaphore qui peuvent avoir une expression<br />
logique, ou bien des problemes de nature logique comme: la quantication, le<br />
statut de la variable qui peuvent avoir une traduction linguistique, peuvent se<br />
rajouter pour expliquer le choix de l'hypothese sur la structure de la proposition.<br />
Selon les deux grandes traditions, celle de la logique formelle traditionnelle (LFT)<br />
et celle de la logique moderne des predicats (LMP) 1 une proposition peut ^etre<br />
analysee comme etant:<br />
une structure binaire { (Sujet-Predicat)<br />
une structure fonctionnelle { fonction avec ses arguments appliquee a certains<br />
objets: (f a 1 ,...,a n )<br />
La deuxieme interpretation est due a Frege.<br />
3.2.1 Y a-t-il des propositions atomiques?<br />
Il est accepte, en general, que le \sens logique" d'une proposition comme:<br />
Chacun envie quelqu'un.<br />
depend du mecanisme des quanticateurs.<br />
Son \sens logique" (l'expression logique correspondante) est:<br />
(8 x)((9 y) (x envie y))<br />
Frege est le premier qui a exprime cette idee en donnant l'expression logique<br />
d'une telle proposition, mais ecrite dans son symbolisme (le symbolisme de son<br />
\Ideographie" { voir le chapitre 2).<br />
Frege propose la decomposition de la proposition etape par etape, correspondant<br />
<strong>au</strong>x dierents \symboles de generalite" qui apparaissent dans la proposition<br />
m^eme. Une proposition est formee en combinant un \symbole de generalite" avec<br />
un predicat 1-aire. Le \symbole de generalite" est deni comme etant une variable<br />
ou un quanticateur. Un predicat 1-aire est lui-m^eme vu comme une proposition<br />
de laquelle on a enleve une ou plusieurs occurrences d'un terme singulier (nom<br />
propre).<br />
Par exemple, si on commence par la proposition:<br />
Pierre envie Jean.<br />
en enlevant le nom propre \Jean" et en le remplacant par la variable y, on obtient<br />
1 Cette terminologie et les abreviations sont employees par F. Sommers.
74 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens<br />
le predicat 1-aire:<br />
Pierre envie y.<br />
Ce predicat peut ^etre combine avec le symbole de generalite \quelqu'un" et<br />
on obtient:<br />
Pierre envie quelqu'un.<br />
En enlevant le nom propre \Pierre" et en le remplacant par la variable x, on<br />
obtient le predicat 1-aire:<br />
x envie quelqu'un.<br />
Ce predicat peut ^etre combine avec le symbole de generalite \chacun" et on<br />
obtient:<br />
Chacun envie quelqu'un.<br />
Le probleme qui se pose est d'etablir la nature ontologique d'une proposition<br />
et particulierement dedenir et de donner la nature du sujet logique. D'ou la<br />
question derivee qui se pose:<br />
La proposition atomique existe-t-elle?<br />
Sommers commente les analyses de Frege faites par les post-fregeens. Il<br />
presente le schema propose par Dummett pour l'analyse de Frege:<br />
{ (1) On commence avec une proposition singuliere comportant deux noms<br />
propres et on supprime un nom propre. On obtient un predicat.<br />
{ (2) On combine le predicat avec un symbole de generalite. On obtient une<br />
proposition.<br />
{ (3) On supprime l'<strong>au</strong>tre nom propre. On obtient un <strong>au</strong>tre predicat.<br />
{ (4) On combine ce predicat avec un <strong>au</strong>tre symbole de generalite. On obtient<br />
une proposition generale multiple. 2<br />
La suppression du nom propre equiv<strong>au</strong>t a son remplacementparunevariable,<br />
parce que pour Frege la fonction est une entite non-saturee qui attend la saturation.<br />
Soit la proposition:<br />
Pierre envie Jean.<br />
D'apres le schema ci-dessus il y deux analyses possibles.<br />
2 Dans la terminologie de Dummett une proposition singuliere ne contient pas de quanti-<br />
cateurs, une proposition generale singuliere contient un seul quanticateur, une proposition<br />
generale multiple pusieurs quanticateurs.
Presentation du systeme de F. Sommers 75<br />
Analyse I.<br />
(1) Pierre envie Jean. (proposition singuliere atomique)<br />
(2) x envie Jean. (predicat 1-aire )<br />
(3) (8 x) (x envie Jean ) (proposition generale singuliere)<br />
(4) (8 x) (x envie y) (predicat 1-aire)<br />
(5) (9 y) (8 x) (x envie y) (proposition generale multiple)<br />
Analyse II.<br />
(1) Pierre envie Jean. (proposition singuliere atomique)<br />
(2) Pierre envie y. (predicat 1-aire )<br />
(3) (9 y) (Pierre envie y) (proposition generale singuliere)<br />
(4) (9 y) (x envie y) (predicat 1-aire)<br />
(5) (8 x) (9 y) (x envie y) (proposition generale multiple)<br />
Dummett accorde a la proposition initiale l'interpretation II.<br />
La these de Frege est: Les propositions singulieres sont plus primitives du<br />
point de vue syntaxique que les propositions generales.<br />
Il appelle une proposition singuliere proposition atomique.<br />
Conformementalatheorie de Frege, il est legitime de considerer des propositions<br />
atomiques.<br />
Par ailleurs, on considere la quantication de Leibniz, lorsque \a" est un objet<br />
determine, deni par :<br />
aestP (8 a) a est P (9 a) a est P 3<br />
Leibniz considere le quanticateur (symbole de quantite) implicite (libre) note<br />
QL et deni par:<br />
QL x ssi (9 x) =) (8 x)<br />
Une proposition singuliere peut ^etre consideree comme un cas particulier de<br />
proposition quantiee : elle est quantiee par le quanticateur libre. Par exemple,<br />
la proposition :<br />
Socrate est sage.<br />
peut ^etre interpretee comme equivalente a:<br />
(Il y a un) Socrate (qui) est sage.<br />
et equivalente a:<br />
(Tout) Socrate est sage.<br />
Alors, il n'est pas legitime de faire une classe a part des proposition atomiques.<br />
La reponse a la question formulee par le titre de ce sous-chapitre est negative.<br />
F. Sommers presente les principales dierences entre la theorie fregeenne (il<br />
l'appelle doctrine fregeenne) et la theorie de ses predecesseurs de l'antiquite et<br />
3 L'ensemble des valeurs de \a" doit ^etre suppose non-vide.
76 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens<br />
du Moyen Age (il l'appelle doctrine scolastique). La dierence entre la doctrine<br />
fregeenne (F) et la doctrine scolastique (S) est:<br />
(1) F: Un sujet logique doit ^etre simple.<br />
S: Un sujet logique est une expression avec un symbole de<br />
quantite (quanticateur).<br />
(2) F: Le sujet et le predicat n'ont pas de partie commune<br />
(syntaxiquement).<br />
S: Le sujet contient un terme qui est interchangeable (du<br />
point de vue syntaxique) avec le terme du predicat.<br />
(3) F: La dierence entre le sujet et le predicat est une<br />
dierence primitive entre deux types d'expressions<br />
categorematiques : le predicat est un syncategoreme, le<br />
sujet est un categoreme.<br />
S: La dierence entre le sujet et le predicat est celle d'avoir<br />
des elements syncategorematiques dierents:<br />
Pour le sujet: tout x, un x<br />
Pour le predicat: est y, n'est pas y 4 .<br />
(4) F: Il existe une distinction entre les propositions singulieres<br />
et les propositions generales.<br />
S: Il n'existe pas de distinction entre les propositions singulieres<br />
et les propositions generales.<br />
La doctrine de Leibniz de la quantication (symbole de quantite) libre pour les<br />
propositions singulieres est une rivale importante de la doctrine de Frege disant<br />
que les propositions singulieres sont atomiques du point de vue logique.<br />
Pour Sommers la these fregeenne sur le caractere atomique des propositions<br />
singulieres n'est pas fondee et elle est dans un contraste profond avec la theorie<br />
scolastique. De son point de vue, Sommers maintient les assertions:<br />
(i) Le sujet logique est toujours singulier dans une proposition singuliere et il<br />
represente le seul support de la predication.<br />
(ii) La primitive d'une proposition singuliere est: un sujet qui designe, un<br />
predicat qui caracterise. L'expression-sujet diere de l'expression-predicat du<br />
point de vue du type syntaxique, mais elles ne sont pas distinguees du point de vue<br />
syncategorematique. La dierence syntaxique est due a la dierence semantique:<br />
le sujet designe, le predicat caracterise.<br />
(iii) Les propositions singulieres sont syntaxiquementetsemantiquement plus<br />
primitives que les propositions generales.<br />
4 Ici les elements syncategorematiques sont le quanticateur pour le sujet et l'operateur de<br />
negation pour le predicat.
Presentation du systeme de F. Sommers 77<br />
3.2.2 La theorie a deux termes<br />
La logique de Frege est une logique avec variable libre. La classication propositions<br />
atomiques-propositions generales est derivee de la logique fregeenne et elle<br />
induit une theorie non-binaire de la proposition, c'est-a-dire une theorie qui eace<br />
la distinction sujet-predicat.<br />
L'hypothese que la forme logique primitive de la proposition est (Sujet Predicat)<br />
represente l'axiome de la theorie a deux termes (la theorie binaire). Cette<br />
hypothese se trouve a la base de toute logique ante-fregeenne. Aristote, dans De<br />
Interpretatione [Ari*] decompose la proposition en \nom" et \predicable". La<br />
distinction et en m^eme temps la relation qui existe entre \onoma" et \rhema"<br />
est remarquee par Aristote. Le premier qui formule ce rapport en termes de<br />
dierence de categorie est Frege. Et pourtant, Frege est le premier a rompre avec<br />
l'analyse traditonnelle (Sujet Predicat) (voir le chapitre 2). Il propose une analyse<br />
en termes de fonction et ses arguments. Sommers remet en c<strong>au</strong>se l'analyse<br />
fregeenne et apres une analyse de celle-ci, il opte pour l'hypothese de la theorie a<br />
deux termes. Pour decider entre l'hypothese de la theorie a deux termes (binaire)<br />
et la theorie a un terme (fonctionnelle) comme primitive cognitive, F. Sommers<br />
analyse la these de l'atomicite de la proposition de Frege en appliquant deux<br />
criteres: le critere de la negativite et le critere de la distributivite.<br />
Le critere de la negativite (le critere fregeen du sujet logique).<br />
Frege parle du \sujet logique" ou du \veritable sujet" d'une proposition. Il<br />
propose le critere de la negativite qui porte sur l'application de la negation <strong>au</strong><br />
predicat et non pas <strong>au</strong> sujet. Ce critere est le suivant :<br />
Une expression E est le sujet logique relatif a une expression F dans une proposition<br />
`EF' si et seulement si en changeant F en NF on obtient une proposition<br />
qui est contradictoire a `EF' 5 :<br />
non(a est P) (a est non-P) 6 (1)<br />
Ce criterenepeut^etre considere comme un critere que pour les propositions<br />
atomiques. Pour les propositions quantiees:<br />
mais<br />
non(tout S est P) 6= (tout S est non P) (2)<br />
non(tout S est P) (il y a des S tels que non P) (3)<br />
5 Les notations utilisees sont les notations de Sommers.<br />
6 \a" denote un objet dans le sens fregeen.
78 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens<br />
Si on accepte la quantication libre de Leibniz, une proposition de type (1)<br />
devient un cas particulier de (2) et verie (2') (parce que \il existe S" implique<br />
\tout S"):<br />
non (tout S est P) (tout S est non P)<br />
(2')<br />
Donc, il n'y a <strong>au</strong>cune raison de considerer ce critere fregeen comme un critere<br />
pour accepter les propositions atomiques comme etant des primitives.<br />
Le critere de la non-distributivite<br />
Le critere de la non-distributivite porte sur la distributivite d'un quanticateur<br />
versus les connecteurs logiques \et" et \ou".<br />
Nous savons que :<br />
(a) (a est P et Q) (a est P) et (a est Q)<br />
mais<br />
(b) (il y a des A qui sont P et Q) 6= (il y a des A qui sont P) et<br />
(il y a des A qui sont Q)<br />
et<br />
(a) (a est P ou Q) (a est P) ou (a est Q)<br />
mais<br />
(b) (tout A est P ou Q) 6= (tout A est P) ou (tout A est Q)<br />
Si le \sujet logique veritable" est distributif par rapport <strong>au</strong>x connecteurs logiques<br />
\et" et \ou", le \sujet quantie" ne l'est pas. La m^eme quantication de<br />
Leibniz montre que le \sujet veritable" de Frege est un cas particulier de sujet<br />
quantie et, donc, ce critere ne represente pas un \crible" pour discerner entre<br />
les dierentes types de sujets proposes par Frege.<br />
Sommers remarque encore que:<br />
La possibilite de l'application de la negation pour le predicat (P, non-P)<br />
et l'impossibilite pour le sujet (non-a est depourvu de sens) ne represente pas<br />
un argument pour une theorie unaire c'est une simple distinction entre deux<br />
categories syncategorematiques.<br />
La categorisation de Frege concept-objet aete traduite traditionnellement<br />
dans la langue par la paire predicat-nom, mais le sujet n'est pas toujours exprime<br />
par un simple nom.<br />
Le besoin de criteres pour qu'une expression soit \sujet logique" est critique<br />
pour la LMP, mais elle ne l'etait pas pour la LTF.<br />
Le predicat a toujours une \arite" xe (le nombre de ses arguments est xe<br />
par le predicat m^eme). En revanche, le sujet, m^eme s'il est vu comme une expression<br />
construite par une composition des fonctions, n'a pas d'arite (le nombre
Presentation du systeme de F. Sommers 79<br />
des fonctions qui entrent en composition est libre).<br />
Le caractere deni de la reference d'une expression comme \a" par rapport<br />
<strong>au</strong> caractere indeni des expressions comme \il y a des S", \quelques S"<br />
ne represente pas un critere pour l'atomicite de la proposition et, donc, pour<br />
une theorie fonctionnelle. Les philosophes modernes n'acceptent que des sujets<br />
exprimes par des expressions avec une reference denie (Russel considerait que<br />
les noms propres sont les seuls porteurs d'une reference \parfaitement denie").<br />
Par contre, les scolastiques acceptaient que la reference d'expressions comme<br />
\quelques S", \des S" soit denie. La distinction entre \sujet logique veritable"<br />
et \sujet" n'est pas fondee.<br />
Tous les arguments invoques pour l'atomicite d'une proposition sont appeles<br />
par Sommers \arguments apologetiques".<br />
Une fonction du point de vue fregeen est une entite non saturee. Elle attend<br />
la saturation par ses arguments. Les arguments n'ont pas des caracteristiques<br />
privilegiees les unes par rapport <strong>au</strong>x <strong>au</strong>tres. C'est le point de vue mathematique<br />
et celui apparente a la logique mathematique moderne.<br />
La proposition peut ^etre vue comme l'instanciation d'une fonction particuliere:<br />
un predicat de plusieurs arguments, mais parmi lesquels, l'un est privilegie. C'est<br />
l'argument qui sera remplace par le sujet. De ce point de vue la proposition est<br />
l'instanciation d'un predicat n-aire par des valeurs donnees <strong>au</strong>x arguments, dont<br />
l'un a des caracteristiques qui se detachent par rapport <strong>au</strong>x <strong>au</strong>tres.<br />
Accepter la premiere hypothese, c'est avoir une theorie unaire (d'un seul<br />
terme). Accepter la deuxieme hypothese, c'est avoir une theorie binaire (a deux<br />
termes). Les categorisations linguistiques plaident pour la deuxieme. Les problemes<br />
linguistiques comme : le type de la reference, le statut du pronom <strong>au</strong>xquels<br />
une theorie peut repondre sont <strong>au</strong>ssi un argument pour adopter une telle theorie.<br />
La theorie binaire y repond. En plus, l'idee de commuter le nive<strong>au</strong> de base accepte<br />
comme primitive de la connaissance est pertinente. La logique combinatoire<br />
(voir le chapitre 4) est un outil logique qui fournit le mecanisme de changement<br />
de nive<strong>au</strong> :<br />
(:::((P y 1 ) y 2 ) ::: y n ) (f 1 (f 2 (:::(f n x) :::)<br />
" nive<strong>au</strong> LFT " nive<strong>au</strong> LMP<br />
Nous presentons dans le chapitre 4 le passage de la forme fregeenne de la<br />
proposition a la forme de la LFT reprise par Sommers dans sa theorie a deux<br />
termes, passage dont on peut rendre compte par la logique combinatoire.<br />
La theorie developpee par J.P. Descles sur la la quantication et qui sera formalisee<br />
dans les chapitres 6 et 7 est inspiree des hypotheses des ante-fregeens
80 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens<br />
reprises par Sommers, mais a c<strong>au</strong>se de l'outil de base, a savoir la logique combinatoire<br />
de Curry [Cur58], elle repond d'une maniere plus simple et plus elegante<br />
que la theorie de Sommers a plusieurs problemes linguistiques traditionnels.<br />
3.2.3 Le statut du pronom<br />
Le pronom, comme categorie linguistique, a suscite be<strong>au</strong>coup de discussions parmi<br />
les philosophes du langage. Ils ont essaye de donner le statut semantique du<br />
pronom. Le pronom est considere dans les grammaires traditionnelles comme<br />
une unite linguistique qui \remplace" un nom, ou un syntagme nominal (en latin :<br />
pronomen).<br />
Le probleme du pronom est lie <strong>au</strong> probleme de la reference.<br />
3.2.3.1 La reference indenie<br />
Le \probleme delareference" a toujours preoccupe les philosophes du langage.<br />
Une expression nominale du langage est \l'etiquette" dans le langage d'un individu<br />
(objet) ou d'un ensemble d'individus (objets). On dit que l'expression<br />
\refere a..." ou \la reference de l'expression est...". En fait la reference est<br />
la mise en correspondance de l'expression langagiere avec une entite de l'univers<br />
d'interpretation. Pour Frege cette idee est exprimee en ce qu'il appele \sens<br />
et denotation". Ce type de mise en correspondance est analyse par plusieurs<br />
ecoles philosophiques et plusieurs interpretations en resultent. En general, les<br />
philosophes contemporains du langage acceptent que la reference est denie si<br />
l'expression renvoie a un seul objet et indenie si elle renvoie a un ensemble entier<br />
: \un a tel et tel" est une referencedenie, alors que \tout a tel et tel" ou \il<br />
y a des a tels et tels" est une reference indenie.<br />
Sommers rappelle que les scolastiques consideraient que la reference de l'expression<br />
\il a des S" est denie. Il considere que le caractere plus ou moins<br />
determine delareference d'une expression ne doit pas ^etre un critere pour le<br />
statut du sujet logique.<br />
La syntaxe logique de la LFT attribue des quanticateurs a toute expression<br />
sujet. Un sujet est une expression composee de:<br />
{ un symbole de quantite (quanticateur)<br />
{ un terme.<br />
Un sujet pronominal [Som82] est une expression composee d'un quanticateur 7<br />
et d'un terme lui <strong>au</strong>ssi, mais avec des particularites. Ces particularites seront<br />
decrites dans sa theorie du pronom presentee dans le paragraphe suivant.<br />
7 Sommers l'appelle symbole de quantite
Presentation du systeme de F. Sommers 81<br />
3.2.3.2 Quelques theories du pronom<br />
Dans ce paragraphe nous allons presenter deux approches sur le pronom connues<br />
dans la logique du langage : la theorie de Evans [Eva77] et celle de Sommers<br />
[Som82]. La derniere est une analyse critique de la demarche commencee par<br />
Quine et elle aboutit a une synthese et une classication du pronom.<br />
La theorie du pronom de G.Evans<br />
Gareth Evans [Eva77] analyse le statut de \variable liee" du pronom postule<br />
par la LMP. Il fournit quelques contre-exemples a ce statut. Il construit le pronom<br />
de type E (qui echappe <strong>au</strong>x <strong>au</strong>tres theories). Il considere que les deux dimensions<br />
linguistiques dont il f<strong>au</strong>t tenir compte dans une bonne theorie du pronom sont la<br />
reference et la quantication. Il adopte la theorie de la reference de Quine et la<br />
semantique de la quantication de Frege (par opposition a celle de Tarski, utilisee<br />
par Geach). Les exemples sur lesquels travaille Evans sont 8 :<br />
(1) John owned some sheep and Harry vaccinated them last July.<br />
Jean possedait quelques moutons et Harry les avaccines en juillet<br />
dernier.<br />
(2) John loves her and Mary loves him.<br />
Jean aime Marie et elle l'aime.<br />
(3) Socrates owns a dog and it bit Socrates.<br />
Socrate possede un chien et il a mordu Socrate.<br />
(4) Socrates has a nger which hurts him.<br />
Socrate a un doigt qui lui fait mal.<br />
(4') *Socrates has a nger and it hurts Socrates.<br />
*Socrate a un doigt et il lui fait mal.<br />
(5) There is a doctor in Manchester who is a woman.<br />
Il y a un docteur a Manchester qui est une femme.<br />
(5') *There is a doctor in Manchester and she is a woman.<br />
*Ily<strong>au</strong>ndocteura Manchester et elle est une femme.<br />
(5") There is a single doctor in X and she is a woman.<br />
Il y a un seul docteur a Xetc' est une femme.<br />
(6) There is a number which has an even successor.<br />
Il y a un nombre qui a un successeur pair.<br />
(6') *A number has a successor and it is even.<br />
*Un nombre a un successeur et il est pair.<br />
(7) Just one man drank champagne and he was ill.<br />
Un seul homme a bu du champagne et il est tombe malade.<br />
8 L'exemple 24 (c) ne fait pas partie du corpus de Evans.
82 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens<br />
(8) John stupidly touched some snakes and they bit him.<br />
Jean a touche b^etement quelques serpents et ils l'ont mordu.<br />
(9) Most men who own a car wash it on Sundays.<br />
La plupart des gens qui possedent une voiture la lavent le dimanche.<br />
(10) Every man who owns a car washes it on Sundays.<br />
Tout homme qui possede une voiture la lave le dimanche.<br />
(11) Every man who owns some sheep vaccinates them in the spring.<br />
Tout homme qui possede des moutons, les vaccine <strong>au</strong> printemps.<br />
(12) Exactly two men got o their bicycles and then they fainted.<br />
Deux hommes exactement sont descendus de leurs velos et ensuite<br />
ils se sont evanouis.<br />
(13) Exactly three men got o their bicycles and then they pushed the<br />
Volkswagen up the hill.<br />
Trois hommes exactement sont descendus de leurs velos et ensuite<br />
ils ont pousse laVolkswagen en h<strong>au</strong>t de la colline.<br />
(14) If some arrows are green, they will hit the target.<br />
Si quelques eches sont vertes, elles frapperont la cible.<br />
(14')<br />
*If some arrows are such that those arrows are green, those arrows<br />
will hit the target.<br />
*S'il y a quelques eches telles que ces eches sont vertes, ces eches<br />
frapperont la cible.<br />
(15) Just one man broke the bank at Monte Carlo, and he has recently<br />
died a p<strong>au</strong>per.<br />
Un seul homme a fait s<strong>au</strong>ter la banque du Casino de Monte Carlo<br />
et il est mort p<strong>au</strong>vre recemment.<br />
(16) John smoked a pipe and he drank a lot of whisky.<br />
Jean fumait la pipe et il buvait be<strong>au</strong>coup de whisky.<br />
(17) A Cambridge philosopher smoked a pipe and he drank a lot of<br />
whisky.<br />
Un philosophe de Cambridge fumait la pipe et il buvait be<strong>au</strong>coup<br />
de whisky.<br />
(18) A man jumped out of the crowd and fell in front of the horses. He<br />
didn't jump, he was pushed.<br />
Un homme s'est precipite hors de la foule et il est tombedevant les<br />
chev<strong>au</strong>x. Il ne s'est pas precipite, ilaete pousse.<br />
(19) (la negation)<br />
John owns a donkey. It is not male.<br />
Jean possede un ^ane. Ce n'est pas un m^ale.
Presentation du systeme de F. Sommers 83<br />
(20) (la modalite)<br />
John owns a donkey and it likes carrots though it might not have<br />
been the case that it liked carrots.<br />
Jean possede un ^ane et il aime les carottes, quoiqu'il <strong>au</strong>rait pu ne<br />
pas aimer les carottes.<br />
(21) dipus thinks that Jocasta is childless, but she isn't.<br />
dipe croit que Jocaste est sans enfants mais elle ne l'est pas.<br />
(22) (le temps)<br />
Boston has a Mayor and he used to be a Democrat.<br />
Boston a un maire et c'etait d'habitude un democrate.<br />
(23) (les attitudes psychologiques)<br />
A man murdered Smith, but John does not believe that he murdered<br />
Smith.<br />
Un homme a tue Smith, mais Jean ne croit pas qu'il a tue Smith.<br />
(24) (le croisement)<br />
(a) Every man who despises her hurts the woman who loves him.<br />
(a') Tout homme qui la meprise blesse la femme quil'aime.<br />
(b) The only pilot that shot at it hit the MIG that was chasing<br />
him .<br />
(b') Le seul pilote qui lui atire dessus, a touche le MIG qui le<br />
chassait.<br />
(c) Les meres etaient sensibilisees <strong>au</strong>x sign<strong>au</strong>x emis par ces enfants<br />
an de leur permettre de mieux repondre a leurs besoins.<br />
Evans remarque que les problemes qui se posent dans une bonne theorie du<br />
pronom sont:<br />
{ La reference. Il considere la reference dans le sens developpe par Quine<br />
[Qui60], [Qui74a] et Geach [Gea62]. Determiner la reference d'une expression<br />
represente d'apres Quine et Geach determiner un seul objet \nomme"<br />
par cette expression ou un ensemble d'objets.<br />
{ L'antecedent du pronom. L'antecedent d'un pronom est l'expression (souvant<br />
trouvee avant le pronom) dont la reference est la reference du pronom.<br />
{ La quantication. Dans la plupart des cas, l'antecedent est un syntagme<br />
nominal quantie.<br />
Dans son corpus d'exemples, il fait les remarques suivantes :<br />
{ L'antecedent n'est pas toujours un vrai antecedent (exemples 2 et 24, en anglais).<br />
Donc, <strong>au</strong> lieu de l'appeler \antecedent" on peut l'appeler \expression<br />
qui xe le referentiel".
84 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens<br />
{ Le pronom construit son \antecedent" et sa reference. Dans l'exemple (16)<br />
la reference de \il" est \Jean qui fumait la pipe" et en (17), m^eme si\il"<br />
n'est pas referentiel 9 , il renvoie a \tout philosophe de Cambridge qui fumait<br />
la pipe d'<strong>au</strong>trefois", en (15) \il" est \le seul homme qui a cambriole<br />
la banque de Monte Carlo", en (7) \le seul homme qui avait bu du champagne".<br />
Dans les exemples (9) et (10) \la" renvoie a la \voiture possedee<br />
par chacun", en (11), \les" renvoie <strong>au</strong>x \moutons possedes par chacun"<br />
et en (12) \ils" renvoie <strong>au</strong>x \hommes qui sont descendus de leurs velos".<br />
L'exemple (13) est de la m^eme nature que (12) mais, en plus, on peut<br />
avoir deux interpretations: les trois hommes ont pousse la voiture en m^eme<br />
temps ou l'un apres l'<strong>au</strong>tre. Le pronom ne capte pas une interpretation<br />
privilegiee. Dans l'exemple (14) la forme en * est l'interpretation logique,<br />
m^eme elle n'existe pas <strong>au</strong> nive<strong>au</strong> de l'encodage. En (1) \les" porte sur \les<br />
moutons possedes par Jean". Dans les exemples (20)-(23) la negation, la<br />
modalite, l'aspect modient l'expression referentielle. L'exemple (3) admet<br />
la paraphrase:<br />
(3') Socrate possede un chien qui mord Socrate.<br />
mais (4), (5), (6) n'ont pas les paraphrases (4'), (5'), (6').<br />
{ En ce qui concerne la quantication, il y a des pronoms a antecedent simple<br />
(PAS) et des pronoms a antecedent quantie (PAQ).<br />
Pour le francais il y a les m^emes problemes s<strong>au</strong>f que l'antecedent est postpose<br />
en (24a') et (24b') et il y a un <strong>au</strong>tre type de croisement en (24c). Le probleme<br />
de l'antecedent reste comme on voit des exemples (25) :<br />
(25)<br />
(a) Pourtant, c'est bien elle, Ingrid Caven. . .<br />
(b) Il a ni par la vendre, cette maison ouilavait passe tant d'annee<br />
...<br />
(c) Le premier ministre a donc conrme hier, comme le laissait<br />
entendre la veille le porte parole du gouvernement, la solution qu'il<br />
a choisie.<br />
Par rapport <strong>au</strong>x problemes souleves par Evans, dans son corpus il y a <strong>au</strong>ssi<br />
le probleme de la typicalite en (8) et (17). Le pronom ici renvoie <strong>au</strong>x \serpents<br />
typiques" et <strong>au</strong> \philosophe typique de Cambridge". Dans (22) le pronom ne<br />
reprend pas un objet totalement determine {\un maire"{, mais l'objet typique<br />
totalement indetermine. (voir le chapitre 6)<br />
9 Un pronom est appele referentiel par Quine et Geach si sa reference est un seul objet et<br />
non-referentiel si sa reference est un ensemble.
Presentation du systeme de F. Sommers 85<br />
Evans fait une comparaison entre sa theorie du pronom et la theorie de Geach<br />
[Gea62][Gea76]. Il constate que :<br />
Tous les deux, Geach et Evans, considerent le pronom comme une fonction<br />
mais de manieres dierentes. Pour Geach: [1]<br />
(i) le pronom selectionne son antecedent<br />
(ii) il selectionne la reference de son antecedent<br />
(iii) il ne refere pas (il n'existe pas, il realise une co-reference (un isomorphisme<br />
epistemique) entre son antecedent etsareference).<br />
Pour Evans: [2]<br />
(i) le pronom selectionne son antecedent<br />
(ii) il construit la reference de son antecedent<br />
(iii) il identie sa reference avec la reference de son antecedent.<br />
Evans transforme le probleme de co-reference en co-assignation.<br />
En ce qui concerne la quantication de l'antecedent, un PAQ ne fonctionne<br />
pas comme [1] ou [2] remarque Evans parce que la theorie de la reference (dans<br />
le sens de Quine) est disjointe de la theorie classique de la quantication. C'est<br />
pour cette raison qu'il introduit le pronom de type E. Ce pronom :<br />
(i) est non-referentiel (dans le sens qu'il est co-assigne <strong>au</strong>nantecedent represente<br />
par un syntagme quantie)<br />
(ii) ne modie pas le quanticateur de son antecedent (ce qui est equivalent a<br />
dire qu'il represente une quantication implicite (QL) sur son antecedent<br />
comme Sommers le remarque).<br />
Be<strong>au</strong>coup plus general, Evans remarque qu'il y a des elements linguistiques<br />
(comme le temps, la modalite, la negation) qui creent un contexte (le contexte<br />
opaque) et par rapport a ce contexte il y a deux situations possibles:<br />
{ le pronom et son antecedent sont dans le contexte (Jean croit que Georges<br />
telephonera demain et qu'il viendra apres.)<br />
{ le pronom se trouve dans le contexte et son antecedent se trouve a l'exterieur<br />
(exemples (3), (20)-(23)).
86 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens<br />
Pour mettre en evidence les caracteristiques denitoires (i) et (ii) du pronom<br />
de type E, Evans donne quelques exemples:<br />
(a) Jean possede quelques moutons et Harry les vaccine.<br />
(b) Marie a danse avec plusieurs garcons et ils l'ont trouve interessante.<br />
(c) Peu de philosophes sont venus alaf^ete, mais ils ont passe de bons moments.<br />
(d) Jean a touche b^etement quelques serpents et ils l'ont mordu.<br />
Sommers reprend l'exemple (a) et il rajoute les exemples (e),(f) et (g):<br />
(e) Il y a des honduriens tres riches ils peuvent se permettre Perrier a soixante<br />
dix-neuf centimes la bouteille.<br />
(f) Il y a des enfants allergiques <strong>au</strong>x chats les chats ont un eet adverse sur<br />
eux.<br />
(g) Il y a des honduriens tres riches ils ont des ma^tresses, ils ont des yachts.<br />
Il remarque une dierence entre les pronoms (ils et eux) dans les exemples<br />
(a), (e), (f) et les pronoms dans les exemples (b), (c), (d), (g). Les premiers sont<br />
des pronoms de type E. Ils renvoient a l'ensemble des objets represente par leur<br />
antecedent: \les moutons possedes par Jean", \les honduriens tres riches", \les<br />
enfants allergiques <strong>au</strong>x chats". Dans les exemples (b), (c) (d) et (g), les pronoms<br />
ne renvoient qu'a un sous-ensemble de cet ensemble. Le m^eme pronom n'est pas<br />
un pronom de type E. Cette constatation est purement epistemique.<br />
La theorie de G. Evans sur le pronom ne couvre pas tous les types du pronom,<br />
elle est construite specialement pour le pronom de type E.<br />
La synthese de Sommers sur le pronom.<br />
Le statut du pronom est tres important dans une \syntaxe logique" du langage 10 .<br />
A la suite d'une analyse des theories du pronom de Geach et de Evans, il propose<br />
que le pronom soit considere comme une paire:<br />
Pronom = (Q, P)<br />
ou Q est un quanticateur et P est le \proterme" ou le terme <strong>au</strong>quel le pronom<br />
renvoie. Ce terme a comme denotation un objet ou un ensemble d'objets. Le<br />
mot \pronom" est ambigu et on l'utilise d'une maniere ambigue. Le pronom<br />
signie parfois le proterme, parfois il signie le terme complet y compris son<br />
quanticateur. La theorie traditionnelle du pronom le voit comme un complexe<br />
syntaxique.<br />
\Quand la pronominalisation passe <strong>au</strong>-dessus des propositions le lien de base<br />
est semantique et non pas syntaxique" dit Sommers. Il arme:<br />
10 Ce que Sommers appelle \syntaxe logique" est une semantique y compris son rapport a la<br />
syntaxe.
Presentation du systeme de F. Sommers 87<br />
\Nous armons que la plupart des liens pronomin<strong>au</strong>x sont de nature semantique<br />
et, particulierement, nous armons que le lien syntaxique dans les translations<br />
canoniques n'est pas adequat dans le cas du pronom referentiel ni dans le<br />
cas des propositions qui ne peuvent pas ^etre comprises comme fonctionnellement<br />
liees."<br />
Sommers inrme la these selon laquelle le pronom est une variable liee et<br />
il montre que la LFT est un bon outil pour une theorie du pronom. Sommers<br />
remarque que le proterme P se construit a partir de son antecedent qui est de la<br />
forme:<br />
A=(Q A<br />
A')<br />
Le rapport entre P et A' d'un c^oteetQetQ A de l'<strong>au</strong>tre determinent le fonctionnement<br />
du pronom. Ces deux rapports determinent une double classication:<br />
selon le type de reference et selon le type de quantication.<br />
Le pronom est referentiel si P denote un individu ou des individus avec lesquels<br />
le locuteur est dans un rapport epistemique (situation epistemique). Le pronom<br />
est appele non-referentiel si P est un terme compose avec des elements de la<br />
proposition antecedente. Le pronom referentiel est epistemiquement fort, alors<br />
que le pronom non-referentiel est epistemiquement faible. Cette classication<br />
correspond a une pronominalisation intra-proposition et a une pronominalisation<br />
inter-propositions.<br />
Les pronoms referentiels sont de deux types: pronom de type D (descriptif)<br />
et pronom de type A (ascriptif). Le pronom de type D refere descriptivement a<br />
un objet de la situation epistemique consideree :<br />
Un homme que j'ai vu hier est sur le toit. Il est un voleur.<br />
Le pronom de type A refere a un objet obtenu par une substitution dans<br />
l'antecedent:<br />
Ily<strong>au</strong>nchiendans le jardin. Ce n'est pas un chien, c'est un chat.<br />
Un homme s'est dresse dans foule et il est tombe devant les chev<strong>au</strong>x. Il ne<br />
s'est pas dresse, il a ete pousse.<br />
Pour les pronoms non-referentiels, Sommers distingue deux types: pronoms<br />
de type B et pronoms de type E (deni par G. Evans). Le pronom de type B<br />
est un pronom non-referentiel qui a comme quanticateur le m^eme quanticateur<br />
que son antecedent. Il peut ^etre interprete comme une variable liee dans le calcul<br />
des predicats:<br />
Un homme est dans la rue. Il est p<strong>au</strong>vre.<br />
Le pronom de type E est un pronom non-referentiel qui a comme quanticateur,<br />
le quanticateur libre QL. Il ne peut pas ^etre interprete comme une variable
88 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens<br />
Pronom<br />
;@ ; @@@@<br />
;<br />
;<br />
;<br />
referentiel<br />
non-referentiel<br />
;@ ;@ ; @@@@ ; @@@@<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
descriptif<br />
ascriptif<br />
de type B<br />
de type E<br />
Le S est P.<br />
Il y a des S<br />
Un S est P.<br />
Il y a des S<br />
Il est Q.<br />
qui sont P.<br />
Il est Q.<br />
qui sont P.<br />
Ils ne sont S<br />
Ils sont Q.<br />
pas du tout.<br />
Figure 3.1: La classication du pronom d'apres Sommers<br />
liee 11 :<br />
Jean possede quelques moutons et Harry les vaccine.<br />
La classication des pronoms d'apres Sommers et les structures correspondantes<br />
sont donnees par la gure 3.1.<br />
Cette classication ne comprend pas le cas ou le pronom modie la quantication<br />
de son antecedent. C'est le cas d'une possible interpretation des exemples<br />
(b), (c), (d), (g).<br />
Le statut du pronom: sa fonctionnalite, sa reference, son antecedent quantie<br />
sont des arguments en faveur de la theorie a deux termes.<br />
Sommers accepte l'idee que le pronom est une fonction,mais il ne le denit pas<br />
tres claire. Il ne concoit pas le pronom comme operateur, et donc, l'antecedant du<br />
pronom ne peut ^etre transforme par celui-ci en lui appliquant un quanticateur<br />
typique non plus.<br />
11 Ici Sommers entend que, syntaxiquement, l'antecedent est quantie \quelques moutons"<br />
et \les" qui renvoie <strong>au</strong>x \quelques moutons de Jean" peut ^etre vu comme renvoyant a\QL<br />
(quelques moutons de Jean)".
Presentation du systeme de F. Sommers 89<br />
3.2.4 A-t-on besoin de l'identite?<br />
La theorie de l'identite.<br />
1. La theorie de l'identite est un des sujets debattus par la philosophie analytique<br />
ou gurent des noms comme ceux de Russell [Rus56], de Quine[Qui74b],<br />
de Strawson[Str74], de Geach[Gea62] ou de Dummett[Som82]. La theorie de<br />
l'identite consiste a donner un statut formel a la proposition: \a est identique a<br />
b" exprimee souvent par la proposition \a est b". Les propositions de ce type<br />
sont appelees \propositions identite". Pour traiter l'identite, Sommers donne un<br />
apercu de cette theorie a partir de Leibniz jusqu'a Frege, en marquant toujours<br />
l'opposition entre la LFT a LMP.<br />
Frege fait, pour la premiere fois, la distinction entre le mot qui designe un<br />
objet, mot-objet et le mot qui designe un concept, mot-concept.<br />
\Nous prediquons un concept sur un objet", disait Frege.<br />
La distinction ontologique entre un concept et un objet correspond a la distinction<br />
syntaxique entre le predicat et le nom.<br />
Sommers considere dans son approche \termiste" et en gardant l'ontologie<br />
fregeenne, la classication suivante des termes:<br />
{ Le U-terme est le concept construit par ses proprietes (en intension) <br />
{ le G-terme est le concept construit par l'ensemble des objets qui \tombent<br />
sous" ce concept (en extension).<br />
Le concept dans une vison \termiste" est donc un U-terme et l'objet est une<br />
instance d'un G-terme.<br />
La distinction entre \^etre d'identite" et \^etre de predication" est liee a la distinction<br />
objet { concept, mot-objet { mot-concept, ou U-terme { G-terme. Sommers<br />
remarque que cette distinction appara^t pour la premiere fois chez Frege<br />
m^eme si Leibniz la faisait bien. Cette distinction se voit dans les deux exemples<br />
de Frege:<br />
Venus est l'etoile de matin. (identite )<br />
Venus est une planete. (appartenance 2)<br />
2. Dummett remarque que pour la premiere fois Frege a donne un statut<br />
logique a l'identite. Avant lui, dans la logique formelle traditionnelle, les { ainsi<br />
nommees { lois de l'identite etaient absorbees par d'<strong>au</strong>tres lois logiques. Frege<br />
interprete l'identite d'une double maniere:<br />
{ comme une relation d'equivalence:<br />
1: a a (reexivite)
90 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens<br />
2: si a b alors b a (symetrie)<br />
3: si a b et b c alors a c (transitivite)<br />
{ comme un predicat particulier de deux arguments \^etre identique a" (Id) :<br />
ab devient ((Id a) b) et 1.,2.,3. deviennent :<br />
1 0 : ((Id a) a)<br />
2 0 : si ((Id a) b), alors ((Id b) a)<br />
3 0 : si ((Id a) b) et ((Id b) c), alors ((Id a) c)<br />
Cette interpretation est appelee par Sommers l'interpretation dyadique. Il<br />
s'ensuit qu'on peut ramener la relation a lapredication, ce qui est caracteristique<br />
pour Frege. L'idee de proceder inversement et de ramener tout a<br />
une relation est proposee par Sommers. Elle provient de l'encodage linguistique<br />
des deux relations et 2 par le verbe ^etre 12 Sommers arme donc :<br />
(i) La necessite d'introduire une relation primitive du point de vue logique <br />
(ii) La possibilite dedenir une seule relation qui captera les deux sens du<br />
verbe \^etre" et qui sera appelee identite monadique ( m ).<br />
(iii) La necessite de donner de nouve<strong>au</strong>x axiomes pour cette relation.<br />
La notation adoptee par Sommers pour ab est ? a est b ou le symbole \?"<br />
marque la quantication libre QL. La quantication libre capte \a" comme un<br />
objet, mais laisse \b" <strong>au</strong> nive<strong>au</strong> du concept.<br />
Les axiomes sont:<br />
1. ? a est a (reexivite)<br />
2. si ? a est b alors ? besta(symetrie)<br />
3. si ? a est b et ? b est c alors ? a est c (transitivite)<br />
4. si ? a est b et ? b est P, alors ? aestP,Petant un predicat.<br />
5. si pour tout P, ? b est P implique ? a est P, alors ? a est b.<br />
Dans son interpretation dyadique Frege a essaye d'unier les sens du verbe<br />
^etre d'une maniere predicative. Pour Frege, la theorie de l'identite est comprise<br />
dans la theorie de la predication. L'entreprise de Sommers est d'unier les sens du<br />
verbe ^etre d'une maniere relationnelle. L'identite monadique avec ses 5 axiomes<br />
1.-5. couvre la necessite d'une logique speciale pour l'identite.<br />
3. Sommers se situe toujours dans le cadre de l'opposition de la LFT a la<br />
LMP, donc il cherche une alternative pour chaque sous-theorie de la LMP. Il<br />
arme que:<br />
\Pour chacun qui cherche une alternative a la theorie atomique, la distinction<br />
objet-concept perd son <strong>au</strong>torite syntaxique et devient une simple distinction<br />
metaphysique."<br />
12 Sommers ne considere ici que deux valeurs du verbe \^etre" susceptibles d'^etre symbolisees<br />
par .
Presentation du systeme de F. Sommers 91<br />
4. La theorie de l'identite de Leibniz est exprimee par les lois de Leibniz:<br />
Si a est identique a b, alors tout ce qui est dit sur a, peut ^etre dit sur b.<br />
Si tout a est b et tout b est a, alors tout ce qui est vrai pour a, est vrai pour<br />
b et tout qui est vrai pour b est vrai pour a :<br />
aestb<br />
... a ...<br />
... b ...<br />
qui donne :<br />
Dictum de Omni<br />
tout X est Y<br />
... X ...<br />
... Y ...<br />
Frege considere l'identite comme une primitive et il n'utilise pas la loi de<br />
Leibniz comme une denition de l'identite.<br />
5. L'interpretation predicative de l'identite conduit Frege a sa propre theorie<br />
du sens et de la reference dont le noy<strong>au</strong> est: un nom propre gagne sa reference<br />
par son sens. Geach considere le paradoxe de l'identite : deux objets ne peuvent<br />
jamais ^etre identiques.<br />
6. Les discussions sur l'identite ontete <strong>au</strong>gmentees par les propos de Kripke<br />
[Kri72]sur la modalite des phrases identite: si \a est identique a b" est vraie,<br />
alors elle est necessairement vraie. Savoir si la relation d'identite entre un objet<br />
et lui-m^eme estnecessairement vraie reste un probleme ouvert.<br />
7. La theorie a deux termes de Sommers peut avoir une notion de l'identite<br />
dans laquelle les propositions identite sont monadiques (l'identite monadique). La<br />
theorie de l'identite monadique est non-relationnelle pour Sommers. Il comprend<br />
le terme \non-relationnelle" dans le sens ou elle n'est pas une sous-theorie de la<br />
theorie des relations. Les lois de l'identite monadique ont leurs correspondants<br />
dans la LMP.<br />
Cette approche presente comme avantages :<br />
{ L'identite monadique chasse le paradoxe de l'identite.<br />
{ Les theoremes sont be<strong>au</strong>coup plus elegants dans la LFT que dans la LMP.<br />
Les desavantages sont:<br />
- Son pouvoir d'expression reste restreint analyser des propositions comme<br />
\Il y a <strong>au</strong> plus un Createur" (\Il n'y a qu'un Createur"), \Il yaexactement deux<br />
astres" (\Il n'y a que deux astres") est une entreprise tres compliquee <br />
-Gerer les arguments contenus dans une proposition identite necessite plus<br />
d'attention.
92 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens<br />
3.3 L'algebre de la LFT<br />
F. Sommers propose un formalisme algebrique tres simple comme \syntaxe logique"<br />
basee sur sa theorie a deux termes. Ce formalisme est appele l'algebre de la<br />
logique formelle traditionnelle (LFT) ou la logique formelle des termes (LFT). 13<br />
Chaque element de cette algebre represente une \forme logique" qui interprete<br />
une proposition d'une langue naturelle.<br />
Pour pouvoir analyser le systeme de Sommers nous faisons d'abord quelques<br />
remarques generales sur les formalismes logiques de la semantique des langues naturelles.<br />
La structure fonctionnelle de la proposition est un element determinant<br />
de la syntaxe d'un formalisme syntaxico-semantique pour le langage. La qualite<br />
d'un formalisme linguistique exprime sa capacite a capter l'interdependance<br />
syntaxe-semantique. Une bonne qualite du formalisme est obtenue si sa construction<br />
considere trois parametres de la structure fonctionnelle de la proposition:<br />
La structure de la proposition <br />
Les elements de cette structure <br />
Le fonctionnement de cette structure (le rapport entre la syntaxe et la<br />
semantique mis en evidence par l'interpretation semantique fonctionnelle).<br />
Nous retrouvons ces trois parametres explicitement species ou non dans<br />
tous les formalismes linguistiques. Le symbolisme syntaxique doit capter l'interpretation<br />
semantique fonctionnelle. Comme tout systeme semiotique, l'interpretation<br />
semantique fonctionnelle est dependante de la syntaxe. La syntaxe<br />
est determinee par l'interpretation semantique fonctionnelle. En variant les valeurs<br />
de ces trois parametres dans un domaine des valeurs possibles etabli par<br />
la theorie grammaticale classique et la philosophie du langage on obtient des<br />
formalismes plus ou moins adequats.<br />
La construction de l'algebre de la LFT a la base comme valeurs de ces parametres:<br />
{ L'hypothese classique sur la syntaxe des langues naturelles : la structure<br />
fondamentale de la proposition est binaire (S P)<br />
{ La notion classique de categoreme et de syncategoreme 14 mais dans l'algebre<br />
de la LFT les categoremes sont les termes et non pas les noms comme<br />
Frege le postulait.<br />
13 Sommers emlploie l'abreviation LFT soit pour toute sa theorie, soit pour son modele<br />
algebrique.<br />
14 Pour la premiere fois, dans les trav<strong>au</strong>x de Husserl [Hus13] en respectant la tradition philosophique<br />
des Grecs les categoremes sont vues comme des expressions saturees, avec une signication<br />
complete, les syncategoremes comme des expressions non-saturees, avec une signication<br />
incomplete.
L'algebre de la LFT 93<br />
{ Toute proposition elementaire contient une expression syncategorematique<br />
(un terme connecteur) qui unit les deux termes comme : \il y a un . . . qui<br />
est", \tout est".<br />
La structure de la proposition est, donc:<br />
#<br />
ou et sont les termes et # est le connecteur. Cette formule est une formule<br />
bien formee dans l'algebre de Sommers.<br />
M^eme si F. Sommers ne parle pas d'une semantique fonctionnelle, son analyse<br />
et son formalisme tiennent d'une telle semantique.<br />
L'analyse de Sommers commence avec l'analyse de la paire categoremessyncategoremes.<br />
3.3.1 Expressions : categoremes, syncategoremes<br />
Les logiciens classiques ont distingue deux types d'expressions : categoremes et<br />
syncategoremes. Les categoremes sont les expressions qui denotent des objets ou<br />
des etats de choses. La caracterisation classique des syncategoremes est essentiellement<br />
negative: elle echoue a nous dire ce que ces expressions sont, mais elle<br />
nous dit ce que ces expressions ne le sont pas. Quine appelle categoremes les<br />
expressions extra-logiques et syncategoremes les expressions logiques. Quine est<br />
Tarski considerent que les syncategoremes sedenisent uniquement par leur appartenance<br />
a une liste nie d'elements. Dummett critique cette armation, mais<br />
lui-m^eme ne fait pas une caracterisation complete de cette liste. Il accepte un<br />
isomorphisme entre les propositions atomiques et les categoremes et entre les proposition<br />
complexes et les syncategoremes. Sommers enumere quelques problemes<br />
qui ont genere des points de vue dierents dans la logique du langage :<br />
{ L'existence de la classe des propositions atomiques et la reconnaissance des<br />
elements de cette classe le rapport entre cette classe et les categoremes <br />
{ La denition des predicats primitifs <br />
{ Le statut de l'identite (l'expression \^etre identique a"){Frege la considere<br />
comme une expression extra-logique, Dummett la considere comme une<br />
expression logique <br />
{ La theorie des relations est-elle comprise dans la logique? Si non, quelle est<br />
la position de cette theorie versus la logique, <strong>au</strong>trement dit la theorie des<br />
relations est-elle une sous-theorie logique?
94 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens<br />
Sommers ne met pas en c<strong>au</strong>se explicitement la position philosophique selon<br />
laquelle les categoremes sont des expressions \completes", pourvues d'une signi-<br />
cation et les syncategoremes des expressions \incompletes" dont la signication<br />
est dependante des elements sur lesquels elles portent. Sa conclusion degagee<br />
apres une etude comparative des dierentes positions philosophiques est:<br />
{ M^eme si nous n'acceptons pas la classe des propositions atomiques comme<br />
categorie a part, ces propositions ne contiennent que des elements categorematiques<br />
<br />
{ La classe des categoremes est innie et l'appartenance a cette classe n'est<br />
pas encore speciee par un principe universel <br />
{ Il f<strong>au</strong>t se concentrer sur les syncategoremes et les etudier.<br />
Les dierences structurelles entre la LMP et la LFT comme formalismes sont<br />
basees sur les hypotheses suivantes:<br />
{ (1)<br />
{ (2)<br />
{ (3)<br />
{ LFT. Les categoremes d'une proposition elementaire sont les termes<br />
et non pas les noms, ni les predicats.<br />
{ LMP. Les categoremes d'une proposition atomique sont les noms, et<br />
les syncategoremes sont les predicats.<br />
{ LFT. Toute proposition elementaire a deux termes.<br />
{ LMP. Aucune hypothese.<br />
{ LFT. Toute proposition elementaire contient une expression syncategorematique,<br />
nommee \connecteur" qui lie les deux termes. Ce connecteur<br />
est exprime dans les langues naturelles par les expressions \tout. . .<br />
est" ou \il y a des . . . qui sont"<br />
{ LMP. Les syncategoremes d'une proposition atomique sont les predicats.<br />
La construction syntaxique de Sommers est basee sur deux idees fondamentales<br />
:
L'algebre de la LFT 95<br />
{ Les mots comme \non, tout, et, il y a un, si alors, ou" apparemment<br />
dierents ont un caractere commun : ils sont des syncategoremes. Ces mots<br />
sont les correspondants dans la langue de ce que la LMP appelle connecteurs<br />
et quanticateurs.<br />
{ Il existe un \isomorphisme structurel" entre \et" comme connecteur propositionnel<br />
et \il y a un qui est" comme quanticateur et \si alors" comme<br />
connecteur propositionnel et \tout est" comme quanticateur.<br />
Sommers emploie l'expression \isomorphisme structurel" pour exprimer la<br />
\ressamblance" entre la structure d'une proposition du type \(Il y a un A qui)<br />
est (B)" et la phrase \(p) et (q)".<br />
L'algebre de la LFT est construite en deux etapes :<br />
{ Le noy<strong>au</strong> de l'algebre <br />
{ L'algebre entiere.<br />
Le noy<strong>au</strong> de l'algebre est construit pour caracteriser un sous-ensemble de propositions<br />
du langage naturel qui satisfait a:<br />
(i) la syntaxe des propositions de ce sous-ensemble est facilement speciable <br />
(ii) les propositions elementaires ont une structure canonique (S P) <br />
(iii) chaque proposition de la langue naturelle est :<br />
{ soit canonique elle-m^eme<br />
{ soit elle est paraphrasable comme une proposition dans ce sous-ensemble.<br />
Les syncategoremes du noy<strong>au</strong> sont : \il y a des (un) qui sont (est)", \et". Ils<br />
sont mis en correspondance avec un foncteur commutatif y (le poignard) dont<br />
l'interpretation est :<br />
{ pour les termes du noy<strong>au</strong> (1):<br />
A y B un A est un B il y a un A qui est B<br />
{ pour les propositions du noy<strong>au</strong> (2):<br />
p y q petq.<br />
La structure commune de A y Betpy q s'exprime par le fait que les deux verient<br />
A y B se lit : il y a un A qui est B (un A est B)<br />
la commutativite. p y [q y r] se lit : pet(qetr)<br />
< A y B y C > se lit : un A qui est B est C<br />
[Ay < B y C >] y [Dy < E y F >] se lit : unAestBetCetunDestEetF<br />
Nous remarquons le r^ole des dierents types de parentheses : les enferme<br />
une structure des termes, les [ ], une structure propositionnelle. La syntaxe
96 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens<br />
logique proposee analyse les propositions en parties logiques (dans le sens de la<br />
logique classique) et parties extra-logiques (dans le sens de la grammaire).<br />
La denition du noy<strong>au</strong> a comme point de depart les hypotheses :<br />
1. Les categoremes sont les termes et les propositions <br />
2. Les termes et les propositions apparaissent comme des paires d'elements<br />
contraires:<br />
Pour les termes : un citoyen, un non-citoyen.<br />
Pour les propositions : Le roi est mort. Il est f<strong>au</strong>x que le roi est mort.<br />
Sommers part de l'idee qu'il existe deux negations : la negation d'un terme et<br />
la negation d'une proposition. Il explique que si P est un terme, alors non-P est<br />
<strong>au</strong>ssi un terme appele leterme oppose deP. Ce qui echoue a ^etre un P est un<br />
non-P et inversement cequiechoue a ^etre un non-P est un P. Cette opposition<br />
est retrouvee dans les langues naturelles par les prexes (ou les <strong>au</strong>tres moyens)<br />
qui construisent le terme oppose.<br />
Nous pouvons remarquer que le \terme" de Sommers n'est deni ni de facon<br />
exclusivement syntaxique, ni de facon exclusivement semantique. Du point de<br />
vue semantique, ce n'est pas <strong>au</strong>tre chose qu'un concept, ou plut^ot l'objet typique<br />
associe a un concept (voir le chapitre 6).<br />
Pour les propositions, la negation est la negation propositionnelle classique.<br />
La negation de Sommers est donc la negation propositionnellr N 0 et la negation<br />
d'un concept N 1 (voir l'annexe ??)<br />
Termes opposes. Les termes P et non-P sont notes dans ce systeme par +P<br />
et {P. L'association d'une \qualitenegative" <strong>au</strong>x termes est arbitraire, parce que<br />
nous pouvons considerer que le terme non-P est un Q. Donc, pour les termes les<br />
signes + ou { sont arbitraires. Nous pouvons noter +Q = {P.<br />
Exemple: citoyen non-citoyen.<br />
Propositions opposees. La representation de la proposition p est +p. Cette<br />
proposition est une proposition a qualite positive . La proposition non-p est une<br />
proposition a qualite negative . Sa representation est {p.<br />
La negation d'une proposition est pour Sommers la negation de la logique<br />
propositionnelle. Les signes + et { pour les propositions ne sont pas arbitraires,<br />
parce que pour une proposition a qualite negative, il n'existe pas de proposition<br />
a qualite positive avec les m^emes valeurs de verite. Les propositions du noy<strong>au</strong><br />
sont des propositions de type (2) construites avec des termes de type (1).<br />
Exemple: Le roi est mort. Le roi n'est pas mort.<br />
Sommers introduit la notion de valence d'une proposition par:<br />
Si la proposition contient la negation propositionnelle, alors elle a une valence<br />
negative, si la proposition ne contient pas cette negation elle a une valence<br />
positive. Une proposition a valence positive est de l'un des types :<br />
Il y a un X qui est Y.
