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UNIVERSITE PARIS IV { SORBONNE
ECOLE DOCTORALE CONCEPTS ET LANGAGES
(Nd'enregistrement attribue par la bibliotheque)
TH ESE
pour obtenir le grade de
DOCTEUR DE L'UNIVERSITE PARIS IV
Discipline : Informatique
presentee et soutenue publiquement
par
Anca Vaetus{Pascu
le 30 juin 2001
Titre :
Logique de la Determination d'Objets : concepts de
base et mathematisation en vue d'une
modelisation{objet
Directeur de these :
Professeur Jean-Pierre Descles
JURY
MM. : Michel De Glas Rapporteurs
Ioannis Kanellos
MM. : Francois-Gilles Carpentier Examinateurs
Jean-Pierre Descles
Denis Mieville

\C'est une verite generalement admise que le langage est un instrument de la
raison humaine,
et non pas simplement un moyen d'expression de la pensee."
G. Boole
\Mais penser n'est-ce pas parler? Comment est-il possible que la pensee entre en
conit avec le langage?
n'est-ce pas la unconit ou lapensee entre en guerre avecelle-m^eme?
La possibilite delapensee n'y trouverait-elle pas son terme?"
G. Frege

Remerciements
Mes remerciements s'adressent tout d'abord a Monsieur Jean-Pierre Descles,
Professeur a l'Universite de Paris-Sorbonne et directeur de l'Ecole Doctorale
Concepts et Langage, qui m'a recu dans l'equipe LALIC et qui a initie et dirige
cette etude.
Je tiens a remercier aussi les membres du jury.
Je remercie Monsieur Michel De Glas, Directeur de Recherches au CNRS et
Monsieur Ioannis Kanellos, Ma^tre de Conferences a l'ENST-Bretagne qui ont
bien voulu accepter la charge de rapporteurs, et dont les critiques et encouragements
m'ont ete precieux.
Je remercie egalement Monsieur Denis Mieville, Professeur, Recteur de l'Universite
de Neuch^atel et Monsieur Francois-Gilles Carpentier, Ma^tre de Conferences
a l'Universite de Bretagne Occidentale qui ont accepter de juger ce travail.
Par ailleurs, je tiens a remercier les nombreuses personnes gr^ace a qui ce travail
a pu aboutir.
Monique Le Coz, responsable honoraire du Departement Informatique de la
Faculte des Lettres de l'U.B.O., m'a encourage a mener a bien cette these dont
elle a relu et commentea plusieurs reprises le manuscrit. Qu'elle recoive ici toute
ma gratitude.
Je remercie enn mes collegues du Departement d'informatique de la Faculte
des Lettres et de l'ISHA.

Chapitre 1
Introduction
La logique est la science ayantpour objet de determiner,
parmi toutes les operations intellectuelles tendant a laconnaissance duvrai,
lesquelles sont valides, lesquelles ne le sont pas.
A. Lalande
Qu'est-ce qu'une logique?
Voila quelques reponses possibles [Des01] :
Un art pour bien raisonner?
Une methode d'argumentation?
Une science de la demonstration?
Une discipline dont la norme est la verite?
Une etude des operations mentales?
Une identication des lois de la pensee?
Une composition formelle des concepts?
Une analyse mathematique du langage des mathematiques?
Une recherche sur les fondements theoriques de l'informatique?
Ces questions traversent l'histoire de la logique et leurs reponses representent
l'evolution de la logique a travers des siecles.
La logique classique a ete developpee et utilisee pour etablir les bases du
raisonnement ou pour construire un fondement theorique des mathematiques
ou d'autres sciences \deductives". L'intelligence articielle utilise aujourd'hui

4 Introduction
d'autres logiques { des logiques non-classiques { pour modeliser des situations
reelles ou la connaissance est incomplete et imprecise, ou il est necessaire de
faire des hypotheses plausibles, parfois refutables a posteriori, par l'acquisition
de nouvelles connaissances.
Ce travail presente les aspects theoriques et la formalisation de la Logique de
la Determination d'Objets (LDO). La Logique de la Determination d'Objets
(LDO) est une logique non-classique, un systeme de categorisation comprenant
une theorie de la quantication.
Cette logique a ete introduite pour permettre de resoudre certains problemes
en linguistique informatique et de developper des applications notamment en
traduction automatique.
1.1 Pourquoi categorisation et quantication?
Nous vivons dans un monde d'objets, nous sommes confrontes chaque jour avec
ces objets par leur \perception", par le discours a leur sujet. Notre cognition sur
les objets du monde est complexe et variee. Si on accepte que cette cognition est
basee sur un ensemble de processus, il faut accepter un premier decoupage qui se
fait selon le paradigme : qualier{quantier.
Le dictionnaire donne pour chacun sa denition :
Qualier : = caracteriser une chose en la designant de telle maniere, attribuer
une qualite.
Quantier = attribuer une mesure, attribuer une quantite a une chose.
Les entites du monde sont qualiables et quantiables. Comprendre l'organisation
du monde revient a ledecouper dans des modeles dans lesquels ces
objets sont regroupes dans des sous-ensembles. On les regroupe selon certains
criteres. On les qualie. On determine l'ordre de grandeur des sous-ensembles.
On les quantie. Il est generalement accepte que les operations cognitives de
qualication (determination) conduisent comme resultat a desclassications ou
categorisations ou encore, ontologies. Les operations de quantication conduisent
a etablir l'ordre de grandeur des classes. C'est le sens \commun", \ordinaire" de
la qualication et de la quantication. Mais il a fallu d'abord que l'humanite
decouvre le concept de \nombre" pour se rendre compte du sens de la quantication.
Les notions de quantication et de qualication comme les notions d'objet,
de classe, de categorie sont assez oues dans le sens ordinaire et assez eloignees
du sens que leur ont attribue les dierentes sciences vues comme domaines de la
connaissance. Ce sont les sciences qui ont commence a construire des categorisations
de leurs objets de travail dans le but d'etudier leurs proprietes. En m^eme

L'ontologie de l'objet 5
temps elles ont essaye d'etablir un rapport entre les dimensions des classes. Elles
se sont crees leurs propres procedes de categorisation et de quantication. Les
mathematiques par exemple, ont \invente" les dierents ensembles de nombres
dont la construction a comme base un procede classicatoire. Ce sont toujours les
mathematiques qui ont \invente" la quantication pour exprimer le fait qu'une
certaine classe n'est pas vide, ou que toute une classe est comprise dans une
autre :
Tout x est y
Il y a des x qui sont y
Mais tout d'abord il faut s'interroger sur l'objet :
Qu'est-ce qu'un objet?
A quelles conditions la connaissance d'un objet est-elle possible?
Pourquoi la connaissance est-elle une connaissance d'objets?
Quel est le principe de l'unite des objets?
Comment fonder une ontologie?
1.2 L'ontologie de l'objet
Une ontologie est une classication ou une categorisation. Quelle est la dierence
entre une classication et une categorisation?
Selon J.-P. Descles :
Une classication represente une simple distribution des objets
dans des classes, tandis qu'une categorisation contient en plus des
classes, les relations entre ces classes. Une categorie ne peut ^etre
pensee qu'avec d'autres categories. Une categorie est plus qu'une
classe. Elle ne se denit pas par elle-m^eme. Elle rentre dans des
hierarchies.
Une ontologie est plut^ot une categorisation qu'une classication. Un premier
probleme qui se pose est la relation entre l'ontologie du sens commun qui
parle d'objets et l'ontologie formelle, liee classiquement et traditionnellement a
la logique qui specie les proprietes des objets, en utilisant la theorie de la quantication
et des modeles [Nef98].

6 Introduction
1.2.1 Un apercu historique sur l'ontologie de l'objet
Du point de vue historique les travaux sur l'ontologie de l'objet ont leurs sources
dans la metaphysique analytique liee a Kant et continuee par Nietzsche et Heidegger.
On a assiste a un renouvellement du projet d'ontologie formelle, ou de
metaphysique analytique, sous plusieurs formes concurrentes. Par cette expression
on entend l'investigation sur la nature ultime de la realite au moyen de la
methode d'analyse, investigation qui peut prendre plusieurs formes, purement
conceptuelles ou egalement formelles.
Mais qu'est-ce que l'ontologie formelle? Ce terme appara^t vers 1900 chez
Husserl et en m^eme temps chez Meinong sous le nom de la \theorie de l'objet".
C'est une metaphysique rationnelle construite avec une methode, en general la
logique mathematique. Cette metaphysique rationnelle doit ^etre formelle c'est-adire
\transversale a toutes les ontologies materielles" { les ontologies relatives a
des domaines dierents d'objets, le contenu specique de tel ou tel savoir. F. Nef
montre que R. Ingarden dans \Der Streit um die Existenz der Welt" distingue
trois types d'ontologies [Nef98]:
Ontologie existentielle : recherche des dierents modes d'existence des objets
Ontologie materielle : etude des aspects qualitatifs des objets
Ontologie formelle : investigation des formes d'objets, a priori, independamment
du type d'objectiviterealisee dans la structure ontique particuliere du
monde actuel.
Les deux premieres ontologies ont une forte composante descriptive, tandis
que l'ontologie formelle est beaucoup plus normative.
F. Nef montre que la denition de Ingarden peut ^etre modiee en :
Une ontologie formelle est une investigation des caracteres generaux
des objets, mais qui ne se confond pas avec une description. La description
presente les dierents types d'objets sans une hierarchie des
species (sur-classes) dont l'objet est la specie ultime. Une ontologie
formelle doit tenir compte de certaines hierarchies.
On voit que si l'ontologie du sens commun peut ^etre consideree comme une
classication, alors une ontologie formelle doit ^etre necessairement consideree une
categorisation.
La theorie de l'objet a sa source dans la philosophie transcendantale de Kant.
On trouve chez Kant pour la premiere fois le concept quasi formel d'objet. Pour
Kant l'objet transcendantal est le correlat entre le sujet transcendantal et l'objet

L'ontologie de l'objet 7
transcendantal. Il est \quelque chose en general" , un \X". Le sujet transcendantal
est le \Je" de la pensee, une loi d'unication du divers de la conscience.
Brentano (1838-1917) classie la pensee-connaissance en :
Presentation
Jugement
Emotion.
L'ontologie correspondante est :
objets { correlats possibles de la presentation.
etats de choses { correlats des actes de jugements.
valeurs { correlats des actes de preference.
Frege considere la notion de l'objet comme une notion premiere, implicitement
posee:
Je considere une denition analytique impossible, parce que nous
avons ici quelque chose qui, a cause de sa simplicite, n'admet pas
d'analyse logique. Il est seulement possible d'indiquer ce qui est signie.
Meinong (1853-1920) considere en plus des objets non-existants:
Le contenu d'une idee existe necessairement en tant que partie
integrante d'une idee, m^eme si l'objet n'existe pas du tout. [Fin33]
Meinong distingue au moins deux types d'objets inexistants :
Les objets dont la non-existence est purement empirique : un roman de S.
Kripke.
Les objets avec des proprietes contradictoires : le carre rond.
Le point de vue de Meinong est :
[...] imaginer un centaure n'est certainement pas la m^eme chose
que ne rien imaginer bien au contraire, puisqu'imaginer un centaure
n'est pas la m^eme chose qu'imaginer un grion. Or, si et l'un et
l'autre n'etaient rien, c'est-a-dire etaient de pures non-entites,iln'y
aurait, semble-t-il, aucune dierence entre imaginer l'un et imaginer
l'autre. [Nef98]

8 Introduction
Pour Meinong l'objet est au-dela del'^etre et du non-^etre il est exterieur au
fait de l'^etre. Il n'echappe pas au tiers exclu, mais plut^ot il verie : qu'il soit ou
qu'il ne soit pas, il est un objet.
Cette distinction est a l'origine de celle faite par E. Mally entre des proprietes
constitutives (nucleaires) et des proprietes extra-constitutives (extra-nucleaires).
Une propriete nucleaire est par exemple \bleu", tandis qu'une propriete extranucleaire
est soit \complet", soit \contradictoire".
Les objets peuvent ^etre complets ou incomplets. Ceux qui appartiennent a la
realite eective sont complets, en vertu du principe du tiers exclu. Mais les objets
abstraits, comme le triangle, ne sont pas complets. L'objet conceptuel triangle
est tel qu'il lui manque certaines determinations.
Frege nous legue le moyen d'operer une approche purement syntaxique de
l'objet a partir de la logique de la quantication. Husserl fournit, avec le concept
d'ontologie formelle liee a la logique, un cadre de recherches et Meinong pose
un programme a la fois empirique et rationnel pour hierarchiser les objets. Le
developpement des theories neo-meinongiennes de l'objet devient un programme
de recherches sur la semantique des referents de discours.
Pour Wittgenstein, dans le Tractatus [Wit93] les objets sont des constituants
ultimes de la realite. Pour lui un objet est simple et il se constitue dans des
complexes :
Je ne puis que nommer les objets. Des signes en sont les representants.
Pour Quine [Qui60] les objets sont relatifs a des manieres de parler. On peut
en faire la genese dans l'apprentissage du comportement linguistique. Quine se
limite a un sous-ensemble d'objets : les corps solides.
L'ontologie des sciences est particuliere a chaque domaine scientique.
Dans l'ontologie des mathematiques, le passage des ensembles aux categories,
la reinterpretation de l'inni dans l'analyse non-standard, le developpement des
modeles dynamiques d'inspiration topologique ont une portee ontologique qui renouvelle
l'approche de ce domaine. Les ontologies mathematiques ont evolue a
partir de simples classications vers des categorisations. L'ontologie de la microphysique
est liee au probleme des proprietes enmecanique quantique. Dans
la science une ontologie des objets ne se limite pas aux objet perceptibles : une
galaxie lointaine, une particule elementaire sont des objets, les nombres sont des
objets. Les objets de Meinong et Husserl etaient des objets perceptibles, des individus
\en chair et en os" pris dans les us et coutumes de la reference naturelle
et commune. Plus tard on a admis d'autres types d'individus.
Mais l'ontologie de l'objet commence asedenir comme theorie formelle en
m^eme temps que les semantiques formelles.
La theorie de la verite deTarski debouche sur les semantiques formelles. Un
modele est un triplet

L'ontologie de l'objet 9
M = hL D Ii
ou L est un langage, D est un domaine qui contient toutes les entites individuelles,
I une fonction (dite d'interpretation) qui associe a tout terme elementaire du
langage une entite deD.
La semantique formelle se propose de decrire de facon recursive l'interpretation
des enonces de L, sous la forme de conditions de verite par rapport au modele M.
L'ontologie intervient dans la construction du modele au moins de trois points de
vue distincts :
Les entites admises dans D
Les criteres d'admission dans D
Le choix entre deux modeles M et M 0 .
La semantique formelle et l'ontologie formelle ne se reduisent pas l'une a
l'autre. La semantique formelle consiste en une interpretation des expressions du
langage L, l'ontologie a une organisation du domaine D, soit en rapport avec L,
soit independamment deL.
J. Hintikka (1994) [Nef98] a montre que la semantique formelle decrit le rapport
entre le langage et la \realite" par le biais d'une ontologie. En analysant une
distinction de J. Van Heijenhoort entre la logique vue comme langage et la logique
vue comme calcul, Hintikka considere que dans la philosophie contemporaine du
langage il y a deux courants : l'un represente par Frege, Russell, Wittgenstein qui
considerent le langage comme un medium universel, l'autre represente par Tarski
et Godel le considerant comme un calcul.
Les resultats de Godel (son theoreme sur l'incompletude) ont conduit areviser
la conception husserlienne de l'ontologie formelle au moins sur un point : comme
toute ontologie formelle qui inclut l'arithmetique est deductivement incomplete,
il faut aaiblir la notion de completude. L'ideal de la completude identie par la
derivabilite de toutes les propositions dans un systeme doit ^etre remplace par un
ideal aaibli qui consiste en une ontologie formelle qui represente \la formalisation
complete d'un corps d'enonces" [Lad57].
La theorie des types de Russell introduit dans l'ontologie formelle une hierarchisation.
C'est une ontologie formelle stratiee. La denition russellienne d'un
objet est : un objet est une classe \en tant que une" par opposition a la classe
\en tant que plusieurs".
Les objets sont concrets ou abstraits. Les objets concrets sont naturels ou articiels.
Les objets naturels sont elementaires ou complexes. Les objets articiels
sont esthetiques ou sociaux. Les objets abstraits sont objets arbitraires, entites
theoriques, cta, possibilia.

10 Introduction
F. Nef considere que la taxonomie des objets est structuree par des oppositions
binaires de type categoriel :
1. general{particulier
general : accessible sous plusieurs instances indiscernables { par exemple
le triangle quelconque accessible sous de multiple realisations graphiques.
2. temporel{non-temporel
temporel : existant dans le temps et subissant des changements ou variations
a travers le temps.
3. actuel{non-actuel
actuel : occupant du monde actuel, present, passe ou futur.
4. existant{non-existant
existant : occupant present du monde reel. Ainsi Jules Cesar, les licornes
et les centaures sont non-existants. Le probleme delapredication sur du
non-existant ou du non-etant remonte au Sophiste de Platon. Le principe
aristotelicien de l'existence conformement auquel un non-existant n'a pas
de proprietes s'oppose aux approches platoniciennes qui analysent le nonexistant
comme existant d'une certaine maniere. L'ontologie est une theorie
des objets ou des types d'objets. Elle ne limite pas son domaine aux objets
existants (l'existence spatio-temporelle). Elle doit tenir compte de non-
^etres.
5. determine{indetermine
determine : susceptible d'^etre distingue sans risque d'erreur. Le cercle
n'est pas confondu avec le carre, Arsene Lupin avec Sherlock Holmes. Ils
sont determines.
6. complet{incomplet
complet :possedant toutes ses proprietes. L'objet complet est determine
par un nombre de proprietes connues, par exemple, le triangle.
Un exemple d'objet incomplet est l'objet quantique { on ne peut pas conna^tre
avec precision sa position et sa vitesse.
D'autres objets incomplets sont les objets mathematiques arbitraires et les
personnages de ction.
7. abstrait{ concret
abstrait : non instancie dans une matiere. Un objet abstrait n'a pas de r^ole
causal sur des objets concrets. Pour l'objet concret il y a deux possibilites :

L'ontologie de l'objet 11
percu, senti par un sujet.
un arrangement de particules dans l'espace - temps.
L'objet abstrait n'est pas percu.
8. dependant{independant
dependant : un objet est dependant s'il depend d'un autre pour ^etre un
objet. La dependance est une dependance structurelle. Une relation depend
des ses termes, les objets mentaux dependent de l'esprit.
9. subsistant{non-subsistant
subsistant : existant et dependant.
10. intermittent{non-intermittent
intermittent : qui n'existe ou ne subsiste pas de maniere continue.
Les objets arbitraires permettent une description des objets generiques qui
fournit une alternative a la solution classique en termes de quanticateurs standard
ou non-standard.
1.2.2 L'ontologie de l'objet de la LDO
La Logique de la Determination d'Objets (LDO) de J.-P. Descles est une
logique qui explore certains fondements conceptuels de la logique. Du point de
vue formel elle se deploie dans le cadre applicatif de Curry, c'est-a-dire dans ce
qu'il appelle une prelogique (Urlogik) ([Cur58], page 45).
Le programme de cette logique est ambitieux, mais semble raisonnable. Cette
logique en premier lieu, permet d'aner certaines notions anterieures : la notion
d'objet, la notion d'objet indetermine, la notion de typicalite, la notion de variable,
la notion de quanticateur formalisant les mecanismes de quantication
dans le langage.
Les objets, du point de vue de la LDO sont :
des objets de pensee
des objets concus comme des entites individuelles, certaines etant indeterminees
du point de vue de leur reference.
Plus precisement, dans la LDO nous ne nous occupons pas des objets de la
pensee en general. Nous considerons \l'objet fregeen" qui n'est pas soumis au
jugement puisque Frege opposait l'objet a la fonction. C'est la proposition qui
exprime le jugement. L'objet pour Frege est sature, la fonction ne l'est pas.

12 Introduction
Pour Frege les objets etaient totalement determines dans un sens technique
que nous donnerons a ce terme. Dans la LDO on part de l'idee qu'il existe des
objets de dierents degres de determination. La LDO les appelle \plus ou moins
determines". La classe de tous les objets O contient tous ces objets. Une sousclasse
de O est la classe des objets determines O det .Unobjet determine est un
objet tel que toute determination compatible avec la nature intrinseque de l'objet
n'apporte aucune information supplementaire sur l'objet. Il n'y a plus besoin de
determination pour individualiser cet objet. S'il est reel on peut le toucher, le
montrer etc.
Un objet constructible est un objet pour lequel nous avons une procedure
pour l'obtenir.
Un objet reel (existant) est un objet determine et constructible.
La dierence entre \construire" et \determiner" est : construire un objet signie
exhiber une procedure explicite pour obtenir cet objet determiner un objet
revient a lui appliquer des fonctions pour l'individualiser progressivement, pour
qu'il puisse ^etre distingue sans ambigute des autres objets auxquels il est comparable.
Les objets determines sont : les objets existants (O ex ), les objets existants
potentiels O ex;pot ) et les objets non-existants (O n;ex ).
Parmi les objets existants il existe des objets existants avec correlat empirique
(O excc ) et des objets existants sans correlat empirique (O exscc ). Les objets existants
avec correlat empirique sont soit les objets perceptibles, soit les objets pour
lesquels il y a une preuve empirique de leur existence sensible ou perceptible, soit
les objets pour lesquels nous avons des procedures explicites pour prouver leur
manifestation empirique : cet ordinateur (que vous voyez), Napoleon (l'histoire
nous donne la preuve de son existence). Les objets existants sans correlat empirique
sont les objets qui existent sans avoir une manifestation empirique. Pour un
objet existant sans correlat empirique, prouver son existence represente prouver
que ses proprietes sont non-contradictoires et pouvoir exhiber une preuve pour
le determiner. Pour le mathematicien les nombres reels ou e sont des objets
existants sans correlat empirique.
Parmi les objets non-existants il y a le carre rond ou le nombre p 2 comme
rationnel.
Les objets existants potentiels (O ex;pot ) sont les objets pour lesquels on n'a pas
la preuve de leur existence, mais ils sont parfaitement determines et ils pourraient
exister:
Objets de ction. Un personnage de ction n'existe pas, mais il est determine.
{ Les uns pourraient exister. Par exemple Madame Bovary : elle est
determinee, elle pourrait exister.

L'ontologie de l'objet 13
{ D'autres avec une probabilite moins grande. Le centaure Nessus de
la mythologie grecque est aussi parfaitement determine maisiln'a
pas une existence attestee. Pour chacun d'eux la construction est
denie dans un systeme cognitif coherent : le roman francais du XIX
eme siecle et la mythologie grecque. Ces sources font partie de notre
memoire collective, on leur a donne un statut. Ils n'ont pas le m^eme
statut.
Objets empiriques. Le monstre du Loch Ness n'est pas un objet existant
parce qu'on n'a pas la preuve empirique de son existence. Par sa nature empirique,
il est manifestable toutefois, certaines croyances (ou temoignages)
lui attribuent des manifestations empiriques. Le monstre de Loch Ness
n'a pas le m^eme caractere que Madame Bovary ou le centaure Nessus. Il
n'appartient pas a un systeme cognitif avec un statut deni.
Des objets mathematiques. Le cardinal (possible) compris entre @ 0 et @ 1
(le cardinal de

14 Introduction
Une approche fonctionnelle considere un concept comme un \operateur" et
un objet comme un \operande absolu". L'operateur est associe a la notion de
fonction, procedure, methode. Les objets peuvent ^etre vus comme des operandes
absolus. Ilyaunmonded'objets et un monde d'operateurs. Il a fallu les
relier, parce que chacun d'eux pris isolement ne permet pas d'apprehender de
tres nombreux problemes comme par exemple la predication, la quantication,
les modalites. C'est la logique combinatoire qui a propose une formalisation de
leur liaison.
1.3 Categorisation et quantication en logique
Une periodisation de l'histoire de la logique en tenant compte de sa problematique
nous conduit a distinguer les etapes suivantes :
1. Toute la periode de l'antiquite jusqu'au XIX eme siecle caracterisee par le
fait que la problematique se deploie sur deux axes :
celui du langage
celui du raisonnement.
2. Le debut de la periode de la \mathematisation " de la logique qui commence
avec Boole (1815-1864) et Peirce (1839-1914).
3. \Un tournant" avec Frege (1848-1925) son systeme logique ayant comme
but de fonder l'arithmetique echoue de ce point de vue, mais il represente
une mathematisation des notions comme quanticateur, variable liee, concept,
d'un c^ote et un systeme conceptuel pour l'analyse du langage de l'autre c^ote.
4. A partir de 1880, Dedekind, Peano et Russell continuentl'etude et l'analyse
du langage.
5. Dans \les annees 30", commence la periode des logiques non-classiques :
Gentzen (la deduction naturelle), Godel (theoremes d'indecidabilite) Lesniewski
(la mereologie), Turing (la calculabilite), Heyting et Kolmogorov
(la logique intuitionniste), Church ( - calcul) et Curry (la logique combinatoire).
6. Entre 1950 et 1960, apparaissent les logiques temporelles et modales.
7. Apres 1960, nouveaux developpements en logique voient le jour, a cause des
problemes poses par l'informatique theorique.

Categorisation et quantication en logique 15
8. A partir de 1980, les sciences cognitives et l'intelligence articielle ont amene
a introduire les logiques non-monotones et paraconsistantes.
Dans ce tableau la quantication se retrouve sous une forme intuitive (nonformalisee)
dans la premiere periode. Boole a \mathematise" les connecteurs
logiques et les quanticateurs en leur donnant une semantique en termes de
classes. Il n'y a ni notion de fonction, ni notion de concept chez Boole. Les
bases de la theorie de la quantication ont ete mises en place par Frege. Frege
a \mathematise" la quantication [Fre879], [Fre893]. Pour lui le concept est
une fonction non-numerique et le quanticateur un operateur qui s'applique au
predicat comme argument. C'est une rupture par rapport a la logique classique
d'avant (representee par la Logique de Port Royal [Arn93] et Leibniz [Lei*66])
pour laquelle le syntagme quantie etait l'argument du predicat. Les idees de
Frege sont oubliees et avec Peano et Russell la quantication s'integre dans le
calcul du premier ordre jusqu'a sa forme actuelle : la denition des quanticateurs
et leur regles de fonctionnement.
Les logiques non-classiques se caracterisent, en general, par la remise en cause
soit d'un axiome, soit d'une regle d'inference du systeme de la logique classique
(pour la logique intuitionniste { le tiers exclu, pour les logiques paraconsistantes
[DCo97] { le principe de non-contradiction...) et ont englobe la quantication
dans leur systeme. Elles gardent la demarche syntaxique de la logique classique.
Les logiques non-monotones dans lesquelles additionner des premisses aux premisses
de base ne garde pas la verite de la conclusion sont representees par les
logiques des defauts [Rei80], certaines logiques modales [MD80] et l'approche de
la circonscription [DCa97]. Le probleme de la quantication dans ces logiques est
de determiner les conditions dans lesquelles une action a lieu.
Les logiques d'inconsistance des defauts (IDL { Inconsistent Default Logic)
et les logiques de l'inconsistance epistemique (LEI { Logic of Epistemic Inconsistency)
[DCa97] representent des alternatives au raisonnement par defauts. Elles
apportent de nouveaux aspects a la non-monotonie et a la paraconsistance. La
quantication dans ces logiques est de m^eme nature epistemique que la quantication
de la logique classique.
L'idee \d'operatoriel (fonctionnalite)" de Frege est reprise par Curry [Cur58]
dont la logique combinatoire est un systeme non-classique ou la quantication est
exprimee d'une facon \fonctionnelle" par les \operateurs illatifs".
Sommers [Som82] revient a la logique antefregeenne dans sa \syntaxe logique",
mais en utilisant un outil proche de celui de Boole, de nature arithmetique.
En conclusion on peut dire que l'evolution de la quantication en logique du
point de vue epistemique s'est fait de la maniere suivante :
1. dire ce qu'est un syntagme quantie et operer avec des syntagmes quanties.

16 Introduction
2. dire que le quanticateur est un operateur qui s'applique au predicat.
3. donner la construction des expressions avec des quanticateurs et leur interpretation.
4. construire un systeme d'operateurs de quantication qui rend compte de la
typicalite.
La premiere demarche appartient a la logique ante-fregeenne, la deuxiemeest
celle de Frege. La troisieme est une des demarches post-fregeennes et notamment
elle est caracteristique de la theorie des modeles (chapitre7). La quatrieme est
celle de la LDO.
En ce qui concerne les approches post-fregeennes, a part celle caracteristique
de la theorie des modeles, il existe l'approche illative de Curry [Cur58] qui reproduit
Frege sans variable, celle de Sommers [Som82] qui renoue avec l'approche
ante-fregeenne, mais qui considere le quanticateur compris dans un operateur
plus general (chapitre 3).
Ceci est \l'etat des lieux" de la quantication dans la logique.
Une nouvelle approche, celle de J.-P. Descles [Des98b], [Des98d], [Des98g]
representee par la LDO (voir chapitre 6), est l'objet principal du present travail.
La categorisation trouvee comme arriere-plan de la quantication reste pour
tous, sauf pour Frege et pour Curry, la theorie des ensembles. Pour Frege
cette categorisation est donnee par son systeme conceptuel, pour Curry elle est
construite en m^eme temps que la logique combinatoire.
La LDO represente un systeme de categorisation et elle contient une nouvelle
theorie de la quantication (la theorie star).
1.4 Categorisation et quantication en linguistique
Le langage comme partie de la connaissance peut ^etre vu de deux points de vue :
Il est integre dans les autres domaines de la connaissance comme faisant
partie de la connaissance, donc son etude est regie par les m^emes procedes
que le domaine m^eme.
C'est une partie de la connaissance a part qui entretient certains rapports
avec les autres connaissances, donc son etude fait l'objet d'un domaine
propre, \la linguistique", qui developpe ses procedures et entretient des
rapports avec les autres domaines.

Categorisation et quantication en linguistique 17
Le premier point de vue est a la base des etudes de logique et fondements
des mathematiquesrealisees au XIX-eme siecle par Hilbert, Frege et au debut du
XX-eme siecle par Russell. Le deuxieme point de vue est celui qui determine la
constitution de la linguistique comme science.
La linguistique se developpe comme l'etude d'une langue naturelle. C'est ainsi
que debute et se constitue l'etude des grammaires. Au debut elle reste confondue
avec la logique. Pour Aristote l'etude de la langue se fait en m^eme temps du point
de vue des categories grammaticales et du point de vue du raisonnement. La
grammaire et la logique de Port-Royal le font de la m^emefacon. A partir de XX-
eme siecle avec Ferdinand de Saussure et plus tard avec Hjemslev et Bloomeld on
s'interesse au \sens" des \mots". C'est le debut de la \semantique". Les annees
1950 avec Chomsky sont marquees par le structuralisme. A partir de 1960, on
constate l'apparition des theories semantiques construites en utilisant la logique
classique ou les mathematiques comme outil de base. Ces theories se regroupent
en deux ensembles:
Les theories fondees sur la logique classique : Dummett, Geach, Sommers
Les theories basees sur une formalisation mathematique : Montague, Keenan,
Vanderveken.
En general les theories semantiques qui s'appuient sur la logique et sur la
modelisation adoptent une demarche partant de la logique vers la linguistique.
Elles partent d'un langage formel elles etendent eventuellement le langage en
introduisant de nouveaux operateurs, les representent danslemodele et l'on recherche
a posteriori si le modele capte ou non un probleme linguistique. Leurs
but n'est pas de partir de la linguistique et de retourner a la linguistique, mais
de developper le langage formel en soi.
La theorie de J.-P. Descles a une autre demarche : elle part de la linguistique
et revient a la linguistique. Le chemin epistemologique est le suivant (cf. gure
1.1) :
Identier le probleme linguistique d'apres son paradigme linguistique.
Modeliser ce probleme on obtient le modele.
Construire le correspondant du modele dans le langage formel.
Projeter ce correspondant et analyser ses consequences du point de vue
linguistique.
Si la projection du langage formel dans la linguistique donne des informations
pertinentes sur le probleme linguistique pose, on peut dire que la modelisation a
resolu totalement ou partiellement le probleme (voir la gure 1.2).

18 Introduction
Dans ce tableau la quantication est retrouvee sous la forme d'une etude
empirique des certaines categories de mots comprenant des mots comme : \tout,
quelques, chacun".
Par contre dans les theories semantiques construites sur la logique on retrouve
la quantication logique. Dans les theories semantiques fondees sur une formalisation
mathematique (Montague, Keenan) on retrouve une quantication dierente
de celle utilisee en logique, enrichie par plusieurs elements de nature purement
linguistique. C'est la theorie des quanticateurs generalises qui considere certains
determinants, dans le sens attribue par la linguistique, comme etant des
quanticateurs (cf. chapitre 5. Un essai de rapprochement de la quantication
linguistique et des approches logiques est presente dans [Bac95]. Les quatre
problemes suivants sur la quantication sont souleves et etudies dans ce recueil
d'articles :
Quelles sont les expressions qui encodent la quantication dans les langues
naturelles?
Quelle est leur structure semantique et leur degre d'universalite?
En ce qui concerne la quantication, existe-t-il des dierences systematiquement
correlees avec d'autres dierences entre les langues?
L'encodage de la quantication est-il adequat pour explorer le langage?
Une solution proposee dans l'article [Par95] est de decomposer le syntagme
quantie en trois elements (cf. schema de la gure 1.3) :
un operateur - le mot qui exprime la quantication.
un restricteur - le syntagme auquel l'operateur s'applique.
une portee nucleaire - le predicat.
M^eme s'il existe des essais visant a rapprocher la quantication en linguistique
de la quantication en logique, il n'existe pas de vraie theorie linguistique de la
quantication.
1.5 Categorisation en sciences cognitives
La periode a partir de 1980 se caracterise par le developpement des theories
semantiques basees plut^ot sur la psychologie cognitive. Parmi ces theories on
trouve celles de Langacker, Talmy,LeNy. Le probleme de la quantication n'est
pas aborde en tant que tel dans ces theories. Par contre, sur la categorisation, la

Categorisation et quantication dans la LDO 19
psychologie cognitive apporte des elements nouveaux. Rosch [Ros78] a developpe
une importante notion, celle de prototype, avec la dimension correspondante, la
typicalite. D'apres Roch un prototype est une sous-categorie, ou eventuellement,
un exemplaire qui constitue une \meilleure" representation de la categorie que
les autres sous-categories ou exemplaires. Rosch a montre que, si l'on contr^ole les
eets dus a lafrequence des mots dans la langue, le degre de typicalite des souscategories
joue un r^ole essentiel dans ces jugements. Dans sa conception c'est
la quantite de caracteristiques ou d'attributs que les sous-categories possedent
en commun qui determine leur ressemblance mutuelle et c'est semblablement
la quantite de caracteristiques qu'une sous-categorie possede en commun avec la
categorie superieure qui fait que la premiere est, a un degre plus ou moins eleve,
typique ou prototypique en regard de la seconde.
Le fait que les sous-categories d'une categorie n'entretiennent pas avec cette
derniere de relations parfaitement simples n'est pas tres facilement interpretable.
On ne voit pas comment le sous-ensemble des pommes pourrait ^etre \plus inclus"
que celui des tomates dans l'ensemble des fruits (Les fruits, notamment pour la
conception que s'en font les enfants occidentaux, sont le plus souvent consommes
comme desserts et composent des plats sucres. C'est moins habituel pour les
tomates que pour les pommes !) .
La typicalite de Rosch concerne les representations naturelles et elles seules,
celles qui sont presentes dans la memoire semantique des individus. Le mot
\typique" vise alors a designer une propriete d'une representation.
Ce sont des elements que les categorisations classiques de la logique ou des
mathematiques (notamment la theorie des ensembles) n'ont pas pris en compte.
Les categories des \mots" des grammaires non plus.
Peut-on avoir une categorisation qui tienne compte de ces elements?
Si oui, quelle est la quantication correspondante?
Voila des problemes auxquels doit repondre une theorie de la quantication
apres qu'on lui aura donne un statut plus clair.
1.6 Categorisation et quantication dans la LDO
La LDO est une logique qui rend mieux compte des notions d'objet et de concept.
Elle est a la fois une ontologie formelle et un systeme logique. En ce qui concerne
la categorisation, elle considere les objets \plus ou moins determines" comme
representants objectaux des concepts. Ces objets sont determines par des operations
de \determination" jusqu'aux objets determines. Du point de vue de la
construction des objets c'est un retour au coeur de la logique, notamment la Logique
de Port Royal, qui tenait compte de ce type d'operation. La determination
des objets est denie par rapport a une operation particuliere elle aussi appelee la

20 Introduction
determination. Cette operation a ete thematisee par la logique ante-fregeene et
surtout par la logique de Port-Royal. La construction des syntagmes nominaux
(termes) etait expliquee dans la logique de Port-Royal :
\Ce qu'il y a de plus remarquable dans ces termes complexes est
que l'addition qu'on peut faire a un terme est de deux sortes: l'une
qu'on peut appeler explication, et l'autre determination."
La logique ou l'art de penser, A.Arnauld, P. Nicole ([Arn70])
Cette operation a ete completement eacee par la logique mathematique qui
met dans la m^eme classe { la classe des fonctions { toutes les operations de
determination et de qualication distinguees par les langues naturelles.
Les langues naturelles distinguent ces operations par des procedes dierents
d'encodage. Donc, c'est en s'inspirant de la langue naturelle qu'on peut conferer
a ladetermination un statut particulier dans notre modele : le statut d'operateur
qui construit des objets plus ou moins determines.
La determination (comme indication sur l'extension) est condition
necessairepour qu'un terme puisse jouer le r^ole de sujet ou de predicat
dans une proposition.
L'analyse de langage a Port-Royal, J-C Pariente ([Par85])
Il y a un autre aspect pris en compte par la LDO : la typicalite des objets. Dans
la LDO les objets peuvent ^etre \typiques" ou \atypiques". Les objets typiques
sont les objets qui ne sont determines que par des determinations compatibles avec
toutes leurs proprietes denitoires. Les objets atypiques sont les objets qui ont ete
determines par au moins une determination niant une proprietedenitoire, mais
non-essentielle. La negation d'une proprietedenitoire n'appara^t pas comme une
contradiction parce que cette propriete est non-essentielle.
Dans la logique classique tous les objets sont typiques on peut m^emedireque
la notion d'objet n'existe pas.
Dans la LDO les notions d'objet, de concept, d'objet typique, d'objet atypique,
extension, extension typique, etendue, etendue typique sont les bases
conceptuelles du systeme.
L'analyse de l'evolution de la theorie de la quantication permet de determiner
les problemes epistemiques suivants :
Peut-on developper dans une logique formelle une theorie de la quantication
renouant avec la quantication classique ou le quanticateur s'applique
au syntagme nominal de facon que le syntagme quantie devienne argument
du predicat.
Y a-t-il des quanticateurs \typiques compatibles"?

Description de ce travail 21
Cette logique formelle peut-elle ^etre construite avec les outils de la logique
et des mathematiques contemporaines?
La LDO apporte une reponse armative a ces questions.
La quantication de la LDO (representee par la theorie star { voir le chapitre
7) essaie de :
Prendre en compte les acquis de Frege et garder le caractere operatoriel de
la quantication fregeenne.
Aller au-dela de la quantication fregeenne et construire une theorie de
la quantication qui renoue avec certains problemes de la quantication
classique.
La quantication de la LDO porte sur les objets existants, determines et typiques.
En decouplant toutes ces notions on s'apercoit qu'il y a des quanticateurs
typiques et atypiques. La LDO reinterprete les quanticateurs fregeens, etablit
que l'un d'eux est typique et l'autre atypique et introduit deux autres quanticateurs
en construisant un systeme coherent. Il n'existe pas une equivalence entre
Qfg et g(Q ? f). L'un est typique, l'autre ne l'est pas.(cf chapitre 7
La LDO ne s'eloigne pas de la logique classique. Elle n'est pas une logique de
l'etrangete et du paradoxal. Elle explore au niveau des fondements conceptuels
de la logique sans pour autant rejeter la formalisation. Elle part du point de
vue formel d'une \prelogique" { un systeme applicatif. Elle prend en compte le
rapport syntaxe{semantique, ce que la deduction naturelle ne fait pas. La LDO
est une logique applicative typee.
Curry [Cur58] montre qu'on peut obtenir plusieurs logiques a partir d'un
systeme applicatif en fonction des primitives rajoutees a ce systeme. La LDO est
une d'entre elles avec ses primitives, les operateurs et (voir la gure 1.4).
1.7 Description de ce travail
Cette etude s'inscrit dans le cadre de la theorie semantique de J.-P. Descles appelee
Grammaire Applicative et Cognitive (GA et C). Dans cette theorie, le
rapport entre les langues naturelles et la cognition est distribue sur trois niveaux
[Des90b] :
le niveau phenotypique { le niveau d'encodage dans les langues naturelles
qui transforme le sens dans des expressions langagieres.
le niveau genotypique { le niveau d'abstraction ou le sens est represente par
des expressions d'un langage symbolique, de nature logique.