L'algebre de la LFT 97<br />
Ily<strong>au</strong>nnon-X qui est Y.<br />
Ily<strong>au</strong>nXquiestnon-Y.<br />
Ily<strong>au</strong>nnon-X qui est non-Y.<br />
Une telle proposition est representee par :<br />
(X) y (Y )<br />
Une proposition a valence negative est de l'un des types :<br />
non (Il y a un X qui est Y).<br />
non (Il y a un non-X qui est Y).<br />
non (Il y a un X qui est non-Y).<br />
non (Il y a un non-X qui est non-Y).<br />
Une telle proposition est representee par :<br />
;((X) y (Y ))<br />
Le principe de la covalence. Deux propositions du noy<strong>au</strong> peuvent ^etre<br />
equivalentes seulement si elles sont covalentes. Ce principe est un principe important<br />
de la logique des termes.<br />
Le noy<strong>au</strong> de l'algebre de la LFT est appele <strong>au</strong>ssi logique des termes primitifs<br />
(LTP). La LTP est un sous-systeme de la LFT ayant comme seuls connecteurs<br />
\un . . . est" et \et". La forme generale d'une proposition en LTP est:<br />
(() y ())<br />
ou , sont des termes ou des propositions et + et { signient la qualite positive<br />
ou negative d'un terme ou d'une proposition. Par convention le signe + sera omis<br />
quand il simbolise la qualite positive.<br />
Quelques denitions.<br />
Une expression relationnelle notee par R n est un predicat de n arguments.<br />
Un terme relationnel est une expression relationnelle avec une ou plusieurs<br />
expressions de la forme \un X".<br />
Une proposition relationnelle est une proposition qui contient un terme relationnel.<br />
Exemples:<br />
1. L'expression relationnelle admirer 2 (y,x), engendre le terme relationnel<br />
admirer 2 (une lle,x) et la paraphrase \Un garcon est tel qu'une lle est telle<br />
qu'elle est admiree par lui" de la proposition relationnelle : \Un garcon admire<br />
une lle".<br />
La transcription de cette proposition dans l'algebre de Sommers est :<br />
garcon y (admirer 2 y (lle)
98 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens<br />
ou dans la forme normale,<br />
garcon y (lle y admirer 2 )<br />
2. L'expression relationnelle donner 3 (z,y,x), engendre le terme relationnel<br />
donner 3 (un jouet, un enfant, un marin) et la paraphrase \Un marin est tel que,<br />
il y a un enfant tel que, il y a un jouet donne a lui par lui" de la proposition<br />
relationnelle : \Un marin donne un jouet a un enfant".<br />
La transcription de cette proposition dans l'algebre de Sommers est:<br />
ou dans la forme normale,<br />
marin y (donner 3 y (enfant y (jouet)))<br />
marin y (enfant y (jouet y donner 3 ))<br />
3. La proposition \Un garcon aime une lle qui possede une vache" est<br />
representee dans la LTP par la forme normale:<br />
garcon y (< (lle y (vache y posseder) > aimer 2 )<br />
Un terme singulier est un terme qui denote un seul objet, comme par exemple,<br />
\Socrate".<br />
La proposition \Socrate est sage" a la forme LTP:<br />
Socrate y sage<br />
Dierents types de parentheses sont utilises:<br />
( ) pour les propositions relationnelles :<br />
(A 1 ( y ... ( A n R n )... )<br />
pour une conjonction de termes :<br />
\Il y a des non-P et Q qui sont R" est representable par :<br />
+(< ({P) y (+Q) > y (+R))<br />
[ ] pour une conjonction de propositions avec une structure interne explicite :<br />
\Un P est Q et un R est S" a la forme :<br />
[Py Q]y [Ry S].<br />
On remarque qu'on peut remplacer les dierents types de parentheses par les<br />
().
L'algebre de la LFT 99<br />
3.3.2 La description formelle de la LTP<br />
3.3.2.1 Le vocabulaire.<br />
I. Les elements materi<strong>au</strong>x.<br />
(i) (a) les lettres pour les termes.<br />
(b) les lettres pour les termes singuliers.<br />
(ii) les lettres pour les relations (n-aires).<br />
(iii) les lettres pour les propositions.<br />
II. Les elements <strong>format</strong>ifs.<br />
(i) les signes de qualite:+et{.<br />
(ii) le signe de concatenation y.<br />
(iii) les parentheses : ( ), ,[].<br />
3.3.2.2 Les regles de <strong>format</strong>ion.<br />
Pour les termes :<br />
(1) Si est un terme ou une relation, alors sont des termes ou des relations.<br />
Un terme est singulier s'il est de la forme + ou est une lettre de terme singulier.<br />
(2) Si et sont deux termes (ou deux relations de m^eme degre) alors <<br />
y >est un terme compose (relation composee).<br />
(3) Si R est une relation n-aire et 2 ::: n sont des termes alors R y 2 y<br />
... n est un terme.<br />
(4) Tous les termes s'obtiennent a partir de (1), (2), (3) et seulementa partir<br />
de (1), (2), (3).<br />
Pour les propositions:<br />
(5) Si est une proposition, alors sont des propositions.<br />
(6) Si , sont des propositions, alors y est une proposition.<br />
(7) Si , sont des propositions, alors [] y [] est une proposition.<br />
(8) Toutes les propositions s'obtiennent par les regles (5), (6), (7) et seulement<br />
par ces regles.<br />
Les regles de la LTP ont des points communs avec la construction (la syntaxe)<br />
des expressions arithmetiques. Cette remarque conduit a l'idee de remplacer<br />
le connecteur \y" par le signe \+". Les regles des signes \+" et \;" de<br />
l'arithmetique s'appliquent pour les \+" et \;" delaLFT.Leresultat est la<br />
transcription des propositions d'une langue naturelle dans une notation qui rend<br />
possible la manipulation de la logique d'une maniere arithmetique.<br />
La LTP est un fragment qui ne contient comme connecteurs que le quanticateur<br />
existentiel et la conjonction.
100 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens<br />
3.3.2.3 L'extension de la LTP a la LFT (logique formelle des termes)<br />
La LFT est l'extension de la LTP obtenue en introduisant le quanticateur universel,<br />
la disjonction et l'implication. En plus, le symbole y est remplace par \+"<br />
et les regles arithmetiques de \+" et \;" sont appliquees.<br />
Le quanticateur universel :<br />
(8) (... x ...) = def non(9 x) (non ... x ...)<br />
p ! q= def non (p ^ non q)<br />
La traduction de \n'est pas", \et non", \tout. . . est", \si . . . alors", \ou" en<br />
LFT :<br />
Les termes<br />
(D1) Il y a un A qui n'est pas B = def Ily<strong>au</strong>nAquiestnon-B= def +A+<br />
({B) = def +A {B<br />
(la copule negative est representee par le signe \;" d'apres Hobbes et Leibniz )<br />
Les propositions<br />
(D2) p et non q = def +p+({q)= def +p { q<br />
B<br />
Les termes<br />
(D3) Tout A est B = def non(un A n'est pas B) = def {(+A { B)= def {A+<br />
Les propositions<br />
(D4) si p alors q = def non(p et non q) = def { (+p +({q)) = def {p + q<br />
(D5) p ou q = def non (non p et non q) = def {({p){({q)= def {[+({p)+<br />
({q)]<br />
La forme generale d'une proposition dans la LFT est:<br />
( ( ) ( ))<br />
et etant des termes ou des propositions.<br />
L'interpretation de cette forme est :<br />
pour les termes :<br />
oui un / il y a des est<br />
non tout non n'est pas<br />
<br />
non <br />
pour les propositions<br />
oui les deux<br />
non si<br />
<br />
non ( et<br />
et non ou<br />
alors<br />
alors non )<br />
<br />
non
L'algebre de la LFT 101<br />
Le schema pour les quatre propositions categorielles standard de la logique<br />
classique est:<br />
A ToutSestP {(S { P) = { S + P<br />
E Aucun S n'est P {(S+P)={S{P<br />
I Il y a des S qui sont P +S+P<br />
O Il y a des S qui ne sont pas P +S{P<br />
3.3.3 L'algebre de la LFT (logique formelle des termes)<br />
3.3.3.1 Le vocabulaire.<br />
I. Les elements materi<strong>au</strong>x.<br />
(i) (a) les lettres pour les termes.<br />
(b) les lettres pour les termes singuliers.<br />
(ii) les lettres pour les relations (n-aires).<br />
(iii) les lettres pour les propositions.<br />
II. Les elements <strong>format</strong>ifs.<br />
(i) les signes de qualite:+et{.<br />
(ii) le signe de concatenation + et { .<br />
(iii) les parentheses : ( ), ,[].<br />
3.3.3.2 Les regles de <strong>format</strong>ion.<br />
Pour les termes:<br />
(1F) Si est un terme ou une relation, alors () sont des termes ou des<br />
relations. Un terme est singulier s'il est de la forme (+ )ou est une lettre de<br />
terme singulier.<br />
(2F) Si et sont deux termes (ou deux relations de m^eme degre) alors <br />
< > sont des termes (des relations n-aires).<br />
(3F) Si R est une relation n-aire et 2 ::: n sont des termes alors R 2<br />
::: n est un terme.<br />
(4F) Tous les termes s'obtiennent a partir de (1F), (2F), (3F) et seulement a<br />
partir de (1F), (2F), (3F).<br />
Pour les propositions:<br />
(5F) Si est une lettre de proposition, alors ( ) sont des propositions.<br />
(6F) Si , sont des termes, alors ( ) sont des propositions.<br />
(7F) Si , sont des propositions, alors ( [ ] [ ] ) sont des<br />
propositions.<br />
(8F) Toutes les propositions s'obtiennent a partir des regles (5F), (6F), (7F)<br />
et seulement a partir d'elles.
102 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens<br />
3.3.3.3 Regles (lois) de trans<strong>format</strong>ion et de derivation.<br />
Lois de trans<strong>format</strong>ion.<br />
(1) Les lois de la commutativite<br />
(i) + + =+ + <br />
(ii) { { {{ ={{ {{ (pour les termes: <strong>au</strong>cun non n'est non =<br />
<strong>au</strong>cun non n'est non . Pour les phrases: ou = ou )<br />
(2) Les lois de l'associativite<br />
(i) + +( + ) =( + ) +<br />
(ii) { { {{({{ {{) ={{({{ {{) {{<br />
L'interpretation pour les termes est: <strong>au</strong>cun non- n'est ni , ni = <strong>au</strong>cun<br />
qui n'est ni , ni n'est non- 15 .<br />
(3) Les lois de la distributivite externe de \non" (lois de De Morgan)<br />
{( ) = <br />
(4) Les lois de la distributivite interne de \non"<br />
(i) {( ) = +( )<br />
(ii) 1 {(R 2 ::: n )= 1 +({R) 2 ::: n<br />
La lecture propositionnelle pour + {({) =+ + est et non-non- =<br />
et .<br />
La lecture pour les termes est: Il y a un qui n'est pas non- =Ily<strong>au</strong>n<br />
qui est .<br />
La loi (4-ii) est une loi des termes.<br />
(5) La loi de la double negation<br />
{{ = <br />
(6) Les lois de l'iteration<br />
(i) + + = <br />
et = <br />
(ii) { { {{ = <br />
ou = <br />
(7) Les lois de distribution de \et" sur \ou"<br />
(i)+({{ {{) + ({ { {{) ={{(+ + ) {{(+ + )<br />
et ( ou ) =( et ) ou( et )<br />
(ii) { { (+ + ) {{(+ + ) =+({{ {{) + ({ { {{)<br />
15 Nous donnons la demonstration de cette loi (le passage du formalisme de Sommers a la<br />
LMP) en Annexe B.
L'algebre de la LFT 103<br />
ou ( et ) =( ou ) et( ou )<br />
3.3.3.4 Les lois de derivation.<br />
(8) Dictum de Omni (DDO)<br />
{ <br />
(i) ... ...<br />
... ...<br />
(ii)<br />
+ <br />
...{ ...<br />
... ...<br />
Ici { a le sens de \tout " ou \si ". La conclusion est la \somme arithmetique"<br />
des premisses.<br />
La DDO est une loi tres generale qui comprend comme cas particuliers les<br />
lois: BARBARA, le modus ponens, la substitution de l'identite.<br />
(9) La conjonction<br />
p<br />
q<br />
+p+q<br />
(10) La disjonction<br />
p<br />
{{p{{q<br />
(11) La simplication<br />
+p + q<br />
p<br />
(12) La loi du quanticateur implicite (QL)<br />
+ i + <br />
{ i + <br />
Le terme i est un terme singulier, donc il peut ^etre vu comme i a c<strong>au</strong>se<br />
du quanticateur libre.<br />
(13) Les lois de la distribution predicative<br />
(i) + + < {{ {{>= { {[ + + ]{{[+ + ]<br />
Il y des qui sont ou = Il y des qui sont ou Il y des qui sont <br />
(ii) { + < + + >=+[{ + ]+[{ + ]<br />
Tout est et =Tout est et tout est
104 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens<br />
Si est un terme singulier, la distributivite s'applique pour \et" et \ou".<br />
(14) Les lois T<br />
(i) { A + T : tout A est une chose<br />
(ii) A+B= T+< A+B><br />
(a) Il y a des A qui sont B = Il y a des choses qui sont A et B<br />
(b) ToutAestB=Toutes les choses sont telles que si A alors B<br />
(iii) A+B= [+Tx+ E] + [ [ x+A]+[ x+B]]<br />
(a) Il y a un A qui est B = Il y a une chose et cette chose est A et B.<br />
(b) ToutAestB=Siunechose existe, alors si elle est A, alors elle est B.<br />
(15) La loi de la relation inverse<br />
1 + R... i ... j + ::: n<br />
1 + R... j ... i +... n<br />
(16) Inferences dans la LFT<br />
Une t<strong>au</strong>tologie est denie par:<br />
(1) { + est une t<strong>au</strong>tologie.<br />
(2) Si H est une t<strong>au</strong>tologie, alors { + H est une t<strong>au</strong>tologie.<br />
(3) Si H 1 , H 2 sont des t<strong>au</strong>tologies, alors H 1 + H 2 est une t<strong>au</strong>tologie.<br />
(4) Toute proposition engendre une t<strong>au</strong>tologie.<br />
(5) Toute proposition est une contradiction si sa negation est une t<strong>au</strong>tologie.<br />
Un ensemble de propositions est inconsistant si et seulement si une contradiction<br />
est derivable de la conjonction de ses elements.<br />
Une inference dont les premisses sont consistantes est valide si et seulement<br />
si l'ensemble de ses premisses et de la negation de sa conclusion est inconsistant.<br />
Les inferences considerees ici ont les caracteristiques suivantes:<br />
(a) Chaque inference a <strong>au</strong>tant de termes que de propositions.<br />
(b) Chaque terme appara^t deux fois dans des propositions dierentes.<br />
Une inference de ce type est appele \inference classique a terme" (ICT). Une<br />
telle inference a n termes et n propositions. Pour n = 3, nous obtenons le syllogisme.<br />
L'ensemble-compteur d'une ICT est l'ensemble des propositions forme<br />
par les premisses de l'ICT et la negation de sa conclusion.<br />
Une ICT est valide si et seulement si la conjonction des propositions dans son<br />
ensemble-compteur est inconsistant. La validite peut^etre prouvee par l'analyse<br />
de la consistance de l'ensemble-compteur.<br />
Un ensemble de n propositions avec n termes recurrents est inconsistant si et<br />
seulement si:<br />
a) L'ensemble contient une et une seule proposition particuliere (qui contient<br />
le quanticateur existentiel).<br />
b) La somme algebrique des propositions de l'ensemble est 0.
L'algebre de la LFT 105<br />
Exemples:<br />
a)<br />
Il y a des A qui ne sont pas B<br />
Il y a des B qui ne sont pas A<br />
+A{B<br />
+B{A<br />
L'ensemble-compteur est :<br />
+A{B<br />
{(+B{A)<br />
Cet ensemble a une seule proposition particuliere, mais la somme de l'ensemble<br />
n'est pas 0.<br />
b)<br />
Il y a des A qui ne sont pas B<br />
+A{B<br />
Il y a des B qui ne sont pas C<br />
+B{C<br />
Il y a des A qui ne sont pas C<br />
+A{C<br />
L'ensemble-compteur est :<br />
+A{B<br />
+B{C<br />
{(+A{C)<br />
Cette fois, la somme de l'ensemble est 0, mais il y a deux propositions particulieres<br />
dans cette ensemble.<br />
3.3.4 Exemples d'analyse en LFT<br />
Nous presentons quelques propositions et leur analyse en LFT et LMP. Le passage<br />
de l'analyse en LFT a l'analyse en LMP et inversement se fait tres facilement en<br />
appliquant les regles de passage de Sommers :<br />
(R1) Il y a des A qui sont B , +A+B, (9 x)(Ax^ Bx)<br />
(R2) Tout A est B , {A+B, (8 x)(Ax! Bx)<br />
(R3) est B , +B, B <br />
(Regle de la forme normale sujet-predicat FNSP)<br />
A 1 +R m ... A m )A 1 +( A 2 +(... A m +R m ). . . )<br />
1.Tout garcon aime une lle.<br />
LFT<br />
{G+A 2 +F<br />
{G+(+F+A 2 ) (FNSP)<br />
LMP<br />
(8 x)(Gx! ((9 y)(Fy^ A 2 y x)))<br />
La traduction de LFT en LMP:
106 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens<br />
{G+A 2 +F<br />
FSNP<br />
{G+(+F+A 2 )<br />
R2<br />
(8 x)(Gx! (+F+A 2 x) R1<br />
(8 x)(Gx! ((9 y)(Fy^ A 2 x y)))<br />
2. Un marin donnait un cade<strong>au</strong> a chaque enfant.<br />
LFT<br />
+M+D 3 {E+C<br />
+M+({E+(+C+D 3 ))<br />
FNSP<br />
LMP<br />
(9 x)(Mx^ ((8 y)Ey! (9 z) (C z ^ D 3 x y z)))<br />
La traduction de LFT en LMP:<br />
+M+D 3 {E+C<br />
FSNP<br />
+M+({E+(+C+D 3 ))<br />
R1<br />
(9 x)(Mx^ ({E+(+C+D 3 x))) R2<br />
(9 x)(Mx^ ((8 y) E y ! (+C+D 3 x y))) R1<br />
(9 x)(Mx^ ((8 y) E y ! (9 z) (C z ^ D 3 x y z)))<br />
3. Venus est l'etoile du matin.<br />
LFT<br />
+V+(E+M)<br />
+V+(M+E)<br />
LMP<br />
(E (M V))<br />
((^etre (du matin etoile)) Venus)<br />
4. Tout ce qui brille n'est pas d'or.<br />
FNSP<br />
LFT<br />
B{O<br />
B{O<br />
LMP<br />
(9x) (Bx^ (: Ox))<br />
FNSP<br />
La traduction de LFT en LMP:<br />
B{O<br />
(9 x)(B x ^ (- O))<br />
(9 x)(Bx^ (: O x))<br />
5. Un editeur lit tout ce qui est ecrit par un <strong>au</strong>teur d'une trilogie.<br />
LFT<br />
R1
Conclusions 107<br />
E=editeur, L 2 = lire, Ec 2 =ecrire, A 2 = <strong>au</strong>teur (vu comme relation), T =<br />
trilogie.<br />
+E+(L 2 {(Ec 2 +(A 2 + T)))<br />
+E+({(+(+T+A 2 )+Ec 2 )+L 2 ) FNSP<br />
LMP<br />
(9 x) (E x ^ (8 y) ((9 z) (9 w) (( T w ^ A 2 zw)^ Ec 2 yz)! L 2 x y))<br />
La traduction de LFT en LMP:<br />
+E+(L 2 -(Ec 2 +(A 2 + T)))<br />
FSNP<br />
+E+({(+(+T+A 2 )+Ec 2 )+L 2 )<br />
R1<br />
(9 x)(Ex^ ({(+(+T+A 2 )+Ec 2 )+L 2 x) R2<br />
(9 x)(Ex^ (8 y)(+(+T+A 2 )+Ec 2 y) ! L 2 x y)) R1<br />
(9 x) ( E x ^ (8 y) (( 9 z)((+T+A 2 z) ^ Ec 2 yz)! L 2 x R1<br />
y))<br />
(9 x) ( E x ^ (8 y) ((9 z)(9 w) ((T w ^ A 2 zw)^ Ec 2 yz)<br />
! L 2 x y))<br />
6. Le syllogisme.<br />
Sartre est un philosophe fameux.<br />
Sartre est un romancier.<br />
Ily<strong>au</strong>nromancier qui est un philosophe fameux<br />
+S+P<br />
+S+R<br />
+R+P<br />
L'ensemble-compteur est respectivement:<br />
+S+P<br />
+S+R<br />
{(+R+P)<br />
Si on transforme la deuxieme premisse en { S + P (en appliquant <strong>au</strong> terme<br />
singulier +Slequanticateur libre, il devient { S) cet ensemble est:<br />
+S+P<br />
{S+R<br />
{(+R+P)<br />
Il verie les conditions d'inconsistance, donc l'inference est valide.<br />
3.4 Conclusions<br />
Il y a une these fondamentale dans la logique traditionnelle pre-fregeenne que<br />
toute proposition cognitive du langage naturel est soit elle m^eme canonique, soit<br />
elle peut ^etre paraphraser dans une proposition canonique. Les logiciens doivent<br />
denir la forme canonique et les linguistes doivent specier des regles pour la<br />
paraphrase.<br />
F.Sommers denit cette forme canonique par la forme primitive de la proposition<br />
:
108 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens<br />
Tous/il y a des X (qui) est/sont Y. #<br />
Il construit la theorie a deux termes . Dans cette theorie il n'existe pas des propositions<br />
atomiques de la forme \P a", ni des sujets simples, ni des demonstratifs<br />
simples, ni des variables libres ou liees, comme categories a part. La these de<br />
base de cette theorie est une these syntaxique. L'hypothese syntaxique est que<br />
toutes les propositions sont quantiees. Les propositions atomiques contient une<br />
quantication, la quantication implicite (libre).<br />
Le modele formel est un modele des foncteurs. Les foncteurs primitifs sont:<br />
{ (1) un foncteur binaire commutatif " + " qui relie deux propositions ou<br />
deux termes, dont la traduction dans la langue est :<br />
\et" pour les propositions<br />
\il y a un . . . qui est" pour les termes<br />
{ (2) un foncteur binaire derive " - " avec lequel nous exprimons :<br />
\si...alors", \ou "pour les propositions<br />
\tout...est" pour les termes<br />
La position semantique de Sommers est que le sens doit se construire a partir<br />
des termes. Le monde extralinguistique est un ensemble d'etats de choses.<br />
Chaque terme correspond a unetat de choses :<br />
Le monde est un domaine ou une totalite caracterisee par l'existence<br />
decertaines choses et la non-existance des <strong>au</strong>tres. Les propositions<br />
et les etats sont identiables avec l'existence ou la non-existence<br />
des choses comme des etats du monde et non pas comme des etats<br />
dans le monde. Par exemple, l'existence des chats gris est un fait<br />
positif qui rend la proposition " Il y a des chats gris " vraie la nonexistence<br />
des chats roses est un fait negatif qui rend la proposition "<br />
Aucun chat n'est rose" vraie. Les etats sont des "items" du monde et<br />
il y a deux types d'etats: etats positifs et etats negatifs.<br />
Les points princip<strong>au</strong>x dans l'opposition LFT-LMP sont :<br />
{ La LFT est basee sur une theorie binaire (S P). Le sujet est quantie etil<br />
designe, le predicat qualie. La LMP est une theorie unaire qui ignore ces<br />
aspects.<br />
{ La LFT condidere le pronom comme un terme deni par d'<strong>au</strong>tres termes.<br />
La LMP considere le pronom comme une variable liee.
Conclusions 109<br />
{ Il y a un changement de nive<strong>au</strong> dans la denition des categoremes-syncategoremes<br />
entre la LFT et la LMP. Pour la LFT le nive<strong>au</strong> est terme-foncteur,<br />
pour la LMP objet-concept. Un foncteur est un operateur plus general<br />
qu'un concept. L'acceptation d'un isomorphisme structural entre "et" et<br />
"il y a des ...qui sont" conduit a monter d'un nive<strong>au</strong> dans la hierarchie<br />
operatorielle.<br />
{ La quantication est captee dans cette theorie par les trois quanticateurs :<br />
universel, existentiel et implicite. Le quanticateur est un constructeur des<br />
termes et en m^eme temps il construit la semantique de deux foncteurs,<br />
l'un de base " + " et l'<strong>au</strong>tre derive " - ". Donc, le quanticateur comme<br />
operateur n'est pas un operateur independant, il est englobe dansunun<br />
operateur plus generale, le foncteur. La quantication est vue comme un<br />
element primitif de la theorie.<br />
{ La LTF est une logique sans variable comme les langue naturelles.<br />
Les critiques de la LTF :<br />
{ L'analyse de toute proposition se fait par le biais d'une proposition-paraphrase,<br />
qui n'est pas naturelle du point de vue de la langue. Cette paraphrase remplace<br />
le r^ole semantique de la variable.<br />
{ Le fait que le quanticateur est englobe dans le terme eace la puissance<br />
du quanticateur comme operateur.<br />
{ La LTF ne tient pas compte de l'operation de determination.<br />
{ Sa quantication \cachee" ne tient pas compte de la typicalite.<br />
Les operateurs de quantication denis dans le chapitre 7 ont cette propriete<br />
de la quantication sommersienne de s'appliquer <strong>au</strong>x termes. Ils ne sont pas englobes<br />
dans un operateur plus complexe comme dans la theorie de Sommers. Leur<br />
semantique capte d'<strong>au</strong>tres aspects thematises par la langue : la determination, la<br />
typicalite.
110 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens
Chapitre 4<br />
Critique de la quantication<br />
fregeenne par les arguments des<br />
post-fregeens<br />
4.1 Introduction<br />
L'inadequation de la quantication fregeenne appara^t <strong>au</strong> moment ou la theorie<br />
de la quantication qui s'est developpee a l'interieur de la logique doit ^etre appliquee<br />
dans d'<strong>au</strong>tres domaines ou, semble-t-il, on a besoin des modeles avec un<br />
mecanisme analogue a celui de la quantication. Le domaine qui l'utilise pour<br />
construire \des semantiques du langage" est la linguistique. Le calcul du premier<br />
ordre fut le premier \modele semantique du langage". Mais tres vite il s'est avere<br />
insusant. Le systeme de categorisation propre a la linguistique et qui est notamment<br />
\la grammaire" diere des systemesdecategorisation de la logique formelle.<br />
Il y a des problemes de nature linguistique comme le statut de la proposition et<br />
son analyse en sujet-predicat, le statut du pronom, le statut de la quantication<br />
qui ont trouve des modeles formels dans la logique, mais ces modeles sont insuf-<br />
sants pour l'analyse linguistique. De l'<strong>au</strong>tre c^ote la logique dans son entreprise<br />
de construire des systemes formels s'est inspiree du langage et a pris le langage<br />
comme modele. Donc, entre les systemes logiques et le langage est deja cree un<br />
pont. Le probleme qui se pose est d'etendre la theorie <strong>au</strong> prot des deux domaines,<br />
c'est-a-dire de construire des categorisations formelles et une theorie de<br />
la quantication qui peuvent rendre compte egalement des particularites logiques<br />
et linguistiques du langage.<br />
{ Est-ce-que ces theories sont possibles?<br />
{ Quel est l'outil adequat? Le trouve-t-on dans la logique, dans la linguistique<br />
ou dans un domaine de frontiere?
112 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des post-fregeens<br />
{ Ces theories, si leur construction est possibles, sont-elles utiles pour le<br />
developpement des deux domaines?<br />
Voila quelques questions <strong>au</strong>xquelles les theories semantiques du langage a<br />
partir des annees 1950 ont essaye de repondre.<br />
Dans ce chapitre nous presentons quelques problemes souleves par la linguistique<br />
et la logique en ce qui concerne l'inadequation de la quantication classique.<br />
Nous presentons la logique combinatoire de Curry [Cur58], [Cur72] redecouverte<br />
par J.-P. Descles [Des90b],[Des91a],[Des96b] comme un outil adequat pour une<br />
semantique du langage, la grammaire applicative et cognitive (GA et C) [Des96a],<br />
[Des96b]. Nous presentons <strong>au</strong>ssi deux esquisses de solutions pour les problemes :<br />
sujet predicat et le pronom dans la logique combinatoire qui meritent a^etre investiguees<br />
de plus pres et qui peuvent constituer le sujet d'<strong>au</strong>tres trav<strong>au</strong>x. En se<br />
qui concerne la categorisation et la quantication qui font l'objet de ce travail<br />
elles seront analysees dans les chapitres 6 et 7 ou nous proposons un nouve<strong>au</strong><br />
modele pour chacune la LDO.<br />
La construction d'un systeme qui reponde egalement <strong>au</strong>x problemes souleves<br />
par la logique et <strong>au</strong>x problemes souleves par la linguistique doit tenir compte de<br />
toutes ces questions. C'est la raison d'une analyse des problemes qui se posent a<br />
l'interieur de chacune. Nous commencons par une analyse de quelques-uns de ces<br />
problemes.<br />
4.2 Les problemes de categorisation-les traces<br />
lingustiques de la typicalite<br />
Considerons les trois exemples suivants :<br />
1. Tous les hommes sont mortels.<br />
2. Les francais boivent du vin.<br />
3. Dans un triangle la somme des angles est egale a 180 .<br />
Les deux premiers appartient <strong>au</strong> langage ordinaire le troisieme appartient a<br />
la geometrie. Dans l'exemple 1. il s'agit de \tous les hommes sans exception",<br />
dans l'exemple 2. de `tous les francais, mais avec exceptions", dans l'exemple 3.<br />
de \tous les triangles sans exception". Le langage ordinaire se permet d'utiliser<br />
le pronom \tous" m^eme quand il existe des exceptions, c'est un \presque tous".<br />
En mathematiques ce n'est pas le cas.<br />
Ce phenomene porte sur les categorisations des objets operees par la cognition<br />
\commune" par opposition a la cognition \mathematique" (celle qui est realisee<br />
dans le cadre des mathematiques).<br />
Dans les categories realisees par la cognition \commune" et sur lequelles porte<br />
le \langage ordinaire" instancie par l'une ou l'<strong>au</strong>tre des langues naturelles les
Les problemes de categorisation-les traces lingustiques de la typicalite 113<br />
objets ne sont pas identiques. Les pshychologues ont montre que dans le processus<br />
de categorisation la cognition met en evidence des objets \plus representatifs" de<br />
la classe { \les objets typiques" par opposition <strong>au</strong>x objets \moins representatifs<br />
de la classe"{ \les objets atypiques" [LeN79], [LeN89],[Ros78]. C'est le cas de<br />
l'<strong>au</strong>truche ou du pingouin dans la classe des oise<strong>au</strong>x, la baleine dans la classe<br />
des mammiferes. Les psychologues expliquent le processus de construction des<br />
classes par une procedure qui se developpe de la facon suivante :<br />
En partant d'un individu considere comme \prototype", un <strong>au</strong>tre individu<br />
est accepte dans la classe ou rejete par rapport a ses proprietes comparees avec<br />
les proprietes du prototype. Le statut du prototype et m^eme le processus de<br />
construction sont decrits d'une maniere informelle, et pas susamment claire.<br />
Mais le concept de typicalite existe dans la cognition et il a des traces dans les<br />
langues naturelles. Dans les deux premiers exemples ci-dessus, le pronom \tous"<br />
encode en francais \la totalite", l'article deni \les" l'idee de \tous les francais<br />
typiques" d'un certain point de vue donc une \quasi-totalite". Les mots \tous,<br />
sans exception" encodent la \totalite". Souvent, c'est le contexte qui decide s'il<br />
s'agit d'une \totalite" ou d'une \quasi-totalite".<br />
Par contre, dans les categorisations mathematiques les classes sont construites<br />
de sorte que chaque objet de la classe peut ^etre egalement un representant de cette<br />
classe. Il n'existe pas la typicalite. Si une propriete qui change les objets appara^t,<br />
elle engendre une nouvelle classe.<br />
C'est pour cette raison que les formalismes qui ont ete construits comme fondements<br />
des mathematiques restent trop \grossiers" pour une analyse linguistique.<br />
Les problemes qui surgissent naturellement sont :<br />
{ Peut-on decrire d'une maniere formelle la typicalite?<br />
{ Si oui, quel est le processus de categorisation sous-jacent et sa description<br />
formelle?<br />
{ Peut-on avoir une theorie de la quantication qui tienne compte de ce<br />
phenomene?<br />
{ Quels sont les encodages dans les langues naturelles de la typicaliteetdela<br />
quantication? Autrement dit quels sont \les mots" ou les <strong>au</strong>tres procedes<br />
qui specient ces operations cognitives?<br />
La logique classique ne donne <strong>au</strong>cune reponse a ces questions, la theorie de<br />
la quantication m^eme dans son interpretation fregeenne, non plus. Un essai de<br />
reponse se trouve dans la theorie de J.-P. Descles qui est presentee et formalisee<br />
dans les chapitres 6 et 7.
114 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des post-fregeens<br />
4.3 Les problemes souleves par la logique<br />
Une breve analyse de la notion de variable, de la dichotomie sujet{predicat et du<br />
statut de la quantication est presentee en ce qui suit.<br />
4.3.1 Le statut de la variable<br />
La notion de variable utilisee en mathematiques et en logique n'a pas encore<br />
un statut ontologique bien denie. Dans la theorie des fonctions la variable est<br />
l'argument d'une fonction qui peut ^etre remplace par des valeurs d'un domaine<br />
appele domaine de denition. La variable x parcourt un domaine. La variable<br />
est pensee implicitement par la distinction constante{variable: la constante est<br />
une valeur xee, la variable est un element d'un ensemble de valeurs.<br />
Frege voyait la variable comme etant l'element d'une fonction qui exprime son<br />
caractere non-sature. Le nom d'une variable, pour lui, \indique" une denotation.<br />
L'idee de parcourir un ensemble de valeurs etait exprimee dans le verbe \indiquer".<br />
La dichotomie \constante{variable pour lui s'exprime dans la dichotomie<br />
\nom d'objet{nom de variable" qui \exprime{indique" une denotation \objet{<br />
ensemble d'objets".<br />
Actuellement si nous nous situons dans une theorie ensembliste des fonctions<br />
en interpretant la fonction f comme une relation particuliere entre deux ensembles<br />
de valeurs, le domaine et le codomaine, la variable x est l'element qui gere la<br />
relation entre elle-m^eme etf(x) =y dans la construction de la paire (x y).<br />
Si nous nous situons dans une theorie fonctionnelle des fonctions [Chu41] en<br />
interpretant la fonction comme procedure la variable est l'element quigere la<br />
donnee d'entree dans la construction de la donnee de sortie (resultat), y.<br />
Il y a deux grandes classications des variables : une qui provient de la theorie<br />
des fonctions et l'<strong>au</strong>tre qui provient de la logique.<br />
La premiere est variable{parametre. Une fonction qui depend egalement d'une<br />
variable x et d'un parametre t est une fonction qui se \deploie" sur deux nive<strong>au</strong>x:<br />
en fait elle a deux places libres a remplir, mais pour des raisons quelconques on<br />
fait une distinction epistemique entre les deux. Les raisons sont eacees dans<br />
la theorie mathematiques des fonctions, mais elles ont un support pratique. Les<br />
fonctions mathematiques ont ete construites comme l'abstraction de l'evolution<br />
des certains phenomenes dans d'<strong>au</strong>tres domaines et notamment la physique. Les<br />
multiples facettes d'un phenomene ont ete rendues abstraites par des elements<br />
qui n'ont pas le m^eme poids interpretatif : les uns deviennent des variables, les<br />
<strong>au</strong>tres des parametres.<br />
La deuxieme est variable libre{variable liee. La logique classique decrite par<br />
la theorie des modeles ou par la theorie de la demonstration est une logique<br />
avec des variables. Parmi ses primitives il y a les fonctions et les predicats qui
Les problemes souleves par la logique 115<br />
dependent des variables (voir le systeme formel de la logique classique du chapitre<br />
7). Les variables libres sont les variables qui ne sont pas soumises a des<br />
conditions supplementaires. D. Van Dalen [VDa91] appelle une variable libre,<br />
variable arbitraire. Et il continue en disant que dans le monde reel <strong>au</strong>cun objet<br />
n'est \arbitraire". Ce n'est qu'en mathematiques ou les objets peuvent ^etre arbitraires.<br />
Mais il explique cette notion d'une maniere assez intuitive en disant<br />
qu'une variable x est nommee arbitraire si \rien n'est assume en ce qui concerne<br />
x". Par contre une variable est dite variable liee si elle est soumise a des conditions<br />
supplementaires distinctes d'<strong>au</strong>tres conditions du systeme. Plus couramment une<br />
variable liee est une variable qui est l'argument d'un quanticateur :<br />
(8x)(x) ou(9x)(x)<br />
Nous pouvons remarquer que :<br />
{ Dans les descriptions des systemes logiques le statut de la variable n'est pas<br />
assez clair.<br />
{ On constate un manque d'homogenete <strong>au</strong> nive<strong>au</strong> des statuts ontologiques<br />
des objets du systeme.<br />
La conclusion : nous devons construire des systemes categoriels ou lavariable<br />
doit faire partie du systeme, denie comme un \objet" du systeme, eventuellement<br />
denie comme un operateur. La LDO essaie de resoudre ce probleme. La variable<br />
dans ce systeme est \un objet plus ou moins determine", m^eme l'objet typique<br />
f. Le raisonnement se fait sur les objets dans la LDO. Elle n'utilise pas des<br />
variables.<br />
4.3.2 Le statut du paradigme sujet-predicat<br />
L'interpretation fregeenne de la proposition en tant que fonction{arguments a<br />
ouvert la possibilite d'appliquer le calcul du premier ordre a l'analyse d'une proposition.<br />
Le calcul du premier ordre devient le premier \modele semantique<br />
formel du langage". Le paradigme traditionnel sujet{predicat est ignore dans ce<br />
modele formel. Les arguments des ante-fregeens pour reprendre ce paradigme<br />
ont ete presentes dans le chapitre 3. Ces arguments representent surtout le<br />
rapprochement des classications de la grammaire. Les post-fregeens, dans les<br />
semantiques du langage qu'ils ont construites accordent peut-^etre un poids plus<br />
importante a la logique qu'a la linguistique dans le sens que les classications de<br />
nature logique prevalent sur les classications de nature lingustique. Nous avons<br />
en vue les semantiques de Montague [Mon69] , Vandervecken [Van90], [Van91],<br />
Keenan [Kee85], Talmy [Tal], Langacker [Lan87]. Il y a une seule theorie qui
116 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des post-fregeens<br />
accorde un m^eme poids a la logique et a la grammaire dans l'etude du langage<br />
: la grammaire applicative et cognitive de J.-P. Descles [Des90b]. Dans sa<br />
semantique fonctionnelle le paradigme sujet{predicat est couvert par le paradigme<br />
de fonction{arguments parce que la logique combinatoire permet le passage de<br />
l'un a l'<strong>au</strong>tre. Donc l'analyse de la proposition en sujet{predicat n'est qu'une<br />
<strong>au</strong>tre interpretation particuliere (avec des contraintes en plus) de l'interpretation<br />
fregeenne. Le mecanisme formel dans la logique combinatoire est presente en<br />
4.4.4.1. Le sujet est un argument complexe du predicat qui a son tour est un<br />
predicat complexe.<br />
4.3.3 Y a-t-il d'<strong>au</strong>tres operateurs que les connecteurs logiques?<br />
Les presentations de la logique classique{la theorie des modeles et la theorie<br />
de la demonstration considerent les connecteurs logiques ^ _ : comme des<br />
operateurs sans le dire explicitement. Mais leur denition syntaxique et semantique<br />
leur confere ce r^ole. Les dicultes semantiques dans la denition des quanticateurs<br />
ne permettent pas de les considerer tout de suite comme des operateurs.<br />
Prenons la regle d'introduction du quanticateur 8 (voir le chapitre 7):<br />
(x)<br />
(8x)(x)<br />
L'ecriture ne permet pas de voir un operateur dans le quanticateur. Une logique<br />
sans variable, une logique des operateurs permet l'interpretation des quanticateurs<br />
comme operateurs. C'est la logique combinatoire. Donc, en plus des<br />
connecteurs logiques il y a d'<strong>au</strong>tres operateurs : les operateurs de quantication.<br />
Il y a d'<strong>au</strong>tres \operations de la cognition" qui peuvent ^etre interpretees comme<br />
des operateurs : la construction de l'objet typique, la construction d'un objet<br />
plus determinea partir d'un objet plus ou moins determine moins determineque<br />
celui-la (voir le chapitre 6). Toutes ces \operations cognitives" doivent tenir d'une<br />
logique des operateurs ou le calcul du premier ordre represente une partie moins<br />
detaillee (avec moins de primitive). La LDO qui essaie de couvrir cet espace vide.<br />
4.3.4 Le statut de la quantication<br />
La quantication fregeenne et son utilisation dans une semantique du langage<br />
presente les desavantages suivants :<br />
{ Du point de vue semantique elle ne tient pas compte de la typicalite, d'ou<br />
sa inadequation linguistique
La logique combinatoire 117<br />
{ Du point de vue syntaxique le quanticateur ne s'applique pas <strong>au</strong> syntagme<br />
nominal et viole la structure traditionnelle sujet{predicat de la proposition<br />
qui reste quand m^eme utile dans les analyses linguistiques <br />
{ La quantication est denie par le biais de la variable dont le statut ontologique<br />
n'est pas precise<br />
{ Les langues naturelles \n'ont pas des variables".<br />
Les presentations modernes du calcul du premier ordre eacent m^eme le caractere<br />
operatoriel du quanticateur.<br />
Une theorie de la quantication dont la quantication fregeenne est une souspartie<br />
doit ^etre denie. Cette theorie doit tenir compte <strong>au</strong> moins des contraintes<br />
suivantes :<br />
{ Les quanticateurs representent un systeme d'operateurs.<br />
{ Le systeme n'emploie pas de variable.<br />
{ Le quanticateur s'applique pas <strong>au</strong> syntagme nominal en respectant la<br />
structure sujet{predicat.<br />
{ Le systeme est base sur un systeme categoriel sous-jacent avec d'<strong>au</strong>tres<br />
operateurs pour les primitives cognitives : typicalite, determination.<br />
{ La semantique des quanticateurs exprime la typicalite.<br />
{ Le systeme n'impose pas forcement la compositionnalite (les langues ne<br />
respectent pas ce principe).<br />
C'est ainsi que cette theorie peut ^etre une theorie logique et linguistique de<br />
la quantication. Nous proposons la theorie de J.-P.Descles [Des98b], [Des98d],<br />
[Des98f], [Des99a]. Sa formalisation est realisee dans le chapitre 7.<br />
4.4 La logique combinatoire<br />
4.4.1 Cadre general<br />
La logique combinatoire telle qu'elle est denie par Curry [Cur58] est le couple<br />
forme par :<br />
{ un systeme formel applicatif S
118 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des post-fregeens<br />
{ un ensemble C 0 d'operateurs nommes combinateurs.<br />
Un systeme formel, selon Curry est \un systeme deductif deni comme un<br />
corpus de theoremes engendres par des regles objectives et concernant des objets<br />
non-species". Dans une etude tres signicative sur la logique combinatoire<br />
[Cur58] il ecrivait :<br />
La logique combinatoire etait formulee comme un systeme dont<br />
les objets formels sont concus dieremment des objets de la logique<br />
classique dans sa formalisation standard. La formalisation standard<br />
demandait que les objets formels soient les expressions d'un \langage<br />
objet" quelconque c'est-a-dire qu'ils sont des cha^nes formees de symboles<br />
de ce langage objet par concatenation. En logique combinatoire<br />
ces objets formels, nommes Obs sont totalement non-species il est<br />
simplement postule l'existence d'une operation binaire d'application<br />
entre eux, conformement a laquelle on construit les Obs par cette<br />
operation, a partir des objets primitifs, appeles atomes, et ainsi, la<br />
construction d'un Ob est unique. Autrement dit, les Obs sont penses,<br />
non seulement comme des cha^nes des atomes, mais comme structures<br />
pareilles <strong>au</strong>x arbres genealogiques.<br />
Un systeme formel est deni par Curry comme etant un ensemble de conventions<br />
appele cadre primitif <strong>au</strong>quel on rajoute les axiomes et les regles de deduction.<br />
Le cadre primitif a trois parties qui specient respectivement:<br />
1. un ensemble d'objets, Obs<br />
2. un ensemble de propositions elementaires P les propositions elementaires<br />
concernent les objets <br />
3. le sous-ensemble de propositions vraies T ,ou T 2 P , appelees les theoremes<br />
elementaires.<br />
Dans la premiere partie on considere :<br />
(1.1) un sous-ensemble A d'objets nommes les atomes (objets primitifs), A <br />
Obs.<br />
(1.2) un ensemble d'operations primitives chaque operation primitive represente<br />
un mode de combinaison d'une sequence nie d'objets pour former un<br />
nouvel objet.
La logique combinatoire 119<br />
Tous les Obs du systeme sont construits a partir des atomes par des operations<br />
primitives et en plus tout objet construit par un <strong>au</strong>tre processus n'est pas un Ob 1 .<br />
Dans la deuxieme partie, le cadre primitif postule en plus :<br />
(2.1) un ensemble de predicats primitif chaque predicat primitif represente un<br />
moyen de former une proposition a partir d'une sequence nie d'objets.<br />
(2.2) des regles selon lesquelles on forme les propositions elementaires a partir<br />
d'une sequence d'objets avec les predicats primitifs.<br />
Toute proposition elementaire est formee a partir des Obs avec des predicats<br />
primitifs, en appliquant ces regles. Au cadre primitif on rajoute :<br />
1. les axiomes.<br />
2. les regles de deduction.<br />
Les elements de (1)-(2) representent la \morphologie" du systeme, dont les<br />
elements (1.1), (1.2) et (2.1) sont appeles les idees primitives et les regles (2.2)<br />
sont appelees regles de <strong>format</strong>ion. Les operations et les predicats sont appeles<br />
foncteurs 2 par Curry.<br />
Un systeme applicatif est un systeme dont la seule operation est l'application.<br />
L'application est interpretee du point de vue mathematique comme une fonction,<br />
mais dans son interpretation d'operateur, et non pas dans son interpretation<br />
ensembliste. Donc, la fonction est vue comme une procedure qui s'applique a un<br />
objet et construit un <strong>au</strong>tre objet :<br />
f<br />
(f a)<br />
a<br />
Plus generalement, l'application se caracterise par l'action d'un operateur<br />
Oper sur un operande, Op :<br />
Oper Op<br />
(Oper Op)<br />
En commentant la notion d'operateur, J.R. Hindley disait :<br />
1 Un objet, dans le sens de Curry, sera note par Ob, pluriel Obs.<br />
2 Curry fait la distinction fonctionnelle entre une operation et un predicat les deux peuvent<br />
avoir une arite quelconque n, les operations s'appliquent <strong>au</strong>x Obs et elles construisent des Obs,<br />
tant que les predicats s'appliquent <strong>au</strong>x Obs en rendant les valeurs de verite.