22 Introduction
le niveau cognitif { le niveau d'abstraction qui construit le sens a partir de
certaines primitives.
Cette theorie vise a creer des outils theoriques pour la linguistique informatique.
La theorie de J.-P. Descles est construite avec la logique combinatoire comme
outil logique de base. Son systeme de categorisation a comme point de depart le
systeme conceptuel de Frege. Mais, il en diere par une autre notion \d'objet"
qui recouvre l'objet fregeen et l'objet de Curry. La notion de concept est celle
de Frege. Une notion tres importante, celle de \determination" est comprise
dans le systeme categoriel constitue par la Logique de la Determination d'Objets
(LDO). C'est l'equivalent formel de l'operation cognitive de \qualication". La
theorie de la quantication, basee sur ce systeme categoriel est une extension de
la quantication classique, elle prend en compte une autre dimension cognitive
dans la \mesure des choses"{ la typicalite.
Le but de notre etude est de :
Realiser une analyse de la quantication et la categorisation sous-jacente
dans la logique et la linguistique.
Recenser les avantages et les desavantages des approches analysees par rapport
aux problemes souleves par la logique et la linguistique.
Presenter l'approche uniee de la categorisation et de la quantication de
J.-P. Descles (la LDO) par rapport aux autres approches.
Realiser une formalisation de la LDO comme systeme de categorisation (la
LDO { chapitres 6 et 8) qui contienne un systeme d'operateurs de quanti-
cation (chapitre 7).
Cette etude releve de la logique informatique :
Les constructions faites representent une forme d'application de la logique
a l'informatique.
Les constructions faites gr^ace a l'operation de determination visent une
ecacite plus grande des modelisations en se situant dans le cadre des langages
applicatifs de la logique combinatoire. Elles visent une modelisation
informatique. Le travail realise dans cette these represente les fondements
theoriques pour une modelisation et une implementation informatique. Cette
premiere etape sera suivie d'applications, notamment la these (en cours) de
J. Cardot ou la LDO est appliquee dans un algorithme qui gere l'heritage
des proprietes dans un reseau semantique (modelisation et implementation
dans un langage objet).

Description de ce travail 23
La LDO aide a mieux comprendre la logique sous-jacente a lamodelisation
objet.
La LDO aide a faire progresser certains travaux en linguistique informatique
: les systemes a base de connaissances, la modelisation des interfaces
en langues naturelles.
La LDO represente une alternative d'analyse des reseaux semantiques concernant
les problemes d'heritage.
La justication et les raisons de la construction de la LDO apparaissent suite
a une analyse de la categorisation et de la quantication dans la logique et la
linguistique. Cette these contient deux parties distinctes :
Une analyse de la categorisation et de la quantication dans la logique et
linguistique. Cette analyse motive et justie la deuxieme partie.
La construction de la LDO.
Le travail est structure delamaniere suivante :
Le chapitre 2 presente le systeme conceptuel de Frege et sa theorie de la
quantication vus au travers d'une analyse critique de ses contributions a la
logique du langage. Les approches de Russell, Peano et Peirce sont brievement
rappelees.
Le chapitre 3 contient l'analyse de la theorie fregeenne du langage et une
critique de cette theorie avec les arguments des ante-fregeens, realisee par un
post-fregeen : F. Sommers.
Le chapitre 4 contient une analyse critique de Frege par des arguments postfregeens.
La logique combinatoire de Curry est presentee et ses capacites applicatives
sont exempliees.
Dans le chapitre 5 nous presentons une theorie de la quantication d'origine
linguistique, la theorie des quanticateurs de Keenan.
Le chapitre 6 contient la description du systeme conceptuel de la LDO.
Le chapitre 7 presente d'abord un tableau de la quantication chez Quine,
chez Curry et dans le calcul du premier ordre (theorie des modeles etdeduction
naturelle). Ensuite, on introduit le systeme des operateurs de quantication de
J.-P. Descles (la theorie star). On donne les regles syntaxiques et la semantique
de ces quanticateurs en termes de classes d'objets . Cette theorie est comparee
avec la theorie star et nous proposons quelques directions de developpement.
Le chapitre 8 presente la formalisation de la LDO.
Le chapitre 9 presente une semantique en termes de classes d'objets de la
LDO.

24 Introduction
Le chapitre 10 analyse le rapport entre la LDO et les reseaux semantiques.
On donne des exemples d'inferences en LDO.
Quelques directions de developpement sont presentees en conclusion.
Nous avons presente en annexe de chaque chapitre, selon le cas, soit les demonstrations
des theoremes ou des proprietes contenus dans ce chapitre, soit des
exemples de calcul dans le systeme presente dans ce chapitre.

Description de ce travail 25
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
# u O n;ex
u O det
#c cccccccccccc
u O ex;pot
c u O ex
A A
AAAAAAAAAAA
AAAAAAAAAAA
u
O n;exscc u
u u u
O ex;scc u O ex;cc
Le p carre rond
2 comme
rationnel
objets
mathematiques
(@ 0 < @ < @ 1 )
objets
empiriques
(Le monstre
du Loch Ness)
objets
de
fiction
u
@
@@@@@
u
sin 1 x ,
le
centaure
u
Mme Bovary
Napoleon,
cet
ordinateur
Figure 1.1: Les objets determines dans la LDO

26 Introduction
probleme n
.
.
Linguistique
.
probleme 1
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
langage formel
6
?
-
modele
Figure 1.2: La modelisation en linguistique d'apres J.-P. Descles

Description de ce travail 27
;
;
;
;
;
;
;
; u
Operateur
S
u@ @@@@@@@@
u
Restricteur
u
Portee nucleaire
Q f g
Tous les hommes sont mortels
Figure 1.3: La quantication linguistique

28 Introduction
la logique
avec variable
@
@
@
@
@
@
@
@
la theorie star
la logique
illative
f ^ :::g
; ;; @
@ LDO
@@I
@ objet
@
@
@
@
u
prelogique applicatif + combinateurs
@
Figure 1.4: Une classication epistemologique des logiques

Chapitre 2
La categorisation et la
quantication dans la tradition
logico-philosophique
Frege provided the most plausible general answer yet proposed
to the fundamental question, \What is mathematics ?",
even if his answer cannot yet be unarguably vindicated.
For all his mistakes and omissions, he was the greatest
philosopher of mathematics yet to have written.
M. Dummett, Frege-philosophy of mathematics.
2.1 Introduction
Dans l'article \Les mathematiques et la logique" publie en 1905 dans la revue
Science et methode, Henri Poincare ([Poi86]) ecrit en introduction :
Les mathematiques peuvent-elles ^etre reduites a lalogique sans
avoir a faire appel a des principes qui leur soient propres ? Il y a
toute une ecole pleine d'ardeur et de foi qui s'eorce del'etablir.(. . . )
Dans ces dernieres annees de nombreux travaux ont ete publies sur
les mathematiques pures et la philosophie des mathematiques en vue
de degager et d'isoler les elements logiques du raisonnement mathematique.
Les fondements des mathematiques, le rapport entre la logique et les mathematiques
ont preoccupe les mathematiciens et les logiciens a partir m^eme d'avant
1800 et jusqu'a maintenant. C'est dans ce cadre que se developpe la theorie de
la quantication a l'interieur de la logique.

30 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique
Ce chapitre est un apercu sur les grands axes de la theorie de la quantication
et de la categorisation sous-jacente, jusqu'a son integration totale comme partie
du calcul du premier ordre. Nous presentons le systeme logique de Frege, la quantication
telle qu'elle appara^t chez Peirce, Russell et Peano. Le centre de gravite
est la theorie fregeenne qui reste du point de vue de la logique mathematique moderne
le premier ltre pour la theorie de la quantication. Le systeme categoriel
sous-jacent represente par le systeme conceptuel fregeen { sa notion de fonction,
sa notion de concept, sa notion d'objet, . . . { imprime des caracteristique
epistemologiques a la theorie de la quantication derivee parmi lesquelles, la plus
importante est celle de concevoir le quanticateur comme un operateur.
2.2 L'ideographie fregeenne
Frege est un logicien qui a beaucoup contribue audeveloppement de la philosophie
du langage. Son uvre est ecrite dans le but d'expliquer \ce que sont les
mathematiques" et de donner des fondements aux mathematiques. Cette uvre
n'a pas inuence la logique formelle moderne, dont B. Russell est considere comme
le fondateur, mais elle a donne une ouverture au developpementdelamodelisation
dans la semantique du langage.
Ses trois principaux ouvrages sont 1 :
{ Begrisschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des
reinen Denkens (L'ideographie, un langage formel pour la pensee pure),
1879.
{ Die Grundlagen der Arithmetik, eine logisch-mathematische Untersuchung
uber den Begrie der Zahl (Les fondements de l'arithmetique), 1884.
{ Grundgesetze der Aritmetik, begrisschriftlich abgeleitet (Les lois de base
de l'arithmetique), 1893.
Le systeme logique de Frege etait cense^etre \le fondement" de son programme.
Il s'agissait de donner une construction exclusivement logique aux mathematiques,
particulierement a l'arithmetique et a l'analyse mathematique. Il voulait
prouver que le contenu exprime par les propositions vraies de l'arithmetique et de
l'analyse mathematique n'a pas un caractere exclusivement mathematique, mais
qu'il represente une verite purement logique. Cette these est formulee pour la
premiere fois en 1884, dans \Die Grundlagen der Arithmetik", en ce qui concerne
1 Dans la bibliographie ces trois ouvrages de Frege sont marques avec l'annee de leur premiere
publication, les autres etant marques par [Fre*aa] ou \aa" est l'annee de la publication de la
traduction.

L'ideographie fregeenne 31
les nombres cardinaux. Son systeme logique se voulait ^etre un \generateur" au
moins de l'arithmetique et de l'analyse mathematique dans le sens ou ilsexait
comme but d'obtenir dans ce systeme tous les theoremes de l'arithmetique et de
l'analyse mathematique comme propositions.
Les principales contributions de l'Ideographie (Der Begrisschrift) de Frege
[Fre879] presentees par J. Heijenoort [Hei77] dans l'article \Ideographie, un langage
des formules pour la pensee pure construit sur le modele de l'arithmetique"
sont :
{ La presentation du calcul propositionnel dans une maniere verifonctionnelle
(proche de la deduction naturelle)
{ L'analyse de la proposition en fonction - arguments a la place de sujet
- predicat
{ La theorie de la quantication
{ La construction d'un systeme logique dans lequel les inferencessontrealisees
exclusivement en concordance avec la forme de l'expression
{ Une denition logique de la notion de suite mathematique.
L'imprecision et l'ambigute du langage ordinaire ont conduit Frege a chercher
un outil beaucoup plus approprie pour son systeme logique. Il a deni un
nouveau mode d'expression, un langage qui s'occupe du \contexte conceptuel"
et qu'il l'a nomme \Begrisschrift" (Ideographie). Cette ideographie est un
\langage des formules" ou une \lingua characterica", un langage ecrit avec des
symboles speciaux, pour \la pensee pure", c'est-a-dire libre de toute rhetorique,
modele sur celui de l'arithmetique, construit avec des symboles speciaux qui sont
manipules par des regles denies. Frege armait que la logique ne doit pas
mimer l'arithmetique. Les analogies de Boole et d'autres auteurs entre la logique
et l'arithmetique (autrement inaccomplies) ne sont pas utilisables par Frege
precisement parce qu'il veut utiliser la logique pour prouver un fondement de
l'arithmetique. Il a tenu les symboles logiques a part des symboles arithmetiques.
En 1882, Frege ecrivait:
Mon intention n'etait pas de representer une logique abstraite en
formules, mais d'exprimer un contenu en symboles dans une maniere
beaucoup plus precise et claire que celle dans laquelle il est presente a
l'aide des mots.
Il ne voulait pas creer un \calculus ratiocinator" comme Hilbert, mais une
\lingua characterica" dans le sens de Leibniz.

32 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique
A partir de l'analyse des propositions des textes mathematiques, Frege s'est
rendu compte que la distinction \sujet { predicat" n'est pas pertinente pour les
propositions mathematiques. Apres une critique de cette classication traditionnelle,
il la remplace par une autre (empruntee aux mathematiques, mais adaptee a
la logique) : \fonction { arguments". Frege commence son analyse en considerant
une proposition ordinaire et en remarquant que l'expression garde du sens si on
remplace certains mots par d'autres. Un mot qui peut ^etre substitue successivement
occupe une place argument. Il introduit des lettres pour les fonctions et des
lettres pour les arguments et donne des instructions pour manipuler ces lettres.
Il ne denit pas ici la notion de fonction. Cette notion sera denie plus tard dans
\Grundgesetze der Aritmetik". Il dit simplement qu'une lettre de fonction doit
contenir entre parentheses un argument auquel on attribue une valeur.
Dans la preface de \Begrisschrift" Frege ecrivait :
Dans l'apprehension d'une verite scientique nous passons, comme
regle, par plusieurs degres de certitude. Probablement, en premier,
nous faisons une conjecture basee sur un nombre insusant de cas
particuliers, une proposition generale commence a^etre deplusenplus
s^urement etablie en etant reliee a d'autres verites par des cha^nes
d'inferences s'il y a des consequences derivees de cette proposition,
conrmees par un moyen ou un autre, ou si elle resulte comme la
consequence d'une proposition deja etablie. Nous pouvons nous demander
d'un c^ote, comment on peut arriver d'une maniere graduee
a une proposition donnee, de l'autre c^ote, comment on peut prouver
cette proposition avec les fondements les plus s^urs. La reponse est
reliee a la nature intrinseque de la proposition consideree. La maniere
la plus habituelle de realiser une demonstration est de suivre lalogique
pure. Nous divisons une verite qui demande une justication en deux
parties :
{ celle selon laquelle la demonstration peut ^etre construite par des
moyens purement logiques.
{ celle selon laquelle il faut prendre enconsideration des faits de
l'experience.
Frege construit son systeme logique pour fonder le raisonnement mathematique
et, implicitement, il doit s'interroger sur la nature de la proposition. Son
analyse porte sur les propositions mathematiques, mais elle peut ^etre etendue
en general, a toute proposition de la langue. Il arme ses idees sur la nature
cognitive de la proposition de la maniere suivante :
Mais ce qu'une proposition est en premier est sa compatibilite dans
la pensee humaine avec l'activite sensorielle. Il ne s'agit pas ici d'une

L'ideographie fregeenne 33
genese psychologique, mais la meilleure methode de demonstration se
trouve a labase de la classication.
Son \Begrisschrift" est \un langage des formules pour la pensee pure". La
logique a toujours employe le langage ordinaire et elle reste tres proche de la grammaire.
Voila comment il caracterise la relation entre le langage de son systeme
logique et le langage ordinaire en justiant en m^eme temps son choix pour l'analyse
de la proposition dans la forme fonction { arguments.
Je crois que j'ai reussi a mieux etablir la relation entre mon ideographie
et le langage ordinaire. Il est facile de voir comment regarder
un contenu (propositionnel) comme une fonction de ses arguments et
comment ce processus conduit a la formation des concepts. Le remplacement
sujet { predicat par fonction { arguments s'impose.
Dans les trois premieres parties de ce sous-chapitre nous presentons l'ideographie
fregeenne comme systeme logique, sa theorie de la quantication et
une analyse de son systeme conceptuel telles qu'elles sont presentees dans \Les
fondements de l'arithmetique" et dans \Les lois de base de l'arithmetique".
2.2.1 La description de l'ideographie fregeenne
2.2.1.1 Le jugement
Les symboles utilises dans ce systeme logique sont de deux types :
{ ceux par lesquels nous nommons les dierents objets { les lettres.
{ ceux qui ont un sens totalement determine.
Le premier symbole introduit par Frege est concu pour exprimer le jugement ou
l'assertion. Pour Frege une proposition A est caracterisee du point de vue semantique
par un contenu propositionnel. Un jugement est forme par deux parties :
la partie du contenu et la partie d'assertion. Il y a des contenus qui ne peuvent
pas devenir des jugements, par exemple \maison".
Le symbole pour le jugement (assertion) est :
La barre horizontale represente la barre du contenu propositionnel. Le symbole
:
se lit : Le contenu propositionnel de A.
A

34 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique
La barre verticale est celle de l'assertion. Le symbole :
A
se lit : Le contenu de A est arme ou A a lieu.
Le seul predicat de l'ideographie est :
Tous les types de jugement distingues par les logiciens : categorique, hypothetique,
disjonctif ont une signication exclusivement grammaticale et on
peut les ignorer. Les distinctions en ce qui concerne les modalites peuvent ^etre
ignorees elle se referent plut^ot a un arriere-plan du jugement qu'au jugement
lui-m^eme. C'est la raison pour laquelle Frege choisit comme seuls connecteurs de
son calcul du premier ordre l'implication et la negation.
2.2.1.2 Sujet { predicat contenu conceptuel
Frege renonce a la distinction entre le sujet et le predicat propre a la logique
traditionnelle et a la grammaire :
La distinction sujet { predicat doit ^etre ignoree la proposition doit
^etre vue comme un jugement.
Il justie cette position par la remarque que deux jugements peuvent ^etre
relies de deux manieres dierentes :
{ Les consequences derivables du premier quand il est combine avec d'autres
jugements resultent toujours du deuxieme combine avec les m^emes jugements
et inversement. Par exemple : les deux jugements \Archimede a peri
a la prise de Syracuse" et \La mort violente d'Archimede a la prise de
Syracuse est un fait connu" sont dans ce premier cas.
{ Ce n'est pas le cas ci-dessus. Les jugements \Archimede a peri a la prise de
Syracuse" et \Socrate est sage" sont dans ce cas-la.
Dans les deux cas nous n'avons pas besoin de mettre en evidence la distinction
sujet { predicat, par contre l'important est de thematiser la distinction fonction {
arguments. Frege commence son analyse en considerant une proposition ordinaire
et en remarquant que l'expression garde un sens si on remplace certains mots par
d'autres. Un mot qui peut ^etre substitue successivement en gardant le sens de la
proposition occupe une place argument et ce mot represente la partie variable de
la proposition. Un mot qui ne peut ^etre substitue sans changer le sens represente
la partie stable de la proposition.

L'ideographie fregeenne 35
2.2.1.3 L'implication
Le connecteur d'implication est introduit comme representant l'assertion : \le
jugement A n'est pas nie tant que le jugement B est arme".
L'implication est denie par rapport aux quatre conditions suivantes :
(1) A armee et B armee
(2) A armee etBniee
(3) A niee et B armee
(4) A niee et B niee
Le symbole :
se lit : B implique A
A
B
Il represente une des conditions (1), (2) ou (4).
La barre verticale qui relie le contenu de B du contenu de A est la barre de
condition.
Frege reconna^t que ce symbole n'exprime pas toute la \force" de \si...alors".
Le sens de la barre de condition est rendu par le \si...alors" seulement quand B est
connectea A en conformite avec une certaine loi. Il va plus loin en suggerant que
la connexion doit ^etre causale et donne cet exemple de \causalite" en geometrie:
Si ce champ a la forme d'un triangle rectangle, alors le carre de
son c^ote le plus grand est egale a la somme des carres de deux autres
c^otes.
Frege note la dierence entre la denition de l'implication et l'utilisation ordinaire
de la locution \si...alors". En fait, l'implication n'exprime que certaines
valeurs de \si...alors" de la langue naturelle.
2.2.1.4 La negation
Le symbole de la negation est exprime par la barre de negation. La negation
est un adjoint du contenu propositionnel. Frege ecrivait:
Je considere beaucoup plus approprie que la negation soit un adjoint
du contenu.
Le symbole :

36 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique
se lit : Aneserealise pas ou A n'a pas lieu.
La petite barre verticale est la barre de negation.
Le symbole :
represente le contenu de non-A.
A
A
La barre de negation est rattachee a la barre du contenu propositionnel, donc
Frege considere la negation comme un operateur qui agit sur le contenu propositionnel.
Une expression de l'assertion d'un contenu propositionnel et de l'assertion
de la negation d'un contenu propositionnel utilisant des primitives et la logique
combinatoire est presentee en A (III).
2.2.1.5 Autres connecteurs du calcul propositionnel
1. La disjonction _. La disjonction _ est representee en utilisant :
A _ B :B A
Le symbole pour A _ Best:
A
B
2. La conjonction ^. La conjonction ^ est representee en utilisant :
A ^ B :(B :A)
Le symbole pour A ^ Best:
A
B
3. Le \ou exclusif" : \soit...soit". Le \ou exclusif" est represente en utilisant :
(B :A) ^ (: B A)
ou
(: B _:A) ^ (B _ A)
ou

L'ideographie fregeenne 37
(: B ^ A) _ (B^:A)
Le symbole pour la premiere est :
A
B
A
B
4. Le \non" inclusif : \ni...ni". Le \non" inclusif est represente en utilisant :
:(: B A)
ou
: (B _ A)
ou
: B ^:A
Le symbole pour la premiere est :
A
B
En fait la barre d'assertion n'est pas le symbole de la prise en charge du
contenu, mais le symbole qui permet de munir le contenu propositionnel de la
valeur de verite \vrai" 2 . Ainsi, la traduction dans le symbolisme actuel (la theorie
des modeles 3 ) du calcul du premier ordre de ces trois premiers symboles de Frege
est :
2 > pour \vrai" et ? pour \faux"
3 Le calcul du premier ordre est presente dans le chapitre 5

38 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique
L'ideographie de Frege
A
A
A
La theorie des modeles
v(A) = >
A
v(A) = ?
Frege introduit un autre predicat, le predicat de l'identite, deni par :
A B
Ce symbole se lit : L'equivalence des contenus propositionnels de A et
de B est armee ou AetBontlem^eme contenu conceptuel.
2.2.1.6 Les regles d'inference
Frege considere comme regles d'inference le \modus ponens", une de ses variantes
consideree par Aristote et BARBARA.
Le \modus ponens" :
B A,B
A
La traduction du \modus ponens" dans l'ideographie est :
La variante d'Aristote est :
A
B
B
A
C (B A),C,B
A
Sa traduction dans l'ideographie est :

L'ideographie fregeenne 39
A
B
C
C
B
A
B
A
B
La regle \BARBARA" est :
(c b) ((b a) (c a))
Elle est representee dans l'ideographie fregeenne par :
a
2.2.1.7 La fonction
La denition d'une fonction dans l'ideographie est donnee par :
Si dans une expression dont le contenu ne peut ^etre capable de
devenir un jugement, un symbole simple ou compose a plusieurs occurrences
et si on regarde ce symbole comme etant remplacable dans
toutes ses occurrences par quelque chose d'autre, alors nous appelons
\fonction" la partie invariante dans l'expression et \argument" la partie
remplacable. Par exemple :
Le nombre 20peut ^etre ecrit comme la somme de 4 carres.
Tout entier positif peut ^etre ecrit comme la somme de 4 carres.
La fonction est \^etre ecrit comme la somme de 4 carres". Le
concept \tout entier positif" est remplacable par le concept \le nombre
20". Ce dernier est l'argument. Les deux concepts ne sont pas des
concepts du m^eme rang.
Frege considere des fonctions d'une seule variable ou de plusieurs variables.
Pour lui le symbole \(A)" represente la fonction d'argument A.
c
a
b
b
c

40 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique
Le symbole :
(A)
se lit : A a la propriete .
Donc, ce symbole represente l'assertion :
(A) = >
Le symbole
(A,B)
se lit : B est en relation avec A.
Donc,
(A,B) = >.
2.2.1.8 Les axiomes du systeme fregeen
Frege donne comme axiomes de son systeme un groupe de neuf axiomes, appeles
\lois de la pensee pure". Ce sont :
A
B
A A (B A)
La premiere loi de la conditionnalite
A
C
B
C
A
B
C
(C (B A)) ((C B) (C A))
La deuxieme loi de la conditionnalite

L'ideographie fregeenne 41
A
C
B
A
B
C
(C (B A)) (B (C A))
La troisieme loi de la conditionnalite
B
A
A
B
(B A) ( : A :B)
Modus tolens (La premiere loi de la negation)
A
A
::A A
La deuxieme loi de la negation
A
A
A ::A
La troisieme loi de la negation
(D)
(C)
C D
si C D, alors (C) (D)
La premiere loi fondamentale de l'identite

42 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique
C C
La deuxieme loi fondamentale de l'identite
x
(C)
(x)
si ((8 x) (x)), alors (C)
L'instanciation
Nous pouvons remarquer que la premiere loi de la conditionnalite est l'axiome
5 de la logique classique (voir le chapitre 7) qui etait remis en cause par Heyting
et Kolmogorov dans la construction du systeme d'axiomes de la logique intuitionniste.
2.2.2 La theorie fregeenne de la quantication
2.2.2.1 Le quanticateur universel
Frege denit le quanticateur universel en denissant \l'expression de la generalite"
. Il arme que :
Dans l'expression d'un jugement nous pouvons toujours regarder
la combinaison des symboles a droite du symbole :
comme une fonction des symboles qui apparaissent dans cette fonction.
Si nous remplacons cet argument par une lettre gothique et si
nous rajoutons dans la barredecontenu une concavite avec cette lettre
gothique :
(a)
a
nous obtenons le jugement :
Si on prend quoi que ce soit pour l'argument de la fonction, la
fonction est un fait.
Toute autre condition a imposer a l'argument doit ^etre incorporee
dans le jugement.
Il continue :
La barre horizontale a gauche de la concavite du symbole :

L'ideographie fregeenne 43
(a)
a
est la barredecontenu pour la circonstance ou quel que soit l'objet qui
remplace a, (a) a lieu. La barre horizontale a droite de la concavite
de ce symbole est la barre decontenu de (a) et ici nous devons nous
imaginer que quelque chose de deni a ete substitue alaplacede a.
L'expression :
X(a)
a
represente le contenu du jugement :
et
X(a)
a
.
Cette expression peut
^etre une partie des jugements :
X(a)
a
a
A
X(a)
De ces jugements nous ne pouvons pas deduire d'autres jugements moins
generaux, en substituant a a par un objet deni, comme nous le pouvons faire du
jugement :
X(a)
a
Frege arme que la concavite du symbole de l'expression de la \generalite"
avec la lettre gothique a l'interieur est necessaire parce qu'elle delimite \la portee"
que cette lettre couvre. Cette lettre garde un m^eme sens seulement a l'interieur
de sa propre portee. La portee d'une lettre peut comprendre la portee d'une
autre, comme dans l'exemple :
a
e
X(a)
Y(a, e)
Les deux lettres doivent ^etre dierentes nous nous pouvons pas mettre e a la
place de a. La substitution d'une lettre gothique par une autre est permise avec
trois precautions :
{ La substitution doit se faire partout dans la portee

44 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique
{ La substitution est permise seulement si la concavite est juste apres la
barre de jugement, c'est-a-dire que la portee de la lettre est representee par
le contenu entier du jugement
{ Nous ne pouvons pas substituer une lettre par une autre qui appara^t deja
dans la portee de la premiere.
Frege introduit une autre
notation (il l'appelle \abreviation" ) pour :
X(a)
a
et notamment:
X(a)
et
Il montre que cette notation est possible a cause de l'equivalence entre :
(a)
A
(a)
a
A
si a n'appara^t pas dans A.
L'usage des lettres dans l'ideographie de Frege est important : pour les variables
quantiees il utilise les lettres gothiques, pour les variables libres les minuscules
latines en italique, pour les propositions les majuscules latines. La notion
de variable, de variable libre et de variable liee est donnee par l'usage des lettres,
d'une maniere semiotique.
Il montre aussi que de :
on deduit :
(a)
A
B
(a)
a A
B.
2.2.2.2 Le quanticateur existentiel
Le quanticateur existentiel
est introduit par :
X(a)
a

L'ideographie fregeenne 45
L'explication de cette formule est : \nous pouvons trouver un objet A tel que
X(A) est nie" ou \il y a des objets qui n'ont pas la propriete X".
Le sens de cette formule
diere de celui de la formule :
a X(a)
qui signie \pour tout a, X(a) est nie" ou \ il n'y a rien qui a la propriete X".
Le contenu du jugement
X(a)
a
est nie par:
X(a)
a
En fait, le quanticateur existentiel est donne par:
X(a)
a
traduisant Il existe des a qui ont la propriete X.
La formule :
P(a)
a
X(a)
represente : \quel que soit ce qu'on met a la place de a, le cas dans lequel P(a)
est nie etX(a) arme n'a pas lieu", c'est-a-dire : Tout X est P.
La formule :
P(a)
a
X(a)
signie : Aucun X n'est P.
La formule :
P(a)
a
X(a)
signie : Il existe des X qui sont P.
La formule :
P(a)
a
X(a)
signie : Il existe des X qui ne sont pas P.
Le carre de l'opposition logique (le carre d'Aristote) est 4 :
4 CO = contradictoire C = contraire SC = sous-contraire SA = subalterne

46 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique
P(a)
a
X(a)
C
P(a)
a
X(a)
SA
P(a)
a
X(a)
@ @
CO @@@@
; ;;;;;
CO
SC
SA
P(a)
a
X(a)
2.2.2.3 L'analyse de la quantication fregeenne
Il est generalement accepte par la communaute des logiciens modernes que
Frege est le fondateur de la theorie de la quantication.
Nous allons entreprendre une breve analyse de la quantication fregeenne dans
l'esprit des deux theories logiques modernes : la theorie des modeles et la theorie
de la demonstration 5 Cette analyse conduit d'un c^ote, a mettre en evidence la
valeur du systeme conceptuel de Frege et, de l'autre c^ote, a remarquer quelques
limites de la logique mathematique moderne par rapport aux possibilites de ses
applications en dehors des mathematiques.
Le sens des expressions construites dans \l'Ideographie" se trouve dans le
symbolisme m^eme et, par consequence, le sens des operateurs de quantication
doit ^etre recherche dans ces symboles. Les symboles englobent les valeurs de
verite comme le font les regles d'introduction et d'elimination de la deduction
naturelle [Gen55].
\L'ideographie" fregeenne est un langage dans lequel \l'expression de generalite"
appara^t comme un operateur. L'idee de denir le quanticateur comme
un operateur est reprise plus tard et independamment par Curry [Cur58]. A
l'epoque de la \Logique combinatoire" de Curry, latheorie mathematique des
operateurs etait deja developpee. Mais l'interpretation du quanticateur fregeen
comme operateur est proposee pour la premiere fois par J.P. Descles [Des80]. Ni la
theorie des modeles, ni la theorie de la demonstration ne voient le quanticateur
comme un operateur, les deux etant construites et restant dans une demarche
ensembliste et non pas dans une demarche fonctionnelle.
5 Elles sont presentees du point de vue formel dans le chapitre 7.

L'ideographie fregeenne 47
Les caracteristiques de la quantication fregeenne s'inscrivent dans la description
generale de son systeme logique, dans la construction de son \ideographie"
et surtout dans son caractere verifonctionnel :
{ Frege distingue la variable de l'objet m^eme si au momentou il met les bases
de la theorie de la quantication il ne parle pas d'objets. Son symbolisme
est tres parlant. Dans la formule d'une fonction (A), A est une variable,
mais dans l'assertion :
A est un objet.
Dans la formule
a est une variable.
(A)
(a)
{ Frege distingue la variable libre de la variable liee par l'usage des lettres
minuscules latines en italique et des lettres gothiques plus tard dans \Les
fondements de l'arithmetique" son systeme conceptuel se cristallise et nous
trouvons ici une analyse du statut de la variable.
{ Frege denit la portee d'une variable par rapport a un quanticateur comme
etant le domaine d'action du quanticateur marque par cette variable. Il
decrit ce domaine comme etant le contenu du jugement qui contient la
concavite avec la lettre gothique de la variable. La portee a une \forme
graphique" elle est la partie gauche de la barre du contenu a partir de la
barre du jugement jusqu'a la concavite y compris la concavite:
la portee
(a)
a
Cette imagerie facilite la distinction des portees disjointes et des portees
non-disjointes.
L'ecriture de Frege :
X(a)
a
met mieux en evidence la portee par rapport a l'ecriture moderne :
(8 a) ((a))

48 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique
{ Le quanticateur pour Frege est un operateur qui s'applique a un predicat
n-aire pour rendre un predicat (n-1)-aire. Les deux operateurs de quanti-
cation generale et les deux operateurs de quantication restreinte sont :
(8x) (f(x))
x f(x)
(9x) (f(x))
x f(x)
(8x) (f(x) g(x)))
x g(x)
f(x)
(9x) (f(x) ^ g(x))
x g(x)
f(x)
{ La substitution pour Frege se traduit par :
A B
(A ) (B)
m^eme siFrege ne donne explicitement aucune regle de substitution.
Pour Frege la substitution est une substitution au niveau de la variable (certaines
lettres sont remplacees par d'autres lettres). Nous pouvons appeler
cette substitution substitution atomique. C'est a cause de son symbolisme.
Ses formules sont composees de deux types des symboles : les lettres pour
les fonctions, les variables, les constantes, les predicats et les propositions et
les autres symboles graphiques pour les operateurs. Il peut remplacer une
lettre par une autre. Pour remplacer une formule, il encha^ne les symboles
graphiques.
Frege donne des regles pour la substitution : la substitution est permise
pour des portees distinctes, elle doit ^etre realisee avec des precautions pour
les portees incidentes.

L'ideographie fregeenne 49
{ Nous considerons l'equivalence posee par Frege entre :
X(a)
a
et
X(a)
comme une expression globale des deux regles d'introduction et d'elimination
du quanticateur universel dans la deduction naturelle (voir le chapitre
7).
L'utilisation des quanticateurs pour lier les variables et leur denir une portee
est la plus importante caracteristique de la logique moderne et elle represente
l'outil qui a rendu la logique, en tant que langage, superieure non seulement au
langage ordinaire, mais m^eme aux autres symbolismes algebriques.
Le mecanisme de la quantication, considere comme un grand acquis de
la logique moderne tel qu'il est deni par Frege, a fait du calcul du premier
ordre un outil pour l'etude des fondements des mathematiques et egalement une
semantique formelle des langues naturelles. En ce qui concerne sa deuxieme valence,
il s'est avere bient^ot insusant pour une analyse approfondie des langues
naturelles. La quantication fregeenne est adequate pour l'analyse du langage
mathematique, mais elle eace des categories linguistiques importantes pour
l'analyse du langage ordinaire et pour une formalisation de cette analyse. Et surtout
la categorisation traditionnelle sujet { predicat est eacee par cette theorie
de la quantication. Une remise en cause de cette theorie a ete faite par les postfregeens
qui ont essaye de construire des formalismes qui unient les acquis de
la theorie traditionnelle de la quantication avec les necessites imposees par la
linguistique. Un de ces formalismes est presente dans le chapitre 3.
2.2.3 Le systeme conceptuel fregeen
\C'est seulement dans le contexte d'une proposition
qu'un nom tient lieu de quelque chose."
G. Frege, Les fondements de l'arithmetique.
Dans l'avant-propos du livre \Philosophie de la logique" [Dum92], Michael
Dummett disait :
Au cours de la premiere moitiedece siecle, la philosophie occidentale
s'est fragmentee plus qu'elle ne l'a jamais fait dans son histoire.
Des signes avant-coureurs montrent que l'on est en train de remedier

50 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique
a cet etat de choses. Dans le domaine analytique, on considere aujourd'hui
qu'un secteur auparavant non reconnu de la philosophie, qu'il
est preferable de designer par l'expression \philosophie de la pensee"
est a labase de toute entreprise philosophique.
Cette discipline comprend une theorie de la structure des pensees
et de leurs relations, et une explication de ce que la saisie de ces
pensees implique ou comporte. Si l'on accepte comme je le fais, ce qui
aete traditionnellement reconnu comme le principe fondamental de la
philosophie analytique, a savoir que l'on ne peut aborder l'analyse philosophique
de la pensee que par le biais d'une analyse philosophique de
son expression dans le langage, ou tout au moins, qu'il est preferable
de l'aborder de cette maniere, alors la philosophie de la pensee doit
prendre la forme d'une theorie de la signication linguistique.
Une theorie semantique d'apres M. Dummett doit ^etre construite a partir de
la \philosophie de la pensee". M^eme si notre opinion est dierente, et notamment
qu'une theorie semantique doit ^etre elaboree a la frontiere de plusieurs domaines :
la linguistique, la logique, les mathematiques, la philosophie de la pensee et les
sciences cognitives, il faut reconna^tre le r^ole de la philosophie analytique dans
une telle construction.
Et Frege reste, pour paraphraser Dummett, \le plus grand philosophe du
langage" du dernier siecle. Son systeme conceptuel se trouve explicitement ou
implicitementa la base de toute semantique du langage. M^eme s'il n'a pas reussi
a creer un systeme logique qui represente les fondements des mathematiques
comme il l'aurait voulu, son systeme logique deviendra le fondement de plusieurs
theories semantiques du langage.
M. Furth, un des commentateurs de Frege [Fre*67], arme :
Les explications de Frege concernant les bases primitives de son
systeme logique et, particulierement son symbolisme primitif determinent
une interpretation semantique profonde qui, a son tour determine
toute une philosophie du langage. Cette philosophie du langage
est tres profonde, d'un grand inter^et et relativement independante du
\logicisme 6 "dudepart.
Frege construit son systeme conceptuel a partir du langage. Son modele est la
langue naturelle. Son but est de donner des fondements aux mathematiques. Si
dans \l'Ideographie" les concepts restent au niveau du semiotisme (c'est la force
du symbole qui denit le concept), dans \Les fondements de l'arithmetique" et
surtout dans \Les lois de base de l'arithmetique" le systeme conceptuel est deni
explicitement.
6 le nom sous lequel est connu le systeme de l'Ideographie.

L'ideographie fregeenne 51
Frege denit les primitives de ce systeme, appelees par Furth [Fre*67] \termes
quasi-techniques", en les regroupant par paires :
{ 1. Le nom { sens et denotation
{ 2. La fonction { fonction et objet
{ 3. Nom et etiquette
{ 4. Fonction et parcours de valeurs
{ 5. Nom (etiquette) des valeurs de verite et assertion.
2.2.3.1 Le nom { sens et denotation
Frege commence par la description des expressions nominales, les noms. Pour
lui, les noms, dans une premiere classication, sont de deux grandes categories :
{ Les noms complets : un nom complet nomme un objet 7
{ Les noms incomplets : un nom incomplet nomme une fonction. Exemples :
{ Le frere a^ne de()
{ () 2 (la fonction carre)
Les noms complets se classient en :
{ Les noms simples : un nom simple ou elementaire est forme d'une seule
partie. Exemples :
{ Napoleon Bonaparte, Venus (comme planete) 8
{ Nessus (le centaure), Venus (la deesse) 9
{ les nombres : 9, 7, etc.
{ Les noms complexes : un nom complexe est forme de noms simples comme
parties propres. Exemples :
{ Le frere a^ne de Napoleon Bonaparte
{ la chemise de Nessus (le centaure)
7 L'objet de Frege est un objet totalement determine dans le systeme de J.P. Descles (voir le
chapitre 6).
8 Ce sont les noms qui nomment les objets totalement determines avec correlat empirique
(voir le chapitre 6).
9 Ce sont les noms qui nomment les objets totalement determines existants potentiels (voir
le chapitre 6).