120 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des post-fregeens<br />
La plus importante dierence entre operateurs et fonctions (dans<br />
la theorie des ensembles) est qu'un operateur peut ^etre deni en denissant<br />
son action sans decrire l'ensemble des donnees sur lesquelles<br />
il agit, i.e. son domaine (...). Une deuxieme dierenceimportante est<br />
celle qu'il y a des operateurs qui n'ont pas de restrictions sur leur domaine<br />
: ils acceptent n'importe quelle donnee comme argument m^eme<br />
eux m^eme(...). Le concept d'operateur n'a jamais ete bien formalise,<br />
<strong>au</strong> moins, il n'a pas ete formalise dans une theorie consistante<br />
et comprehensive en m^eme temps (...). Mais, si un concept n'a pas<br />
ete completement formalise jusqu'a maintenant, nous ne pouvons pas<br />
inferer qu'une telle formalisation n'existe pas (...). Une formalisation<br />
complete du concept d'operateur est necessaireparcequececoncept de<br />
la pensee est trop important pour ^etre simplement abandonne.[Hin86]<br />
4.4.2 Combinateurs<br />
L'analyse des proprietes structurelles de la theorie algebrique des fonctions a<br />
determine Curry a introduire quelques operateurs particuliers, appeles combinateurs,<br />
qui captent d'une maniere fonctionnelle et constructiviste ces proprietes.<br />
L'ensemble C 0 des combinateurs elementaires est :<br />
C 0 = f I, K, W, C, B, S, C ? , , g<br />
Les combinateurs, selon [Cur58] expriment \quelques combinaisons communes<br />
qui apparaissent entre dierentes variables, certaines vues comme des fonctions,<br />
d'<strong>au</strong>tres comme des variables. Les combinateurs specient dans la plupart des<br />
cas les situations ou une ou plusieurs variables sont elles m^emes des fonctions du<br />
point de vue de l'interpretation".<br />
Les combinateurs sont des operateurs dont le fonctionnement modelise :<br />
{ La structure et les proprietes algebriques des fonctions.<br />
{ les proprietes qui derivent de la forme concatenee d'une expression.<br />
Chaque combinateur peut ^etre donne par une regle d'introduction (i-Comb)<br />
et une regle d'elimination (e-Comb) dans la deduction naturelle [Gen55]. Les<br />
regles d'introduction et d'elimination pour les combinateurs elementaires sont :<br />
I : le combinateur d'identite<br />
X<br />
I X<br />
i-I<br />
I X<br />
X<br />
e-I
La logique combinatoire 121<br />
K : le combinateur qui forme une fonction constante<br />
X<br />
K XY<br />
i-K<br />
K XY<br />
X<br />
e-K<br />
W : le combinateur de diagonalisation<br />
XYY<br />
W XY<br />
i-W<br />
W XY<br />
XYY<br />
e-W<br />
C : le combinateur d'inversion des arguments<br />
XZY<br />
C XYZ<br />
i-C<br />
C XYZ<br />
XZY<br />
e-C<br />
B : le combinateur de composition fonctionnelle<br />
X(YZ)<br />
B XYZ<br />
i-B<br />
B XYZ<br />
X(YZ)<br />
e-B<br />
S : le combinateur de composition forte<br />
(X Z)(Y Z)<br />
S XYZ<br />
i-S<br />
S XYZ<br />
(X Z)(Y Z)<br />
e-S<br />
C : le combinateur de changement de type operateur-operande<br />
YX<br />
C ? XY<br />
i-C ?<br />
C ? XY<br />
YX<br />
e-C ?<br />
: le premier combinateur de composition parallele
122 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des post-fregeens<br />
X(YU)(ZU)<br />
X YZU<br />
i-<br />
X YZU<br />
X(YU)(ZU)<br />
e-<br />
: le deuxieme combinateur de composition parallele<br />
X(YU)(YV)<br />
XYUV<br />
i-<br />
XYUV<br />
X(YU)(YV)<br />
e-<br />
Une interpretation intuitive des combinateurs comme operateurs abstraits<br />
d'un espace fonctionnel [Des99b] est :<br />
I(f)(x) = f(x)<br />
K(a)(x) = a<br />
W(f)(x) = f(x x)<br />
C(f)(x y) = f(y x)<br />
B(f g)(x) = f(g(x))<br />
S(f g)(x) = f(x g(x))<br />
C (x)(f) = f(x)<br />
(f g h)(x) = f(g(x)h(x))<br />
(f g)(x y) = f(g(x)g(y))<br />
Les combinateurs elementaires peuvent se combiner en donnant d'<strong>au</strong>tres combinateurs<br />
complexes. L'ensemble C 0 n'est pas minimal. On peut toujours denir<br />
un ensemble minimal de combinateurs appeles combinateurs de base, c'est a dire<br />
un ensemble de combinateurs tel que tout <strong>au</strong>tre combinateur peut s'exprimer en<br />
fonction des combinateurs de cet ensemble. L'etude de l'algebre des combinateurs<br />
aeterealisee par Church et Rosser et presente entre <strong>au</strong>tres dans [Hin72], [Hin86].<br />
Les combinateurs sont des operateurs abstraits qui formalisent le concept de<br />
fonction vue comme un processus operatoire (dans la theorie des fonctions recursives<br />
) par opposition <strong>au</strong> concept de fonction vue comme un ensemble de paires<br />
ordonnees (dans la theorie ensembliste des fonctions).<br />
En commentant la nature et la signication d'un systeme formel Curry [Cur58]<br />
dit qu'un tel systeme est un systeme semiotique caracterise par trois nive<strong>au</strong>x.<br />
4.4.2.1 La presentation<br />
Pour decrire un systeme formel on a besoin de :<br />
{ decrire les idees primitives du systeme a l'aide de certaines symboles
La logique combinatoire 123<br />
{ decrire comment les fermetures (dans le sens de fermeture de Kleene ) des<br />
foncteurs doivent ^etre symbolisees.<br />
Une telle enonciation particuliere avec son choix particulier du symbolisme<br />
s'appelle la presentation du systeme formel. On peut regarder un systeme formel<br />
comme quelque chose d'independant de ce choix et on peut dire que deux<br />
presentations qui dierent seulement par le choix du symbolisme sont des presentations<br />
du m^eme systeme formel. De ce point de vue, un systeme formel est<br />
abstrait par rapport a sa presentation.<br />
4.4.2.2 La representation<br />
Une presentation d'un systeme formel parle des obs en utilisant des noms pour<br />
les designer, mais elle ne precise pas quelle entite represente chaque objet. Une<br />
representation du systeme formel est une correspondance injective qui associe a<br />
chaque ob une entite (et <strong>au</strong>x obs distincts des entites distinctes). Les entites associees<br />
peuvent ^etre : des symboles, des nombres, des idees, des ^etres vivants, des<br />
objets manufactures etc. Il est evident que les noms des Obs d'une presentation<br />
constituent une representation. Une telle representation est appelee par Curry la<br />
representation antonyme. Elle est un moyen de concevoir un systeme formel tres<br />
proche des idees de Hilbert.<br />
4.4.2.3 L'interpretation<br />
Une interpretation d'un systeme formel est une correspondance entre ses propositions<br />
elementaires (P ) et certaines propositions signicatives sans reference<br />
<strong>au</strong> systeme. Ces dernieres propositions sont appelees par Curry des propositions<br />
posees a priori 3 (pour designer quelque chose denie anterieurement (a priori)<br />
<strong>au</strong> systeme). Il est evident qu'un systeme formel peut avoir une interpretation<br />
dans un <strong>au</strong>tre systeme ou une interpretation completement intuitive. L'analyse<br />
du concept de systeme formel conduit[Cur58] a la conclusion que le processus<br />
de denition d'un systeme formel peut ^etre regarde d'un point de vue linguistique.<br />
Chaque systeme formel est decrit dans un certain langage { le langage<br />
sous-jacent :<br />
Nous pouvons faire la lumiere sur la nature d'un systeme formel<br />
en examinant le langage sous-jacent a un systeme formel mais, une<br />
supra-thematisation de ce point de vue, quand m^eme, tend a obscurcir<br />
le caractere abstrait d'un systeme formel par rapport a sa presentation.<br />
[Cur58] chap.1D - Les aspects linguistiques des systemes formels)<br />
3 Curry les appelle \ contensives."
124 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des post-fregeens<br />
La logique combinatoire est un systeme formel applicatif avec des entites<br />
speciques { les combinateurs. Les combinateurs et l'application conferent a<br />
ce systeme un caractere particulier { le caractere operatoire.<br />
Deux caracteristiques se degagent en ce qui concerne la logique combinatoire<br />
par rapport <strong>au</strong>x <strong>au</strong>tres logiques et, surtout, par rapport a la logique classique<br />
dans sa presentation standard :<br />
{ La construction abstraite des objets qui sont les arguments des predicats<br />
est internalisee par l'operation d'application <br />
{ La structure de la construction et le processus deductif sont geres fonctionnellement<br />
par les combinateurs.<br />
Si on se refere <strong>au</strong> langage de la presentation de la logique combinatoire<br />
elle peut ^etre vue comme un langage applicatif. Si on se refere a sa partie<br />
operatoire, elle peut ^etre vue comme un systeme d'operateurs et, particulierement,<br />
un systeme de combinateurs. Ce sont les deux c^otes complementaires delalogique<br />
combinatoire. La logique combinatoire peut ^etre consideree comme \une<br />
logique de l'action" par opposition a la logique classique qui est \une logique<br />
de la description". A c<strong>au</strong>se du fait que la logique combinatoire va <strong>au</strong>-dela des<br />
inferences etdecrit le nive<strong>au</strong> de ses objets (Obs) elle peut ^etre consideree comme<br />
une prelogique. Si l'ensemble des operateurs ne contient que les combinateurs<br />
elementaires, la logique combinatoire est appelee logique combinatoire pure. Ce<br />
systeme peut ^etre etendu par :<br />
{ L'addition d'operandes absolus particuliers : une cha^ne de symboles, une<br />
proposition, un objet complexe, un objet physique, etc.<br />
{ L'addition des operateurs particuliers d'un certain domaine (l'operateur de<br />
dierenciation, d'integration, l'operateur r { en analyse mathematique, les<br />
operateurs grammatic<strong>au</strong>x { en linguistique etc.)<br />
Formaliser un domaine particulier par la logique combinatoire c'est construire<br />
une logique combinatoire etendue (systeme applicatif particulier) par :<br />
{ La description d'une representation particuliere <br />
{ L'extension de l'ensemble des operateurs par des operateurs speciques du<br />
domaine <br />
{ La construction d'une interpretation particuliere (optionnellement).
La logique combinatoire 125<br />
Par exemple, pour l'arithmetique, la representation particuliere est la correspondance<br />
qui associe <strong>au</strong>x obs les nombres naturels, l'operateur particulier est<br />
l'operateur successeur.<br />
La logique combinatoire est une logique des operateurs, une logique sans variables.<br />
4.4.3 L'algebre des combinateurs<br />
C 0 = fI K W C B S C g est l'ensemble des combinateurs de base.<br />
4.4.3.1 Expression applicative expression combinatoire<br />
Expression applicative = expression obtenue par l'operation d'application a<br />
partir d'un operande absolu (atome).<br />
Expression combinatoire = expression qui contient <strong>au</strong> moins un combinateur.<br />
Forme canonique (:::(a 1 a 2 )a 3 ):::a n ) (obtenue par l'introduction des combinateurs<br />
-reduction)<br />
Forme normale (((a 1 a 2 )(a 3 a 4 )):::a n ) (obtenue par l'elimination des combinateurs<br />
{ sans combinateurs)<br />
On passe de la forme canonique a la forme normale (si celle-ci existe) par<br />
;reductions, et dans le sens inverse par ;expansions<br />
Combinateur regulier X Xfa 1 a 2 :::a n ! ;red fb 1 b 2 ::::b n (il laisse invariant<br />
son premier operande et il n'appara^t <strong>au</strong>cun combinateur sur la partie droite<br />
de la regle de X)<br />
4.4.3.2 Produit puissance distance<br />
Produit :<br />
X Y = def BXY<br />
Proprietes : non-commutativite, associativite.<br />
Puissance :<br />
X 1 = X<br />
X 2 = BXX 1<br />
.<br />
X n+1 =<br />
BXX n
126 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des post-fregeens<br />
Distance :<br />
X 0 = X<br />
X 1 = BX<br />
X 2 = BX 1<br />
.<br />
X n+1 =<br />
BX n<br />
Le principe d'extensionnalite:<br />
Si, pour tout U, X U = Y U, alors X = Y<br />
Un ensemble minimal de combinateurs :<br />
Tous les combinateurs de base peuvent ^etre construits uniquementavecK etS<br />
(et des parentheses) :<br />
I <br />
B <br />
W <br />
C <br />
<br />
<br />
SKK<br />
S(KS)K<br />
SS(K(SKK))<br />
S(BBS)(KK)<br />
B(BS)B<br />
(((B))B(KK)<br />
4.4.4 Solutions des quelques problemes par la logique combinatoire<br />
4.4.4.1 Le passage entre (Q x) (P y x) et (P S) dans la logique combinatoire<br />
La logique combinatoire par ses proprietes de nature fonctionnelle permet le passage<br />
de l'expression applicative associee a une proposition generale a l'expression<br />
applicative de la m^eme proposition, mais en mettant en evidence les expressions<br />
applicatives correspondant <strong>au</strong> sujet et <strong>au</strong> predicat. Si l'expression applicative<br />
correspondante a la proposition generale est:<br />
(Q x) (P y x)<br />
ou Q est un quanticateur et P un predicat binaire<br />
le passage a laforme<br />
(P' S )<br />
est:
La logique combinatoire 127<br />
C ? (P y x) (Q x) i- C ?<br />
(P' S )<br />
S.<br />
ou P' := C ? (P y x) et S := (Q x).<br />
L'expression appplicative correspondant <strong>au</strong> predicat est P', celle du sujet est<br />
4.4.4.2 Le pronom comme operateur<br />
Le pronom est interprete dans les semantiques du langage comme :<br />
{ une variable liee [Gea76c],[Qui74a]<br />
{ une fonction [Eva77], [Som82]<br />
L'interpretation classique en ce qui concerne le fonctionnement du pronom<br />
est de considerer le pronom comme une unite linguistique L1 qui renvoie a une<br />
<strong>au</strong>tre unite linguistique, L2, cette fois-ci plus complexe (syntagme nominal ou<br />
syntagme nominal quantie). L'unite L2 est appelee antecedent. Dans les trav<strong>au</strong>x<br />
de Evans et Sommers le pronom est conside comme une fonction qui \renvoie" a<br />
son antecedent en le choisissant dans la phrase (voir la classication des pronoms<br />
de Sommers du chapitre 2, le pronom de type E deni par Evans [Eva77].<br />
Le pronom est etroitement lie alatheorie de la quantication par le fait que<br />
l'antecedent estsouvant un syntagme nominal quantie.<br />
Nous considerons le pronom comme un operateur qui :<br />
{ Construit son antecedent<br />
{ Construit la quantication de cet antecedent<br />
{ Applique la quantication a son antecedent.<br />
Considerons la phrase :<br />
Jean a quelques mouttons et P<strong>au</strong>l les avaccine l'ete dernier.<br />
Sa structure applicative est :<br />
( ^ ( Q f g)) (h pron))<br />
ou Q est un quanticateur, (Q f g) la premiere proposition, pron l'unite lexicale<br />
qui encode le pronom et (h pron) la deuxieme proposition.<br />
Cette expression est equivalente a:<br />
PRON (h (Q' (g(Q f))))<br />
ou Q est le quanticateur correspondant a Q, mais qui s'applique <strong>au</strong> syntagme<br />
nominal, Q' est le quanticateur construit par le pronom m^eme et PRON
128 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des post-fregeens<br />
l'operateur de pronominalisation. L'equivalence des deux expressions applicatives<br />
et l'application du principe de l'extensionalite donne une equation fonctionnelle<br />
qui represente la denition du pronom comme operateur :<br />
X PRON B 5 B 3 Q' B Q Y ^ Q pron<br />
ou X = C 14 C 12 C 10 C 8 C 6 C 4 C 8 C 6 B 7<br />
et Y = C 7 C 7 C 7 B 2 B 2 BB<br />
Une <strong>au</strong>tre application en logique combinatoire est presentee en Annexe A<br />
(III) : le calcul dans la logique combinatoire qui se rend compte du rapport entre<br />
le contenu propositionnel et l'assertion dans le sens de Frege.<br />
4.5 Conclusions<br />
Toutes les critiques de la quantication classique faites dans ce chapitre ont<br />
determine la construction d'une nouvelle theorie de la quantication representee<br />
par un systeme d'operateurs de quantication qui verient les conditions suivantes<br />
:<br />
{ Du point de vue syntaxique ils s'appliquent <strong>au</strong> syntagme nominal <br />
{ Du point de vue semantique ils tiennent compte de la typicalite.<br />
Cette theorie est basee sur un systeme de classication qui est la LDO. La<br />
LDO est deni comme un systeme applicatif avec des primitives particulieres. Elle<br />
est presentee dans le chapitre 6. La nouvelle theorie de la quantication qui fait<br />
pour la premiere fois le pont entre la quantication \logique" et la quantication<br />
\linguistique" est presentee dans le chapitre 7.
Chapitre 5<br />
La quantication en linguistique<br />
5.1 Introduction<br />
En linguistique la quantication est le processus cognitif (y compris son encodage<br />
dans les langues naturelles) d'attribution d'une quantite, d'une mesure, d'un<br />
nombre a une classe d'objets. Ce processus est considere comme etant oppose a<br />
la qualication qui est le processus d'attribution d'un qualicatif, d'un attribut<br />
non-mesurable a un objet ou a une classe d'objets.<br />
La notion de quanticateur generalise appara^t avec les trav<strong>au</strong>x de Montague<br />
[Mon69], [Mon74]. Montague emploie le terme de quanticateur generalise pour<br />
interpreter les groupes nomin<strong>au</strong>x. Plus tard, Barwise, Cooper [Bar81], Keenan,<br />
Stavi [Kee86] se sont occupes de la classe des determinants nomin<strong>au</strong>x (notee<br />
par Det). Ils ont etudie lasemantique de cette classe. A partir des annees<br />
1980 et jusqu'a maintenant les trav<strong>au</strong>x sur la semantique de cette classe ont<br />
prolifere. La semantique de cette classe est etudiee soit empiriquement (une<br />
analyse linguistique distributionnelle), soit en utilisant un outil mathematique.<br />
Une etude mathematique de la semantique de la classe Det est realisee par E.<br />
Keenan dans The Semantics of Determiners [Kee97a]. Pour lui les quanticateurs<br />
generalises representent une partie de la classe Det. L'etude est continuee dans<br />
Generalized Quantiers in Linguistics and Logic [Kee97b] ou les <strong>au</strong>teurs realisent<br />
une investigation de la nature de la quantication dans les langues naturelles.<br />
Toutes ces etudes representent l'evolution de la notion de quanticateur generalise<br />
a partir de Montague et jusqu'a maintenant dans le courant de l'ecole linguistique<br />
americaine.<br />
L'ecole francaise est representee d'un c^ote par une etude distributionnelle de<br />
la quantication (englobee dans d'<strong>au</strong>tres classication linguistiques) et de l'<strong>au</strong>tre<br />
c^ote par une etude conceptuelle (intensionnelle), les trav<strong>au</strong>x de A. Culioli [Cul99c]<br />
et surtout de J.P.Descles [Des98b], [Des99a]. Dans la theorie semantique de J.-P.<br />
Descles, la quantication est formalisee.
130 La quantication en linguistique<br />
Dans ce chapitre nous presentons la quantication generalisee de E. Keenan<br />
comme theorie linguistique de la quantication (sous-chapitre 5.2). Le premier<br />
paragraphe du sous-chapitre 5.2 presente un apercu sur la theorie des types de<br />
Montague [Mon69], [Cham98] sur laquelle est basee la theorie de la quantication<br />
de E. Keenan. Nous comparons la theorie de Keenan avec la theorie proposee par<br />
J.-P. Descles qui est decrite dans le chapitre 7. Une proposition de generalisation<br />
est faite dans le sous-chapitre 5.3. Cette comparaison engendre un rapprochement<br />
entre la quantication en logique et celle en linguistique comme theories<br />
traditionnelles, et en m^eme temps, un choix pour une theorie plus generale dont<br />
les deux <strong>au</strong>tres se retrouvent comme des cas particuliers. .<br />
5.2 Quanticateurs generalises<br />
5.2.1 Bref apercu sur la theorie des types de R. Montague<br />
La theorie semantique de Montague fait partie de la classe des theories extensionnelles,<br />
apparentees alatheorie des modeles. Montague met en correspondance<br />
les expressions du langage avec un univers d'interpretation par une fonction<br />
interpretative. Son univers d'interpretation est un ensemble des fonctions<br />
construites avec trois ensembles consideres comme primitives:<br />
L'ensemble des valeurs de verite.<br />
L'ensemble des entites individuelles.<br />
L'ensemble des indices contextuels.<br />
La theorie semantique de R. Montague [Mon69] est basee sur des categories<br />
semantiques qui forment une theorie des types. L'ensemble des types, en tant<br />
que tel, est construit a partir de trois types primitifs associes <strong>au</strong>x trois ensembles<br />
de base : l'ensemble des entites individuelles, l'ensemble des valeurs de verite,<br />
l'ensemble des indices contextuels. Les elements primitifs associes a ces ensembles<br />
seront notes respectivement : e, t, s. L'ensemble des types, note T est deni par:<br />
(1) e est un type<br />
(2) t est un type<br />
(3) si a est b sont des types, alors le couple h a, b i est un type.<br />
(4) si c est un type, alors h s, c i est un type.<br />
(5) rien d'<strong>au</strong>tre n'est un type.<br />
On remarque que:<br />
h e, t i, h t, e i, h s, e i, h s, t i, hhs, e i, ti, hhhs, e i, ti , hhs, e i, tii<br />
sont des types.<br />
Par contre, s, h e, s i, h e, h e, s iine sont pas des types.
Quanticateurs generalises 131<br />
Le type h a, b i s'interprete comme le type de la fonction qui transforme un<br />
objet de type a dans un objet de type b.<br />
L'association d'un type a une expression represente la correspondance entre<br />
cette expression et l'objet de l'univers interpretatif. Quand on dit \un groupe<br />
nominal est une fonction ..." on exprime l'interpretation qu'on donne a un groupe<br />
nominal dans la theorie.<br />
5.2.2 La theorie des quanticateurs generalises<br />
Dans ce sous-chapitre nous presentons la theorie des quanticateurs generalises<br />
de E.Keenan [Kee97a], [Kee97b].<br />
Soient les exemples suivants:<br />
1. Jean rit. Marie sourit.<br />
2. Aucun docteur d'ici ne fume.<br />
La plupart des linguistes sont bilingues.<br />
Tout poete r^eve.<br />
3. Autant degarcons que de lles ont reussi a l'examen.<br />
L'univers interpretatif de la theorie de E. Keenan est le suivant:<br />
un ensemble d'objets (totalement determines) note parE.<br />
les predicats 1-aires P 1 interpretes comme des sous-ensembles de E, c'est-adire<br />
des elements de P(E).<br />
les propositions interpretees comme des valeurs de verites: > et ?.<br />
les groupes nomin<strong>au</strong>x:<br />
etudiant<br />
l'etudiant blond et de grande taille<br />
l'etudiant aime par Marie<br />
interpretes comme des fonctions de P (E) dans f>,?g et nommes quanticateurs<br />
generalises de type h 1 i sur E. Cet ensemble est note <strong>au</strong>ssi par TYPE h<br />
1 i.<br />
E. Keenan denit ces quanticateurs generalises de dierents types 1 . Les<br />
groupes nomin<strong>au</strong>x sont vus comme des quanticateurs generalises de TYPE h 1<br />
i. Dans les exemples 2, il s'agit des determinants d'un seul argument Det 1 (qui<br />
s'appliquent a un GN pour rendre un GN, soit semantiquement, des fonctions de<br />
P(E) a valeurs dans TYPE h 1 i). Dans l'exemple 3 \<strong>au</strong>tant de.... que de..." est<br />
1 Les types utilises sont les types de Montague.
132 La quantication en linguistique<br />
un determinant de deux arguments. Il s'applique a deux GN, pour donner un<br />
GN ( semantiquement vu comme une fonction de P (E) P(E) a valeurs dans<br />
TYPE h 1 i). Les types des quanticateurs des exemples 1, 2, 3 sont respectivement<br />
h 1 i , h 1, 1 i, hh1, 1 i, 1i.<br />
5.2.2.1 Quantication de type h 1 i<br />
Les quanticateurs generalises de type h 1 i sont des fonctions de P (E) a valeurs<br />
dans f>,?g.<br />
L'ensemble de ces quanticateurs est note par TYPE h 1 i. Ils sont vus <strong>au</strong>ssi<br />
comme des fonctions de type h 1 i et correspondent <strong>au</strong>x groupes nomin<strong>au</strong>x. C'est<br />
le cas des exemples 1.<br />
E. Keenan introduit la propriete de monotonie pour les groupes nomin<strong>au</strong>x,<br />
propriete qui represente une reprise dans ce contexte de la monotonie des fonctions:<br />
Denition 5.1 Si A et B sont deux ensembles partiellement ordonnes et F une<br />
fonction de A a B, alors:<br />
a. F est croissante ssi<br />
a, b 2 A a b =) F(a) F(b)<br />
.<br />
b. F est decroissante ssi<br />
a, b 2 A a b =) F(a) F(b)<br />
.<br />
c. F est monotone ssi elle est soit croissante, soit decroissante.<br />
Une expression est nommee croissante (decroissante, monotone) ssi son interpretation<br />
est une fonction croissante (decroissante, monotone).<br />
E. Keenan denit \les groupes nomin<strong>au</strong>x syntaxiquement simples" comme<br />
etant : les noms propres, les pronoms (il, lui....), les demonstratifs (celui-ci, celuila....),<br />
les indenis (tout, tout le monde, quelqu'un, personne...). Il pose l'assertion<br />
suivante :<br />
Les groupes nomin<strong>au</strong>x syntaxiquement simples sont des expressions croissantes,<br />
avec quelques exceptions comme : personne, peu, dans les propositions:<br />
Personne n'est venu.<br />
Il y a be<strong>au</strong>coup d'appeles et peu d'elus.
Quanticateurs generalises 133<br />
Nous considerons que cette denition et implicitement, la categorisation sousjacente<br />
est due a l'anglais, mais la propriete de monotonie reste une propriete<br />
generale d'ordre semantique.<br />
5.2.2.2 Quantication de type h 1, 1 i<br />
Les quanticateurs generalises de type h 1, 1 i sont des fonctions de<br />
P (E) a valeurs dans TYPE h 1 i.<br />
Ces fonctions correspondent <strong>au</strong>x determinants d'un seul argument, c'est a dire<br />
<strong>au</strong>x determinants qui s'appliquent a un groupe nominal pour former un groupe<br />
nominal (expression de type h 1 i). C'est le cas des exemples 2. Ces quanticateurs<br />
sont consideres comme des quanticateurs qui correspondent mieux <strong>au</strong>x<br />
quanticateurs logiques. Ils sont d'abord repartis en deux classes : simples et<br />
complexes. La classication est realisee sur des criteres syntaxiques et, en plus,<br />
pour l'anglais. On remarque que ce qui est \simple" en anglais peut devenir<br />
\complexe" en francais et inversement. Nous donnons ici les deux classes:<br />
{ (1) simples<br />
{ a) un, tout, tous, chaque, <strong>au</strong>cun, quelques, plusieurs, le, ce, mon, de<br />
(de Jean), dix, une douzaine, peu, be<strong>au</strong>coup, nombreux, le troisieme.<br />
{ b) il y a des, les dix, les dix....de (Jean), moins que, <strong>au</strong> moins, <strong>au</strong> plus,<br />
plus que, exactement dix, que dix, que les...de (Jean), susamment<br />
de, tous s<strong>au</strong>f dix, moitie de, moitie de...de (Jean), un nombre ni de,<br />
un nombre inni de, un grand nombre de, moins que dix, dix pour<br />
cent, entre cinq et dix, approximativement cent.<br />
{ (2) complexes<br />
tous ... s<strong>au</strong>f Jean, pas plus que dix, la plupart de... et tous les..., la plupart<br />
mais pas tous, tous s<strong>au</strong>f un nombre ni, sept parmi dix, le troisieme ....de<br />
(Jean), plus de ...de (Jean) que de (Marie), ni les ...de (Jean), ni les ...de<br />
(Marie).<br />
Exemples:<br />
(1) Il y avait dans la salle <strong>au</strong> moins deux mais pas plus de dix etudiants.<br />
Ilyavait dans la salle <strong>au</strong> moins deux etudiants mais pas plus de dix .<br />
Les vingt etudiants du groupe 1 passent l'examen demain.<br />
Be<strong>au</strong>coup d'etudiants font du traitement <strong>au</strong>tomatique du langage.<br />
Ilalulamoitie des articles de Jean.
134 La quantication en linguistique<br />
(2) Tous les etudiants sont venus a laf^ete s<strong>au</strong>f Jean. Tous les etudiants<br />
s<strong>au</strong>f Jean sont venus a laf^ete.<br />
Le plus gros chat de Jean.<br />
P<strong>au</strong>l est le troisieme enfant de Jean.<br />
Il a lu plus d'articles de Jean que de Marie.<br />
Keenan considere comme complexite le nombre de composantes syntaxiques<br />
elementaires du determinant : \most (la plupart)" est plus simple que \no more<br />
than ten (pas plus que dix)". Mais, on remarque que surtout pour le francais<br />
il f<strong>au</strong>t considerer <strong>au</strong>ssi la continuite. Si on accepte que \le troisieme" est un<br />
determinant continu et \tous...s<strong>au</strong>f Jean" est discontinu, on peut introduire une<br />
classication en determinants continus et discontinus.<br />
Il y a des determinants discontinus en anglais qui restent <strong>au</strong>ssi des determinants<br />
discontinus en francais:<br />
the most dicult topic to talk to := le plus dicile sujet a parler<br />
Pour:<br />
The most dicult topic to talk to is the quantication.<br />
on a<br />
Le plus dicile sujet dont on parle est la quantication.<br />
the easiest village to reach from here := le village le plus facile a<br />
atteindre d'ici.<br />
Pour:<br />
The easiest village to reach from here is Plouzane.<br />
on a<br />
Le village le plus facile a atteindre d'ici est Plouzane.<br />
Il y a des determinants continus en anglais qui ne le sont pas en francais:<br />
More of John's than of Bill's articles.<br />
Plus d'articles de Jean que d'articles de Bill.<br />
Donc, les criteres syntaxiques qui tiennent de l'encodage dans une langue<br />
particuliere et qui peuvent varier d'une langue a l'<strong>au</strong>tre ne representent pasun<br />
support theorique pour une theorie semantique. Par contre l'interpretation des<br />
determinants comme des fonctions peut leur donner une semantique. E. Keenan<br />
considere qu'un determinant de type h 1,1i en tant que fonction F peut ^etre vu<br />
comme une relation 2 Q entre deux ensembles A et B denie par :<br />
2 Relation dans le sens de la theorie mathematique des relations.
Quanticateurs generalises 135<br />
QAB ssi F(A)(B) = ><br />
Par consequence, la semantique de quelques quanticateurs de ce type est:<br />
1. Tout<br />
Tout A est B<br />
Tout (A)(B) = > ssi A B<br />
2. Aucun<br />
Aucun A n'est B<br />
Aucun (A)(B) = > ssi A \ B=?<br />
3. Il y a des<br />
Il y a des A qui sont B<br />
Il y a des (A)(B) = > ssi A \ B 6= ?<br />
4. Exactement un, Un...exactement<br />
Exactement un A est B<br />
Exactement un(A)(B) = > ssi j A \ B j =1<br />
5. Les n<br />
Les n A sont B<br />
Les n (A)(B) = > ssi j A j =netA B<br />
6. Un nombre ni exactement<br />
Un nombre ni exactement de A sont B<br />
Un nombre ni exactement (A)(B) = > ssi il existe un n naturel tel que,<br />
A Betj A j =n<br />
7. Moins de la moitie de<br />
Moins de la moitie de A sont B<br />
Moins que moitie de(A)(B) = > ssi jA \ B jA-Bj<br />
8. Tous s<strong>au</strong>f n<br />
Tous les A s<strong>au</strong>f n sont B<br />
Tous s<strong>au</strong>f n (A)(B) = > ssi j A-Bj =n<br />
9. Entre n et m<br />
Entre n et m A sont B<br />
Entre n et m (A)(B) = > ssi il existe n, m naturels tels que n jA \ B j<br />
m (n et m sont xes par l'expression elle-m^eme)
136 La quantication en linguistique<br />
10. La plupart de<br />
La plupart des A sont B<br />
La plupart de (A)(B) = > ssi j A \ B jjA-Bj<br />
11. n <strong>au</strong> plus parmi m<br />
n <strong>au</strong> plus parmi m A sont B<br />
n le plus parmi m(A)(B) = > ssi j A j =metj A \ B jn<br />
12. Quanticateurs de proportionalite<br />
(Au moins la moitie, la moitie de, plus de 10 pour cent de, plus de m/n de )<br />
Plus de m/n des A sont B<br />
Plus de m/n (A)(B) = > ssi j A \ B j m j A j n<br />
Certaines proprietes mathematiques des fonctions peuvent avoir une certaine<br />
pertinence pour l'interpretation des determinants de la classe TYPEh 1, 1 i. Par<br />
exemple, si on analyse cette classe du point de vue de la monotonie on constate<br />
l'existence des determinants croissants, decroissants et m^eme non-monotones:<br />
Determinants de type h 1, 1i croissants:<br />
tous, il y a des, quelques, <strong>au</strong>cun, <strong>au</strong> plus n, <strong>au</strong> moins n.<br />
Determinants de type h1,1i decroissants:<br />
peu de<br />
Determinants de type h 1,1i qui ne sont pas monotones:<br />
exactement n, entre n et m, tous s<strong>au</strong>f Jean, <strong>au</strong>cun mais Jean, soit moins que<br />
n, soit plus que m.<br />
Le contexte est important en ce qui concerne la monotonie. Le m^emedeterminant<br />
peut ^etre croissant, ou non-monotone. Par exemple le determinant \deux"<br />
dans les exemples:<br />
(1) Y a-t-il deux places libres dans la premiere ligne?<br />
(2) Deux etudiants parlaient quand vous ^etes sorti.<br />
(3) Combien d'etudiants sont venus a cet expose? Deux.<br />
Dans le premier exemple \deux" est interprete comme \<strong>au</strong> moins deux", donc<br />
c' est un quanticateur croissant dans le deuxieme exemple le \deux" designe<br />
deux personnes qu'on peut identier, donc l'utilisation lui confere le statut de<br />
quanticateur croissant. Dans le troisieme exemple le sens est de \deux etudiants<br />
exactement", c'est donc un quanticateur non-monotone.
Quanticateurs generalises 137<br />
D'<strong>au</strong>tres proprietes des determinants vus comme fonctions sont denies : la<br />
cardinalite, la conservativite et l'extension.<br />
Cardinalite:<br />
Denition 5.2 Un determinant F de TYPE h1,1 i est cardinal (co-cardinal)<br />
(CARD (CO-CARD)) ssi quels que soient les ensembles A, A', B, B' 2 Esij A<br />
\ B j = j A' \ B' j ( j A{Bj = j A'{ B' j ), alors F(A)(B) = F(A')(B')<br />
Conservativite:<br />
Denition 5.3 Un determinant F de TYPE h1,1i est conservatif (CONS), (l'ensemble<br />
de ces determinants est note CONS E ) ssi quels que soient les ensembles<br />
A, B, B' 2 EsiA\ B=A\ B', alors F(A)(B) = F(A)(B')<br />
Extension:<br />
Denition 5.4 Une fonction Q de E dans un ensemble Q E<br />
de TYPE h1, 1 i<br />
satisfait l'extension (EXT) ssi quels que soient les ensembles E et E' avec E2<br />
E', Q peut ^etre etendue a une Q' de E' dans Q E 0.<br />
Pour les determinants cardin<strong>au</strong>x la valeur de verite de F(A)(B) depend de j A<br />
\ B j. Pour les determinants co-cardin<strong>au</strong>x la valeur de verite de F(A)(B) depend<br />
de j A-Bj.<br />
Determinants cardin<strong>au</strong>x: le moindre, plus que, exactement n, entre n et m,<br />
moins de la moitie de, soit plus que dix soit moins que six, un nombre ni exactement.<br />
Determinants co-cardin<strong>au</strong>x: tous, tous s<strong>au</strong>f dix, tous s<strong>au</strong>f un nombre ni, pas<br />
tous.<br />
Les determinants:<br />
et<br />
Les dix A de Jean<br />
Aucun des dix A de Jean<br />
sont conservatifs. Leur denition fonctionnelle est:
138 La quantication en linguistique<br />
Les dix de Jean(A) =<br />
tout (A que Jean possede) si j A que Jean possede j= 10<br />
0 h11i (A) sinon<br />
Aucun <strong>au</strong>cun (A que Jean possede) si j A que Jean possede j= 10<br />
des dix de Jean(A) =<br />
0 h11i (A) sinon<br />
Pour l'extension (EXT) le quanticateur \chaque" satisfait l'extension, mais<br />
le quanticateur Q E ,deni ci-desous, ne le satisfait pas:<br />
Q E =<br />
<br />
chaque E<br />
un nombre inni E<br />
si E est ni<br />
si E est inni<br />
La notion de relativisation permet de denir pour tout quanticateur Q de<br />
type h 1 i, un quanticateur Q rel de type h 1, 1 i qui peut simuler dans l'argument<br />
du verbe le fonctionnement de Q pour le nom : Q rel<br />
E (A)(B) = Q E(A \ B) pour<br />
tout E et A, B E.<br />
Quelques proprietes des determinants<br />
E. Keenan etablit des proprietes des determinants, par rapport aleurdenition<br />
fonctionnelle. Il part d'une demarche plus generale, en posant les questions:<br />
Etant donne untypet et un langage L :<br />
{ Q1. Quelle expression de type t fournit L du point de vue syntaxique<br />
(expressions classiees sur des criteres syntaxiques)?<br />
{ Q2. Pour tout E (univers des objets) et toute F de type t y a-t-il une<br />
expression de L qui est interpretee comme F?<br />
{ Q3. Y a-t-il en L des sous-classes construites sur des criteres syntaxiques ou<br />
semantiques et si oui, sont-elles valables pour toutes les langues naturelles?<br />
L'analyse de ces problemes se produit dans deux directions:<br />
d'un point de vue linguistique, c'est-a-dire par rapport <strong>au</strong>x classications<br />
linguistiques <br />
par rapport <strong>au</strong>x problemes souleves par la logique.
Quanticateurs generalises 139<br />
Cette analyse permet de formuler quelques proprietes appelees generalisations.<br />
Pour L c'est la langue anglaise qui est prise .<br />
G1. Les GN lexic<strong>au</strong>x (syntaxiquement simples) sont monotones croissants<br />
avec peu d'exceptions.<br />
G2. Les quanticateurs de type h 1 i ont comme denotation en langage (l'anglais)<br />
les groupes nomin<strong>au</strong>x.<br />
G3. ([Kee86]) Tous les elements de CONS E ont comme denotation un Det en<br />
anglais.<br />
Ce sont des reponses partielles <strong>au</strong>x questions Q1 et Q2 en considerant la<br />
langue anglaise.<br />
Des proprietes plus ou moins particulieres qui relevent de la logique ont ete<br />
etablies:<br />
P1. Les quanticateurs de proportionalite ne peuvent pas ^etre denis dans le<br />
calcul du premier ordre.<br />
P2. ([Wes91], [Kol95]) Un quanticateur monotone Q de type h 1 i peut ^etre<br />
deni dans L(Q rel )siQ rel peut ^etre deni dans le calcul du premier ordre.<br />
P3. [VBe84] Pour j E j =n,j TYPE h 1, 1 i E j =2 4n et j CONS E j =2 3n<br />
5.2.2.3 Quantication de type hh1, 1i, 1i<br />
Les quanticateurs du type hh1, 1i, 1i sont des fonctions de P (E) P(E) a<br />
valeurs dans TYPE h 1 i. Quelques exemples sont:<br />
A peu pres <strong>au</strong>tant d'etudiants que de professeurs sont venus a lareunion.<br />
Cinq fois plus d'etudiants que de professeurs attendaient devant la porte.<br />
Plus de chiens que de chats de Jean etaient dans le jardin.<br />
Exactement quatre etudiants et deux professeurs se sont opposes a la<br />
demande.<br />
Au moins trois fois plus d'etudiants que de professeurs ont oublie de cette<br />
reunion.
140 La quantication en linguistique<br />
La semantique de quelques quanticateurs de type hh1, 1i, 1i:<br />
1. Moins de A que de B<br />
Moins de A que de B sont C.<br />
(Moins de A que de B )(C) = > ssi j A \ C jjB \ C j<br />
2. Au moins deux fois <strong>au</strong>tant de A que de B<br />
Au moins deux fois <strong>au</strong>tant de A que de B sont C.<br />
(Au moins deux fois <strong>au</strong>tant de A que de B) (C)=> ssi j A \ C j2<br />
j B \ C j<br />
3. Tout A et tout B<br />
Tout A et tout B est C.<br />
(Tout A et tout B )(C) = > ssi Tout(A)(C) ^ Tout(B)(C)<br />
4. Exactement nAetmB<br />
Exactement n A et m B sont C.<br />
(Exactement nAetmB)(C) = > ssi j A \ C j =netj B \ C j =m<br />
5.2.2.4 Quantication polyadique<br />
Soit les exemples:<br />
1. La plupart des critiques ont analyse exactement quatre lms.<br />
2. Jean a donne plus de roses que de lilas a <strong>au</strong> moins trois lles.<br />
Le quanticateur de l'exemple 1 prend comme arguments deux GN et un verbe<br />
(relation binaire). Il est du type hh1, 1i, 2i, c'est donc une fonction de<br />
P (E) P(E) a valeurs dans f R 2E ;!f>, ?gg 3<br />
La semantique de ce quanticateur est :<br />
F(A, B)(R) = > ssi jfa 2 A: jf b 2 B: Rab gj=4gjjfa 2 A/jf b<br />
2 B: Rab gj6=4gj<br />
La semantique du quanticateur de l'exemple 2 est :<br />
3 R 2E est l'ensemble des relations binaires sur E
Critique de la theorie de E.Keenan 141<br />
G(A,B,C)(R) = > ssi jfa 2 A:jf b 2 B: Rabj gj<br />
jfb 2 C : Rabj gjgj3<br />
5.2.3 L'interpretation operationnelle de la theorie des quanticateurs<br />
generalises<br />
La theorie des quanticateurs generalises recoit une interpretation operationnelle<br />
de la part de B. Partee [Par95]. elle considere qu'un syntagme quantie se<br />
decompose en trois parties :<br />
{ operateur<br />
{ restricteur<br />
{ portee nucleaire<br />
L'operateur est l'operateur de quantication, le restricteur est le concept f<br />
qui delimite l'univers du discours et la portee nucleaire est le concept g.<br />
L'interpretation des quanticateurs pour B. Partee est la m^eme que celle de<br />
E. Keenan.<br />
5.3 Critique de la theorie de E.Keenan<br />
La theorie des quanticateurs generalises est une theorie basee sur des hypotheses<br />
linguistiques et mathematiques en m^eme temps. Les hypotheses linguistiques<br />
sont:<br />
la classe des groupes nomin<strong>au</strong>x et leur construction.<br />
la classe des determinants.<br />
L'hypothese mathematique est d'interpreter les groupes nomin<strong>au</strong>x et les determinants<br />
comme des fonctions. La theorie est construite dans le cadre de<br />
la theorie semantique de Montague en utilisant sa theorie des types et son interpretation<br />
des groupes nomin<strong>au</strong>x.<br />
Ces deux hypotheses permettent de developper des resultats de nature linguistique<br />
et egalement des resultats de nature mathematique. L'interpretation<br />
linguistique de certains resultats mathematiques semble dicile (comme, par<br />
exemple P1).<br />
Nous allons faire quelques remarques sur la theorie des quanticateurs generalises:
142 La quantication en linguistique<br />
Un detail technique en ce qui concerne la construction recursive des types<br />
des quanticateurs generalises. Si on accepte l'interpretation d'un groupe nominal<br />
comme etant une fonction:<br />
P (E) ;! f>, ?g<br />
et on note par TYPE h 1 i l'ensemble de ces fonctions, alors on constate que les<br />
determinants d'un seul argument sont des fonctions :<br />
TYPE h 1 i;! TYPE h 1 i<br />
donc, de type h 1, 1 i<br />
La theorie des fonctions, la procedure de currication [Cur58], [Des90b] et la<br />
denition des types de Montague [Mon69] montre que le type des quanticateurs<br />
de deux arguments (s'appliquant a deux GN pour rendre un GN) est le type des<br />
fonctions:<br />
TYPE h 1 iTYPE h 1 i;! TYPE h 1 i<br />
c'est-a-dire h 1, h 1, 1 iiet non pas le type hh1, 1i, 1i. Une construction<br />
fonctionnelle rigoureuse donne les types d'<strong>au</strong>tres quanticateurs.<br />
La propriete de monotonie introduite pour les groupes nomin<strong>au</strong>x et pour<br />
les quanticateurs represente le processus de determination pris en compte par<br />
la LDO. Cette remarque prouve qu' il y a des processus cognitifs qui peuvent<br />
^etre formalise par des dierents outils du m^eme domaine (ici la logique ou les<br />
mathematiques). Le choix de l'outil se fait en fonction de l'evaluation de l'interpretation<br />
linguistique. Autrement dit, la pertinence de la modelisation est<br />
evaluee par la force de l'interpretation linguistique.<br />
Une modelisation qui contient en soit la structure de l'encodage d'une langue<br />
particuliere (dans ce cas l'anglais) peut induire des proprietes qui ne sont pas des<br />
proprietes generales. Comme E. Keenan utilise explicitement les classications<br />
syntaxiques qui portent sur l'anglais (la classications des determinants est assez<br />
arbitraire), le passage a d'<strong>au</strong>tres langues comporte des modications. C'est la<br />
raison pour laquelle <strong>au</strong>cune reponse n'est proposee a la question Q3 (paragraphe<br />
5.2.2.2).<br />
La theorie des quanticateurs generalises est une theorie extensionnelle (car<br />
construite a partir de la semantique de Montague). Elle n'est pas une theorie<br />
fonctionnelle des fonctions.
Conclusions 143<br />
La theorie des quanticateurs generalises reste un developpement inportant<br />
surtout par les proprietes mises en evidence sur une classe tres particuliere de<br />
fonctions.<br />
5.4 Conclusions<br />
Entre la quantication en logique et la quantication en linguistique il y a un tres<br />
fort lien par le biais de l'operation de determination.<br />
Les theories linguistiques de la quantication s'inspirent de la logique en<br />
denissant des operateurs de quantication dont la semantique est construite sur<br />
le modele des quanticateurs logiques classiques. Ces theories tiennent compte<br />
des criteres linguistiques en melangeant, des fois, des classications purement linguistiques<br />
propres a une langue particuliere avec des classications operees par<br />
la logique et les mathematiques.<br />
La theorie de J.-P. Descles prend en compte les problemes de la linguistique<br />
a un nive<strong>au</strong> superieur a celui de l'encodage, le nive<strong>au</strong> cognitif. Ces problemes<br />
sont traduits dans le modele logique par des operations qui ont un correspondant<br />
linguistique. D'<strong>au</strong>tres operations cognitives, comme la typicalitesontmodelisees.<br />
Le grand cadre de la logique classique est garde comme fondement, ce qui donne<br />
<strong>au</strong> modele la puissance d'applicativite. Le c^ote fonctionnel pris en compte par la<br />
logique combinatoire realise le passage entre la syntaxe et la semantique, d'une<br />
facon generalisee sans appel a l'interpretation d'un encodage particulier.<br />
Ces caracteristiques epistemiques de la theorie de J.-P. Descles nous ont permis<br />
de formaliser la quantication dans ce cadre et de voir une possible extension vers<br />
une theorie englobant la theorie de E. Keenan.<br />
Au moins trois grandes directions de developpement se distinguent, directions<br />
qui tiennent des trois domaines des sciences cognitives : la logique, l'in<strong>format</strong>ique<br />
et la linguistique. Ces directions sont :<br />
Etendre la theorie de la quantication de J.-P. Descles par la construction<br />
des operateurs de \denombrement".<br />
L'etude de l'encodage dans des langues naturelles de ces operateurs.<br />
Construire des outils <strong>au</strong>tomatiques de reperage des expressions de quantication<br />
et de denombrement.
144 La quantication en linguistique
Chapitre 6<br />
La categorisation<br />
6.1 Introduction<br />
Un canari est un oise<strong>au</strong> typique qui vole. Une <strong>au</strong>truche est une oise<strong>au</strong> atypique<br />
qui ne vole pas. Kiki est un canari qui vole. Julie est une <strong>au</strong>truche typique qui<br />
ne vole pas, donc atypique comme oise<strong>au</strong>. Rita est une <strong>au</strong>truche qui vole, donc<br />
atypique comme <strong>au</strong>truche, mais elle reste toujours atypique comme oise<strong>au</strong>. (voir<br />
la gure 6.1).<br />
Comment rendre compte de ces proprietes? Les rese<strong>au</strong>x semantiques ne donnent<br />
pas la reponse. La LDO par sa categorisation et par ses regles d'inference<br />
propose une reponse possible et, croyons-nous, meilleur que les <strong>au</strong>tres reponses.<br />
La classication { construire les classes { et la categorisation { etablir le<br />
rapport entre les classes { font partie du m^eme processus cognitif et elles sont<br />
etroitementliees m^eme si un de ces deux termes a ete utilise souvent pour l'<strong>au</strong>tre.<br />
La categorisation est appelee par la logique et par les mathematiques taxinomie.<br />
On appelle raisonnement taxinomique [Dub95] l'ensemble des procedures<br />
qui gouvernent l'application correcte d'une classication, c'est a dire d'une structure<br />
hierarchique analogue a celles d'usage courant en botanique ou en zoologie.<br />
De telles procedures nous permettent d'une part de designer le genre ou l'espece<br />
d'un individu donne a partir de l'examen de ses caracteristiques telles que les<br />
revele la seule observation, et d'<strong>au</strong>tre part, de predire pour une espece donnee,<br />
les proprietes qui sont communes <strong>au</strong>x individus qui la composent.<br />
La logique classique s'est averee inapte a formaliser ces types de procedures.<br />
Les problemes souleves par le raisonnement taxinomique renvoient a deux<br />
questions plus generales concernant :<br />
le rapport entre termes theoriques et termes observationnels<br />
le r^ole que pourrait jouer la logique dans l'examen de ces rapports<br />
La philosophie de ce siecle nous montre clairement que la tentative d'appliquer<br />
la logique classique a la formalisation de sciences <strong>au</strong>tres que les mathematiques
146 La categorisation<br />
classiques, qui doivent donc integrer dans un corps theorique des donnees observationnelles,<br />
n'a jamais ete accomplie de facon satisfaisante. Le raisonnement<br />
taxinomique n'est alors qu'un exemple particulierement representatif de cet echec.<br />
En in<strong>format</strong>ique, les problemes lies a la formalisation du raisonnement taxinomique<br />
sont connues sous le nom de problemes d'heritage. Ils concernent, outre les<br />
applications de l'intelligence articielle et en particulier les rese<strong>au</strong>x semantiques,<br />
des domaines tels que le genie logiciel, les langages de programmation de type \<br />
orientes objet " et les bases de donnees deductives. Les dicultes soulevees dans<br />
ces domaines par les classications ne concernent pas seulement leur formalisation<br />
logique, mais <strong>au</strong>ssi tout simplement leur interpretation. Elles constituent ainsi un<br />
cas typique des problemes propres a l'intelligence articielle : l'interpretation d'un<br />
procede technique de notation conduit a s'interroger sur la nature des problemes<br />
souleves et sur la possibilite d'avoir recours a la logique pour les resoudre. La<br />
recherche des nouvelles logiques non-classiques ne constitue qu'une hypothese de<br />
recherche an de donner une reponse positive a cette derniere interrogation. La<br />
categorisation en tant qu'outil conceptuel prend en compte deux aspects :<br />
d'un cote un aspect d'organisation rationnelle exprime par la hierarchie des<br />
concepts fondament<strong>au</strong>x d'un domaine : c'est l'aspect purement categoriel <br />
de l'<strong>au</strong>tre cote un aspect strictement classicatoire qui concerne le regroupement<br />
des individus en classes par le biais de leurs caracteristiques : c'est l'aspect<br />
purement classicationnel.<br />
Selon le premier point de vue une classication range des termes theoriques<br />
par leur specicite : elle organise les concepts scientiques d'un domaine en les<br />
subsumant les uns sur les <strong>au</strong>tres. Selon le second, elle met en relation l'abstrait<br />
(l'espece biologique) et le concret (l'individu reel). Classer signie creer des<br />
classes disjointes et il est necessaire a cette n de disposer d'une combinatoire<br />
de traits pertinents, tenus pour primitifs ( avoir des vertebres, allaiter ses petits,<br />
etc.). L'absence ou la presence d'un trait pertinent ( avoir ou ne pas avoir de<br />
vertebres) permet la constitution de classes distinctes de m^eme nive<strong>au</strong> (vertebres<br />
et invertebres), et l'inclusion des traits pertinents permet d'ordonner une classe<br />
par rapport une <strong>au</strong>tre ( mammiferes sous vertebres).<br />
La nature des objets est tres dierente et elle varie d'un domaine a l'<strong>au</strong>tre.<br />
C'est la t^ache de l'ontologie comme faisant partie de la philosophie de s'interroger<br />
sur cette nature.<br />
Dans chaque domaine scientique particulier, les objets sont les individus<br />
propres a ce domaine, comme les ^etres vivants en zoologie, les plantes en botanique.<br />
En mathematiques les objets de base sont les nombres dont la nature fait<br />
l'objet de toute une philosophie des mathematiques a partir de Cantor [Can32],<br />
[Hei77], Peano [Pea58], [Hei77], Frege [Dum91a]. En linguistique, les objets sont<br />
les expressions linguistiques vues <strong>au</strong> nive<strong>au</strong> genotype (voir J.-P.Descles [Des90b])
Introduction 147<br />
et non pas vues comme des encodages dans une langue ou une <strong>au</strong>tre. Il existe<br />
l'approche qui confere <strong>au</strong>x objets le degre le plus eleve d'abstraction en les concevant<br />
comme des entites abstraites de nature primitive qui peuvent ^etre obtenues<br />
par decomposition par des dierentes operations. Ce sont les objets de<br />
Curry 1 ([Cur58]).<br />
Les objets sont repartis en classes selon certaines proprietes communes. Ce<br />
sont les proprietes qui ont ete appelees concepts dans la tradition logico-philosophique<br />
et egalement dans la tradition linguistique. La notion de concept bien<br />
qu'elle marque toute la logique antefregeenne se detache comme denition a partir<br />
du systeme de Frege (voir le chapitre 2). La logique de Port-Royal parle d'idees,<br />
B.Russell de fonction propositionnelle, G. Frege de concepts. Dans la tradition<br />
linguistique plus proche de nous les concepts sont denis comme des systemes de<br />
representations complexes. Pour A. Culioli [Cul99b]:<br />
\Les notions sont des systemes de representations complexes de<br />
proprietes physico-culturelles c'est-a-dire des proprietes d'objets issues<br />
de manipulations necessairement prises a l'interieur des cultures,<br />
et, de ce point de vue, parler de notion, c'est parler de problemes qui<br />
sont du ressort des disciplines qui ne peuvent pas ^etre ramenees uniquement<br />
a la linguistique. Une notion est anterieure a la categorisation<br />
en nom, verbe, etc."<br />
Pour B. Pottier ([Pot92]) les concepts sont des noemes. J.-P. Descles ([Des98g],<br />
[Des99a]) en gardant la notion fregeenne de concept, elargit la notion d'objet<br />
(entite completement saturee par rapport <strong>au</strong> concept, dans le sens de Frege) en<br />
postulant les objets plus ou moins determines ([Des99a]):<br />
\Du point de vue logique, la notion d'objet gagnerait a ^etre mieux<br />
cernee" ([Des99a]).<br />
C'est la Logique de la Determination d'Objets (LDO) qui part de<br />
cette hypothese. La LDO represente une contribution a une comprehension<br />
theorique de l'objet par une nouvelle approche logique constructive, fondee sur<br />
une operation fondamentale { l'operation de determination. Cette logique rend<br />
compte des problemes cognitifs et deductifs rencontres par l'heritage des proprietes<br />
par des instances typiques et atypiques. Elle montre comment sont logiquement<br />
organisees les notions de classe extensionnelle, d'intension, d'objets<br />
plus ou moins determines, d'objets completement determines, d'etendue, dere<br />
pre sen tant plus ou moins typique d'un concept, d'objet typique. Cette logique,<br />
comme systeme logique est un systeme applicatif, type et applique <strong>au</strong>x objets<br />
1 Curry les denote par Obs
148 La categorisation<br />
(<strong>au</strong> sens que leurs attribu le systeme m^eme). La LDO represente d'un cote un<br />
systeme de categorisation plus adequate pour la categorisation linguistique que<br />
les categorisations traditionnelles. Du point de vue du raisonnement elle est<br />
une logique alternative comparable <strong>au</strong>x logiques non-monotones et a la logique<br />
lineaire. Elle represente <strong>au</strong>ssi un systeme de base pour denir la semantique d'une<br />
nouvelle theorie de la quantication, be<strong>au</strong>coup plus adequate <strong>au</strong> langage que la<br />
quantication de la logique classique.<br />
Ce chapitre est organise en sept sous-chapitres. Il presente les bases conceptuelles<br />
de la LDO et la LDO comme systeme de categorisation. Le premier decrit<br />
les concepts et les objets de la LDO. Le deuxieme sous-chapitre presente les<br />
operateurs de typication et de determination . Le troisieme sous-chapitre<br />
donne la structure de l'intension d'un concept { Int f. Le quatrieme souschapitre<br />
analyse la notion de \compatibilite" dans la LDO. Dans le cinquieme<br />
sous-chapitre on denit les notion \d'objet typique" et \d'objet atypique". Le<br />
sixieme sous-chapitre donne le systeme d'axiomes de la LDO et le septieme chapitre<br />
les classes des objets de la LDO et leurs rapports reciproques.