52 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique
{ le nombre : 9 2 .
Frege explique qu'un nom nomme ou denote un objet. Ainsi, par exemple
le nom \Napoleon Bonaparte" denote l'objet \Napoleon Bonaparte" (l'empereur
francais du XIXeme siecle). La denotation d'un nom incomplet n'est pas un
objet, mais une fonction.
Le sens et la denotation sont denis par les \axiomes" suivants :
a1. Un nom exprime un sens et denote une denotation.
a2. Une certaine relation s'etablit entre sens et denotation.
a3. Le sens d'un nom complexe est une fonction des sens de ses composantes.
a4. La denotation d'un nom complexe est une fonction des denotations de ses
composantes.
a5. Un nom peut exprimer un sens, mais manquer de denotation. Pas l'inverse.
a6. Deux expressions complexes qui ont la m^eme denotation peuvent exprimer
des sens dierents : les noms \2 2 " et \2+2" expriment deux sens dierents,
mais ils ont la m^eme denotation, le nombre 4.
a7. La denotation d'un nom complet est un objet.
Nous pouvons considerer ces 7 \axiomes" comme les axiomes de denition
de ce que Frege appelle sens et denotation. Pour encadrer ces deux notions
fregeennes dans la theorie developpee ulterieurement nous allons faire quelques
commentaires sur les 7 \axiomes" du sens et de la denotation dans l'esprit de la
theorie de J.-P. Descles, decrite dans le chapitre 6.
Tout d'abord les mots \exprime" et \denote" sont des \mots-cles" pour denir
ces deux notions. \Exprime" etablit une correspondance entre les expressions du
langage et les concepts (dans le sens fregeen du mot concept) comme indique dans
le schema 2.1. Dans ce schema:
L est l'ensemble des noms du langage e est la fonction \exprimer" qui associe
a chaque nom un concept, donc qui donne le sens d est la fonction de denotation
qui associe a chaque nom un objet, donc qui donne la denotation f est une
fonction qui ferme le diagramme.
L'axiome a1. postule l'existence des fonctions e et d l'axiome a2. postule
l'existence de la fonction f. Les axiomes a3. et a4. postulent une certaine compositionnalite
au niveau des ensembles O et C par rapport a la structure du langage.

L'ideographie fregeenne 53
C (concepts-sens)
L
; ;;; e
d
f
@
@@@R
? O (objets-denotation)
Figure 2.1: L'univers conceptuel de Frege
Si on considere l'ensemble L comme un langage applicatif 10 , alors le sens et la
denotation comme applications sont soumises au principe de la compositionnalite
:
Le sens d'une expression complexe est une fonction des sens de
ses composantes la denotation d'une expression complexe est une
fonction des denotations de ses composantes.
Dans la theorie de Frege le principe de la compositionnalite occupe une place
importante. Sa theorie est compositionnelle, dans le sens qu'elle respecte ce
principe.
L'axiome a5. postule que la fonction e est une veritable fonction (partout
denie) alors que d est une application (elle n'est pas partout denie). Nous
pouvons remarquer que les objets de Frege sont totalement determines et avec
correlat empirique. L'axiome a6. postule l'existence de noms dierents pour le
m^eme objet, avec des concepts associes dierents. Comme exemple Frege donne
les noms \l'etoile du matin" et \l'etoile du soir" pour le m^eme objet { la planete
Venus { et avec des concepts dierents.
De l'axiome a6., il s'ensuit que la fonction f est injective mais la fonction e
l'est-elle? Apparemment, il n'y a aucune raison de donner deux noms dierents
a unm^eme concept. Mais, cette armation est vraie en mathematiques ou dans
un domaine ou la construction est coherente et non-redondante. Dans la langue
ou les procedes stylistiques abondent, ou il n'y a aucune compositionnalite au
sens mathematique, ou on peut nommer la m^eme chose par des mots dierents,
la fonction e n'est injective. Par exemple, on peut nommer la m^eme personne
par \le prince heritier", \le dauphin", le concept sous-jacent etant le m^eme.
En ce qui concerne l'axiome a7., Frege considere que la denotation d'un nom
complet est un objet, mais il s'interroge sur la denotation d'un nom de fonction.
Comme les objets fregeens sont des objets totalement determines, il ne peut pas
10 voir la notion de langage applicatif de Curry dans le chapitre 4.

54 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique
accepter comme denotation d'une fonction un autre type d'objet, comme nous le
pouvons [Des99a] et notamment un objet plus ou moins determine 11 .
2.2.3.2 La fonction fonction et objet
Frege part dans sa denition de la fonction de la notion mathematique de
fonction. Il etend cette notion au niveau conceptuel en postulant que la fonction
est non-saturee alors que l'objet il est sature. Frege fait une analogie entre la
dierence entre un nom incomplet et un nom complet: un nom incomplet peut
^etre complete. Il en resulte un nom complet. Le procede de completion est
syntaxique. L'analogue de ce procede applique pour une fonction est le suivant :
une fonction est une entite non-saturee ou l'argument represente une breche
saturee par un objet (a la place de l'argument), il resulte un objet qui s'appelle
la valeur de la fonction pour cet objet comme argument. L'objet est une entite
saturee il n'y a rien a remplir de plus.
Le concept est une fonction dont les seules valeurs sont les valeurs de verite:
> et ?.
La relation est une fonction de deux arguments avec comme valeurs, les valeurs
de verite.
Les axiomes fregeens pour la notion de fonction sont :
f 1 . La fonction est la denotation d'un nom incomplet.
f 2 .Ladenotation d'un nom incomplet :
f 2:1: Un nom incomplet ne peut pas denoter un objet.
f 2:2: Le nom d'une fonction d'un argument a une denotation au cas ou:
si on remplit la place argument par un nom complet qui denote une
denotation on obtient un nom complet qui denote une denotation.
Un objet o est deni d'une maniere unique par :
{ Si on se donne un nom complet A, il existe un objet o tel que A denote o.
{ Si on se donne un objet o, il existe un nom A tel que A denote o.
Mais une fonction ne peut pas ^etre denie par les deux conditions f 2:1: et f 2:2:
parce qu'on peut trouver un nom incomplet B tel que f 2:1: est veriee et f 2:2: ne
l'est pas.
Exemples:
racine carree (), le centaure de () sont des noms incomplets.
Et pourtant les noms complets :
11 voir le chapitre 6.

L'ideographie fregeenne 55
{ p ;2
{ le centaure de Brest
ne denotent pas des objets, parce que p ;2 n'est pas un nombre reel et \le centaure
de Brest" n'existe ni dans la realite nim^eme dans la mythologie.
Le systemef 2:1: et f 2:2: n'est pas necessaire et susant pour nous permettre de
denir le fait qu'un nom denote une denotation.
Frege denit les fonctions de premier niveau comme etant les fonctions denies
pour les objets, les fonctions de deuxieme niveau comme les fonctions dont les
arguments peuvent ^etre remplaces par des fonctions de premier niveau et ainsi
de suite. Le concept pour lui est un cas particulier de fonction.
Le quanticateur universel
:
(a)
a
est un concept de deuxieme niveau avec les valeurs :
8
><
>:
> si l'argument est une fonction de premier niveau , telle que
(a) => pour tout a
? sinon
C'est ainsi que Frege thematise l'idee d'operateur et qu'il voit le quanticateur
comme un operateur.
Pour les theoremes du calcul du premier ordre, il dit qu'un tel theoreme arme
que toute fonction de premier niveau satisfait une certaine condition de second
niveau. Dans le langage de Frege : chaque fonction de premier niveau \tombe
sous" un certain concept de second niveau avec un nom plus ou moins complexe.
2.2.3.3 Nometetiquette
La distinction nom { etiquette porte sur la distinction objet { variable. Le
nom denote un objet. L'etiquette indique une variable. Le r^ole semantique d'une
variable n'est pas de denoter, mais d'indiquer les membres d'un domaine d'entites
parfaitement denies.
La dichotomie objet { variable est denie par les verbes \denoter { indiquer".
Le verbe \indiquer" exprime pour Frege, l'idee de pointeur qui peut parcourir un
ensemble de valeurs. Il est semblable a l'adresse memoire qui indique une case
ou se trouve un contenu dans la metaphore de l'ordinateur. Quant a l'objet, il
represente le contenu de la case memoire.
Objet et variable peuvent { tous deux { avoir des noms simples ou complexes,
complets ou incomplets, mais la distinction de base est leur \r^ole semantique"
donne par \denoter { indiquer".

56 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique
Nous pouvons interpreterlavariable fregeenne comme un objet plus ou moins
determine et l'objet fregeen comme un objet totalement determine 12 .
2.2.3.4 Fonction et parcours de valeurs
La distinction entre les notions de fonction et parcours de valeurs et de concept
et extension est la plus dicile de l'uvre de Frege et en m^eme temps elle est
l'idee la plus mal comprise. De plus, sa theorie des extensions est inconsistante.
Parcours de valeurs
Le parcours de valeurs (Werthverlauf) est ce qu'on appelle aujourd'hui, dans la
theorie des fonctions le graphe d'une fonction. Mais la distinction entre fonction
et parcours de valeurs porte sur ce qu'on appelle aujourd'hui la fonction vue d'un
point de vue fonctionnel (la denition fonctionnelle de la fonction) et la fonction
vue d'un point de vue ensembliste (la denition ensembliste de la fonction). Du
point de vue fonctionnel, une fonction f est une procedure (moteur) qui construit
a partir d'un objet x, un autre objet y note par f(x). Du point de vue ensembliste
la fonction f est denie par l'ensemble des couples (x y) tels que y = f(x). Nous
pouvons remarquer que le premier point de vue thematise le procede, tandis que
le deuxieme met l'accent sur la donnee initiale et le resultat. Le deuxieme point
de vue est d^u a Dirichlet [Die78]. Il est plus ancien que le premier et donne la
theorie ensembliste des fonctions, theorie qui est a la base de l'ensemble de l'edice
mathematique d'aujourd'hui. Le premier, plus nouveau, s'est developpe a partir
des travaux de Church [Chu41] et il a donne naissance a la theorie fonctionnelle
des fonctions connue sous le nom de -calcul [Chu41], [Bar84].
Pourquoi les mathematiques modernes se sont-elles developpees dans l'ensemblisme
et non pas dans le fonctionnel? C'est une question qui tient de
l'epistemologie des mathematiques et il est dicile d'y repondre.
Cette dichotomie ensembliste { fonctionnel, m^eme si elle n'est pas thematisee
explicitement par Frege, trouve son expression dans son parcours de valeurs.
Ainsi, une expression de la forme 13 :
(::::::) (1)
rencontree chez Frege peut ^etre lue comme la -fonction:
x(:::x:::) (2)
dans le sens ou la fonction est denie par son procede de construction. La m^eme
fonction peut ^etre denie en termes de classes comme 14 :
^y^x(y = :::x:::) (3)
12 voir la construction de la LDO dans le chapitre 6.
13 La notation est la notation de Frege.
14 La notation est la notation de Frege.

L'ideographie fregeenne 57
La formule (3) denote la classe des couples ordonnes (x y) tels que y est la
valeur de la fonction (::::::) pour l'argument x. Le parcours de valeurs est
deni comme etant cette classe. Frege donne l'exemple suivant : le nom
( +7)
denote la classe qui contient les couples ordonnes tels que (0,7), (1,8), (2,9), etc.
M. Furth [Fre*67] arme que, pour Frege, l'operateur d'abstraction qui forme
un nom d'un parcours de valeurs est primitif et que cet operateur n'est deni en
termes de classes d'abstraction d'aucune maniere. Par contre, ce qui correspond
dans cette theorie a une classe est un cas particulier de parcours de valeurs : le
parcours de valeurs d'une fonction dont la valeur pour chaque objet-argument est
une valeur de verite. C'est le parcours de valeurs d'un concept.
Extension
Le parcours de valeurs d'un concept est appele l'extension du concept :
Ext(f) =f(o )=o 2 O 2f> ?gg. (4)
Frege arme :
Une fonction n'est pas le sens exprime par un nom de fonction,
elle est la denotation d'un nom de fonction. Un parcours de valeurs
est la denotation d'un nom de parcours de valeurs et non pas d'un
nom de fonction. Si un parcours de valeurs n'est ni la denotation, ni
le sens de la fonction correspondante, alors comment sont-ils relies ?
Frege repond a cette question en montrant que le parcours de valeurs d'une
fonction est un objet qui est determine par la valeur prise par cette fonction pour
tout objet comme argument. Lorsque les valeurs de deux fonctions pour le m^eme
argument sont les m^emes, on dit qu'elles determinentlem^eme parcours de valeurs.
Inversement, si deux fonctions ont le m^eme parcours de valeurs, alors elles ont
les m^emes valeurs pour les m^emes arguments. Pour un concept, l'extension est
determinee par tous les objets qui \tombent sous" ce concept 15 . Pour Frege,
si pour deux concepts, exactement les m^emes objets tombent sous chacun des
deux, alors on dit qu'ils ont la m^eme extension et inversement. Il est clair que le
parcours de valeurs et l'extension sont denis dans un sens extensionnel classique,
sens dans lequel deux ensembles sont identiques s'ils contiennent exactement les
m^emes elements 16 . Dans la theorie de Frege, les fonctions et les concepts sont
extensionnels. Frege insiste sur les deux faits suivants :
{ La denotation d'un nom de fonction est une fonction et celle d'un nom de
concept est un concept.
15 le verbe \tomber sous" est utilise par Frege.
16 C'est le principe de l'extensionalite de la theorie des ensembles.

58 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique
{ Une fonction est dierente d'un parcours de valeurs parce qu'un parcours de
valeurs est un objet et une fonction ne l'est pas. L'extension d'un concept
est un objet et un concept ne l'est pas. Les objets sont satures, les fonctions
et les concepts ne le sont pas.
Ces deux \faits" synthetisent le statut epistemique de la fonction et de son
parcours de valeurs dans la theorie fregeenne. Pour Frege, deux fonctions sont
egales si elles ont le m^eme parcours de valeurs. C'est l'egalite extensionnelle
des fonctions exprimee par l'axiome V (voir le paragraphe 2.2.3.7). L'idee que
deux fonctions peuvent dierer en tant que procedes de construction m^eme en
ayant le m^eme parcours de valeurs est a la base de la theorie fonctionnelle des
fonctions. Cette idee appara^t chez Frege, mais elle ne represente pas un axiome
de son systeme. Il donne l'exemple d'un concept, celui de conique (la conique en
geometrie). Ce concept peut ^etre deni par deux autres concepts dierents (avec
des intensions 17 dierentes), mais avec la m^eme extension :
{ La courbe obtenue par l'intersection d'un c^one avec un plan
{ La courbe representee en coordonnees cartesiennes par une equation de
second degre.
Il dit que :
Ces expressions n'expriment pas le m^eme sens, n'evoquent pas les
m^emes idees et les m^emes images. Je ne comprends pas par cela qu'un
concept et son extension sont une et la m^eme chose concider en
extensions est un critere necessaire et susant pour que les concepts
soit egaux comme pour la relation d'identite pour les objets.
Dans \Les lois de base
de l'arithmetique", il arme aussi que de :
a (a)= (a)
on peut inferer l'egalite des parcours de valeurs des fonctions et mais non
pas l'egalite des fonctions m^emes.
Une fonction represente pour son parcours de valeurs ce que le sens represente
pour la denotation. En analysant le concept versus son extension, Frege arme
que \le concept se trouve logiquement avant l'extension" parce que, dans l'essai
de denition de la notion d'extension, nous utilisons inevitablement et tacitement
la notion de concept. La relation entre concept et extension est calquee sur le
modele de l'extensionnel a l'intensionnel. Cette relation denie par les deux theses
suivantes, engendre l'inconsistance de la theorie fregeenne :
17 voir la denition de l'intension du chapitre 6.

L'ideographie fregeenne 59
t 1 . Pour tout concept de premier niveau () il existe un certain objet ()
qui represente son extension pour lequel la condition d'identite est celle
fournie dans la loi de base V.
t 2 . Cet objet est un objet \propre" dans le sens qu'il est un argument admissible
pour tout concept de premier niveau.
L'inconsistance des deux theses est prouvee en construisant le concept :
() =^etre l'extension d'un concept sous lequel cette extension ne tombe
pas
Nous pouvons constater facilement que ce concept est paradoxal et le paradoxe
provient du statut de l'extension (voir la demonstration en annexe A).
Parmi les deux theses, il faut au moins en modier une. La modication de t 2 .
conduit a la construction d'une theorie des types. La modication de t 1 . conduit
a donner une caracterisation aux concepts determinantlam^eme extension et cette
caracterisation s'exprime par des conditions qui ont genere plus tard la theorie
axiomatique des ensembles. Une de ces conditions est le principe d'abstraction
des classes :
(9y)(8x)(f(x) $ x 2 y)
Le statut d'objet du parcours de valeurs souleve quelques problemes dont la
reponse n'est pas encore donnee :
{ Pour un objet donne, peut-on decider s'il est ou non un parcours de valeurs?
{ Si oui, a quelle fonction correspond-il?
{ Un parcours de valeurs donne a-t-il ou non une propriete donnee?
La notion de parcours de valeurs presque oubliee en logique est beaucoup utilisee
aujourd'hui par des linguistes dans des tentatives metaphoriques d'expliquer
le \sens" des mots [Cul99c]. Mais ces tentatives sont loin de la notion fregeenne de
parcours de valeurs dont la grande vertu semble-t-il est d'eclaircir la dichotomie
fonctionnel { ensembliste et de justier l'approche fonctionnelle dans certaines
applications de la notion de fonction.
2.2.3.5 Nom (etiquette) des valeurs de verite et d'assertions
La dichotomie objet { variable est denie par les verbes denoter { indiquer.
Un nom denote un objet tandis qu'un nom de variable indique une variable. Les
deux peuvent avoir des noms simples ou complexes, complets ou incomplets, mais
la distinction de base est leur \r^ole semantique" donne par denoter { indiquer.
Un autre r^ole semantique est donne par le verbe \armer". Ce r^ole est joue par

60 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique
les noms de propositions. La denotation d'un nom de proposition est une valeur
de verite et son sens est le jugement. Une seule dierence : la valeur de veriteest
denotee, tandis que le sens il est arme. Pour le nom exprime par le symbole :
p
Frege dit que son sens est \vrai" mais il ne dit rien sur sa denotation.
2.2.3.6 La theorie de l'identite deFrege
Frege developpe une theorie de l'identite qui est basee sur le sens d'une expression
:
Je ne parle jamais du \sens d'une expression" mais du \sens exprime
par une expression". Par contre, le sens \est" le sens d'une
denotation.
La denition de l'identite est donnee par :
Denition 2.1
DansA=B,lesens exprime par A et le sens exprime par B sont les sens d'une
m^eme denotation.
Cette denition exprime le fait que deux expressions A et B sont identiques
si f(e(A)) = f(e(B)) (voir gure 2.1). L'identite est une identite au niveau des
concepts et non pas au niveau des objets. Frege arme que ce critere d'identite
etablit la dierence entre \A = A" et \A = B". Le critere donne des conditions
dans lesquelles \A= B" et il verie ces conditions dans le cas \A = A". Ses
conditions sont caracterisables independamment de la langue dans laquelle A et
B sont exprimees.
Le systeme logique de Frege est un systeme construit avec sa theorie de l'identite.
2.2.3.7 Le systeme d'axiomes de \Grundgesetze der Aritmetik"
Les lois de base (axiomes presentes dans \Les lois de base de l'arithmetique")
sont :
I. p (q p) cet axiome est etendu a
tout objet

L'ideographie fregeenne 61
II.(a) (8 x) f(x) f(y) l'instanciation
II.(b) (8 f) G(f) G(g) l'instanciation pour le
second ordre
III. g(x = y) g[(8f)f(y) f(x)]
IV. :(p $:q) (p $ q) cet axiome est etendu a
tout objet
V. ^xf(x) =^xg(x) $ (8x)(f(x) $ g(x)) les fonctions egales ont
le m^eme parcours de
valeurs
VI. y =(x)(y = x)
Dans les lois I et IV les variables ne sont pas que des propositions, mais tout
objet fregeen. La loi III est le principe de l'indiscernabilite des identiques. Les
lois II(a) et II(b) sont les lois de l'instanciation pour la quantication du premier
ordre et du second ordre respectivement. La loi V est la loi qui arme que deux
fonctions sont egales si et seulement si leurs parcours de valeurs sont egaux. Cette
loi represente le noyau de la theorie extensionnelle fregeenne.
2.2.3.8 Conclusions sur le systeme fregeen
Le systeme logique de Frege est caracterise par :
{ La presentation du calcul propositionnel dans une maniere verifonctionnelle
(proche de la deduction naturelle)
{ Un systeme logique dans lequel les inferences sont realisees exclusivement
en concordance avec la forme de l'expression
{ L'analyse de la proposition en fonction { arguments a la place de sujet
{ predicat
{ La theorie de la quantication : les quanticateurs vus comme operateurs
{ Une denition logique de la notion de suite mathematique
{ Un univers conceptuel dont les primitives sont : le langage avec ses expressions,
le sens et la denotation, le couple concept { objet, le triplet fonction {
objet { parcours de valeurs et le triplet proposition { jugement { assertion.
{ La distinction entre contenu conceptuel et acte de jugement.
{ Le concept est une fonction.

62 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique
Ce systeme de notions represente une categorisation qui s'avere tres exploitable
pour la formalisation des modeles semantiques du langage.
Les principales critiques du systeme fregeen peuvent ^etre formulees dedeux
points de vue :
{ Du point de vue de la logique moderne la theorie de Frege est une theorie extensionnelle.
Peut-^etre cette caracteristique n'est pas vraiment une critique
tenant compte du fait que la plupart des theories mathematiques modernes
sont construites sur une theorie extensionnelle des ensembles.
{ Du point de vue de son application a l'analyse du langage, le systemefregeen
par son interpretation de la proposition comme fonction { arguments et par
la theorie de la quantication eace la categorisation traditionnelle sujet {
predicat et tous les problemes linguistiques qui en resultent.
Le deuxieme trait caracteristique du systeme fregeen est beaucoup plus important
et sa remise en cause a engendre d'autres \semantiques du langages" que
nous allons decrire dans les chapitres suivants. La notion fregeenne de concept
reste une notion de base dans plusieurs semantiques du langage plus (J.P. Descles
[Des90b]) ou moins formalisees (B. Pottier [Pot92]), m^eme si sa notion d'objet
subit des modications epistemologiques (voir la LDO { chapitre 6).
2.3 La categorisation et la quantication de
Peirce
Entre 1867 et 1893, S. C. Peirce developpe le calcul du premier ordre dans un
systeme categoriel propre et un symbolisme propre [Pei76], [Pei84].
La semantique de Peirce est construite a partir de quelques denitions :
{ Une proposition vraie est une proposition qui au passe, present ou futur
rend une pensee et qui a les trois caracteristiques suivantes :
1. Elle ne peut ^etre niee par personne, elle s'asserte elle-m^eme
2. Il n'y a aucun raisonnement qui peut la nier
3. Toute presupposition basee sur cette proposition sera veriee si les
conditions dans lesquelles la proposition initiale est armee sont veri-
ees
{ La realite est tout ce qui est represente par une proposition vraie.

La categorisation et la quantication de Peirce 63
{ Une realite positive ou verite est une proposition pour laquelle les trois
conditions ci-dessus sont veriees.
{ Une realite ideale est une proposition pour laquelle les deux premieres conditions
ci-dessus sont veriees, mais la troisieme n'est pas veriee. C'est le
cas de la verite purement mathematique.
{ Une realite ultime (verite ultime) est une proposition pour laquelle la premiere
condition ci-dessus est veriee, mais qui ne peut ^etre jamais explicitee
par un raisonnement et sur laquelle aucune prediction ne peut ^etre faite.
Les objets de Peirce sont denis a partir de la categorisation sujet { predicat.
1. Un objet (individu) est un sujet pour lequel tout predicat est soit universellement
vrai, soit universellement faux.
2. Un objet primitif est un individu ayant des caracteristiques en soi : la durete
d'une pierre, par exemple.
3. Un objet derive est un individu qui n'a pas de caracteristiques en lui-m^eme,
mais des caracteristiques induites par celles d'autres choses : par exemple
le peuple francais est un individu pour lequel toute armation passe par
les armations qui concernent les hommes, le pays etc.
La notion d'individu utilisee par Peirce est en fait la notion d'objet, mais d'un
certain type.
Dans \On the Algebra of Logic" [Pei76] Peirce arme que l'activite humaine
de raisonner est soumise aux lois generales de l'activite nerveuse. Il dit :
Notre representation de cette habitude s'appelle \jugement". Une
habitude de croyance commence par ^etre oue, elle devient de plus
en plus precise. Ce processus de developpement qui se produit dans
l'imagination s'appelle \pensee". Un jugement engendre unautrejugement.
Ce processus s'appelle \inference". Le jugement antecedent
s'appelle \premisse". Le jugement consequent s'appelle \conclusion".
Pour Peirce le type general d'inference est :
P
C
ou P est la premisse, C la conclusion et le symbole
est le symbole d'inference.
Peirce reprend l'algebre de la logique de Boole dans un nouveau formalisme.
Il arme que la logique presuppose non seulement un symbolisme pour les inferences,
mais aussi un moyen de les soumettre au criticisme et, donc, la forme :

64 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique
P C
est insusante. Nous avons besoin de la forme :
P PP C
qui exprime la verite du principe d'inference.
Ici P denote une premisse quelconque d'une classe et C la conclusion correspondante.
Le symbole P P represente la copule et il signie que \tout
etat de choses dans lequel une proposition de la classe P est vraie est un etat de
choses dans lequel les propositions correspondantes de la classe C sont vraies".
Mais la logique presuppose qu'il y a des propositions qui ne sont pas vraies et,
donc, il faut avoir une forme pour nier une inference. Pour Peirce, nier l'inference
se represente par 18 :
P
PP C
D'apres Peirce toutes les formes des propositions sont :
1. A PP B Tout A est B A est une espece de B
2. A PP B
Il y a des A qui ne sont
pas B
A contient une partie
externe a B
3. A PP B Aucun A n'est B A est externe a B
4. A PP B Il y a des A qui sont B A et B ont une partie
commune
5. A
PP B Tout est soit A soit B A contient le
complement deB
18 Une barre sur tout le symbole signie la negation du symbole.

La quantication de Russell 65
6. A
PP B
Il y a quelque chose
qui n'est ni A ni B
A et B ne recouvrent
pas tout l'univers
7. A PP B A comprend tout B A est le genre de B
8. A PP B
A ne comprend pas
tout B
A manque d'une partie
de B
Les quanticateurs sont representes par 1. et 4.
2.4 La quantication de Russell
B. Russell est considere comme le fondateur de la logique formelle moderne.
Son uvre s'inscrit dans le courant des travaux sur la philosophie des mathematiques.
Il est egalement le createur d'une theorie des types, theorie qui voulait
resoudre le celebre paradoxe de la theorie des ensembles connu sous le nom du
\paradoxe de Russell" (voir annexe A).
La quantication appara^t chez B. Russell dans le contexte de sa theorie des
types. Elle est presentee d'une maniere assez informelle et moins precise que chez
Frege.
B. Russell appelle fonction propositionnelle une fonction d'un argument qui
pour une valeur xee de l'argument rend une proposition. Dans \Mathematical
Logic as based on the Theory of Types" [Poi86], il remarque que la distinction
entre :
(1) Armer toute valeur d'une fonction propositionnelle
(2) Armer que la fonction est toujours vraie
appara^t en mathematiques a partir d'Euclide comme la distinction entre general
et particulier.
Dans toute suite de raisonnement mathematique, les objets dont les proprietes
sont etudiees representent les arguments de toute valeur d'une fonction propositionnelle.
Quand on arme \toute valeur d'une fonction propositionnelle" on
arme \la fonction propositionnelle".
Si

66 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique
x (1)
est une fonction propositionnelle, alors on denote par :
(x):x (2)
la proposition \x est toujours vraie".
De facon similaire, (x y):(x y) se lit : \(x y) est toujours vraie".
La distinction entre (1) et (2) est que (1) ne peut ^etre traite comme une
proposition determinee. Quand une valeur d'une fonction propositionnelle est
armee l'argument est appele variable reelle quand une fonction est nommee
\toujours vraie" ou \toujours fausse" l'argument est appele\variable apparente".
Russell arme que la distinction entre les assertions de x et de (x):x aete
faite la premiere fois par Frege.
Dans l'article \La theorie des types logiques" publie en 1910 dans la \Revue
de Metaphysique et de morale" comme reponse a un article de Henri Poincare,
Russell explique sa theorie des types et dans ce cadre, la quantication :
Nous denotons par le symbole (x)x la proposition \x toujours",
c'est-a-direlaproposition qui arme toutes valeurs acomprendre sous
^x. Cette proposition enveloppe la fonction ^x elle-m^eme, et non pas
seulement une valeur ambigue de la fonction. Quand nous jugeons
\Tous les hommes sont mortels" nous croyons a laverite de notre
jugement, mais la notion m^eme de verite n'est pas necessairement
presente a notre esprit.(...)
Quand nous disons \x est une proposition", cela signie que nous
armons quelque chose qui est vrai pour toute valeur possible de x,
bien que nous ne decidions pas quelle valeur peut avoir x. Nous posons
une armation ambigue concernant n'importe quelle valeur de
la fonction. Mais quand nous disons \^x est une fonction" nous ne
posons pas d'armation ambigue.
La quantication pour B. Russell est denie par :
Si x est une fonction propositionnelle, alors :
1. (x):x se lit : \x est toujours vraie"
2. (9x):x se lit : \x est quelquefois vraie" ou \x
pour quelques valeurs de x
Russell appelle la verite de ces deux propositions \verite de second genre" en
l'opposant a laveritedex qui est une \verite de premier genre". Il arme que
les deux \genres de jugement" sont des idees primitives.
Nous pouvons conclure par :

La quantication de Peano 67
{ Russell, en denissant la notion de fonction propositionnelle, denit la notion
de predicat : une fonction propositionnelle est un predicat 1-aire.
{ Il essaie, en expliquant la dierence entre (x):x et ^x, d'expliquer la
dierence entre le predicat P (x) etl'operateur 1 applique acepredicat :
1 P 19 .
{ Il ne voit pas les quanticateurs comme des operateurs.
{ La semantique de (x):x et (9x):x est donnee par les mots de la langue
naturelle \toujours" et \quelquefois" et non pas dans le systeme m^eme.
2.5 La quantication de Peano
Dans \Formules de logique mathematique" [Pea58] Peano denit un symbolisme
du calcul du premier ordre ou on retrouve la quantication.
Quelques denitions :
Cls signie \classe". Il a la valeur du mot \Menge" et correspond a la notion
d'ensemble.
Soient a et b des classes : a b signie \Tout a est b".
Soient P et Q des propositions contenant une variable x :
p x q
signie \de P on deduit Q, quelque soit x" ou \les x qui satisfont a la condition
P satisferont aussi a la condition Q". L'indice x du symbole peut ^etre omis
quand il n'y a pas d'ambigute.
La quantication universelle est exprimee par :
x a : \tout x appartient a laclassea"
ou par
x " P : \tous les x qui verient P"
ou P est une proposition qui contient une variable reelle (variable qui appara^t
dans une formule dont la valeur depend du nom de la lettre). Une telle proposition
est appelee \proposition conditionnelle".
La quantication existentielle est exprimee par :
Soit a une classe.
9a signie \il y a des elements dans a" ou \des a existent".
La proposition \il y a des a qui sont b" est symbolisee par:
9ab
La quantication pour Peano est denie en termes de classes, mais si pour
la quantication universelle le symbolisme est celui de la theorie des ensembles,
pour la quantication existentielle, il introduit le symbole 9 du quanticateur. Il
19 voir les operateurs de Curry, chapitre 7.

68 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique
reste toujours au niveau de la theorie des ensembles, car sa logique est construite
pour fonder l'arithmetique.
2.6 Conclusions
Dans la tradition logico-philosophique la categorisation est plus ancienne que
la quantication. Parmi les premiers systemes de categorisation se trouve l'arbre
de Porphyre [Des98g]. Les systemes de categorisation de l'antiquite essayaient
de construire des classes a partir des \objets" du monde, classes qui veriaient
certaines criteres. Mais, ce n'est qu'a partir d'Aristote que les categories portent
sur les notions : mathematiques, grammaire, etc.
La logique a partir de Frege se developpe par les \systemes logiques", systemes
qui developpent implicitement des systemes de categorisation sous-jacents. Ce
sont des categorisations au niveau des concepts propres a chaque systeme logique :
la denition des primitives du systeme et leur classication. Et c'est avec le
systeme m^eme qu'on decrit le systeme categoriel sous-jacent.
La quantication se developpe sous deux formes : une forme empirique { la
prise en compte des propositions du type \Tout homme est mortel" et \Il y a des
hommes qui sont sages" une forme logique { partie d'un systeme logique. C'est
a partir de Frege que cette deuxieme forme se developpe et que la quantication
est integree au systeme logique. Aujourd'hui elle fait partie integrante de la
logique classique (le calcul du premier ordre) ou d'autres systemes logiques, dans
des formes modiees. L'integration et la constitution de la quantication dans
une theorie ne se sont pas produites facilement. Il reste toujours des \rudiments
d'empirisme" dans l'expression du mecanisme de la quantication. Cette chose
est due au fait que la quantication est basee sur le systeme de categorisation sousjacent
au systeme logique. Un systeme categoriel adequat determine la denition
de la quantication comme une sous-partie du systeme. C'est pour cette raison
que le systeme categoriel de Frege (ses primitives : sens { denotation, concept {
objet, fonction { objet) determine l'interpretation de la quantication comme un
systeme d'operateurs avec leur syntaxe et leur semantique.
La quantication dans sa forme \empirique" a continueasedevelopper et nous
pouvons constater cette forme dans les approches de Peirce, Peano et Russell.
Pour les fondements des mathematiques, pour l'etude des paradoxes, m^eme
pour l'epistemologie des mathematiques, l'approche de Russell represente un
point crucial dans le developpement. Son systeme categoriel, represente par sa
theorie des types et qui s'est avere utile pour la formalisation de la theorie des ensembles,
reste limite pour une theorie de la quantication a cause de son caractere
ensembliste.

Conclusions 69
Les \theories de la quantication" de Peirce et Peano n'apportent pas d'elements
nouveaux a part leur symbolisme.
Mais Frege est celui qui a essaye d'eclaircir le probleme de la quantication
peut-^etre sans en avoir l'intention bien precise, mais dans le seul but d'esquisser
son systeme logique. Le systeme categoriel de son systeme logique permet
d'interpreter les quanticateurs comme des operateurs et donne une ouverture
\fonctionnelle" a la quantication, m^eme si elle est construite dans une theorie
\ensembliste" par excellence.

70 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique

Chapitre 3
Critique de la quantication
fregeenne par les arguments des
ante-fregeens
... There is as much truth in beauty
as there isbeauty in truth.
F. Sommers
3.1 Introduction
Le systeme logique de Frege n'a pas contribueaudeveloppement de la logique
mathematique moderne, mais son systeme conceptuel a beaucoup inuence la
philosophie du langage.
Dans l'introduction de l'etude sur Frege de Michael Dummett [Dum73] on lit:
Il (Frege) a ete l'initiateur de la periode moderne dans l'etude de la logique. . .
La comprehension de la structure fondamentale du langage et, par consequence,
de la pensee, depend de l'explication correcte de la construction des propositions
et des relations entre elles. Cette explication est la t^ache de la logique. La logique
moderne contrairement aux grands systemes logiques anciens { l'antiquite
classique, l'Europe medievale, l'Inde { est capable d'une telle explication gr^ace
au mecanisme des quanticateurs et des variables liees. Malgre toutes les subtilites
des systemes anciens, leur analyse de la proposition n'atteint pas la profondeur
de l'analyse realisee par la logique moderne qui est capable de manipuler
un mecanisme general. La decouverte de ce mecanisme et sa signication pour le
langage est due a Frege m^eme s'il n'avait realise que cette t^ache, il aurait rendu
un grand service alaconnaissance humaine.

72 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens
Le jugement historique sur la signication de la contribution de Frege a la
logique moderne est standard.
Frege propose le mecanisme de la quantication et l'utilisation des concepts
mathematiques de fonction et d'argument dans l'analyse d'une proposition. Le
quanticateur est pour lui, sans qu'il le dise explicitement, un operateur s'appliquant
a unpredicat n-aire pour construire un predicat (n-1)-aire. Construire une
proposition represente, pour lui, donner des valeurs aux arguments d'une fonction
de plusieurs arguments (le predicat). Mais cette analyse eace les notions
linguistiques traditionnelles de sujet et de predicat de l'analyse d'une proposition.
Donner a tous les arguments d'une fonction le m^eme statut, comme le font les
mathematiques est sinon contradictoire au moins dierent de la position linguistique.
Celle-ci considere que dans l'analyse d'une proposition, il y a deux entites
syntaxiques de base: le sujet et le predicat, entre lesquelles il y a une relation
bien determinee. Les questions qui se posent naturellement sont:
Peut-on decrire la construction d'une proposition par un type particulier de
fonction dont un des arguments est privilegie par rapport aux autres?
Quel type de relations entretient cet argument avec sa fonction et quel est
le type de relations entre la fonction et les autres arguments?
Quel est le statut de la quantication dans cette construction si elle est
possible?
F. Sommers propose une analyse des dierences entre la logique mathematique
classique (le calcul des predicats) vue dans une perspective fregeenne et la m^eme
logique vue dans une perspective ante-fregeenne. Les conclusions de cette analyse
sont examinees par rapport a leur possibilite d'application a lasemantique
des langues naturelles, en tenant compte des idees de base qui viennent du c^ote
de la linguistique. C'est ainsi qu'il se propose de construire une \syntaxe logique"
des langues naturelles basee sur l'analyse de base de la proposition en deux
termes: sujet-predicat. Cette idee de nature linguistique appartient egalement a
la logique ante-fregeenne. Frege est le premier qui a rompu avec la tradition en
proposant l'analyse inspiree des mathematiques : fonctions-arguments. Renouer
avec la tradition ante-fregeenne et construire une theorie a deux termes est le
but de Sommers. Sommers appelle la logique ante-fregeenne, la logique formelle
traditionnele (LFT) et la logique mathematique post-fregeenne, la logique moderne
des predicats (LMP). Il construit un systeme syntaxique appele algebre
de la LFT pour l'analyse des propositions de la langue naturelle. Ce systeme a
d'autres bases conceptuelles que la LMP et dans ce systeme, la quantication a
un statut a part.
Nous presentons dans ce chapitre l'analyse de Sommers d'apres [Som82]. Cette
analyse porte sur le statut de l'identite, le statut du pronom, le statut du quanti-
cateur, la pertinence de la theorie a deux termes. Finalement, nous presentons
sa \syntaxe logique", l'algebre de la LFT.

Presentation du systeme de F. Sommers 73
3.2 Presentation du systeme de F. Sommers
Ce qui represente le point focal dans une modelisation logico-mathematique de
la syntaxe du langage est l'hypothese qu'on accepte sur les parties primitives
d'une proposition. D'autres problemes de nature linguistique comme: le pronom,
le statut de la copule, le statut de l'anaphore qui peuvent avoir une expression
logique, ou bien des problemes de nature logique comme: la quantication, le
statut de la variable qui peuvent avoir une traduction linguistique, peuvent se
rajouter pour expliquer le choix de l'hypothese sur la structure de la proposition.
Selon les deux grandes traditions, celle de la logique formelle traditionnelle (LFT)
et celle de la logique moderne des predicats (LMP) 1 une proposition peut ^etre
analysee comme etant:
une structure binaire { (Sujet-Predicat)
une structure fonctionnelle { fonction avec ses arguments appliquee a certains
objets: (f a 1 ,...,a n )
La deuxieme interpretation est due a Frege.
3.2.1 Y a-t-il des propositions atomiques?
Il est accepte, en general, que le \sens logique" d'une proposition comme:
Chacun envie quelqu'un.
depend du mecanisme des quanticateurs.
Son \sens logique" (l'expression logique correspondante) est:
(8 x)((9 y) (x envie y))
Frege est le premier qui a exprime cette idee en donnant l'expression logique
d'une telle proposition, mais ecrite dans son symbolisme (le symbolisme de son
\Ideographie" { voir le chapitre 2).
Frege propose la decomposition de la proposition etape par etape, correspondant
aux dierents \symboles de generalite" qui apparaissent dans la proposition
m^eme. Une proposition est formee en combinant un \symbole de generalite" avec
un predicat 1-aire. Le \symbole de generalite" est deni comme etant une variable
ou un quanticateur. Un predicat 1-aire est lui-m^eme vu comme une proposition
de laquelle on a enleve une ou plusieurs occurrences d'un terme singulier (nom
propre).
Par exemple, si on commence par la proposition:
Pierre envie Jean.
en enlevant le nom propre \Jean" et en le remplacant par la variable y, on obtient
1 Cette terminologie et les abreviations sont employees par F. Sommers.