Introduction 149<br />
un ^etre vivant<br />
?<br />
un oise<strong>au</strong><br />
un canari<br />
;@ ; @@@@@@R<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
une <strong>au</strong>truche<br />
?<br />
;@ ; @@@@@@R<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
Kiki<br />
Julie<br />
Rita<br />
Figure 6.1: Le probleme de l'<strong>au</strong>truche
150 La categorisation<br />
6.2 Concepts et objets plus ou moins determines<br />
Les concepts dans cette approche sont penses dans le m^eme sens que les concepts<br />
fregeens, c'est-a-dire ils sont des fonctions denies sur l'ensemble des objets ayant<br />
comme valeurs les valeurs de verite : vrai (>) et f<strong>au</strong>x (?). Les concepts gardent<br />
leur caractere non-sature, \l'insaturation" de type fregeen qui fait la distinction,<br />
pour Frege, entre les concepts et les objets. Par contre, notre approche considere<br />
une classe be<strong>au</strong>coup plus large d'objets.<br />
Pour Frege les objets etaient totalement determines. Dans la LDO on part<br />
de l'idee qu'il existe des objets de dierents degres de determination. La LDO<br />
les appelle \plus ou moins determines". La classe de tous les objets O contient<br />
tous ces objets. Une sous-classe de O est la classe des objets determines O det .<br />
Un objet determine est un objet tel que toute determination compatible avec la<br />
nature intrinseque de l'objet n'apporte <strong>au</strong>cune in<strong>format</strong>ion supplementaire sur<br />
l'objet. Il n'y a plus besoin de determination pour individuer cet objet. S'il est<br />
reel on peut le toucher, le montrer etc.<br />
La dierence entre les objets consideres par cette approche et les objets<br />
fregeens est :<br />
{ Les objets fregeens sont \satures" dans le sens qu'ils sont vus comme des<br />
operandes absolus par rapport <strong>au</strong>x fonctions mais ils sont determines par<br />
rapport <strong>au</strong>x determinations<br />
{ Les objets de la LDO sont toujours des operandes absolus par rapport <strong>au</strong>x<br />
operateurs, mais ils peuvent ^etre determines ou indetermines.<br />
La caracteristique determine { indetermine des objets est denie par rapport<br />
a une operation particuliere: ladetermination. Cette operation a ete thematisee<br />
par la logique ante-fregeene et surtout par la logique de Port-Royal.<br />
\Ce qu'il y a de plus remarquable dans ces termes complexes est<br />
que l'addition qu'on peut faire a un terme est de deux sortes: l'une<br />
qu'on peut appeler explication, et l'<strong>au</strong>tre determination."<br />
La logique ou l'art de penser, A. Arn<strong>au</strong>ld, P. Nicole ([Arn70])<br />
Cette operation a ete completement eacee par la logique mathematique qui<br />
met dans la m^eme classe { la classe des fonctions { toutes les operations comme:<br />
determination, qualication, distinguees par les langues naturelles.<br />
Les langues naturelles distinguent ces operations par des procedes dierents<br />
d'encodage. Donc, c'est en s'inspirant de la langue naturelle qu'on peut conferer<br />
a ladetermination un statut particulier dans notre modele : le statut d'operateur<br />
qui construit des objets plus ou moins determines.
Concepts et objets plus ou moins determines 151<br />
\La determination (comme indication sur l'extension) est condition<br />
necessaire pour qu'un terme puisse jouer le r^ole de sujet ou de<br />
predicat dans une proposition."<br />
L'analyse de langage a Port-Royal, J-C Pariente ([Par85])<br />
Un objet reel (existant) est un objet determine et constructible.<br />
Un objet constructible est un objet pour lequel nous avons une procedure<br />
pour l'obtenir.<br />
La dierence entre \construire" et \determiner" est : construire un objet signi-<br />
e exhiber une procedure explicite pour obtenir cet objet determiner represente<br />
lui appliquer des proprietes pour l'individuer, pour qu'il puisse ^etre distingue sans<br />
ambigute des <strong>au</strong>tres objets <strong>au</strong>xquels il pourrait ^etre compare.<br />
Les objets determines sont : les objets existants (O ex ), les objets existants<br />
potentiels O ex;pot ) et les objets non-existants (O n;ex ).<br />
Parmi les objets existants il existe des objets existants avec correlat empirique<br />
(O ex;cc )etdesobjets existants sans correlat empirique (O ex;scc ). Les objets<br />
existants avec correlat empirique sont les objets perceptibles, soit les objets pour<br />
lesquels il y a une preuve empirique de leur existence sensible ou perceptible, soit<br />
les objets pour lesquels nous avons des procedures explicites pour prouver leur<br />
manifestation empirique : cet ordinateur (que vous le voyez), Napoleon (l'histoire<br />
nous donne la preuve de son existence). Les objets existants sans correlat empirique<br />
sont les objets qui existent sans avoir une manifestation empirique. Pour un<br />
objet existant sans correlat empirique prouver son existence represente prouver<br />
que ses proprietes sont non-contradictoires et pouvoir exhiber une preuve pour<br />
le determiner. Pour le mathematicien les nombres reels , oue sont des objets<br />
existants sans correlat empirique.<br />
Parmi les objets non-existants il y a le carre rond ou le nombre p 2 comme<br />
rationnel.<br />
Les objets existants potentiels (O ex;pot ) sont les objets pour lesquels on n'a pas<br />
la preuve de leur existence, mais ils sont parfaitement determines et ils pourraient<br />
exister:<br />
{ Objets de ction. Un personnage de ction n'existe pas, mais il est determine.<br />
{ Les uns pourraient exister. Par exemple Madame Bovary : elle est<br />
determinee, elle pourrait exister.<br />
{ D'<strong>au</strong>tres avec une probabilite moins grande. Le cent<strong>au</strong>re Nessus de<br />
la mythologie grecque il est <strong>au</strong>ssi parfaitement determine mais il n'a<br />
pas une existence attestee. Pour chacun d'eux la construction est<br />
denie dans un systeme cognitif coherent : le roman francais du XIX<br />
eme siecle et la mythologie grecque. Ces sources font partie de notre
152 La categorisation<br />
memoire collective, on leur a donne un statut. Ils n'ont pas le m^eme<br />
statut.<br />
{ Objets empiriques. Le monstre de Loch Ness n'est pas un objet existant<br />
parce qu'on n'a pas la preuve empirique de son existence. Par sa nature empirique,<br />
il est manifestable toutefois, certaines croyances (ou temoignages)<br />
lui attribuent des manifestations empiriques. Le monstre de Loch Ness<br />
n'a pas le m^eme caractere que Madame Bovary ou le cent<strong>au</strong>re Nessus. Il<br />
n'appartient pas a un systeme cognitif avec un statut deni.<br />
{ Des objets mathematiques. Le cardinal (possible) compris entre @ 0 et @ 1<br />
(le cardinal de
Concepts et objets plus ou moins determines 153<br />
ensemble de base { les types primitifs { et par des regles qui determinent la<br />
construction des types. Une theorie des types presuppose :<br />
des types primitifs <br />
des moyens pour construire des types a partir des types primitifs.<br />
Un type primitif est une categorisation cognitive d'une entite associee a certaines<br />
operations que l'on peut faire ou ne pas faire sur cette entite oua partir<br />
de cette entite. Les types primitifs sont composables et donnent naissance a des<br />
types derives comme les \types cartesiens" (les types de suites nies d'entites de<br />
dierents types), les types fonctionnels (les types d'operateurs qui construisent<br />
des entites d'un certain type a partir d'entites d'un certain type).<br />
Les types semantico-cognitifs primitifs sont des exemples de noemes primitifs 2 .<br />
En eet, les notions ne sont pas homogenes : la perception et l'experience socioculturelle<br />
nous font distinguer des entites individuelles, des entites massives, des<br />
entites collectives, des classes distributives, des activites, des lieux etc.. Ces<br />
dierentes entites n'ont pas un fonctionnement linguistique identique. Ainsi,<br />
on pluralise dicilement les entites massives : *des chaleurs,*des libertes, *des<br />
froids ..., alors que la pluralisation opere facilement sur des entites individuelles :<br />
des livres, des eurs, des tomates... La quantication et le denombrement ne<br />
s'appliquent que sur un certain type d'entites (les entites individuelles). On peut<br />
circonscrire un lieu, pointer et designer un objet dans l'espace, mais on ne peut<br />
pas faire de m^eme avec des entites massives. Une classe collective (une foule, une<br />
population) appara^t plus compacte qu'une classe distributive d'entites.<br />
Dierents types semantico-cognitifs categorisent les entites qui sont accessibles<br />
a nos capacites de perception et d'action. Les types semantico-cognitifs primitifs<br />
sont des hypotheses sur les categorisations cognitives operees par la perception<br />
et l'action. A chaque lexeme d'une langue, on peut associer un type semanticocognitif<br />
primitif. Les types de base sont :<br />
le type J des entites individualisees : Pierre, pomme, homme, nombre.<br />
le type L des lieux : Paris, les Alpes, Brest.<br />
le type T des unites de temps : jour, semaine, an.<br />
le type C des entites collectives : la foule, l'armee.<br />
le type M des entites massives : beurre, e<strong>au</strong>, sable.<br />
le type D des classes distributives : des livres, trois livres.<br />
2 Le sens est le m^eme que celui de B. Pottier, c'est-a-dire des notions \inevitables" a toute<br />
representation signicative par l'activite de langage [Pot92].
154 La categorisation<br />
le type A des activites (ou systemes) : l'economie, l'industrie 3 .<br />
le type H des propositions ou des contenus de pensee : Socrate est mortel<br />
Jean court vite.<br />
le type SIT des situations 4 .<br />
Le type des situations peut ^etre specie en sous-types :<br />
le type SIT statique : le livre est sur la table Socrate est un philosophe.<br />
le type SIT cinematique : Socrate court.<br />
le type SIT dynamique : Socrate ecoute Alcibiade.<br />
L'association des types <strong>au</strong>x unites lexicales n'est pas rigide. Une m^eme entite<br />
peut recevoir des types dierents selon le contexte. Dans l'enonce:<br />
Le livre setrouve sur la table<br />
le type de \livre" est J, tant que dans l'enonce:<br />
P<strong>au</strong>l commence unlivre<br />
le type de \livre" est A. Le mot \un livre" pourrait ici ^etre remplace par : \la<br />
lecture d'un livre", \la vente d'un livre", \l'ecriture d'un livre" .<br />
Le type de l'entite \cafe" est :<br />
M : cafeJ : une tasse de cafe<br />
L: un cafe de Paris A : pendant le cafe.<br />
Dans certains cas, des operateurs speciques recategorisent completement une<br />
entite a laquelle un type primitif a ete assigne. Ainsi, les classicateurs francais,<br />
comme un tas de, un pot de, un epi de, sont des traces linguistiques d'operateurs<br />
abstraits qui transforment une entite massive (non enumerable) en une entite<br />
individuelle (enumerable) ([Des98]).<br />
6.2.2 Classe structuree des concepts<br />
La classe des concepts (notee F) est structuree par une relation de comprehension<br />
directe entre concepts (notee par ! C ). Cette relation consideree par la logique<br />
de Port Royal est expliquee dans [Par85]:<br />
\J'appelle comprehension de l'idee, les attributs qu'elle enferme en<br />
soi, et qu'on ne peut lui ^oter sans la detruire, comme la comprehension<br />
de l'idee de triangle enferme extension, gure, trois lignes, trois angles<br />
et l'egalite deces trois angles a deux droits, etc".<br />
L'analyse de langage a Port-Royal, J-C Pariente ([Par85])<br />
3 [Abr98].<br />
4 [Des90b].
Concepts et objets plus ou moins determines 155<br />
Du point de vue de notre modele cette relation est une relation de preordre<br />
(dans le sens de la theorie algebrique des relations). On peut l'etendre a sa fermeture<br />
reexive et transitive (notee par !).<br />
La relation f ! C g se lit \f comprend directement g "(ou\g est une caracteristique<br />
directe de f"). La relation f ! g se lit \f comprend g "(ou\g est<br />
une caracteristique de f").<br />
A chaque concept f sont associees plusieurs sous-classes de F. Nous introduisons<br />
d'abord :<br />
L'intension caracteristique de f (notee Int-caract f) contient tous les concepts<br />
que f comprend directement:<br />
Int-caract f = fg 2F=f ! C gg<br />
L'intension de f (notee Int f) contient tous les concepts que f comprend<br />
(directement et indirectement) :<br />
Int f = fg 2F=f ! gg<br />
La relation ! C est reexive et antisymetrique :<br />
8ff ! C f<br />
8fg si f ! C g et g ! C f alorsf = g<br />
Sa fermeture transitive est une relation d'ordre.<br />
A chaque concept f est associe un concept negatif 5 , note N 1 f, tel que si N 1 f<br />
s'applique a unobjetx avec la valeur >, alors f s'applique <strong>au</strong> m^eme objet x avec<br />
la valeur ?. Les deux concepts f et N 1 f sont dans une opposition contradictoire,<br />
ils sont incompatibles.<br />
6.2.3 Classe structuree d'objets<br />
La totalite des objets forme une classe O. Tous les objets sont de type J. La<br />
classe O est partitionnee en deux :<br />
5 L'equation combinatoire entre la negation d'un operateur N 1 et la negation propositionnelle<br />
N 0 est N 1 = B N 0 (voir la demonstration en Annexe C)
156 La categorisation<br />
La sous-classe des objets (completement, totalement) determines (notee<br />
O det ). Ce sont les objets qui ne peuvent plus ^etre determines i.e. pour lesquels<br />
toute determination de plus est superue. L'application d'une determination a<br />
un tel objet garde l'objet inchange.<br />
La sous-classe des objets indetermines ( plus ou moins determines) (notee<br />
O ind ). Ces sont les objets qui peuvent encore ^etre determines. L'application<br />
d'une determination a un tel objet determine un <strong>au</strong>tre objet mieux determine<br />
que l'objet initial.<br />
La sous-classe des determines se divise <strong>au</strong>ssi en deux sous-classes :<br />
{ La sous-classe des objets determines existants (notee O ex )<br />
{ La sous-classe des objets existants potentiels (notee O ex;pot )<br />
{ La sous-classe des objets determines non-existants (notee O n;ex )<br />
La classe des objets determines existants est divisee en:<br />
{ les objets existants avec correlat empirique (O ex;cc ) qui sont, soit les objets<br />
concrets, designables par des gestes deictiques car occupant une position<br />
spatio-temporelle dans un referentiel, soit les objets identies par la<br />
connaissance (Napoleon Bonaparte, Alexandre le Grand).<br />
{ les objets existants sans correlat empirique (O ex;scc ) qui sont les objets<br />
dont l'existence est prouvee par une construction anterieure (les nombres<br />
irrationnels en mathematiques).<br />
La classe des objets determines existants potentiels est divisee en :<br />
{ les objets construits par la ction :<br />
{ les objets construits par la ction qui pourraient avoir un correspondant<br />
reel (Madame Bovary du roman de Fl<strong>au</strong>bert).<br />
{ les objets construits par la ction qui ne pourraient pas avoir un correspondant<br />
reel (le cent<strong>au</strong>re).<br />
{ les objets existants potentiels empiriques : le monstre de Lock Ness.<br />
{ les objets mathematiques : le cardinal qui peut exister intre @ 0 et @ 1 (le<br />
cardinal de
Concepts et objets plus ou moins determines 157<br />
La sous-classe des objets determines non-existants comprend des objets avec<br />
des proprietes contradictoires.<br />
Les partitions ci-dessus s'expriment par :<br />
O = O det<br />
[<br />
Oind<br />
O det<br />
\<br />
Oind = <br />
O det = O ex<br />
[<br />
On;ex<br />
[<br />
Oex;pot<br />
O ex<br />
\<br />
On;ex<br />
\<br />
Oex;pot = ?<br />
O ex = O ex;cc<br />
[<br />
Oex;scc<br />
O ex;cc<br />
\<br />
Oex;scc = ?<br />
6.2.4 Application des concepts <strong>au</strong>x objets<br />
Les concepts sont des operateurs. Ils s'appliquent <strong>au</strong>x objets qui sont des operandes<br />
absolus. Si f est un concept et x est un objet, alors :<br />
se lit \x tombe sous f".<br />
(fx)=><br />
(fx)=?<br />
se lit \x ne tombe pas sous f".<br />
Techniquement, l'application d'un concept a un objet correspond mieux a<br />
l'operation d'application (voir le chapitre 4) et a la notion de systeme applicatif<br />
de Curry ([Cur58]). Les objets consideres comme primitifs par Curry dans sa<br />
denition de la notion de systeme formel ont un degre degeneralite be<strong>au</strong>coup<br />
plus eleve que les objets que nous posons ici. Par contre l'operation d'application<br />
comme primitive { l'application d'un operateur a unoperande { concide<br />
exactement avec la notion d'application d'un concept f a un objet plus ou moins<br />
determine x. L'operation d'application est representee par:<br />
f<br />
(fx)<br />
x
158 La categorisation<br />
Dans la LDO les expressions correspondants <strong>au</strong>x objets indetermines (plus ou<br />
moins determines )sont des expressions applicatives. Les objets et les concepts de<br />
la LDO etendent l'univers conceptuel fregeen. Cette extension se manifeste dans<br />
l'elargissement de la classe O det a la classe O et dans la denition des concepts<br />
comme fonctions dont le domaine est O (pour Frege ce domaine etait O det ).<br />
Cette extension determine <strong>au</strong>ssi l'introduction d'une notion nouvelle, l'etendue<br />
d'un concept. Cette notion, consideree par la logique de Port-Royal, n'a jamais<br />
ete englobee dans un systeme formel.<br />
L'etendue de f est la classe de tous les objets <strong>au</strong>xquels f s'applique avec la valeur<br />
de verite > { que les objets soient completementdetermines ou indetermines 6 :<br />
Etendue f = fx 2O=(fx)=>g (1)<br />
L'extension d'un concept f reste l'extension dans le sens fregeen, c'est-adire<br />
la classe de tous les objets completement determines <strong>au</strong>xquels le concept f<br />
s'applique avec la valeur de verite > :<br />
Extf = fx 2O det =(fx)=>g (2)<br />
Il est evident que l'extension est contenue dans l'etendue. Comme la classe<br />
des concepts est structuree par la comprehension, la structure des concepts se<br />
projette sur les objets.<br />
Ce que l'intelligence articielle (l'I.A.) appelle un rese<strong>au</strong> semantique n'est qu'une<br />
partie de F structuree par la comprehension. Acerese<strong>au</strong> sont associes canoniquement<br />
deux <strong>au</strong>tres rese<strong>au</strong>x : le rese<strong>au</strong> des classes extensionnelles d'objets<br />
et le rese<strong>au</strong> des intensions. Dans le premier, les nuds sont les extensions (ou<br />
plus generalement les etendues) des concepts du rese<strong>au</strong> semantique, leseches<br />
(orientees dans le m^eme sens que la relation de comprehension) sont des inclusions<br />
entre classes d'objets. Dans le second, les noeuds sont des intensions et les<br />
eches des inclusions entre intensions. A toute relation de comprehension entre<br />
concepts correspond une inclusion entre les extensions et une inclusion duale entre<br />
les intensions 7 :<br />
f ! g () Ext f Ext g () Int g Int f<br />
Pour l'instant on peut modier cette loi en englobant les etendues :<br />
et l'equivalence<br />
Etendue f Etendue g =) Ext f Ext g<br />
6 Dans tout ce chapitre et les chapitres suivants nous employons la notation prexee pour la<br />
fonction, c'est-a-dire (fx) pour f(x).<br />
7 Cette dualite est souvent appellee \la loi de Port-Royal".
Operateurs de typicalite etdedetermination associes a un concept 159<br />
f ! g () Ext f Ext g<br />
est vraie seulement sig 2 Essf (voir 6.4).<br />
Et pourtant, les classes extensionnelles d'objets et la dualite entre les extensions<br />
(etendues) et intensions ne reetent cependant pas la structure \conceptuelle"<br />
des concepts et ne permet pas d'apprehender les phenomenes de typicalite,<br />
d'atypicalite et d'objets typiques elles ne permettent pas non plus de traiter correctement<br />
les problemes d'heritage et non-heritage pour les objets atypiques. La<br />
LDO est une logique typee appliquee <strong>au</strong>x objets qui developpe un systeme de<br />
regles qui permettent les solutions des problemes ci-dessus.<br />
6.3 Operateurs de typicaliteetdedetermination<br />
associes a un concept<br />
Nous introduisons deux operateurs comme operateurs primitifs:<br />
{ Le premier construit a partir d'un concept un objet indetermine appele objet<br />
typique totalement indetermine. Cet operateur est note par. Il associe<br />
a chaque concept f un objet totalement indetermine (note par f). Cet<br />
objet totalement indetermine est considere comme le representant objectal<br />
du concept f. Il est un objet mental, abstrait.<br />
Exemple : pour le concept \^etre une baleine" : = (note)b, b est l'objet<br />
indetermine \une baleine".<br />
{ Le deuxieme, appele operateur de determination (note ) associe canoniquement<br />
a chaque concept f un operateur f. L'operateur f, en s'appliquant<br />
a un objet quelconque x, construit un <strong>au</strong>tre objet \mieux determine" y,<br />
gr^ace a ladetermination apportee par le concept f : y =((f)x)<br />
Exemple : Une baleine est un grand animal marin qui est un mammifere.<br />
Les determinations sont : qui vit dans la mer, qui est grand et qui est un<br />
mammifere.<br />
x = un animal c =^etre grand b = vivre dans la mer d =^etre mammifere <br />
une baleine = (d)(c)(b)x<br />
Les determinations sont vues comme des operateurs particuliers (fonctions<br />
particulieres). On a d'abord un constructeur de determinations qui est l'operateur<br />
de determination . Il \fabrique" des determinations f qui produisent des objets<br />
\mieux determines". On ne suppose pas la commutativite de la composition des<br />
determinations. En general :
160 La categorisation<br />
((g f)x) 6= (f g)x)<br />
Les expressions comme :<br />
Le plus petit des grands ma^tres 6= le plus grand des petits ma^tres<br />
ou<br />
Cet animal est un grand papillon. Peut-on dire qu'un grand papillon est un<br />
grand animal ?<br />
Le plus petit de la classe des grands n'est pas le plus grand de la classe des<br />
petits.<br />
prouve cette armation.<br />
Une cha^ne de determinations est une suite nie de determinations composees<br />
entre elles, c'est a dire :<br />
=g 1 g 2 g n (1)<br />
Pour i =1 2:::n, les operateurs g i sont les composantes de la cha^ne .<br />
La notation pour l'application d'une cha^ne a un objet x est :<br />
y =(x) =((g 1 g 2 g n )x) =((g 1 )((g 2 )(((g n )x)) ))<br />
6.4 La structure de la classe Intf<br />
Les concepts contenus dans l'intension d'un concept f, Int f peuvent ^etre vus<br />
comme des \proprietes def".<br />
L'intension d'un concept f contient une partie, appelee l'essence de f (notee par<br />
Ess f) et une partie appelee la partie non essentielle de f (notee Ness f). La<br />
partie Ess f contient tous les \concepts essentiels" compris dans f, enparticulier<br />
les concepts denitoires. Si un concept f est dans l'essence d'un <strong>au</strong>tre concept,<br />
alors necessairement sanegation N 1 f n'y appartient pas. Le complement de<br />
l'essence de f par rapport a son intension contient tous les concepts \inessentiels".<br />
Cette partie contient les proprietes \<strong>au</strong>xiliaires" d'un concept f.<br />
Les concepts \inessentiels", bien que faisant partie de l'intension de f, ne<br />
s'appliquent pas a toutes les instances et, donc, a tous les exemplaires du concept<br />
f, ils s'appliquent seulement <strong>au</strong>x instances et exemplaires typiques. En revanche,<br />
les concepts de l'essence se distribuent sur toutes les instances et sur tous les<br />
exemplaires, qu'ils soient completement determines ou indetermines, typiques ou<br />
atypiques. Cependant, ces concepts \essentiels" ne sont pas en general connus car<br />
cette connaissance est globale et statique. Or les in<strong>format</strong>ions exprimees par des<br />
enonces ne sont pas souvent que locales et elles peuvent arriver par des processus<br />
dynamiques de connaissance. La partie essentielle d'un concept doit, donc, ^etre<br />
construite ou decouverte progressivement par l'examen du rese<strong>au</strong>. Il f<strong>au</strong>t donc se
La structure de la classe Intf 161<br />
donner des regles qui nous permettront de reconna^tre si une instance est typique<br />
ou atypique. C'est ce que nous allons entreprendre.<br />
On remarque que parmi les \proprietes <strong>au</strong>xiliaires" d'un concept f il y a deux<br />
categories de proprietes :<br />
a) Les unes sont les proprietes f i telles que le concept f est caracterise soit<br />
par la propriete f i , soit par sa negation N 1 f i , par exemple :<br />
un homme (qui a deux jambes)<br />
un homme unijambiste.<br />
Dans ce cas :<br />
f :=^etre homme<br />
f i : = avoir deux jambes<br />
N 1 f i := ne pas avoir deux jambes.<br />
b) Les <strong>au</strong>tres sont les proprietes qui prennent un ensembledevaleurs (numeriques<br />
ou non) et qui engendrent une liste de proprietes pour le concept f, par<br />
exemple :<br />
f :=^etre homme<br />
La couleur des yeux :<br />
f 1 : = la couleur des yeux est noire<br />
f 2 : = la couleur des yeux est bleue<br />
f 3 : = la couleur des yeux est verte<br />
f 4 : = la couleur des yeux est marron.<br />
Les proprietes de cette derniere categorie sont les proprietes considerees par<br />
le probleme \attribut { valeur" de la representation des connaissances.<br />
Pour chaque concept on conna^t les proprietes qui representent ses proprietes<br />
typiques et celles qui representent ses proprietes atypiques. Par exemple, pour<br />
le concept \^etre homme", les proprietes \avoir deux jambes" et \avoir les yeux<br />
noirs" sont des proprietes typiques, tandis que \avoir une seule jambe" et \avoir<br />
les yeux violets" sont des proprietes atypiques.<br />
Par consequent, la classe Ness f doit ^etre partitionnee en :<br />
{ La sous-classe des proprietes typiques (notee Ness f).<br />
{ La sous-classe des proprietes atypiques (notee Ness f).<br />
Pour chaque propriete f i de la categorie a), c'est-a-dire telle<br />
que soit elle, soit sa negation caracterise le concept f, ona:<br />
si f i 2 Ness f, alors N 1 f i 2 Ness f
162 La categorisation<br />
Pour chaque propriete f i de la categorie b), c'est-a-dire telle qu'il lui correspond<br />
une liste des concepts possibles dans la caracterisation du concept f, on<br />
a:<br />
si L i = ff i1 f i2 f in gNess f,alors L i = ff 0 i 1<br />
f 0 i 2<br />
f 0 ing Ness f<br />
Les listes des proprietes typiques (respectivement atypiques), L i, L i<br />
telles que :<br />
\<br />
L i L i = <br />
sont<br />
L i<br />
[<br />
L i = L<br />
ou L est la liste complete (epuise les valeurs possibles) pour la propriete f i .<br />
Donc :<br />
Ness f =(ff i =i =1 ng) [ 0 @ [<br />
1<br />
A<br />
L i<br />
i=1m<br />
Ness f =(fNf i =i =1 ng) [ 0 @ [<br />
Etant donne l'objet f il y a deux cas :<br />
L i<br />
i=1m<br />
{ Si f i est une propriete <strong>au</strong>xiliaire de f de la categorie a), alors une determination<br />
f i engendre des objets typiques, tandis qu'une determination N 1 f i engendre<br />
des objets atypiques.<br />
{ Si f i est une propriete <strong>au</strong>xiliaire de f de la categorie b), alors les objets<br />
typiques sont engendres par des fonctions de determination formees avec<br />
des elements d'une liste des proprietes non-essentielles typiques L i, tandis<br />
que les objets atypiques le sont par des fonctions formees avec des elements<br />
d'une liste des proprietes non-essentielles atypiques L i.<br />
Les proprietes de type b) peuvent ^etre ramenees <strong>au</strong>x proprietes detypea)en<br />
considerant simplement la propriete typique et sa negation : couleur typique des<br />
yeux, etc.<br />
La structure conceptuelle exprimee par :<br />
Intf = Essf [ Ness f [ Ness f<br />
est geree par le fait que :<br />
Toute propriete essentielle d'un concept g qui est compris dans un concept f<br />
est egalement une propriete essentielle pour le concept f exprime dans l'axiome<br />
suivant :<br />
Axiome :<br />
1<br />
A
Compatibilite - incompatibilite 163<br />
Si<br />
f ! g alors Ess g Essf<br />
La loi de Port-Royal doit ^etre modier a:<br />
Etendue f Etendue g =) Ext f Ext g<br />
et l'equivalence<br />
est vraie seulement si<br />
f ! g () Ext f Ext g<br />
g 2 Essf<br />
et<br />
f ! g<br />
Ess g Essf<br />
On voit que la condition<br />
g 2 Essf<br />
est necessaire en considerant le contre{exemple suivant :<br />
f:= ^etre homme:<br />
g:= ^etre vivant a 2 pattes<br />
x:= un unijambiste (atypique de f)<br />
On a f ! g et pourtant Ext f 6 Ext g parce que x 2 Extf, maisx 62 Ext g<br />
La distribution des concepts entre Ness f et Ness f est mieux captee par le<br />
processus de construction des objets dans l'espace O.<br />
Les proprietes deEssf sont les proprietes heritees necessairement par tous<br />
les objets qui tombent sous f. Les proprietes de Ness f et Ness f sont telles<br />
que les objets qui tombent sous f heritent soit d'une classe soit de l'<strong>au</strong>tre.<br />
6.5 Compatibilite - incompatibilite<br />
Les operateurs de determination ne s'appliquent pas a n'importe quel objet pour<br />
pouvoir construire d'<strong>au</strong>tres objets. Les restrictions dans leurs applications sont<br />
exprimees formellement par une relation entre deux concepts f et g : la compatibilite<br />
. La compatibilite d'un concept g avec un concept f exprime le fait que<br />
f peut avoir la propriete g, <strong>au</strong>trement dit, la determination g peut s'appliquer<br />
a l'objet totalement indetermine f. La compatibilite gere d'une certaine facon<br />
la distribution des concepts entre les trois sous-classes : Ess f, Ness f,Ness f<br />
et leur transmission par heritage. Les sous-classes Ness f et Ness f sont les<br />
classes qui decident d'une certaine maniere si un concept g est compatible avec<br />
un concept f ou non. Pour deux concepts f et g de F, pour la partition Ess f,
164 La categorisation<br />
Ness f, Ness f et la relation ! on peut denir formellement six cas C 1 C 6 :<br />
(voir gure 6.2)<br />
C 1<br />
g 2 Essf<br />
s<br />
Ess f<br />
q<br />
q q<br />
Ness <br />
Ness <br />
6<br />
ZZ} @I<br />
*<br />
Z @<br />
Z<br />
Z<br />
@<br />
g Z @<br />
Z @<br />
Z @<br />
Z<br />
Z@<br />
Z@<br />
Z@<br />
s<br />
Z@<br />
Z<br />
@ <br />
Z<br />
><br />
<br />
f<br />
q<br />
f<br />
q<br />
q<br />
f<br />
Figure 6.2: La compatibilite de type redondant<br />
Ce type de compatibilite represente une compatibilite de type redondant dans<br />
le sens que toute propriete essentielle pour f est compatible avec f, <strong>au</strong>trement dit,<br />
tout objet determine par une g de ce type reste invariant.<br />
C 2<br />
g 62 Ess fg 2 Ness f<br />
(voir gure 6.3)<br />
Toute propriete non-essentielle typique de f est compatible avec f. Ce type<br />
de compatibilite qu'on peut appeler compatibilite avec Ness f est le type de<br />
compatibilite qui determine l'engendrement des objets typiques.<br />
C 3<br />
g 62 Essfg 2 Ness f<br />
(voir gure 6.4)<br />
Toute propriete non-essentielle atypique de f est compatible avec f. Cette<br />
compatibilite qu'on appelle compatibilite avec Ness f est le type de compatibilite<br />
qui determine l'engendrement des objets atypiques.<br />
C 4<br />
g 62 Essfg 62 Ness fmais 9h h 2 Nessf<br />
(soit typique, soit atypique) tel que h ! get g 2 Ness h
Compatibilite - incompatibilite 165<br />
Ess f<br />
s<br />
ZZ}<br />
ZZZZZZZZZZZZZs<br />
q q q<br />
6<br />
q q q<br />
@I<br />
g<br />
@<br />
*<br />
@<br />
@<br />
@<br />
@<br />
@<br />
@<br />
@<br />
@<br />
@ ><br />
<br />
f<br />
Ness f<br />
Ness f<br />
Figure 6.3: La compatibilitedetypeC 2<br />
(voir gure 6.5)<br />
Toute propriete non-essentielle typique d'une propriete non-essentielle (typique<br />
ou atypique) d'un concept f peut determiner un objet de f. Cette compatibilite<br />
determine l'engendrement des objets typiques ou atypiques par heritage.<br />
C 5<br />
g 62 Ess fg 62 Ness fmais 9h h 2 Nessf<br />
Ess f<br />
q<br />
q<br />
q<br />
Ness f<br />
6<br />
ZZ} @I<br />
g<br />
*<br />
Z @<br />
Z @<br />
Z<br />
Z @<br />
Z @<br />
Z<br />
Z<br />
@<br />
Z@<br />
Z@<br />
Z@<br />
s<br />
Z<br />
Z@<br />
Z@<br />
><br />
<br />
f<br />
q<br />
q<br />
q<br />
s<br />
Ness f<br />
Figure 6.4: La compatibilitedetypeC 3
166 La categorisation<br />
Ness h<br />
sg<br />
Ess f<br />
q q q s 7<br />
q q<br />
Ness f<br />
h<br />
HY<br />
H<br />
Z}<br />
H<br />
7<br />
H<br />
Z<br />
HZ<br />
HZ<br />
H<br />
HZ<br />
HZ<br />
:<br />
1<br />
><br />
f<br />
s<br />
Figure 6.5: La compatibilite detypeC 4<br />
(soit typique, soit atypique) h ! get g 2 Ness h<br />
(voir gure 6.6)<br />
Le concept g peut determiner directement un objet associe a un concept h de<br />
Nessf.<br />
s<br />
Ness h<br />
g<br />
Ess f<br />
q q q<br />
><br />
q q<br />
Ness f<br />
h<br />
HY<br />
H<br />
Z}<br />
H<br />
H<br />
Z<br />
HZ<br />
H<br />
H<br />
Z<br />
HZ<br />
HZ<br />
:<br />
7 1<br />
><br />
f<br />
s<br />
s<br />
Figure 6.6: La compatibilite detypeC 5<br />
Cette compatibilitedetermine l'engendrement des objets atypiques par heritage.<br />
C 6<br />
g 62 Essfg 62 Nessf
Compatibilite - incompatibilite 167<br />
et 8h h ! g g 62 Ness h g 62 Ess h<br />
La propriete g n'est ni essentielle, ni non-essentielle pour f et n'appartient a<br />
la partie essentielle ou non-essentielle d'<strong>au</strong>cune propriete h de f.<br />
Le concept g est compatible avec le concept f si et seulement sig et f sont<br />
dans un des cas C 1 ,C 2 ,C 3 ,C 4 ,C 5 et le concept g est incompatible avec f si g<br />
et f sont dans le cas C 6 .<br />
Exemple : Considerons les concepts suivants :<br />
f =^etre homme<br />
g 1 =^etre doue de raison<br />
g 2 = avoir deux yeux<br />
g 3 = avoir un seul il<br />
g 4 = avoir la couleur bleue h = avoir deux yeux<br />
g 5 = avoir la couleur violette<br />
g 6 = avoir le gradient superieur a zero (r > 0)<br />
On verie facilement que f et g 1 sont dans le cas C 1 , f et g 2 sont dans le cas<br />
C 2 , f et g 3 sont dans le cas C 3 , f, g 4 et h sont dans le cas C 4 , f, g 5 et h sont<br />
dans le cas C 5 et f et g 6 sont dans le cas C 6 .<br />
Nous introduisons les predicats (Comp 2 gf), (Comp 3 gf), (Comp 4 gf),<br />
(Comp 5 gf) par :<br />
soit<br />
(Comp 2 gf)=>: g est compatible avec f dans le cas C 2<br />
(Comp 3 gf)=>: g est compatible avec f dans le cas C 3<br />
(Comp 4 gf)=>: g est compatible avec f dans le cas C 4<br />
(Comp 5 gf)=>: g est compatible avec f dans le cas C 5<br />
(Comp igf)=> : g est compatible avec f dans le cas C i i=1:::5<br />
Les cas C 1 et C 2 seront appeles cas de compatibilite typique, les cas C 3 , C 4 ,<br />
C 5 seront appeles cas de compatibilite atypique du concept g avec le concept f.<br />
Soit Comp f l'ensemble de tous les concepts compatibles avec f. Le rapport<br />
entre Comp g et Comp f dans le cas ou f ! g est :<br />
Theoreme 6.1 Si f ! g, alors Comp f T Comp g 6= ?
168 La categorisation<br />
En plus, tous les concepts de Intf sont compatibles avec f, c'est-a-dire :<br />
Int f Compf<br />
La notion de compatibilite exprime le fait qu'un concept f peut ^etre determine<br />
par un concept g. Une propriete g peut determiner un objet x qui tombe sous<br />
f. Dans ce cas g est compatible avec f. Il existe des objets qui tombent sous f<br />
qui sont determines par g, il en existe d'<strong>au</strong>tres qui ne le sont pas. Par exemple<br />
il existe des hommes <strong>au</strong>x yeux bleus et des hommes qui n'ont pas les yeux bleus,<br />
des hommes qui habitent a Brest et des hommes qui n'habitent pas a Brest.<br />
Les proprietes \habiter a Brest" et \avoir les yeux bleus" ne determinent pas<br />
la typicalite. Ces proprietes sont simplement compatibles avec le concept \^etre<br />
homme". Mais la propriete \avoir 50" est une propriete incompatible avec le<br />
concept \^etre homme".<br />
La notion de compatibilitenesedenit pas exclusivement par la notion d'intension.<br />
Les 5 cas de compatibilite representent une modelisation du rapport<br />
entre Int f et Comp f. Mais ce rapport est be<strong>au</strong>coup plus complexe et nous<br />
n'avons pas a priori une in<strong>format</strong>ion complete sur Comp f.<br />
Il y a deux points de vue possibles :<br />
{ L'intension Int f est vue comme l'union des proprietes essentielles etdes<br />
proprietes non-essentielles typiques la classe des proprietes compatibles<br />
avec f contient en plus les proprietes non-essentielles atypiques et les proprietes<br />
generales Prop f (voir la gure 6.7)<br />
{ L'intension Int f est vue comme l'union des proprietes essentielles, des proprietes<br />
non-essentielles typiques et des proprietes non-essentielles atypiques<br />
la classe des proprietes compatibles avec f contient en <strong>au</strong>tre les proprietes<br />
generales Propf (voir la gure 6.7 )
Compatibilite - incompatibilite 169<br />
Int f<br />
<br />
Comp f<br />
;@ ;@ ; @@@ ; @@@<br />
;<br />
;<br />
;;<br />
@R<br />
;;<br />
@R<br />
Ess f Ness f Ness f Prop f<br />
^etre doue<br />
de raison<br />
voler<br />
avoir deux jambes<br />
ne pas voler<br />
avoir une jambe<br />
habiter Brest<br />
ne pas habiter Brest<br />
Int f<br />
<br />
Comp f<br />
;@ H HHHHHHH<br />
; @@@<br />
;<br />
;;<br />
@R Hj ?<br />
Ess f Ness f Ness f Prop f<br />
Figure 6.7: Les classes Int f et Comp f
170 La categorisation<br />
6.6 Typique - atypique<br />
Un objet y est une specication typique par rapport a un concept f d'un <strong>au</strong>tre<br />
objet x si y est mieux determine que x et dans la cha^ne de determinations qui<br />
construit y a partir de x il n'entre que des determinations obtenues a partir des<br />
concepts compatibles \typiquement" avec f. Un objet y est une specication<br />
atypique par rapport a unconceptfd'un <strong>au</strong>tre objet x si y est mieux determine<br />
que x et dans la cha^ne de determinations qui construit y a partir de x il entre<br />
<strong>au</strong> moins une determination obtenue a partir d'un concept compatible \atypiquement"<br />
avec f.<br />
Les denitions formelles sont:<br />
Denition 6.1 Soit une cha^ne de determinations.<br />
Cette cha^ne est dite -compatible avec f ssi toutes les determinations de la<br />
cha^ne proviennent soit de Ness f soit de Comp f {Intf .<br />
Cette cha^ne est dite -compatible avec f ssi il y a <strong>au</strong> moins une determination<br />
dans la cha^ne qui provient de Ness f .<br />
Denition 6.2 Soit f un concept et x, y deux objets plus ou moins determines.<br />
L'objet y est une specication typique de l'objet x si :<br />
(i) x, y tombent sous f<br />
(ii) il existe <strong>au</strong> moins une cha^ne = g 1 ::: g n telle que y =(x)<br />
(iii ) toute cha^ne de type (ii) est - compatible avec f pour toutes les g i ,<br />
N 1 g i 62 Intf.<br />
(iv) on peut obtenir par des cha^nes dedetermination a partir de y une classe<br />
d'objets typiques determines, notee Classe (y).<br />
Remarque 6.1 On remarque que dans une cha^ne -compatible il n'existe pas<br />
a la fois les determinations g et N 1 g<br />
Denition 6.3 Soit f un concept et x, y deux objets plus ou moins determines.<br />
L'objet y s'appelle specication atypique de l'objet x si :<br />
(i) x, y tombent sous f<br />
(ii) il existe <strong>au</strong> moins une cha^ne = g 1 ::: g n telle que y =(x)<br />
(iii ) <strong>au</strong> moins une cha^ne de type (ii) est - compatible.<br />
(iv) on peut obtenir par des cha^nes dedetermination a partir de y une classe<br />
d'objets atypiques determines, notee Classe (y).<br />
L'objet typique f est une specication typique de lui-m^eme (voir l'axiome<br />
A2)
Engendrement a partir de l'objet typique 171<br />
Denition 6.4 Un objet est une instance typique (ou un objet typique) respectivement<br />
une instance atypique (ou un objet atypique) si cet objet est une<br />
specication typique (respectivement atypique) de l'objet typique f.<br />
La classe de tous les objets typiques determines qui tombentsousf sera notee<br />
Ext f.<br />
La classe de tous les objets atypiques determines qui tombent sous f sera<br />
notee Ext f.<br />
Remarque 6.2<br />
Classe (y) Ext f.<br />
Classe (y) Ext f.<br />
Nous introduisons les predicats suivants:<br />
Denition 6.5 TYPIQUE (f) (x) : x est un objet typique de f<br />
est deni par<br />
TYPIQUE (f) (x) ssi x est une specication typique de f.<br />
ATYPIQUE (f) (x) : x est un objet atypique de f<br />
est deni par<br />
ATYPIQUE (f) (x) ssi x est une specication atypique de f.<br />
6.7 Engendrement a partir de l'objet typique<br />
L'objet f est vu comme un element generateur des objets qui \tombent sous le<br />
concept" f. Cet objet determine la prise en compte d'<strong>au</strong>tres classes d'objets :<br />
{ la classe des objets totalement determines engendres a partir de f:<br />
Ext (f)=fx 2O det =9 , est une cha^ne de determinations, telle que<br />
x =((f)g<br />
{ la classe des objets plus ou moins determines engendres a partir de f:<br />
Etendue (f)=fx 2O=9 est une cha^ne de determination, telle que<br />
x =((f)g<br />
{ la classe des objets typiques totalement determines engendres a partir de<br />
f :<br />
Ext (f )=fx 2O det =xest un objet typique totalement determine engendre<br />
a partir de fg<br />
{ la classe des objets typiques engendres a partir de f :<br />
Etendue (f)=fx 2O=xest un objet typique engendre apartirdefg
172 La categorisation<br />
{ la classe des objets atypiques totalement determines engendres a partir de<br />
f :<br />
Ext (f)=fx 2O det =xest un objet atypique totalement determine engendre<br />
a partir de fg<br />
{ la classe des objets atypiques engendres a partir de f :<br />
Etendue (f)=fx 2O=xest un objet atypique engendre a partir de fg<br />
Si on rajoute les classes Etendue f et Ext f denies en (1) et (2) du 6.2.4 et<br />
Ext f, Ext f denies en 6.6, on a dix classes d'objets. Les inclusions suivantes<br />
sont evidentes :<br />
Extf Etenduef<br />
Ext(f) Etendue(f)<br />
Ext (f) Etendue (f) Etendue(f)<br />
Ext (f) Etendue (f) Etendue(f)<br />
La relation entre les classes Etendue f et Etendue (f) est (Cf. gure 6.8)<br />
Etendue(f) Etenduef<br />
Si on admet : Etendue(f) Etenduef, accepte l'hypothese selon laquelle :<br />
\construire a partir de f" represente moins que \deduire a partir de f".<br />
Si on admet : Etendue(f) = Etenduef on est dans l'hypothese ou le constructiviste<br />
et l'inferentiel concident. C'est la m^eme chose que de dire : \tout objet<br />
qui a la propriete f peut ^etre construit a partir de f".<br />
Nous croyons que cette hypothese est trop forte, <strong>au</strong> moins pour la cognition<br />
commune (celle qui ne releve pas d'un domaine scientique particulier).<br />
Au nive<strong>au</strong> de l'engendrement les six cas de compatibilite /incompatibilite se<br />
traduisent par la possibilite de l'application de la determination g dans les cas<br />
C 1 ,C 2 ,C 3 ,C 4 ,C 5 et l'engendrement des objets suivants :<br />
C 1 : f =((g)(f))fest un point xe pour g<br />
C 2 : x =((g)(f))x est un objet typique<br />
C 3 : x =((g)(f))x est un objet atypique<br />
C 4 : x =((g)(f))x est un objet typique ou atypique 8<br />
8 Le cas C 4 peut ^etre un cas de de compatibilite typique, si g 2 Ness f
Engendrement a partir de l'objet typique 173<br />
f<br />
Se eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee<br />
S<br />
S<br />
S<br />
S<br />
S<br />
S<br />
S<br />
S Etendue f<br />
S <br />
S<br />
S<br />
<br />
Etendue (f)<br />
<br />
S <br />
S<br />
S<br />
S<br />
'<br />
s #<br />
S<br />
$<br />
S<br />
S<br />
<br />
<br />
S<br />
"<br />
S<br />
!<br />
Ext(f)<br />
&<br />
%<br />
Ext f<br />
Figure 6.8: L'etendue et l'extension d'un concept<br />
C 5 : x =((g)(f))x est un objet atypique<br />
Dans le cas C 6 , g n'est pas applicable a f<br />
Le processus de construction des objets plus ou moins determines en appliquant<br />
des cha^nes dedetermination <strong>au</strong>x objets typiques (f)determine un<br />
processus parallele de construction des nouve<strong>au</strong>x concepts.<br />
Le probleme qui se pose est :<br />
Est-ce que, a chaque objet plus ou moins determine x, obtenu par :<br />
x =((f))<br />
correspond un concept x c ?<br />
Notre reponse est non. Il y a des cas ou ce concept x c se construit, il y a des<br />
cas ou il n'existe pas.<br />
Si concept x c existe il se rajoute a F.<br />
La dierence de statut entre x c et x est:<br />
{ x c 2F tandis que x 2O
174 La categorisation<br />
{ x c occupe la position d'operateur dans une expression applicative tandis<br />
que x c occupe la position d'un operande<br />
Cette dierence de statut est lexicalisee dans les langues naturelles par un<br />
syntagme nominal , respectivement par l'expression \^etre syntagme nominal "<br />
x := une <strong>au</strong>truche<br />
x c := ^etre une <strong>au</strong>truche<br />
Dans les langues naturelles les objets <strong>au</strong>xquels il leurs correspond des concepts<br />
sont lexicalises, par exemple \une <strong>au</strong>truche", les <strong>au</strong>tres (ceux <strong>au</strong>quels il ne leurs<br />
correspond pas de concepts) ne sont pas lexicalises, comme \un homme <strong>au</strong>x yeux<br />
bleus qui habite Brest".<br />
Nous n'avons pas d'<strong>au</strong>tre test epistemique (s<strong>au</strong>f celui de la langue) pour<br />
decider a partir de quel nive<strong>au</strong> a unobjetx correspond un concept x c . Pour<br />
une implementation in<strong>format</strong>ique de la LDO il f<strong>au</strong>t rajouter des hypotheses<br />
supplementaires.<br />
Nous avancons l'hypothese suivante :<br />
Cette distinction qui se fait <strong>au</strong> nive<strong>au</strong> cognitif et qui est eacee par<br />
les rese<strong>au</strong>x semantiques (de l'I.A.) est tres importante. La LDO met<br />
face a face les deux ensembles F et O et elle les manipule en parallele.<br />
Elle retraduit ainsi le parallelisme entre inferentiel et constructiviste,<br />
entre ensembliste et fonctionnel. Ce qui est be<strong>au</strong>coup plus facile d'obtenir<br />
en O est obtenu en O et, ensuite retraduit en F et inversement,<br />
ce qui est be<strong>au</strong>coup plus facile a obtenir en F est obtenu en F et<br />
retraduit en O La classe O est be<strong>au</strong>coup plus riche que la classe F.<br />
Parmi d'<strong>au</strong>tres problemes les trois suivants sont tres importants :<br />
{ etant donne un concept f et son intension Intf =Essf [ Ness f [ Ness f<br />
quelle est la distribution des concepts f i i =1:::n entre Int f, Essf,<br />
Ness f,Ness f ?<br />
{ Cette distribution est-elle donnee avec le concept f en faisant partie de la<br />
structure de F ?<br />
{ Peut-on donner des regles qui decrivent cette distribution?<br />
Supposons que : x =((f)),=(g 1 )g 2 ) :::g n )) et x c soit un concept.<br />
Alors g 1 :::g n se distribuent entre Ess x c ,Ness x c et Ness x c d'une facon purement<br />
aleatoire. Les deux exemples suivants illustrent ce fait:<br />
Exemple 1. (Cf. gure 6.11) Soit x := un europeen.
Engendrement a partir de l'objet typique 175<br />
On remarque que le concept g: habiter en Europe entre dans Ess x c : Ess<br />
x c = Essf [fgg<br />
Exemple 2. (Cf. gure 6.9) Soit x := une <strong>au</strong>truche et Julie:= l'<strong>au</strong>truche qui<br />
vole de zoo de Paris.<br />
<br />
s <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
s<br />
s<br />
f := un oise<strong>au</strong><br />
=g 1 ::: g i ::: g n<br />
x:= une <strong>au</strong>truche<br />
y:=Julie (l'<strong>au</strong>truche qui vole du zoo de Paris)<br />
Figure 6.9: La distribution des concepts entre Ess f et Ness f<br />
g i := ne pas voler<br />
Le concept g i entre dans Ness f.<br />
Parmi les concepts g j j =1:::n, il y en a qui entrent enEssx c (ce sont les<br />
concepts essentiels qui determinent qu'un oise<strong>au</strong> soit une <strong>au</strong>truche). Le concept<br />
g i sera en Ness x c (une <strong>au</strong>truche typique ne vole pas ). Par contre pour l'objet<br />
y := Julie , y =(g 1 (g 2 (g 3 (f))) ou g 1 := ^etre nommee Julie, g 2 := appartenir<br />
<strong>au</strong> zoo de Paris, g 3 := voler.<br />
Les concepts g 1 g 2 g 3 sont en Ess y c .<br />
Les deux exemples ci-dessus sont des exemples qui tiennent de la connaissance<br />
commune. Pour les concepts qui resultent d'une construction riguoreuse abstraite<br />
( les objets denis en mathematiques, par exemple) la decision de mettre un<br />
concept de type g i en Ess x c ou en Ness x c revient a dire :<br />
soit que g i determine la construction d'une nouvelle classe d'objets (classe<br />
qui soit consistante pour l'etude ulterieure )<br />
soit que g i n'est pas une propriete susamment importante pour ^etre mise<br />
en Ess x c et, alors on la met en Ness x c .<br />
g i 2 Ess g<br />
g i1 2 Ness g (voir la gure 6.10)<br />
La construction de la LDO repose sur ces idees.<br />
Maintenant on est en mesure de donner la denition d'un objet totalement<br />
determine:
176 La categorisation<br />
s<br />
h:= un quadrilatere<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
s<br />
f:= un rectangle<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
s<br />
g i := avoir 2 c^otes adjacents eg<strong>au</strong>x<br />
<br />
<br />
g:= un carre<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
s<br />
g 1 := un rectangle particulier<br />
g i1<br />
g i1 := une propriete particuliere<br />
Figure 6.10: La distribution des concepts entre Ess f et Ness f<br />
Denition 6.6 Un objet x 2O det est un objet tel que, pour toute determination<br />
g compatible avec x c (si x c existe) on a :<br />
x =(g x c )<br />
<strong>au</strong>trement dit, x est un point xe pour l'operateur g.<br />
Les objets totalement determines, comme points xes pour la determination<br />
ne peuvent plus engendrer d'<strong>au</strong>tres objets. Il f<strong>au</strong>t considerer que toutes les<br />
determinations appliquees pour obtenir un objet totalement determine x seront<br />
vues a la n du processus de determination comme des concepts essentiels pour<br />
le concept x c si a l'objet x correspond un concept.