74 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens
le predicat 1-aire:
Pierre envie y.
Ce predicat peut ^etre combine avec le symbole de generalite \quelqu'un" et
on obtient:
Pierre envie quelqu'un.
En enlevant le nom propre \Pierre" et en le remplacant par la variable x, on
obtient le predicat 1-aire:
x envie quelqu'un.
Ce predicat peut ^etre combine avec le symbole de generalite \chacun" et on
obtient:
Chacun envie quelqu'un.
Le probleme qui se pose est d'etablir la nature ontologique d'une proposition
et particulierement dedenir et de donner la nature du sujet logique. D'ou la
question derivee qui se pose:
La proposition atomique existe-t-elle?
Sommers commente les analyses de Frege faites par les post-fregeens. Il
presente le schema propose par Dummett pour l'analyse de Frege:
{ (1) On commence avec une proposition singuliere comportant deux noms
propres et on supprime un nom propre. On obtient un predicat.
{ (2) On combine le predicat avec un symbole de generalite. On obtient une
proposition.
{ (3) On supprime l'autre nom propre. On obtient un autre predicat.
{ (4) On combine ce predicat avec un autre symbole de generalite. On obtient
une proposition generale multiple. 2
La suppression du nom propre equivaut a son remplacementparunevariable,
parce que pour Frege la fonction est une entite non-saturee qui attend la saturation.
Soit la proposition:
Pierre envie Jean.
D'apres le schema ci-dessus il y deux analyses possibles.
2 Dans la terminologie de Dummett une proposition singuliere ne contient pas de quanti-
cateurs, une proposition generale singuliere contient un seul quanticateur, une proposition
generale multiple pusieurs quanticateurs.

Presentation du systeme de F. Sommers 75
Analyse I.
(1) Pierre envie Jean. (proposition singuliere atomique)
(2) x envie Jean. (predicat 1-aire )
(3) (8 x) (x envie Jean ) (proposition generale singuliere)
(4) (8 x) (x envie y) (predicat 1-aire)
(5) (9 y) (8 x) (x envie y) (proposition generale multiple)
Analyse II.
(1) Pierre envie Jean. (proposition singuliere atomique)
(2) Pierre envie y. (predicat 1-aire )
(3) (9 y) (Pierre envie y) (proposition generale singuliere)
(4) (9 y) (x envie y) (predicat 1-aire)
(5) (8 x) (9 y) (x envie y) (proposition generale multiple)
Dummett accorde a la proposition initiale l'interpretation II.
La these de Frege est: Les propositions singulieres sont plus primitives du
point de vue syntaxique que les propositions generales.
Il appelle une proposition singuliere proposition atomique.
Conformementalatheorie de Frege, il est legitime de considerer des propositions
atomiques.
Par ailleurs, on considere la quantication de Leibniz, lorsque \a" est un objet
determine, deni par :
aestP (8 a) a est P (9 a) a est P 3
Leibniz considere le quanticateur (symbole de quantite) implicite (libre) note
QL et deni par:
QL x ssi (9 x) =) (8 x)
Une proposition singuliere peut ^etre consideree comme un cas particulier de
proposition quantiee : elle est quantiee par le quanticateur libre. Par exemple,
la proposition :
Socrate est sage.
peut ^etre interpretee comme equivalente a:
(Il y a un) Socrate (qui) est sage.
et equivalente a:
(Tout) Socrate est sage.
Alors, il n'est pas legitime de faire une classe a part des proposition atomiques.
La reponse a la question formulee par le titre de ce sous-chapitre est negative.
F. Sommers presente les principales dierences entre la theorie fregeenne (il
l'appelle doctrine fregeenne) et la theorie de ses predecesseurs de l'antiquite et
3 L'ensemble des valeurs de \a" doit ^etre suppose non-vide.

76 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens
du Moyen Age (il l'appelle doctrine scolastique). La dierence entre la doctrine
fregeenne (F) et la doctrine scolastique (S) est:
(1) F: Un sujet logique doit ^etre simple.
S: Un sujet logique est une expression avec un symbole de
quantite (quanticateur).
(2) F: Le sujet et le predicat n'ont pas de partie commune
(syntaxiquement).
S: Le sujet contient un terme qui est interchangeable (du
point de vue syntaxique) avec le terme du predicat.
(3) F: La dierence entre le sujet et le predicat est une
dierence primitive entre deux types d'expressions
categorematiques : le predicat est un syncategoreme, le
sujet est un categoreme.
S: La dierence entre le sujet et le predicat est celle d'avoir
des elements syncategorematiques dierents:
Pour le sujet: tout x, un x
Pour le predicat: est y, n'est pas y 4 .
(4) F: Il existe une distinction entre les propositions singulieres
et les propositions generales.
S: Il n'existe pas de distinction entre les propositions singulieres
et les propositions generales.
La doctrine de Leibniz de la quantication (symbole de quantite) libre pour les
propositions singulieres est une rivale importante de la doctrine de Frege disant
que les propositions singulieres sont atomiques du point de vue logique.
Pour Sommers la these fregeenne sur le caractere atomique des propositions
singulieres n'est pas fondee et elle est dans un contraste profond avec la theorie
scolastique. De son point de vue, Sommers maintient les assertions:
(i) Le sujet logique est toujours singulier dans une proposition singuliere et il
represente le seul support de la predication.
(ii) La primitive d'une proposition singuliere est: un sujet qui designe, un
predicat qui caracterise. L'expression-sujet diere de l'expression-predicat du
point de vue du type syntaxique, mais elles ne sont pas distinguees du point de vue
syncategorematique. La dierence syntaxique est due a la dierence semantique:
le sujet designe, le predicat caracterise.
(iii) Les propositions singulieres sont syntaxiquementetsemantiquement plus
primitives que les propositions generales.
4 Ici les elements syncategorematiques sont le quanticateur pour le sujet et l'operateur de
negation pour le predicat.

Presentation du systeme de F. Sommers 77
3.2.2 La theorie a deux termes
La logique de Frege est une logique avec variable libre. La classication propositions
atomiques-propositions generales est derivee de la logique fregeenne et elle
induit une theorie non-binaire de la proposition, c'est-a-dire une theorie qui eace
la distinction sujet-predicat.
L'hypothese que la forme logique primitive de la proposition est (Sujet Predicat)
represente l'axiome de la theorie a deux termes (la theorie binaire). Cette
hypothese se trouve a la base de toute logique ante-fregeenne. Aristote, dans De
Interpretatione [Ari*] decompose la proposition en \nom" et \predicable". La
distinction et en m^eme temps la relation qui existe entre \onoma" et \rhema"
est remarquee par Aristote. Le premier qui formule ce rapport en termes de
dierence de categorie est Frege. Et pourtant, Frege est le premier a rompre avec
l'analyse traditonnelle (Sujet Predicat) (voir le chapitre 2). Il propose une analyse
en termes de fonction et ses arguments. Sommers remet en cause l'analyse
fregeenne et apres une analyse de celle-ci, il opte pour l'hypothese de la theorie a
deux termes. Pour decider entre l'hypothese de la theorie a deux termes (binaire)
et la theorie a un terme (fonctionnelle) comme primitive cognitive, F. Sommers
analyse la these de l'atomicite de la proposition de Frege en appliquant deux
criteres: le critere de la negativite et le critere de la distributivite.
Le critere de la negativite (le critere fregeen du sujet logique).
Frege parle du \sujet logique" ou du \veritable sujet" d'une proposition. Il
propose le critere de la negativite qui porte sur l'application de la negation au
predicat et non pas au sujet. Ce critere est le suivant :
Une expression E est le sujet logique relatif a une expression F dans une proposition
`EF' si et seulement si en changeant F en NF on obtient une proposition
qui est contradictoire a `EF' 5 :
non(a est P) (a est non-P) 6 (1)
Ce criterenepeut^etre considere comme un critere que pour les propositions
atomiques. Pour les propositions quantiees:
mais
non(tout S est P) 6= (tout S est non P) (2)
non(tout S est P) (il y a des S tels que non P) (3)
5 Les notations utilisees sont les notations de Sommers.
6 \a" denote un objet dans le sens fregeen.

78 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens
Si on accepte la quantication libre de Leibniz, une proposition de type (1)
devient un cas particulier de (2) et verie (2') (parce que \il existe S" implique
\tout S"):
non (tout S est P) (tout S est non P)
(2')
Donc, il n'y a aucune raison de considerer ce critere fregeen comme un critere
pour accepter les propositions atomiques comme etant des primitives.
Le critere de la non-distributivite
Le critere de la non-distributivite porte sur la distributivite d'un quanticateur
versus les connecteurs logiques \et" et \ou".
Nous savons que :
(a) (a est P et Q) (a est P) et (a est Q)
mais
(b) (il y a des A qui sont P et Q) 6= (il y a des A qui sont P) et
(il y a des A qui sont Q)
et
(a) (a est P ou Q) (a est P) ou (a est Q)
mais
(b) (tout A est P ou Q) 6= (tout A est P) ou (tout A est Q)
Si le \sujet logique veritable" est distributif par rapport aux connecteurs logiques
\et" et \ou", le \sujet quantie" ne l'est pas. La m^eme quantication de
Leibniz montre que le \sujet veritable" de Frege est un cas particulier de sujet
quantie et, donc, ce critere ne represente pas un \crible" pour discerner entre
les dierentes types de sujets proposes par Frege.
Sommers remarque encore que:
La possibilite de l'application de la negation pour le predicat (P, non-P)
et l'impossibilite pour le sujet (non-a est depourvu de sens) ne represente pas
un argument pour une theorie unaire c'est une simple distinction entre deux
categories syncategorematiques.
La categorisation de Frege concept-objet aete traduite traditionnellement
dans la langue par la paire predicat-nom, mais le sujet n'est pas toujours exprime
par un simple nom.
Le besoin de criteres pour qu'une expression soit \sujet logique" est critique
pour la LMP, mais elle ne l'etait pas pour la LTF.
Le predicat a toujours une \arite" xe (le nombre de ses arguments est xe
par le predicat m^eme). En revanche, le sujet, m^eme s'il est vu comme une expression
construite par une composition des fonctions, n'a pas d'arite (le nombre

Presentation du systeme de F. Sommers 79
des fonctions qui entrent en composition est libre).
Le caractere deni de la reference d'une expression comme \a" par rapport
au caractere indeni des expressions comme \il y a des S", \quelques S"
ne represente pas un critere pour l'atomicite de la proposition et, donc, pour
une theorie fonctionnelle. Les philosophes modernes n'acceptent que des sujets
exprimes par des expressions avec une reference denie (Russel considerait que
les noms propres sont les seuls porteurs d'une reference \parfaitement denie").
Par contre, les scolastiques acceptaient que la reference d'expressions comme
\quelques S", \des S" soit denie. La distinction entre \sujet logique veritable"
et \sujet" n'est pas fondee.
Tous les arguments invoques pour l'atomicite d'une proposition sont appeles
par Sommers \arguments apologetiques".
Une fonction du point de vue fregeen est une entite non saturee. Elle attend
la saturation par ses arguments. Les arguments n'ont pas des caracteristiques
privilegiees les unes par rapport aux autres. C'est le point de vue mathematique
et celui apparente a la logique mathematique moderne.
La proposition peut ^etre vue comme l'instanciation d'une fonction particuliere:
un predicat de plusieurs arguments, mais parmi lesquels, l'un est privilegie. C'est
l'argument qui sera remplace par le sujet. De ce point de vue la proposition est
l'instanciation d'un predicat n-aire par des valeurs donnees aux arguments, dont
l'un a des caracteristiques qui se detachent par rapport aux autres.
Accepter la premiere hypothese, c'est avoir une theorie unaire (d'un seul
terme). Accepter la deuxieme hypothese, c'est avoir une theorie binaire (a deux
termes). Les categorisations linguistiques plaident pour la deuxieme. Les problemes
linguistiques comme : le type de la reference, le statut du pronom auxquels
une theorie peut repondre sont aussi un argument pour adopter une telle theorie.
La theorie binaire y repond. En plus, l'idee de commuter le niveau de base accepte
comme primitive de la connaissance est pertinente. La logique combinatoire
(voir le chapitre 4) est un outil logique qui fournit le mecanisme de changement
de niveau :
(:::((P y 1 ) y 2 ) ::: y n ) (f 1 (f 2 (:::(f n x) :::)
" niveau LFT " niveau LMP
Nous presentons dans le chapitre 4 le passage de la forme fregeenne de la
proposition a la forme de la LFT reprise par Sommers dans sa theorie a deux
termes, passage dont on peut rendre compte par la logique combinatoire.
La theorie developpee par J.P. Descles sur la la quantication et qui sera formalisee
dans les chapitres 6 et 7 est inspiree des hypotheses des ante-fregeens

80 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens
reprises par Sommers, mais a cause de l'outil de base, a savoir la logique combinatoire
de Curry [Cur58], elle repond d'une maniere plus simple et plus elegante
que la theorie de Sommers a plusieurs problemes linguistiques traditionnels.
3.2.3 Le statut du pronom
Le pronom, comme categorie linguistique, a suscite beaucoup de discussions parmi
les philosophes du langage. Ils ont essaye de donner le statut semantique du
pronom. Le pronom est considere dans les grammaires traditionnelles comme
une unite linguistique qui \remplace" un nom, ou un syntagme nominal (en latin :
pronomen).
Le probleme du pronom est lie au probleme de la reference.
3.2.3.1 La reference indenie
Le \probleme delareference" a toujours preoccupe les philosophes du langage.
Une expression nominale du langage est \l'etiquette" dans le langage d'un individu
(objet) ou d'un ensemble d'individus (objets). On dit que l'expression
\refere a..." ou \la reference de l'expression est...". En fait la reference est
la mise en correspondance de l'expression langagiere avec une entite de l'univers
d'interpretation. Pour Frege cette idee est exprimee en ce qu'il appele \sens
et denotation". Ce type de mise en correspondance est analyse par plusieurs
ecoles philosophiques et plusieurs interpretations en resultent. En general, les
philosophes contemporains du langage acceptent que la reference est denie si
l'expression renvoie a un seul objet et indenie si elle renvoie a un ensemble entier
: \un a tel et tel" est une referencedenie, alors que \tout a tel et tel" ou \il
y a des a tels et tels" est une reference indenie.
Sommers rappelle que les scolastiques consideraient que la reference de l'expression
\il a des S" est denie. Il considere que le caractere plus ou moins
determine delareference d'une expression ne doit pas ^etre un critere pour le
statut du sujet logique.
La syntaxe logique de la LFT attribue des quanticateurs a toute expression
sujet. Un sujet est une expression composee de:
{ un symbole de quantite (quanticateur)
{ un terme.
Un sujet pronominal [Som82] est une expression composee d'un quanticateur 7
et d'un terme lui aussi, mais avec des particularites. Ces particularites seront
decrites dans sa theorie du pronom presentee dans le paragraphe suivant.
7 Sommers l'appelle symbole de quantite

Presentation du systeme de F. Sommers 81
3.2.3.2 Quelques theories du pronom
Dans ce paragraphe nous allons presenter deux approches sur le pronom connues
dans la logique du langage : la theorie de Evans [Eva77] et celle de Sommers
[Som82]. La derniere est une analyse critique de la demarche commencee par
Quine et elle aboutit a une synthese et une classication du pronom.
La theorie du pronom de G.Evans
Gareth Evans [Eva77] analyse le statut de \variable liee" du pronom postule
par la LMP. Il fournit quelques contre-exemples a ce statut. Il construit le pronom
de type E (qui echappe aux autres theories). Il considere que les deux dimensions
linguistiques dont il faut tenir compte dans une bonne theorie du pronom sont la
reference et la quantication. Il adopte la theorie de la reference de Quine et la
semantique de la quantication de Frege (par opposition a celle de Tarski, utilisee
par Geach). Les exemples sur lesquels travaille Evans sont 8 :
(1) John owned some sheep and Harry vaccinated them last July.
Jean possedait quelques moutons et Harry les avaccines en juillet
dernier.
(2) John loves her and Mary loves him.
Jean aime Marie et elle l'aime.
(3) Socrates owns a dog and it bit Socrates.
Socrate possede un chien et il a mordu Socrate.
(4) Socrates has a nger which hurts him.
Socrate a un doigt qui lui fait mal.
(4') *Socrates has a nger and it hurts Socrates.
*Socrate a un doigt et il lui fait mal.
(5) There is a doctor in Manchester who is a woman.
Il y a un docteur a Manchester qui est une femme.
(5') *There is a doctor in Manchester and she is a woman.
*Ilyaundocteura Manchester et elle est une femme.
(5") There is a single doctor in X and she is a woman.
Il y a un seul docteur a Xetc' est une femme.
(6) There is a number which has an even successor.
Il y a un nombre qui a un successeur pair.
(6') *A number has a successor and it is even.
*Un nombre a un successeur et il est pair.
(7) Just one man drank champagne and he was ill.
Un seul homme a bu du champagne et il est tombe malade.
8 L'exemple 24 (c) ne fait pas partie du corpus de Evans.

82 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens
(8) John stupidly touched some snakes and they bit him.
Jean a touche b^etement quelques serpents et ils l'ont mordu.
(9) Most men who own a car wash it on Sundays.
La plupart des gens qui possedent une voiture la lavent le dimanche.
(10) Every man who owns a car washes it on Sundays.
Tout homme qui possede une voiture la lave le dimanche.
(11) Every man who owns some sheep vaccinates them in the spring.
Tout homme qui possede des moutons, les vaccine au printemps.
(12) Exactly two men got o their bicycles and then they fainted.
Deux hommes exactement sont descendus de leurs velos et ensuite
ils se sont evanouis.
(13) Exactly three men got o their bicycles and then they pushed the
Volkswagen up the hill.
Trois hommes exactement sont descendus de leurs velos et ensuite
ils ont pousse laVolkswagen en haut de la colline.
(14) If some arrows are green, they will hit the target.
Si quelques eches sont vertes, elles frapperont la cible.
(14')
*If some arrows are such that those arrows are green, those arrows
will hit the target.
*S'il y a quelques eches telles que ces eches sont vertes, ces eches
frapperont la cible.
(15) Just one man broke the bank at Monte Carlo, and he has recently
died a pauper.
Un seul homme a fait sauter la banque du Casino de Monte Carlo
et il est mort pauvre recemment.
(16) John smoked a pipe and he drank a lot of whisky.
Jean fumait la pipe et il buvait beaucoup de whisky.
(17) A Cambridge philosopher smoked a pipe and he drank a lot of
whisky.
Un philosophe de Cambridge fumait la pipe et il buvait beaucoup
de whisky.
(18) A man jumped out of the crowd and fell in front of the horses. He
didn't jump, he was pushed.
Un homme s'est precipite hors de la foule et il est tombedevant les
chevaux. Il ne s'est pas precipite, ilaete pousse.
(19) (la negation)
John owns a donkey. It is not male.
Jean possede un ^ane. Ce n'est pas un m^ale.

Presentation du systeme de F. Sommers 83
(20) (la modalite)
John owns a donkey and it likes carrots though it might not have
been the case that it liked carrots.
Jean possede un ^ane et il aime les carottes, quoiqu'il aurait pu ne
pas aimer les carottes.
(21) dipus thinks that Jocasta is childless, but she isn't.
dipe croit que Jocaste est sans enfants mais elle ne l'est pas.
(22) (le temps)
Boston has a Mayor and he used to be a Democrat.
Boston a un maire et c'etait d'habitude un democrate.
(23) (les attitudes psychologiques)
A man murdered Smith, but John does not believe that he murdered
Smith.
Un homme a tue Smith, mais Jean ne croit pas qu'il a tue Smith.
(24) (le croisement)
(a) Every man who despises her hurts the woman who loves him.
(a') Tout homme qui la meprise blesse la femme quil'aime.
(b) The only pilot that shot at it hit the MIG that was chasing
him .
(b') Le seul pilote qui lui atire dessus, a touche le MIG qui le
chassait.
(c) Les meres etaient sensibilisees aux signaux emis par ces enfants
an de leur permettre de mieux repondre a leurs besoins.
Evans remarque que les problemes qui se posent dans une bonne theorie du
pronom sont:
{ La reference. Il considere la reference dans le sens developpe par Quine
[Qui60], [Qui74a] et Geach [Gea62]. Determiner la reference d'une expression
represente d'apres Quine et Geach determiner un seul objet \nomme"
par cette expression ou un ensemble d'objets.
{ L'antecedent du pronom. L'antecedent d'un pronom est l'expression (souvant
trouvee avant le pronom) dont la reference est la reference du pronom.
{ La quantication. Dans la plupart des cas, l'antecedent est un syntagme
nominal quantie.
Dans son corpus d'exemples, il fait les remarques suivantes :
{ L'antecedent n'est pas toujours un vrai antecedent (exemples 2 et 24, en anglais).
Donc, au lieu de l'appeler \antecedent" on peut l'appeler \expression
qui xe le referentiel".

84 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens
{ Le pronom construit son \antecedent" et sa reference. Dans l'exemple (16)
la reference de \il" est \Jean qui fumait la pipe" et en (17), m^eme si\il"
n'est pas referentiel 9 , il renvoie a \tout philosophe de Cambridge qui fumait
la pipe d'autrefois", en (15) \il" est \le seul homme qui a cambriole
la banque de Monte Carlo", en (7) \le seul homme qui avait bu du champagne".
Dans les exemples (9) et (10) \la" renvoie a la \voiture possedee
par chacun", en (11), \les" renvoie aux \moutons possedes par chacun"
et en (12) \ils" renvoie aux \hommes qui sont descendus de leurs velos".
L'exemple (13) est de la m^eme nature que (12) mais, en plus, on peut
avoir deux interpretations: les trois hommes ont pousse la voiture en m^eme
temps ou l'un apres l'autre. Le pronom ne capte pas une interpretation
privilegiee. Dans l'exemple (14) la forme en * est l'interpretation logique,
m^eme elle n'existe pas au niveau de l'encodage. En (1) \les" porte sur \les
moutons possedes par Jean". Dans les exemples (20)-(23) la negation, la
modalite, l'aspect modient l'expression referentielle. L'exemple (3) admet
la paraphrase:
(3') Socrate possede un chien qui mord Socrate.
mais (4), (5), (6) n'ont pas les paraphrases (4'), (5'), (6').
{ En ce qui concerne la quantication, il y a des pronoms a antecedent simple
(PAS) et des pronoms a antecedent quantie (PAQ).
Pour le francais il y a les m^emes problemes sauf que l'antecedent est postpose
en (24a') et (24b') et il y a un autre type de croisement en (24c). Le probleme
de l'antecedent reste comme on voit des exemples (25) :
(25)
(a) Pourtant, c'est bien elle, Ingrid Caven. . .
(b) Il a ni par la vendre, cette maison ouilavait passe tant d'annee
...
(c) Le premier ministre a donc conrme hier, comme le laissait
entendre la veille le porte parole du gouvernement, la solution qu'il
a choisie.
Par rapport aux problemes souleves par Evans, dans son corpus il y a aussi
le probleme de la typicalite en (8) et (17). Le pronom ici renvoie aux \serpents
typiques" et au \philosophe typique de Cambridge". Dans (22) le pronom ne
reprend pas un objet totalement determine {\un maire"{, mais l'objet typique
totalement indetermine. (voir le chapitre 6)
9 Un pronom est appele referentiel par Quine et Geach si sa reference est un seul objet et
non-referentiel si sa reference est un ensemble.

Presentation du systeme de F. Sommers 85
Evans fait une comparaison entre sa theorie du pronom et la theorie de Geach
[Gea62][Gea76]. Il constate que :
Tous les deux, Geach et Evans, considerent le pronom comme une fonction
mais de manieres dierentes. Pour Geach: [1]
(i) le pronom selectionne son antecedent
(ii) il selectionne la reference de son antecedent
(iii) il ne refere pas (il n'existe pas, il realise une co-reference (un isomorphisme
epistemique) entre son antecedent etsareference).
Pour Evans: [2]
(i) le pronom selectionne son antecedent
(ii) il construit la reference de son antecedent
(iii) il identie sa reference avec la reference de son antecedent.
Evans transforme le probleme de co-reference en co-assignation.
En ce qui concerne la quantication de l'antecedent, un PAQ ne fonctionne
pas comme [1] ou [2] remarque Evans parce que la theorie de la reference (dans
le sens de Quine) est disjointe de la theorie classique de la quantication. C'est
pour cette raison qu'il introduit le pronom de type E. Ce pronom :
(i) est non-referentiel (dans le sens qu'il est co-assigne aunantecedent represente
par un syntagme quantie)
(ii) ne modie pas le quanticateur de son antecedent (ce qui est equivalent a
dire qu'il represente une quantication implicite (QL) sur son antecedent
comme Sommers le remarque).
Beaucoup plus general, Evans remarque qu'il y a des elements linguistiques
(comme le temps, la modalite, la negation) qui creent un contexte (le contexte
opaque) et par rapport a ce contexte il y a deux situations possibles:
{ le pronom et son antecedent sont dans le contexte (Jean croit que Georges
telephonera demain et qu'il viendra apres.)
{ le pronom se trouve dans le contexte et son antecedent se trouve a l'exterieur
(exemples (3), (20)-(23)).

86 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens
Pour mettre en evidence les caracteristiques denitoires (i) et (ii) du pronom
de type E, Evans donne quelques exemples:
(a) Jean possede quelques moutons et Harry les vaccine.
(b) Marie a danse avec plusieurs garcons et ils l'ont trouve interessante.
(c) Peu de philosophes sont venus alaf^ete, mais ils ont passe de bons moments.
(d) Jean a touche b^etement quelques serpents et ils l'ont mordu.
Sommers reprend l'exemple (a) et il rajoute les exemples (e),(f) et (g):
(e) Il y a des honduriens tres riches ils peuvent se permettre Perrier a soixante
dix-neuf centimes la bouteille.
(f) Il y a des enfants allergiques aux chats les chats ont un eet adverse sur
eux.
(g) Il y a des honduriens tres riches ils ont des ma^tresses, ils ont des yachts.
Il remarque une dierence entre les pronoms (ils et eux) dans les exemples
(a), (e), (f) et les pronoms dans les exemples (b), (c), (d), (g). Les premiers sont
des pronoms de type E. Ils renvoient a l'ensemble des objets represente par leur
antecedent: \les moutons possedes par Jean", \les honduriens tres riches", \les
enfants allergiques aux chats". Dans les exemples (b), (c) (d) et (g), les pronoms
ne renvoient qu'a un sous-ensemble de cet ensemble. Le m^eme pronom n'est pas
un pronom de type E. Cette constatation est purement epistemique.
La theorie de G. Evans sur le pronom ne couvre pas tous les types du pronom,
elle est construite specialement pour le pronom de type E.
La synthese de Sommers sur le pronom.
Le statut du pronom est tres important dans une \syntaxe logique" du langage 10 .
A la suite d'une analyse des theories du pronom de Geach et de Evans, il propose
que le pronom soit considere comme une paire:
Pronom = (Q, P)
ou Q est un quanticateur et P est le \proterme" ou le terme auquel le pronom
renvoie. Ce terme a comme denotation un objet ou un ensemble d'objets. Le
mot \pronom" est ambigu et on l'utilise d'une maniere ambigue. Le pronom
signie parfois le proterme, parfois il signie le terme complet y compris son
quanticateur. La theorie traditionnelle du pronom le voit comme un complexe
syntaxique.
\Quand la pronominalisation passe au-dessus des propositions le lien de base
est semantique et non pas syntaxique" dit Sommers. Il arme:
10 Ce que Sommers appelle \syntaxe logique" est une semantique y compris son rapport a la
syntaxe.

Presentation du systeme de F. Sommers 87
\Nous armons que la plupart des liens pronominaux sont de nature semantique
et, particulierement, nous armons que le lien syntaxique dans les translations
canoniques n'est pas adequat dans le cas du pronom referentiel ni dans le
cas des propositions qui ne peuvent pas ^etre comprises comme fonctionnellement
liees."
Sommers inrme la these selon laquelle le pronom est une variable liee et
il montre que la LFT est un bon outil pour une theorie du pronom. Sommers
remarque que le proterme P se construit a partir de son antecedent qui est de la
forme:
A=(Q A
A')
Le rapport entre P et A' d'un c^oteetQetQ A de l'autre determinent le fonctionnement
du pronom. Ces deux rapports determinent une double classication:
selon le type de reference et selon le type de quantication.
Le pronom est referentiel si P denote un individu ou des individus avec lesquels
le locuteur est dans un rapport epistemique (situation epistemique). Le pronom
est appele non-referentiel si P est un terme compose avec des elements de la
proposition antecedente. Le pronom referentiel est epistemiquement fort, alors
que le pronom non-referentiel est epistemiquement faible. Cette classication
correspond a une pronominalisation intra-proposition et a une pronominalisation
inter-propositions.
Les pronoms referentiels sont de deux types: pronom de type D (descriptif)
et pronom de type A (ascriptif). Le pronom de type D refere descriptivement a
un objet de la situation epistemique consideree :
Un homme que j'ai vu hier est sur le toit. Il est un voleur.
Le pronom de type A refere a un objet obtenu par une substitution dans
l'antecedent:
Ilyaunchiendans le jardin. Ce n'est pas un chien, c'est un chat.
Un homme s'est dresse dans foule et il est tombe devant les chevaux. Il ne
s'est pas dresse, il a ete pousse.
Pour les pronoms non-referentiels, Sommers distingue deux types: pronoms
de type B et pronoms de type E (deni par G. Evans). Le pronom de type B
est un pronom non-referentiel qui a comme quanticateur le m^eme quanticateur
que son antecedent. Il peut ^etre interprete comme une variable liee dans le calcul
des predicats:
Un homme est dans la rue. Il est pauvre.
Le pronom de type E est un pronom non-referentiel qui a comme quanticateur,
le quanticateur libre QL. Il ne peut pas ^etre interprete comme une variable

88 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens
Pronom
;@ ; @@@@
;
;
;
referentiel
non-referentiel
;@ ;@ ; @@@@ ; @@@@
;
;
;
;
;
descriptif
ascriptif
de type B
de type E
Le S est P.
Il y a des S
Un S est P.
Il y a des S
Il est Q.
qui sont P.
Il est Q.
qui sont P.
Ils ne sont S
Ils sont Q.
pas du tout.
Figure 3.1: La classication du pronom d'apres Sommers
liee 11 :
Jean possede quelques moutons et Harry les vaccine.
La classication des pronoms d'apres Sommers et les structures correspondantes
sont donnees par la gure 3.1.
Cette classication ne comprend pas le cas ou le pronom modie la quantication
de son antecedent. C'est le cas d'une possible interpretation des exemples
(b), (c), (d), (g).
Le statut du pronom: sa fonctionnalite, sa reference, son antecedent quantie
sont des arguments en faveur de la theorie a deux termes.
Sommers accepte l'idee que le pronom est une fonction,mais il ne le denit pas
tres claire. Il ne concoit pas le pronom comme operateur, et donc, l'antecedant du
pronom ne peut ^etre transforme par celui-ci en lui appliquant un quanticateur
typique non plus.
11 Ici Sommers entend que, syntaxiquement, l'antecedent est quantie \quelques moutons"
et \les" qui renvoie aux \quelques moutons de Jean" peut ^etre vu comme renvoyant a\QL
(quelques moutons de Jean)".

Presentation du systeme de F. Sommers 89
3.2.4 A-t-on besoin de l'identite?
La theorie de l'identite.
1. La theorie de l'identite est un des sujets debattus par la philosophie analytique
ou gurent des noms comme ceux de Russell [Rus56], de Quine[Qui74b],
de Strawson[Str74], de Geach[Gea62] ou de Dummett[Som82]. La theorie de
l'identite consiste a donner un statut formel a la proposition: \a est identique a
b" exprimee souvent par la proposition \a est b". Les propositions de ce type
sont appelees \propositions identite". Pour traiter l'identite, Sommers donne un
apercu de cette theorie a partir de Leibniz jusqu'a Frege, en marquant toujours
l'opposition entre la LFT a LMP.
Frege fait, pour la premiere fois, la distinction entre le mot qui designe un
objet, mot-objet et le mot qui designe un concept, mot-concept.
\Nous prediquons un concept sur un objet", disait Frege.
La distinction ontologique entre un concept et un objet correspond a la distinction
syntaxique entre le predicat et le nom.
Sommers considere dans son approche \termiste" et en gardant l'ontologie
fregeenne, la classication suivante des termes:
{ Le U-terme est le concept construit par ses proprietes (en intension)
{ le G-terme est le concept construit par l'ensemble des objets qui \tombent
sous" ce concept (en extension).
Le concept dans une vison \termiste" est donc un U-terme et l'objet est une
instance d'un G-terme.
La distinction entre \^etre d'identite" et \^etre de predication" est liee a la distinction
objet { concept, mot-objet { mot-concept, ou U-terme { G-terme. Sommers
remarque que cette distinction appara^t pour la premiere fois chez Frege
m^eme si Leibniz la faisait bien. Cette distinction se voit dans les deux exemples
de Frege:
Venus est l'etoile de matin. (identite )
Venus est une planete. (appartenance 2)
2. Dummett remarque que pour la premiere fois Frege a donne un statut
logique a l'identite. Avant lui, dans la logique formelle traditionnelle, les { ainsi
nommees { lois de l'identite etaient absorbees par d'autres lois logiques. Frege
interprete l'identite d'une double maniere:
{ comme une relation d'equivalence:
1: a a (reexivite)

90 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens
2: si a b alors b a (symetrie)
3: si a b et b c alors a c (transitivite)
{ comme un predicat particulier de deux arguments \^etre identique a" (Id) :
ab devient ((Id a) b) et 1.,2.,3. deviennent :
1 0 : ((Id a) a)
2 0 : si ((Id a) b), alors ((Id b) a)
3 0 : si ((Id a) b) et ((Id b) c), alors ((Id a) c)
Cette interpretation est appelee par Sommers l'interpretation dyadique. Il
s'ensuit qu'on peut ramener la relation a lapredication, ce qui est caracteristique
pour Frege. L'idee de proceder inversement et de ramener tout a
une relation est proposee par Sommers. Elle provient de l'encodage linguistique
des deux relations et 2 par le verbe ^etre 12 Sommers arme donc :
(i) La necessite d'introduire une relation primitive du point de vue logique
(ii) La possibilite dedenir une seule relation qui captera les deux sens du
verbe \^etre" et qui sera appelee identite monadique ( m ).
(iii) La necessite de donner de nouveaux axiomes pour cette relation.
La notation adoptee par Sommers pour ab est ? a est b ou le symbole \?"
marque la quantication libre QL. La quantication libre capte \a" comme un
objet, mais laisse \b" au niveau du concept.
Les axiomes sont:
1. ? a est a (reexivite)
2. si ? a est b alors ? besta(symetrie)
3. si ? a est b et ? b est c alors ? a est c (transitivite)
4. si ? a est b et ? b est P, alors ? aestP,Petant un predicat.
5. si pour tout P, ? b est P implique ? a est P, alors ? a est b.
Dans son interpretation dyadique Frege a essaye d'unier les sens du verbe
^etre d'une maniere predicative. Pour Frege, la theorie de l'identite est comprise
dans la theorie de la predication. L'entreprise de Sommers est d'unier les sens du
verbe ^etre d'une maniere relationnelle. L'identite monadique avec ses 5 axiomes
1.-5. couvre la necessite d'une logique speciale pour l'identite.
3. Sommers se situe toujours dans le cadre de l'opposition de la LFT a la
LMP, donc il cherche une alternative pour chaque sous-theorie de la LMP. Il
arme que:
\Pour chacun qui cherche une alternative a la theorie atomique, la distinction
objet-concept perd son autorite syntaxique et devient une simple distinction
metaphysique."
12 Sommers ne considere ici que deux valeurs du verbe \^etre" susceptibles d'^etre symbolisees
par .

Presentation du systeme de F. Sommers 91
4. La theorie de l'identite de Leibniz est exprimee par les lois de Leibniz:
Si a est identique a b, alors tout ce qui est dit sur a, peut ^etre dit sur b.
Si tout a est b et tout b est a, alors tout ce qui est vrai pour a, est vrai pour
b et tout qui est vrai pour b est vrai pour a :
aestb
... a ...
... b ...
qui donne :
Dictum de Omni
tout X est Y
... X ...
... Y ...
Frege considere l'identite comme une primitive et il n'utilise pas la loi de
Leibniz comme une denition de l'identite.
5. L'interpretation predicative de l'identite conduit Frege a sa propre theorie
du sens et de la reference dont le noyau est: un nom propre gagne sa reference
par son sens. Geach considere le paradoxe de l'identite : deux objets ne peuvent
jamais ^etre identiques.
6. Les discussions sur l'identite ontete augmentees par les propos de Kripke
[Kri72]sur la modalite des phrases identite: si \a est identique a b" est vraie,
alors elle est necessairement vraie. Savoir si la relation d'identite entre un objet
et lui-m^eme estnecessairement vraie reste un probleme ouvert.
7. La theorie a deux termes de Sommers peut avoir une notion de l'identite
dans laquelle les propositions identite sont monadiques (l'identite monadique). La
theorie de l'identite monadique est non-relationnelle pour Sommers. Il comprend
le terme \non-relationnelle" dans le sens ou elle n'est pas une sous-theorie de la
theorie des relations. Les lois de l'identite monadique ont leurs correspondants
dans la LMP.
Cette approche presente comme avantages :
{ L'identite monadique chasse le paradoxe de l'identite.
{ Les theoremes sont beaucoup plus elegants dans la LFT que dans la LMP.
Les desavantages sont:
- Son pouvoir d'expression reste restreint analyser des propositions comme
\Il y a au plus un Createur" (\Il n'y a qu'un Createur"), \Il yaexactement deux
astres" (\Il n'y a que deux astres") est une entreprise tres compliquee
-Gerer les arguments contenus dans une proposition identite necessite plus
d'attention.

92 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens
3.3 L'algebre de la LFT
F. Sommers propose un formalisme algebrique tres simple comme \syntaxe logique"
basee sur sa theorie a deux termes. Ce formalisme est appele l'algebre de la
logique formelle traditionnelle (LFT) ou la logique formelle des termes (LFT). 13
Chaque element de cette algebre represente une \forme logique" qui interprete
une proposition d'une langue naturelle.
Pour pouvoir analyser le systeme de Sommers nous faisons d'abord quelques
remarques generales sur les formalismes logiques de la semantique des langues naturelles.
La structure fonctionnelle de la proposition est un element determinant
de la syntaxe d'un formalisme syntaxico-semantique pour le langage. La qualite
d'un formalisme linguistique exprime sa capacite a capter l'interdependance
syntaxe-semantique. Une bonne qualite du formalisme est obtenue si sa construction
considere trois parametres de la structure fonctionnelle de la proposition:
La structure de la proposition
Les elements de cette structure
Le fonctionnement de cette structure (le rapport entre la syntaxe et la
semantique mis en evidence par l'interpretation semantique fonctionnelle).
Nous retrouvons ces trois parametres explicitement species ou non dans
tous les formalismes linguistiques. Le symbolisme syntaxique doit capter l'interpretation
semantique fonctionnelle. Comme tout systeme semiotique, l'interpretation
semantique fonctionnelle est dependante de la syntaxe. La syntaxe
est determinee par l'interpretation semantique fonctionnelle. En variant les valeurs
de ces trois parametres dans un domaine des valeurs possibles etabli par
la theorie grammaticale classique et la philosophie du langage on obtient des
formalismes plus ou moins adequats.
La construction de l'algebre de la LFT a la base comme valeurs de ces parametres:
{ L'hypothese classique sur la syntaxe des langues naturelles : la structure
fondamentale de la proposition est binaire (S P)
{ La notion classique de categoreme et de syncategoreme 14 mais dans l'algebre
de la LFT les categoremes sont les termes et non pas les noms comme
Frege le postulait.
13 Sommers emlploie l'abreviation LFT soit pour toute sa theorie, soit pour son modele
algebrique.
14 Pour la premiere fois, dans les travaux de Husserl [Hus13] en respectant la tradition philosophique
des Grecs les categoremes sont vues comme des expressions saturees, avec une signication
complete, les syncategoremes comme des expressions non-saturees, avec une signication
incomplete.