Les axiomes des operateurs et 177<br />
6.8 Les axiomes des operateurs et <br />
Le systeme d'axiomes est forme de six axiomes :<br />
A 1: pour tout concept f, il existe un objet f et un operateur f.<br />
A 2 (8f 2F)[((f(f)) = (f)]<br />
A 3: (8fg 2F)(8x 2O)[[(fx)=>^g 2 Ess f] ) ((g)x) =x]<br />
A 4: (8f 2F)[f f = f]<br />
A 5: (8fgh 2F)[(h g) f = h (g f)]<br />
A 6: (8f 2F)[(f(f)) = > ssi Ext f 6= ? ssi 9 x, x determine et<br />
typique tel que (fx)=><br />
Ces axiomes representent le fondement epistemique du systeme logique, les<br />
bases qui relient l'intuition et la construction formelle.<br />
La partie intuitive reete <strong>au</strong> moins trois idees de bases :<br />
{ le statut epistemique confere <strong>au</strong>x concepts et <strong>au</strong>x objets dans l'univers<br />
conceptuel du systeme fregeen [Fre*67].<br />
{ la fonctionalite et la notion d'operateur dans le systeme de Curry [Cur58],<br />
etendue par J.-P. Descles [Des90b].<br />
{ la notion de determination telle qu'elle est presentee dans la Logique de<br />
Port Royal [Arn93].<br />
Ces axiomes posent egalement les operateurs introduits comme primitives dans<br />
le systeme de la LDO et formalisent leur contenu intuitif.<br />
L'axiome A 1 exprime le fait qu'on associe a chaque concept son unique<br />
objet typique et son unique operateur de determination.<br />
L'axiome A 2 exprime une propriete de point xe pour l'objet typique f :<br />
il reste invariant par la determination f.<br />
L'axiome A 3 exprime une <strong>au</strong>tre propriete de point xe, mais cette foisci<br />
pour un objet quelconque x de O : cet objet est un point xe pour toute<br />
determination apportee par un concept contenu dans la partie essentielle de l'intension<br />
de f.<br />
Les axiomes A 4 etA 5 expriment l'idempotence, respectivement, l'associativite<br />
de la composition des determinations.<br />
L'axiome A 6etablit une relation entre l'objet typique et l'extension : l'objet<br />
typique d'un concept tombe sous ce concept si et seulement si l'extension typique<br />
du concept (la classe des objets typiques determines) est non vide.
178 La categorisation<br />
L'etendue peut ^etre non vide, alors que l'extension est vide : on peut raisonner<br />
sur un objet quelconque et qualier cet objet par des proprietes qualicatives sans<br />
que, pour <strong>au</strong>tant il existe un objet completement determine et empiriquement<br />
atteste de l'extension.<br />
Cet axiome a une contre-partie dans l'axiome de Hilbert :<br />
f(f) =>() Extf 6= ?<br />
mais il est tout a fait dierent de l'axiome de Hilbert. Pour Hilbert :<br />
{ tous les objets etaient typiques et determines<br />
{ f est un objet parmi les <strong>au</strong>tres.<br />
Pour nous f est l'objet generique, totalement indetermine et typique, le<br />
representant objectal du concept f Ext f est la classe de tous les objets typiques<br />
determines. f est un objet mental, les objets de Ext f sont des objets existants.<br />
L'axiome de Hilbert exprime le fait que s'il existe un objet determine qui<br />
tombe sous f, alors l'extension n'est pas vide et inversement.<br />
L'axiome A6 exprime l'idee que l'objet mental f tombe sous f si et<br />
seulement si il existe des objets typiques totalement determines tombant sous<br />
le concept f.<br />
Autrement dit, si la construction mentale de f ne viole <strong>au</strong>cune des proprietes<br />
essentielles de f, on a des procedures de construction des objets typiques totalement<br />
determines def. Inversement, l'existence des objets typiques totalement<br />
determines represente un test de non-violation des proprietes essentielles de f par<br />
f.<br />
L'axiome A6 relie les objets \abstraits" et les objets \empiriques". La<br />
dierence entre les objets \abstraits" et les objets \empiriques" est contenue<br />
dans les deux sens de l'implication de l'axiome.<br />
Une discussion sur la nature de l'in<strong>format</strong>ion apportee par un axiome de type<br />
A 6 et sa pertinence dans le systeme s'impose. L'inclusion, l'exclusion ou le<br />
remplacement d'un axiome de type A 6 { axiome qui fait le pont entre l'objet<br />
f et l'extension typique de f { est-elle justiee?<br />
Il y a deux raisons qui nous determinent aenoncer un axiome de ce type:<br />
{ 1. La disambigusation semantique du predicat (f x)danslaLDOpar<br />
rapport a la logique classique.<br />
{ 2. Le statut epistemique de la notion de concept dans la LDO par rapport<br />
a la logique classique et, particulierement a l'univers conceptuel fregeen.
Les axiomes des operateurs et 179<br />
1. Dans la LDO, par rapport a la logique classique le predicat (f x) a une<br />
semantique dierente de celle acceptee par la logique classique. Tout objet plus<br />
ou moins determine x, x 2 O est vu sous deux aspects :<br />
^etre un f<br />
avoir un ensemble de proprietes g 1 g 2 :::g n .<br />
Le premier aspect correspond <strong>au</strong> predicat \^etre engendre a partir de f" le<br />
deuxieme aspect <strong>au</strong> predicat \^etre determineparf", predicats qui ont des valeurs<br />
semantiques dierentes. La LDO exprime ces valeurs semantiques par l'engendrement<br />
a partir de f et la determination par l'operateur f. Plus precisement:<br />
\^etre engendre a partir de f " est exprime parx =((f)) ou est une<br />
cha^ne de determinations.<br />
\^etre determine par f " est exprimeparx =(:::(f) :::(g)) (la determination<br />
(f) appara^t dans la cha^ne ).<br />
Dans la logique classique ces deux valeurs sont completement eacees et englobees<br />
dans un et un seul predicat :<br />
Exemples<br />
(fx)=><br />
1 Un europeen est un homme qui habite en Europe et non pas un habitant<br />
de l'Europe qui est homme.<br />
(Cf. gure 6.11)<br />
f := ^etre homme<br />
g := habiter l'Europe<br />
x := un habitant de l'Europe, x =(g (f))<br />
Mais dans le syntagme \les europeens et les europeennes" la determination<br />
porte sur \^etre homme" ou \^etre femme" d'un \habitant de l'Europe".<br />
2 Une <strong>au</strong>truche est un oise<strong>au</strong> qui ne vole pas et non pas un animal non volant<br />
qui est oise<strong>au</strong>.(Cf. gure 6.12)<br />
f := ^etre oise<strong>au</strong><br />
g := ne pas voler<br />
x := une <strong>au</strong>truche, x =(g (f))<br />
3 Un ours canadien est un ours qui vit <strong>au</strong> Canada et non pas un animal du<br />
Canada qui est ours. (Cf. gure 6.13)
180 La categorisation<br />
s s<br />
f := un homme<br />
g:= un habitant de l'Europe<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
g:= qui habite l'Europe<br />
<br />
<br />
<br />
xs<br />
Figure 6.11: Exemple 1<br />
f := ^etre ours<br />
g := vivre <strong>au</strong> Canada<br />
x := un ours canadien, x =((g)(f))<br />
4 Un habitant de Brest est un homme qui habite la ville de Brest et non pas<br />
un ^etre de Brest qui est homme. (Cf. gure 6.14)<br />
f := ^etre homme<br />
g := habiter la ville de Brest<br />
xs<br />
s<br />
f := un oise<strong>au</strong><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=g 1 g 2 ::: g n<br />
<br />
<br />
s<br />
g:= un non volant<br />
Figure 6.12: Exemple 2
Les axiomes des operateurs et 181<br />
s<br />
s<br />
f := un ours<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
g:= qui vit <strong>au</strong> Canada<br />
<br />
<br />
<br />
x:= un ours canadien<br />
s<br />
g:= un vivant du Canada<br />
Figure 6.13: Exemple 3<br />
x := un habitant de Brest, x =((g)(f))<br />
On voit que l'encodage dans la plupart des langues est le suivant :<br />
{ f est encode par un nom<br />
{ g est encode par :<br />
{ un adjectif (exemple 3)<br />
s<br />
f:= un homme<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
g<br />
s<br />
<br />
<br />
x:=un homme qui habite Brest<br />
s<br />
g:= un habitant de Brest<br />
Figure 6.14: Exemple 4
182 La categorisation<br />
{ englobe dans le nom (lexicalise) (les exemples 1, 2) 9<br />
{ englobe dans le syntagme nominal par un complement de nom (\un<br />
habitant de Brest") ou par une relative ( \un homme qui habite Brest" :<br />
exemples 4)<br />
L'encodage par un complement de nom et par une proposition relative exclut<br />
la possibilite formelle de permutation entre f et g dans toutes les<br />
langues.<br />
Donc, (fx)=> traduit par \l'objet x tombe sous le concept f" peut venir de<br />
deux directions :<br />
{ x est un f, x =((f))<br />
{ x a la propriete f , x =(:::f:::(g))<br />
En general, dans le monde reel, pour les concepts communs on a la propriete:<br />
- chaque objet x plus ou moins determine est engendrea partir d'un f m^eme<br />
si ce f n'est pas unique, c'est-a-dire:<br />
8x x 2O 9f9 tels que : x = ((f))<br />
Exemple : une baleine a bosse a partir de baleine, un petit enfant blond a partir<br />
d'enfant, l'homme de Neandertal a partir d'homme, une plante d'appartement<br />
qui craint le dessechement a partir de plante....<br />
Mais le f n'est pas unique.<br />
Dans des domaines particuliers comme les mathematiques dont les objets<br />
totalement determines ont un statut epistemique dierent des objets du monde<br />
reel et pour lesquels le test d'existence est <strong>au</strong>tre que celui pour les objets du monde<br />
reel, la permutation entre \^etre un f et \avoir la propriete f " est be<strong>au</strong>coup plus<br />
facile a concevoir.<br />
Exemple. Un carreengeometrieestdeni soit comme un quadrilatere qui a 4<br />
angles droits (rectangle) avec les 4 c^otes eg<strong>au</strong>x, soit comme un quadrilatere avec<br />
4c^oteseg<strong>au</strong>x (losange) et avec les 4 angles droits.<br />
Soit :<br />
f := ^etre quadrilatere et avoir 4 angles droits (Cf. gure 6.15),<br />
g := ^etre quadrilatere et avoir 4 c^otes eg<strong>au</strong>x (Cf. gure 6.16).<br />
Par contre un triangle equilatere est un triangle avec les trois c^otes eg<strong>au</strong>x<br />
plut^ot qu'un polygone equilatere qui a trois c^otes.(Cf. gure 6.17)<br />
f := ^etre triangle<br />
g := avoir a = b = c<br />
9 Dans l'exemple 2 le nom \<strong>au</strong>truche" comprend d'<strong>au</strong>tres determinations que la determination<br />
\ne pas voler"
Les axiomes des operateurs et 183<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
g <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
s<br />
s<br />
x:= un carre<br />
f:= un quadrilatere<br />
s<br />
<strong>au</strong>x angles droits<br />
g:= un quadrilatere dont les c^otes sont eg<strong>au</strong>x<br />
Figure 6.15: Le carre engeometrie-1<br />
Dans le monde reel, pour l'homme commun, le choix d'un f pour un x<br />
dependra parfois du contexte, sans ^etre toujours conscient. Par exemple \un<br />
mammifere marin" sera, pour un biologiste, un mammifere vivant dans la mer,<br />
mais, pour un enfant, plut^ot un animal marin ayant la propriete annexe d'^etre<br />
un mammifere.<br />
Denition 6.7 Le predicat (Prop gx) est deni par: (Prop gx) ssi<br />
x =((g 1 g g n )(f))<br />
f<br />
s<br />
g:= un quadrilatere dont les c^otes sont eg<strong>au</strong>x<br />
s<br />
<br />
f:= un quadrilatere <strong>au</strong>x angles droits<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
s<br />
x:= un carre<br />
Figure 6.16: Le carre engeometrie-2
184 La categorisation<br />
s<br />
f:= un triangle<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
g<br />
<br />
s<br />
<br />
<br />
x:= un triangle equilateral<br />
Figure 6.17: Le triangle equilateral<br />
Le concept g se trouve dans une cha^ne de determinations qui permet d'engendrer<br />
x a partir de f<br />
La LDO par sa partie constructiviste (la construction de la classe des objets<br />
O) modelise cette disambigusation.<br />
2. Pour la notion de concept on a deux choix epistemiques :<br />
accepter qu'un concept est deni sur O (toute la classe des objets plus ou<br />
moins determines ), donc<br />
8<br />
>< ><br />
(fx)= ou<br />
>:<br />
?<br />
est englobe dans le rapport entre f et x. Ainsi (f(f)) peut ^etre "vrai" ou<br />
"f<strong>au</strong>x" et, donc, il f<strong>au</strong>t donner des cas ou (f(f)) = >, c'est a dire englober dans<br />
le systeme un axiome de type A 6.<br />
accepter qu'un concept est deni sur O det (comme dans le cas fregeen et celui<br />
de la logique classique) et etendre la denition de l'application d'un concept f a<br />
tout objet x plus ou moins determine en posant comme axiome: (f(f)) = > et en<br />
donnant un moyen d'heritage de la valeur > a travers les cha^nes de determination.<br />
L'axiome A 6:<br />
(f(f)) = > , Ext f 6= ?<br />
est justie.<br />
L'objet typique d'un concept \tombe sous" ce concept si et seulement si,il<br />
existe des objets totalement determines a correlat empirique.
Les axiomes des operateurs et 185<br />
L'etendue peut ^etre non vide, alors que l'extension est vide : on peut raisonner<br />
sur \un OVNI" quelconque et qualier cet OVNI sans pour <strong>au</strong>tant qu'il existe un<br />
objet completement determine atteste de l'extension.<br />
L'objet typique est assez proche du "-symbole de Hilbert ([Hil05][Hei77]),<br />
bien qu'il s'en eloigne dans son interpretation et par ses proprietes formelles, en<br />
particulier par son lien etroit avec l'operateur de determination. L'axiome du<br />
"-symbole de Hilbert est : f("f) ,9xf(x) =>. Dans cet axiome, x represente<br />
un objet totalement determine de l'extension de f dans le sens de Frege.<br />
L'axiome A 6 est justie par le principe de \reductio ad absurdum" et le<br />
mecanisme dedemonstration par absurde en mathematiques.<br />
Si (f(f)) = ?, alors on sort de Etenduef et l'inexistence des objets typiques<br />
qui tombentsousf donne naissance un <strong>au</strong>tre objet (plus ou moins determine) et,<br />
donc, a un <strong>au</strong>tre concept.<br />
Exemple. La demonstration bien connue du fait que p 2 est un nombre irrationnel:<br />
Supposons que p 2 est un nombre rationnel<br />
p m 2= (1)<br />
n<br />
ou<br />
(m n) premiers entre eux (2)<br />
ce qui implique<br />
ce qui implique<br />
m 2<br />
n 2 =2<br />
m 2 =2n 2<br />
ce qui implique<br />
m est divisible avec 2 , soit m =2p (3)<br />
ce qui implique<br />
ou<br />
4p 2 =2n 2<br />
2p 2 = n 2<br />
ce qui implique<br />
n est divisible avec 2 (4).<br />
Mais (3) et (4) sont contradictoires avec (2) donc p 2 n'admet pas<br />
la representation (1) et (2).
186 La categorisation<br />
s h:= (m,n) premiers relativement<br />
<br />
<br />
<br />
s<br />
<br />
<br />
<br />
f:= un nombre rationnel m/n<br />
AZ AAAAAAAAAAA ZZZZZZZ~<br />
s<br />
<br />
<br />
g<br />
g<br />
s<br />
une racine de 2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x:= un nombre rationnel<br />
<br />
qui est racine de 2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Ext(f)<br />
<br />
Figure 6.18: La construction de racine(2)<br />
Les determinations ulterieurs faites sur x conduisent a une contradiction. Soit<br />
x =((g)(f))<br />
En tenant compte des notations de la gure 6.18: Si (f x)=>, alors (h x)=<br />
>. Dex =((g)(f)), on a (g x)=> et ensuite (h x)=?. En fait, (f x)=?<br />
parce que x etait construit par une determination g telle que g 62 Comp f,donc<br />
il n'existe pas de correspondant de x dans Ext(f)m^eme si(x c x)=> ( x c est<br />
le concept associe a l'objet x.<br />
Ce mecanisme est bien connu en mathematique comme constructeur de nouve<strong>au</strong>x<br />
objets.<br />
Le rapport entre les predicats (fx) et (TYPIQUE(f) (x)<br />
La notation<br />
(fx)=><br />
reste pour \x a la propriete f" ( soit x est un f typique ou atypique, soit il<br />
herite cette propriete)<br />
Il est evident que :<br />
Si TYPIQUE(f) (x) => alors (fx)=><br />
Par contre<br />
TYPIQUE(f) (x) =? si et seulement si l'une des deux situations suivantes<br />
se presente :
Les axiomes des operateurs et 187<br />
il existe la cha^ne telle que<br />
x =((f))<br />
et<br />
x est une specication atypique def<br />
x n'est pas constructible a partir de f<br />
Si (fx)=> on a l'une des trois situations suivantes :<br />
x =((f))<br />
et x est une specication typique de f<br />
x =((f))<br />
et x est une specication atypique de f<br />
x =(:::f:::(f))<br />
donc<br />
Si(Prop f x)=> alors (f x)=><br />
Si (f x)=> ssi f(Prop f x)=> ou x = ((f))g
188 La categorisation<br />
6.9 La theorie des types de la LDO<br />
La theorie des types T de la LDO est denie par :<br />
(i) Les types de base T 0 = fJ Hg<br />
(ii) Le constructeur F des types fonctionnels<br />
(iii) si 2T, alors F 2T.<br />
F est le type des fonctions qui prennent un argument de type pour rendre<br />
un resultat de type .<br />
Le type de tout f 2F est FJH<br />
Le type de tout x 2Oest J<br />
Le type de f estJ,pourtoutf<br />
Le type de f est FJH , pour tout f<br />
Le type de l'operateur est F(FJH)J<br />
Le type de l'operateur est F(FJH)( FJJ). Le type de chaque combinateur<br />
se retrouve de son scheme type en particularisant et .<br />
Les types des connecteurs propositionnels :<br />
la negation propositionnelle: FHH<br />
la conjonction, la disjonction, l'implication: FH (FHH)<br />
FH(FHH) : ^ H:p<br />
FHH : ^p H:p<br />
H:((^p)q)<br />
Le type du predicat TYPIQUE est: F(FJH) (FJH)<br />
F(FJH) (FJH): TYPIQUE<br />
(FJH): (TYPIQUE f)<br />
H: (TYPIQUE (f) (x)<br />
FJH: f<br />
J:x<br />
Le type du predicat Prop est: F(FJH)(FJH)<br />
Le type du predicat Comp est: F(FJH)F(FJH) H<br />
F(FJH)(F(FJH) H: Comp<br />
(F(FJH) H): ( Comp g )<br />
H : ((Comp g) f)<br />
Quelques types :<br />
FJH:g<br />
FHJ:f
La theorie des types de la LDO 189<br />
Operateur / Operande<br />
f 2F<br />
x 2O<br />
f (pour tout f)<br />
f (pour tout f)<br />
<br />
<br />
la negation propositionnelle N 0 (fx)<br />
la conjonction (^), la disjonction (_), l'implication ()<br />
le predicat TYPIQUE<br />
les predicats Comp , Comp <br />
Type<br />
FJH<br />
J<br />
J<br />
FJJ<br />
F (FJH)J<br />
F (FJH)(FJJ)<br />
FHH<br />
FH(FHH)<br />
F (FJH)(FJH)<br />
F (FJH)F (FJH)H
190 La categorisation
Chapitre 7<br />
La quantication<br />
7.1 Introduction<br />
Les operations de quantication ont ete thematisees par la logique sous la<br />
forme bien connue des quanticateurs, designes par les symboles traditionnels<br />
8 et 9. Par contre les operations de \determination qualicative" n'ont pas<br />
ete prises en compte par la logique mathematique. En eet, la logique depuis<br />
G. Frege [Fre879], [Fre893] s'est essentiellement focalisee sur les eets deductifs<br />
imposes par une partie de la signication des connecteurs interpropositionnels<br />
(et, ou, si....alors,...), par les operations de predication et par les operations de<br />
quantication universelle et existentielle.<br />
Cependant, la logique, avant Frege, par exemple la Logique de Port-Royal,<br />
utilisait la notion de determination dans ses analyses des enonces. Par ailleurs, les<br />
langues naturelles mettent en oeuvre un grand nombre de quanticateurs (tous,<br />
tous les, la plupart, quelques-uns, il y a <strong>au</strong> moins un, des, un,...) que, depuis<br />
peu, la logique essaie de formaliser dans la theorie des quanticateurs generalises<br />
[Bar81], [Kee97a], [Kee97b] ainsi que d'<strong>au</strong>tres operateurs qui relevent plut^ot de la<br />
qualication : on peut citer les classicateurs qui sont necessaires dans certaines<br />
langues (chinois, vietnamien), les adjectifs qualicatifs, les relatives, les adverbes,<br />
qui apportent a des termes nomin<strong>au</strong>x ou verb<strong>au</strong>x des determinations qualitatives.<br />
Comment peut-on denir precisement ces operations de determination qualitative?<br />
Comment les articuler avec les operateurs de quantication, en particulier<br />
avec les quanticateurs?<br />
Les quanticateurs \classiques" de la logique mathematique sont-ils susants<br />
pour l'analyse de la quantication universelle et existentielle que les langues expriment?<br />
La reponse a ces questions est une nouvelle approche de la quantication,<br />
articulee sur des operations de determination qualitative qui sont imposees par
192 La quantication<br />
l'analyse des operations linguistiques.<br />
La theorie de la quantication en logique represente la partie du calcul du<br />
premier ordre qui porte sur la denition des quanticateurs, leur rapport avec les<br />
<strong>au</strong>tres connecteurs logiques, les axiomes et les theoremes correspondants. Par sa<br />
semantique, la quantication est etroitement liee a unsysteme de categorisation<br />
de base: ce systeme est la theorie des ensembles dans la logique classique.<br />
Si le calcul du premier ordre s'avere susant pour interpreter une partie<br />
elementaire du langage mathematique, il devient insusant m^eme pour le langage<br />
de toute l'arithmetique et d'<strong>au</strong>tant plus pour le langage \ordinaire".<br />
L'analyse du langage et les <strong>au</strong>tres processus cognitifs prouvent qu'un tel<br />
systeme de quanticateurs est insusant pour capter un phenomene exprime<br />
par les langues naturelles, mais ignore par la logique mathematique tel que la<br />
construsction des objets typiques. La prise en compte de la typicalite, phenomene<br />
propre a la cognition, mais eace par les categorisations formelles des mathematiques,<br />
trouve son expression dans les langues naturelles. Parfois la trace de la typicalite<br />
est englobee dans des mots qui expriment la quantication. Des mots comme :<br />
tous, tout, quel que soit, chaque, les, chacun, il existe, il y a, il existe un, il y<br />
a un, quelque, quelques-uns<br />
ayant la valeur des operateurs de quantication, recoivent parfois, selon le contexte<br />
une valeur supplementaire { celle de la typicalite.<br />
J.-P. Descles [Des98b], [Des98d], [Des98f],[Des98g], [Des99a] a propose une<br />
theorie de la quantication qui tient compte de ce phenomene.<br />
Dans ce chapitre nous presentons le systeme d'operateurs de quantication de<br />
la LDO qui contient les quanticateurs classiques, les operateurs de quantication<br />
proposes par J.P. Descles ( ? et ? { la theorie star{ [Des98b]) et nous analysons<br />
leur rapport [Pas98a].<br />
La quantication de la logique classique s'y retrouve, mais, de surcro^t, ce<br />
systeme permet d'analyser des phrases de la langue qui ne peuvent ^etre formalisees<br />
adequatement avec la theorie classique de la quantication.<br />
En premier lieu, nous presentons la theorie de la quantication dans la theorie<br />
des modeles et dans la theorie de la demonstration (deduction naturelle) pour<br />
avoir une comparaison <strong>au</strong> nive<strong>au</strong> epistemologique de ces deux approches.<br />
Dans le paragraphe 7.3 nous presentons une approche fonctionnelle : la quantication<br />
dans le cadre applicatif de la logique combinatoire de Curry [Cur58].<br />
Nous analysons la semantique des operateurs classiques de quantication et<br />
nous proposons la LDO comme systeme de categorisation pour une nouvelle<br />
semantique de ces operateurs (paragraphe 7.5). La LDO comme systeme de<br />
base determine l'introduction de nouve<strong>au</strong>x operateurs ( fort<br />
2<br />
, faible<br />
2<br />
).<br />
Le systeme des operateurs de quantication, leurs denitions syntaxiques, leur<br />
semantique sont presentes dans le sous-chapitre 7.6.
Introduction 193<br />
La logique mathematique moderne est actuellement representee par deux<br />
grandes directions de developpement:<br />
la theorie des modeles<br />
la theorie de la demonstration<br />
Les deux directions sont appeles par Dirk van Dalen [VDa91] la forme \profane"<br />
et la forme \sacree" de la logique :<br />
La logique appara^t dans une forme \sacree" la forme sacree<br />
est dominante dans la theorie de la demonstration la forme \profane"<br />
dans la theorie des modeles. Le phenomene est familier en<br />
mathematique on peut observer cette dichotomie dans d'<strong>au</strong>tres domaines<br />
comme la theorie des ensembles et la theorie de la recursivite.<br />
La theorie de la demonstration construit les formules bien formees en posant<br />
les regles d'introduction et d'elimination des connecteurs et des quanticateurs<br />
[Gen55]. Une inference logique est une suite obtenue a partir d'un element appartenant<br />
a un alphabet de base par une application successive des regles d'introduction<br />
ou d'elimination.<br />
La theorie des modeles presente un systeme logique par la paire syntaxesemantique.<br />
Le systeme syntaxique ou la description syntaxique est represente<br />
par :<br />
le systeme qui engendre le langage formel des formules bien formees<br />
(FBF)<br />
les axiomes<br />
les regles de deduction.<br />
Une inference logique est une suite de formules bien formees obtenues a partir<br />
d'un axiome en appliquant soit des axiomes soit des regles de deduction.<br />
Une semantique algebrique pour un systeme logique est un ensemble A muni<br />
d'une structure algebrique telle qu'a chaque formule bien formee corresponde un<br />
element dans cet ensemble. La correspondance se fait par une fonction d'interpretation<br />
ou valuation. La fonction d'interpretation est un homomorphisme,<br />
<strong>au</strong>trement dit elle preserve la compositionnalite entre les formules du langage et<br />
les elements structures de l'algebre :<br />
i : FBF ;! A<br />
i(f 1 f 2 ) = i(f 1 ) i(f 2 )<br />
ou est un operateur de composition des FBF et est une operation de l'ensemble<br />
A. Les connecteurs logiques et les quanticateurs se retrouvent sous le symbole<br />
.<br />
L'ensemble A s'appelle un modele pour le systeme logique. Pour la logique<br />
classique, ce modele est muni d'une structure d'algebre de Boole, pour la logique<br />
intuitionniste il est muni d'une structure d'algebre de Heyting.
194 La quantication<br />
Pour la plupart des systemes logiques (la logique classique, la logique intuitionniste)<br />
des semantiques ont etedenies en termes de classes d'objets (semantiques<br />
ensemblistes). Pour la logique classique la semantique en termes de classes d'objets<br />
est donnee par le theoreme de Stone [DGl96a], pour la logique intuitionniste<br />
par un theoreme qui permet de plonger toute algebre de Heyting dans un espace<br />
topologique [DGl96a].<br />
Dans la theorie des modeles on denit l'inference syntaxique p ` q et l'inference<br />
semantique p j= q pour les FBF p,q .<br />
Les notions de completude et correction sont :<br />
completude : si p ` q, alors p j= q<br />
correction : si p j= q, alorsp ` q.<br />
7.2 Les operateurs de quantication dans la presentation<br />
traditionnelle de la logique classique<br />
:<br />
Quine [Qui50] presente la theorie de la quantication de la maniere suivante<br />
La quantication est la formalisation dans la logique classique des<br />
idiomes de la langue tels que :<br />
Tout homme est mortel.<br />
Il y a des livres ennuyeux.<br />
La formalisation en est :<br />
8x(x : homme x ! mortel x)<br />
9x(x : livre x ^ ennuyeux x)<br />
Les symboles 8 et 9 denotent le quanticateur universel et le quanticateur<br />
existentiel.<br />
Quine [Qui50] arme que les prexes 8x et 9x representent \le point focal"<br />
de la logique neoclassique parce que ces prexes sont relies a lafoisalavariable<br />
x qui se trouve sous leur \portee" et a l'expression qui depend de x. .<br />
La theorie de la quantication, d'apres lui, est representee par :<br />
les deux foncteurs 8, 9<br />
le carre d'Aristote (voir gure 7.1).<br />
la portee d'un quanticateur : 8x(:::x:::) 9x(:::x:::)<br />
D'apres Quine on considere m^eme <strong>au</strong>jourd'hui, dans des manuels de logique<br />
que :
Les operateurs classiques de quantication 195<br />
A<br />
q<br />
Tout F est G<br />
8x(Fx! Gx)<br />
q<br />
E<br />
Aucun F n'est G<br />
8x(Fx!:Gx)<br />
I<br />
q<br />
9x(Fx^ Gx)<br />
Il y a des F qui sont G<br />
q<br />
9x(Fx^:Gx)<br />
O<br />
Il y a des F qui ne sont pas G<br />
Figure 7.1: Le carre d'Aristote<br />
{ f(x) est une forme propositionnelle ou une fonction propositionnelle<br />
{ f(a) est une proposition<br />
{ (9x)f(x)et(8x)f(x) sont des propositions ou (9x)et(8x)sontdesprexes.<br />
Au nive<strong>au</strong> des langues naturelles ces deux operateurs ne sont pas totalement<br />
satisfaisants. Les encodages dans la langue ordinaire par "tout" et "il y a des"<br />
necessitent parfois une analyse semantique profonde. Par exemple :<br />
Marie a danse avec plusieurs garcons alaf^ete et tous l'ont trouvee interessante.<br />
Il peut geler pendant tout le mois d'avril.<br />
Quine considere cependant que ces deux quanticateurs permettent de representer<br />
certains usages du pronom en remarquant que les exemples :<br />
(1) Sadie vole quelque chose a Emporium et l'echange contre une chemise.<br />
(2) Si Sadie veut quelque chose, elle reussit a l'avoir.<br />
se formalisent par :<br />
(1 0 )(9x) (( Sadie vole x a Emporium) ^ ( Sadie echange x contre une chemise ))<br />
(2 0 )(8x) (( Sadie veut x) ! (Sadie reussit a avoir x))<br />
plut^ot que par :<br />
(1 00 )(9x) (( Sadie vole x a Emporium ) ^ (Sadie le change pour une chemise ))<br />
(2 00 )((9x) (( Sadie veut x) ^ (Sadie reussit a l'avoir))
196 La quantication<br />
Il s'agit ici de la formalisation avec les deux quanticateurs du pronom,<br />
considere comme etant une variable liee.<br />
Il y a <strong>au</strong> moins deux problemes dans cette approche :<br />
{ Il f<strong>au</strong>t imposer la contrainte : Ext f 6= ?<br />
{ Il f<strong>au</strong>t denir le statut de la variable liee.<br />
La LDO resout le premier par l'axiome A6 et le deuxieme par le statut<br />
d'operateur donne <strong>au</strong> quanticateur et d'objet plus ou moins determine donne a<br />
la variable.<br />
7.2.1 Les operateurs de quantication dans la theorie des<br />
modeles<br />
Un systeme logique dans la theorie des modeles se presente sous la forme :<br />
d'un volet syntaxique qui est la presentation d'un langage formel. On se<br />
donne des axiomes et des regles d'inference.<br />
d'un volet semantiquequiestunmecanisme d'association d'une valeur de<br />
verite a chaque proposition.<br />
Pour la logique classique (le calcul du premier ordre) le volet syntaxique est<br />
le suivant :<br />
La syntaxe du calcul propositionnel<br />
On se donne :<br />
des propositions atomiques P = fp i /i2 N g S f> ?g<br />
ou > represente le \vrai" et ? le \f<strong>au</strong>x".<br />
des connecteurs C : _ (disjonction), ^ (conjonction), ! (implication),<br />
: (negation), $ (equivalence)<br />
des regles de <strong>format</strong>ion de toutes les propositions PROP(P ):<br />
(i) P PROP(P)<br />
(ii) si p q 2 PROP(P) , alors p 2 PROP(P) ,ou 2 C<br />
(iii) tout elementdePROP(P)resulte d'un nombre ni d'applications de (i) et (ii).<br />
L'ensemble PROP(P) est l'ensemble des formules bien formees (FBF).<br />
La syntaxe du calcul des predicats<br />
On se donne :<br />
des predicats : P 1 :::P n [f=gn2 N (denombrables)
Les operateurs classiques de quantication 197<br />
g<br />
des fonctions : f 1 :::f m<br />
des constantes : c i ,pouri 2 I<br />
des connecteurs C = f:, ^ , _, !, $, 8, (quel que soit) , 9 (il existe)<br />
des variables : x 1 :::x n<br />
les symboles : ( , )<br />
On denit deux ensembles :<br />
TERM - l'ensemble des termes est le plus petit ensemble possedant les proprietes<br />
:<br />
(i) c i 2 TERM i2 I) x j 2 T ERM j 2 N<br />
(ii) si t 1 :::t m 2 TERM,alorsf i (t 1 :::t m ) 2 TERM<br />
(iii) tous les termes se denissent par (i) et (ii)<br />
FORM - l'ensemble des formules, le plus petit ensemble possedant les proprietes<br />
:<br />
(i) ?2FORM si t 1 :::t r 2 TERM, alors P i (t 1 :::t r ) 2 FORM pour tout<br />
indice i<br />
(ii) si et 2 FORM, alors ( ) 2 FORM ou 2f^, _, !, $g<br />
(iii) si 2 FORM, alors : 2 FORM<br />
(iv) si 2 FORM, alors ((8 x) (x)), ((9 x) (x)) 2 FORM<br />
Une formule 2 FORM dans laquelle chaque variable x i est instanciee par<br />
une constante c i devient une proposition de PROP(P ).<br />
Le volet semantique pour la logique classique est deni par un mecanisme<br />
d'interpretation.<br />
Dirk Van Dalen [VDa91] decrit ce volet ainsi :<br />
\L'art d'interpreter les propositions (mathematiques ou non) presuppose<br />
une separation stricte entre \le langage" et \l'univers" des<br />
entites. Les entites du langage sont des symboles ou des suites de<br />
symboles, les entites mathematiques sont des nombres, des ensembles,<br />
des fonctions, des triangles, etc."<br />
Il se refere ici <strong>au</strong>x entites mathematiques, mais, en generalisant cette idee, les<br />
entites ont un statut ontologique confere par le domaine <strong>au</strong>xquelles elles appartiennent,<br />
s'il s'agit d'un domaine particulier. Sinon, leur statut ontologique est<br />
celui confere par la philosophie ou par le sens commun. Ce statut ontologique<br />
s'exprime toujours par une categorisation.<br />
Un mecanisme d'interpretation est une structure [VDa91] :
198 La quantication<br />
U =(A,f 1<br />
:::f n , P 1 :::P n , f c i / i 2 I g )<br />
f i sont des fonctions, P i des predicats c i sont des elements de A.<br />
Une interpretation est une fonction denie pour les termes :<br />
I : TERM ;! A satisfait :<br />
(i) I(c i )=c i<br />
(ii) I(x) =a pour a 2 A<br />
(iii) I(f i (t 1 :::t n )) = f i (I (t 1 ):::,I(t n ))<br />
et pour les formules :<br />
I : FORM ;! f0,1g satisfait :<br />
I(?)= 0<br />
I(P )=P , P 2f0,1 g<br />
I(P (x 1 :::x n )) = f P (a 1 :::a n )/a i 2 Ag<br />
I( ^ ) = min(I(),I( ))<br />
I( _ ) =max(I(),I( ))<br />
I(:) =1-I()<br />
I( ! ) = max(1-I(),I( ))<br />
I( $ ) =1-j I()-I( ) j<br />
I(8) = min fI((a)) = a 2 A g<br />
I(9) = max fI((a)) =a 2 A g<br />
j= denote I() = 1, pour tout I.<br />
La theorie des modeles a comme caracteristique la \separation stricte", dans<br />
un premier temps, entre le langage et l'univers d'interpretation suivi, dans un<br />
deuxieme temps, d'un mecanisme permettant de les mettre en correspondance :<br />
I: L ;! U<br />
Cette approche ne correspond pas exactement <strong>au</strong>x mecanismes cognitifs parce<br />
que les processus cognitfs ne dissocient pas les expressions langagieres de leur<br />
reference. Du point de vue de la modelisation, cette approche est tout a fait<br />
naturelle et intuitive.<br />
Dans la theorie des modeles, la quantication se denit par le fonctionnement<br />
des operateurs 8 (\quel que soit", \tout") et 9 (\il y a des", \il existe") :<br />
{ <strong>au</strong> nive<strong>au</strong> syntaxique :<br />
{ si 2 FORM, alors ((8x) (x)) 2 FORM et ((9x) (x)) 2 FORM<br />
{ et, semantique :<br />
{ I(8x(x)) = min fI((a))/ a 2 A g
Les operateurs classiques de quantication 199<br />
{ I(9x(x)) = max fI((a))/ a 2 A g<br />
{ la regle de substitution :<br />
la substitution des termes par les variables dans les formules (le<br />
terme t remplace la variable libre x):<br />
(<br />
8y[t=x] si x 6 y<br />
(8y)[t=x]=<br />
8y si x y<br />
(<br />
9y[t=x] si x 6 y<br />
(9y)[t=x]=<br />
9y si x y<br />
la substitution des formules pour les propositions dans des formules<br />
(la formule remplace la proposition p):<br />
(8 y )[/p] = 8 y [/p]<br />
(9 y )[/p] = 9 y [/p] ou p est une proposition<br />
La logique classique se denit par les axiomes et les regles d'inference suivantes<br />
:<br />
Axiomes<br />
A1. p ! (p ^ p)<br />
A2. p ^ q ! q ^ p<br />
A3. (p ! q) ! ((p ^ r) ! (q ^ r))<br />
A4. ((p ! q) ^ ((q ! r)) ! (p ! r)<br />
A5. p ! (q ! p)<br />
A6. (p ^ (p ! q)) ! q<br />
A7. p ! (p _ q)<br />
A8. (p _ q) ! (q _ p)<br />
A9. ((p ! r) ^ (q ! r)) ! ((p _ q) ! r)<br />
A10. :p ! (p ! q)<br />
A11. ((p ! q) ^ (p !:q)) !:p<br />
A12. p _ (:p)<br />
L'axiome 6 correspond a laregle d'inference dite du modus ponens notee<br />
generalement:<br />
p p ! q<br />
Les axiomes portant sur les quanticateurs sont :<br />
j= 8x (x) ssi j= (a) pour tout a 2 A<br />
j= 9x (x) ssi il existe a tel que (a)<br />
et les theoremes de base :<br />
q
200 La quantication<br />
j= :8x (x) ssi 9x :(x)<br />
j= :9x (x) ssi 8x :(x)<br />
j= 8x (x) ssi :9x:(x)<br />
j= 9x (x) ssi :8x :(x)<br />
Ce formalisme se lit :<br />
8x (x) : toutes les entites de l'univers du discours verient la formule .<br />
9x (x) : il existe une entite de l'univers de discours qui verie la formule .<br />
Exemples :<br />
Tout F est G.<br />
1. Tout homme est mortel.<br />
2. Tout mammifere est un vertebre.<br />
3. Tout nombre pair est la somme de deux nombres impairs.<br />
Il y a des F qui sont G. (Il existe un objet tel que...)<br />
1. Il y a des oise<strong>au</strong>x qui ne volent pas.<br />
2. Il y a des hommes <strong>au</strong>x yeux bleus.<br />
3. Il existe un nombre reel dont le carre est 2.<br />
Si les schemas du type :<br />
Tout F est G.<br />
Il existe un (des) F qui est (sont) G.<br />
sont satisfaisants pour les assertions mathematiques, les assertions du langage<br />
commun ont des nuances qui ne peuvent ^etre captees adequatement par ces<br />
operateurs :<br />
Tout homme admire Socrate.<br />
Les Alsaciens boivent de la biere.<br />
Les gener<strong>au</strong>x meurent dans leur lit.<br />
Un general meurt dans son lit.<br />
Dans ces exemples l'objet x ne couvre pas entierement l'univers de discours<br />
parce que le bon sens nous dicte que :<br />
Il y des gens (atypiques) qui n'admirent pas Socrate.<br />
On peut certainement trouver des alsaciens qui ne boivent pas de biere.<br />
Il y a des gener<strong>au</strong>x morts sur le champ de bataille (les gener<strong>au</strong>x atypiques).<br />
Dans le premier exemple \tous" n'encode pas la quantication universelle<br />
exprimeepar8. Dans le deuxieme et le troisieme exemple \les" encode l'extension<br />
typique du concept \^etre alsacien" et, respectivement, \^etre general". Dans le<br />
quatrieme exemple \un" encode l'objet typique f.<br />
Voila des problemes qui ne peuvent pas ^etre resolus avec les quanticateurs<br />
classiques. En francais, il existe par exemple l'expression : \tous, sans exception"
Les operateurs classiques de quantication 201<br />
pour specier que tous est utilise dans le sens du quanticateur mathematique 8.<br />
Dans les langues naturelles, il y a des phenomenes de quantication qui expriment<br />
des phenomenes cognitifs que les mathematiques et la logique classique<br />
n'ont pas pris en compte. Parmi ces phenomenes on trouve la typicalite (respectivement<br />
l'atypicalite).<br />
Les operateurs de quantication que nous introduisons dans le sous-chapitre<br />
7.5 prennent en compte cet aspect et ils representent donc un outil plus n pour<br />
l'analyse du langage que la quantication classique.<br />
7.2.2 Presentation de la quantication par la deduction<br />
naturelle<br />
Qu'est que la deduction naturelle?<br />
Si l'on considere la logique comme un codage du raisonnement, la deduction<br />
naturelle peut ^etre vue comme etant la methode de presentation d'un systeme logique<br />
qui reste le plus proche possible de la maniere dans laquelle se font les<br />
inferences. Cette approche donne des regles de derivation, c'est-a-dire d'introduction<br />
et d'elimination pour chaque connecteur (operateur) logique. L'interpretation<br />
de chaque regle se trouve dans la regle m^eme et non dans un mecanisme<br />
d'interpretation. Les regles de derivation sont censees [Gen55] rendre<br />
la signication des connecteurs <strong>au</strong>ssi proche que possible du sens intuitif. Ces<br />
regles expriment le sens constructif des connecteurs, aspect qui est exploite par<br />
la logique intuitioniste.<br />
Regles d'introduction et d'elimination des connecteurs logiques:<br />
<br />
^<br />
[i-^ ]<br />
^<br />
<br />
,<br />
^<br />
[e-^ ]<br />
<br />
_<br />
_<br />
[i-_ ]<br />
<br />
.<br />
. [e-_ ]<br />
_ r r<br />
r
202 La quantication<br />
<br />
. [i-! ]<br />
!<br />
[e-! ]<br />
!<br />
Regles pour la negation :<br />
:<br />
. [i-: ] . [e-: ] Reductio<br />
?<br />
?<br />
Ad Absurdum<br />
:<br />
<br />
Regles pour les quanticateurs :<br />
i) quanticateur universel :<br />
(x)<br />
8x (x)<br />
[i-8 ]<br />
8x (x)<br />
(t)<br />
[e-8 ]<br />
t etant une variable libre pour x dans (x).<br />
La regle d'introduction du quanticateur universel a l'explication intuitive<br />
suivante [VDa91] : si un objet arbitraire x possede la propriete , alors tout objet<br />
possede cette propriete.<br />
Le probleme est qu'<strong>au</strong>cun objet connu ne peut ^etre considere comme \arbitraire".<br />
Pour surmonter ce probleme on considere que dans le contexte de la<br />
derivation un objet x est \arbitraire" si rien n'a ete \presuppose" en ce qui le<br />
concerne. Plus techniquement, un objet x est considere comme arbitraire dans<br />
une derivation si cette derivation ne contient pas d'hypotheses sur x.<br />
ii) quanticateur existentiel :
Les operateurs classiques de quantication 203<br />
(t)<br />
9x (x)<br />
[i-9 ]<br />
9x(x)<br />
(x)<br />
. [e-9 ]<br />
avec la condition : x n'appara^t pas libre en .<br />
La regle d'introduction signie intuitivementquesi est veriee par un objet<br />
t, alors il existe x tel que (x). Celle d'elimination signie que, si du fait qu'il<br />
existe x tel que (x) on peut inferer une proposition qui ne depend plus de x,<br />
alors on a .<br />
Dans la presentation de la quantication par la deduction naturelle on travaille<br />
uniquement avec des objets totalement determines. Le probleme du caractere<br />
"arbitraire" de la variable x n'est pas assez claire. La LDO propose une solution<br />
pour l'interpretation de \arbitraire" et \quelconque" par la categorisation qu'elle<br />
donne <strong>au</strong>x objets (voir le chapitre 6).<br />
Nous considerons que l'objet x de la regle d'introduction du quanticateur 8<br />
est l'objet totalement indetermine quelconque . Il n'a <strong>au</strong>cune determination,<br />
rien n'est presuppose sur lui. Cette regle exprime l'idee que si tombe sous ,<br />
alors tout objet totalement determine ou plus ou moins determine a la propriete<br />
. Conformementa l'axiome A6 il existe de tels objets. Cette interpretation est<br />
etroitement liee a lasemantique proposee dans le paragraphe 7.5 de ce chapitre.<br />
Par contre la lettre t dans la regle d'elimination de 8 designe un objet quelconque<br />
dont on conna^t les determinations. Il est un des objets de Etendue ou de Ext<br />
.<br />
Dans la regle d'introduction du quanticateur 9, t est un objet determine,<br />
de Ext f, mais x est un objet indetermine (plus ou moins determine) dont la<br />
determination est inconnue par l'enonciateur. On a les m^emes caracteristiques<br />
pour x de la regle d'elimination de 9.<br />
La terminologie de la logique classique est assez confuse. La LDO, par sa<br />
categorisation la rend plus explicite.<br />
Un objet \arbitraire" pour la LDO sera un objet parmi les objets plus ou<br />
moins determines, donc un element de Etendue f un objet \quelconque" est<br />
le f comprenant sa capacite d'engendrer toute la classe Etendue f un objet<br />
\indetermine" est un objet dont on ne conna^t pas toutes les determinations.
204 La quantication<br />
7.3 Les operateurs de quantication de Curry<br />
La theorie de la quantication de Curry [Cur58] est representee par les operateurs<br />
de quantication 1 , 1 , 2 , 2 . Dans la logique combinatoire, Curry intitule<br />
\theorie illative" cette partie.<br />
Les quanticateurs de Curry sont des operateurs appliques a des predicats.<br />
Ces operateurs sont denis par les regles suivantes :<br />
Pour 1 :<br />
1 f<br />
(f x)<br />
. [i- 1 ] (1)<br />
1 f<br />
(f x)<br />
[e- 1 ] (2)<br />
Intuitivement : si on a (f x) pour l'objet quelconque x, alors 1 f et si on a<br />
1 f, alors (f x) pour tout x. 1 f se lit : Tout est f (tout objet de l'univers du<br />
discours est f).<br />
Pour 1 :<br />
1 f<br />
(f a)<br />
. [i- 1 ] (3)<br />
Intuitivement : si on a (f a) pour un a determine, alors on a 1 f.<br />
1 f (f a) ` B<br />
B<br />
[e- 1 ] (4)<br />
Intuitivement : si de 1 f et de (f a)oninfere une proposition B qui ne<br />
depend pas de a, alors on a B.<br />
1 f se lit : Il existe un x tel que (f x).