L'algebre de la LFT 93
{ Toute proposition elementaire contient une expression syncategorematique
(un terme connecteur) qui unit les deux termes comme : \il y a un . . . qui
est", \tout est".
La structure de la proposition est, donc:
#
ou et sont les termes et # est le connecteur. Cette formule est une formule
bien formee dans l'algebre de Sommers.
M^eme si F. Sommers ne parle pas d'une semantique fonctionnelle, son analyse
et son formalisme tiennent d'une telle semantique.
L'analyse de Sommers commence avec l'analyse de la paire categoremessyncategoremes.
3.3.1 Expressions : categoremes, syncategoremes
Les logiciens classiques ont distingue deux types d'expressions : categoremes et
syncategoremes. Les categoremes sont les expressions qui denotent des objets ou
des etats de choses. La caracterisation classique des syncategoremes est essentiellement
negative: elle echoue a nous dire ce que ces expressions sont, mais elle
nous dit ce que ces expressions ne le sont pas. Quine appelle categoremes les
expressions extra-logiques et syncategoremes les expressions logiques. Quine est
Tarski considerent que les syncategoremes sedenisent uniquement par leur appartenance
a une liste nie d'elements. Dummett critique cette armation, mais
lui-m^eme ne fait pas une caracterisation complete de cette liste. Il accepte un
isomorphisme entre les propositions atomiques et les categoremes et entre les proposition
complexes et les syncategoremes. Sommers enumere quelques problemes
qui ont genere des points de vue dierents dans la logique du langage :
{ L'existence de la classe des propositions atomiques et la reconnaissance des
elements de cette classe le rapport entre cette classe et les categoremes
{ La denition des predicats primitifs
{ Le statut de l'identite (l'expression \^etre identique a"){Frege la considere
comme une expression extra-logique, Dummett la considere comme une
expression logique
{ La theorie des relations est-elle comprise dans la logique? Si non, quelle est
la position de cette theorie versus la logique, autrement dit la theorie des
relations est-elle une sous-theorie logique?

94 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens
Sommers ne met pas en cause explicitement la position philosophique selon
laquelle les categoremes sont des expressions \completes", pourvues d'une signi-
cation et les syncategoremes des expressions \incompletes" dont la signication
est dependante des elements sur lesquels elles portent. Sa conclusion degagee
apres une etude comparative des dierentes positions philosophiques est:
{ M^eme si nous n'acceptons pas la classe des propositions atomiques comme
categorie a part, ces propositions ne contiennent que des elements categorematiques
{ La classe des categoremes est innie et l'appartenance a cette classe n'est
pas encore speciee par un principe universel
{ Il faut se concentrer sur les syncategoremes et les etudier.
Les dierences structurelles entre la LMP et la LFT comme formalismes sont
basees sur les hypotheses suivantes:
{ (1)
{ (2)
{ (3)
{ LFT. Les categoremes d'une proposition elementaire sont les termes
et non pas les noms, ni les predicats.
{ LMP. Les categoremes d'une proposition atomique sont les noms, et
les syncategoremes sont les predicats.
{ LFT. Toute proposition elementaire a deux termes.
{ LMP. Aucune hypothese.
{ LFT. Toute proposition elementaire contient une expression syncategorematique,
nommee \connecteur" qui lie les deux termes. Ce connecteur
est exprime dans les langues naturelles par les expressions \tout. . .
est" ou \il y a des . . . qui sont"
{ LMP. Les syncategoremes d'une proposition atomique sont les predicats.
La construction syntaxique de Sommers est basee sur deux idees fondamentales
:

L'algebre de la LFT 95
{ Les mots comme \non, tout, et, il y a un, si alors, ou" apparemment
dierents ont un caractere commun : ils sont des syncategoremes. Ces mots
sont les correspondants dans la langue de ce que la LMP appelle connecteurs
et quanticateurs.
{ Il existe un \isomorphisme structurel" entre \et" comme connecteur propositionnel
et \il y a un qui est" comme quanticateur et \si alors" comme
connecteur propositionnel et \tout est" comme quanticateur.
Sommers emploie l'expression \isomorphisme structurel" pour exprimer la
\ressamblance" entre la structure d'une proposition du type \(Il y a un A qui)
est (B)" et la phrase \(p) et (q)".
L'algebre de la LFT est construite en deux etapes :
{ Le noyau de l'algebre
{ L'algebre entiere.
Le noyau de l'algebre est construit pour caracteriser un sous-ensemble de propositions
du langage naturel qui satisfait a:
(i) la syntaxe des propositions de ce sous-ensemble est facilement speciable
(ii) les propositions elementaires ont une structure canonique (S P)
(iii) chaque proposition de la langue naturelle est :
{ soit canonique elle-m^eme
{ soit elle est paraphrasable comme une proposition dans ce sous-ensemble.
Les syncategoremes du noyau sont : \il y a des (un) qui sont (est)", \et". Ils
sont mis en correspondance avec un foncteur commutatif y (le poignard) dont
l'interpretation est :
{ pour les termes du noyau (1):
A y B un A est un B il y a un A qui est B
{ pour les propositions du noyau (2):
p y q petq.
La structure commune de A y Betpy q s'exprime par le fait que les deux verient
A y B se lit : il y a un A qui est B (un A est B)
la commutativite. p y [q y r] se lit : pet(qetr)
< A y B y C > se lit : un A qui est B est C
[Ay < B y C >] y [Dy < E y F >] se lit : unAestBetCetunDestEetF
Nous remarquons le r^ole des dierents types de parentheses : les enferme
une structure des termes, les [ ], une structure propositionnelle. La syntaxe

96 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens
logique proposee analyse les propositions en parties logiques (dans le sens de la
logique classique) et parties extra-logiques (dans le sens de la grammaire).
La denition du noyau a comme point de depart les hypotheses :
1. Les categoremes sont les termes et les propositions
2. Les termes et les propositions apparaissent comme des paires d'elements
contraires:
Pour les termes : un citoyen, un non-citoyen.
Pour les propositions : Le roi est mort. Il est faux que le roi est mort.
Sommers part de l'idee qu'il existe deux negations : la negation d'un terme et
la negation d'une proposition. Il explique que si P est un terme, alors non-P est
aussi un terme appele leterme oppose deP. Ce qui echoue a ^etre un P est un
non-P et inversement cequiechoue a ^etre un non-P est un P. Cette opposition
est retrouvee dans les langues naturelles par les prexes (ou les autres moyens)
qui construisent le terme oppose.
Nous pouvons remarquer que le \terme" de Sommers n'est deni ni de facon
exclusivement syntaxique, ni de facon exclusivement semantique. Du point de
vue semantique, ce n'est pas autre chose qu'un concept, ou plut^ot l'objet typique
associe a un concept (voir le chapitre 6).
Pour les propositions, la negation est la negation propositionnelle classique.
La negation de Sommers est donc la negation propositionnellr N 0 et la negation
d'un concept N 1 (voir l'annexe ??)
Termes opposes. Les termes P et non-P sont notes dans ce systeme par +P
et {P. L'association d'une \qualitenegative" aux termes est arbitraire, parce que
nous pouvons considerer que le terme non-P est un Q. Donc, pour les termes les
signes + ou { sont arbitraires. Nous pouvons noter +Q = {P.
Exemple: citoyen non-citoyen.
Propositions opposees. La representation de la proposition p est +p. Cette
proposition est une proposition a qualite positive . La proposition non-p est une
proposition a qualite negative . Sa representation est {p.
La negation d'une proposition est pour Sommers la negation de la logique
propositionnelle. Les signes + et { pour les propositions ne sont pas arbitraires,
parce que pour une proposition a qualite negative, il n'existe pas de proposition
a qualite positive avec les m^emes valeurs de verite. Les propositions du noyau
sont des propositions de type (2) construites avec des termes de type (1).
Exemple: Le roi est mort. Le roi n'est pas mort.
Sommers introduit la notion de valence d'une proposition par:
Si la proposition contient la negation propositionnelle, alors elle a une valence
negative, si la proposition ne contient pas cette negation elle a une valence
positive. Une proposition a valence positive est de l'un des types :
Il y a un X qui est Y.

L'algebre de la LFT 97
Ilyaunnon-X qui est Y.
IlyaunXquiestnon-Y.
Ilyaunnon-X qui est non-Y.
Une telle proposition est representee par :
(X) y (Y )
Une proposition a valence negative est de l'un des types :
non (Il y a un X qui est Y).
non (Il y a un non-X qui est Y).
non (Il y a un X qui est non-Y).
non (Il y a un non-X qui est non-Y).
Une telle proposition est representee par :
;((X) y (Y ))
Le principe de la covalence. Deux propositions du noyau peuvent ^etre
equivalentes seulement si elles sont covalentes. Ce principe est un principe important
de la logique des termes.
Le noyau de l'algebre de la LFT est appele aussi logique des termes primitifs
(LTP). La LTP est un sous-systeme de la LFT ayant comme seuls connecteurs
\un . . . est" et \et". La forme generale d'une proposition en LTP est:
(() y ())
ou , sont des termes ou des propositions et + et { signient la qualite positive
ou negative d'un terme ou d'une proposition. Par convention le signe + sera omis
quand il simbolise la qualite positive.
Quelques denitions.
Une expression relationnelle notee par R n est un predicat de n arguments.
Un terme relationnel est une expression relationnelle avec une ou plusieurs
expressions de la forme \un X".
Une proposition relationnelle est une proposition qui contient un terme relationnel.
Exemples:
1. L'expression relationnelle admirer 2 (y,x), engendre le terme relationnel
admirer 2 (une lle,x) et la paraphrase \Un garcon est tel qu'une lle est telle
qu'elle est admiree par lui" de la proposition relationnelle : \Un garcon admire
une lle".
La transcription de cette proposition dans l'algebre de Sommers est :
garcon y (admirer 2 y (lle)

98 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens
ou dans la forme normale,
garcon y (lle y admirer 2 )
2. L'expression relationnelle donner 3 (z,y,x), engendre le terme relationnel
donner 3 (un jouet, un enfant, un marin) et la paraphrase \Un marin est tel que,
il y a un enfant tel que, il y a un jouet donne a lui par lui" de la proposition
relationnelle : \Un marin donne un jouet a un enfant".
La transcription de cette proposition dans l'algebre de Sommers est:
ou dans la forme normale,
marin y (donner 3 y (enfant y (jouet)))
marin y (enfant y (jouet y donner 3 ))
3. La proposition \Un garcon aime une lle qui possede une vache" est
representee dans la LTP par la forme normale:
garcon y (< (lle y (vache y posseder) > aimer 2 )
Un terme singulier est un terme qui denote un seul objet, comme par exemple,
\Socrate".
La proposition \Socrate est sage" a la forme LTP:
Socrate y sage
Dierents types de parentheses sont utilises:
( ) pour les propositions relationnelles :
(A 1 ( y ... ( A n R n )... )
pour une conjonction de termes :
\Il y a des non-P et Q qui sont R" est representable par :
+(< ({P) y (+Q) > y (+R))
[ ] pour une conjonction de propositions avec une structure interne explicite :
\Un P est Q et un R est S" a la forme :
[Py Q]y [Ry S].
On remarque qu'on peut remplacer les dierents types de parentheses par les
().

L'algebre de la LFT 99
3.3.2 La description formelle de la LTP
3.3.2.1 Le vocabulaire.
I. Les elements materiaux.
(i) (a) les lettres pour les termes.
(b) les lettres pour les termes singuliers.
(ii) les lettres pour les relations (n-aires).
(iii) les lettres pour les propositions.
II. Les elements formatifs.
(i) les signes de qualite:+et{.
(ii) le signe de concatenation y.
(iii) les parentheses : ( ), ,[].
3.3.2.2 Les regles de formation.
Pour les termes :
(1) Si est un terme ou une relation, alors sont des termes ou des relations.
Un terme est singulier s'il est de la forme + ou est une lettre de terme singulier.
(2) Si et sont deux termes (ou deux relations de m^eme degre) alors <
y >est un terme compose (relation composee).
(3) Si R est une relation n-aire et 2 ::: n sont des termes alors R y 2 y
... n est un terme.
(4) Tous les termes s'obtiennent a partir de (1), (2), (3) et seulementa partir
de (1), (2), (3).
Pour les propositions:
(5) Si est une proposition, alors sont des propositions.
(6) Si , sont des propositions, alors y est une proposition.
(7) Si , sont des propositions, alors [] y [] est une proposition.
(8) Toutes les propositions s'obtiennent par les regles (5), (6), (7) et seulement
par ces regles.
Les regles de la LTP ont des points communs avec la construction (la syntaxe)
des expressions arithmetiques. Cette remarque conduit a l'idee de remplacer
le connecteur \y" par le signe \+". Les regles des signes \+" et \;" de
l'arithmetique s'appliquent pour les \+" et \;" delaLFT.Leresultat est la
transcription des propositions d'une langue naturelle dans une notation qui rend
possible la manipulation de la logique d'une maniere arithmetique.
La LTP est un fragment qui ne contient comme connecteurs que le quanticateur
existentiel et la conjonction.

100 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens
3.3.2.3 L'extension de la LTP a la LFT (logique formelle des termes)
La LFT est l'extension de la LTP obtenue en introduisant le quanticateur universel,
la disjonction et l'implication. En plus, le symbole y est remplace par \+"
et les regles arithmetiques de \+" et \;" sont appliquees.
Le quanticateur universel :
(8) (... x ...) = def non(9 x) (non ... x ...)
p ! q= def non (p ^ non q)
La traduction de \n'est pas", \et non", \tout. . . est", \si . . . alors", \ou" en
LFT :
Les termes
(D1) Il y a un A qui n'est pas B = def IlyaunAquiestnon-B= def +A+
({B) = def +A {B
(la copule negative est representee par le signe \;" d'apres Hobbes et Leibniz )
Les propositions
(D2) p et non q = def +p+({q)= def +p { q
B
Les termes
(D3) Tout A est B = def non(un A n'est pas B) = def {(+A { B)= def {A+
Les propositions
(D4) si p alors q = def non(p et non q) = def { (+p +({q)) = def {p + q
(D5) p ou q = def non (non p et non q) = def {({p){({q)= def {[+({p)+
({q)]
La forme generale d'une proposition dans la LFT est:
( ( ) ( ))
et etant des termes ou des propositions.
L'interpretation de cette forme est :
pour les termes :
oui un / il y a des est
non tout non n'est pas
non
pour les propositions
oui les deux
non si
non ( et
et non ou
alors
alors non )
non

L'algebre de la LFT 101
Le schema pour les quatre propositions categorielles standard de la logique
classique est:
A ToutSestP {(S { P) = { S + P
E Aucun S n'est P {(S+P)={S{P
I Il y a des S qui sont P +S+P
O Il y a des S qui ne sont pas P +S{P
3.3.3 L'algebre de la LFT (logique formelle des termes)
3.3.3.1 Le vocabulaire.
I. Les elements materiaux.
(i) (a) les lettres pour les termes.
(b) les lettres pour les termes singuliers.
(ii) les lettres pour les relations (n-aires).
(iii) les lettres pour les propositions.
II. Les elements formatifs.
(i) les signes de qualite:+et{.
(ii) le signe de concatenation + et { .
(iii) les parentheses : ( ), ,[].
3.3.3.2 Les regles de formation.
Pour les termes:
(1F) Si est un terme ou une relation, alors () sont des termes ou des
relations. Un terme est singulier s'il est de la forme (+ )ou est une lettre de
terme singulier.
(2F) Si et sont deux termes (ou deux relations de m^eme degre) alors
< > sont des termes (des relations n-aires).
(3F) Si R est une relation n-aire et 2 ::: n sont des termes alors R 2
::: n est un terme.
(4F) Tous les termes s'obtiennent a partir de (1F), (2F), (3F) et seulement a
partir de (1F), (2F), (3F).
Pour les propositions:
(5F) Si est une lettre de proposition, alors ( ) sont des propositions.
(6F) Si , sont des termes, alors ( ) sont des propositions.
(7F) Si , sont des propositions, alors ( [ ] [ ] ) sont des
propositions.
(8F) Toutes les propositions s'obtiennent a partir des regles (5F), (6F), (7F)
et seulement a partir d'elles.

102 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens
3.3.3.3 Regles (lois) de transformation et de derivation.
Lois de transformation.
(1) Les lois de la commutativite
(i) + + =+ +
(ii) { { {{ ={{ {{ (pour les termes: aucun non n'est non =
aucun non n'est non . Pour les phrases: ou = ou )
(2) Les lois de l'associativite
(i) + +( + ) =( + ) +
(ii) { { {{({{ {{) ={{({{ {{) {{
L'interpretation pour les termes est: aucun non- n'est ni , ni = aucun
qui n'est ni , ni n'est non- 15 .
(3) Les lois de la distributivite externe de \non" (lois de De Morgan)
{( ) =
(4) Les lois de la distributivite interne de \non"
(i) {( ) = +( )
(ii) 1 {(R 2 ::: n )= 1 +({R) 2 ::: n
La lecture propositionnelle pour + {({) =+ + est et non-non- =
et .
La lecture pour les termes est: Il y a un qui n'est pas non- =Ilyaun
qui est .
La loi (4-ii) est une loi des termes.
(5) La loi de la double negation
{{ =
(6) Les lois de l'iteration
(i) + + =
et =
(ii) { { {{ =
ou =
(7) Les lois de distribution de \et" sur \ou"
(i)+({{ {{) + ({ { {{) ={{(+ + ) {{(+ + )
et ( ou ) =( et ) ou( et )
(ii) { { (+ + ) {{(+ + ) =+({{ {{) + ({ { {{)
15 Nous donnons la demonstration de cette loi (le passage du formalisme de Sommers a la
LMP) en Annexe B.

L'algebre de la LFT 103
ou ( et ) =( ou ) et( ou )
3.3.3.4 Les lois de derivation.
(8) Dictum de Omni (DDO)
{
(i) ... ...
... ...
(ii)
+
...{ ...
... ...
Ici { a le sens de \tout " ou \si ". La conclusion est la \somme arithmetique"
des premisses.
La DDO est une loi tres generale qui comprend comme cas particuliers les
lois: BARBARA, le modus ponens, la substitution de l'identite.
(9) La conjonction
p
q
+p+q
(10) La disjonction
p
{{p{{q
(11) La simplication
+p + q
p
(12) La loi du quanticateur implicite (QL)
+ i +
{ i +
Le terme i est un terme singulier, donc il peut ^etre vu comme i a cause
du quanticateur libre.
(13) Les lois de la distribution predicative
(i) + + < {{ {{>= { {[ + + ]{{[+ + ]
Il y des qui sont ou = Il y des qui sont ou Il y des qui sont
(ii) { + < + + >=+[{ + ]+[{ + ]
Tout est et =Tout est et tout est

104 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens
Si est un terme singulier, la distributivite s'applique pour \et" et \ou".
(14) Les lois T
(i) { A + T : tout A est une chose
(ii) A+B= T+< A+B>
(a) Il y a des A qui sont B = Il y a des choses qui sont A et B
(b) ToutAestB=Toutes les choses sont telles que si A alors B
(iii) A+B= [+Tx+ E] + [ [ x+A]+[ x+B]]
(a) Il y a un A qui est B = Il y a une chose et cette chose est A et B.
(b) ToutAestB=Siunechose existe, alors si elle est A, alors elle est B.
(15) La loi de la relation inverse
1 + R... i ... j + ::: n
1 + R... j ... i +... n
(16) Inferences dans la LFT
Une tautologie est denie par:
(1) { + est une tautologie.
(2) Si H est une tautologie, alors { + H est une tautologie.
(3) Si H 1 , H 2 sont des tautologies, alors H 1 + H 2 est une tautologie.
(4) Toute proposition engendre une tautologie.
(5) Toute proposition est une contradiction si sa negation est une tautologie.
Un ensemble de propositions est inconsistant si et seulement si une contradiction
est derivable de la conjonction de ses elements.
Une inference dont les premisses sont consistantes est valide si et seulement
si l'ensemble de ses premisses et de la negation de sa conclusion est inconsistant.
Les inferences considerees ici ont les caracteristiques suivantes:
(a) Chaque inference a autant de termes que de propositions.
(b) Chaque terme appara^t deux fois dans des propositions dierentes.
Une inference de ce type est appele \inference classique a terme" (ICT). Une
telle inference a n termes et n propositions. Pour n = 3, nous obtenons le syllogisme.
L'ensemble-compteur d'une ICT est l'ensemble des propositions forme
par les premisses de l'ICT et la negation de sa conclusion.
Une ICT est valide si et seulement si la conjonction des propositions dans son
ensemble-compteur est inconsistant. La validite peut^etre prouvee par l'analyse
de la consistance de l'ensemble-compteur.
Un ensemble de n propositions avec n termes recurrents est inconsistant si et
seulement si:
a) L'ensemble contient une et une seule proposition particuliere (qui contient
le quanticateur existentiel).
b) La somme algebrique des propositions de l'ensemble est 0.

L'algebre de la LFT 105
Exemples:
a)
Il y a des A qui ne sont pas B
Il y a des B qui ne sont pas A
+A{B
+B{A
L'ensemble-compteur est :
+A{B
{(+B{A)
Cet ensemble a une seule proposition particuliere, mais la somme de l'ensemble
n'est pas 0.
b)
Il y a des A qui ne sont pas B
+A{B
Il y a des B qui ne sont pas C
+B{C
Il y a des A qui ne sont pas C
+A{C
L'ensemble-compteur est :
+A{B
+B{C
{(+A{C)
Cette fois, la somme de l'ensemble est 0, mais il y a deux propositions particulieres
dans cette ensemble.
3.3.4 Exemples d'analyse en LFT
Nous presentons quelques propositions et leur analyse en LFT et LMP. Le passage
de l'analyse en LFT a l'analyse en LMP et inversement se fait tres facilement en
appliquant les regles de passage de Sommers :
(R1) Il y a des A qui sont B , +A+B, (9 x)(Ax^ Bx)
(R2) Tout A est B , {A+B, (8 x)(Ax! Bx)
(R3) est B , +B, B
(Regle de la forme normale sujet-predicat FNSP)
A 1 +R m ... A m )A 1 +( A 2 +(... A m +R m ). . . )
1.Tout garcon aime une lle.
LFT
{G+A 2 +F
{G+(+F+A 2 ) (FNSP)
LMP
(8 x)(Gx! ((9 y)(Fy^ A 2 y x)))
La traduction de LFT en LMP:

106 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens
{G+A 2 +F
FSNP
{G+(+F+A 2 )
R2
(8 x)(Gx! (+F+A 2 x) R1
(8 x)(Gx! ((9 y)(Fy^ A 2 x y)))
2. Un marin donnait un cadeau a chaque enfant.
LFT
+M+D 3 {E+C
+M+({E+(+C+D 3 ))
FNSP
LMP
(9 x)(Mx^ ((8 y)Ey! (9 z) (C z ^ D 3 x y z)))
La traduction de LFT en LMP:
+M+D 3 {E+C
FSNP
+M+({E+(+C+D 3 ))
R1
(9 x)(Mx^ ({E+(+C+D 3 x))) R2
(9 x)(Mx^ ((8 y) E y ! (+C+D 3 x y))) R1
(9 x)(Mx^ ((8 y) E y ! (9 z) (C z ^ D 3 x y z)))
3. Venus est l'etoile du matin.
LFT
+V+(E+M)
+V+(M+E)
LMP
(E (M V))
((^etre (du matin etoile)) Venus)
4. Tout ce qui brille n'est pas d'or.
FNSP
LFT
B{O
B{O
LMP
(9x) (Bx^ (: Ox))
FNSP
La traduction de LFT en LMP:
B{O
(9 x)(B x ^ (- O))
(9 x)(Bx^ (: O x))
5. Un editeur lit tout ce qui est ecrit par un auteur d'une trilogie.
LFT
R1

Conclusions 107
E=editeur, L 2 = lire, Ec 2 =ecrire, A 2 = auteur (vu comme relation), T =
trilogie.
+E+(L 2 {(Ec 2 +(A 2 + T)))
+E+({(+(+T+A 2 )+Ec 2 )+L 2 ) FNSP
LMP
(9 x) (E x ^ (8 y) ((9 z) (9 w) (( T w ^ A 2 zw)^ Ec 2 yz)! L 2 x y))
La traduction de LFT en LMP:
+E+(L 2 -(Ec 2 +(A 2 + T)))
FSNP
+E+({(+(+T+A 2 )+Ec 2 )+L 2 )
R1
(9 x)(Ex^ ({(+(+T+A 2 )+Ec 2 )+L 2 x) R2
(9 x)(Ex^ (8 y)(+(+T+A 2 )+Ec 2 y) ! L 2 x y)) R1
(9 x) ( E x ^ (8 y) (( 9 z)((+T+A 2 z) ^ Ec 2 yz)! L 2 x R1
y))
(9 x) ( E x ^ (8 y) ((9 z)(9 w) ((T w ^ A 2 zw)^ Ec 2 yz)
! L 2 x y))
6. Le syllogisme.
Sartre est un philosophe fameux.
Sartre est un romancier.
Ilyaunromancier qui est un philosophe fameux
+S+P
+S+R
+R+P
L'ensemble-compteur est respectivement:
+S+P
+S+R
{(+R+P)
Si on transforme la deuxieme premisse en { S + P (en appliquant au terme
singulier +Slequanticateur libre, il devient { S) cet ensemble est:
+S+P
{S+R
{(+R+P)
Il verie les conditions d'inconsistance, donc l'inference est valide.
3.4 Conclusions
Il y a une these fondamentale dans la logique traditionnelle pre-fregeenne que
toute proposition cognitive du langage naturel est soit elle m^eme canonique, soit
elle peut ^etre paraphraser dans une proposition canonique. Les logiciens doivent
denir la forme canonique et les linguistes doivent specier des regles pour la
paraphrase.
F.Sommers denit cette forme canonique par la forme primitive de la proposition
:

108 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens
Tous/il y a des X (qui) est/sont Y. #
Il construit la theorie a deux termes . Dans cette theorie il n'existe pas des propositions
atomiques de la forme \P a", ni des sujets simples, ni des demonstratifs
simples, ni des variables libres ou liees, comme categories a part. La these de
base de cette theorie est une these syntaxique. L'hypothese syntaxique est que
toutes les propositions sont quantiees. Les propositions atomiques contient une
quantication, la quantication implicite (libre).
Le modele formel est un modele des foncteurs. Les foncteurs primitifs sont:
{ (1) un foncteur binaire commutatif " + " qui relie deux propositions ou
deux termes, dont la traduction dans la langue est :
\et" pour les propositions
\il y a un . . . qui est" pour les termes
{ (2) un foncteur binaire derive " - " avec lequel nous exprimons :
\si...alors", \ou "pour les propositions
\tout...est" pour les termes
La position semantique de Sommers est que le sens doit se construire a partir
des termes. Le monde extralinguistique est un ensemble d'etats de choses.
Chaque terme correspond a unetat de choses :
Le monde est un domaine ou une totalite caracterisee par l'existence
decertaines choses et la non-existance des autres. Les propositions
et les etats sont identiables avec l'existence ou la non-existence
des choses comme des etats du monde et non pas comme des etats
dans le monde. Par exemple, l'existence des chats gris est un fait
positif qui rend la proposition " Il y a des chats gris " vraie la nonexistence
des chats roses est un fait negatif qui rend la proposition "
Aucun chat n'est rose" vraie. Les etats sont des "items" du monde et
il y a deux types d'etats: etats positifs et etats negatifs.
Les points principaux dans l'opposition LFT-LMP sont :
{ La LFT est basee sur une theorie binaire (S P). Le sujet est quantie etil
designe, le predicat qualie. La LMP est une theorie unaire qui ignore ces
aspects.
{ La LFT condidere le pronom comme un terme deni par d'autres termes.
La LMP considere le pronom comme une variable liee.

Conclusions 109
{ Il y a un changement de niveau dans la denition des categoremes-syncategoremes
entre la LFT et la LMP. Pour la LFT le niveau est terme-foncteur,
pour la LMP objet-concept. Un foncteur est un operateur plus general
qu'un concept. L'acceptation d'un isomorphisme structural entre "et" et
"il y a des ...qui sont" conduit a monter d'un niveau dans la hierarchie
operatorielle.
{ La quantication est captee dans cette theorie par les trois quanticateurs :
universel, existentiel et implicite. Le quanticateur est un constructeur des
termes et en m^eme temps il construit la semantique de deux foncteurs,
l'un de base " + " et l'autre derive " - ". Donc, le quanticateur comme
operateur n'est pas un operateur independant, il est englobe dansunun
operateur plus generale, le foncteur. La quantication est vue comme un
element primitif de la theorie.
{ La LTF est une logique sans variable comme les langue naturelles.
Les critiques de la LTF :
{ L'analyse de toute proposition se fait par le biais d'une proposition-paraphrase,
qui n'est pas naturelle du point de vue de la langue. Cette paraphrase remplace
le r^ole semantique de la variable.
{ Le fait que le quanticateur est englobe dans le terme eace la puissance
du quanticateur comme operateur.
{ La LTF ne tient pas compte de l'operation de determination.
{ Sa quantication \cachee" ne tient pas compte de la typicalite.
Les operateurs de quantication denis dans le chapitre 7 ont cette propriete
de la quantication sommersienne de s'appliquer aux termes. Ils ne sont pas englobes
dans un operateur plus complexe comme dans la theorie de Sommers. Leur
semantique capte d'autres aspects thematises par la langue : la determination, la
typicalite.

110 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des ante-fregeens

Chapitre 4
Critique de la quantication
fregeenne par les arguments des
post-fregeens
4.1 Introduction
L'inadequation de la quantication fregeenne appara^t au moment ou la theorie
de la quantication qui s'est developpee a l'interieur de la logique doit ^etre appliquee
dans d'autres domaines ou, semble-t-il, on a besoin des modeles avec un
mecanisme analogue a celui de la quantication. Le domaine qui l'utilise pour
construire \des semantiques du langage" est la linguistique. Le calcul du premier
ordre fut le premier \modele semantique du langage". Mais tres vite il s'est avere
insusant. Le systeme de categorisation propre a la linguistique et qui est notamment
\la grammaire" diere des systemesdecategorisation de la logique formelle.
Il y a des problemes de nature linguistique comme le statut de la proposition et
son analyse en sujet-predicat, le statut du pronom, le statut de la quantication
qui ont trouve des modeles formels dans la logique, mais ces modeles sont insuf-
sants pour l'analyse linguistique. De l'autre c^ote la logique dans son entreprise
de construire des systemes formels s'est inspiree du langage et a pris le langage
comme modele. Donc, entre les systemes logiques et le langage est deja cree un
pont. Le probleme qui se pose est d'etendre la theorie au prot des deux domaines,
c'est-a-dire de construire des categorisations formelles et une theorie de
la quantication qui peuvent rendre compte egalement des particularites logiques
et linguistiques du langage.
{ Est-ce-que ces theories sont possibles?
{ Quel est l'outil adequat? Le trouve-t-on dans la logique, dans la linguistique
ou dans un domaine de frontiere?

112 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des post-fregeens
{ Ces theories, si leur construction est possibles, sont-elles utiles pour le
developpement des deux domaines?
Voila quelques questions auxquelles les theories semantiques du langage a
partir des annees 1950 ont essaye de repondre.
Dans ce chapitre nous presentons quelques problemes souleves par la linguistique
et la logique en ce qui concerne l'inadequation de la quantication classique.
Nous presentons la logique combinatoire de Curry [Cur58], [Cur72] redecouverte
par J.-P. Descles [Des90b],[Des91a],[Des96b] comme un outil adequat pour une
semantique du langage, la grammaire applicative et cognitive (GA et C) [Des96a],
[Des96b]. Nous presentons aussi deux esquisses de solutions pour les problemes :
sujet predicat et le pronom dans la logique combinatoire qui meritent a^etre investiguees
de plus pres et qui peuvent constituer le sujet d'autres travaux. En se
qui concerne la categorisation et la quantication qui font l'objet de ce travail
elles seront analysees dans les chapitres 6 et 7 ou nous proposons un nouveau
modele pour chacune la LDO.
La construction d'un systeme qui reponde egalement aux problemes souleves
par la logique et aux problemes souleves par la linguistique doit tenir compte de
toutes ces questions. C'est la raison d'une analyse des problemes qui se posent a
l'interieur de chacune. Nous commencons par une analyse de quelques-uns de ces
problemes.
4.2 Les problemes de categorisation-les traces
lingustiques de la typicalite
Considerons les trois exemples suivants :
1. Tous les hommes sont mortels.
2. Les francais boivent du vin.
3. Dans un triangle la somme des angles est egale a 180 .
Les deux premiers appartient au langage ordinaire le troisieme appartient a
la geometrie. Dans l'exemple 1. il s'agit de \tous les hommes sans exception",
dans l'exemple 2. de `tous les francais, mais avec exceptions", dans l'exemple 3.
de \tous les triangles sans exception". Le langage ordinaire se permet d'utiliser
le pronom \tous" m^eme quand il existe des exceptions, c'est un \presque tous".
En mathematiques ce n'est pas le cas.
Ce phenomene porte sur les categorisations des objets operees par la cognition
\commune" par opposition a la cognition \mathematique" (celle qui est realisee
dans le cadre des mathematiques).
Dans les categories realisees par la cognition \commune" et sur lequelles porte
le \langage ordinaire" instancie par l'une ou l'autre des langues naturelles les

Les problemes de categorisation-les traces lingustiques de la typicalite 113
objets ne sont pas identiques. Les pshychologues ont montre que dans le processus
de categorisation la cognition met en evidence des objets \plus representatifs" de
la classe { \les objets typiques" par opposition aux objets \moins representatifs
de la classe"{ \les objets atypiques" [LeN79], [LeN89],[Ros78]. C'est le cas de
l'autruche ou du pingouin dans la classe des oiseaux, la baleine dans la classe
des mammiferes. Les psychologues expliquent le processus de construction des
classes par une procedure qui se developpe de la facon suivante :
En partant d'un individu considere comme \prototype", un autre individu
est accepte dans la classe ou rejete par rapport a ses proprietes comparees avec
les proprietes du prototype. Le statut du prototype et m^eme le processus de
construction sont decrits d'une maniere informelle, et pas susamment claire.
Mais le concept de typicalite existe dans la cognition et il a des traces dans les
langues naturelles. Dans les deux premiers exemples ci-dessus, le pronom \tous"
encode en francais \la totalite", l'article deni \les" l'idee de \tous les francais
typiques" d'un certain point de vue donc une \quasi-totalite". Les mots \tous,
sans exception" encodent la \totalite". Souvent, c'est le contexte qui decide s'il
s'agit d'une \totalite" ou d'une \quasi-totalite".
Par contre, dans les categorisations mathematiques les classes sont construites
de sorte que chaque objet de la classe peut ^etre egalement un representant de cette
classe. Il n'existe pas la typicalite. Si une propriete qui change les objets appara^t,
elle engendre une nouvelle classe.
C'est pour cette raison que les formalismes qui ont ete construits comme fondements
des mathematiques restent trop \grossiers" pour une analyse linguistique.
Les problemes qui surgissent naturellement sont :
{ Peut-on decrire d'une maniere formelle la typicalite?
{ Si oui, quel est le processus de categorisation sous-jacent et sa description
formelle?
{ Peut-on avoir une theorie de la quantication qui tienne compte de ce
phenomene?
{ Quels sont les encodages dans les langues naturelles de la typicaliteetdela
quantication? Autrement dit quels sont \les mots" ou les autres procedes
qui specient ces operations cognitives?
La logique classique ne donne aucune reponse a ces questions, la theorie de
la quantication m^eme dans son interpretation fregeenne, non plus. Un essai de
reponse se trouve dans la theorie de J.-P. Descles qui est presentee et formalisee
dans les chapitres 6 et 7.

114 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des post-fregeens
4.3 Les problemes souleves par la logique
Une breve analyse de la notion de variable, de la dichotomie sujet{predicat et du
statut de la quantication est presentee en ce qui suit.
4.3.1 Le statut de la variable
La notion de variable utilisee en mathematiques et en logique n'a pas encore
un statut ontologique bien denie. Dans la theorie des fonctions la variable est
l'argument d'une fonction qui peut ^etre remplace par des valeurs d'un domaine
appele domaine de denition. La variable x parcourt un domaine. La variable
est pensee implicitement par la distinction constante{variable: la constante est
une valeur xee, la variable est un element d'un ensemble de valeurs.
Frege voyait la variable comme etant l'element d'une fonction qui exprime son
caractere non-sature. Le nom d'une variable, pour lui, \indique" une denotation.
L'idee de parcourir un ensemble de valeurs etait exprimee dans le verbe \indiquer".
La dichotomie \constante{variable pour lui s'exprime dans la dichotomie
\nom d'objet{nom de variable" qui \exprime{indique" une denotation \objet{
ensemble d'objets".
Actuellement si nous nous situons dans une theorie ensembliste des fonctions
en interpretant la fonction f comme une relation particuliere entre deux ensembles
de valeurs, le domaine et le codomaine, la variable x est l'element qui gere la
relation entre elle-m^eme etf(x) =y dans la construction de la paire (x y).
Si nous nous situons dans une theorie fonctionnelle des fonctions [Chu41] en
interpretant la fonction comme procedure la variable est l'element quigere la
donnee d'entree dans la construction de la donnee de sortie (resultat), y.
Il y a deux grandes classications des variables : une qui provient de la theorie
des fonctions et l'autre qui provient de la logique.
La premiere est variable{parametre. Une fonction qui depend egalement d'une
variable x et d'un parametre t est une fonction qui se \deploie" sur deux niveaux:
en fait elle a deux places libres a remplir, mais pour des raisons quelconques on
fait une distinction epistemique entre les deux. Les raisons sont eacees dans
la theorie mathematiques des fonctions, mais elles ont un support pratique. Les
fonctions mathematiques ont ete construites comme l'abstraction de l'evolution
des certains phenomenes dans d'autres domaines et notamment la physique. Les
multiples facettes d'un phenomene ont ete rendues abstraites par des elements
qui n'ont pas le m^eme poids interpretatif : les uns deviennent des variables, les
autres des parametres.
La deuxieme est variable libre{variable liee. La logique classique decrite par
la theorie des modeles ou par la theorie de la demonstration est une logique
avec des variables. Parmi ses primitives il y a les fonctions et les predicats qui

Les problemes souleves par la logique 115
dependent des variables (voir le systeme formel de la logique classique du chapitre
7). Les variables libres sont les variables qui ne sont pas soumises a des
conditions supplementaires. D. Van Dalen [VDa91] appelle une variable libre,
variable arbitraire. Et il continue en disant que dans le monde reel aucun objet
n'est \arbitraire". Ce n'est qu'en mathematiques ou les objets peuvent ^etre arbitraires.
Mais il explique cette notion d'une maniere assez intuitive en disant
qu'une variable x est nommee arbitraire si \rien n'est assume en ce qui concerne
x". Par contre une variable est dite variable liee si elle est soumise a des conditions
supplementaires distinctes d'autres conditions du systeme. Plus couramment une
variable liee est une variable qui est l'argument d'un quanticateur :
(8x)(x) ou(9x)(x)
Nous pouvons remarquer que :
{ Dans les descriptions des systemes logiques le statut de la variable n'est pas
assez clair.
{ On constate un manque d'homogenete au niveau des statuts ontologiques
des objets du systeme.
La conclusion : nous devons construire des systemes categoriels ou lavariable
doit faire partie du systeme, denie comme un \objet" du systeme, eventuellement
denie comme un operateur. La LDO essaie de resoudre ce probleme. La variable
dans ce systeme est \un objet plus ou moins determine", m^eme l'objet typique
f. Le raisonnement se fait sur les objets dans la LDO. Elle n'utilise pas des
variables.
4.3.2 Le statut du paradigme sujet-predicat
L'interpretation fregeenne de la proposition en tant que fonction{arguments a
ouvert la possibilite d'appliquer le calcul du premier ordre a l'analyse d'une proposition.
Le calcul du premier ordre devient le premier \modele semantique
formel du langage". Le paradigme traditionnel sujet{predicat est ignore dans ce
modele formel. Les arguments des ante-fregeens pour reprendre ce paradigme
ont ete presentes dans le chapitre 3. Ces arguments representent surtout le
rapprochement des classications de la grammaire. Les post-fregeens, dans les
semantiques du langage qu'ils ont construites accordent peut-^etre un poids plus
importante a la logique qu'a la linguistique dans le sens que les classications de
nature logique prevalent sur les classications de nature lingustique. Nous avons
en vue les semantiques de Montague [Mon69] , Vandervecken [Van90], [Van91],
Keenan [Kee85], Talmy [Tal], Langacker [Lan87]. Il y a une seule theorie qui

116 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des post-fregeens
accorde un m^eme poids a la logique et a la grammaire dans l'etude du langage
: la grammaire applicative et cognitive de J.-P. Descles [Des90b]. Dans sa
semantique fonctionnelle le paradigme sujet{predicat est couvert par le paradigme
de fonction{arguments parce que la logique combinatoire permet le passage de
l'un a l'autre. Donc l'analyse de la proposition en sujet{predicat n'est qu'une
autre interpretation particuliere (avec des contraintes en plus) de l'interpretation
fregeenne. Le mecanisme formel dans la logique combinatoire est presente en
4.4.4.1. Le sujet est un argument complexe du predicat qui a son tour est un
predicat complexe.
4.3.3 Y a-t-il d'autres operateurs que les connecteurs logiques?
Les presentations de la logique classique{la theorie des modeles et la theorie
de la demonstration considerent les connecteurs logiques ^ _ : comme des
operateurs sans le dire explicitement. Mais leur denition syntaxique et semantique
leur confere ce r^ole. Les dicultes semantiques dans la denition des quanticateurs
ne permettent pas de les considerer tout de suite comme des operateurs.
Prenons la regle d'introduction du quanticateur 8 (voir le chapitre 7):
(x)
(8x)(x)
L'ecriture ne permet pas de voir un operateur dans le quanticateur. Une logique
sans variable, une logique des operateurs permet l'interpretation des quanticateurs
comme operateurs. C'est la logique combinatoire. Donc, en plus des
connecteurs logiques il y a d'autres operateurs : les operateurs de quantication.
Il y a d'autres \operations de la cognition" qui peuvent ^etre interpretees comme
des operateurs : la construction de l'objet typique, la construction d'un objet
plus determinea partir d'un objet plus ou moins determine moins determineque
celui-la (voir le chapitre 6). Toutes ces \operations cognitives" doivent tenir d'une
logique des operateurs ou le calcul du premier ordre represente une partie moins
detaillee (avec moins de primitive). La LDO qui essaie de couvrir cet espace vide.
4.3.4 Le statut de la quantication
La quantication fregeenne et son utilisation dans une semantique du langage
presente les desavantages suivants :
{ Du point de vue semantique elle ne tient pas compte de la typicalite, d'ou
sa inadequation linguistique

La logique combinatoire 117
{ Du point de vue syntaxique le quanticateur ne s'applique pas au syntagme
nominal et viole la structure traditionnelle sujet{predicat de la proposition
qui reste quand m^eme utile dans les analyses linguistiques
{ La quantication est denie par le biais de la variable dont le statut ontologique
n'est pas precise
{ Les langues naturelles \n'ont pas des variables".
Les presentations modernes du calcul du premier ordre eacent m^eme le caractere
operatoriel du quanticateur.
Une theorie de la quantication dont la quantication fregeenne est une souspartie
doit ^etre denie. Cette theorie doit tenir compte au moins des contraintes
suivantes :
{ Les quanticateurs representent un systeme d'operateurs.
{ Le systeme n'emploie pas de variable.
{ Le quanticateur s'applique pas au syntagme nominal en respectant la
structure sujet{predicat.
{ Le systeme est base sur un systeme categoriel sous-jacent avec d'autres
operateurs pour les primitives cognitives : typicalite, determination.
{ La semantique des quanticateurs exprime la typicalite.
{ Le systeme n'impose pas forcement la compositionnalite (les langues ne
respectent pas ce principe).
C'est ainsi que cette theorie peut ^etre une theorie logique et linguistique de
la quantication. Nous proposons la theorie de J.-P.Descles [Des98b], [Des98d],
[Des98f], [Des99a]. Sa formalisation est realisee dans le chapitre 7.
4.4 La logique combinatoire
4.4.1 Cadre general
La logique combinatoire telle qu'elle est denie par Curry [Cur58] est le couple
forme par :
{ un systeme formel applicatif S

118 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des post-fregeens
{ un ensemble C 0 d'operateurs nommes combinateurs.
Un systeme formel, selon Curry est \un systeme deductif deni comme un
corpus de theoremes engendres par des regles objectives et concernant des objets
non-species". Dans une etude tres signicative sur la logique combinatoire
[Cur58] il ecrivait :
La logique combinatoire etait formulee comme un systeme dont
les objets formels sont concus dieremment des objets de la logique
classique dans sa formalisation standard. La formalisation standard
demandait que les objets formels soient les expressions d'un \langage
objet" quelconque c'est-a-dire qu'ils sont des cha^nes formees de symboles
de ce langage objet par concatenation. En logique combinatoire
ces objets formels, nommes Obs sont totalement non-species il est
simplement postule l'existence d'une operation binaire d'application
entre eux, conformement a laquelle on construit les Obs par cette
operation, a partir des objets primitifs, appeles atomes, et ainsi, la
construction d'un Ob est unique. Autrement dit, les Obs sont penses,
non seulement comme des cha^nes des atomes, mais comme structures
pareilles aux arbres genealogiques.
Un systeme formel est deni par Curry comme etant un ensemble de conventions
appele cadre primitif auquel on rajoute les axiomes et les regles de deduction.
Le cadre primitif a trois parties qui specient respectivement:
1. un ensemble d'objets, Obs
2. un ensemble de propositions elementaires P les propositions elementaires
concernent les objets
3. le sous-ensemble de propositions vraies T ,ou T 2 P , appelees les theoremes
elementaires.
Dans la premiere partie on considere :
(1.1) un sous-ensemble A d'objets nommes les atomes (objets primitifs), A
Obs.
(1.2) un ensemble d'operations primitives chaque operation primitive represente
un mode de combinaison d'une sequence nie d'objets pour former un
nouvel objet.

La logique combinatoire 119
Tous les Obs du systeme sont construits a partir des atomes par des operations
primitives et en plus tout objet construit par un autre processus n'est pas un Ob 1 .
Dans la deuxieme partie, le cadre primitif postule en plus :
(2.1) un ensemble de predicats primitif chaque predicat primitif represente un
moyen de former une proposition a partir d'une sequence nie d'objets.
(2.2) des regles selon lesquelles on forme les propositions elementaires a partir
d'une sequence d'objets avec les predicats primitifs.
Toute proposition elementaire est formee a partir des Obs avec des predicats
primitifs, en appliquant ces regles. Au cadre primitif on rajoute :
1. les axiomes.
2. les regles de deduction.
Les elements de (1)-(2) representent la \morphologie" du systeme, dont les
elements (1.1), (1.2) et (2.1) sont appeles les idees primitives et les regles (2.2)
sont appelees regles de formation. Les operations et les predicats sont appeles
foncteurs 2 par Curry.
Un systeme applicatif est un systeme dont la seule operation est l'application.
L'application est interpretee du point de vue mathematique comme une fonction,
mais dans son interpretation d'operateur, et non pas dans son interpretation
ensembliste. Donc, la fonction est vue comme une procedure qui s'applique a un
objet et construit un autre objet :
f
(f a)
a
Plus generalement, l'application se caracterise par l'action d'un operateur
Oper sur un operande, Op :
Oper Op
(Oper Op)
En commentant la notion d'operateur, J.R. Hindley disait :
1 Un objet, dans le sens de Curry, sera note par Ob, pluriel Obs.
2 Curry fait la distinction fonctionnelle entre une operation et un predicat les deux peuvent
avoir une arite quelconque n, les operations s'appliquent aux Obs et elles construisent des Obs,
tant que les predicats s'appliquent aux Obs en rendant les valeurs de verite.

120 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des post-fregeens
La plus importante dierence entre operateurs et fonctions (dans
la theorie des ensembles) est qu'un operateur peut ^etre deni en denissant
son action sans decrire l'ensemble des donnees sur lesquelles
il agit, i.e. son domaine (...). Une deuxieme dierenceimportante est
celle qu'il y a des operateurs qui n'ont pas de restrictions sur leur domaine
: ils acceptent n'importe quelle donnee comme argument m^eme
eux m^eme(...). Le concept d'operateur n'a jamais ete bien formalise,
au moins, il n'a pas ete formalise dans une theorie consistante
et comprehensive en m^eme temps (...). Mais, si un concept n'a pas
ete completement formalise jusqu'a maintenant, nous ne pouvons pas
inferer qu'une telle formalisation n'existe pas (...). Une formalisation
complete du concept d'operateur est necessaireparcequececoncept de
la pensee est trop important pour ^etre simplement abandonne.[Hin86]
4.4.2 Combinateurs
L'analyse des proprietes structurelles de la theorie algebrique des fonctions a
determine Curry a introduire quelques operateurs particuliers, appeles combinateurs,
qui captent d'une maniere fonctionnelle et constructiviste ces proprietes.
L'ensemble C 0 des combinateurs elementaires est :
C 0 = f I, K, W, C, B, S, C ? , , g
Les combinateurs, selon [Cur58] expriment \quelques combinaisons communes
qui apparaissent entre dierentes variables, certaines vues comme des fonctions,
d'autres comme des variables. Les combinateurs specient dans la plupart des
cas les situations ou une ou plusieurs variables sont elles m^emes des fonctions du
point de vue de l'interpretation".
Les combinateurs sont des operateurs dont le fonctionnement modelise :
{ La structure et les proprietes algebriques des fonctions.
{ les proprietes qui derivent de la forme concatenee d'une expression.
Chaque combinateur peut ^etre donne par une regle d'introduction (i-Comb)
et une regle d'elimination (e-Comb) dans la deduction naturelle [Gen55]. Les
regles d'introduction et d'elimination pour les combinateurs elementaires sont :
I : le combinateur d'identite
X
I X
i-I
I X
X
e-I

La logique combinatoire 121
K : le combinateur qui forme une fonction constante
X
K XY
i-K
K XY
X
e-K
W : le combinateur de diagonalisation
XYY
W XY
i-W
W XY
XYY
e-W
C : le combinateur d'inversion des arguments
XZY
C XYZ
i-C
C XYZ
XZY
e-C
B : le combinateur de composition fonctionnelle
X(YZ)
B XYZ
i-B
B XYZ
X(YZ)
e-B
S : le combinateur de composition forte
(X Z)(Y Z)
S XYZ
i-S
S XYZ
(X Z)(Y Z)
e-S
C : le combinateur de changement de type operateur-operande
YX
C ? XY
i-C ?
C ? XY
YX
e-C ?
: le premier combinateur de composition parallele

122 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des post-fregeens
X(YU)(ZU)
X YZU
i-
X YZU
X(YU)(ZU)
e-
: le deuxieme combinateur de composition parallele
X(YU)(YV)
XYUV
i-
XYUV
X(YU)(YV)
e-
Une interpretation intuitive des combinateurs comme operateurs abstraits
d'un espace fonctionnel [Des99b] est :
I(f)(x) = f(x)
K(a)(x) = a
W(f)(x) = f(x x)
C(f)(x y) = f(y x)
B(f g)(x) = f(g(x))
S(f g)(x) = f(x g(x))
C (x)(f) = f(x)
(f g h)(x) = f(g(x)h(x))
(f g)(x y) = f(g(x)g(y))
Les combinateurs elementaires peuvent se combiner en donnant d'autres combinateurs
complexes. L'ensemble C 0 n'est pas minimal. On peut toujours denir
un ensemble minimal de combinateurs appeles combinateurs de base, c'est a dire
un ensemble de combinateurs tel que tout autre combinateur peut s'exprimer en
fonction des combinateurs de cet ensemble. L'etude de l'algebre des combinateurs
aeterealisee par Church et Rosser et presente entre autres dans [Hin72], [Hin86].
Les combinateurs sont des operateurs abstraits qui formalisent le concept de
fonction vue comme un processus operatoire (dans la theorie des fonctions recursives
) par opposition au concept de fonction vue comme un ensemble de paires
ordonnees (dans la theorie ensembliste des fonctions).
En commentant la nature et la signication d'un systeme formel Curry [Cur58]
dit qu'un tel systeme est un systeme semiotique caracterise par trois niveaux.
4.4.2.1 La presentation
Pour decrire un systeme formel on a besoin de :
{ decrire les idees primitives du systeme a l'aide de certaines symboles

La logique combinatoire 123
{ decrire comment les fermetures (dans le sens de fermeture de Kleene ) des
foncteurs doivent ^etre symbolisees.
Une telle enonciation particuliere avec son choix particulier du symbolisme
s'appelle la presentation du systeme formel. On peut regarder un systeme formel
comme quelque chose d'independant de ce choix et on peut dire que deux
presentations qui dierent seulement par le choix du symbolisme sont des presentations
du m^eme systeme formel. De ce point de vue, un systeme formel est
abstrait par rapport a sa presentation.
4.4.2.2 La representation
Une presentation d'un systeme formel parle des obs en utilisant des noms pour
les designer, mais elle ne precise pas quelle entite represente chaque objet. Une
representation du systeme formel est une correspondance injective qui associe a
chaque ob une entite (et aux obs distincts des entites distinctes). Les entites associees
peuvent ^etre : des symboles, des nombres, des idees, des ^etres vivants, des
objets manufactures etc. Il est evident que les noms des Obs d'une presentation
constituent une representation. Une telle representation est appelee par Curry la
representation antonyme. Elle est un moyen de concevoir un systeme formel tres
proche des idees de Hilbert.
4.4.2.3 L'interpretation
Une interpretation d'un systeme formel est une correspondance entre ses propositions
elementaires (P ) et certaines propositions signicatives sans reference
au systeme. Ces dernieres propositions sont appelees par Curry des propositions
posees a priori 3 (pour designer quelque chose denie anterieurement (a priori)
au systeme). Il est evident qu'un systeme formel peut avoir une interpretation
dans un autre systeme ou une interpretation completement intuitive. L'analyse
du concept de systeme formel conduit[Cur58] a la conclusion que le processus
de denition d'un systeme formel peut ^etre regarde d'un point de vue linguistique.
Chaque systeme formel est decrit dans un certain langage { le langage
sous-jacent :
Nous pouvons faire la lumiere sur la nature d'un systeme formel
en examinant le langage sous-jacent a un systeme formel mais, une
supra-thematisation de ce point de vue, quand m^eme, tend a obscurcir
le caractere abstrait d'un systeme formel par rapport a sa presentation.
[Cur58] chap.1D - Les aspects linguistiques des systemes formels)
3 Curry les appelle \ contensives."

124 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des post-fregeens
La logique combinatoire est un systeme formel applicatif avec des entites
speciques { les combinateurs. Les combinateurs et l'application conferent a
ce systeme un caractere particulier { le caractere operatoire.
Deux caracteristiques se degagent en ce qui concerne la logique combinatoire
par rapport aux autres logiques et, surtout, par rapport a la logique classique
dans sa presentation standard :
{ La construction abstraite des objets qui sont les arguments des predicats
est internalisee par l'operation d'application
{ La structure de la construction et le processus deductif sont geres fonctionnellement
par les combinateurs.
Si on se refere au langage de la presentation de la logique combinatoire
elle peut ^etre vue comme un langage applicatif. Si on se refere a sa partie
operatoire, elle peut ^etre vue comme un systeme d'operateurs et, particulierement,
un systeme de combinateurs. Ce sont les deux c^otes complementaires delalogique
combinatoire. La logique combinatoire peut ^etre consideree comme \une
logique de l'action" par opposition a la logique classique qui est \une logique
de la description". A cause du fait que la logique combinatoire va au-dela des
inferences etdecrit le niveau de ses objets (Obs) elle peut ^etre consideree comme
une prelogique. Si l'ensemble des operateurs ne contient que les combinateurs
elementaires, la logique combinatoire est appelee logique combinatoire pure. Ce
systeme peut ^etre etendu par :
{ L'addition d'operandes absolus particuliers : une cha^ne de symboles, une
proposition, un objet complexe, un objet physique, etc.
{ L'addition des operateurs particuliers d'un certain domaine (l'operateur de
dierenciation, d'integration, l'operateur r { en analyse mathematique, les
operateurs grammaticaux { en linguistique etc.)
Formaliser un domaine particulier par la logique combinatoire c'est construire
une logique combinatoire etendue (systeme applicatif particulier) par :
{ La description d'une representation particuliere
{ L'extension de l'ensemble des operateurs par des operateurs speciques du
domaine
{ La construction d'une interpretation particuliere (optionnellement).

La logique combinatoire 125
Par exemple, pour l'arithmetique, la representation particuliere est la correspondance
qui associe aux obs les nombres naturels, l'operateur particulier est
l'operateur successeur.
La logique combinatoire est une logique des operateurs, une logique sans variables.
4.4.3 L'algebre des combinateurs
C 0 = fI K W C B S C g est l'ensemble des combinateurs de base.
4.4.3.1 Expression applicative expression combinatoire
Expression applicative = expression obtenue par l'operation d'application a
partir d'un operande absolu (atome).
Expression combinatoire = expression qui contient au moins un combinateur.
Forme canonique (:::(a 1 a 2 )a 3 ):::a n ) (obtenue par l'introduction des combinateurs
-reduction)
Forme normale (((a 1 a 2 )(a 3 a 4 )):::a n ) (obtenue par l'elimination des combinateurs
{ sans combinateurs)
On passe de la forme canonique a la forme normale (si celle-ci existe) par
;reductions, et dans le sens inverse par ;expansions
Combinateur regulier X Xfa 1 a 2 :::a n ! ;red fb 1 b 2 ::::b n (il laisse invariant
son premier operande et il n'appara^t aucun combinateur sur la partie droite
de la regle de X)
4.4.3.2 Produit puissance distance
Produit :
X Y = def BXY
Proprietes : non-commutativite, associativite.
Puissance :
X 1 = X
X 2 = BXX 1
.
X n+1 =
BXX n

126 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des post-fregeens
Distance :
X 0 = X
X 1 = BX
X 2 = BX 1
.
X n+1 =
BX n
Le principe d'extensionnalite:
Si, pour tout U, X U = Y U, alors X = Y
Un ensemble minimal de combinateurs :
Tous les combinateurs de base peuvent ^etre construits uniquementavecK etS
(et des parentheses) :
I
B
W
C
SKK
S(KS)K
SS(K(SKK))
S(BBS)(KK)
B(BS)B
(((B))B(KK)
4.4.4 Solutions des quelques problemes par la logique combinatoire
4.4.4.1 Le passage entre (Q x) (P y x) et (P S) dans la logique combinatoire
La logique combinatoire par ses proprietes de nature fonctionnelle permet le passage
de l'expression applicative associee a une proposition generale a l'expression
applicative de la m^eme proposition, mais en mettant en evidence les expressions
applicatives correspondant au sujet et au predicat. Si l'expression applicative
correspondante a la proposition generale est:
(Q x) (P y x)
ou Q est un quanticateur et P un predicat binaire
le passage a laforme
(P' S )
est:

La logique combinatoire 127
C ? (P y x) (Q x) i- C ?
(P' S )
S.
ou P' := C ? (P y x) et S := (Q x).
L'expression appplicative correspondant au predicat est P', celle du sujet est
4.4.4.2 Le pronom comme operateur
Le pronom est interprete dans les semantiques du langage comme :
{ une variable liee [Gea76c],[Qui74a]
{ une fonction [Eva77], [Som82]
L'interpretation classique en ce qui concerne le fonctionnement du pronom
est de considerer le pronom comme une unite linguistique L1 qui renvoie a une
autre unite linguistique, L2, cette fois-ci plus complexe (syntagme nominal ou
syntagme nominal quantie). L'unite L2 est appelee antecedent. Dans les travaux
de Evans et Sommers le pronom est conside comme une fonction qui \renvoie" a
son antecedent en le choisissant dans la phrase (voir la classication des pronoms
de Sommers du chapitre 2, le pronom de type E deni par Evans [Eva77].
Le pronom est etroitement lie alatheorie de la quantication par le fait que
l'antecedent estsouvant un syntagme nominal quantie.
Nous considerons le pronom comme un operateur qui :
{ Construit son antecedent
{ Construit la quantication de cet antecedent
{ Applique la quantication a son antecedent.
Considerons la phrase :
Jean a quelques mouttons et Paul les avaccine l'ete dernier.
Sa structure applicative est :
( ^ ( Q f g)) (h pron))
ou Q est un quanticateur, (Q f g) la premiere proposition, pron l'unite lexicale
qui encode le pronom et (h pron) la deuxieme proposition.
Cette expression est equivalente a:
PRON (h (Q' (g(Q f))))
ou Q est le quanticateur correspondant a Q, mais qui s'applique au syntagme
nominal, Q' est le quanticateur construit par le pronom m^eme et PRON

128 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des post-fregeens
l'operateur de pronominalisation. L'equivalence des deux expressions applicatives
et l'application du principe de l'extensionalite donne une equation fonctionnelle
qui represente la denition du pronom comme operateur :
X PRON B 5 B 3 Q' B Q Y ^ Q pron
ou X = C 14 C 12 C 10 C 8 C 6 C 4 C 8 C 6 B 7
et Y = C 7 C 7 C 7 B 2 B 2 BB
Une autre application en logique combinatoire est presentee en Annexe A
(III) : le calcul dans la logique combinatoire qui se rend compte du rapport entre
le contenu propositionnel et l'assertion dans le sens de Frege.
4.5 Conclusions
Toutes les critiques de la quantication classique faites dans ce chapitre ont
determine la construction d'une nouvelle theorie de la quantication representee
par un systeme d'operateurs de quantication qui verient les conditions suivantes
:
{ Du point de vue syntaxique ils s'appliquent au syntagme nominal
{ Du point de vue semantique ils tiennent compte de la typicalite.
Cette theorie est basee sur un systeme de classication qui est la LDO. La
LDO est deni comme un systeme applicatif avec des primitives particulieres. Elle
est presentee dans le chapitre 6. La nouvelle theorie de la quantication qui fait
pour la premiere fois le pont entre la quantication \logique" et la quantication
\linguistique" est presentee dans le chapitre 7.

Chapitre 5
La quantication en linguistique
5.1 Introduction
En linguistique la quantication est le processus cognitif (y compris son encodage
dans les langues naturelles) d'attribution d'une quantite, d'une mesure, d'un
nombre a une classe d'objets. Ce processus est considere comme etant oppose a
la qualication qui est le processus d'attribution d'un qualicatif, d'un attribut
non-mesurable a un objet ou a une classe d'objets.
La notion de quanticateur generalise appara^t avec les travaux de Montague
[Mon69], [Mon74]. Montague emploie le terme de quanticateur generalise pour
interpreter les groupes nominaux. Plus tard, Barwise, Cooper [Bar81], Keenan,
Stavi [Kee86] se sont occupes de la classe des determinants nominaux (notee
par Det). Ils ont etudie lasemantique de cette classe. A partir des annees
1980 et jusqu'a maintenant les travaux sur la semantique de cette classe ont
prolifere. La semantique de cette classe est etudiee soit empiriquement (une
analyse linguistique distributionnelle), soit en utilisant un outil mathematique.
Une etude mathematique de la semantique de la classe Det est realisee par E.
Keenan dans The Semantics of Determiners [Kee97a]. Pour lui les quanticateurs
generalises representent une partie de la classe Det. L'etude est continuee dans
Generalized Quantiers in Linguistics and Logic [Kee97b] ou les auteurs realisent
une investigation de la nature de la quantication dans les langues naturelles.
Toutes ces etudes representent l'evolution de la notion de quanticateur generalise
a partir de Montague et jusqu'a maintenant dans le courant de l'ecole linguistique
americaine.
L'ecole francaise est representee d'un c^ote par une etude distributionnelle de
la quantication (englobee dans d'autres classication linguistiques) et de l'autre
c^ote par une etude conceptuelle (intensionnelle), les travaux de A. Culioli [Cul99c]
et surtout de J.P.Descles [Des98b], [Des99a]. Dans la theorie semantique de J.-P.
Descles, la quantication est formalisee.

130 La quantication en linguistique
Dans ce chapitre nous presentons la quantication generalisee de E. Keenan
comme theorie linguistique de la quantication (sous-chapitre 5.2). Le premier
paragraphe du sous-chapitre 5.2 presente un apercu sur la theorie des types de
Montague [Mon69], [Cham98] sur laquelle est basee la theorie de la quantication
de E. Keenan. Nous comparons la theorie de Keenan avec la theorie proposee par
J.-P. Descles qui est decrite dans le chapitre 7. Une proposition de generalisation
est faite dans le sous-chapitre 5.3. Cette comparaison engendre un rapprochement
entre la quantication en logique et celle en linguistique comme theories
traditionnelles, et en m^eme temps, un choix pour une theorie plus generale dont
les deux autres se retrouvent comme des cas particuliers. .
5.2 Quanticateurs generalises
5.2.1 Bref apercu sur la theorie des types de R. Montague
La theorie semantique de Montague fait partie de la classe des theories extensionnelles,
apparentees alatheorie des modeles. Montague met en correspondance
les expressions du langage avec un univers d'interpretation par une fonction
interpretative. Son univers d'interpretation est un ensemble des fonctions
construites avec trois ensembles consideres comme primitives:
L'ensemble des valeurs de verite.
L'ensemble des entites individuelles.
L'ensemble des indices contextuels.
La theorie semantique de R. Montague [Mon69] est basee sur des categories
semantiques qui forment une theorie des types. L'ensemble des types, en tant
que tel, est construit a partir de trois types primitifs associes aux trois ensembles
de base : l'ensemble des entites individuelles, l'ensemble des valeurs de verite,
l'ensemble des indices contextuels. Les elements primitifs associes a ces ensembles
seront notes respectivement : e, t, s. L'ensemble des types, note T est deni par:
(1) e est un type
(2) t est un type
(3) si a est b sont des types, alors le couple h a, b i est un type.
(4) si c est un type, alors h s, c i est un type.
(5) rien d'autre n'est un type.
On remarque que:
h e, t i, h t, e i, h s, e i, h s, t i, hhs, e i, ti, hhhs, e i, ti , hhs, e i, tii
sont des types.
Par contre, s, h e, s i, h e, h e, s iine sont pas des types.

Quanticateurs generalises 131
Le type h a, b i s'interprete comme le type de la fonction qui transforme un
objet de type a dans un objet de type b.
L'association d'un type a une expression represente la correspondance entre
cette expression et l'objet de l'univers interpretatif. Quand on dit \un groupe
nominal est une fonction ..." on exprime l'interpretation qu'on donne a un groupe
nominal dans la theorie.
5.2.2 La theorie des quanticateurs generalises
Dans ce sous-chapitre nous presentons la theorie des quanticateurs generalises
de E.Keenan [Kee97a], [Kee97b].
Soient les exemples suivants:
1. Jean rit. Marie sourit.
2. Aucun docteur d'ici ne fume.
La plupart des linguistes sont bilingues.
Tout poete r^eve.
3. Autant degarcons que de lles ont reussi a l'examen.
L'univers interpretatif de la theorie de E. Keenan est le suivant:
un ensemble d'objets (totalement determines) note parE.
les predicats 1-aires P 1 interpretes comme des sous-ensembles de E, c'est-adire
des elements de P(E).
les propositions interpretees comme des valeurs de verites: > et ?.
les groupes nominaux:
etudiant
l'etudiant blond et de grande taille
l'etudiant aime par Marie
interpretes comme des fonctions de P (E) dans f>,?g et nommes quanticateurs
generalises de type h 1 i sur E. Cet ensemble est note aussi par TYPE h
1 i.
E. Keenan denit ces quanticateurs generalises de dierents types 1 . Les
groupes nominaux sont vus comme des quanticateurs generalises de TYPE h 1
i. Dans les exemples 2, il s'agit des determinants d'un seul argument Det 1 (qui
s'appliquent a un GN pour rendre un GN, soit semantiquement, des fonctions de
P(E) a valeurs dans TYPE h 1 i). Dans l'exemple 3 \autant de.... que de..." est
1 Les types utilises sont les types de Montague.

132 La quantication en linguistique
un determinant de deux arguments. Il s'applique a deux GN, pour donner un
GN ( semantiquement vu comme une fonction de P (E) P(E) a valeurs dans
TYPE h 1 i). Les types des quanticateurs des exemples 1, 2, 3 sont respectivement
h 1 i , h 1, 1 i, hh1, 1 i, 1i.
5.2.2.1 Quantication de type h 1 i
Les quanticateurs generalises de type h 1 i sont des fonctions de P (E) a valeurs
dans f>,?g.
L'ensemble de ces quanticateurs est note par TYPE h 1 i. Ils sont vus aussi
comme des fonctions de type h 1 i et correspondent aux groupes nominaux. C'est
le cas des exemples 1.
E. Keenan introduit la propriete de monotonie pour les groupes nominaux,
propriete qui represente une reprise dans ce contexte de la monotonie des fonctions:
Denition 5.1 Si A et B sont deux ensembles partiellement ordonnes et F une
fonction de A a B, alors:
a. F est croissante ssi
a, b 2 A a b =) F(a) F(b)
.
b. F est decroissante ssi
a, b 2 A a b =) F(a) F(b)
.
c. F est monotone ssi elle est soit croissante, soit decroissante.
Une expression est nommee croissante (decroissante, monotone) ssi son interpretation
est une fonction croissante (decroissante, monotone).
E. Keenan denit \les groupes nominaux syntaxiquement simples" comme
etant : les noms propres, les pronoms (il, lui....), les demonstratifs (celui-ci, celuila....),
les indenis (tout, tout le monde, quelqu'un, personne...). Il pose l'assertion
suivante :
Les groupes nominaux syntaxiquement simples sont des expressions croissantes,
avec quelques exceptions comme : personne, peu, dans les propositions:
Personne n'est venu.
Il y a beaucoup d'appeles et peu d'elus.

Quanticateurs generalises 133
Nous considerons que cette denition et implicitement, la categorisation sousjacente
est due a l'anglais, mais la propriete de monotonie reste une propriete
generale d'ordre semantique.
5.2.2.2 Quantication de type h 1, 1 i
Les quanticateurs generalises de type h 1, 1 i sont des fonctions de
P (E) a valeurs dans TYPE h 1 i.
Ces fonctions correspondent aux determinants d'un seul argument, c'est a dire
aux determinants qui s'appliquent a un groupe nominal pour former un groupe
nominal (expression de type h 1 i). C'est le cas des exemples 2. Ces quanticateurs
sont consideres comme des quanticateurs qui correspondent mieux aux
quanticateurs logiques. Ils sont d'abord repartis en deux classes : simples et
complexes. La classication est realisee sur des criteres syntaxiques et, en plus,
pour l'anglais. On remarque que ce qui est \simple" en anglais peut devenir
\complexe" en francais et inversement. Nous donnons ici les deux classes:
{ (1) simples
{ a) un, tout, tous, chaque, aucun, quelques, plusieurs, le, ce, mon, de
(de Jean), dix, une douzaine, peu, beaucoup, nombreux, le troisieme.
{ b) il y a des, les dix, les dix....de (Jean), moins que, au moins, au plus,
plus que, exactement dix, que dix, que les...de (Jean), susamment
de, tous sauf dix, moitie de, moitie de...de (Jean), un nombre ni de,
un nombre inni de, un grand nombre de, moins que dix, dix pour
cent, entre cinq et dix, approximativement cent.
{ (2) complexes
tous ... sauf Jean, pas plus que dix, la plupart de... et tous les..., la plupart
mais pas tous, tous sauf un nombre ni, sept parmi dix, le troisieme ....de
(Jean), plus de ...de (Jean) que de (Marie), ni les ...de (Jean), ni les ...de
(Marie).
Exemples:
(1) Il y avait dans la salle au moins deux mais pas plus de dix etudiants.
Ilyavait dans la salle au moins deux etudiants mais pas plus de dix .
Les vingt etudiants du groupe 1 passent l'examen demain.
Beaucoup d'etudiants font du traitement automatique du langage.
Ilalulamoitie des articles de Jean.

134 La quantication en linguistique
(2) Tous les etudiants sont venus a laf^ete sauf Jean. Tous les etudiants
sauf Jean sont venus a laf^ete.
Le plus gros chat de Jean.
Paul est le troisieme enfant de Jean.
Il a lu plus d'articles de Jean que de Marie.
Keenan considere comme complexite le nombre de composantes syntaxiques
elementaires du determinant : \most (la plupart)" est plus simple que \no more
than ten (pas plus que dix)". Mais, on remarque que surtout pour le francais
il faut considerer aussi la continuite. Si on accepte que \le troisieme" est un
determinant continu et \tous...sauf Jean" est discontinu, on peut introduire une
classication en determinants continus et discontinus.
Il y a des determinants discontinus en anglais qui restent aussi des determinants
discontinus en francais:
the most dicult topic to talk to := le plus dicile sujet a parler
Pour:
The most dicult topic to talk to is the quantication.
on a
Le plus dicile sujet dont on parle est la quantication.
the easiest village to reach from here := le village le plus facile a
atteindre d'ici.
Pour:
The easiest village to reach from here is Plouzane.
on a
Le village le plus facile a atteindre d'ici est Plouzane.
Il y a des determinants continus en anglais qui ne le sont pas en francais:
More of John's than of Bill's articles.
Plus d'articles de Jean que d'articles de Bill.
Donc, les criteres syntaxiques qui tiennent de l'encodage dans une langue
particuliere et qui peuvent varier d'une langue a l'autre ne representent pasun
support theorique pour une theorie semantique. Par contre l'interpretation des
determinants comme des fonctions peut leur donner une semantique. E. Keenan
considere qu'un determinant de type h 1,1i en tant que fonction F peut ^etre vu
comme une relation 2 Q entre deux ensembles A et B denie par :
2 Relation dans le sens de la theorie mathematique des relations.

Quanticateurs generalises 135
QAB ssi F(A)(B) = >
Par consequence, la semantique de quelques quanticateurs de ce type est:
1. Tout
Tout A est B
Tout (A)(B) = > ssi A B
2. Aucun
Aucun A n'est B
Aucun (A)(B) = > ssi A \ B=?
3. Il y a des
Il y a des A qui sont B
Il y a des (A)(B) = > ssi A \ B 6= ?
4. Exactement un, Un...exactement
Exactement un A est B
Exactement un(A)(B) = > ssi j A \ B j =1
5. Les n
Les n A sont B
Les n (A)(B) = > ssi j A j =netA B
6. Un nombre ni exactement
Un nombre ni exactement de A sont B
Un nombre ni exactement (A)(B) = > ssi il existe un n naturel tel que,
A Betj A j =n
7. Moins de la moitie de
Moins de la moitie de A sont B
Moins que moitie de(A)(B) = > ssi jA \ B jA-Bj
8. Tous sauf n
Tous les A sauf n sont B
Tous sauf n (A)(B) = > ssi j A-Bj =n
9. Entre n et m
Entre n et m A sont B
Entre n et m (A)(B) = > ssi il existe n, m naturels tels que n jA \ B j
m (n et m sont xes par l'expression elle-m^eme)

136 La quantication en linguistique
10. La plupart de
La plupart des A sont B
La plupart de (A)(B) = > ssi j A \ B jjA-Bj
11. n au plus parmi m
n au plus parmi m A sont B
n le plus parmi m(A)(B) = > ssi j A j =metj A \ B jn
12. Quanticateurs de proportionalite
(Au moins la moitie, la moitie de, plus de 10 pour cent de, plus de m/n de )
Plus de m/n des A sont B
Plus de m/n (A)(B) = > ssi j A \ B j m j A j n
Certaines proprietes mathematiques des fonctions peuvent avoir une certaine
pertinence pour l'interpretation des determinants de la classe TYPEh 1, 1 i. Par
exemple, si on analyse cette classe du point de vue de la monotonie on constate
l'existence des determinants croissants, decroissants et m^eme non-monotones:
Determinants de type h 1, 1i croissants:
tous, il y a des, quelques, aucun, au plus n, au moins n.
Determinants de type h1,1i decroissants:
peu de
Determinants de type h 1,1i qui ne sont pas monotones:
exactement n, entre n et m, tous sauf Jean, aucun mais Jean, soit moins que
n, soit plus que m.
Le contexte est important en ce qui concerne la monotonie. Le m^emedeterminant
peut ^etre croissant, ou non-monotone. Par exemple le determinant \deux"
dans les exemples:
(1) Y a-t-il deux places libres dans la premiere ligne?
(2) Deux etudiants parlaient quand vous ^etes sorti.
(3) Combien d'etudiants sont venus a cet expose? Deux.
Dans le premier exemple \deux" est interprete comme \au moins deux", donc
c' est un quanticateur croissant dans le deuxieme exemple le \deux" designe
deux personnes qu'on peut identier, donc l'utilisation lui confere le statut de
quanticateur croissant. Dans le troisieme exemple le sens est de \deux etudiants
exactement", c'est donc un quanticateur non-monotone.

Quanticateurs generalises 137
D'autres proprietes des determinants vus comme fonctions sont denies : la
cardinalite, la conservativite et l'extension.
Cardinalite:
Denition 5.2 Un determinant F de TYPE h1,1 i est cardinal (co-cardinal)
(CARD (CO-CARD)) ssi quels que soient les ensembles A, A', B, B' 2 Esij A
\ B j = j A' \ B' j ( j A{Bj = j A'{ B' j ), alors F(A)(B) = F(A')(B')
Conservativite:
Denition 5.3 Un determinant F de TYPE h1,1i est conservatif (CONS), (l'ensemble
de ces determinants est note CONS E ) ssi quels que soient les ensembles
A, B, B' 2 EsiA\ B=A\ B', alors F(A)(B) = F(A)(B')
Extension:
Denition 5.4 Une fonction Q de E dans un ensemble Q E
de TYPE h1, 1 i
satisfait l'extension (EXT) ssi quels que soient les ensembles E et E' avec E2
E', Q peut ^etre etendue a une Q' de E' dans Q E 0.
Pour les determinants cardinaux la valeur de verite de F(A)(B) depend de j A
\ B j. Pour les determinants co-cardinaux la valeur de verite de F(A)(B) depend
de j A-Bj.
Determinants cardinaux: le moindre, plus que, exactement n, entre n et m,
moins de la moitie de, soit plus que dix soit moins que six, un nombre ni exactement.
Determinants co-cardinaux: tous, tous sauf dix, tous sauf un nombre ni, pas
tous.
Les determinants:
et
Les dix A de Jean
Aucun des dix A de Jean
sont conservatifs. Leur denition fonctionnelle est:

138 La quantication en linguistique
Les dix de Jean(A) =
tout (A que Jean possede) si j A que Jean possede j= 10
0 h11i (A) sinon
Aucun aucun (A que Jean possede) si j A que Jean possede j= 10
des dix de Jean(A) =
0 h11i (A) sinon
Pour l'extension (EXT) le quanticateur \chaque" satisfait l'extension, mais
le quanticateur Q E ,deni ci-desous, ne le satisfait pas:
Q E =
chaque E
un nombre inni E
si E est ni
si E est inni
La notion de relativisation permet de denir pour tout quanticateur Q de
type h 1 i, un quanticateur Q rel de type h 1, 1 i qui peut simuler dans l'argument
du verbe le fonctionnement de Q pour le nom : Q rel
E (A)(B) = Q E(A \ B) pour
tout E et A, B E.
Quelques proprietes des determinants
E. Keenan etablit des proprietes des determinants, par rapport aleurdenition
fonctionnelle. Il part d'une demarche plus generale, en posant les questions:
Etant donne untypet et un langage L :
{ Q1. Quelle expression de type t fournit L du point de vue syntaxique
(expressions classiees sur des criteres syntaxiques)?
{ Q2. Pour tout E (univers des objets) et toute F de type t y a-t-il une
expression de L qui est interpretee comme F?
{ Q3. Y a-t-il en L des sous-classes construites sur des criteres syntaxiques ou
semantiques et si oui, sont-elles valables pour toutes les langues naturelles?
L'analyse de ces problemes se produit dans deux directions:
d'un point de vue linguistique, c'est-a-dire par rapport aux classications
linguistiques
par rapport aux problemes souleves par la logique.