Les operateurs de quantication de Curry 205<br />
Pour 2 :<br />
(f x)<br />
(g x)<br />
2 fg<br />
. [i- 2 ] (5)<br />
Intuitivement : si de (f x) on peut deduire (g x), x etant arbitraire, alors<br />
2 fg. La notion \arbitraire" est la m^eme que celle dans le sous-chapitre 7.2.2.<br />
2 fg(f x)<br />
(g x)<br />
[e- 2 ] (6)<br />
Intuitivement : si de tout (f x)ondeduit (g x) et si l'on a (f x) , alors on a<br />
(g x).<br />
2 fgse lit : Tout f est g.<br />
Pour 2 :<br />
(f a) ^ (g a)<br />
2 fg<br />
[i - 2 ] (7)<br />
Intuitivement : si pour un objet particulier a ona(fa)et(ga), alors 2 fg.<br />
2 fg(f a) ` B (g a) ` B<br />
B<br />
[e- 2 ] (8)<br />
Intuitivement : s'il existe un objet a qui verie f et g et si cet objet est tel<br />
quede(fa)et(ga) on infere une proposition B qui ne depend pas de a, alors<br />
on a B.<br />
2 fgse lit : Il existe un x tel que (f x)et(gx).<br />
Curry donne les relations entre 2 , 1 et un <strong>au</strong>tre combinateur appele constructeur<br />
de types et note par F .<br />
Il introduit d'abord l'operateur E par :
206 La quantication<br />
` EX pour tout objet X.<br />
C'est l'armation dans la logique combinatoire du fait que X est un objet<br />
\arbitraire" de l'univers du discours 1 .<br />
Curry introduit <strong>au</strong>ssi l'operateur F - le constructeur des types :<br />
XU, Y(ZU)<br />
F XYZ<br />
i-F<br />
F XYZ, XU<br />
Y(ZU)<br />
e-F<br />
et il etablit les relations 2 :<br />
F = B 2 2 (KB)<br />
1 = 2 E<br />
2 = B 2 1 ( )<br />
ou represente l'implication logique 3 .<br />
7.4 La semantique de la quantication<br />
Une semantique en termes de classes d'objets pour les operateurs 1 , 2 , 1 , 2<br />
est la semantique classique extentionnelle.<br />
Elle est decrite en utilisant les extensions des concepts. Soient f et g des<br />
concepts. Alors l'interpretation des operateurs de quantication est:<br />
1 f : U Extf, Uetant l'univers de discours (condition Ext f 6= ?)<br />
L'interpretation de cette relation est : tous les objets de l'univers du<br />
discours tombent sous f.<br />
La notion d'objet consideree ici est la notion d'objet \fregeen", c'est-a-dire<br />
celle d'objet totalement determine et d'operande absolu.<br />
1 La notion d'objet ici est prise dans le sens de Curry les objets sont les objets de Curry,<br />
c'est-a-dire les elements de la classe Obs.<br />
2 Les demonstrations de ces relations sont donnees en [Des90b]<br />
3 A partir de maintenant on utilisera le symbole pour l'implication logique.
La semantique de la quantication 207<br />
q<br />
A<br />
; E<br />
2 fg<br />
2 f(N 1 g)<br />
q; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;<br />
S<br />
N 0 N 0<br />
S<br />
I<br />
q<br />
@<br />
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@<br />
@<br />
2 fg<br />
q<br />
O<br />
2 f(N 1 g)<br />
Figure 7.2: Le carre d'Aristote pour les operateurs illatifs de quantication<br />
2 fg:<br />
Extf Extg<br />
L'interpretation de cette relation est : tous les objets qui tombent sous<br />
f tombentegalement sous g .<br />
1 f : Extf \ U 6= ?<br />
L'interpretation de cette relation est : il existe <strong>au</strong> moins un objet de<br />
l'univers du discours qui tombe sous f .<br />
2 fg: Extf \ Extg 6= ?<br />
L'interpretation de cette relation est : il existe <strong>au</strong> moins un objet qui<br />
tombe simultanement sous f et sous g .<br />
Le carre d'Aristote est celui de la gure 7.2.<br />
On a les relations :
208 La quantication<br />
Si Ext g 6= ?<br />
Si Ext N 1 g 6= ?<br />
2 fg 2 fg<br />
2 f(N 1 g) 2 f(N 1 g)<br />
N 0 ( 2 fg)= 2 f(N 1 g)<br />
N 0 ( 2 f(N 1 g)) = 2 fg<br />
7.5 Proposition d'une nouvelle semantique<br />
Dans le chapitre 6 nous avons deni les classes Etendue(f) et Etendue(f).<br />
Faisons l'hypothese (tres forte) que \tout ce qui est constructible est deductible<br />
et inversement" c'est-a-dire :<br />
Etendue(f) = Etenduef<br />
Les relations suivantes sont alors veriees :<br />
Theoreme 7.1 1. Etendue f Etendue g =) Ext f Ext g<br />
2. Ess f Ess g () Etendue g Etendue f<br />
3. Ess f Ess g =) Ext g Ext f<br />
4. Ext f T Ext g 6= ? =) Etendue f T Etendue g 6= ?<br />
La demonstration de ce theoreme est donnee dans l'annexe C.<br />
Ce theoreme montre que les assertions suivantes ne sont pas equivalentes :<br />
\Tous les objets totalement determines de f sont des objets totalement determines<br />
de g."<br />
et<br />
"Tous les objets de f sont des objets de g."<br />
Cette idee conduit a la possibilite de munir l'operateur 2 d'une <strong>au</strong>tre semantique<br />
en denissant deux operateurs correspondant a la quantication universelle.<br />
Nous appelons ces deux operateurs, l'operateur de quantication universelle fort<br />
note ( fort<br />
2<br />
)etl'operateur de quantication universelle faible note ( faible<br />
2<br />
).Ils<br />
sont denis par :<br />
Pour la quantication existentielle :<br />
fort<br />
2<br />
fg : Etendue f Etendue g<br />
faible<br />
2<br />
fg :Extf Extg
Une nouvelle theorie de la quantication 209<br />
fort<br />
2<br />
fg : Etendue f \ Etendueg 6= ?<br />
On remarque que :<br />
et que<br />
faible<br />
2 fg :Extf \ Extg 6= ?<br />
faible<br />
2<br />
2<br />
faible<br />
2<br />
2<br />
fort<br />
2<br />
fg =) faible<br />
2<br />
fg<br />
faible<br />
2<br />
fg =) fort<br />
2<br />
fg<br />
Du point de vue cognitif, on remarque que l'interpretation des operateurs<br />
de quantication peut varier entre une borne inferieure (donnee par l'extension)<br />
et une borne superieure (donnee par l'etendue). On ne possede pas de moyen<br />
epistemique de prouver l'adequation cognitive de l'une ou de l'<strong>au</strong>tre.<br />
Un deuxieme axe cognitif de variation de l'interpretation des operateurs de<br />
quantication est la typicalite. Cet aspect sera traite dans le paragraphe 7.6.1.<br />
7.6 Une nouvelle theorie de la quantication<br />
7.6.1 La denition des operateurs ? et ?<br />
La nouvelle theorie de la quantication proposee par J.-P. Descles consiste en la<br />
denition syntaxique et semantique d'<strong>au</strong>tres operateurs de quantication universelle<br />
et existentielle.<br />
Partons de ces exemples :<br />
1. Les alsaciens sont des buveurs de biere.<br />
2. Tout francais conna^t la Marseillaise.<br />
L'exemple 1. exprime le fait que :<br />
Tout alsacien typique est buveur de biere.<br />
l'exemple 2 le fait que:<br />
Tout francais typique conna^t la Marseillaise.<br />
La formalisation dans la logique classique est :<br />
(8x) [(alsacien x) (buveur de biere x)]<br />
respectivement:
210 La quantication<br />
(8x) [(francais x) <br />
(conna^tre la Marseillaise x)]<br />
La version illative est :<br />
2 (^etre alsacien)(^etre buveur de biere)<br />
2 (^etre francais)(conna^tre la Marseillaise)<br />
Dans les deux exemples \les" et \tous les" representent \tous les...typiques".<br />
Les operateurs 8 et 2 n'expriment pas la typicalite dans leur semantique.<br />
La denition de l'operateur 2 souleve deux problemes [Des98f] :<br />
L'operateur de quantication doit s'appliquer <strong>au</strong> syntagme nominal et non<br />
pas a toute la phrase, ce qui est une contrainte linguistique. Cette contrainte est<br />
issue de l'analyse syntaxique et de la structure Sujet { Predicat de la proposition.<br />
L'operateur de quantication doit prendre en compte la typicalite.<br />
J.P.Descles ([Des98f]) a introduit un nouve<strong>au</strong> quanticateur note parQ ? (ce<br />
peut ^etre ? ou ? ). Comparons les deux inferences :<br />
Q 2 : F(FJH)(F(FJH)H)<br />
f : FJH<br />
Q 2 f:F(FJH)H<br />
g:FJH<br />
Q 2 fg:H<br />
et<br />
Q ? : F(FJH)J<br />
f : FJH<br />
g : FJH Q ? f :J<br />
g(Q ? f): H<br />
Q ? et Q 2 ont des types dierents.<br />
On remarque que syntaxiquement les manipulations de la logique combinatoire<br />
transforment l'expression applicative g (Q ? f)enQfgpar :<br />
1. g (Q ? f)<br />
2. C ? (Q ? f) g 1., i - C ?<br />
3. BC ? Q ? fg 2., i - B<br />
4. (B C ? )Q ? fg<br />
En comparant 4. aQ ? fgon deduit l'expression de l'operateur Q ? par rapport<br />
a Q 2 :<br />
[Q = (B C ? )Q ? ]
Une nouvelle theorie de la quantication 211<br />
L'operateur Q ? est plus primitif que l'operateur Q.<br />
Semantiquement, les traces de la typicalite se retrouvent en Q ? ou Q 2 en<br />
fonction du type de la quantication : universelle ou existentielle. L'operateur<br />
Q ? repond <strong>au</strong> premier probleme formule ci-dessus : il s'applique <strong>au</strong> syntagme<br />
nominal. L'operateur Q ? n'est pas une simple variante notationnelle de Q 2 .Ilest<br />
plus primitif que Q 2 Q 2 se denit en fonction de Q ? .Ona:<br />
Q 2<br />
fg =) red g(Q? f)<br />
7.6.1.1 Denitions des operateurs ? et ?<br />
Pour la quantication universelle :<br />
2 est l'operateur de quantication universelle general<br />
? est l'operateur de quantication universelle typique deni par l'equation<br />
de la logique combinatoire :<br />
2 =(BC ? ) ?<br />
On a les regles de passage de 2 a ? ils ne sont pas equivalents 2 est plus<br />
grossier que ? , donc ce dernier capte quelque chose de plus n que 2 .Ondonne<br />
des regles et on pose la typicalite comme etant la dierence entre l'un et l'<strong>au</strong>tre.<br />
Pour l'operateur de quantication existentielle les m^emes manipulations conduisent<br />
a:<br />
2 =(BC ? ) ?<br />
En ce qui concerne la quantication existentielle ? est l'operateur de quantication<br />
existentielle et 2 est l'operateur de quantication typique. On remarque<br />
que l'existence d'un objet se prouve generalement en construisant l'objet. Les<br />
moyens de construction conduisent, en general, <strong>au</strong>x objets typiques et non pas<br />
<strong>au</strong>x objets atypiques. S'il existe un objet typique, alors il en existe un (pas<br />
necessairement typique) et, comme ? derive de 2 , c'est 2 l'operateur \typique".<br />
Conformement, J.-P.Descles [Des98f] propose que ? soit l'operateur de<br />
quantication existentiellegeneral et 2 l'operateur de quantication existentielle<br />
typique.<br />
On a les implications syntaxiques suivantes 4 :<br />
et<br />
2 fg =) red g(? f)<br />
4 La relation de reduction est notee par =) red .
212 La quantication<br />
2 fg =) red g(? f)<br />
Ces implications ne representent pas une equivalence entre les deux operateurs<br />
a c<strong>au</strong>se de leurs semantiques dierentes (voir 7.6.1.2). La dierence semantique<br />
decoule de la dierence syntaxique.<br />
Pour l'operateur de quantication universelle typique ? les regles d'introduction<br />
et d'elimination sont :<br />
TYPIQUE(f)(x) (fx) ` (gx)<br />
g( ? f)<br />
(9)<br />
ou<br />
TYPIQUE(f) (x)<br />
(f x)<br />
. [i- ? ] (10)<br />
g( ? f)<br />
(g x)<br />
Si x est un objet typique engendrea partir de f et si de (f x) on infere (g x),<br />
alors g( ? f).<br />
g( ? f)TYPIQUE (f) (x) (f x)<br />
(g x)<br />
[e- ? ] (11)<br />
Si g( ? f)et(fx), alors x est un objet typique engendre a partir de f et<br />
(g x).<br />
g( ? f) se lit : tout objet typique de f est un objet de g, abregeentout<br />
ftypique est g<br />
Pour l'operateur de quantication existentielle ? les regles d'introduction<br />
et d'elimination sont :<br />
(f a) ^ (g a)<br />
[i- ? ] (12)<br />
g( ? f)
Une nouvelle theorie de la quantication 213<br />
g( ? f) (f a) ` B(g a) ` B<br />
B<br />
[e- ? ] (13)<br />
Pour l'operateur de quantication existentielle typique 2 les regles d'introduction<br />
et d'elimination sont :<br />
TYPIQUE (f) (a) (f a) ^ (g a)<br />
[i- 2 ] (14)<br />
2 fg<br />
TYPIQUE (f) (a) 2 fg(f a) ` B(g a) ` B<br />
B<br />
[e- 2 ] (15)<br />
g( ? f) se lit : il existe un f qui est g.<br />
2 fg se lit : il existe un f typique qui est g.<br />
Une premiere asymetrie entre et est due a l'asymetrie de en f et g et la<br />
symetrie de en f et g :<br />
(8x)((fx) (gx))<br />
ou<br />
(9x)((fx) ^ (gx))<br />
(9x)((gx) ^ (fx))<br />
Cette asymetrie engendre la deuxieme asymetrie entre les operateurs et en<br />
ce qui concerne la typicalite : quel est l'operateur entre et ? et, respectivement,<br />
et ? qui englobe la typicalite.<br />
L'operateur de quantication universelle generale est celui de la logique classique<br />
2 et ? est celui qui porte la typicalite pour cette quantication, alors que,<br />
pour la quantication existentielle l'operateur de la logique classique 2 porte la<br />
typicalite comme in<strong>format</strong>ion sous-jacente et ? est l'operateur general. La proposition<br />
de ces traits syntaxiques et semantiques est due a J.-P. Descles. Le changement<br />
des traits semantiques par rapport a la typicalite entre 2 et ? est une<br />
hypothese qui provient du fait que l'existence d'un objet est prouvee generalement<br />
en donnant une construction de cet objet. Or les moyens de construction conduisent<br />
en general, <strong>au</strong>x objets typiques et non pas <strong>au</strong>x objets atypiques. En appliquant<br />
? a f on arme l'existence d'un f (pas forcement typique). La preuve de<br />
g( ? f) est de construire un objet typique ou non qui tombe sous f et qui verie<br />
g. La preuve de 2 fg est un objet typique de f qui verie g.
214 La quantication<br />
2 fg<br />
g( ? f)<br />
GENER(f)<br />
q<br />
?q<br />
;<br />
; <br />
3<br />
) <br />
-q<br />
@ 1 ;<br />
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@R ;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
( ? ;<br />
f)4 5 ; 6<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
?q<br />
g( ? f)<br />
2 ( ? f)<br />
2 fg<br />
TYPIQ(f)<br />
Figure 7.3: L'espace total et l'espace typique<br />
Il y a une partition de l'espace total (typique et non-typique) en sous-espace<br />
typique et sous-espace non typique.<br />
Le carre de l'espace total donne toutes les implications entre les quatre operateurs<br />
(voir gure 7.3) 5<br />
Les regles d'introduction et d'elimination pour l'operateur ? 1<br />
sont :<br />
TYPIQUE (f) (x)<br />
? 1f<br />
[i- ? 1<br />
] (16)<br />
? 1 f<br />
TYPIQUE (f) (x)<br />
[e- ? 1<br />
] (17)<br />
5 L'implication 4 fonctionne sous la condition Extf 6= ?. L'implication (2) fonctionne sous<br />
la condition Ext f 6= ?
Une nouvelle theorie de la quantication 215<br />
? 1<br />
se lit : tout objet de l'univers de discours est un f typique .<br />
Pour les operateurs ? 1 et 1 nous proposons :<br />
(f a)<br />
. [i- 1 ] (18)<br />
1 f<br />
1 f(f a) ` B<br />
B<br />
[e- 1 ] (19)<br />
1 se lit : il existe un objet qui est f.<br />
TYPIQUE (f) (a)<br />
? 1f<br />
[i- ? 1<br />
] (20)<br />
? 1f(f a) ` B<br />
B<br />
[e- 1 ] (21)<br />
? 1f se lit : il existe un objet qui est f typique.<br />
On peut obtenir ? a partir de ? 1 par :<br />
TYPIQUE(f) (x)<br />
? 1f (f x) ` (g x)<br />
g( ? 1 f)<br />
et ? a partir de ? 1<br />
:
216 La quantication<br />
TYPIQUE(f) (a)<br />
? 1f (g a)<br />
? 1 fg<br />
7.6.1.2 La semantique des operateurs ? et ?<br />
La semantique en termes de classes d'objets de l'operateur ? est :<br />
L'expression g ( ? f) signie Ext f Ext g<br />
Par analogie avec les operateurs fort<br />
2<br />
et faible<br />
2<br />
on peut introduire les operateurs<br />
? fort et ? faible par :<br />
g( ? fort f) signie : Etendue f Etendue g<br />
et<br />
g( ? faible f) signie : Ext f Ext g<br />
? 1 f signie : U=Ext f, Uetant l'univers de discours.<br />
? 1fort f signie :<br />
U = Etendue f.<br />
? 1faible f signie : U = Ext f.<br />
Pour les operateurs de quantication existentielle :<br />
1 f signie : Ext f 6= ?,<br />
? 1 f signie : Ext f 6= ?,<br />
g ( ? f) signie : Ext f \ Ext g 6= ?,<br />
2 fgsignie : Ext f \ Ext g 6= ?.<br />
Par leur semantique les operateurs ? et 2 repondent <strong>au</strong> deuxieme probleme<br />
formule en 7.6.1: ils expriment la typicalite.<br />
7.6.2 Autres operateurs de quantication<br />
Les quanticateurs implicites QL et QL*
Une nouvelle theorie de la quantication 217<br />
Le quanticateur implicite 6 ([Som82]) note QL est equivalent a la quantication<br />
determinee par :<br />
(9x)(fx) (8x)(fx)<br />
La semantique associee a QLf est : il y a un seul objet x qui verie (fx)ou<br />
encore j Extf j= 1<br />
La semantique associee a QLfgest : le seul objet de f qui est un g<br />
Les regles d'introduction et d'elimination de ce quanticateur sont :<br />
g ( ? f) ` 2 fg<br />
QL fg<br />
[i-QL]<br />
g.<br />
Si d'un f qui est g on infere que tous les f sont g, alors il y a un seul f qui est<br />
g ( ? f) QL fg<br />
2 fg<br />
[e-QL]<br />
S'il y a des f qui sont g et en plus un seul, alors tous les f sont g.<br />
La semantique en termes de classes d'objets est:<br />
j Ext f j = 1 et Ext f Ext g<br />
Le quanticateur implicite typique QL ? a les regles d'introduction et d'elimination :<br />
2 fg` g( ? f)<br />
g(QL ? [i-QL ? ]<br />
f)<br />
Si du fait qu'il y a un f qui est g on infere que tout f typique est g, alors il<br />
y a ub seul f typique qui est g.<br />
g(QL ? f) 2 fg<br />
g( ? f)<br />
[e-QL ? ]<br />
S'ily<strong>au</strong>nseulf typique qui est g, alors tout f typique est g.<br />
et la semantique en termes de classes d'objets :<br />
j Ext f j = 1 et Ext f Ext g<br />
6 Ce quanticateur correspond <strong>au</strong> (iota) de Russell : (x)(fx) , ((9x)(fx)) ^ (8y)(fy) )<br />
(y = x)).
218 La quantication<br />
g (QL ? f) se lit : le seul objet typique de f et un g.<br />
La typicalite eng<br />
Pour exprimer la typicalite par rapport a g on utilise les operateurs et le<br />
predicat TYPIQUE:<br />
2 f(TYPIQUE g)selit:tout f est un g typique .<br />
(TYPIQUE g)( ? f) se lit : il existe un f qui est un g typique.<br />
7.6.3 Le comportement des operateurs de quantication<br />
versus la negation classique<br />
Nous avons notelanegation classique propositionnelle par N 0 et la negation d'un<br />
operateur par N 1 . la relation (voir Annexe 5) entre elles est :<br />
[N 1 = B N 0 ]<br />
Les theoremes suivants dont la demonstration est presentee en Annexe 5<br />
equivalent <strong>au</strong>x regles d'introduction et d'elimination pour la negation des operateurs<br />
de quantication.<br />
Pour les operateurs 1 , 1 , ? 1, ? 1<br />
:<br />
? 1 (N 1 f)<br />
N 0 ( 1 f)<br />
[i-N 1 ] (22)<br />
N 0 ( 1 f)<br />
? 1<br />
(N 1 f)<br />
[e-N 1 ] (23)<br />
1 (N 1 f)<br />
N 0 ( ? 1<br />
f)<br />
[i-N ? 1<br />
] (24)<br />
N 0 ( ? 1 f)<br />
? 1<br />
(N 1 f) _ [(g x) ^ TYPIQUE (g) (x) =?]<br />
[e-N ? 1<br />
] (25)<br />
? 1<br />
(N 1 f)<br />
N 0 ( 1 f)<br />
[i-N 1 ] (26)
Une nouvelle theorie de la quantication 219<br />
N 0 ( 1 f)<br />
? 1<br />
(N 1 f) _ [(g x) ^ TYPIQUE (g) (x) =?]<br />
[e-N 1 ] (27)<br />
1 (N 1 f)<br />
N 0 ( ? 1<br />
f)<br />
[i-N ? 1] (28)<br />
N 0 ( ? 1 f)<br />
1 (N 1 f)<br />
[e - N ? 1<br />
] (29)<br />
Pour les operateurs 2 , 2 , ? et ? :<br />
2 f (N 1 g)<br />
N 0 (g ( ? f))<br />
[i-N ? ] (30)<br />
N 0 (g ( ? f))<br />
2 f (N 1 g)<br />
[e-N ? ] (31)<br />
(N 1 g)( ? f)<br />
N 0 ( 2 fg)<br />
[i-N 2 ] (32)<br />
N 0 ( 2 fg)<br />
(N 1 g)( ? f)<br />
[e-N 2 ] (33)<br />
(N 1 g)( ? f)<br />
N 0 ( 2 fg)<br />
[i-N 2 ] (34)<br />
N 0 ( 2 fg)<br />
(N 1 g)( ? f)<br />
[e-N 2 ] (35)<br />
2 f (N 1 g)<br />
N 0 (g ( ? f))<br />
[i-N ? ] (36)
220 La quantication<br />
q<br />
; q<br />
Tout f typique est g<br />
Tout f typique n'est pas g<br />
g( ? f) @@I<br />
(N 1 g)( ? f)<br />
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@R<br />
@<br />
;<br />
@<br />
;<br />
@<br />
;<br />
@<br />
;<br />
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N @ ; N<br />
@;<br />
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; @<br />
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;<br />
@<br />
;<br />
;<br />
; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; @<br />
@<br />
@<br />
?q<br />
2 fg<br />
Il y a des f typiques qui sont g<br />
?q<br />
2 f(N 1 g)<br />
Il y a des f typiques qui ne sont pas g<br />
Figure 7.4: Le carre d'Aristote pour les operateurs ? et 2<br />
N 0 (g ( ? f))<br />
2 f (N 1 g)<br />
[e-N ? ] (37)<br />
Pour la typicalite/atypicalite eng :<br />
N 0 ( 2 f(TYPIQUE(g)))<br />
(AT Y P IQUE g)( ? f) _ (N 1 g)( ? f)<br />
(38)<br />
N 0 (TYPIQUE(g))( ? f))<br />
2 f(AT Y P IQUE g) _ 2 f(N 1 g)<br />
(39)<br />
Le carre d'Aristote pour les operateurs ? et 2 est dans la gure 7.4<br />
Le systeme d'operateurs de quantication donne un cube sur le modele du<br />
carre aristotelien (voir gure 7.5):
Une nouvelle theorie de la quantication 221<br />
7.6.4 Exemples<br />
Il y a dans les langues des traces de typicalite. Ces traces sont exprimees explicitement<br />
ou non dans la syntaxe, mais il reste toujours un degre d'ambigute<br />
semantique qui ne peut ^etre completementresolu, ni <strong>au</strong> nive<strong>au</strong> de la proposition,<br />
ni en contexte.<br />
Dans ce paragraphe nous presentons quelques exemples qui peuvent ^etre formalises<br />
par les quanticateurs du systeme que nous avons presente. En premier<br />
lieu nous donnons quelques exemples pour chaque operateur de quantication<br />
introduit. Puis, pour des phrases qui peuvent avoir plusieurs interpretations en<br />
fonction du contexte, nous mettons en evidence ces interpretations.<br />
L'operateur 2<br />
L'operateur 2 est le quanticateur avec lequel on peut formaliser des propositions<br />
mathematiques qui contiennent une quantication universelle ainsi que<br />
des assertions generales du langage courant.<br />
Il est en general exprime par les pronoms \tout,toute", \tous, toutes" ou les<br />
articles \un, une" et \le, la, les", mais <strong>au</strong>ssi par chaque, chacun. Sa negation<br />
est souvent encodee par \personne, rien, <strong>au</strong>cun". Il peut ^etre precise par des<br />
locutions telles que \tous, sans exception" , \absolument tout"....<br />
1. Tout homme est mortel.<br />
2 (^etre homme)(^etre mortel)<br />
2. Tous les hommes sont mortels.<br />
2 (^etre homme)(^etre mortel)<br />
Si l'exemple 1 peut avoir eventuellement l'interpretation :<br />
(^etre mortel)( (^etre homme))<br />
l'exemple 2, a c<strong>au</strong>se du pluriel a plut^ot l'interpretation d'un 2 .<br />
3. L'homme est mortel.<br />
peut avoir les deux interpretations :<br />
2 (^etre homme)(^etre mortel)<br />
(^etre mortel)( (^etre homme))<br />
4. La somme des angles d'un triangle est egale a 180 .<br />
2 (^etre triangle)(avoir la somme des angles egale a 180 )<br />
5. Un carre a4c^otes eg<strong>au</strong>x.
222 La quantication<br />
2 (^etre carre)(avoir 4 c^otes eg<strong>au</strong>x)<br />
Les exemples 4 et 5 sont des propositions de geometrie et leur enonce est<br />
realise plut^ot avec l'article indeni qu'avec le pronom \tout" :<br />
Dans tout triangle la somme des angles est egale a 180 .<br />
Tout carre a4c^otes eg<strong>au</strong>x.<br />
6. Tous les francais boivent du vin.<br />
2 (^etre francais)(^etre buveur de vin)<br />
Dans l'exemple 6 le pronom suivi de l'article donne plut^ot le sens de 2 que<br />
de ? .<br />
L'operateur ?<br />
L'operateur ? est le quanticateur avec lequel on peut formaliser les propositions<br />
du langage commun qui contiennent des predications portant sur des<br />
representants object<strong>au</strong>x typiques (quelconques). En general il est encode dela<br />
m^eme maniere que 2 , parfois par \Les f sont g" (Les f typiques sont g). La typicalite<br />
peut eventuellement^etre precisee par des locutions comme "en general",<br />
\s<strong>au</strong>f exception"...<br />
7. L'homme (typique) est un bipede.<br />
(^etre bipede) ( ? (^etre homme))<br />
8. Un homme est bipede.<br />
(^etre bipede) ( ? (^etre homme))<br />
ou<br />
(^etre bipede) ( (^etre homme))<br />
9. Tout alsacien boit de la biere. (G. Kleiber)<br />
(^etre buveur de biere) ( ? (^etre alsacien))<br />
10. Un alsacien boit de la biere.<br />
(^etre buveur de biere) ( ? (^etre alsacien))<br />
ou<br />
(^etre buveur de biere) ( (^etre alsacien))<br />
11. Tout general (typique) meurt dans son lit. (J.P.Descles)<br />
(mourir dans son lit) ( ? (^etre general))
Une nouvelle theorie de la quantication 223<br />
12. Un general meurt dans son lit.<br />
(mourir dans son lit) ( ? (^etre general))<br />
ou<br />
(mourir dans son lit) ( (^etre general))<br />
13. Marie (8 ans) veut epouser un cow boy.<br />
(((vouloir epouser) ( ? ^etre cow boy)) Marie)<br />
par contre dans la phrase : Marie (jeune lle) veut epouser un milliardair,<br />
la quantication serait plut^ot 2 .<br />
14. Les francais boivent du vin.<br />
(^etre buveur de vin)( ? (^etre francais)<br />
15. Tout enfant est le chef d'oeuvre desamere. (d'apres A. Joly)<br />
(^etre le chef d'oeuvre de sa mere)( ? (^etre enfant))<br />
Un enfant typique est le chef d'oeuvre de sa mere.<br />
Quantication universelle et typicalite eng<br />
Les propositions du langage courant qui contiennent une quantication universelle<br />
sur les objets typiques de g contiennent un quanticateur generalement<br />
exprime par le pronom \tout,toute" soit \tous, toutes". C'est le contexte qui<br />
decide son emploi.<br />
16. Dans un probleme d'agregation toute fonction est integrable (typiquement).<br />
2 (^etre fonction)(TYPIQUE (^etre integrable))<br />
Le contexte est ici \dans un probleme d'agregation"<br />
17. Ceux qui vont a la messe le dimanche sont de bons chretiens.<br />
2 (^etre bon chretien)(T Y P IQUE(aller a la messe le dimanche))<br />
18. La b^uche de Noel est la b^uche glacee.<br />
? (^etre b^uche de Noel)(T Y P IQUE(^etre b^uche glacee))<br />
19. Tous mes etudiants sont recus (typiquement) a l'examen.<br />
( 2 (^etre etudiant de Anca)(TYPIQUE(^etre recus a l'examen))<br />
L'operateur ?<br />
L'operateur ? est le quanticateur avec lequel on peut formaliser les propositions<br />
du langage commun qui contiennent une une quantication existentielle.<br />
Il est encode par l'article \un" ou les expression \il y a un (une), il y a des", \il<br />
existe" .
224 La quantication<br />
20. Un voleur m'a derobe mon sac.<br />
(derober le sac de...)( ? (^etre voleur))<br />
Un ^etre particulier, mais completement indetermine aderobe mon sac. Le<br />
mot \un voleur" exprime ici un objet (typique ou non) indetermine.<br />
21. Il y a des etudiants qui arrivent en retard a mon cours.<br />
(^etre en retard <strong>au</strong> cours de..)( ? (^etre etudiant))<br />
Il y a <strong>au</strong> moins un etudiant, qu'il soit typique ou non, qui arrive en retard.<br />
22. Il existe un nombre premier pair.<br />
(^etre pair)( ? (^etre nombre premier))<br />
L'operateur 2<br />
L'operateur 2 est le quanticateur avec lequel on peut formaliser les propositions<br />
du langage commun qui contiennent une quantication existentielle sur les<br />
objets typiques.<br />
23. Il y a des oise<strong>au</strong>x qui sont de bons voiliers.<br />
2 (^etre oise<strong>au</strong>)(^etre un bon voilier)<br />
Il y a des oise<strong>au</strong>x (typiques) qui planent bien dans le vent<br />
24. Il existe une fonction continue qui n'est pas derivable<br />
2 (^etre fonction continue)(^etre non-derivable)<br />
Il y a <strong>au</strong> moins une fonction continue qui est non derivable et cette fonction est<br />
typique vis-a-vis de ces deux proprietes.<br />
25. Le paysan breton existe encore.<br />
2 (^etre paysan breton)(exister maintenant)<br />
Quantication existentielle et typicalite eng<br />
La quantication existentielle sur les objets typiques de g est exprimee par<br />
l'expression \il y a des..." et par d'<strong>au</strong>tres elements du contexte.<br />
26. Il y a un etudiant qui est toujours en retard a mon cours.<br />
TYPIQUE (arriver en retard <strong>au</strong> cours de ...)( ? (^etre etudiant))<br />
L'adverbe \toujours" est le marqueur de la typicalite surg : = arriver en retard<br />
<strong>au</strong> cours de....<br />
27. Il n'existe plus de cow boy.
Une nouvelle theorie de la quantication 225<br />
N 0 (TYPIQUE(^etre cow boy)( ? (^etre personne)))<br />
Les phrases de l'^ane<br />
Les phrases de l'^ane connues dans la litterature sont :<br />
28. Pedro possede un ^ane.<br />
29. Si Pedro possede un ^ane, il est heureux.<br />
30. Si Pedro possede un ^ane, il le bat.<br />
Le probleme souleve par des logiciens est de donner la forme logique de chacune<br />
de ces phrases :<br />
La formalisation dans la logique classique :<br />
28' (9 x) [(^ane x) ^ ((poss x) Pedro)]<br />
29' [(9 x) [(^ane x) ^ ((poss x) Pedro)]] (heureux Pedro)<br />
30' (8 x) [[(^ane x) ^ ((poss x) Pedro)]] ((bat x) Pedro)<br />
On remarque qu'a l'article indeni \un" correspond dans la forme logique la<br />
variable x et la quantication existentielle en 28' et la variable x et la quantication<br />
universelle en 29'.<br />
Quelle est la vraie valeur de \un" dans les trois phrases? Quelle est la valeur<br />
des pronoms \il" et \le"?<br />
La formalisation dans la logique combinatoire est :<br />
28" 2 (^etre ^ane)((C ? poss Pedro) ^ane)<br />
29"(( ) 2 (^etre ^ane)((C ? poss Pedro) ^ane))(heureux Pedro)<br />
30" 2 ((^etre ^ane) ^ ((C ? poss Pedro) ^ane))(battre ^ane Pedro)<br />
Cette representation ne contient <strong>au</strong>cune trace de typicalite.<br />
La formalisation dans la LDO :<br />
f := ^etre ^ane, P 1 := ((posseder y) x), P 2 := ((battre y) x)<br />
2 (f ^ P' 1 )P' 2<br />
28"' 2 (^etre ^ane)((C ? poss Pedro) ^ane)<br />
29"' (( ) 2 (^etre ^ane)((C ? poss Pedro) ^ane))(heureux Pedro)<br />
30"' (TYPIQUE P' 2 )( 2 (f ^ P' 1 )<br />
ou P 0 1<br />
= ((posseder y) Pedro) et P 2 ' = ((battre y) Pedro)<br />
Dans la phrase 30"' la typicalite porte sur le concept g qui est exprime par<br />
P 0 2.
226 La quantication<br />
7.6.5 Exemples de textes<br />
7.6.5.1 Textes philosophiques<br />
Descartes - Meditations metaphysiques - G. Flammarion 1979<br />
1 ere meditation<br />
Tout ce que j'ai recu jusqu'a present pour le vrai et assure, je l'ai appris des<br />
sens ou par les sens. ( ? )<br />
Certes ce n'est pas peu si toutes ces choses appartiennent a ma nature. ( ? )<br />
Tout cela me fait assez conna^tre que jusqu'a cette heure ce n'a point etepar<br />
un jugement certain et premedite, mais seulement par une aveugle et temeraire<br />
impulsion. ( 2 )<br />
2 eme meditation<br />
Je suppose donc que toutes ( ? ) les choses que je vois sont f<strong>au</strong>sses je me<br />
persuade que rien n'a jamais ete detout ( ? ) ce que ma memoire remplie de<br />
mensonges me represente.<br />
Je suis, j'existe est necessairement vraie, toutes ( 2 ) les fois que je la prononce,<br />
ou que je la concois en mon esprit.<br />
3 eme meditation<br />
Et d'<strong>au</strong>tant plus longuement et soigneusement j'examine toutes ( 2 )ces<br />
choses, d'<strong>au</strong>tant plus clairement et distinctement je connais qu'elles sont vraies.<br />
Quant <strong>au</strong>x idees claires et distinctes que j'ai des choses corporelles, il y en a<br />
quelques-unes ( 2 ) qu'il semble que j'ai pu tirer de l'idee que j'ai de moi-m^eme<br />
comme celle que j'ai de la substance, de la duree, du nombre et d'<strong>au</strong>tres choses<br />
semblables.<br />
Cette m^eme idee est <strong>au</strong>ssi fort claire et fort distincte, puisque tout ( ? ) ce que<br />
mon esprit concoit clairement et distinctement dereel et de vrai, et qui contient<br />
en soi quelque perfection ( 2 ) est contenu et renferme tout entier ( 1 )dans<br />
cette idee.<br />
7.6.5.2 Textes de la presse<br />
Le Monde -samedi 9 septembre 2000 - L'honneur perdu de la otte du Nord
Une nouvelle theorie de la quantication 227<br />
Dans un sous-marin, ou tout ( ? 1) va bien, ou on est tous ( 1 )morts.<br />
Tous ( 2 ) nos commandants peuvent le dire.<br />
A 11 h 33, ils ont probablement deja tous ( 2 )peri.<br />
\... on ne tire pas <strong>au</strong> hasard des torpilles, c'est programme, soigneusement<br />
minute, tous ( 2 ) les <strong>au</strong>tres navires sont a l'ecoute. Et on entend tout ( 1 ).<br />
Un sous-marin peut instantanement identier le bruit d'une crevette."<br />
\ Une situation non standard, m'a-t-il ete dit, eectivement les militaires pensaient<br />
qu'ils avaient en mains tous ( ? ) les moyens de s<strong>au</strong>vetage."<br />
A la sortie, le president parle, entoure de savants, de l'ancien premier ministre<br />
et ex-responsable du KGB Evgueni Primakov, et de quelques ( 2 ) ministres.<br />
Sous le soleil de Sotchi, tous ( 2 ) portent d'identiques polos ou chemisettes<br />
claires. Tous ( 2 ou ? ), s<strong>au</strong>f le president, sourient a la camera.<br />
\Tout ( ? ) le monde savait a Vidiaevo que le Koursk avait coule!"<br />
\Les commandants vous ont menti, M. le President, ils nous ont tous ( ? )<br />
menti."<br />
7.6.6 Les quanticateurs de plusieurs arguments<br />
Nous partons de deux concepts f et g et d'un predicat de deux variables (P, x 2<br />
x 1 ) [Des98f]. Exemples :<br />
1. Tous les etudiants analysent toutes les possibilites.<br />
2. Chaque garcon aime une lle.<br />
2'. Toute pensee est la pensee d'un homme.<br />
3. Il y a un eleve qui a lu tous les livres recommandes.<br />
3'. Un triangle rectangle a un angle droit.<br />
4. Il existe une suite qui converge vers un nombre reel.<br />
Les formules dans la logique classique correspondent <strong>au</strong>x formules suivantes :<br />
1: (8 x 1 )[(f x 1 ) [(8 x 2 )[(g x 2 ) (P x 2 x 1 )]]]<br />
2: (8 x 1 )[(f x 1 ) [(9 x 2 )[(g x 2 ) (P x 2 x 1 )]]]
228 La quantication<br />
2 0 : (8 x 2 )[(f x 2 ) [(9 x 1 )[(g x 1 ) ^ (P x 2 x 1 )]]]<br />
3: (9 x 1 )[(f x 1 ) ^ [(8 x 2 )[(g x 2 ) (P x 2 x 1 )]]]<br />
3 0 : (9 x 2 )[(f x 2 ) ^ [(8 x 1 )[(g x 1 ) (P x 2 x 1 )]]]<br />
4: (9 x 1 )[(f x 1 ) ^ [(9 x 2 )[(g x 2 ) ^ (P x 2 x 1 )]]]<br />
La formule 1 se transforme dans la logique combinatoire en :<br />
ou<br />
ou<br />
(8 x 1 )[(f x 1 ) 2 g (P' x 1 )]<br />
2 f( 2 g P')<br />
B 2 fgP'<br />
On denit le combinateur X = B et on a :<br />
X 2 fgP'<br />
On denit un quanticateur note 3 par l'equation combinatoire :<br />
3 fgP X 2 fgP'<br />
ou par les regles d'introduction et d'elimination :<br />
(f x)<br />
. [i- 3 ]<br />
(g x) (P x 2 x 1 )<br />
3 fgP<br />
ou<br />
(f x 1 ) ` ((g x 2 ) ` (P x 2 x 1 ))<br />
3 fgP<br />
3 fgP (f x 1 ) (g x 2 )<br />
(P x 2 x 1 )<br />
[e- 3 ]
Une nouvelle theorie de la quantication 229<br />
3 fgPselit:tout objet x 1 qui tombe sous f est tel que pour tout<br />
objet x 2 qui tombe sous g, ona(Px 2 x 1 ).<br />
Deux operateurs de quantication typique peuvent ^etre denis :<br />
? 3<br />
par la semantique : tout objet typique x 1 de f est tel que pour tout<br />
objet x 2 qui tombe sous g ona(Px 2 x 1 ).<br />
? 3 par la semantique : tout objet de f, x 1 est tel que pour tout objet<br />
typique qui tombe sous g, x 2 il y a (Px 2 x 1 ).<br />
Les <strong>au</strong>tres quanticateurs de deux arguments peuvent ^etre obtenus de la m^eme<br />
maniere.<br />
Generalisation<br />
Soient :<br />
(P x n x n;1 .....x 2 x 1 ) un predicat n-aire <br />
f 1 ,....,f n des predicats 1-aires (concepts) <br />
q i le quanticateur correspondant a lavariable x i q i 2f8 9g <br />
Q i 2f 2 2 g <br />
2f ^g.<br />
La forme generale d'une phrase du type 1.-4. est :<br />
(q 1 x 1 )[(f 1 x 1 )[(q 2 x 2 )[(f 2 x 2 ) [..... [(f n x n )(Px n x n;1 .....x 2 x 1 )]]....]]]<br />
ou<br />
Q 1 f 1 (Q 2 f 2 (.....(Q n f n P n ))....) ou P n est obtenu de P par currication (voir<br />
Annexe C)<br />
Cette forme peut ^etre reduite a:<br />
YQf 1 ,....,f n P n si Q 1 =Q 2 =.....= Q n =Q(ou)<br />
et a la forme<br />
Z 2 2 f 1 ,....,f n P n si Q i 2f 2 2 g.<br />
Par ailleurs, cette expression est :<br />
Q n f 1 ::: f n P<br />
soit<br />
() n f 1 ::: f n P<br />
d'ou les equations<br />
YQf 1 ::: f n P n Q n f 1 ::: f n P<br />
et<br />
Z 2 2 f 1 ::: f n P n () n f 1 ::: f n P
230 La quantication<br />
represententlesequations combinatoires qui denissent les operateurs de quantication<br />
de n+1 arguments Q n et () n .<br />
La logique combinatoire et implicitement la LDO permettent des manipulations<br />
qui ne peuvent ^etre realisees ni dans la theorie des modeles, ni par la<br />
deduction naturelle.<br />
7.7 Proposition d'une nouvelle theorie generalisee<br />
D'<strong>au</strong>tres processus cognitifs comme le denombrement ou l'estimation numerique<br />
sont souvent consideres en linguistique comme quantication (voir le chapitre 5).<br />
Le rapport entre la quantication logique et la quantication en linguistique<br />
peut donner naissance a une unication des deux approches. Nous essayons une<br />
esquisse.<br />
Nous partons de la question suivante:<br />
Est-ce legitime de considerer tout determinant comme un quanticateur?<br />
Les caracteristiques generales cognitives de deux \operations" qualication et<br />
quantication sont:<br />
determiner ou construire des classe en appliquant des proprietes.<br />
determiner ou construire des classes, mais d'une facon particuliere et notamment<br />
en comparant leurs dimensions.<br />
En plus, un quanticateur generalise dans le sens de Keenan n'est pas un<br />
operateur de quantication dans le sens logique. On ne peut pas considerer tout<br />
determinant comme un operateur de quantication. Si on accepte la denition<br />
d'un determinant comme etant un operateur qui s'applique a un ensemble de<br />
fonctions en donnant une fonction, alors on constate qu'il y a des determinants<br />
qui ne sont pas des operateurs de quantication.<br />
Ce sont les raisons pour lesquelles la reponse a la question ci-dessus est non.<br />
En considerant la LDO comme categorisation de base, notre point de vue est le<br />
suivant:<br />
La qualication est l'application d'une determination ou d'une cha^ne de<br />
determinations a un objet plus ou moins determine. Le resultat est un <strong>au</strong>tre<br />
objet mieux determine:<br />
y =(x)
Proposition d'une nouvelle theorie generalisee 231<br />
La qualication s'applique <strong>au</strong>x objets{elements de O<br />
La quantication est l'application d'un operateur de quantication ( , ,<br />
? , ? ,..) a unconceptf (f 2F). Le resultat est l'armation d'une relation<br />
entre Etendue(f) et une <strong>au</strong>tre classe d'objets.<br />
Les <strong>au</strong>tres operations de \denombrement" exprimees par l'application d'un<br />
operateur de \denombrement" a un concept f, leresultat etant toujours l'armation<br />
d'une relation entre des classes d'objets plus ou moins determines. Les<br />
operateurs de \denombrement" sont des operateurs particuliers. Ils s'appliquent<br />
<strong>au</strong>x concepts en etablissant des relations particulieres (cardinalite, t<strong>au</strong>x, pourcentage,....)<br />
entre des sous-classes de Etendue(f) et d'<strong>au</strong>tres classes d'objets.<br />
La plupart des determinants decrits par Keenan peuvent ^etre exprimes comme<br />
operateurs de \denombrement" (dans le sens ci-dessus). Leur semantique peut<br />
^etre etudiee dans la LDO. Mais c'est un probleme qui depasse le cadre de cette<br />
these.<br />
Nous nous contentons ici d'esquisser un possible developpement de la theorie,<br />
en donnant une denition de l'operateur de \denombrement" basee sur la LDO<br />
comme systeme de categorisation.<br />
Denition 7.1 Un operateur de denombrement note OD 1-aire (a une place) est<br />
un operateur qui s'applique a un concept f ( f 2F), (OD f) et par sa semantique<br />
il exprime une relation veriee par j Extf j.<br />
Denition 7.2 Un operateur de denombrement note OD n-aire (a n places)<br />
est un operateur qui s'applique a n concepts f 1 ,..,f n (..(OD f 1 )...f n )etparsa<br />
semantique il exprime une relation entre j Extf 1 j, ...., j Extf n j.<br />
Une classication possible des determinants est:<br />
Les determinants qui encodent l'operateur de determination :<br />
de Jean mon rouge soit de Jean, soit de Marie.<br />
Les determinants qui encodent un operateur de \denombrement"<br />
deux moitie 10 % pas un seul pas plus que dix dix <strong>au</strong> plus un nombre ni.<br />
Les determinants qui encodent un operateur de quantication<br />
tous il y a des un le.
232 La quantication<br />
La vraie valeur d'un determinant permettant de le positionner dans une de<br />
ces trois classes est donnee par le contexte.<br />
7.8 Conclusions<br />
Nous pouvons maintenant apporter des precisions en ce qui concerne la quantication<br />
:<br />
La quantication est un processus cognitif qui a partir d'un concept permet<br />
de preciser la portee denotative de ce concept :<br />
{ existe-t-il des objets qui tombent sous ce concept? si oui il y en a un seul<br />
ou plusieurs?<br />
{ tous les objets de l'univers du discours tombent-ils sous ce concept ou non?<br />
L'expression de la portee denotative se fait avec un quanticateur. Elle s'exprime<br />
par rapport a une categorisation : la categorisation des objets. Pour Frege<br />
le quanticateur est un operateur. Les objets etaient satures (par opposition <strong>au</strong>x<br />
fonctions), mais determines, typiques et existants. Il voyait les objets comme des<br />
\operandes absolus".<br />
La quantication de la logique classique exprime :<br />
soit que toute la classe est comprise dans une <strong>au</strong>tre :<br />
Ext(f) Ext(g)<br />
soit que la partie commune des deux classes n'est pas vide :<br />
Ext(f) \ Ext(g) 6= ?<br />
Elle considere sous l'etiquette de \variable" toujours des objets determines,<br />
typiques et existants. Quand x est \arbitraire" l'explication sur la nature de<br />
l'objet n'est pas claire.<br />
La LDO montre que la portee denotative du concept doit ^etre exprimee par<br />
rapport a la categorisation qu'elle donne : l'objet est un f,unobjetindetermine<br />
de Etendue f, ouunobjetdetermine de Ext f. En plus, il s'agit des objets<br />
typiques ou atypiques par rapport <strong>au</strong> concept f. L'operateur de quantication<br />
doit specier ces in<strong>format</strong>ions. C'est la raison de l'introduction de plusieurs<br />
operateurs de quantication qui forment un systeme.<br />
Cette theorie est une nouvelle theorie de la quantication avec une semantique<br />
en termes de classes d'objets dont les caracteristiques sont :
Conclusions 233<br />
Cette theorie est basee sur le systeme de categorisation de la LDO.<br />
Les operateurs de quantication proposes tiennent compte de la typicalite/atypicalite.<br />
L'interpretation des operateurs de quantication se deploie sur deux axes<br />
cognitifs :<br />
- le rapport entre l'intention et l'extension.<br />
- la typicalite.<br />
Cette etude est une etude theorique de logique, <strong>au</strong> nive<strong>au</strong> des fondements de<br />
la cognition.<br />
Il reste de nombreux problemes ouverts dans ce domaine, de nive<strong>au</strong> theorique<br />
(logique) ou applicatif (linguistique). Deux de ces problemes sont :<br />
L'etude du systeme des operateurs de quantication (typiques et gener<strong>au</strong>x)<br />
dans d'<strong>au</strong>tres systemes logiques comme la logique intuitionniste ou les logiques<br />
paraconsistantes [DCo97], [DCo97] <br />
L'identication des mots et des expressions qui representent l'encodage des<br />
operateurs de quantication dans une langue naturelle, dans des grands corpus<br />
de texte.
234 La quantication<br />
Tout f est g<br />
2 fg<br />
Aucun f n'est g<br />
2 f(N 1 g)<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;;<br />
;;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
g( ? f) ? (N 1 g)( ? f) ?<br />
Un f typique est g<br />
Aucun f typique n'est g<br />
A<br />
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA<br />
A<br />
? Il existe un f<br />
?<br />
typique qui est g<br />
2 fg<br />
Il existe un f<br />
typique qui n'est pas g<br />
2 f(N 1 g)<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
g( ? f)<br />
Il existe un f qui est g<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
(N 1 g)( ? f)<br />
Il existe un f qui n'est pas g<br />
Figure 7.5: Le cube de J.-P. Descles
Chapitre 8<br />
La description syntaxique de la<br />
LDO<br />
8.1 Caracterisation generale des regles de deduction<br />
La Logique de la Determination d'Objets (LDO) est un systeme applicatif type<br />
applique <strong>au</strong>x objets (O). Ses regles de deduction sont classiees en deux grandes<br />
classes :<br />
{ 1. La partie des regles qui correspondent <strong>au</strong>x regles de la logique classique<br />
dans sa presentation par la deduction naturelle.<br />
{ 2. La partie des regles propres a la LDO.<br />
Pour la premiere partie les regles sont:<br />
{ R1.1 Modus ponens :<br />
p p q<br />
{ R1.2 les regles d'introduction et d'elimination des connecteurs logiques .<br />
q<br />
La deuxieme partie modelise :<br />
{ l'heritage par typicalite ou atypicalite et la construction des objets.<br />
{ le systeme des quanticateurs decrit dans le chapitre 7.
236 La description syntaxique de la LDO<br />
Les regles appartenant a cette partie doivent decider :<br />
- si un objet construit d'une certaine maniere reste ou non typique.<br />
- si un objet caracterise par certains predicats (proprietes) est typique ou non<br />
et, eventuellement donner sa construction.<br />
-modeliser l'action des quanticateurs.<br />
Plus precisement,<br />
{ On se donne la construction d'un objet et on decide sa typicalite.<br />
{ On se donne la typicalite d'un objet et on infere sa construction.<br />
{ L'heritage.<br />
{ l'heritage en general (le mode de transmission des proprietes) <br />
{ l'heritage de la typicalite/atypicalite (le fait que l'objet reste typique/atypique<br />
quand il est de plus en plus determine) .<br />
{ Le rapport entre la typicalite par determination et la typicalite des quanticateurs.<br />
8.2 Une description de la LDO{la formalisation<br />
du systeme<br />
La LDO est une logique applicative typee ([Cur58]). Nous decrivons cette logique<br />
a partir des composantes d'un systeme applicatif ([Cur58]).<br />
La partie morphologique<br />
{ Les primitives sont :<br />
{ (F !)<br />
{ pour tout f 2F: Ess f, Ness f, Ness f, Comp f<br />
{ O = O det [O ind <br />
{ les operateurs et <br />
{ Les predicats sont :<br />
{ les elements de F<br />
{ le predicat TYPIQUE<br />
{ le predicat ATYPIQUE<br />
{ le predicat Prop
Les regles de la LDO 237<br />
{ pour tout fg 2F (Comp i gf),i =1:::5<br />
{ Les operateurs de la logique classique : ^ _ : .<br />
{ Les operateurs de quantication.<br />
La partie deductive (les axiomes et les regles d'inference)<br />
{ Les axiomes sont: les axiomes de la logique classique plus<br />
A 1A2A3A4A5A6.<br />
{ Les regles : R1 { R21.<br />
La theorie des types T (voir le sous-chapitre 6.9).<br />
8.3 Les regles de la LDO<br />
Les regles d'inference propres a la LDO sont :<br />
R3.1<br />
{ Essence et genericite<br />
h 2 Ess f(f x)<br />
(h x)<br />
R3.2<br />
? 1 f<br />
f(f)<br />
{ Typicalite<br />
R3.3<br />
R3.4<br />
R3.5<br />
x =((f)) -compatible<br />
TYPIQUE (f)(x)<br />
T Y P IQUE (f)(x)<br />
9 -compatible x=((f))<br />
x =((f))TYPIQUE (f)(x)<br />
-compatible<br />
R3.6<br />
{ Typicalite etheritage<br />
x =(y) TYPIQUE(f)(y) -compatible<br />
TYPIQUE (f)(x)<br />
R3.7<br />
TYPIQUE (f)(x) TYPIQUE(f)(y) x=(y)<br />
-compatible
238 La description syntaxique de la LDO<br />
{ Atypicalite<br />
R3.8<br />
R3.9<br />
x =((f)) -compatible<br />
AT Y P IQUE (f)(x)<br />
AT Y P IQUE(f)(x)<br />
9 x=((f)) -compatible<br />
{ Atypicalite etheritage<br />
R3.10<br />
x =(y) y=((f)) ATYPIQUE(f)(y)<br />
AT Y P IQUE(f)(x)<br />
{ Quantication universelle generale<br />
R3.11<br />
R3.12<br />
(fx) ` (gx)<br />
2 fg<br />
2 fg (f x)<br />
(g x)<br />
{ Quantication universelle typique<br />
R3.13<br />
R3.14<br />
TYPIQUE (f)(x) (f x) ` (g x)<br />
g( ? f)<br />
g( ? f)TYPIQUE (f)(x)<br />
(g x)<br />
{ Quantication existentielle generale<br />
R3.15<br />
R3.16<br />
(f x) ^ (g x)<br />
g( ? f)<br />
g( ? f) (f x) ` R (g x) ` R<br />
R<br />
{ Quantication existentielle typique<br />
R3.17<br />
R3.18<br />
R3.19<br />
2 fg (f x) ` R (g x) ` R<br />
R<br />
TYPIQUE (f)(x) (f x) ^ (g x)<br />
2 fg<br />
2 fg<br />
g( ? f)
Les regles de la LDO 239<br />
R3.20<br />
R3.21<br />
2 fg<br />
g( ? f)<br />
(f x) ((N 1 g) x) g( ? f)<br />
AT Y P IQUE(f)(x)<br />
Les regles presentees sont les regles propres a la LDO. Dans le dernier chapitre<br />
nous donnons des exemples de quelques inferences en LDO.
240 La description syntaxique de la LDO
Chapitre 9<br />
Une semantique pour la LDO<br />
Dans la theorie des modeles un systeme logique est decrit par sa syntaxe et sa<br />
semantique. Sa syntaxe est un langage { le langage des formules bien formees,<br />
avec les axiomes et les regles de deduction. Sasemantique algebrique est denie<br />
par une structure S mise en correspondance avec le langage par une fonction<br />
d'interpretation (ou fonction de valuation).<br />
La LDO en tant que systeme applicatif construit un langage qui est est un<br />
sous-ensemble des expression applicatives. Par la nature de cette logique, le<br />
systeme syntaxique capte lui-m^eme une partie de la semantique, parce que le<br />
sens d'une expression applicative est donne par la construction m^eme de cette<br />
expression. C'est la partie qu'on appelle la semantique fonctionnelle <strong>au</strong> passage<br />
de l'expression concatenee d'une phrase a l'expression applicative associee<br />
[Des96a] par l'analyse syntaxique. Par consequence, une semantique algebrique<br />
pour la LDO sera un ensemble de structures algebriques et une organisation<br />
particuliere des classes des concepts F et des objets O telle que les operations<br />
primitives comme f, f aient des correspondants en termes relationnels dans<br />
cette organisation.<br />
Ce point de vue n'est pas tout a fait le point de vue classique de la theorie de<br />
modeles, mais il nous semble que les proprietes structurelles dont on peut munir<br />
localement la classe O peuvent contribuer a sonetude.<br />
9.1 Quelques notions de base de la theorie des<br />
treillis<br />
Dans ce paragraphe nous rappelons les notions de base de la theorie des treillis<br />
d'apres [Ras63]<br />
Denition 9.1 (Ordre partiel ) Soit A un ensemble quelconque et R une relation<br />
binaire. La relation R s'appelle un ordre partiel sur A si, pour tous x y 2 Aon
242 Une semantique pour la LDO<br />
a:<br />
{ 1. xRx (reexivite)<br />
{ 2. Si x R y et y R z, alors x R z (transitivite)<br />
{ 3. Si x R y et y R z, alors x = y (antisymetrie)<br />
Le symbole generique pour l'ordre partiel est le symbole \6 ". Dans ce paragraphe<br />
nous utilisons ce symbole pour designer un ordre partiel. Dans les paragraphes<br />
suivants nous designerons par ce symbole une relation d'ordre partiel<br />
particuliere.<br />
Denition 9.2 (Ensemble partiellement ordonne )<br />
Soit A un ensembleet6 une relation binaire sur A. La structure ( A, 6 )est<br />
appellee ensemble partiellement ordonne si6 est un ordre partiel sur A.<br />
Denition 9.3 (Majorant )<br />
Soit ( A, 6 ) un ensemble partiellement ordonne, S un sous-ensemble de A (S<br />
A) et a 2 A. L'element a s'appelle un majorant de S si la condition suivante<br />
est veriee :<br />
pour tout s, s 2 S, s 6 a<br />
Denition 9.4 (Minorant )<br />
Soit ( A, 6 ) un ensemble partiellement ordonne, S un sous-ensemble de A (S<br />
A) et a 2 A. L'element a s'appelle un minorant de S si la condition suivante<br />
est veriee :<br />
pour tout s, s 2 S, a 6 s<br />
Denition 9.5 ( Le plus grand element )<br />
Soit ( A, 6 ) un ensemble partiellement ordonne, S un sous-ensemble de A<br />
(S A). Le plus grand element de S est l'unique element de S note g(S) (s'il<br />
existe) qui verie :<br />
{ g(S) 2 S.<br />
{ pour tous s 2 S, s 6 g(S).<br />
Denition 9.6 ( Le plus petit element )<br />
Soit ( A, 6 ) un ensemble partiellement ordonne, S un sous-ensemble de A ( S<br />
A). Le plus petit element de S est l'unique element de S note p(S) (s'il existe)<br />
qui verie :<br />
{ p(S) 2 S.
Quelques notions de base de la theorie des treillis 243<br />
{ pour tous s 2 S, p(S) 6 s.<br />
Denition 9.7 ( Supremum )<br />
Soit ( A, 6 ) un ensemble partiellement ordonne, S un sous-ensemble de A (S<br />
A) et a un element deA.L'element a s'appelle le supremum de S note sup(S)<br />
s'il est son plus petit majorant.<br />
Denition 9.8 ( Inmum )<br />
Soit ( A, 6 ) un ensemble partiellement ordonne, S un sous-ensemble de A (S<br />
A) et a un element de A. L'element a s'appelle l'inmum de S note inf(S) s'il<br />
est son plus grand minorant.<br />
Denition 9.9 (Demi-treillis inferieur)<br />
Un ensemble partiellement ordonne (A,6 ) s'appele demi-treillis inferieur<br />
(superieur) si la condition suivante est veriee :<br />
pour tous x,y 2 A il existe inf(fx,yg)(sup(fx,yg)).<br />
Denition 9.10 (Treillis)<br />
Un ensemble partiellement ordonne (A,6 ) s'appele treillis si:<br />
pour tout x et tout y 2 A il existe inf(fx,yg).<br />
pour tout x et tout y 2 A il existe sup(fx,yg).<br />
Denition 9.11 (Treillis complet)<br />
Un treillis ( A, 6 ) s'appele treillis completsi tout ensemble S, non-vide de A<br />
possede un supremum et un inmum (sup(S) et inf(S)).<br />
Tout treillis induit une structure d'algebre latticielle avec les operations ^ , _<br />
denis par :<br />
Denition 9.12 a ^ b = inf(fa,bg) (intersection), a _ b = sup(fa,bg) (union)<br />
Denition 9.13 (Treillis distributif) Soit T un treillis et S T, S 6= ?.<br />
s'appelle distributif si :<br />
pour tous x,y,z 2 T<br />
S<br />
x ^ (y _ z) =(x ^ y) _ (x ^ z)<br />
x _ (y ^ z) =(x _ y) ^ (x _ z)<br />
Denition 9.14 (Treillis avec un plus petit (plus grand element)) Un treillis T<br />
s'appelle treillis avec le plus petit element (0) (le plus grand element (1))si T<br />
admet un plus petit element (un plus grand element).