Quanticateurs generalises 139
Cette analyse permet de formuler quelques proprietes appelees generalisations.
Pour L c'est la langue anglaise qui est prise .
G1. Les GN lexicaux (syntaxiquement simples) sont monotones croissants
avec peu d'exceptions.
G2. Les quanticateurs de type h 1 i ont comme denotation en langage (l'anglais)
les groupes nominaux.
G3. ([Kee86]) Tous les elements de CONS E ont comme denotation un Det en
anglais.
Ce sont des reponses partielles aux questions Q1 et Q2 en considerant la
langue anglaise.
Des proprietes plus ou moins particulieres qui relevent de la logique ont ete
etablies:
P1. Les quanticateurs de proportionalite ne peuvent pas ^etre denis dans le
calcul du premier ordre.
P2. ([Wes91], [Kol95]) Un quanticateur monotone Q de type h 1 i peut ^etre
deni dans L(Q rel )siQ rel peut ^etre deni dans le calcul du premier ordre.
P3. [VBe84] Pour j E j =n,j TYPE h 1, 1 i E j =2 4n et j CONS E j =2 3n
5.2.2.3 Quantication de type hh1, 1i, 1i
Les quanticateurs du type hh1, 1i, 1i sont des fonctions de P (E) P(E) a
valeurs dans TYPE h 1 i. Quelques exemples sont:
A peu pres autant d'etudiants que de professeurs sont venus a lareunion.
Cinq fois plus d'etudiants que de professeurs attendaient devant la porte.
Plus de chiens que de chats de Jean etaient dans le jardin.
Exactement quatre etudiants et deux professeurs se sont opposes a la
demande.
Au moins trois fois plus d'etudiants que de professeurs ont oublie de cette
reunion.

140 La quantication en linguistique
La semantique de quelques quanticateurs de type hh1, 1i, 1i:
1. Moins de A que de B
Moins de A que de B sont C.
(Moins de A que de B )(C) = > ssi j A \ C jjB \ C j
2. Au moins deux fois autant de A que de B
Au moins deux fois autant de A que de B sont C.
(Au moins deux fois autant de A que de B) (C)=> ssi j A \ C j2
j B \ C j
3. Tout A et tout B
Tout A et tout B est C.
(Tout A et tout B )(C) = > ssi Tout(A)(C) ^ Tout(B)(C)
4. Exactement nAetmB
Exactement n A et m B sont C.
(Exactement nAetmB)(C) = > ssi j A \ C j =netj B \ C j =m
5.2.2.4 Quantication polyadique
Soit les exemples:
1. La plupart des critiques ont analyse exactement quatre lms.
2. Jean a donne plus de roses que de lilas a au moins trois lles.
Le quanticateur de l'exemple 1 prend comme arguments deux GN et un verbe
(relation binaire). Il est du type hh1, 1i, 2i, c'est donc une fonction de
P (E) P(E) a valeurs dans f R 2E ;!f>, ?gg 3
La semantique de ce quanticateur est :
F(A, B)(R) = > ssi jfa 2 A: jf b 2 B: Rab gj=4gjjfa 2 A/jf b
2 B: Rab gj6=4gj
La semantique du quanticateur de l'exemple 2 est :
3 R 2E est l'ensemble des relations binaires sur E

Critique de la theorie de E.Keenan 141
G(A,B,C)(R) = > ssi jfa 2 A:jf b 2 B: Rabj gj
jfb 2 C : Rabj gjgj3
5.2.3 L'interpretation operationnelle de la theorie des quanticateurs
generalises
La theorie des quanticateurs generalises recoit une interpretation operationnelle
de la part de B. Partee [Par95]. elle considere qu'un syntagme quantie se
decompose en trois parties :
{ operateur
{ restricteur
{ portee nucleaire
L'operateur est l'operateur de quantication, le restricteur est le concept f
qui delimite l'univers du discours et la portee nucleaire est le concept g.
L'interpretation des quanticateurs pour B. Partee est la m^eme que celle de
E. Keenan.
5.3 Critique de la theorie de E.Keenan
La theorie des quanticateurs generalises est une theorie basee sur des hypotheses
linguistiques et mathematiques en m^eme temps. Les hypotheses linguistiques
sont:
la classe des groupes nominaux et leur construction.
la classe des determinants.
L'hypothese mathematique est d'interpreter les groupes nominaux et les determinants
comme des fonctions. La theorie est construite dans le cadre de
la theorie semantique de Montague en utilisant sa theorie des types et son interpretation
des groupes nominaux.
Ces deux hypotheses permettent de developper des resultats de nature linguistique
et egalement des resultats de nature mathematique. L'interpretation
linguistique de certains resultats mathematiques semble dicile (comme, par
exemple P1).
Nous allons faire quelques remarques sur la theorie des quanticateurs generalises:

142 La quantication en linguistique
Un detail technique en ce qui concerne la construction recursive des types
des quanticateurs generalises. Si on accepte l'interpretation d'un groupe nominal
comme etant une fonction:
P (E) ;! f>, ?g
et on note par TYPE h 1 i l'ensemble de ces fonctions, alors on constate que les
determinants d'un seul argument sont des fonctions :
TYPE h 1 i;! TYPE h 1 i
donc, de type h 1, 1 i
La theorie des fonctions, la procedure de currication [Cur58], [Des90b] et la
denition des types de Montague [Mon69] montre que le type des quanticateurs
de deux arguments (s'appliquant a deux GN pour rendre un GN) est le type des
fonctions:
TYPE h 1 iTYPE h 1 i;! TYPE h 1 i
c'est-a-dire h 1, h 1, 1 iiet non pas le type hh1, 1i, 1i. Une construction
fonctionnelle rigoureuse donne les types d'autres quanticateurs.
La propriete de monotonie introduite pour les groupes nominaux et pour
les quanticateurs represente le processus de determination pris en compte par
la LDO. Cette remarque prouve qu' il y a des processus cognitifs qui peuvent
^etre formalise par des dierents outils du m^eme domaine (ici la logique ou les
mathematiques). Le choix de l'outil se fait en fonction de l'evaluation de l'interpretation
linguistique. Autrement dit, la pertinence de la modelisation est
evaluee par la force de l'interpretation linguistique.
Une modelisation qui contient en soit la structure de l'encodage d'une langue
particuliere (dans ce cas l'anglais) peut induire des proprietes qui ne sont pas des
proprietes generales. Comme E. Keenan utilise explicitement les classications
syntaxiques qui portent sur l'anglais (la classications des determinants est assez
arbitraire), le passage a d'autres langues comporte des modications. C'est la
raison pour laquelle aucune reponse n'est proposee a la question Q3 (paragraphe
5.2.2.2).
La theorie des quanticateurs generalises est une theorie extensionnelle (car
construite a partir de la semantique de Montague). Elle n'est pas une theorie
fonctionnelle des fonctions.

Conclusions 143
La theorie des quanticateurs generalises reste un developpement inportant
surtout par les proprietes mises en evidence sur une classe tres particuliere de
fonctions.
5.4 Conclusions
Entre la quantication en logique et la quantication en linguistique il y a un tres
fort lien par le biais de l'operation de determination.
Les theories linguistiques de la quantication s'inspirent de la logique en
denissant des operateurs de quantication dont la semantique est construite sur
le modele des quanticateurs logiques classiques. Ces theories tiennent compte
des criteres linguistiques en melangeant, des fois, des classications purement linguistiques
propres a une langue particuliere avec des classications operees par
la logique et les mathematiques.
La theorie de J.-P. Descles prend en compte les problemes de la linguistique
a un niveau superieur a celui de l'encodage, le niveau cognitif. Ces problemes
sont traduits dans le modele logique par des operations qui ont un correspondant
linguistique. D'autres operations cognitives, comme la typicalitesontmodelisees.
Le grand cadre de la logique classique est garde comme fondement, ce qui donne
au modele la puissance d'applicativite. Le c^ote fonctionnel pris en compte par la
logique combinatoire realise le passage entre la syntaxe et la semantique, d'une
facon generalisee sans appel a l'interpretation d'un encodage particulier.
Ces caracteristiques epistemiques de la theorie de J.-P. Descles nous ont permis
de formaliser la quantication dans ce cadre et de voir une possible extension vers
une theorie englobant la theorie de E. Keenan.
Au moins trois grandes directions de developpement se distinguent, directions
qui tiennent des trois domaines des sciences cognitives : la logique, l'informatique
et la linguistique. Ces directions sont :
Etendre la theorie de la quantication de J.-P. Descles par la construction
des operateurs de \denombrement".
L'etude de l'encodage dans des langues naturelles de ces operateurs.
Construire des outils automatiques de reperage des expressions de quantication
et de denombrement.

144 La quantication en linguistique

Chapitre 6
La categorisation
6.1 Introduction
Un canari est un oiseau typique qui vole. Une autruche est une oiseau atypique
qui ne vole pas. Kiki est un canari qui vole. Julie est une autruche typique qui
ne vole pas, donc atypique comme oiseau. Rita est une autruche qui vole, donc
atypique comme autruche, mais elle reste toujours atypique comme oiseau. (voir
la gure 6.1).
Comment rendre compte de ces proprietes? Les reseaux semantiques ne donnent
pas la reponse. La LDO par sa categorisation et par ses regles d'inference
propose une reponse possible et, croyons-nous, meilleur que les autres reponses.
La classication { construire les classes { et la categorisation { etablir le
rapport entre les classes { font partie du m^eme processus cognitif et elles sont
etroitementliees m^eme si un de ces deux termes a ete utilise souvent pour l'autre.
La categorisation est appelee par la logique et par les mathematiques taxinomie.
On appelle raisonnement taxinomique [Dub95] l'ensemble des procedures
qui gouvernent l'application correcte d'une classication, c'est a dire d'une structure
hierarchique analogue a celles d'usage courant en botanique ou en zoologie.
De telles procedures nous permettent d'une part de designer le genre ou l'espece
d'un individu donne a partir de l'examen de ses caracteristiques telles que les
revele la seule observation, et d'autre part, de predire pour une espece donnee,
les proprietes qui sont communes aux individus qui la composent.
La logique classique s'est averee inapte a formaliser ces types de procedures.
Les problemes souleves par le raisonnement taxinomique renvoient a deux
questions plus generales concernant :
le rapport entre termes theoriques et termes observationnels
le r^ole que pourrait jouer la logique dans l'examen de ces rapports
La philosophie de ce siecle nous montre clairement que la tentative d'appliquer
la logique classique a la formalisation de sciences autres que les mathematiques

146 La categorisation
classiques, qui doivent donc integrer dans un corps theorique des donnees observationnelles,
n'a jamais ete accomplie de facon satisfaisante. Le raisonnement
taxinomique n'est alors qu'un exemple particulierement representatif de cet echec.
En informatique, les problemes lies a la formalisation du raisonnement taxinomique
sont connues sous le nom de problemes d'heritage. Ils concernent, outre les
applications de l'intelligence articielle et en particulier les reseaux semantiques,
des domaines tels que le genie logiciel, les langages de programmation de type \
orientes objet " et les bases de donnees deductives. Les dicultes soulevees dans
ces domaines par les classications ne concernent pas seulement leur formalisation
logique, mais aussi tout simplement leur interpretation. Elles constituent ainsi un
cas typique des problemes propres a l'intelligence articielle : l'interpretation d'un
procede technique de notation conduit a s'interroger sur la nature des problemes
souleves et sur la possibilite d'avoir recours a la logique pour les resoudre. La
recherche des nouvelles logiques non-classiques ne constitue qu'une hypothese de
recherche an de donner une reponse positive a cette derniere interrogation. La
categorisation en tant qu'outil conceptuel prend en compte deux aspects :
d'un cote un aspect d'organisation rationnelle exprime par la hierarchie des
concepts fondamentaux d'un domaine : c'est l'aspect purement categoriel
de l'autre cote un aspect strictement classicatoire qui concerne le regroupement
des individus en classes par le biais de leurs caracteristiques : c'est l'aspect
purement classicationnel.
Selon le premier point de vue une classication range des termes theoriques
par leur specicite : elle organise les concepts scientiques d'un domaine en les
subsumant les uns sur les autres. Selon le second, elle met en relation l'abstrait
(l'espece biologique) et le concret (l'individu reel). Classer signie creer des
classes disjointes et il est necessaire a cette n de disposer d'une combinatoire
de traits pertinents, tenus pour primitifs ( avoir des vertebres, allaiter ses petits,
etc.). L'absence ou la presence d'un trait pertinent ( avoir ou ne pas avoir de
vertebres) permet la constitution de classes distinctes de m^eme niveau (vertebres
et invertebres), et l'inclusion des traits pertinents permet d'ordonner une classe
par rapport une autre ( mammiferes sous vertebres).
La nature des objets est tres dierente et elle varie d'un domaine a l'autre.
C'est la t^ache de l'ontologie comme faisant partie de la philosophie de s'interroger
sur cette nature.
Dans chaque domaine scientique particulier, les objets sont les individus
propres a ce domaine, comme les ^etres vivants en zoologie, les plantes en botanique.
En mathematiques les objets de base sont les nombres dont la nature fait
l'objet de toute une philosophie des mathematiques a partir de Cantor [Can32],
[Hei77], Peano [Pea58], [Hei77], Frege [Dum91a]. En linguistique, les objets sont
les expressions linguistiques vues au niveau genotype (voir J.-P.Descles [Des90b])

Introduction 147
et non pas vues comme des encodages dans une langue ou une autre. Il existe
l'approche qui confere aux objets le degre le plus eleve d'abstraction en les concevant
comme des entites abstraites de nature primitive qui peuvent ^etre obtenues
par decomposition par des dierentes operations. Ce sont les objets de
Curry 1 ([Cur58]).
Les objets sont repartis en classes selon certaines proprietes communes. Ce
sont les proprietes qui ont ete appelees concepts dans la tradition logico-philosophique
et egalement dans la tradition linguistique. La notion de concept bien
qu'elle marque toute la logique antefregeenne se detache comme denition a partir
du systeme de Frege (voir le chapitre 2). La logique de Port-Royal parle d'idees,
B.Russell de fonction propositionnelle, G. Frege de concepts. Dans la tradition
linguistique plus proche de nous les concepts sont denis comme des systemes de
representations complexes. Pour A. Culioli [Cul99b]:
\Les notions sont des systemes de representations complexes de
proprietes physico-culturelles c'est-a-dire des proprietes d'objets issues
de manipulations necessairement prises a l'interieur des cultures,
et, de ce point de vue, parler de notion, c'est parler de problemes qui
sont du ressort des disciplines qui ne peuvent pas ^etre ramenees uniquement
a la linguistique. Une notion est anterieure a la categorisation
en nom, verbe, etc."
Pour B. Pottier ([Pot92]) les concepts sont des noemes. J.-P. Descles ([Des98g],
[Des99a]) en gardant la notion fregeenne de concept, elargit la notion d'objet
(entite completement saturee par rapport au concept, dans le sens de Frege) en
postulant les objets plus ou moins determines ([Des99a]):
\Du point de vue logique, la notion d'objet gagnerait a ^etre mieux
cernee" ([Des99a]).
C'est la Logique de la Determination d'Objets (LDO) qui part de
cette hypothese. La LDO represente une contribution a une comprehension
theorique de l'objet par une nouvelle approche logique constructive, fondee sur
une operation fondamentale { l'operation de determination. Cette logique rend
compte des problemes cognitifs et deductifs rencontres par l'heritage des proprietes
par des instances typiques et atypiques. Elle montre comment sont logiquement
organisees les notions de classe extensionnelle, d'intension, d'objets
plus ou moins determines, d'objets completement determines, d'etendue, dere
pre sen tant plus ou moins typique d'un concept, d'objet typique. Cette logique,
comme systeme logique est un systeme applicatif, type et applique aux objets
1 Curry les denote par Obs

148 La categorisation
(au sens que leurs attribu le systeme m^eme). La LDO represente d'un cote un
systeme de categorisation plus adequate pour la categorisation linguistique que
les categorisations traditionnelles. Du point de vue du raisonnement elle est
une logique alternative comparable aux logiques non-monotones et a la logique
lineaire. Elle represente aussi un systeme de base pour denir la semantique d'une
nouvelle theorie de la quantication, beaucoup plus adequate au langage que la
quantication de la logique classique.
Ce chapitre est organise en sept sous-chapitres. Il presente les bases conceptuelles
de la LDO et la LDO comme systeme de categorisation. Le premier decrit
les concepts et les objets de la LDO. Le deuxieme sous-chapitre presente les
operateurs de typication et de determination . Le troisieme sous-chapitre
donne la structure de l'intension d'un concept { Int f. Le quatrieme souschapitre
analyse la notion de \compatibilite" dans la LDO. Dans le cinquieme
sous-chapitre on denit les notion \d'objet typique" et \d'objet atypique". Le
sixieme sous-chapitre donne le systeme d'axiomes de la LDO et le septieme chapitre
les classes des objets de la LDO et leurs rapports reciproques.

Introduction 149
un ^etre vivant
?
un oiseau
un canari
;@ ; @@@@@@R
;
;
;
;
;
une autruche
?
;@ ; @@@@@@R
;
;
;
;
;
Kiki
Julie
Rita
Figure 6.1: Le probleme de l'autruche

150 La categorisation
6.2 Concepts et objets plus ou moins determines
Les concepts dans cette approche sont penses dans le m^eme sens que les concepts
fregeens, c'est-a-dire ils sont des fonctions denies sur l'ensemble des objets ayant
comme valeurs les valeurs de verite : vrai (>) et faux (?). Les concepts gardent
leur caractere non-sature, \l'insaturation" de type fregeen qui fait la distinction,
pour Frege, entre les concepts et les objets. Par contre, notre approche considere
une classe beaucoup plus large d'objets.
Pour Frege les objets etaient totalement determines. Dans la LDO on part
de l'idee qu'il existe des objets de dierents degres de determination. La LDO
les appelle \plus ou moins determines". La classe de tous les objets O contient
tous ces objets. Une sous-classe de O est la classe des objets determines O det .
Un objet determine est un objet tel que toute determination compatible avec la
nature intrinseque de l'objet n'apporte aucune information supplementaire sur
l'objet. Il n'y a plus besoin de determination pour individuer cet objet. S'il est
reel on peut le toucher, le montrer etc.
La dierence entre les objets consideres par cette approche et les objets
fregeens est :
{ Les objets fregeens sont \satures" dans le sens qu'ils sont vus comme des
operandes absolus par rapport aux fonctions mais ils sont determines par
rapport aux determinations
{ Les objets de la LDO sont toujours des operandes absolus par rapport aux
operateurs, mais ils peuvent ^etre determines ou indetermines.
La caracteristique determine { indetermine des objets est denie par rapport
a une operation particuliere: ladetermination. Cette operation a ete thematisee
par la logique ante-fregeene et surtout par la logique de Port-Royal.
\Ce qu'il y a de plus remarquable dans ces termes complexes est
que l'addition qu'on peut faire a un terme est de deux sortes: l'une
qu'on peut appeler explication, et l'autre determination."
La logique ou l'art de penser, A. Arnauld, P. Nicole ([Arn70])
Cette operation a ete completement eacee par la logique mathematique qui
met dans la m^eme classe { la classe des fonctions { toutes les operations comme:
determination, qualication, distinguees par les langues naturelles.
Les langues naturelles distinguent ces operations par des procedes dierents
d'encodage. Donc, c'est en s'inspirant de la langue naturelle qu'on peut conferer
a ladetermination un statut particulier dans notre modele : le statut d'operateur
qui construit des objets plus ou moins determines.

Concepts et objets plus ou moins determines 151
\La determination (comme indication sur l'extension) est condition
necessaire pour qu'un terme puisse jouer le r^ole de sujet ou de
predicat dans une proposition."
L'analyse de langage a Port-Royal, J-C Pariente ([Par85])
Un objet reel (existant) est un objet determine et constructible.
Un objet constructible est un objet pour lequel nous avons une procedure
pour l'obtenir.
La dierence entre \construire" et \determiner" est : construire un objet signi-
e exhiber une procedure explicite pour obtenir cet objet determiner represente
lui appliquer des proprietes pour l'individuer, pour qu'il puisse ^etre distingue sans
ambigute des autres objets auxquels il pourrait ^etre compare.
Les objets determines sont : les objets existants (O ex ), les objets existants
potentiels O ex;pot ) et les objets non-existants (O n;ex ).
Parmi les objets existants il existe des objets existants avec correlat empirique
(O ex;cc )etdesobjets existants sans correlat empirique (O ex;scc ). Les objets
existants avec correlat empirique sont les objets perceptibles, soit les objets pour
lesquels il y a une preuve empirique de leur existence sensible ou perceptible, soit
les objets pour lesquels nous avons des procedures explicites pour prouver leur
manifestation empirique : cet ordinateur (que vous le voyez), Napoleon (l'histoire
nous donne la preuve de son existence). Les objets existants sans correlat empirique
sont les objets qui existent sans avoir une manifestation empirique. Pour un
objet existant sans correlat empirique prouver son existence represente prouver
que ses proprietes sont non-contradictoires et pouvoir exhiber une preuve pour
le determiner. Pour le mathematicien les nombres reels , oue sont des objets
existants sans correlat empirique.
Parmi les objets non-existants il y a le carre rond ou le nombre p 2 comme
rationnel.
Les objets existants potentiels (O ex;pot ) sont les objets pour lesquels on n'a pas
la preuve de leur existence, mais ils sont parfaitement determines et ils pourraient
exister:
{ Objets de ction. Un personnage de ction n'existe pas, mais il est determine.
{ Les uns pourraient exister. Par exemple Madame Bovary : elle est
determinee, elle pourrait exister.
{ D'autres avec une probabilite moins grande. Le centaure Nessus de
la mythologie grecque il est aussi parfaitement determine mais il n'a
pas une existence attestee. Pour chacun d'eux la construction est
denie dans un systeme cognitif coherent : le roman francais du XIX
eme siecle et la mythologie grecque. Ces sources font partie de notre

152 La categorisation
memoire collective, on leur a donne un statut. Ils n'ont pas le m^eme
statut.
{ Objets empiriques. Le monstre de Loch Ness n'est pas un objet existant
parce qu'on n'a pas la preuve empirique de son existence. Par sa nature empirique,
il est manifestable toutefois, certaines croyances (ou temoignages)
lui attribuent des manifestations empiriques. Le monstre de Loch Ness
n'a pas le m^eme caractere que Madame Bovary ou le centaure Nessus. Il
n'appartient pas a un systeme cognitif avec un statut deni.
{ Des objets mathematiques. Le cardinal (possible) compris entre @ 0 et @ 1
(le cardinal de

Concepts et objets plus ou moins determines 153
ensemble de base { les types primitifs { et par des regles qui determinent la
construction des types. Une theorie des types presuppose :
des types primitifs
des moyens pour construire des types a partir des types primitifs.
Un type primitif est une categorisation cognitive d'une entite associee a certaines
operations que l'on peut faire ou ne pas faire sur cette entite oua partir
de cette entite. Les types primitifs sont composables et donnent naissance a des
types derives comme les \types cartesiens" (les types de suites nies d'entites de
dierents types), les types fonctionnels (les types d'operateurs qui construisent
des entites d'un certain type a partir d'entites d'un certain type).
Les types semantico-cognitifs primitifs sont des exemples de noemes primitifs 2 .
En eet, les notions ne sont pas homogenes : la perception et l'experience socioculturelle
nous font distinguer des entites individuelles, des entites massives, des
entites collectives, des classes distributives, des activites, des lieux etc.. Ces
dierentes entites n'ont pas un fonctionnement linguistique identique. Ainsi,
on pluralise dicilement les entites massives : *des chaleurs,*des libertes, *des
froids ..., alors que la pluralisation opere facilement sur des entites individuelles :
des livres, des eurs, des tomates... La quantication et le denombrement ne
s'appliquent que sur un certain type d'entites (les entites individuelles). On peut
circonscrire un lieu, pointer et designer un objet dans l'espace, mais on ne peut
pas faire de m^eme avec des entites massives. Une classe collective (une foule, une
population) appara^t plus compacte qu'une classe distributive d'entites.
Dierents types semantico-cognitifs categorisent les entites qui sont accessibles
a nos capacites de perception et d'action. Les types semantico-cognitifs primitifs
sont des hypotheses sur les categorisations cognitives operees par la perception
et l'action. A chaque lexeme d'une langue, on peut associer un type semanticocognitif
primitif. Les types de base sont :
le type J des entites individualisees : Pierre, pomme, homme, nombre.
le type L des lieux : Paris, les Alpes, Brest.
le type T des unites de temps : jour, semaine, an.
le type C des entites collectives : la foule, l'armee.
le type M des entites massives : beurre, eau, sable.
le type D des classes distributives : des livres, trois livres.
2 Le sens est le m^eme que celui de B. Pottier, c'est-a-dire des notions \inevitables" a toute
representation signicative par l'activite de langage [Pot92].

154 La categorisation
le type A des activites (ou systemes) : l'economie, l'industrie 3 .
le type H des propositions ou des contenus de pensee : Socrate est mortel
Jean court vite.
le type SIT des situations 4 .
Le type des situations peut ^etre specie en sous-types :
le type SIT statique : le livre est sur la table Socrate est un philosophe.
le type SIT cinematique : Socrate court.
le type SIT dynamique : Socrate ecoute Alcibiade.
L'association des types aux unites lexicales n'est pas rigide. Une m^eme entite
peut recevoir des types dierents selon le contexte. Dans l'enonce:
Le livre setrouve sur la table
le type de \livre" est J, tant que dans l'enonce:
Paul commence unlivre
le type de \livre" est A. Le mot \un livre" pourrait ici ^etre remplace par : \la
lecture d'un livre", \la vente d'un livre", \l'ecriture d'un livre" .
Le type de l'entite \cafe" est :
M : cafeJ : une tasse de cafe
L: un cafe de Paris A : pendant le cafe.
Dans certains cas, des operateurs speciques recategorisent completement une
entite a laquelle un type primitif a ete assigne. Ainsi, les classicateurs francais,
comme un tas de, un pot de, un epi de, sont des traces linguistiques d'operateurs
abstraits qui transforment une entite massive (non enumerable) en une entite
individuelle (enumerable) ([Des98]).
6.2.2 Classe structuree des concepts
La classe des concepts (notee F) est structuree par une relation de comprehension
directe entre concepts (notee par ! C ). Cette relation consideree par la logique
de Port Royal est expliquee dans [Par85]:
\J'appelle comprehension de l'idee, les attributs qu'elle enferme en
soi, et qu'on ne peut lui ^oter sans la detruire, comme la comprehension
de l'idee de triangle enferme extension, gure, trois lignes, trois angles
et l'egalite deces trois angles a deux droits, etc".
L'analyse de langage a Port-Royal, J-C Pariente ([Par85])
3 [Abr98].
4 [Des90b].

Concepts et objets plus ou moins determines 155
Du point de vue de notre modele cette relation est une relation de preordre
(dans le sens de la theorie algebrique des relations). On peut l'etendre a sa fermeture
reexive et transitive (notee par !).
La relation f ! C g se lit \f comprend directement g "(ou\g est une caracteristique
directe de f"). La relation f ! g se lit \f comprend g "(ou\g est
une caracteristique de f").
A chaque concept f sont associees plusieurs sous-classes de F. Nous introduisons
d'abord :
L'intension caracteristique de f (notee Int-caract f) contient tous les concepts
que f comprend directement:
Int-caract f = fg 2F=f ! C gg
L'intension de f (notee Int f) contient tous les concepts que f comprend
(directement et indirectement) :
Int f = fg 2F=f ! gg
La relation ! C est reexive et antisymetrique :
8ff ! C f
8fg si f ! C g et g ! C f alorsf = g
Sa fermeture transitive est une relation d'ordre.
A chaque concept f est associe un concept negatif 5 , note N 1 f, tel que si N 1 f
s'applique a unobjetx avec la valeur >, alors f s'applique au m^eme objet x avec
la valeur ?. Les deux concepts f et N 1 f sont dans une opposition contradictoire,
ils sont incompatibles.
6.2.3 Classe structuree d'objets
La totalite des objets forme une classe O. Tous les objets sont de type J. La
classe O est partitionnee en deux :
5 L'equation combinatoire entre la negation d'un operateur N 1 et la negation propositionnelle
N 0 est N 1 = B N 0 (voir la demonstration en Annexe C)

156 La categorisation
La sous-classe des objets (completement, totalement) determines (notee
O det ). Ce sont les objets qui ne peuvent plus ^etre determines i.e. pour lesquels
toute determination de plus est superue. L'application d'une determination a
un tel objet garde l'objet inchange.
La sous-classe des objets indetermines ( plus ou moins determines) (notee
O ind ). Ces sont les objets qui peuvent encore ^etre determines. L'application
d'une determination a un tel objet determine un autre objet mieux determine
que l'objet initial.
La sous-classe des determines se divise aussi en deux sous-classes :
{ La sous-classe des objets determines existants (notee O ex )
{ La sous-classe des objets existants potentiels (notee O ex;pot )
{ La sous-classe des objets determines non-existants (notee O n;ex )
La classe des objets determines existants est divisee en:
{ les objets existants avec correlat empirique (O ex;cc ) qui sont, soit les objets
concrets, designables par des gestes deictiques car occupant une position
spatio-temporelle dans un referentiel, soit les objets identies par la
connaissance (Napoleon Bonaparte, Alexandre le Grand).
{ les objets existants sans correlat empirique (O ex;scc ) qui sont les objets
dont l'existence est prouvee par une construction anterieure (les nombres
irrationnels en mathematiques).
La classe des objets determines existants potentiels est divisee en :
{ les objets construits par la ction :
{ les objets construits par la ction qui pourraient avoir un correspondant
reel (Madame Bovary du roman de Flaubert).
{ les objets construits par la ction qui ne pourraient pas avoir un correspondant
reel (le centaure).
{ les objets existants potentiels empiriques : le monstre de Lock Ness.
{ les objets mathematiques : le cardinal qui peut exister intre @ 0 et @ 1 (le
cardinal de

Concepts et objets plus ou moins determines 157
La sous-classe des objets determines non-existants comprend des objets avec
des proprietes contradictoires.
Les partitions ci-dessus s'expriment par :
O = O det
[
Oind
O det
\
Oind =
O det = O ex
[
On;ex
[
Oex;pot
O ex
\
On;ex
\
Oex;pot = ?
O ex = O ex;cc
[
Oex;scc
O ex;cc
\
Oex;scc = ?
6.2.4 Application des concepts aux objets
Les concepts sont des operateurs. Ils s'appliquent aux objets qui sont des operandes
absolus. Si f est un concept et x est un objet, alors :
se lit \x tombe sous f".
(fx)=>
(fx)=?
se lit \x ne tombe pas sous f".
Techniquement, l'application d'un concept a un objet correspond mieux a
l'operation d'application (voir le chapitre 4) et a la notion de systeme applicatif
de Curry ([Cur58]). Les objets consideres comme primitifs par Curry dans sa
denition de la notion de systeme formel ont un degre degeneralite beaucoup
plus eleve que les objets que nous posons ici. Par contre l'operation d'application
comme primitive { l'application d'un operateur a unoperande { concide
exactement avec la notion d'application d'un concept f a un objet plus ou moins
determine x. L'operation d'application est representee par:
f
(fx)
x

158 La categorisation
Dans la LDO les expressions correspondants aux objets indetermines (plus ou
moins determines )sont des expressions applicatives. Les objets et les concepts de
la LDO etendent l'univers conceptuel fregeen. Cette extension se manifeste dans
l'elargissement de la classe O det a la classe O et dans la denition des concepts
comme fonctions dont le domaine est O (pour Frege ce domaine etait O det ).
Cette extension determine aussi l'introduction d'une notion nouvelle, l'etendue
d'un concept. Cette notion, consideree par la logique de Port-Royal, n'a jamais
ete englobee dans un systeme formel.
L'etendue de f est la classe de tous les objets auxquels f s'applique avec la valeur
de verite > { que les objets soient completementdetermines ou indetermines 6 :
Etendue f = fx 2O=(fx)=>g (1)
L'extension d'un concept f reste l'extension dans le sens fregeen, c'est-adire
la classe de tous les objets completement determines auxquels le concept f
s'applique avec la valeur de verite > :
Extf = fx 2O det =(fx)=>g (2)
Il est evident que l'extension est contenue dans l'etendue. Comme la classe
des concepts est structuree par la comprehension, la structure des concepts se
projette sur les objets.
Ce que l'intelligence articielle (l'I.A.) appelle un reseau semantique n'est qu'une
partie de F structuree par la comprehension. Acereseau sont associes canoniquement
deux autres reseaux : le reseau des classes extensionnelles d'objets
et le reseau des intensions. Dans le premier, les nuds sont les extensions (ou
plus generalement les etendues) des concepts du reseau semantique, leseches
(orientees dans le m^eme sens que la relation de comprehension) sont des inclusions
entre classes d'objets. Dans le second, les noeuds sont des intensions et les
eches des inclusions entre intensions. A toute relation de comprehension entre
concepts correspond une inclusion entre les extensions et une inclusion duale entre
les intensions 7 :
f ! g () Ext f Ext g () Int g Int f
Pour l'instant on peut modier cette loi en englobant les etendues :
et l'equivalence
Etendue f Etendue g =) Ext f Ext g
6 Dans tout ce chapitre et les chapitres suivants nous employons la notation prexee pour la
fonction, c'est-a-dire (fx) pour f(x).
7 Cette dualite est souvent appellee \la loi de Port-Royal".

Operateurs de typicalite etdedetermination associes a un concept 159
f ! g () Ext f Ext g
est vraie seulement sig 2 Essf (voir 6.4).
Et pourtant, les classes extensionnelles d'objets et la dualite entre les extensions
(etendues) et intensions ne reetent cependant pas la structure \conceptuelle"
des concepts et ne permet pas d'apprehender les phenomenes de typicalite,
d'atypicalite et d'objets typiques elles ne permettent pas non plus de traiter correctement
les problemes d'heritage et non-heritage pour les objets atypiques. La
LDO est une logique typee appliquee aux objets qui developpe un systeme de
regles qui permettent les solutions des problemes ci-dessus.
6.3 Operateurs de typicaliteetdedetermination
associes a un concept
Nous introduisons deux operateurs comme operateurs primitifs:
{ Le premier construit a partir d'un concept un objet indetermine appele objet
typique totalement indetermine. Cet operateur est note par. Il associe
a chaque concept f un objet totalement indetermine (note par f). Cet
objet totalement indetermine est considere comme le representant objectal
du concept f. Il est un objet mental, abstrait.
Exemple : pour le concept \^etre une baleine" : = (note)b, b est l'objet
indetermine \une baleine".
{ Le deuxieme, appele operateur de determination (note ) associe canoniquement
a chaque concept f un operateur f. L'operateur f, en s'appliquant
a un objet quelconque x, construit un autre objet \mieux determine" y,
gr^ace a ladetermination apportee par le concept f : y =((f)x)
Exemple : Une baleine est un grand animal marin qui est un mammifere.
Les determinations sont : qui vit dans la mer, qui est grand et qui est un
mammifere.
x = un animal c =^etre grand b = vivre dans la mer d =^etre mammifere
une baleine = (d)(c)(b)x
Les determinations sont vues comme des operateurs particuliers (fonctions
particulieres). On a d'abord un constructeur de determinations qui est l'operateur
de determination . Il \fabrique" des determinations f qui produisent des objets
\mieux determines". On ne suppose pas la commutativite de la composition des
determinations. En general :

160 La categorisation
((g f)x) 6= (f g)x)
Les expressions comme :
Le plus petit des grands ma^tres 6= le plus grand des petits ma^tres
ou
Cet animal est un grand papillon. Peut-on dire qu'un grand papillon est un
grand animal ?
Le plus petit de la classe des grands n'est pas le plus grand de la classe des
petits.
prouve cette armation.
Une cha^ne de determinations est une suite nie de determinations composees
entre elles, c'est a dire :
=g 1 g 2 g n (1)
Pour i =1 2:::n, les operateurs g i sont les composantes de la cha^ne .
La notation pour l'application d'une cha^ne a un objet x est :
y =(x) =((g 1 g 2 g n )x) =((g 1 )((g 2 )(((g n )x)) ))
6.4 La structure de la classe Intf
Les concepts contenus dans l'intension d'un concept f, Int f peuvent ^etre vus
comme des \proprietes def".
L'intension d'un concept f contient une partie, appelee l'essence de f (notee par
Ess f) et une partie appelee la partie non essentielle de f (notee Ness f). La
partie Ess f contient tous les \concepts essentiels" compris dans f, enparticulier
les concepts denitoires. Si un concept f est dans l'essence d'un autre concept,
alors necessairement sanegation N 1 f n'y appartient pas. Le complement de
l'essence de f par rapport a son intension contient tous les concepts \inessentiels".
Cette partie contient les proprietes \auxiliaires" d'un concept f.
Les concepts \inessentiels", bien que faisant partie de l'intension de f, ne
s'appliquent pas a toutes les instances et, donc, a tous les exemplaires du concept
f, ils s'appliquent seulement aux instances et exemplaires typiques. En revanche,
les concepts de l'essence se distribuent sur toutes les instances et sur tous les
exemplaires, qu'ils soient completement determines ou indetermines, typiques ou
atypiques. Cependant, ces concepts \essentiels" ne sont pas en general connus car
cette connaissance est globale et statique. Or les informations exprimees par des
enonces ne sont pas souvent que locales et elles peuvent arriver par des processus
dynamiques de connaissance. La partie essentielle d'un concept doit, donc, ^etre
construite ou decouverte progressivement par l'examen du reseau. Il faut donc se

La structure de la classe Intf 161
donner des regles qui nous permettront de reconna^tre si une instance est typique
ou atypique. C'est ce que nous allons entreprendre.
On remarque que parmi les \proprietes auxiliaires" d'un concept f il y a deux
categories de proprietes :
a) Les unes sont les proprietes f i telles que le concept f est caracterise soit
par la propriete f i , soit par sa negation N 1 f i , par exemple :
un homme (qui a deux jambes)
un homme unijambiste.
Dans ce cas :
f :=^etre homme
f i : = avoir deux jambes
N 1 f i := ne pas avoir deux jambes.
b) Les autres sont les proprietes qui prennent un ensembledevaleurs (numeriques
ou non) et qui engendrent une liste de proprietes pour le concept f, par
exemple :
f :=^etre homme
La couleur des yeux :
f 1 : = la couleur des yeux est noire
f 2 : = la couleur des yeux est bleue
f 3 : = la couleur des yeux est verte
f 4 : = la couleur des yeux est marron.
Les proprietes de cette derniere categorie sont les proprietes considerees par
le probleme \attribut { valeur" de la representation des connaissances.
Pour chaque concept on conna^t les proprietes qui representent ses proprietes
typiques et celles qui representent ses proprietes atypiques. Par exemple, pour
le concept \^etre homme", les proprietes \avoir deux jambes" et \avoir les yeux
noirs" sont des proprietes typiques, tandis que \avoir une seule jambe" et \avoir
les yeux violets" sont des proprietes atypiques.
Par consequent, la classe Ness f doit ^etre partitionnee en :
{ La sous-classe des proprietes typiques (notee Ness f).
{ La sous-classe des proprietes atypiques (notee Ness f).
Pour chaque propriete f i de la categorie a), c'est-a-dire telle
que soit elle, soit sa negation caracterise le concept f, ona:
si f i 2 Ness f, alors N 1 f i 2 Ness f

162 La categorisation
Pour chaque propriete f i de la categorie b), c'est-a-dire telle qu'il lui correspond
une liste des concepts possibles dans la caracterisation du concept f, on
a:
si L i = ff i1 f i2 f in gNess f,alors L i = ff 0 i 1
f 0 i 2
f 0 ing Ness f
Les listes des proprietes typiques (respectivement atypiques), L i, L i
telles que :
\
L i L i =
sont
L i
[
L i = L
ou L est la liste complete (epuise les valeurs possibles) pour la propriete f i .
Donc :
Ness f =(ff i =i =1 ng) [ 0 @ [
1
A
L i
i=1m
Ness f =(fNf i =i =1 ng) [ 0 @ [
Etant donne l'objet f il y a deux cas :
L i
i=1m
{ Si f i est une propriete auxiliaire de f de la categorie a), alors une determination
f i engendre des objets typiques, tandis qu'une determination N 1 f i engendre
des objets atypiques.
{ Si f i est une propriete auxiliaire de f de la categorie b), alors les objets
typiques sont engendres par des fonctions de determination formees avec
des elements d'une liste des proprietes non-essentielles typiques L i, tandis
que les objets atypiques le sont par des fonctions formees avec des elements
d'une liste des proprietes non-essentielles atypiques L i.
Les proprietes de type b) peuvent ^etre ramenees aux proprietes detypea)en
considerant simplement la propriete typique et sa negation : couleur typique des
yeux, etc.
La structure conceptuelle exprimee par :
Intf = Essf [ Ness f [ Ness f
est geree par le fait que :
Toute propriete essentielle d'un concept g qui est compris dans un concept f
est egalement une propriete essentielle pour le concept f exprime dans l'axiome
suivant :
Axiome :
1
A