244 Une semantique pour la LDO<br />
Denition 9.15 (Treillis complemente)<br />
Un treillis T avec unpluspetit element et un plus grand element s'appelle<br />
treillis complemente si pour tout x 2 T, il existe x 2 T tel que<br />
x ^ x =0x _ x =1<br />
Denition 9.16 (AlgebredeBoole) Un treillis B complemente et distributif s'appelle<br />
algebre deBoole.<br />
Denition 9.17 (Filtre)<br />
Soit T un demi-treillis inferieur. Un ensemble F T s'appelle ltre si les<br />
deux conditions suivantes sont veriees:<br />
{ pour tous x,y 2 F, x ^y 2 F.<br />
{ pour tous x 2 F et tout y tels que x 6 y, y 2 F.<br />
Denition 9.18 (Ideal)<br />
Soit T un demi-treillis superieur. Un ensemble I T s'appelle ideal si les<br />
deux conditions suivantes sont veriees:<br />
{ pour tous x, y 2 F, x _ y 2 I.<br />
{ pour tout x 2 I et tout y tels que y 6 x, y 2 I.<br />
Propriete 9.1 Si F 1 ,F 2 (I 1 ,I 2 ) sont deux ltres (ide<strong>au</strong>x) de T, alors F 1<br />
T<br />
F2<br />
(I 1<br />
T<br />
I2 ) est un ltre (ideal) de T.<br />
Denition 9.19 (Filtre (resp. Ideal) engendre par un ensemble M)<br />
Soit T un demi-treillis inferieur (resp.superieur) et M T. Le ltre (resp.ideal)<br />
engendre par M ,noteF M (resp. I M ) est le plus petit ltre (ideal) qui contient<br />
M.<br />
SiM=fxg, alors :<br />
F x = fy=x 6 yg<br />
I x = fy=y 6 xg<br />
Si on considere l'algebre de Boole prototypique P(X) { l'ensemble des parties<br />
d'un ensemble X : fP(X), S T ?, Xg et un sous-ensemble M de X alors :<br />
F M = fY 2P(X)=M Yg =<br />
\<br />
F<br />
F ltreM2F<br />
I M = fY 2P(X)=Y Mg =<br />
\<br />
I idealM2I<br />
I
Espace pretopologique, topologique et locologique 245<br />
Denition 9.20 (Quasi-ltre (resp. quasi-ideal))<br />
Soit T un demi-treillis inferieur (resp. superieur). Un sous-ensemble F T<br />
(resp. I T) s'appelle quasi-ltre(resp. quasi-ideal) si une seule condition de la<br />
denition d'un ltre (resp. ideal) est veriee :<br />
pour tout x 2 F (resp. I) et y tel que x 6 y (resp. y 6 x),y2 F (resp. I).<br />
9.2 Espace pretopologique, topologique et locologique<br />
Dans ce paragraphe nous presentons les notions de base de pretopologie, topologie,<br />
locologie qui s'averent^etre utiles pour la semantique de la LDO.<br />
Denition 9.21 (Pretopologie)<br />
Soit X un ensemble et soit une famille P de sous-ensembles de X (P P<br />
(X)). La famille P s'appelle pretopologie si les deux conditions suivantes sont<br />
veriees:<br />
{ ?, X2P.<br />
{ Si A, B 2P, alors A T B 2P.<br />
Denition 9.22 (Topologie)<br />
Soit X un ensemble et soit une famille T de sous-ensembles de X (T P (X).<br />
La famille T s'appelle topologie si les trois conditions suivantes sont veriees:<br />
{ ?, X2T.<br />
{ Si A, B 2T, alors A T B 2T.<br />
{ Si fA i g i2I est telle que A i 2Tpour tout i, alors S i2I A i 2T.<br />
Denition 9.23 (Espace topologique (resp. pretopologique)<br />
Un ensemble X muni d'une topologie T (resp. pretopologie P), note (X, T )<br />
(resp. (X, P)) s'appelle espace topologique (resp. pretopologique).<br />
Une topologie peut ^etre denie a l'aide de l'un de deux operateurs suivants.<br />
Denition 9.24 (Operateur d'interieur)<br />
Soit X un ensemble. Un operateur I : P (X) ;! P(X) avec les proprietes:<br />
{ I 1 I(X)=X<br />
{ I 2 pour tout A, I(A) A.
246 Une semantique pour la LDO<br />
{ I 3 pour tout A et tout B I(A T B) = I(A) T I(B)<br />
{ I 4 pour tout A I(I(A)) = I(A)<br />
s'appelle operateur d'interieur.<br />
Denition 9.25 (Operateur de fermeture)<br />
Soit X un ensemble. Un operateur C : P (X) ;! Pavec lesproprietes:<br />
{ C 1 C(?) =?<br />
{ C 2 pour tout A, A C(A)<br />
{ C 3 pour tout A et tout B , C(A [ B) = C(A)[ C(B)<br />
{ C 4 pour tout A C(C(A)) = C(A)<br />
s'appelle operateur de fermeture.<br />
Si I est un operateur d'interieur, alors l'ensemble f I(A) / A 2P(X) g est une<br />
topologie sur X.<br />
Si C est un operateur de fermeture, alors l'ensemble fC(A) g 1 est une topologie<br />
sur X.<br />
Les proprietes C 1 ,C 2 ,C 3 ,C 4 sont connues sous le nom des axiomes de Kuratowsky<br />
[Mar96]. Les deux operateurs (d'interieur et de fermeture) sont idempotents<br />
(les proprietes I 4 et C 4 ).<br />
Denition 9.26 (Algebre de Heyting)<br />
Une algebre de Heyting est un quintuplet( H, ^, _, :, ))<br />
ou<br />
{ (i)(H,^, _ ) est un treillis distributif avec 0 le plus petit element.<br />
{ (ii) pour tout (a,b) 2 H H il existe un element appele le pseudo-complement<br />
de a relatif a b, note a) bdeni par:<br />
a ) b= W f c 2 H/a^ c 6 b g<br />
{ (iii) : a=(a) 0) = W f c 2 H/a^ c 6 0 g<br />
Propriete 9.2 :: a > a<br />
a _: a 6 1<br />
(a) b) 6 ( : a ):b)<br />
: a _:b 6 : (a ^ b)<br />
1 A denote le complement en X de A, c'est-a-dire X-A / A 2P(X)
Espace pretopologique, topologique et locologique 247<br />
Le modele d'algebre de Heyting est l'espace topologique (X, T ). On pose pour<br />
tout A, B 2T :<br />
{ A ^ B=A T B<br />
{ A _ B=A S B<br />
{ (A ) B) = I ( A T B)<br />
{ : A=(A) ?) =I(A )<br />
(T T S ) :) est une algebre de Heyting.<br />
Denition 9.27 (Locologie [DGl96b])<br />
Soit X un ensemble et une relation binaire sur X. La relation s'appelle<br />
locologie si les trois conditions suivantes sont veriees:<br />
pour tout x 2 X, x 2 (x) (reexive)<br />
pour tout x 2 X, tel que (x) ) fxg (non-maigre)<br />
il existe 0 , 0 symetrique, reexive et non-maigre.<br />
Denition 9.28 (Espace locologique)<br />
Un ensemble X muni d'une locologie s'appelle espace locologique, note (X,<br />
).<br />
Deux operateurs peuvent ^etre denis sur un espace locologique : l'operateur<br />
de cur et l'operateur de l'ombre.<br />
Denition 9.29 Soit A X. Le cur de A est deni par : h(A) = f x 2 X/<br />
(x) A g.<br />
L'ombre de A est denie par : s(A) = f x 2 X/ (x) T A 6= ? g<br />
Les proprietes de l'operateur h sont:<br />
Propriete 9.3 h: P(X) ;! P(X)<br />
H1. h(A) A.<br />
H2. Si A B, alors h(A) h(B).<br />
H3. h(A S B) h(A) S h(B).<br />
H4. h(A T B) h(A) T h(B).<br />
H5. h(h(A)) h(A).<br />
Les proprietes de l'operateur s sont:
248 Une semantique pour la LDO<br />
Propriete 9.4 s: P(X) ;! P(X)<br />
S1. s(A) A.<br />
S2. Si A B, alors s(A) s(B).<br />
S3. s(A T B) s(A) T s(B).<br />
S4. s(A S B) = s(A) S s(B).<br />
S5. s(s(A)) s(A).<br />
Si on se donne un operateur h avec les proprietes H 1 , :::,H 5 , alors<br />
L = f h(A) / A X g est un espace locologique.<br />
De m^eme, si on se donne un operateur s avec les proprietes S 1 , :::,S 5 , alors<br />
L = f s(A) /A X g est un espace locologique.<br />
9.3 Le ltre engendre par f<br />
Nous introduisons sur l'ensemble O trois relations d'ordre partiel:<br />
Denition 9.30 Soient x y 2O, tels que 9f x,y 2 Etenduef.<br />
x 6 y ssi il existe une cha^ne de determinations telle que y =(x))<br />
.<br />
Un objet plus ou moins determine y est superieur a un <strong>au</strong>tre objet x si et<br />
seulement siy s'obtient de x par une cha^ne de determination.<br />
x 6 y ssi x 6 y et(TYPIQUE x y)=><br />
L'objet y est un typique superieur a x si et seulement siy s'obtient de x et y<br />
est un objet typique de x 2 .<br />
x 6 y ssi x 6 y et(TYPIQUE x y)=?<br />
L'objet y est un atypique superieur a x si et seulement siy s'obtient de x et<br />
y est un objet atypique de x.<br />
Theoreme 9.1 Si (TYPIQUE x, y )=> et si x c et y c existent, alors<br />
(i) Ness <br />
y c Ness x c<br />
et (1)<br />
2 (T Y P IQU E yx)=(T Y P IQU E y c x)<br />
(ii) Ess y c Ess x c [ Ness x c
Le ltre engendre parf 249<br />
Theoreme 9.2 (i) La relation 6 est une relation d'ordre.<br />
(ii) La relation 6 est une relation d'ordre.<br />
(iii) La relation 6 n'est pas reexive, mais elle est transitive.<br />
Nous introduisons trois ensembles pour chaque x 2O:<br />
Denition 9.31<br />
F x = fy 2O=x 6 yg<br />
F x<br />
<br />
= fy 2O=x 6 yg<br />
F x<br />
<br />
Remarque 9.1 Si x = f, alors:<br />
F f = Etendue (f)<br />
F f<br />
= Etendue (f)<br />
= Etendue (f)<br />
F f<br />
<br />
= fy 2O=x 6 yg<br />
Theoreme 9.3 (i) L'ensemble (Etendue(f), 6 ) est un demi-treillis inferieur<br />
avec le plus petit element f.<br />
(ii) L'ensemble (Etendue (f), 6 ) est un demi-treillis inferieur avec le plus<br />
petit element f.<br />
Localement l'ensemble O peut ^etre structure par la relation 6.<br />
Theoreme 9.4 (i) Etendue (f) = Etendue (f) [ Etendue (f)<br />
(ii) Ext (f) = Ext (f) [ Ext (f)<br />
Theoreme 9.5 (i) F x estunltre de Etendue(f).<br />
(ii) F<br />
x est un ltre de Etendue (f).<br />
(iii) F<br />
x est un quasi-ltre de Etendue (f).<br />
Denition 9.32 On denote par sup F x l'ensemble de tous les plus petits majorants<br />
des elements de F x .<br />
Theoreme 9.6<br />
Ext(f)=sup Etendue(f)<br />
Ext (f)=sup Etendue (f)<br />
Ext (f)=sup Etendue (f)
250 Une semantique pour la LDO<br />
Remarque 9.2 Comme Etendue(f) est un demi-treillis (et non pas un treillis)<br />
inffx yg n'est pas deni pour chaque paire (x y) 2 Etendue(f) Etendue(f).<br />
Remarque 9.3 Si x 2 Ext(f) alors F x = fxg<br />
La structure de ltres de l'Etendue (f) est representee par (Cf. gure 9.1)<br />
Soit l'ensemble des ltres de Etendue (f):<br />
Fil = fF x =x 2 Etendue(f)g<br />
On peut facilement verier que Fil est une pretopologie.<br />
Theoreme 9.7 (Etendue (f), Fil) est un espace pretopologique muni d'une<br />
pretopologie de ltres.<br />
Remarque 9.4 Les ltres de type F x sont des ultraltres pour la relation d'inclusion.<br />
Le theoreme d'immersion de Stone [DGl96a] est represente dans ce cas<br />
particulier par le diagramme (Cf. gure 9.2):<br />
ou<br />
v(x) =F x<br />
f(F x )=fU=Uest un ultraltre F x Ug<br />
^v = fU=Uest un ultraltre F x Ug<br />
et U(Fil) represente l'ensemble des ultraltres de Fil.<br />
9.4 Une locologie sur Etendue(f): h(Ext( f))<br />
= Ext (f)<br />
On denit:<br />
Etendue(f) Etendue(f)<br />
par<br />
1. objet typique : Si x 2 Etendue(f), alors (x )=fx g S Etendue (f)<br />
2. objet atypique : Si x 2 Etendue(f), alors (x )=fx g S Etendue (f)<br />
3. objet typique determine: Si x 2 Ext(f), alors (x ) = Ext(f)<br />
4. objet atypique determine: Si x 2 Ext(f), alors (x )=fx g S F x<br />
0
La semantique locale de Kripke pour l'Etendue(f) 251<br />
ou x 0 est le premier objet atypique dans la cha^ine , telle que x 0 =( (f))<br />
(Cf. gure 9.3).<br />
D'abord il f<strong>au</strong>t prouver que est une locologie:<br />
(1) est evidemment reexive.<br />
(2) Il existe 0 qui est symetrique: 0 = (Etendue (f)-Ext (f))<br />
(Etendue (f) - Ext (f)).<br />
(3) est non-maigre ( (x ) fx / x 2 Etendue (f)-Ext(f)).<br />
On remarque que n'est pas transitive :<br />
Si x 2 Ext(f)etx 0 un atypique de Etendue(f) tel que x x 0 . alors x 0 f<br />
et pourtant on n'a pas x (f).<br />
On prouve :<br />
Ext (f) = h(Ext(f))<br />
Par denition h(Ext(f)) = f x 2 Etendue (f)/(x) 2 Ext(f) g<br />
Si x 2 Ext (f), alors (x) = Ext(f) Ext(f), donc x 2 h(Ext(f)).<br />
Si x 2 h(Ext(f)), alors (x) Ext(f), donc x doit ^etre un x .<br />
9.5 La semantique locale de Kripke pour l'Etendue(f)<br />
Soit (I, 6 ) un ensemble partiellement ordonne, A I s'appele hereditaire si<br />
pour tout i 2 Aetj> ionaj2 A. Soit I l'ensemble de tous les sous-ensembles<br />
hereditaires de I. Pour tout A,B Iondenit:<br />
{ A ^ B=A\ B<br />
{ A _ B=A[ B<br />
On pose [i) = f j 2 I,j> i g pour tout i 2 I. On verie facilement que A \<br />
BetA[ B restent des ensembles hereditaires et que I est un treillis distributif.<br />
On denit:<br />
A ) B f i 2 I/A[ [i) B g<br />
: A=(A) ?) =f i 2 I/A[ [i) = ? g<br />
On verie que ( I , ^, _, ), : ) est une algebre de Heyting. Considerons<br />
l'ensemble Fil de tous les ltres de Etendue(f). Tout ensemble hereditaire de<br />
Etendue(f)est:<br />
soit F x<br />
soit S x2Etendue(f) F x<br />
Soit Fil = f S x2A F x /A Etendue(f)g
252 Une semantique pour la LDO<br />
l'ensemble Fil represente l'ensemble de tous les sous-ensembles hereditaires<br />
de Etendue(f). Alors ( Fil , ^, _, ), : ) est une algebre de Heyting. A<br />
chaque expression applicative correspondant a un objet o 2 O nous mettons en<br />
correspondance une union d'ensembles hereditaires.<br />
Fil est une topologie sur Etendue(f). Le diagramme represente un cas<br />
particulier de la contrepartie intuitionniste du theoreme de Stone [DGl96a] (Cf.<br />
gure 9.4):<br />
ou<br />
v(x) = [ F x<br />
f(F x )=fU=Uest un ultraltre de Fil g<br />
La semantique locale de Kripke correspond dans ce cas <strong>au</strong> fait qu'a unobjet<br />
donne x on fait correspondre tous les objets plus ou moins determines et tous les<br />
objets totalement determines qu'il est possible d'engendrer a partir de cet objet<br />
x.<br />
9.6 L'intension d'un concept et les ide<strong>au</strong>x<br />
Considerons Int-caract f = f f 1 , :::, f n g.Alors<br />
l'ideal engendre par f 1 , :::, f n .<br />
Intf =I f1 :::fn<br />
Theoreme 9.8 Int f est un demi-treillis superieur avec le plus grand element f.<br />
Pour chaque concept g 2 Int f on peut considerer l'ideal I g engendre parg.<br />
Alors<br />
I g Int f. Soit I = f I g /I g Int f g<br />
Theoreme 9.9 (Int f, I) est une pretopologie.<br />
Pour l'instant on ne peut rien armer de plus sur la structure de Ess f,<br />
Ness f, Ness f.<br />
???<br />
La semantique algebrique decrite en termes de ltres et d'ide<strong>au</strong>x dans ce<br />
chapitre represente du point de vue algebrique un prolongement de la loi du Port<br />
Royal. C'est un essai de donner une explication formelle a ladualite intensionextension<br />
explication qui est restee assez oue jusqu'a maintenant.
L'intension d'un concept et les ide<strong>au</strong>x 253<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
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<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
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<br />
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<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
s<br />
<br />
<br />
<br />
F x1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
F y<br />
x<br />
f<br />
<br />
B T<br />
<br />
BBBBBBBBBBBBBBBBBBN TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
g 1<br />
g 2<br />
<br />
<br />
s<br />
<br />
s<br />
<br />
<br />
x1<br />
x2<br />
L LS LLLLLLLLLLLLLLLLLLL LLLLLLLLLLLLLLLLLLL<br />
SSSSSSSSSSSSSSSSSSS<br />
s?<br />
A y<br />
AAAAAAA<br />
A<br />
s<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Ext(f)<br />
F x2<br />
Figure 9.1: La structure de ltres de Etendue(f)<br />
<br />
T<br />
TTTTT
254 Une semantique pour la LDO<br />
r<br />
Etendue(f)<br />
v -<br />
@<br />
@@@@@@@@@@@@R<br />
r<br />
Fil<br />
^v<br />
f<br />
r<br />
? P(U(Fil))<br />
Figure 9.2: Theoreme d'immerssion pour Etendue (f)<br />
r f<br />
A<br />
AAAAAAAAAAAA<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
r<br />
A<br />
AA<br />
<br />
r<br />
<br />
x' <br />
typique<br />
rx' atypique<br />
<br />
Figure 9.3: Une locologie sur Etendue(f)<br />
r<br />
Etendue(f)<br />
v -<br />
@<br />
@@@@@@@@@@@@R<br />
r<br />
Fil <br />
^v<br />
f<br />
r<br />
? P(U(Fil ))<br />
Figure 9.4: Fil est une topologie sur Etendue(f)
Chapitre 10<br />
Les hierarchies d'heritage et la<br />
LDO<br />
10.1 Exemples<br />
Nous presentons trois exemples traites dans la LDO. Les deux premiers sont<br />
connus de la litterature sur les rese<strong>au</strong>x semantiques. Le troisieme est notre<br />
exemple.<br />
{ 1. Le probleme de l'<strong>au</strong>truche<br />
{ 2. Le diamant de Nixon<br />
{ 3. Le jour du 1 er mars a Brest<br />
10.1.1 Le probleme de l'<strong>au</strong>truche<br />
Soient les armations suivantes :<br />
1. Tous les oise<strong>au</strong>x sont des ^etres vivants.<br />
2. Toutes les <strong>au</strong>truches sont des oise<strong>au</strong>x.<br />
3. Les oise<strong>au</strong>x savent voler.<br />
4. Les canaris sont des oise<strong>au</strong>x.<br />
5. Les <strong>au</strong>truches ne savent pas voler.<br />
6. Kiki est un canari.<br />
7. Julie est une <strong>au</strong>truche.<br />
8. Rita est une <strong>au</strong>truche.<br />
9. Rita sait voler.
256 Les hierarchies d'heritage et la LDO<br />
A ces declarations on peut faire correspondre un graphe, appelerese<strong>au</strong> semantique,<br />
dont les sommets representent des concepts et la eche la relation de comprehension<br />
directe entre concepts 1 .<br />
Nous avons (on considere seulement une partie du rese<strong>au</strong> semantique (Cf.<br />
gure 10.1):<br />
Int-caract (^etre-vivant) = ?<br />
Int-caract (^etre-animal) = f ^etre-vivant, ^etre-animal g<br />
Int-caract (^etre-oise<strong>au</strong>) = f ^etre-animal, voler g<br />
Int-caract (^etre-<strong>au</strong>truche) = f ^etre-oise<strong>au</strong>, ne pas voler<br />
Int-caract (^etre-canari) = f ^etre-oise<strong>au</strong> g<br />
Int-caract (^etre-Julie) =f ^etre-<strong>au</strong>truche g<br />
Int-caract (^etre-Rita) = f ^etre-<strong>au</strong>truche, voler g<br />
Int-caract (^etre-Kiki) =f ^etre-canari g<br />
Int (^etre-vivant) = f ^etre-vivant g<br />
Int (^etre-animal) = f ^etre-vivant, ^etre-animal g<br />
Int (^etre-oise<strong>au</strong>) = f^etre-oise<strong>au</strong>, ^etre-animal, ^etre-vivant, voler g<br />
Int (^etre-<strong>au</strong>truche)=f^etre-<strong>au</strong>truche, ^etre-animal, ^etre-vivant, ^etreoise<strong>au</strong>,<br />
voler, ne pas voler g<br />
Int (^etre-canari) = f^etre-canari, ^etre-oise<strong>au</strong>, ^etre-animal, ^etre-vivant,<br />
voler g<br />
Int (^etre-Julie) = f^etre-Julie, ^etre-<strong>au</strong>truche, ^etre-animal, ^etre-vivant,<br />
^etre-oise<strong>au</strong>, ne pas voler g<br />
Int (^etre-Rita) = f^etre-Rita, ^etre-<strong>au</strong>truche, ^etre-animal, ^etre-vivant,<br />
^etre-oise<strong>au</strong>, voler g<br />
Int (^etre-Kiki)=f ^etre-Kiki, ^etre-canari, ^etre-animal, ^etre-vivant,<br />
^etre-oise<strong>au</strong>, voler g<br />
On remarque que le rese<strong>au</strong> semantique tel qu'il se presente est insusant pour<br />
choisir entre les deux proprietes \voler " et \ne pas voler" pour \^etre <strong>au</strong>truche".<br />
La LDO par la construction des objets rend compte de la typicalite.<br />
La construction des objets dans la LDO se voit dans la gure 10.2<br />
Les cha^nes de determination sont presentees dans la gure 10.3.<br />
Nous presentons les deductions suivantes dans la LDO :<br />
Rita est une <strong>au</strong>truche atypique (par rapport alapropriete de \voler").<br />
Rita est un oise<strong>au</strong> atypique.<br />
Les 9 hypotheses sont :<br />
1 Un tel graphe est appele souvent \graphe d'heritage
Exemples 257<br />
F<br />
^etre vivant<br />
6<br />
contradiction<br />
ne pas voler<br />
^etre animal<br />
6<br />
voler<br />
6<br />
><br />
><br />
^etre oise<strong>au</strong><br />
Z}<br />
Z<br />
*<br />
Z<br />
Z Z<br />
^etre <strong>au</strong>truche<br />
^etre canari<br />
QQk<br />
6<br />
Q<br />
Q<br />
> Q <br />
^etre Julie<br />
^etre Rita<br />
^etre Kiki<br />
Figure 10.1: Le rese<strong>au</strong> semantique pour le probleme de l'<strong>au</strong>truche<br />
1. 2 oise<strong>au</strong> (^etre vivant)<br />
2. 2 <strong>au</strong>truche oise<strong>au</strong><br />
3. voler( ? oise<strong>au</strong>)<br />
4. 2 canari oise<strong>au</strong><br />
5. ne pas voler( ? <strong>au</strong>truche)<br />
6. canari(Kiki)<br />
7. <strong>au</strong>truche(Julie)<br />
8. <strong>au</strong>truche(Rita)<br />
9. voler(Rita)
258 Les hierarchies d'heritage et la LDO<br />
1.<br />
.<br />
9.<br />
10. TYPIQUE(<strong>au</strong>truche)(Rita) hypothese<br />
11. voler(Rita) reiteration 9<br />
12. ne pas voler ( ? <strong>au</strong>truche) reiteration 5<br />
13. <strong>au</strong>truche(Rita) reiteration 8<br />
14. ne pas voler (Rita) 10,12,13 R3.14<br />
15. 11,14 contradiction<br />
16. AT Y P IQUE (<strong>au</strong>truche)(Rita)<br />
On peut obtenir directement, par R3.21 :<br />
(<strong>au</strong>truche Rita)((N 1 non-voler) Rita)(non-voler ( ? <strong>au</strong>truche))<br />
AT Y P IQUE (<strong>au</strong>truche)(Rita)<br />
Pour la deuxieme deduction :<br />
1.<br />
.<br />
9.<br />
10.(<strong>au</strong>truche)(Rita)<br />
8, reiteration<br />
11. ne pas voler( ? <strong>au</strong>truche) 5, reiteration<br />
12. voler ( ? oise<strong>au</strong>) 3, reiteration<br />
13. AT Y P IQUE(oise<strong>au</strong>)(<strong>au</strong>truche)11,12 R3.21<br />
14. AT Y P IQUE(oise<strong>au</strong>)(Rita) 10,13 R3.10<br />
10.1.2 Le diamant de Nixon<br />
Un <strong>au</strong>tre exemple classique est le diamant de Nixon. Le president Nixon etait<br />
quaker et republicain. Les quakers sont pacistes, les republicains ne le sont pas.<br />
Et pourtant Nixon etait un republicain paciste. Le rese<strong>au</strong> semantique est (Cf.<br />
gure 10.4):<br />
La construction des objets par des cha^nes de determinations est presentee<br />
dans la gure 10.5):<br />
g := ^etre-paciste<br />
g 2 Ness (^etre-republicain)
Exemples 259<br />
La cha^ne de determination 1 contient toutes les determinations qui transforment<br />
f (\ un homme ") en x ((\ un republicain") et qui sont comprises<br />
dans<br />
Ess x c (elles sont considerees comme proprietes essentielles pour \un republicain")<br />
Les <strong>au</strong>tres proprietes distribuees dans Ness x c et Ness x c comme g := ^etrepaciste,<br />
respectivementN 1 g := ne pas ^etre-paciste peuvent engendrer les etendues<br />
typique et atypique de x c2 :Etendue x c et Etendue x c . Par consequent,<br />
y 2 Etendue x c<br />
et<br />
y 0 2 Etendue x c<br />
Soient les hypotheses suivantes :<br />
Les quakers sont pacistes.<br />
Les republicains ne sont pas pacistes.<br />
3. Nixon republicain et quaker.<br />
4. Nixon est paciste.<br />
On deduit :<br />
C1. Nixon est un quaker typique.<br />
C2. Nixon est un republicain atypique.<br />
Les hypotheses sont :<br />
1. paciste( ? quakers)<br />
2. non- paciste( ? republicains)<br />
3. republicain(Nixon) ^ quaker(Nixon)<br />
4. paciste(Nixon)<br />
La deduction de C1 dans la LDO est:<br />
2 Dans ce cas x c existe et x c = x
260 Les hierarchies d'heritage et la LDO<br />
1.<br />
.<br />
4.<br />
5. paciste( ? quakers) 1, reiter.<br />
6. republicain(Nixon) ^<br />
3, reit.<br />
quaker(Nixon)<br />
7. quaker(Nixon) 6, ^ -e<br />
8. paciste(Nixon) 4, reiter.<br />
9. AT Y P IQUE(quaker) hyp.<br />
(Nixon)<br />
10. non-paciste(Nixon) 9, R3.9<br />
11. paciste(Nixon) 4, reiter.<br />
12. 10,11, contrad.<br />
13. TYPIQUE(quaker)(Nixon)<br />
M^eme raisonnement pour C2.<br />
10.1.3 Le jour du 1 er mars a Brest<br />
Les jours de printemps en general sont ensoleilles. Les jours de printemps sont<br />
pluvieux a Brest. Le 1 mars il pleut souvent a Brest. Le jour du 1 er mars a Brest<br />
est un jour typique ou non comme jour de printemps et comme jour de printemps<br />
a Brest?<br />
Soit les hypotheses suivantes :<br />
1. Les jours de printemps sont pluvieux a Brest.<br />
2. Les jours de printemps sont non-pluvieux.<br />
3. Le jour du 1 er mars a Brest est pluvieux.<br />
4. 1 mars est un jour de printemps.<br />
En LDO elles sont :<br />
1. pluvieux ( ? ( Brest (printemps jour)))<br />
2. non-pluvieux ( ? (printemps jour))<br />
3. pluvieux ( Brest (1 mars))<br />
4. printemps (1 mars)<br />
On deduit :<br />
C1. 1 er mars a Brest est un jour de printemps atypique.<br />
C2. 1 er mars a Brest est un jour typique (comme jour de printemps a Brest).
Les hierarchies d'heritageetlaLDO 261<br />
1.<br />
.<br />
4.<br />
5. TYPIQUE(print. (Brest hyp.<br />
(1 mars)))<br />
6. non-pluvieux ( ? print. j) 2, reiter.<br />
7. print. j (1 mars) 4, reiter.<br />
8. print. j (Brest(1 mars)) 3, reiter.<br />
9. non-pluvieux (Brest(1 6,8, R3.14<br />
mars))<br />
10. pluvieux (Brest(1 mars)) 3, reiter.<br />
11. 9,10 contrad.<br />
12. AT Y P IQUE(print.j)(Brest (1 mars))<br />
Pour C2 :<br />
1.<br />
.<br />
4.<br />
5.x:= 1 mars a Brest, f : = un<br />
jour a Brest, x= (f), <br />
compatible<br />
6. TYPIQUE(a Brest) (1 mars)<br />
1-4,R3.3<br />
Le deuxieme exemple montre qu'on a des deductions qui se font exclusivement<br />
par les moyens de la construction : c'est ici l'apport de la LDO.<br />
10.2 Les hierarchies d'heritage et la LDO<br />
Nous presentons une formalisation logique des hierarchies d'heritage [Cro95] vis-<br />
a-vis de la formalisation par la LDO.<br />
10.2.1 La formalisation logique des hierarchies d'heritage<br />
En intelligence articielle on designe par hierarchie d'heritage une classication<br />
quelconque. Les hierarchies d'heritage sont denies en termes de graphes et<br />
constituent des procedes techniques de stockage d'in<strong>format</strong>ion. Leur construction
262 Les hierarchies d'heritage et la LDO<br />
et, donc, leur interpretation, ne semble pas ^etre regie par des principes gener<strong>au</strong>x,<br />
mais leur structure n'est pas neutre par rapport <strong>au</strong>x problemes gener<strong>au</strong>x de la<br />
classication. Cette structure elimine la distinction entre concepts et objets plus<br />
ou moins determines: \^etre oise<strong>au</strong>", \un oise<strong>au</strong>" et \avoir la propriete de voler"<br />
sont traites comme des noeuds de la hierarchie. Elle elimine <strong>au</strong>ssi la distinction<br />
typique-atypique et confond la relation de comprehension (!) entre les concepts<br />
avec la relation de determination entre les objets (6). Ainsi, le problemedelaformalisation<br />
logique des hierarchies d'heritage para^t mal engage des le depart, car<br />
l'objet m^eme de la formalisation ne semble pas bien deni. Soit la formalisation a<br />
comme objet la representation de toutes les strategies possibles de parcours d'un<br />
graphe, soit elle impose une interpretation particuliere dicile a evaluer en l'absence<br />
d'une analyse claire de ce qu'une hierarchie represente. Neanmoins les solutions<br />
logiques a l'interpretation des hierarchies d'heritage demeurent interessantes<br />
pour deux raisons. En premier, les limites des solutions logiques peuvent nous<br />
montrer les raisons d'une surestimation frequente des t^aches qui peuvent ^etre<br />
menees a bien par la logique. Elles nous fournissent des elements d'analyse sur<br />
les limites et sur la nature des logiques non-classiques. En second, toute formalisation<br />
entra^ne un choix interpretatif des liens de classication et donc une<br />
selection parmi les parcours possibles de la hierarchie. Ainsi les alternatives des<br />
formalisations possibles nous parlent a leur tour de la nature de l'instrument<br />
taxinomique.<br />
Une formalisation du probleme de l'heritage doit constituer un cadre d'interpretation<br />
general, simple et logique de ce probleme. Dans [Cro95] on remarque<br />
trois caracteristiques d'un tel formalisme :<br />
{ Le formalisme doit ^etre \general" <strong>au</strong> sens ou la solution n'avantage pas un<br />
type particulier de hierarchie <br />
{ Le formalisme doit ^etre \simple" de telle sorte que les notions d'individu et<br />
d'espece et de lien conserve un certain caractere intuitif <br />
{ Le formalisme doit ^etre \logique" dans le sens ou il fait eectivement usage<br />
des moyens deductifs de la logique.<br />
Il nous semble que la LDO remplit ces trois conditions.<br />
10.2.2 Une analyse par la LDO des quelques hierarchies<br />
d'heritage<br />
Denition 10.1 Une hierarchie d'heritage [Cro95] est un graphe oriente acyclique<br />
ayant comme noeuds un ensemble d'entites.<br />
Les entites noeuds sont de deux types:
Les hierarchies d'heritageetlaLDO 263<br />
- les individus qui representent les feuilles du graphe notes par a,b,c :::<br />
- les especes correspondant a des abstraits, notes par p, q, r :::<br />
Les variables qui varient sur un ensemble des entites de ce type sont notees<br />
par x, y, z,v,w.<br />
Le graphe contient deux types de liens:<br />
les liens positifs x ! ylu\xestuny"<br />
les liens negatifs x 9 y lu \x n'est pas un y "<br />
L'entite y doit ^etre une espece.<br />
Denition 10.2 Deux liens s'appelent conictuels s'ils sont de la forme:<br />
a ! peta9 p<br />
ou<br />
x ! yetx9 y<br />
Parmi les suites possibles de liens, les chemins constituent des parcours admissibles<br />
dans le graphe.<br />
Denition 10.3 Un chemin est deni par:<br />
tout lien est un chemin.<br />
si est un chemin, :x 1 ! x 2 ! ::: x n et x n ! y est un lien ,alors !<br />
y est <strong>au</strong>ssi un chemin.<br />
si est un chemin, :x 1 ! x 2 ! ::: x n et x n 9 y est un lien ,alors 9<br />
y est <strong>au</strong>ssi un chemin.<br />
Denition 10.4 Deux chemins s'appelent conictuels s'ils ont la forme: x ! <br />
! yetx! 9 y<br />
Un chemin du graphe correspond a une cha^ne de raisonnement. De maniere<br />
intuitive on peut dire que l'armation \x est un y" est supportee par une<br />
hierarchie s'il existe un chemin dans la hierarchie de x a y. En presence du<br />
conit, une hierarchie peut toutefois supporter des armations contradictoires.<br />
Il est alors necessaire de mettre en oeuvre des strategies. L'un des mecanismes<br />
des plus connus de resolution de conits est le mecanisme ditde la specicite.<br />
Etant donnes deux chemins contradictoires un critere de preference base sur des<br />
considerations relatives a la forme de la hierarchie, resout le conit en faveur de<br />
l'un d'eux. Le critere de preference est le suivant: soit y et z les noeuds de depart<br />
des derniers liens de deux chemins contradictoires, partant de x. S'il est possible<br />
d'etablir que l'entite y est plus specique que l'entite z, la contradiction est levee<br />
en faveur du chemin passant par y. De maniere intuitive, une entite y est plus<br />
specique qu'une entite z par rapport a x, s'il existe un chemin menant de x a z<br />
qui passe par y.
264 Les hierarchies d'heritage et la LDO<br />
Les exemples suivants sont consideres comme classiques dans la litterature.<br />
Ils ont ete analyses par plusieurs outils taxinomiques.<br />
Exemple 1 (L'<strong>au</strong>truche)(Cf. gure 10.6)<br />
L'entite p est plus specique que l'entite o. Le chemina! p 9 v sera prefere<br />
<strong>au</strong> chemin a ! o ! v.<br />
Cet exemple est traite par la LDO (Cf. gure 10.7):<br />
La LDO donne la construction: v ! o ! o ! p ! a ! a <br />
En plus elle donne l'in<strong>format</strong>ion qu'une <strong>au</strong>truche qui ne vole pas est typique<br />
en tant qu'<strong>au</strong>truche et atypique en tant qu'oise<strong>au</strong>.<br />
Exemple 2 [Cro95] (Le diamant de Nixon)(Cf. gure 10.8)<br />
Dans ce cas la lemecanisme delaspecicite n'est plus applicable parce que<br />
pour les chemins n ! q ! petn! r 9 p les noeuds q et r sont egalement<br />
speciques.<br />
La LDO analyse cet exemple par (Cf. gure 10.9):<br />
Les deux chemins p ! q ! n et p ! r ! n montrent que Nixon est<br />
un quaker typique (parce qu'il est paciste) et un republicain atypique pour la<br />
m^eme raison.<br />
Exemple 3 [Cro95]<br />
Soit la hierarchie (Cf. gure 10.10):<br />
Le rese<strong>au</strong> est lu:<br />
Les p ont la propriete non r: p 9 r.<br />
Les q ont la propriete r: q! r.<br />
Les a sont des p avec la propriete non r: a ! p 9 r.<br />
Les a sont des q avec la propriete r: a! q ! r.<br />
Les p sont des s avec la propriete non u: p ! s 9 u.<br />
Les p sont des t avec la propriete u: p! t ! u.<br />
Les u sont des q : u ! q.<br />
Tous les chemins de a a r et leurs interpretations sont:<br />
Les a sont des p avec non r: a ! p 9 r.<br />
Les a sont des p, donc des t avec u , donc des q avec r:<br />
a ! p ! t ! u !q ! r.<br />
Les a sont des q avec r: a ! q ! r.<br />
Le chemin a ! p 9 r sera prefere <strong>au</strong> chemin a! q ! r dans l'extension<br />
contenant le chemin a ! p ! t ! u ! q. Mais il existe une extension contenant<br />
le chemin a ! p ! s 9 u dans laquelle p n'est pas plus specique que q car elle<br />
ne contient pas de chemins menant a q et passant par p.<br />
Cette hierarchie est traitee par la LDO (Cf. gure 10.11):<br />
Un a est un p atypique qui a la propriete r.<br />
et
Conclusions 265<br />
Un a est un q typique qui a la propriete r.<br />
soit<br />
Un a est un p typique qui n'a pas la propriete r.<br />
et<br />
Un a est un q atypique qui n'a pas la propriete r.<br />
10.3 Conclusions<br />
La LDO comme systeme de categorisation est un systeme qui prend en compte<br />
les deux dimensions cognitives suivantes:<br />
le conceptuel exprime par l'organisation de l'ensemble F.<br />
l'objectal exprime par l'organisation de l'ensemble O.<br />
Ella represente toute une <strong>au</strong>tre demarche par rapport <strong>au</strong>x categorisations<br />
traditionnelles. La LDO a comme point de depart les elements suivants:<br />
la structuration des concepts et ses implications sur la construction des<br />
objets.<br />
la construction des objets totalement determines se fait progressivement en<br />
passant par des objets plus ou moins determines.<br />
dans cette construction intervient l'operateur de determination. Cet operateur<br />
aete totalement ignore par la logique classique, mais toujours thematise par la<br />
grammaire.<br />
La LDO comme systeme de categorisation n'est plus une categorisation de<br />
type extensionnelle. Elle engendre des objets plus ou moins determines en considerant<br />
a chaque moment les deux structures (F !) et(O6).<br />
Comme systeme logique, la LDO a deux parties:<br />
la partie inferentielle, <strong>au</strong> nive<strong>au</strong> des concepts <br />
la partie constructiviste, <strong>au</strong> nive<strong>au</strong> des objets.<br />
La macrostructure est dierente de la logique classique. Elle raisonne sur des<br />
objets. L'articulation entre inferentiel et constructiviste est realiseeparlebiais<br />
de la structure applicative.<br />
Son infrastructure represente une modelisation be<strong>au</strong>coup plus ne de certaines<br />
valeurs semantiques attribuees par la cognition a deux de ses primitives:<br />
la determination<br />
la typicalite.<br />
Cette infrastructure est une representation de ce que Curry considerait comme<br />
la morphologie d'un systeme applicatif : la construction des objets du systeme.<br />
La comparaison entres les hierarchies d'heritage et les constructions de la LDO<br />
montre les possibilites des extensions vers l'implementation et de la construction<br />
des algorithmes pour les problemes lies a l'heritage.
266 Les hierarchies d'heritage et la LDO<br />
O<br />
un ^etre vivant<br />
?<br />
un animal<br />
?<br />
un oise<strong>au</strong><br />
) <br />
un oise<strong>au</strong> qui vole<br />
H HHHHHj<br />
un oise<strong>au</strong> qui ne vole pas<br />
<br />
?<br />
<br />
?<br />
un canari<br />
une <strong>au</strong>truche<br />
?<br />
)<br />
<br />
Q QQ<br />
Qs<br />
Kiki<br />
une <strong>au</strong>truche<br />
qui ne vole pas<br />
<br />
une <strong>au</strong>truche<br />
qui vole <br />
?<br />
?<br />
Julie<br />
Rita<br />
Figure 10.2: Le probleme de l'<strong>au</strong>truche en LDO
Conclusions 267<br />
u<br />
u<br />
u<br />
vivant<br />
;<br />
H HHHHHHHHHHHHHHHj<br />
;<br />
;<br />
voler<br />
;<br />
;<br />
; non-voler<br />
;<br />
;<br />
A un vivant<br />
AAAAAAAAAAAAAAAU<br />
qui ne vole pas<br />
<br />
/<br />
oise<strong>au</strong><br />
u<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
voler<br />
u<br />
? <strong>au</strong>truche<br />
- une <strong>au</strong>truche<br />
Q QQQQQQQQs<br />
<br />
<br />
<br />
u<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Julie<br />
u<br />
?<br />
u<br />
un vivant qui vole<br />
oise<strong>au</strong><br />
u <br />
?<br />
<br />
<br />
<br />
@ un oise<strong>au</strong><br />
<br />
@@@@@@@@@@@@@R<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
un oise<strong>au</strong><br />
qui ne vole pas<br />
une <strong>au</strong>truche qui vole<br />
voler<br />
voler<br />
canari<br />
u<br />
un<br />
canari<br />
Julie Rita Kiki<br />
u<br />
?<br />
Kiki<br />
Figure 10.3: Le probleme de l'<strong>au</strong>truche en LDO-les determinations
268 Les hierarchies d'heritage et la LDO<br />
Z}<br />
Z<br />
Z<br />
ne pas ^etre pacifiste<br />
Z<br />
Z<br />
^etre pacifiste<br />
contradictionZ<br />
Z<br />
@I<br />
@<br />
Z<br />
; ;;;;;; Z 3<br />
^etre republicain<br />
^etre homme<br />
^etre quaker<br />
Z} Z<br />
Z<br />
Z<br />
*<br />
Nixon<br />
Figure 10.4: Le rese<strong>au</strong> semantique pour le probleme de Nixon
Conclusions 269<br />
f:= un homme<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
Z ZZ<br />
Z~<br />
2<br />
g<br />
x:= un republicain<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
y<br />
Z ZZ<br />
N 1 g Z~<br />
y'<br />
N 1 g<br />
<br />
<br />
<br />
y''<br />
x':= un quaker<br />
Q QQQQs<br />
y'''<br />
g<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
P PPPPPPPPPPPPP<br />
3<br />
Pq<br />
4<br />
) <br />
Nixon<br />
y:= un republicain pacifiste<br />
y':= un republicain non pacifiste<br />
y'':= un quaker non pacifiste<br />
y''':= un quaker pacifiste<br />
Figure 10.5: Le probleme de Nixon en LDO
270 Les hierarchies d'heritage et la LDO<br />
r<br />
r<br />
r<br />
r<br />
6<br />
6<br />
<br />
6<br />
v = (voler)<br />
o=(^etre oise<strong>au</strong>)<br />
p=(^etre phasianide)<br />
a=(^etre <strong>au</strong>truche)<br />
Figure 10.6: Le probleme de l'<strong>au</strong>truche<br />
<br />
<br />
r<br />
<br />
<br />
o <br />
(un oise<strong>au</strong> qui vole)<br />
(une <strong>au</strong>truche<br />
qui ne vole pas)<br />
v (un volant)<br />
A AAAAU<br />
ra <br />
r<br />
r<br />
r<br />
r<br />
o (un oise<strong>au</strong> qui ne vole pas)<br />
? p (un phasianide)<br />
? a (une <strong>au</strong>truche)<br />
;@ ;<br />
@@R<br />
a (une <strong>au</strong>truche qui vole)<br />
r<br />
r<br />
Figure 10.7: Le probleme de l'<strong>au</strong>truche en LDO<br />
p(^etre paciste)<br />
@I<br />
@<br />
@<br />
;@<br />
r<br />
@<br />
r<br />
; ;;;;;; ^etre quaker<br />
@<br />
@ ^etre republicain<br />
@I q<br />
r<br />
@<br />
@<br />
@<br />
@<br />
r<br />
@<br />
@; ;;;;;; ^etre nixon<br />
n<br />
Figure 10.8: Le diamant de Nixon
Conclusions 271<br />
un quaker<br />
paciste<br />
;<br />
;<br />
r<br />
p un paciste<br />
; A@ ; AAAAU @@@@@R<br />
<br />
<br />
r r r r<br />
;; <br />
J q q r r<br />
un un<br />
quaker republicain<br />
non-paciste paciste<br />
<br />
<br />
<br />
JJJJJJJ^ n<br />
r<br />
un republicain<br />
non-paciste<br />
Figure 10.9: Le diamant de Nixon en LDO<br />
p<br />
r<br />
;<br />
r@@<br />
t<br />
r r<br />
; ;;;;;; Q<br />
@@I QQQs<br />
r 3 @<br />
@u<br />
@@I<br />
@<br />
@<br />
@<br />
@<br />
Q QQQs<br />
@<br />
r<br />
3 @<br />
-@<br />
;<br />
@<br />
@<br />
@<br />
s<br />
@<br />
@<br />
@<br />
r ; ;;;;;;;<br />
a<br />
q<br />
Figure 10.10: Exemple de rese<strong>au</strong> semantique
272 Les hierarchies d'heritage et la LDO<br />
r<br />
r<br />
@<br />
@@@@@@@@@@@@R<br />
;<br />
'<br />
r<br />
&<br />
$<br />
p<br />
<br />
@<br />
@@@@@@@@@@@@R<br />
%<br />
r<br />
r<br />
r<br />
t<br />
s<br />
;<br />
a<br />
r<br />
u<br />
'<br />
r <br />
&<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
q<br />
<br />
$<br />
%<br />
Figure 10.11: Le rese<strong>au</strong> semantique de la g 10.10 en LDO
Chapitre 11<br />
Conclusions<br />
L'utilisation des modelisations-objet pour representer les connaissances a connu<br />
un important developpement en in<strong>format</strong>ique. Cette evolution provoque un<br />
regain d'inter^et pour la notion d'objet, dans le domaine de la logique.<br />
Cette etude represente la formalisation de la Logique de la Determination<br />
d'Objets (LDO) a partir des concepts de J.-P. Descles.<br />
L'idee d'etudier les particularites mises en evidence par la logique et par la<br />
linguistique dans le but de les integrer dans une theorie unitaire appartient a J.-P.<br />
Descles qui a initie cette etude. Cette \unication" conduit a une extension de<br />
la quantication traditionnelle.<br />
Nous avons tout d'abord realise uneetude critique des notions de quantication<br />
et de categorisation chez divers <strong>au</strong>teurs et dans diverses theories. Cette<br />
synthese nous a permis de faire une analyse de la quantication et de la categorisation<br />
et de relever les points forts et les points faibles de diverses theories, dans<br />
le but de les completer et de les integrer dans une theorie plus generale.<br />
En partant de l'idee que la quantication comme processus cognitif repose<br />
sur un systeme de categorisation, nous avons \couple" les deux notions. Nous<br />
avons etudie la categorisation du point de vue de l'aspect \d'arriere plan" de la<br />
quantication.<br />
Comme ces deux notions apparaissent egalement dans la logique et dans la<br />
linguistique, nous sommes partis d'une analyse de chacune dans les deux domaines<br />
: comment la quantication a ete construite dans la logique et quelle est<br />
sa categorisation sous-jacente. C'est en eet la logique qui, la premiere, parle<br />
explicitement de la quantication. La maniere dont la linguistique voit la quantication<br />
est distincte de celle de la logique.<br />
Cette etude realise d'abord une analyse de la quantication et de la categorisation<br />
sous-jacente par rapport <strong>au</strong>x problemes souleves par la logique et par la<br />
linguistique.<br />
La possibilite de la construction d'un systeme formel qui capte les \traits de
274 Conclusions<br />
nature logique" et de \nature linguistique" est une preuve de la pertinence de cette<br />
demarche. Elle a abouti et s'est concretisee dans le developpementdelaLDOet<br />
de son systeme de quanticateurs. La LDO est un systeme de categorisation qui<br />
tient compte de la determination et de la typicalite, son systeme de quanticateurs<br />
represente une theorie de la quantication. La LDO repond a certains problemes<br />
linguistiques et logiques et donne plus de lumiere dans des zones assez obscures<br />
jusqu'a maintenant de la cognition :<br />
{ La LDO donne a lavariable le statut d'objet plus ou moins determine, avec,<br />
comme initiateur l'objet totalement indetermine typique.<br />
{ La LDO decrit le processus de qualication par une cha^ne de determinations<br />
dont la primitive est l'operateur de determination .<br />
{ La dimension cognitive de la typicalite est representee par l'operateur de<br />
typication ().<br />
{ La quantication est representee par un systeme d'operateurs de quantication<br />
plus riche que le systeme classique (la theorie star). Les quanticateurs<br />
s'appliquent <strong>au</strong>x concepts et non pas a la proposition entiere comme dans la<br />
logique classique. C'est l'equivalent formel de la construction du syntagme<br />
nominal dans la grammaire.<br />
{ Le pronom est un operateur.<br />
{ Les connecteurs de la logique classique sont des operateurs, mais une semantique<br />
du langage doit prendre en compte d'<strong>au</strong>tres operateurs comme l'operateur<br />
de typication et l'operateur de determination ( et ).<br />
{ Le paradigme sujet-predicat appartenant a la grammaire est utilise ounon<br />
selon le cas et le nive<strong>au</strong> d'analyse.<br />
Cette etude a deux parties :<br />
{ L'analyse de la categorisation et de la quantication <br />
{ La formalisation de la LDO.<br />
La demarche suivie dans la formalisation est de veiller constamment a l'adequation<br />
du modele par rapport <strong>au</strong> domaine qui est dans ce cas le langage et la<br />
cognition. Nous avons appliquelamethode conformementa laquelle les constructions<br />
formelles developpees ne sont pas developpees \pour elles-m^emes", sans que<br />
l'on se preoccupe de leur domaine d'application eventuelle. Cette modelisation
275<br />
part des problemes linguistiques, comme la structure du syntagme nominal quantie,<br />
et cognitifs, comme la prise en compte de la typicalite, et les formalise.<br />
La LDO est une logique qui rend mieux compte des notions d'objet et de<br />
concept. Elle est a la fois une ontologie formelle et un systeme logique. Elle etend<br />
la notion fregeenne d'objet a l'objet \plus ou moins determine". La construction<br />
de ces objets se fait a partir d'un \representant objectal" du concept { l'objet<br />
typique totalement indetermine { par l'operation de determination. Ces notions<br />
sont traduites dans le formalisme par des operateurs primitifs. Une <strong>au</strong>tre dimension<br />
de la connaissance prise en compte par la LDO est la typicalite : les objets<br />
de la LDO sont typiques ou atypiques. Les inferences se font sur ces objets. C'est<br />
ici l'aspect d'ontologie formelle de la LDO.<br />
La LDO contient un systeme compose de quatre quanticateurs de base. Par<br />
rapport a la quantication classique construite avec deux quanticateurs, universel<br />
et existentiel, la LDO propose un quanticateur universel general et un<br />
quanticateur universel typique et un quanticateur existentiel general et un<br />
quanticateur existentiel typique. La portee de deux de ces quanticateurs est le<br />
syntagme nominal.<br />
La LDO represente par ses regles d'inference un systeme d'analyse de la transmission<br />
des proprietes d'heritage dans un rese<strong>au</strong> semantique. Le parallele entre la<br />
structure de concepts et la structure d'objets permet la construction d'algorithmes<br />
d'heritage plus facilement qu'avec des outils existants dans la representation des<br />
connaissances de l'I.A.<br />
La LDO ne s'eloigne pas de la logique classique. Elle n'est pas une logique de<br />
l'etrangete et du paradoxal. Elle explore <strong>au</strong> nive<strong>au</strong> des fondements conceptuels<br />
de la logique sans pour <strong>au</strong>tant rejeter la formalisation. Elle part du point de<br />
vue formel d'une \prelogique" { un systeme applicatif. Elle prend en compte le<br />
rapport syntaxe{semantique, ce que la deduction naturelle ne fait pas. La LDO<br />
est une logique applicative typee.<br />
Ses caracteristiques sont :<br />
{ Elle est un systeme de categorisation et notamment le systeme de categorisation<br />
sous-jacent a la quantication presentee dans cette etude.<br />
{ Elle est une logique non-classique dediee a la construction des objets.<br />
{ Elle est un systeme applicatif dans le sens de Curry.<br />
Les contributions originales de ce travail sont :<br />
{ Nous avons fait une analyse critique des contributions principales a la<br />
theorie de la quantication dans les chapitres 1 a 5.<br />
{ Nous avons formalise la LDO comme systeme logique dans le chapitre 6.
276 Conclusions<br />
{ Le systeme formel (les operateurs primitifs).<br />
{ Les regles de deduction.<br />
{ Les axiomes des operateurs.<br />
{ Dans le chapitre 6 nous avons fait une discussion critique sur le choix des<br />
axiomes et sur leur apport in<strong>format</strong>ionnel.<br />
{ Une analyse de la notion de \propriete" d'un objet par rapport a deux<br />
notions sous-jacentes : \^etre un..." (^etre engendre a partir de ...) et \avoir<br />
la popriete de ..." est realisee dans le chapitre 6.<br />
{ La comparaison entre la LDO et les rese<strong>au</strong>x semantiques, en ce qui concerne<br />
la typicalite, est faite dans le chapitre 10.<br />
{ Quelques tentatives, plus techniques, sur la structure concept-objet sont<br />
presentees dans le chapitre 9 : l'etude du rapport entre les notions de ltre,<br />
espace topologique, espace locologique et Etendue(f) l'etude de la notion<br />
d'ideal pour modeliser la classe Int f.<br />
{ Une semantique du type Kripke pour la LDO est construite dans le chapitre<br />
9.<br />
{ Les regles d'introduction et d'elimination des operateurs de quantication<br />
typique et leurs proprietes formelles sont donnes dans le chapitre 7.<br />
{ D'<strong>au</strong>tres operateurs de quantication (les operateurs fort<br />
2<br />
et faible<br />
2<br />
) et leur<br />
signication cognitive sont presentes dans le chapitre 7.<br />
{ Nous proposons une denition pour la quantication qui delimite les operateurs<br />
de quantication des <strong>au</strong>tres operateurs comme ceux de \denombrement<br />
ou de mesure" dans le chapitre 7.<br />
{ Nous presentons des exemples sur l'encodage en francais des operateurs de<br />
typcation () etdedetermination () et sur la construction des objets<br />
determines dans le chapitre 6.<br />
{ Nous presentons des exemples sur l'encodage en francais des operateurs de<br />
quantication dans le chapitre 7.<br />
Nous croyons que le but de cette etude, tel qu'il a ete enonce dans l'introduction,<br />
a ete accompli. Mais be<strong>au</strong>coup de problemes restent du domaine des<br />
recherches futures. Nous allons en citer quelques-uns, en les regroupant par<br />
categorie.
Il y a d'une part les problemes de nature theorique de conceptualisation et de<br />
formalisation.<br />
{ Dans le domaine de la conceptualisation :<br />
277<br />
{ Developper des variantes de la LDO en introduisant d'<strong>au</strong>tres formulation<br />
de l'axiome qui relie l'appartenance de l'objet typique a l'etendue<br />
par des conditions <strong>au</strong>tres que l'existence des objets typiques totalement<br />
determines (l'axiome A6).<br />
{ Denir un systeme pour des objets d'un type dierent du type J \objet<br />
individuel".<br />
{ Etudier d'<strong>au</strong>tres operateurs de quantication { en prenant en compte<br />
des dimensions cognitives <strong>au</strong>tres que la typicalite et les integrer dans<br />
le systeme de quantication.<br />
{ Etudier les operateurs de \denombrement et mesure".<br />
{ Dans le domaine de la formalisation :<br />
{ Denir d'<strong>au</strong>tres variantes formelles de la LDO en variant les hypotheses<br />
sur la compatibilite des concepts et en variant les regles d'heritage.<br />
D'<strong>au</strong>tre part, il y a les problemes des applications pour lesquels cette theorie<br />
aete concue : les applications de l'intelligence articielle et les applications<br />
linguistiques.<br />
{ Dans le domaine des applications de la LDO a l'I.A.:<br />
{ Approfondir les possibilites d'application de la LDO dans l'etude des<br />
rese<strong>au</strong>x semantiques et les problemes souleves par ces derniers.<br />
{ Donner des algorithmes d'heritage bases sur la LDO.<br />
{ Implementer la construction des objets par la LDO, c'est-a-dire construire<br />
un outil in<strong>format</strong>ique qui realise <strong>au</strong>tomatiquement cette construction.<br />
{ Dans le domaine des applications a la linguistique :<br />
{ Etudier l'encodage de la typicalite dans les langues naturelles.<br />
{ Etudier l'encodage de la quantication dans les langues naturelles.<br />
{ Etudier l'encodage des operateurs de \denombrement et mesure" dans<br />
les langues naturelles.
278 Conclusions<br />
Notre opinion est que la LDO et son systeme de quantication est un outil<br />
puissant en tant que logique non-classique et en tant qu'instrument d'analyse du<br />
langage.<br />
Nous considerons que l'importance de la LDO est double:<br />
comme logique elle represente un modele theorique pour la modelisation {<br />
objet en intelligence articielle, concurrent <strong>au</strong>x <strong>au</strong>tres logiques non-classiques.<br />
comme systemedecategorisation elle permet de denir une nouvelle theorie<br />
de la quantication be<strong>au</strong>coup plus adequate pour les langues naturelles que la<br />
quantication du calcul des predicats.<br />
Le rapport de la LDO avec d'<strong>au</strong>tres logiques non-classiques du point de vue<br />
formel merite d'^etre approfondi.<br />
Cette etude represente une premiere etape en ce qui concerne la formalisation<br />
vers une implementation in<strong>format</strong>ique. La deuxieme etape est d'ecrire des<br />
algorithmes bases sur la LDO pour l'analyse des rese<strong>au</strong>x semantiques et de les<br />
englober dans un outil in<strong>format</strong>ique qui realise une telle analyse. Le travail de<br />
cette these est continue dans ce sens par une <strong>au</strong>tre these en cours de redaction (J.<br />
Cardot) elaboree <strong>au</strong> sein de l'equipe Logique, Langage, In<strong>format</strong>ique et Cognition<br />
(LALIC) de l'Institut de Sciences Humaines Appliquees (ISHA) de l'Universite<br />
de Paris-Sorbonne.
Annexe A<br />
Demonstrations du chapitre 2<br />
I. Le paradoxe de l'extension Ext f d'un concept dans la theorie fregeenne :<br />
Le concept () est deni par :<br />
() =^etre l'extension d'un concept sous lequel cette extension ne tombe pas<br />
La loi V est interpretee par Frege dans le sens suivant : il existe une certaine<br />
fonction du second nive<strong>au</strong> qui attribue a tout concept du premier nive<strong>au</strong> une<br />
extension et cette fonction attribue la m^eme extension a deux concepts dierents<br />
si et seulement si exactement les m^emes objets tombent sous eux :<br />
{ 1. du second nive<strong>au</strong> telle que (f) = Ext(f)<br />
{ 2. (f) =(g) ssi Ext(f) = Ext(g)<br />
Nous avons, alors deux conditions sur cette fonction du deuxieme nive<strong>au</strong> :<br />
{ (Va) Si les concepts () et () du premier nive<strong>au</strong> sont tels que exactement<br />
les m^emes objets tombent sous eux, la fonction du deuxieme nive<strong>au</strong> leurs<br />
attribue la m^eme extension.<br />
{ (Vb) Si les concepts () et () du premier nive<strong>au</strong> ne sont pas tels que<br />
exactement les m^emes objets tombent sous eux, la fonction du deuxieme<br />
nive<strong>au</strong> leur attribue des extensions dierentes.<br />
Avec les remarques ci-dessus nous pouvons prouver :<br />
Si (Ext()) = > , alors (Ext()) = ?<br />
et<br />
Si (Ext()) = ? , alors (Ext()) = ><br />
La fonction du second nive<strong>au</strong> attribue <strong>au</strong> concept () une extension<br />
Ext(). On se demande si cette extension tombe ou ne tombe pas sous (elle<br />
etant un objet) :
280 Demonstrations du chapitre 2<br />
Supposons que Ext () tombe sous :<br />
Alors elle est l'extension d'un concept sous lequel elle ne tombe pas. Mais,<br />
par (Vb), elle ne peut tomber sous <strong>au</strong>cun concept <strong>au</strong>quel elle est associee comme<br />
extension, et ainsi, elle ne tombe pas sous () et (Ext()) = ? _<br />
Supposons que Ext ()ne tombe pas sous :<br />
Alors elle n'est pas l'extension attribuee a un concept sous lequel elle ne tombe<br />
pas. Mais, dans ce cas, par (Vb, comme elle doit tomber sous tout concept <strong>au</strong>quel<br />
elle est associee, donc elle tombe sous et (Ext()) = >.<br />
II. Le paradoxe du Russell :<br />
Soit U l'ensemble<br />
U = fx=x 62 xg<br />
ou x est un ensemble. Alors U est un ensemble paradoxal :<br />
Demonstration<br />
Si U2U alors U est un x, donc U62U.<br />
Si U62U, alors U est un x, donc U2U.<br />
d'ou le paradoxe.<br />
III. L'expression dans la logique combinatoire de l'assertion d'un contenu propositionnel<br />
et de sa negation d'apres Frege (l'operateur de jugement de Frege):<br />
Soient :<br />
A une proposition<br />
C l'operateur qui construit le<br />
contenu propositionnel de A<br />
J<br />
l'operateur d'assertion (il arme<br />
J(C(A))<br />
un contenu propositionnel)<br />
on arme (on fait le jugement du)<br />
le contenu propositionnel de A<br />
Nous avons :<br />
1. J(C A )<br />
2. B JCA 1.,i- B<br />
Pourlanegation (notee par \non") :<br />
1. J(non (C A ))<br />
2. J(B non C A) 1., i- B<br />
3. B 3 J B nonCA 2., i- B 3<br />
4. CB 3 J B non C A 3., i- C<br />
5. C 2 CB 3 B non J C A 4., i- C 2<br />
6. X JCA on note X = C 2 CB 3 B
Annexe B<br />
Demonstrations du chapitre 3<br />
(2) Les lois de l'associativite<br />
(i) + +( + ) =(+ ) +<br />
(ii)-- - - (- - --) = - -(- -- -) +--<br />
(ii)<br />
Le membre de g<strong>au</strong>che :<br />
(8x)((:(x)) :(:((8x):((x)) :(:((x))))))<br />
(8x)(:(x) ((8x)(:(x) (x))))<br />
(8x)((x) _ (x) _ (x))<br />
Le membre de droite:<br />
:((8x)(:(x) :(:((x))))) :(:(x))<br />
:((8x)(:(x) (x))) (x)<br />
(8x)((x) _ (x) _ (x))<br />
double negation<br />
p q p _:q<br />
p q p _:q<br />
double negation<br />
p q p _:q<br />
p q p _:q
282 Demonstrations du chapitre 3
Annexe C<br />
Demonstrations des theoremes<br />
du chapitre 7<br />
Theoreme 7.1 1. Etendue f Etendue g =) Ext f Ext g<br />
2. Ess f Ess g () Etendue g Etendue f<br />
3. Ess f Ess g =) Ext g Ext f<br />
4. Ext f T Ext g 6= ? =) Etendue f T Etendue g 6= ?<br />
Demonstration<br />
On suppose que Etendue f = Etendue f<br />
1. Si x 2 Etendue f implique x 2 Etendue g, alors l'implication reste valide<br />
pour un objet totalement determine x2 O det , donc Ext f ^Ext g.<br />
Le contre-exemple pour l'implication inverse: c'est le cas des concepts ayant<br />
deux intensions dierentes, mais la m^eme extension. Par exemple une conique<br />
est une courbe denie par:<br />
ou par<br />
ax 2 + by 2 +2cxy +2dx +2ey +2f =0<br />
\l'intersection d'un plan avec un c^one."(voir gure C.1)<br />
Ext f Ext g et pourtant Etendue (f) Etendue (g). Mais on peut<br />
remarquer qu'il existe x 2 Etendue (f) \ Etendue (g), tel que Ext x c =Ext<br />
f.<br />
2.Si Essf = f f 1 ,f 2 ,....f n gEssg = f f 1 ,f 2 ,....f n , f, g 1 ,g 2 ,....g m ,g g, alors il<br />
existe tel que g = ((f)), donc Etendue g Etenduef.
284 Demonstrations des theoremes du chapitre 7<br />
q<br />
f<br />
@ ;<br />
@@@@@@@@@@@@@@ ;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
x ;<br />
;<br />
Etendue f;<br />
Etendue g<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
q q<br />
;<br />
Extf<br />
<br />
q<br />
;<br />
q<br />
g<br />
<br />
Figure C.1: Contre-exemple du theoreme 7.1<br />
Si on suppose Etendue g Etenduef et Ess f 6 Ess g, il existe f i 2 Ess f<br />
qui n'est pas en Ess g.<br />
Par ailleurs, tout objet x de Etendue f est un point xe pour f i :<br />
((f i ) x) =x (1)<br />
Mais il existe y en Etendue g tel que:<br />
Comme y 2 Etendue f on a par (1):<br />
((f i ) y) 6= y (2)<br />
donc, contradiction entre (2) et (3).<br />
((f i ) y) =y (3)<br />
3. L'armation 3. est une consequence directe de 1. et 2.<br />
4. L'implication" =) " est triviale. L'<strong>au</strong>tre implication n'existe pas conformement<br />
<strong>au</strong> contre-exemple de la gure C.2 :<br />
Ext f \ Ext g = ? et<br />
Etendue f \ Etendue g 6= ?
285<br />
f<br />
g<br />
r<br />
B<br />
B<br />
B BBBBBBBBBBBBBBBB<br />
B <br />
<br />
B <br />
B<br />
<br />
Q B<br />
QQQQQQQQ B Etendue g<br />
B<br />
B<br />
B<br />
B<br />
B<br />
r B<br />
Etendue f B<br />
B<br />
B<br />
B<br />
Extf<br />
Extg<br />
Figure C.2: Contre-exemple dutheoreme 7.1
286 Demonstrations des theoremes du chapitre 7<br />
Les operateurs de quantication de plusieurs arguments.<br />
L'expression:<br />
1: (8 x 1 )[(f x 1 ) [(8 x 2 )[(g x 2 ) (P x 2 x 1 )]]]<br />
peut ^etre formalisee par:<br />
2 f( 2 g P')<br />
# i-B<br />
B( 2 f)( 2 g) P'<br />
# i-<br />
B 2 fgP'<br />
ou P' s'obtient par currication de P:<br />
((P x 2 ) x 1 ) (P' x 1 )<br />
En general:<br />
(P x n x n;1 :::x 1 ) (((P x n ) x n;1 ) ::: x 1 ) (P n x 1 )<br />
Par ailleurs l'expression 1. est: 3 f gP'. Donc: 3 f gP X 2 fgP'<br />
avec X = B<br />
L'expression:<br />
est<br />
2: (8 x 1 )[(f x 1 ) [(9 x 2 )[(g x 2 ) (P x 2 x 1 )]]]<br />
Elle peut ^etre formalisee <strong>au</strong>ssi par:<br />
() 3 fgP<br />
2 f( 2 g P')<br />
# i-B
287<br />
B( 2 f)( 2 g) P'<br />
# i-B<br />
B(B( 2 f)) 2 gP'<br />
# i-B<br />
BBB( 2 f)) 2 gP'<br />
# i-B<br />
B(BBB) 2 f 2 gP'<br />
# i-C 2<br />
d'ou<br />
X=C 2<br />
B (B BB)<br />
C 2 B(BBB) 2 f 2 gP'<br />
Pour Q n la demonstration se fait par recurrence:<br />
On suppose que toute expression applicative Q 1 f 1 (Q 2 f 2 (.....(Q n f n P n ))....)<br />
peut ^etre transformee en introduisant les combinateurs en X Q f 2 ...f n P n .<br />
Alors,<br />
Q f 1 (X Q f 2 ::: f n P n )<br />
# i-B n+1<br />
B n+1 (Q f 1 )XQf 2<br />
::: f n P n<br />
# i-B<br />
BB n+1 Qf 1 XQ f 2<br />
::: f n P n
288 Demonstrations des theoremes du chapitre 7<br />
# i-C 1 C 3<br />
C 3 C 1 BB n+1 f 1 XQQf 2 ::: f n P n<br />
# i-W 5<br />
W 5 C 3 C 1 BB n+1 f 1 XQf 2<br />
::: f n P n<br />
# i-C 4 C 6<br />
C 6 C 4 W 5 C 3 C 1 BB n+1 XQf 1 f 2<br />
::: f n P n<br />
d'ou<br />
Y=C 6 C 4 W 5 C 3 C 1 BB n+1 X
LES DEMONSTRATIONS ET LES CALCULS POUR LA<br />
SEMANTIQUE DE ∏ * ET ∑ * , ET DE π * ET ε *<br />
(chapitre 7)<br />
289<br />
Toutes les démonstrations utilisent les règles de la logique combinatoire ( L comb ) et de la<br />
logique classique ( L c ).<br />
I. Théorème 1 ( L comb )<br />
⇒β exp<br />
(N 0<br />
(f x))<br />
≡<br />
⇐β réd<br />
(((B N 0<br />
) f) x) d’ou N 1 = déf B N 0<br />
La négation N 0<br />
est notée simplement N.<br />
Le prédicat TYPIQUE (f) ( x) est noté ((Typ 2<br />
f) x) et (f x) ∧ (TYPIQUE (f) (x) = ⊥ par<br />
((Atyp 2<br />
f) x)<br />
II. Les relations entre ∏ 2 , ∏ * et ∑ 2 , ∑ *<br />
∏<br />
L'implication sémantique (L c ) ∏ 2 f g ⇒ g(∏ * f)<br />
1. ∏ 2 f g hypothèse<br />
1.1 ((Typ2 f) x), (f x) hypothèse<br />
1.2 ∏ 2 f g 1, réitération<br />
1.3 (g x) 1.1, 1.2 ∏ 2 - e<br />
1.4 g(∏ * f) 1.1 - 1.3, ∏ * -i<br />
2. g(∏ * f) 1, 1.2 - 1.4 ⊃ - e<br />
Les deux implications dans L comb ∏ 2 f g ⇒β réd g(∏ * f)<br />
g(∏ * f) ⇒β exp ∏ 2 f g
290 Demonstrations des theoremes du chapitre 7<br />
1. ∏ 2 f g<br />
2. (B C * ) ∏ * f g 1, ∏ 2 définition<br />
3. C * (( ∏ * f) g) 2, B - e<br />
4. (g (∏ * f)) 3, C * - e<br />
∑<br />
L'implication sémantique (L c ) ∑ 2 f g ⇒ g(∑ * f)<br />
1. ∑ 2 f g hypothèse<br />
1.1 ∑ 2 f g 1, réitération<br />
1.2 ((typ2 f) a),(f a)∧ (g a) 1.1, ∑ 2 - e<br />
1.3 (f a) ∧ (g a) 1.2, ∧- e<br />
1.4 g(∑ * f) 1.2 - 1.3, ∑ * -i<br />
2. g(∑ * f) 1, 1.1 - 1.4 ⊃ - e<br />
Les deux implications dans L comb ∑ 2 f g ⇒β réd g(∑ * f)<br />
g(∑ * f) ⇒β exp ∑ 2 f g<br />
1. ∑ 2 f g<br />
2. (B C * ) ∑ * f g 1, ∑ 2 définition<br />
3. C * (( ∑ * f) g) 2, B - e<br />
4. (g (∑ * f)) 3, C * - e<br />
III La négation des opérateurs ∏ 1 , ∑ 1 , ∏ 1<br />
* et ∑1<br />
*<br />
.<br />
La démonstration de (23):<br />
(N( ∏ f))<br />
1<br />
*<br />
∑ (N 1<br />
f) N∏ 1 - e (23)<br />
1<br />
1. (N (∏ 1 f)) hypothèse<br />
1.1 N (∑ 1<br />
* (N1 f)) hypothèse<br />
1.1.1 a, ((N 1 f) a) hypothèse<br />
1.1.2 N (∑ 1 * (N 1 f)) 1.1, réitération
291<br />
1.1.3 N ((N 1 f) a) 1.1.2, ∑ * 1 - e<br />
1.1.4 (f a) 1.1.3, th L c<br />
1.2. x, (f x) 1.1.1 - 1.1.4, N - i<br />
1.3. ∏ 1 f 1.2, ∏ 1 - i<br />
1.4. (N (∏ 1 f)) 1, réitération<br />
2. *<br />
(N (N ∑ 1 (N1 f))) 1.1 - 1.4, N - i<br />
3. *<br />
∑ 1 (N1 f) 2, N - e / N<br />
La démonstration de (22)<br />
*<br />
∑ (N f)<br />
1<br />
(N( ∏ f)) N∏ 1 - i (22)<br />
1<br />
1. ∑ 1<br />
* (N1 f) hypothèse<br />
1.1. ∏ 1 f hypothèse<br />
1.2. x, (f x) 1.1, ∏ 1 - e<br />
1.3 ∑ 1<br />
*<br />
(N 1 f) 1, réitération<br />
1.4 a, ((N 1 f) a) 1.3, ∑ * 1 - e<br />
1.5 a, (f a) 1.2, ∀ -e<br />
2. (N (∏ 1 f)) 1.1- 1.4,1.5, N - i<br />
La démonstration de (25):<br />
*<br />
(N( ∏ f))<br />
1<br />
∑ * 1<br />
((N 1<br />
f)∨ (Atyp 2<br />
f) N∏ * 1 - e (25)<br />
1. (N (∏ 1<br />
*<br />
f)) hypothèse<br />
2. (N (Typ 2 f) x) *<br />
1, ∏ 1 - e<br />
3. a, (N (Typ 2 f) a) 2, N ∀ - e<br />
4. *<br />
∑ 1 (N 1 (Typ 2 f)) 3, ∑ * 1 - i<br />
5. *<br />
∑ 1 ((N1 f) ∨ (Atyp 2 f)) 4, th.2<br />
La démonstration de (24):<br />
∑ 1<br />
(N 1<br />
f)<br />
*<br />
(N ( ∏ f)) N∏ * 1 - i (24)<br />
1
292 Demonstrations des theoremes du chapitre 7<br />
1. ∑ 1 (N 1 f) hypothèse<br />
1.1. ∏ * 1 f hypothèse<br />
1.2. x, ((Typ 2 f) x), (f x) *<br />
1.1, ∏ 1 - e<br />
1.3 ∑ 1 (N 1 f) 1, réitération<br />
1.4 ((Typ 2 (N 1 f)) a),((N 1 f) a) 1.3, ∑ 1 - e<br />
1.5 ((Typ 2 f) a) 1.2, ∀ - e<br />
2. (N (∏ * 1 f)) 1.1- 1.4,1.5, N - i<br />
(N ( ∑<br />
1<br />
f))<br />
*<br />
∏ ((N 1<br />
f)∨ (Atyp 2<br />
f) N∑ 1 - e (27)<br />
1<br />
La démonstration de (27):<br />
1. (N (Σ 1 f)) hypothèse<br />
2. (N (Typ 2 f) a) 1, Σ 1 - e<br />
3. a, (N (Typ 2 f) x) 2, N ∃ - e<br />
4. Π 1 (N 1 (Typ 2 f)) 3, Π 1 - i<br />
5. Π 1 ((N 1 f) ∨ (Atyp 2 f)) 4, th.2<br />
La démonstration de (26):<br />
*<br />
∏ (N 1<br />
f)<br />
1<br />
(N( ∑ f)) N∑ 1 - i (26)<br />
1<br />
1. ∏ 1 * (N 1 f) hypothèse<br />
1.1. ∑ 1 f hypothèse<br />
1.2. ((Typ 2 f) a), (f a) 1.1, ∑ 1 - e<br />
1.3 ∏ 1 * (N 1 f) 1, réitération<br />
1.4 ((Typ 2 (N 1 f)) x),((N 1 f) x) 1.3, ∏ * 1 - e<br />
1.5 ((Typ 2 f) a) 1.2, ∀ - e<br />
2. (N (∑ 1 f)) 1.1- 1.4, 1.5, N - i
*<br />
(N( ∑ f)<br />
1<br />
*<br />
∏ ((N 1<br />
f)∨ (Atyp 2<br />
f) N∑ * 1 - e (29)<br />
1<br />
293<br />
La démonstration de (29):<br />
1. (N (∑ 1<br />
* f)) hypothèse<br />
1.1 N N((∑ 1 * f) (N 1 f)) hypothèse<br />
1.1.1 x, ((N 1 f) x) hypothèse<br />
1.1.2 N (∏ 1 (N 1 f)) 1.1, réitération<br />
1.1.3 x, N ((N 1 f) x) 1.1.2, Π 1 - e<br />
1.1.4 x, (f x) 1.1.3, th L c<br />
1.2. a, (f a) 1.1.1 - 1.1.4, N - i<br />
1.3. *<br />
∑ 1 f 1.2,<br />
* Σ1 - i<br />
1.4. (N (∑ * 1 f)) 1, réitération<br />
2. (N (N ∏ 1 (N 1 f))) 1.1 - 1.4, N - i<br />
3. ∏ 1 (N 1 f) 2, N - e / N<br />
∏<br />
*<br />
1<br />
(N 1<br />
f)<br />
*<br />
(N( ∑ f)) N∑ * 1 - i (28)<br />
1<br />
La démonstration de (28):<br />
1. Π 1 (N 1 f) hypothèse<br />
1.1.<br />
*<br />
Σ 1 f hypothèse<br />
1.2. a, (f a) 1.1, Π 1 - e<br />
1.3 Π 1 (N 1 f) 1, réitération<br />
1.4 x, ((N 1 f) x) 1.3, Π 1 - e<br />
1.5 a, ((N 1 f) a) 1.2, ∀ - e<br />
2. (N (Σ * 1 f)) 1.1- 1.4,1.5, N - i<br />
*<br />
N(g( ∏ f))<br />
f(N 1<br />
g)<br />
∑<br />
2<br />
N ∏ * - e (31)<br />
La démonstration de (31):<br />
1 N (g (∏ * f)) hypothèse
294 Demonstrations des theoremes du chapitre 7<br />
1.1 N(∑ 2 f(N 1 g)) hypothèse<br />
1.1.1 (Typ 2 f) x), hypothèse<br />
(f x)∧(N(g x))<br />
1.1.2 (∑ 2 f(N 1 g)) 1.1.1, ∑ 2 -i<br />
1.1.3 N(∑ 2 f (N 1 g)) 1.1, réit.<br />
1.2 (∏ 1 (Typ 2 f)∧<br />
(N((f x)∧(N(g x)))))<br />
1.1.1-1.1.3,<br />
N - i<br />
∨<br />
∏ 1 (N (Typ 2 f))<br />
1.3 ∏ 1 (Typ 2 f),<br />
∏ 1 (N(Typ 2 f))<br />
N((fx)∧(N(g x))<br />
1.4 ∏ 1 (Typ 2 f), 1.3, la loi de g (∏ * f)) 1.3, prop. L c<br />
(N(f x))∨ (g x) De Morgan<br />
1.5 ∏ 1 (Typ 2 f), 1.4, th. L c N (g (∏ * f)) 1, réit.<br />
(f x) (g x)<br />
1.6 g (∏ * f)) 1.5, ∏ * - i<br />
1.7 N (g (∏ * f)) 1.réitération<br />
2. (N(N(∑ 2 f(N 1 g)) 1.1-1.7, N - i<br />
3. ∑ 2 f (N 1 g) 2, N - e / N<br />
Le passage de 1.3 à 1.4 utilise: ∏ 1 (N(Typ 2 f)) ⇒ g (∏ * f)) de L c .<br />
N(∑ 2<br />
fg)<br />
*<br />
(N 1<br />
g)( ∏ f)<br />
N∑ 2 - e (33)<br />
La démonstration de (33):<br />
1. N (∑ 2 f g) hypothèse<br />
1.1. N ((N 1 g)(∏ * f)) hypothèse<br />
1.2. ∑ 2 f (N 1 (N 1 g)) 1.1, N ∏* - e<br />
1.3 ∑ 2 f g 1.2, th Lc et Lcomb<br />
1.4 N (∑ 2 f g) 1, réitération<br />
2. N (N ((N 1 g)(∏ * f))) 1.1,1.3,1.4, N- i<br />
3. ((N 1 g)(∏ * f)) 2, N- e / N
∑ 2<br />
f(N 1<br />
g)<br />
N(g( ∏<br />
*<br />
f))<br />
N ∏ * - i (30)<br />
295<br />
La démonstration de (30):<br />
1. ∑ 2 f (N 1 g) hypothèse<br />
1.1 hypothèse<br />
1.2 ∑ 2 f (N 1 g) 1, réitération<br />
1.3 (Typ 2 f) a),(f a) 1.2, ∑ 2 - e<br />
∧ (N (g a))<br />
1.4 (Typ 2 f) a), (N(g a)) 1.3, ∧ - e<br />
1.5 (Typ 2 f) a), (f a) 1.3, ∧ - e<br />
1.6 (g a) 1.1-1.5, ∏ * - e<br />
2. N (g (∏ * f)) 1.1, 1.4-1.6, N- i<br />
Le théorème 1 est utilisé dans le passage de 1.2 à 1.3.<br />
*<br />
(N 1<br />
g)( ∏ f)<br />
N(∑ 2<br />
fg)<br />
N∑ 2 - i (32)<br />
La démonstration de (32):<br />
1. ((N 1 g) (∏ * f)) hypothèse<br />
1.1 ∑ 2 f g hypothèse<br />
1.2 (Typ 2 f) a),(f a)∧ (g a) 1.1, ∑ 2 -e<br />
1.3 ((N g) (∏ * f)) 1, réitération<br />
1.4 (Typ 2 f) a), (N (g a)) 1.3, ∏ * - e<br />
1.5 (Typ 2 f) a), (g a) 1.2, ∧ - e<br />
1.6 (N (g a)) 1.4, ∧ - e<br />
1.7 (g a) 1.5, ∧ - e<br />
2. N (∑ 2 f g) 1.1-1.7, N- i<br />
N( ∏ f g)<br />
2<br />
(N 1<br />
g)(∑ * f)<br />
N ∏ - e (35)<br />
La démonstration de (35):<br />
1 N (∏ 2 f g) hypothèse
296 Demonstrations des theoremes du chapitre 7<br />
1.1 N(N 1 g)(∑ * f) hypothèse<br />
1.1.1 a, (f a)∧ (N(g a)) hypothèse<br />
1.1.2 (N g) (∑ * f) 1.1.1, ∑ * -i<br />
1.1.3 N (N 1 g)(∑ * f) 1.1, réitération<br />
1.2 N ((f x)<br />
1.1.1-1.1.3, N - i<br />
∧ (N(g x)))<br />
1.3 (N (f x))∨ (g x) 1.2, la loi de De<br />
Morgan<br />
1.4 (f x) (g x) 1.3, th Lc<br />
1.5 ∏ 2 f g 1.4, ∏ 2 - i<br />
1.6 N (∏ 2 f g) 1, réitération<br />
2. NN(N 1 g)(∑ * f) 1.1-1.5,1.6, N - i<br />
3. (N 1 g)(∑ * f) 2., N - e / N<br />
Remarque: Les démonstration 31 et 35 diffèrent par le choix de l’objet x: typique ou<br />
atypique.<br />
N(g(∑ * f))<br />
∏ f (N 1<br />
g) N∑ * - e (37)<br />
2<br />
La démonstration de (37):<br />
1. N (g (∑ * f) hypothèse<br />
1.1 N ∏ 2 f (N 1 g) hypothèse<br />
1.2 (N N g)(∑ * f) 1.1, N ∏ 2 - e<br />
1.3 (g (∑ * f)) 1.2, N - e / N<br />
1.4 N (g (∑ * f) 1,réitération<br />
2. N N ∏ 2 f (N 1 g) 1.1-1.4, N - i<br />
3. ∏ 2 f (N 1 g) 2, N - e / N<br />
(N 1<br />
g)(∑ * f))<br />
N( ∏ f g)<br />
2<br />
N ∏ - i (34)<br />
La démonstration de (34):<br />
1. (N 1 g) (∑ * f) hypothèse<br />
1.1 ∏ 2 f g hypothèse
297<br />
1.1.1 (N 1 g) (∑ * f) 1,réitération<br />
1.1.2 x,<br />
1.1.1, ∑ * - e<br />
(f x)∧ (N (g x))<br />
1.1.3 (N(g x)) 1.1.2, ∧ - e<br />
1.1.4 (f x) 1.1.2, ∧ - e<br />
1.1.5 ∏ 2 f g 1.1, réitération<br />
1.1.6 (g x) 1.1.4,1.1.5, ∏ 2 - e<br />
1.2 N((N 1 g)(∑ * f)) 1.1.1-1.1.3,1.1.6,<br />
N- i<br />
1.3 (N 1 g)(∑ * f) 1,réitération<br />
2 N(∏ 2 f g) 1.1-1.2,1.3, N- i<br />
∏ 2<br />
f(N 1<br />
g)<br />
N(g(∑ * f))<br />
N∑ * - i (36)<br />
La démonstration de (36):<br />
1. ∏ 2 f (N 1 g) hypothèse<br />
1.1 g (∑ * f) hypothèse<br />
1.2 a, (f a) ∧ (g a) 1.1,∑ * - e<br />
1.3 ∏ 2 f (N 1 g) 1,réitération<br />
1.4 (f a) 1.2, ∧ - e<br />
1.5 (N (g a)) 1.3,1.4, ∏ 2 - e<br />
1.6 (g a) 1.2, ∧ - e<br />
2 N( g (∑ * f)) 1.1- 1.5,1.6, N - i<br />
La démonstration des théorèmes (38) et (39) :<br />
La démonstration de (38):<br />
Pour cette démonstration on procédera en deux étapes:<br />
et<br />
(N (g (π * f))) ((N 1 (Typ 2 g)) (∑ * f))) (a)<br />
((N 1 (Typ 2 g)) (∑ * f))) (((Atyp 2 g)(∑ * f)) ∨ ((N 1 g)(∑ * f))) (b)<br />
en utilisant le théorème :<br />
Théorème 2.(L comb )<br />
((N 1 (Typ 2 g)) x) ≡ ((Atyp 2 g) x) ∨ ((N 1 g) x) ≡ Φ (Φ ∨) Atyp 2 N 1 g x
298 Demonstrations des theoremes du chapitre 7<br />
1. (N (g (π * f))) hypothèse<br />
1.1 (fx) ((Typ 2 g) x) hypothèse<br />
1.2 (g (π * f)) 1.1, π * - i<br />
1.3 (N (g (π * f))) 1.réitération<br />
2. (f a) ∧ (N ((Typ 2 g) a)) 1.1,1.2,1.3, N - i<br />
3. (f a) ∧ ((N 1 (Typ 2 g)) a)) 2, th 1<br />
4. ((N 1 (Typ 2 g)) (∑ * f))) 3, ∑ * - i<br />
5. (f a) ∧ ((N 1 (Typ 2 g)) a)) 4, ∑ * - e<br />
6. (f a) ∧ (((Atyp 2 g) a) ∨ ((N 1 g) a)) 5, th. 2<br />
7. ((f a) ∧ ((Atyp 2 g) a))∨ ((f a)∧ ((N 1 g) a)) 6, distributivité<br />
8. (((Atyp 2 g)(∑ * f))∨ ((N 1 g)(∑ * f))) 7, ∑ * - i<br />
La démonstration de (39) utilise les théorèmes 3. et 4. :<br />
Théorème 3.(L comb )<br />
((Atyp 2 g) x) ⇒ N((Typ 2 g) x)<br />
Démonstration du théorème 3:<br />
1. ((Atyp 2 g) x) hypothèse<br />
1.1 ((Typ 2 g) x) hypothèse<br />
1.2 x=(δ g 1 )o... o ((δ g n )(τ g)) 1.1, Typ 2 - e<br />
1.3 ((Atyp 2 g) x) 1, réitération<br />
1.4 x=(δ a)o(δ g 1 )o... o ((δ g n )(τ g)) 1.3, Atyp 2 - e<br />
2 N((Typ 2 g) x) 1.1, 1.2, 1.4 N - i<br />
Théorème 4.(L comb )<br />
((N 1 g) x) ⇒ (N ((Typ 2 g) x))<br />
La démonstration de (46):<br />
1. (N (g (ε * f))) hypothèse<br />
1.1 a,(f a) ∧ ((Typ 2 g) a) hypothèse<br />
1.2 (g (ε * f)) 1.1,ε * - i<br />
1.3 (N (g (ε * f))) 1.réitération
299<br />
2. N ((f a) ∧ ((Typ 2 g) a)) 1.1,1.2,1.3, N - i<br />
3. (f x) (N ((Typ 2 g) x)) 2, th L c<br />
4. (f x) ((N 1 (Typ 2 g)) x)) 3,th.1<br />
5. (f x) ((Atyp 2 g) x))∨<br />
((N 1 g) x))<br />
4, th.2<br />
6. ∏ 2 f ((Atyp 2 g) ∨ N 1 g)) 5, ∏ 2 - i
300 Demonstrations des theoremes du chapitre 7
Annexe D<br />
Demonstrations des theoremes<br />
du chapitre 9<br />
Theoreme 9.1 Si (TYPIQUE x, y )=>, alors<br />
(i) Ness <br />
y c Ness x c<br />
et (1)<br />
(ii) Ess y c Ess x c [ Ness x c<br />
Demonstration<br />
Soit y =(x)<br />
(i) Si g 2 Ness y c est une propriete qui fait partie des proprietes non-essentielles<br />
typiques de x c mais qui n'est pas entree dans la cha^ne permetant le passage<br />
de x a y, donc g 2 Ness x c .<br />
(ii) Si g 2 Essy c , alors g est soit une propriete de Ness x c qui a ete utilisee<br />
dans la cha^ne , soit elle est de Essx c et elle est heritee pary c .<br />
Theoreme 9.2 (i) La relation 6 est une relation d'ordre.<br />
(ii) La relation 6 est une relation d'ordre.<br />
(iii) La relation 6 n'est pas reexive, mais elle est transitive.<br />
Demonstration<br />
(i) On prouve que pour tout x, y 2O:<br />
(1) x 6 x<br />
(2) si x 6 y et y 6 x, alors x = y<br />
(3) si x 6 y et y 6 z, alors x 6 z<br />
(1) x =( x)ou est la cha^ne vide.<br />
(2) Si x =(y) et y =( 0 x), alors on ne peut qu'avoir= 0 = et,<br />
donc x = y
302 Demonstrations des theoremes du chapitre 9<br />
(3) Si x =(y) ety =( 0 z) alors z =(( 0 )x)<br />
(ii)<br />
(1) x 6 x parce que x =( x) et on considere que la cha^ne vide est formee<br />
par des determinations typiques.<br />
(2) Si x 6 y et y 6 z, alors x = y Si x =( y) ety =( 0 x), alors<br />
= 0 = , donc x = y<br />
(3) Si x 6 y et y 6 z, alors x 6 z. Si x = ( y) et y = ( 0 z)<br />
et 0 contient que des determinations typiques, alors 0 contiendra que<br />
des determinations typiques. Donc x 6 z.<br />
(iii)<br />
Evidement x 6 x, donc 6 n'est pas reexive.<br />
Pour la transitivite, soit x 6 y et y 6 z. Pour simplication on suppose :<br />
et<br />
y =((g)x) etg 2 Ness x c<br />
z =((h)y) eth 2 Ness y c<br />
On a deux cas:<br />
(a) h 6= N 1 g (b) h = N 1 g<br />
(a) Si g est une instance atypique de x obtenue par l'application de g ,<br />
alors d'<strong>au</strong>tant plus z sera une instance atypique de x en etant obtenu par deux<br />
determinations atypiques g et h. Exemple : un homme unijambiste qui est<br />
borgne.<br />
(b) Si z =((N 1 g)(g)x). L'application de la determination construite avec<br />
la propriete contraire N 1 g n'annule pas l'atypicalite. Exemple : x := un oise<strong>au</strong><br />
y := une <strong>au</strong>truche z := une <strong>au</strong>truche qui vole.<br />
Theoreme 9.3 (i) L'ensemble (Etendue(f), 6 ) est un demi-treillis inferieur<br />
avecle plus petit element f.<br />
(ii) L'ensemble (Etendue (f), 6 ) est un demi-treillis inferieur avec leplus<br />
petit element f.<br />
Demonstration<br />
(i) Soient x, y 2 Etendue (f). On a trois cas:<br />
(a) x 6 y, alors inffx yg = x<br />
(b) y 6 x, alors inffx yg = y<br />
(c) x y sont incompatibles. Alors il existe z (<strong>au</strong> pire f) tel que z 6 x et z 6 y<br />
et pour tout z 0 , tel que z 0 6 x et z 0 6 y on a z 0 6 z (le plus grand minorant), donc<br />
inffx yg = z. Comme f 6 x 8x 2 Etendue(f), f est le plus petit element.<br />
(ii) M^eme demonstration.
303<br />
Theoreme 9.5 (i) F x est un ltre de Etendue (f).<br />
(ii) F x est un ltre de Etendue (f).<br />
(iii) F x est un quasi-ltre de Etendue (f).<br />
Demonstration<br />
(i) Soit x 2 Etendue(f)ety z 2 F x tels que y =(x)z =(x). Si et<br />
0 n'ont pas des determinations communes, alors y ^ z = x. Si \ 0 = 00 ,<br />
alors v =( 00 x) est tel que v = y ^ z.<br />
(ii) M^eme raisonnement.<br />
(iii) Pour l'ensemble F x on peut prouver que :<br />
8y 2 F x et z, tel que y 6 z on a z 2 F x . La premiere condition de la<br />
denition d'un ltre ne se verie pas pour F x .<br />
Theoreme 9.6<br />
Ext(f)=sup Etendue(f)<br />
Ext (f)=sup Etendue (f)<br />
Demonstration<br />
L'inclusion<br />
Ext (f)=sup Etendue (f)<br />
Ext(f) sup Etendue(f)<br />
resulte du fait que si x 2 Ext(f), alors<br />
(i) x > f<br />
et<br />
(ii) Si x 0 2 sup Etendue(f) est comparable avec x , tel que x 0 > x, alors<br />
x 0 = x.<br />
L'inclusion inverse resulte de : Si x 2 sup Etendue(f), alors x > f et<br />
8y y 2 Etendue(f) soit x > y, soit x et y sont incomparable, donc x ne peut<br />
plus ^etre determine, donc x 2 Ext( f).<br />
La demonstration du fait que Fil est une pretopologie:<br />
(1) ? , Etendue ( f) 2 Fil.<br />
(2) Soit F x et F y 2 Fil, alors F x<br />
S<br />
Fy =F z 2 Fil. (L'intersection de deux<br />
ltres est un ltre.)<br />
La demonstration du fait que T ltre est une topologie.<br />
(1) ? =F f<br />
? Etendue(f)=F f<br />
f .<br />
(2) Soit F f<br />
F 1<br />
et F f<br />
F 2<br />
. Alors, F f<br />
F 1<br />
T F<br />
f<br />
F 2<br />
=F f<br />
F 1\F 2.
304 Demonstrations des theoremes du chapitre 9<br />
(3) Si fF f<br />
Fi g i2I ,alors<br />
Si2I F f<br />
Fi<br />
=F f<br />
F ou F est le plus petit ltre tel que F S i2I F i .
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1.2 L'ontologie de l'objet : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5<br />
1.2.1 Un apercu historique sur l'ontologie de l'objet : : : : : : : 6<br />
1.2.2 L'ontologie de l'objet de la LDO : : : : : : : : : : : : : : : 11<br />
1.3 Categorisation et quantication en logique : : : : : : : : : : : : : 14<br />
1.4 Categorisation et quantication en linguistique : : : : : : : : : : : 16<br />
1.5 Categorisation en sciences cognitives : : : : : : : : : : : : : : : : 18<br />
1.6 Categorisation et quantication dans la LDO : : : : : : : : : : : : 19<br />
1.7 Description de ce travail : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 21<br />
2 La categorisation et la quantication dans la tradition logicophilosophique<br />
29<br />
2.1 Introduction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 29<br />
2.2 L'ideographie fregeenne : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 30<br />
2.2.1 La description de l'ideographie fregeenne : : : : : : : : : : 33<br />
2.2.2 La theorie fregeenne de la quantication : : : : : : : : : : 42<br />
2.2.3 Le systeme conceptuel fregeen : : : : : : : : : : : : : : : : 49<br />
2.3 La categorisation et la quantication de Peirce : : : : : : : : : : : 62<br />
2.4 La quantication de Russell : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 65<br />
2.5 La quantication de Peano : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 67<br />
2.6 Conclusions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 68<br />
3 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des<br />
ante-fregeens 71<br />
3.1 Introduction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 71<br />
3.2 Presentation du systeme de F. Sommers : : : : : : : : : : : : : : 73<br />
3.2.1 Y a-t-il des propositions atomiques? : : : : : : : : : : : : 73<br />
3.2.2 La theorie a deux termes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 77<br />
3.2.3 Le statut du pronom : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 80<br />
3.2.4 A-t-on besoin de l'identite? : : : : : : : : : : : : : : : : : 89
320 Table des matieres<br />
3.3 L'algebre de la LFT : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 92<br />
3.3.1 Expressions :categoremes, syncategoremes : : : : : : : : : : 93<br />
3.3.2 La description formelle de la LTP : : : : : : : : : : : : : 99<br />
3.3.3 L'algebre de la LFT (logique formelle des termes) : : : : : 101<br />
3.3.4 Exemples d'analyse en LFT : : : : : : : : : : : : : : : : : 105<br />
3.4 Conclusions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 107<br />
4 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des<br />
post-fregeens 111<br />
4.1 Introduction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 111<br />
4.2 Les problemes de categorisation-les traces lingustiques de la typicalite112<br />
4.3 Les problemes souleves par la logique : : : : : : : : : : : : : : : : 114<br />
4.3.1 Le statut de la variable : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 114<br />
4.3.2 Le statut du paradigme sujet-predicat : : : : : : : : : : : 115<br />
4.3.3 Y a-t-il d'<strong>au</strong>tres operateurs que les connecteurs logiques? : 116<br />
4.3.4 Le statut de la quantication : : : : : : : : : : : : : : : : 116<br />
4.4 La logique combinatoire : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 117<br />
4.4.1 Cadre general : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 117<br />
4.4.2 Combinateurs : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 120<br />
4.4.3 L'algebre des combinateurs : : : : : : : : : : : : : : : : : : 125<br />
4.4.4 Solutions des quelques problemes par la logique combinatoire126<br />
4.5 Conclusions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 128<br />
5 La quantication en linguistique 129<br />
5.1 Introduction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 129<br />
5.2 Quanticateurs generalises : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 130<br />
5.2.1 Bref apercu sur la theorie des types de R. Montague : : : : 130<br />
5.2.2 La theorie des quanticateurs generalises : : : : : : : : : : 131<br />
5.2.3 L'interpretation operationnelle de la theorie des quanticateurs<br />
generalises : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 141<br />
5.3 Critique de la theorie de E.Keenan : : : : : : : : : : : : : : : : : 141<br />
5.4 Conclusions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 143<br />
6 La categorisation 145<br />
6.1 Introduction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 145<br />
6.2 Concepts et objets plus ou moins determines : : : : : : : : : : : : 150<br />
6.2.1 Theorie des types : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 152<br />
6.2.2 Classe structuree des concepts : : : : : : : : : : : : : : : : 154<br />
6.2.3 Classe structuree d'objets : : : : : : : : : : : : : : : : : : 155<br />
6.2.4 Application des concepts <strong>au</strong>x objets : : : : : : : : : : : : : 157<br />
6.3 Operateurs de typicalite etdedetermination associes a un concept 159
Table des matieres 321<br />
6.4 La structure de la classe Intf : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 160<br />
6.5 Compatibilite - incompatibilite : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 163<br />
6.6 Typique - atypique : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 170<br />
6.7 Engendrement a partir de l'objet typique : : : : : : : : : : : : : : 171<br />
6.8 Les axiomes des operateurs et : : : : : : : : : : : : : : : : : : 177<br />
6.9 La theorie des types de la LDO : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 188<br />
7 La quantication 191<br />
7.1 Introduction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 191<br />
7.2 Les operateurs classiques de quantication : : : : : : : : : : : : : 194<br />
7.2.1 Les operateurs de quantication dans la theorie des modeles 196<br />
7.2.2 Presentation de la quantication par la deduction naturelle 201<br />
7.3 Les operateurs de quantication de Curry : : : : : : : : : : : : : : 204<br />
7.4 La semantique de la quantication : : : : : : : : : : : : : : : : : 206<br />
7.5 Proposition d'une nouvelle semantique : : : : : : : : : : : : : : : 208<br />
7.6 Une nouvelle theorie de la quantication : : : : : : : : : : : : : : 209<br />
7.6.1 La denition des operateurs ? et ? : : : : : : : : : : : : 209<br />
7.6.2 Autres operateurs de quantication : : : : : : : : : : : : : 216<br />
7.6.3 Le comportement des operateurs de quantication versus<br />
la negation classique : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 218<br />
7.6.4 Exemples : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 221<br />
7.6.5 Exemples de textes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 226<br />
7.6.6 Les quanticateurs de plusieurs arguments : : : : : : : : : 227<br />
7.7 Proposition d'une nouvelle theorie generalisee : : : : : : : : : : : 230<br />
7.8 Conclusions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 232<br />
8 La description syntaxique de la LDO 235<br />
8.1 Caracterisation generale des regles de deduction : : : : : : : : : : 235<br />
8.2 Une description de la LDO{la formalisation du systeme : : : : : : 236<br />
8.3 Les regles de la LDO : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 237<br />
9 Une semantique pour la LDO 241<br />
9.1 Quelques notions de base de la theorie des treillis : : : : : : : : : 241<br />
9.2 Espace pretopologique, topologique et locologique : : : : : : : : : 245<br />
9.3 Le ltre engendre par f : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 248<br />
9.4 Une locologie sur Etendue(f) :h(Ext( f)) = Ext (f) : : : : : : 250<br />
9.5 La semantique locale de Kripke pour l'Etendue(f) : : : : : : : : 251<br />
9.6 L'intension d'un concept et les ide<strong>au</strong>x : : : : : : : : : : : : : : : : 252
322 Table des matieres<br />
10 Les hierarchies d'heritage et la LDO 255<br />
10.1 Exemples : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 255<br />
10.1.1 Le probleme de l'<strong>au</strong>truche : : : : : : : : : : : : : : : : : : 255<br />
10.1.2 Le diamant de Nixon : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 258<br />
10.1.3 Le jour du 1 er mars a Brest : : : : : : : : : : : : : : : : : 260<br />
10.2 Les hierarchies d'heritage et la LDO : : : : : : : : : : : : : : : : : 261<br />
10.2.1 La formalisation logique des hierarchies d'heritage : : : : : 261<br />
10.2.2 Une analyse par la LDO des quelques hierarchies d'heritage 262<br />
10.3 Conclusions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 265<br />
11 Conclusions 273<br />
A Demonstrations du chapitre 2 279<br />
B Demonstrations du chapitre 3 281<br />
C Demonstrations des theoremes du chapitre 7 283<br />
D Demonstrations des theoremes du chapitre 9 301
Liste des gures<br />
1.1 Les objets determines dans la LDO : : : : : : : : : : : : : : : : : 25<br />
1.2 La modelisation en linguistique d'apres J.-P. Descles : : : : : : : : 26<br />
1.3 La quantication linguistique : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 27<br />
1.4 Une classication epistemologique des logiques : : : : : : : : : : : 28<br />
2.1 L'univers conceptuel de Frege : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53<br />
3.1 La classication du pronom d'apres Sommers : : : : : : : : : : : : 88<br />
6.1 Le probleme de l'<strong>au</strong>truche : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 149<br />
6.2 La compatibilite de type redondant : : : : : : : : : : : : : : : : : 164<br />
6.3 La compatibilite detypeC 2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 165<br />
6.4 La compatibilite detypeC 3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 165<br />
6.5 La compatibilite detypeC 4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 166<br />
6.6 La compatibilite detypeC 5 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 166<br />
6.7 Les classes Int f et Comp f : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 169<br />
6.8 L'etendue et l'extension d'un concept : : : : : : : : : : : : : : : : 173<br />
6.9 La distribution des concepts entre Ess f et Ness f : : : : : : : : : 175<br />
6.10 La distribution des concepts entre Ess f et Ness f : : : : : : : : : 176<br />
6.11 Exemple 1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 180<br />
6.12 Exemple 2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 180<br />
6.13 Exemple 3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 181<br />
6.14 Exemple 4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 181<br />
6.15 Le carre engeometrie-1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 183<br />
6.16 Le carre engeometrie-2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 183<br />
6.17 Le triangle equilateral : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 184<br />
6.18 La construction de racine(2) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 186<br />
7.1 Le carre d'Aristote : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 195<br />
7.2 Le carre d'Aristote pour les operateurs illatifs de quantication : : 207<br />
7.3 L'espace total et l'espace typique : : : : : : : : : : : : : : : : : : 214<br />
7.4 Le carre d'Aristote pour les operateurs ? et 2 : : : : : : : : : : 220<br />
7.5 Le cube de J.-P. Descles : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 234
324 Liste des gures<br />
9.1 La structure de ltres de Etendue(f) : : : : : : : : : : : : : : : 253<br />
9.2 Theoreme d'immerssion pour Etendue (f) : : : : : : : : : : : : : 254<br />
9.3 Une locologie sur Etendue(f) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 254<br />
9.4 Fil est une topologie sur Etendue(f) : : : : : : : : : : : : : : : 254<br />
10.1 Le rese<strong>au</strong> semantique pour le probleme de l'<strong>au</strong>truche : : : : : : : 257<br />
10.2 Le probleme de l'<strong>au</strong>truche en LDO : : : : : : : : : : : : : : : : : 266<br />
10.3 Le probleme de l'<strong>au</strong>truche en LDO-les determinations : : : : : : : 267<br />
10.4 Le rese<strong>au</strong> semantique pour le probleme de Nixon : : : : : : : : : : 268<br />
10.5 Le probleme de Nixon en LDO : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 269<br />
10.6 Le probleme de l'<strong>au</strong>truche : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 270<br />
10.7 Le probleme de l'<strong>au</strong>truche en LDO : : : : : : : : : : : : : : : : : 270<br />
10.8 Le diamant de Nixon : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 270<br />
10.9 Le diamant de Nixon en LDO : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 271<br />
10.10Exemple de rese<strong>au</strong> semantique : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 271<br />
10.11Le rese<strong>au</strong> semantique de la g 10.10 en LDO : : : : : : : : : : : : 272<br />
C.1 Contre-exemple du theoreme 7.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 284<br />
C.2 Contre-exemple du theoreme 7.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 285