Compatibilite - incompatibilite 163
Si
f ! g alors Ess g Essf
La loi de Port-Royal doit ^etre modier a:
Etendue f Etendue g =) Ext f Ext g
et l'equivalence
est vraie seulement si
f ! g () Ext f Ext g
g 2 Essf
et
f ! g
Ess g Essf
On voit que la condition
g 2 Essf
est necessaire en considerant le contre{exemple suivant :
f:= ^etre homme:
g:= ^etre vivant a 2 pattes
x:= un unijambiste (atypique de f)
On a f ! g et pourtant Ext f 6 Ext g parce que x 2 Extf, maisx 62 Ext g
La distribution des concepts entre Ness f et Ness f est mieux captee par le
processus de construction des objets dans l'espace O.
Les proprietes deEssf sont les proprietes heritees necessairement par tous
les objets qui tombent sous f. Les proprietes de Ness f et Ness f sont telles
que les objets qui tombent sous f heritent soit d'une classe soit de l'autre.
6.5 Compatibilite - incompatibilite
Les operateurs de determination ne s'appliquent pas a n'importe quel objet pour
pouvoir construire d'autres objets. Les restrictions dans leurs applications sont
exprimees formellement par une relation entre deux concepts f et g : la compatibilite
. La compatibilite d'un concept g avec un concept f exprime le fait que
f peut avoir la propriete g, autrement dit, la determination g peut s'appliquer
a l'objet totalement indetermine f. La compatibilite gere d'une certaine facon
la distribution des concepts entre les trois sous-classes : Ess f, Ness f,Ness f
et leur transmission par heritage. Les sous-classes Ness f et Ness f sont les
classes qui decident d'une certaine maniere si un concept g est compatible avec
un concept f ou non. Pour deux concepts f et g de F, pour la partition Ess f,

164 La categorisation
Ness f, Ness f et la relation ! on peut denir formellement six cas C 1 C 6 :
(voir gure 6.2)
C 1
g 2 Essf
s
Ess f
q
q q
Ness
Ness
6
ZZ} @I
*
Z @
Z
Z
@
g Z @
Z @
Z @
Z
Z@
Z@
Z@
s
Z@
Z
@
Z
>
f
q
f
q
q
f
Figure 6.2: La compatibilite de type redondant
Ce type de compatibilite represente une compatibilite de type redondant dans
le sens que toute propriete essentielle pour f est compatible avec f, autrement dit,
tout objet determine par une g de ce type reste invariant.
C 2
g 62 Ess fg 2 Ness f
(voir gure 6.3)
Toute propriete non-essentielle typique de f est compatible avec f. Ce type
de compatibilite qu'on peut appeler compatibilite avec Ness f est le type de
compatibilite qui determine l'engendrement des objets typiques.
C 3
g 62 Essfg 2 Ness f
(voir gure 6.4)
Toute propriete non-essentielle atypique de f est compatible avec f. Cette
compatibilite qu'on appelle compatibilite avec Ness f est le type de compatibilite
qui determine l'engendrement des objets atypiques.
C 4
g 62 Essfg 62 Ness fmais 9h h 2 Nessf
(soit typique, soit atypique) tel que h ! get g 2 Ness h

Compatibilite - incompatibilite 165
Ess f
s
ZZ}
ZZZZZZZZZZZZZs
q q q
6
q q q
@I
g
@
*
@
@
@
@
@
@
@
@
@ >
f
Ness f
Ness f
Figure 6.3: La compatibilitedetypeC 2
(voir gure 6.5)
Toute propriete non-essentielle typique d'une propriete non-essentielle (typique
ou atypique) d'un concept f peut determiner un objet de f. Cette compatibilite
determine l'engendrement des objets typiques ou atypiques par heritage.
C 5
g 62 Ess fg 62 Ness fmais 9h h 2 Nessf
Ess f
q
q
q
Ness f
6
ZZ} @I
g
*
Z @
Z @
Z
Z @
Z @
Z
Z
@
Z@
Z@
Z@
s
Z
Z@
Z@
>
f
q
q
q
s
Ness f
Figure 6.4: La compatibilitedetypeC 3

166 La categorisation
Ness h
sg
Ess f
q q q s 7
q q
Ness f
h
HY
H
Z}
H
7
H
Z
HZ
HZ
H
HZ
HZ
:
1
>
f
s
Figure 6.5: La compatibilite detypeC 4
(soit typique, soit atypique) h ! get g 2 Ness h
(voir gure 6.6)
Le concept g peut determiner directement un objet associe a un concept h de
Nessf.
s
Ness h
g
Ess f
q q q
>
q q
Ness f
h
HY
H
Z}
H
H
Z
HZ
H
H
Z
HZ
HZ
:
7 1
>
f
s
s
Figure 6.6: La compatibilite detypeC 5
Cette compatibilitedetermine l'engendrement des objets atypiques par heritage.
C 6
g 62 Essfg 62 Nessf

Compatibilite - incompatibilite 167
et 8h h ! g g 62 Ness h g 62 Ess h
La propriete g n'est ni essentielle, ni non-essentielle pour f et n'appartient a
la partie essentielle ou non-essentielle d'aucune propriete h de f.
Le concept g est compatible avec le concept f si et seulement sig et f sont
dans un des cas C 1 ,C 2 ,C 3 ,C 4 ,C 5 et le concept g est incompatible avec f si g
et f sont dans le cas C 6 .
Exemple : Considerons les concepts suivants :
f =^etre homme
g 1 =^etre doue de raison
g 2 = avoir deux yeux
g 3 = avoir un seul il
g 4 = avoir la couleur bleue h = avoir deux yeux
g 5 = avoir la couleur violette
g 6 = avoir le gradient superieur a zero (r > 0)
On verie facilement que f et g 1 sont dans le cas C 1 , f et g 2 sont dans le cas
C 2 , f et g 3 sont dans le cas C 3 , f, g 4 et h sont dans le cas C 4 , f, g 5 et h sont
dans le cas C 5 et f et g 6 sont dans le cas C 6 .
Nous introduisons les predicats (Comp 2 gf), (Comp 3 gf), (Comp 4 gf),
(Comp 5 gf) par :
soit
(Comp 2 gf)=>: g est compatible avec f dans le cas C 2
(Comp 3 gf)=>: g est compatible avec f dans le cas C 3
(Comp 4 gf)=>: g est compatible avec f dans le cas C 4
(Comp 5 gf)=>: g est compatible avec f dans le cas C 5
(Comp igf)=> : g est compatible avec f dans le cas C i i=1:::5
Les cas C 1 et C 2 seront appeles cas de compatibilite typique, les cas C 3 , C 4 ,
C 5 seront appeles cas de compatibilite atypique du concept g avec le concept f.
Soit Comp f l'ensemble de tous les concepts compatibles avec f. Le rapport
entre Comp g et Comp f dans le cas ou f ! g est :
Theoreme 6.1 Si f ! g, alors Comp f T Comp g 6= ?

168 La categorisation
En plus, tous les concepts de Intf sont compatibles avec f, c'est-a-dire :
Int f Compf
La notion de compatibilite exprime le fait qu'un concept f peut ^etre determine
par un concept g. Une propriete g peut determiner un objet x qui tombe sous
f. Dans ce cas g est compatible avec f. Il existe des objets qui tombent sous f
qui sont determines par g, il en existe d'autres qui ne le sont pas. Par exemple
il existe des hommes aux yeux bleus et des hommes qui n'ont pas les yeux bleus,
des hommes qui habitent a Brest et des hommes qui n'habitent pas a Brest.
Les proprietes \habiter a Brest" et \avoir les yeux bleus" ne determinent pas
la typicalite. Ces proprietes sont simplement compatibles avec le concept \^etre
homme". Mais la propriete \avoir 50" est une propriete incompatible avec le
concept \^etre homme".
La notion de compatibilitenesedenit pas exclusivement par la notion d'intension.
Les 5 cas de compatibilite representent une modelisation du rapport
entre Int f et Comp f. Mais ce rapport est beaucoup plus complexe et nous
n'avons pas a priori une information complete sur Comp f.
Il y a deux points de vue possibles :
{ L'intension Int f est vue comme l'union des proprietes essentielles etdes
proprietes non-essentielles typiques la classe des proprietes compatibles
avec f contient en plus les proprietes non-essentielles atypiques et les proprietes
generales Prop f (voir la gure 6.7)
{ L'intension Int f est vue comme l'union des proprietes essentielles, des proprietes
non-essentielles typiques et des proprietes non-essentielles atypiques
la classe des proprietes compatibles avec f contient en autre les proprietes
generales Propf (voir la gure 6.7 )

Compatibilite - incompatibilite 169
Int f
Comp f
;@ ;@ ; @@@ ; @@@
;
;
;;
@R
;;
@R
Ess f Ness f Ness f Prop f
^etre doue
de raison
voler
avoir deux jambes
ne pas voler
avoir une jambe
habiter Brest
ne pas habiter Brest
Int f
Comp f
;@ H HHHHHHH
; @@@
;
;;
@R Hj ?
Ess f Ness f Ness f Prop f
Figure 6.7: Les classes Int f et Comp f

170 La categorisation
6.6 Typique - atypique
Un objet y est une specication typique par rapport a un concept f d'un autre
objet x si y est mieux determine que x et dans la cha^ne de determinations qui
construit y a partir de x il n'entre que des determinations obtenues a partir des
concepts compatibles \typiquement" avec f. Un objet y est une specication
atypique par rapport a unconceptfd'un autre objet x si y est mieux determine
que x et dans la cha^ne de determinations qui construit y a partir de x il entre
au moins une determination obtenue a partir d'un concept compatible \atypiquement"
avec f.
Les denitions formelles sont:
Denition 6.1 Soit une cha^ne de determinations.
Cette cha^ne est dite -compatible avec f ssi toutes les determinations de la
cha^ne proviennent soit de Ness f soit de Comp f {Intf .
Cette cha^ne est dite -compatible avec f ssi il y a au moins une determination
dans la cha^ne qui provient de Ness f .
Denition 6.2 Soit f un concept et x, y deux objets plus ou moins determines.
L'objet y est une specication typique de l'objet x si :
(i) x, y tombent sous f
(ii) il existe au moins une cha^ne = g 1 ::: g n telle que y =(x)
(iii ) toute cha^ne de type (ii) est - compatible avec f pour toutes les g i ,
N 1 g i 62 Intf.
(iv) on peut obtenir par des cha^nes dedetermination a partir de y une classe
d'objets typiques determines, notee Classe (y).
Remarque 6.1 On remarque que dans une cha^ne -compatible il n'existe pas
a la fois les determinations g et N 1 g
Denition 6.3 Soit f un concept et x, y deux objets plus ou moins determines.
L'objet y s'appelle specication atypique de l'objet x si :
(i) x, y tombent sous f
(ii) il existe au moins une cha^ne = g 1 ::: g n telle que y =(x)
(iii ) au moins une cha^ne de type (ii) est - compatible.
(iv) on peut obtenir par des cha^nes dedetermination a partir de y une classe
d'objets atypiques determines, notee Classe (y).
L'objet typique f est une specication typique de lui-m^eme (voir l'axiome
A2)

Engendrement a partir de l'objet typique 171
Denition 6.4 Un objet est une instance typique (ou un objet typique) respectivement
une instance atypique (ou un objet atypique) si cet objet est une
specication typique (respectivement atypique) de l'objet typique f.
La classe de tous les objets typiques determines qui tombentsousf sera notee
Ext f.
La classe de tous les objets atypiques determines qui tombent sous f sera
notee Ext f.
Remarque 6.2
Classe (y) Ext f.
Classe (y) Ext f.
Nous introduisons les predicats suivants:
Denition 6.5 TYPIQUE (f) (x) : x est un objet typique de f
est deni par
TYPIQUE (f) (x) ssi x est une specication typique de f.
ATYPIQUE (f) (x) : x est un objet atypique de f
est deni par
ATYPIQUE (f) (x) ssi x est une specication atypique de f.
6.7 Engendrement a partir de l'objet typique
L'objet f est vu comme un element generateur des objets qui \tombent sous le
concept" f. Cet objet determine la prise en compte d'autres classes d'objets :
{ la classe des objets totalement determines engendres a partir de f:
Ext (f)=fx 2O det =9 , est une cha^ne de determinations, telle que
x =((f)g
{ la classe des objets plus ou moins determines engendres a partir de f:
Etendue (f)=fx 2O=9 est une cha^ne de determination, telle que
x =((f)g
{ la classe des objets typiques totalement determines engendres a partir de
f :
Ext (f )=fx 2O det =xest un objet typique totalement determine engendre
a partir de fg
{ la classe des objets typiques engendres a partir de f :
Etendue (f)=fx 2O=xest un objet typique engendre apartirdefg

172 La categorisation
{ la classe des objets atypiques totalement determines engendres a partir de
f :
Ext (f)=fx 2O det =xest un objet atypique totalement determine engendre
a partir de fg
{ la classe des objets atypiques engendres a partir de f :
Etendue (f)=fx 2O=xest un objet atypique engendre a partir de fg
Si on rajoute les classes Etendue f et Ext f denies en (1) et (2) du 6.2.4 et
Ext f, Ext f denies en 6.6, on a dix classes d'objets. Les inclusions suivantes
sont evidentes :
Extf Etenduef
Ext(f) Etendue(f)
Ext (f) Etendue (f) Etendue(f)
Ext (f) Etendue (f) Etendue(f)
La relation entre les classes Etendue f et Etendue (f) est (Cf. gure 6.8)
Etendue(f) Etenduef
Si on admet : Etendue(f) Etenduef, accepte l'hypothese selon laquelle :
\construire a partir de f" represente moins que \deduire a partir de f".
Si on admet : Etendue(f) = Etenduef on est dans l'hypothese ou le constructiviste
et l'inferentiel concident. C'est la m^eme chose que de dire : \tout objet
qui a la propriete f peut ^etre construit a partir de f".
Nous croyons que cette hypothese est trop forte, au moins pour la cognition
commune (celle qui ne releve pas d'un domaine scientique particulier).
Au niveau de l'engendrement les six cas de compatibilite /incompatibilite se
traduisent par la possibilite de l'application de la determination g dans les cas
C 1 ,C 2 ,C 3 ,C 4 ,C 5 et l'engendrement des objets suivants :
C 1 : f =((g)(f))fest un point xe pour g
C 2 : x =((g)(f))x est un objet typique
C 3 : x =((g)(f))x est un objet atypique
C 4 : x =((g)(f))x est un objet typique ou atypique 8
8 Le cas C 4 peut ^etre un cas de de compatibilite typique, si g 2 Ness f

Engendrement a partir de l'objet typique 173
f
Se eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
S
S
S
S
S
S
S
S Etendue f
S
S
S
Etendue (f)
S
S
S
S
'
s #
S
$
S
S
S
"
S
!
Ext(f)
&
%
Ext f
Figure 6.8: L'etendue et l'extension d'un concept
C 5 : x =((g)(f))x est un objet atypique
Dans le cas C 6 , g n'est pas applicable a f
Le processus de construction des objets plus ou moins determines en appliquant
des cha^nes dedetermination aux objets typiques (f)determine un
processus parallele de construction des nouveaux concepts.
Le probleme qui se pose est :
Est-ce que, a chaque objet plus ou moins determine x, obtenu par :
x =((f))
correspond un concept x c ?
Notre reponse est non. Il y a des cas ou ce concept x c se construit, il y a des
cas ou il n'existe pas.
Si concept x c existe il se rajoute a F.
La dierence de statut entre x c et x est:
{ x c 2F tandis que x 2O

174 La categorisation
{ x c occupe la position d'operateur dans une expression applicative tandis
que x c occupe la position d'un operande
Cette dierence de statut est lexicalisee dans les langues naturelles par un
syntagme nominal , respectivement par l'expression \^etre syntagme nominal "
x := une autruche
x c := ^etre une autruche
Dans les langues naturelles les objets auxquels il leurs correspond des concepts
sont lexicalises, par exemple \une autruche", les autres (ceux auquels il ne leurs
correspond pas de concepts) ne sont pas lexicalises, comme \un homme aux yeux
bleus qui habite Brest".
Nous n'avons pas d'autre test epistemique (sauf celui de la langue) pour
decider a partir de quel niveau a unobjetx correspond un concept x c . Pour
une implementation informatique de la LDO il faut rajouter des hypotheses
supplementaires.
Nous avancons l'hypothese suivante :
Cette distinction qui se fait au niveau cognitif et qui est eacee par
les reseaux semantiques (de l'I.A.) est tres importante. La LDO met
face a face les deux ensembles F et O et elle les manipule en parallele.
Elle retraduit ainsi le parallelisme entre inferentiel et constructiviste,
entre ensembliste et fonctionnel. Ce qui est beaucoup plus facile d'obtenir
en O est obtenu en O et, ensuite retraduit en F et inversement,
ce qui est beaucoup plus facile a obtenir en F est obtenu en F et
retraduit en O La classe O est beaucoup plus riche que la classe F.
Parmi d'autres problemes les trois suivants sont tres importants :
{ etant donne un concept f et son intension Intf =Essf [ Ness f [ Ness f
quelle est la distribution des concepts f i i =1:::n entre Int f, Essf,
Ness f,Ness f ?
{ Cette distribution est-elle donnee avec le concept f en faisant partie de la
structure de F ?
{ Peut-on donner des regles qui decrivent cette distribution?
Supposons que : x =((f)),=(g 1 )g 2 ) :::g n )) et x c soit un concept.
Alors g 1 :::g n se distribuent entre Ess x c ,Ness x c et Ness x c d'une facon purement
aleatoire. Les deux exemples suivants illustrent ce fait:
Exemple 1. (Cf. gure 6.11) Soit x := un europeen.

Engendrement a partir de l'objet typique 175
On remarque que le concept g: habiter en Europe entre dans Ess x c : Ess
x c = Essf [fgg
Exemple 2. (Cf. gure 6.9) Soit x := une autruche et Julie:= l'autruche qui
vole de zoo de Paris.
s
s
s
f := un oiseau
=g 1 ::: g i ::: g n
x:= une autruche
y:=Julie (l'autruche qui vole du zoo de Paris)
Figure 6.9: La distribution des concepts entre Ess f et Ness f
g i := ne pas voler
Le concept g i entre dans Ness f.
Parmi les concepts g j j =1:::n, il y en a qui entrent enEssx c (ce sont les
concepts essentiels qui determinent qu'un oiseau soit une autruche). Le concept
g i sera en Ness x c (une autruche typique ne vole pas ). Par contre pour l'objet
y := Julie , y =(g 1 (g 2 (g 3 (f))) ou g 1 := ^etre nommee Julie, g 2 := appartenir
au zoo de Paris, g 3 := voler.
Les concepts g 1 g 2 g 3 sont en Ess y c .
Les deux exemples ci-dessus sont des exemples qui tiennent de la connaissance
commune. Pour les concepts qui resultent d'une construction riguoreuse abstraite
( les objets denis en mathematiques, par exemple) la decision de mettre un
concept de type g i en Ess x c ou en Ness x c revient a dire :
soit que g i determine la construction d'une nouvelle classe d'objets (classe
qui soit consistante pour l'etude ulterieure )
soit que g i n'est pas une propriete susamment importante pour ^etre mise
en Ess x c et, alors on la met en Ness x c .
g i 2 Ess g
g i1 2 Ness g (voir la gure 6.10)
La construction de la LDO repose sur ces idees.
Maintenant on est en mesure de donner la denition d'un objet totalement
determine:

176 La categorisation
s
h:= un quadrilatere
s
f:= un rectangle
s
g i := avoir 2 c^otes adjacents egaux
g:= un carre
s
g 1 := un rectangle particulier
g i1
g i1 := une propriete particuliere
Figure 6.10: La distribution des concepts entre Ess f et Ness f
Denition 6.6 Un objet x 2O det est un objet tel que, pour toute determination
g compatible avec x c (si x c existe) on a :
x =(g x c )
autrement dit, x est un point xe pour l'operateur g.
Les objets totalement determines, comme points xes pour la determination
ne peuvent plus engendrer d'autres objets. Il faut considerer que toutes les
determinations appliquees pour obtenir un objet totalement determine x seront
vues a la n du processus de determination comme des concepts essentiels pour
le concept x c si a l'objet x correspond un concept.

Les axiomes des operateurs et 177
6.8 Les axiomes des operateurs et
Le systeme d'axiomes est forme de six axiomes :
A 1: pour tout concept f, il existe un objet f et un operateur f.
A 2 (8f 2F)[((f(f)) = (f)]
A 3: (8fg 2F)(8x 2O)[[(fx)=>^g 2 Ess f] ) ((g)x) =x]
A 4: (8f 2F)[f f = f]
A 5: (8fgh 2F)[(h g) f = h (g f)]
A 6: (8f 2F)[(f(f)) = > ssi Ext f 6= ? ssi 9 x, x determine et
typique tel que (fx)=>
Ces axiomes representent le fondement epistemique du systeme logique, les
bases qui relient l'intuition et la construction formelle.
La partie intuitive reete au moins trois idees de bases :
{ le statut epistemique confere aux concepts et aux objets dans l'univers
conceptuel du systeme fregeen [Fre*67].
{ la fonctionalite et la notion d'operateur dans le systeme de Curry [Cur58],
etendue par J.-P. Descles [Des90b].
{ la notion de determination telle qu'elle est presentee dans la Logique de
Port Royal [Arn93].
Ces axiomes posent egalement les operateurs introduits comme primitives dans
le systeme de la LDO et formalisent leur contenu intuitif.
L'axiome A 1 exprime le fait qu'on associe a chaque concept son unique
objet typique et son unique operateur de determination.
L'axiome A 2 exprime une propriete de point xe pour l'objet typique f :
il reste invariant par la determination f.
L'axiome A 3 exprime une autre propriete de point xe, mais cette foisci
pour un objet quelconque x de O : cet objet est un point xe pour toute
determination apportee par un concept contenu dans la partie essentielle de l'intension
de f.
Les axiomes A 4 etA 5 expriment l'idempotence, respectivement, l'associativite
de la composition des determinations.
L'axiome A 6etablit une relation entre l'objet typique et l'extension : l'objet
typique d'un concept tombe sous ce concept si et seulement si l'extension typique
du concept (la classe des objets typiques determines) est non vide.

178 La categorisation
L'etendue peut ^etre non vide, alors que l'extension est vide : on peut raisonner
sur un objet quelconque et qualier cet objet par des proprietes qualicatives sans
que, pour autant il existe un objet completement determine et empiriquement
atteste de l'extension.
Cet axiome a une contre-partie dans l'axiome de Hilbert :
f(f) =>() Extf 6= ?
mais il est tout a fait dierent de l'axiome de Hilbert. Pour Hilbert :
{ tous les objets etaient typiques et determines
{ f est un objet parmi les autres.
Pour nous f est l'objet generique, totalement indetermine et typique, le
representant objectal du concept f Ext f est la classe de tous les objets typiques
determines. f est un objet mental, les objets de Ext f sont des objets existants.
L'axiome de Hilbert exprime le fait que s'il existe un objet determine qui
tombe sous f, alors l'extension n'est pas vide et inversement.
L'axiome A6 exprime l'idee que l'objet mental f tombe sous f si et
seulement si il existe des objets typiques totalement determines tombant sous
le concept f.
Autrement dit, si la construction mentale de f ne viole aucune des proprietes
essentielles de f, on a des procedures de construction des objets typiques totalement
determines def. Inversement, l'existence des objets typiques totalement
determines represente un test de non-violation des proprietes essentielles de f par
f.
L'axiome A6 relie les objets \abstraits" et les objets \empiriques". La
dierence entre les objets \abstraits" et les objets \empiriques" est contenue
dans les deux sens de l'implication de l'axiome.
Une discussion sur la nature de l'information apportee par un axiome de type
A 6 et sa pertinence dans le systeme s'impose. L'inclusion, l'exclusion ou le
remplacement d'un axiome de type A 6 { axiome qui fait le pont entre l'objet
f et l'extension typique de f { est-elle justiee?
Il y a deux raisons qui nous determinent aenoncer un axiome de ce type:
{ 1. La disambigusation semantique du predicat (f x)danslaLDOpar
rapport a la logique classique.
{ 2. Le statut epistemique de la notion de concept dans la LDO par rapport
a la logique classique et, particulierement a l'univers conceptuel fregeen.

Les axiomes des operateurs et 179
1. Dans la LDO, par rapport a la logique classique le predicat (f x) a une
semantique dierente de celle acceptee par la logique classique. Tout objet plus
ou moins determine x, x 2 O est vu sous deux aspects :
^etre un f
avoir un ensemble de proprietes g 1 g 2 :::g n .
Le premier aspect correspond au predicat \^etre engendre a partir de f" le
deuxieme aspect au predicat \^etre determineparf", predicats qui ont des valeurs
semantiques dierentes. La LDO exprime ces valeurs semantiques par l'engendrement
a partir de f et la determination par l'operateur f. Plus precisement:
\^etre engendre a partir de f " est exprime parx =((f)) ou est une
cha^ne de determinations.
\^etre determine par f " est exprimeparx =(:::(f) :::(g)) (la determination
(f) appara^t dans la cha^ne ).
Dans la logique classique ces deux valeurs sont completement eacees et englobees
dans un et un seul predicat :
Exemples
(fx)=>
1 Un europeen est un homme qui habite en Europe et non pas un habitant
de l'Europe qui est homme.
(Cf. gure 6.11)
f := ^etre homme
g := habiter l'Europe
x := un habitant de l'Europe, x =(g (f))
Mais dans le syntagme \les europeens et les europeennes" la determination
porte sur \^etre homme" ou \^etre femme" d'un \habitant de l'Europe".
2 Une autruche est un oiseau qui ne vole pas et non pas un animal non volant
qui est oiseau.(Cf. gure 6.12)
f := ^etre oiseau
g := ne pas voler
x := une autruche, x =(g (f))
3 Un ours canadien est un ours qui vit au Canada et non pas un animal du
Canada qui est ours. (Cf. gure 6.13)

180 La categorisation
s s
f := un homme
g:= un habitant de l'Europe
g:= qui habite l'Europe
xs
Figure 6.11: Exemple 1
f := ^etre ours
g := vivre au Canada
x := un ours canadien, x =((g)(f))
4 Un habitant de Brest est un homme qui habite la ville de Brest et non pas
un ^etre de Brest qui est homme. (Cf. gure 6.14)
f := ^etre homme
g := habiter la ville de Brest
xs
s
f := un oiseau
=g 1 g 2 ::: g n
s
g:= un non volant
Figure 6.12: Exemple 2

Les axiomes des operateurs et 181
s
s
f := un ours
g:= qui vit au Canada
x:= un ours canadien
s
g:= un vivant du Canada
Figure 6.13: Exemple 3
x := un habitant de Brest, x =((g)(f))
On voit que l'encodage dans la plupart des langues est le suivant :
{ f est encode par un nom
{ g est encode par :
{ un adjectif (exemple 3)
s
f:= un homme
g
s
x:=un homme qui habite Brest
s
g:= un habitant de Brest
Figure 6.14: Exemple 4

182 La categorisation
{ englobe dans le nom (lexicalise) (les exemples 1, 2) 9
{ englobe dans le syntagme nominal par un complement de nom (\un
habitant de Brest") ou par une relative ( \un homme qui habite Brest" :
exemples 4)
L'encodage par un complement de nom et par une proposition relative exclut
la possibilite formelle de permutation entre f et g dans toutes les
langues.
Donc, (fx)=> traduit par \l'objet x tombe sous le concept f" peut venir de
deux directions :
{ x est un f, x =((f))
{ x a la propriete f , x =(:::f:::(g))
En general, dans le monde reel, pour les concepts communs on a la propriete:
- chaque objet x plus ou moins determine est engendrea partir d'un f m^eme
si ce f n'est pas unique, c'est-a-dire:
8x x 2O 9f9 tels que : x = ((f))
Exemple : une baleine a bosse a partir de baleine, un petit enfant blond a partir
d'enfant, l'homme de Neandertal a partir d'homme, une plante d'appartement
qui craint le dessechement a partir de plante....
Mais le f n'est pas unique.
Dans des domaines particuliers comme les mathematiques dont les objets
totalement determines ont un statut epistemique dierent des objets du monde
reel et pour lesquels le test d'existence est autre que celui pour les objets du monde
reel, la permutation entre \^etre un f et \avoir la propriete f " est beaucoup plus
facile a concevoir.
Exemple. Un carreengeometrieestdeni soit comme un quadrilatere qui a 4
angles droits (rectangle) avec les 4 c^otes egaux, soit comme un quadrilatere avec
4c^otesegaux (losange) et avec les 4 angles droits.
Soit :
f := ^etre quadrilatere et avoir 4 angles droits (Cf. gure 6.15),
g := ^etre quadrilatere et avoir 4 c^otes egaux (Cf. gure 6.16).
Par contre un triangle equilatere est un triangle avec les trois c^otes egaux
plut^ot qu'un polygone equilatere qui a trois c^otes.(Cf. gure 6.17)
f := ^etre triangle
g := avoir a = b = c
9 Dans l'exemple 2 le nom \autruche" comprend d'autres determinations que la determination
\ne pas voler"

Les axiomes des operateurs et 183
g
s
s
x:= un carre
f:= un quadrilatere
s
aux angles droits
g:= un quadrilatere dont les c^otes sont egaux
Figure 6.15: Le carre engeometrie-1
Dans le monde reel, pour l'homme commun, le choix d'un f pour un x
dependra parfois du contexte, sans ^etre toujours conscient. Par exemple \un
mammifere marin" sera, pour un biologiste, un mammifere vivant dans la mer,
mais, pour un enfant, plut^ot un animal marin ayant la propriete annexe d'^etre
un mammifere.
Denition 6.7 Le predicat (Prop gx) est deni par: (Prop gx) ssi
x =((g 1 g g n )(f))
f
s
g:= un quadrilatere dont les c^otes sont egaux
s
f:= un quadrilatere aux angles droits
s
x:= un carre
Figure 6.16: Le carre engeometrie-2

184 La categorisation
s
f:= un triangle
g
s
x:= un triangle equilateral
Figure 6.17: Le triangle equilateral
Le concept g se trouve dans une cha^ne de determinations qui permet d'engendrer
x a partir de f
La LDO par sa partie constructiviste (la construction de la classe des objets
O) modelise cette disambigusation.
2. Pour la notion de concept on a deux choix epistemiques :
accepter qu'un concept est deni sur O (toute la classe des objets plus ou
moins determines ), donc
8
>< >
(fx)= ou
>:
?
est englobe dans le rapport entre f et x. Ainsi (f(f)) peut ^etre "vrai" ou
"faux" et, donc, il faut donner des cas ou (f(f)) = >, c'est a dire englober dans
le systeme un axiome de type A 6.
accepter qu'un concept est deni sur O det (comme dans le cas fregeen et celui
de la logique classique) et etendre la denition de l'application d'un concept f a
tout objet x plus ou moins determine en posant comme axiome: (f(f)) = > et en
donnant un moyen d'heritage de la valeur > a travers les cha^nes de determination.
L'axiome A 6:
(f(f)) = > , Ext f 6= ?
est justie.
L'objet typique d'un concept \tombe sous" ce concept si et seulement si,il
existe des objets totalement determines a correlat empirique.

Les axiomes des operateurs et 185
L'etendue peut ^etre non vide, alors que l'extension est vide : on peut raisonner
sur \un OVNI" quelconque et qualier cet OVNI sans pour autant qu'il existe un
objet completement determine atteste de l'extension.
L'objet typique est assez proche du "-symbole de Hilbert ([Hil05][Hei77]),
bien qu'il s'en eloigne dans son interpretation et par ses proprietes formelles, en
particulier par son lien etroit avec l'operateur de determination. L'axiome du
"-symbole de Hilbert est : f("f) ,9xf(x) =>. Dans cet axiome, x represente
un objet totalement determine de l'extension de f dans le sens de Frege.
L'axiome A 6 est justie par le principe de \reductio ad absurdum" et le
mecanisme dedemonstration par absurde en mathematiques.
Si (f(f)) = ?, alors on sort de Etenduef et l'inexistence des objets typiques
qui tombentsousf donne naissance un autre objet (plus ou moins determine) et,
donc, a un autre concept.
Exemple. La demonstration bien connue du fait que p 2 est un nombre irrationnel:
Supposons que p 2 est un nombre rationnel
p m 2= (1)
n
ou
(m n) premiers entre eux (2)
ce qui implique
ce qui implique
m 2
n 2 =2
m 2 =2n 2
ce qui implique
m est divisible avec 2 , soit m =2p (3)
ce qui implique
ou
4p 2 =2n 2
2p 2 = n 2
ce qui implique
n est divisible avec 2 (4).
Mais (3) et (4) sont contradictoires avec (2) donc p 2 n'admet pas
la representation (1) et (2).

186 La categorisation
s h:= (m,n) premiers relativement
s
f:= un nombre rationnel m/n
AZ AAAAAAAAAAA ZZZZZZZ~
s
g
g
s
une racine de 2
x:= un nombre rationnel
qui est racine de 2
Ext(f)
Figure 6.18: La construction de racine(2)
Les determinations ulterieurs faites sur x conduisent a une contradiction. Soit
x =((g)(f))
En tenant compte des notations de la gure 6.18: Si (f x)=>, alors (h x)=
>. Dex =((g)(f)), on a (g x)=> et ensuite (h x)=?. En fait, (f x)=?
parce que x etait construit par une determination g telle que g 62 Comp f,donc
il n'existe pas de correspondant de x dans Ext(f)m^eme si(x c x)=> ( x c est
le concept associe a l'objet x.
Ce mecanisme est bien connu en mathematique comme constructeur de nouveaux
objets.
Le rapport entre les predicats (fx) et (TYPIQUE(f) (x)
La notation
(fx)=>
reste pour \x a la propriete f" ( soit x est un f typique ou atypique, soit il
herite cette propriete)
Il est evident que :
Si TYPIQUE(f) (x) => alors (fx)=>
Par contre
TYPIQUE(f) (x) =? si et seulement si l'une des deux situations suivantes
se presente :

Les axiomes des operateurs et 187
il existe la cha^ne telle que
x =((f))
et
x est une specication atypique def
x n'est pas constructible a partir de f
Si (fx)=> on a l'une des trois situations suivantes :
x =((f))
et x est une specication typique de f
x =((f))
et x est une specication atypique de f
x =(:::f:::(f))
donc
Si(Prop f x)=> alors (f x)=>
Si (f x)=> ssi f(Prop f x)=> ou x = ((f))g

188 La categorisation
6.9 La theorie des types de la LDO
La theorie des types T de la LDO est denie par :
(i) Les types de base T 0 = fJ Hg
(ii) Le constructeur F des types fonctionnels
(iii) si 2T, alors F 2T.
F est le type des fonctions qui prennent un argument de type pour rendre
un resultat de type .
Le type de tout f 2F est FJH
Le type de tout x 2Oest J
Le type de f estJ,pourtoutf
Le type de f est FJH , pour tout f
Le type de l'operateur est F(FJH)J
Le type de l'operateur est F(FJH)( FJJ). Le type de chaque combinateur
se retrouve de son scheme type en particularisant et .
Les types des connecteurs propositionnels :
la negation propositionnelle: FHH
la conjonction, la disjonction, l'implication: FH (FHH)
FH(FHH) : ^ H:p
FHH : ^p H:p
H:((^p)q)
Le type du predicat TYPIQUE est: F(FJH) (FJH)
F(FJH) (FJH): TYPIQUE
(FJH): (TYPIQUE f)
H: (TYPIQUE (f) (x)
FJH: f
J:x
Le type du predicat Prop est: F(FJH)(FJH)
Le type du predicat Comp est: F(FJH)F(FJH) H
F(FJH)(F(FJH) H: Comp
(F(FJH) H): ( Comp g )
H : ((Comp g) f)
Quelques types :
FJH:g
FHJ:f

La theorie des types de la LDO 189
Operateur / Operande
f 2F
x 2O
f (pour tout f)
f (pour tout f)
la negation propositionnelle N 0 (fx)
la conjonction (^), la disjonction (_), l'implication ()
le predicat TYPIQUE
les predicats Comp , Comp
Type
FJH
J
J
FJJ
F (FJH)J
F (FJH)(FJJ)
FHH
FH(FHH)
F (FJH)(FJH)
F (FJH)F (FJH)H

190 La categorisation

Chapitre 7
La quantication
7.1 Introduction
Les operations de quantication ont ete thematisees par la logique sous la
forme bien connue des quanticateurs, designes par les symboles traditionnels
8 et 9. Par contre les operations de \determination qualicative" n'ont pas
ete prises en compte par la logique mathematique. En eet, la logique depuis
G. Frege [Fre879], [Fre893] s'est essentiellement focalisee sur les eets deductifs
imposes par une partie de la signication des connecteurs interpropositionnels
(et, ou, si....alors,...), par les operations de predication et par les operations de
quantication universelle et existentielle.
Cependant, la logique, avant Frege, par exemple la Logique de Port-Royal,
utilisait la notion de determination dans ses analyses des enonces. Par ailleurs, les
langues naturelles mettent en oeuvre un grand nombre de quanticateurs (tous,
tous les, la plupart, quelques-uns, il y a au moins un, des, un,...) que, depuis
peu, la logique essaie de formaliser dans la theorie des quanticateurs generalises
[Bar81], [Kee97a], [Kee97b] ainsi que d'autres operateurs qui relevent plut^ot de la
qualication : on peut citer les classicateurs qui sont necessaires dans certaines
langues (chinois, vietnamien), les adjectifs qualicatifs, les relatives, les adverbes,
qui apportent a des termes nominaux ou verbaux des determinations qualitatives.
Comment peut-on denir precisement ces operations de determination qualitative?
Comment les articuler avec les operateurs de quantication, en particulier
avec les quanticateurs?
Les quanticateurs \classiques" de la logique mathematique sont-ils susants
pour l'analyse de la quantication universelle et existentielle que les langues expriment?
La reponse a ces questions est une nouvelle approche de la quantication,
articulee sur des operations de determination qualitative qui sont imposees par

192 La quantication
l'analyse des operations linguistiques.
La theorie de la quantication en logique represente la partie du calcul du
premier ordre qui porte sur la denition des quanticateurs, leur rapport avec les
autres connecteurs logiques, les axiomes et les theoremes correspondants. Par sa
semantique, la quantication est etroitement liee a unsysteme de categorisation
de base: ce systeme est la theorie des ensembles dans la logique classique.
Si le calcul du premier ordre s'avere susant pour interpreter une partie
elementaire du langage mathematique, il devient insusant m^eme pour le langage
de toute l'arithmetique et d'autant plus pour le langage \ordinaire".
L'analyse du langage et les autres processus cognitifs prouvent qu'un tel
systeme de quanticateurs est insusant pour capter un phenomene exprime
par les langues naturelles, mais ignore par la logique mathematique tel que la
construsction des objets typiques. La prise en compte de la typicalite, phenomene
propre a la cognition, mais eace par les categorisations formelles des mathematiques,
trouve son expression dans les langues naturelles. Parfois la trace de la typicalite
est englobee dans des mots qui expriment la quantication. Des mots comme :
tous, tout, quel que soit, chaque, les, chacun, il existe, il y a, il existe un, il y
a un, quelque, quelques-uns
ayant la valeur des operateurs de quantication, recoivent parfois, selon le contexte
une valeur supplementaire { celle de la typicalite.
J.-P. Descles [Des98b], [Des98d], [Des98f],[Des98g], [Des99a] a propose une
theorie de la quantication qui tient compte de ce phenomene.
Dans ce chapitre nous presentons le systeme d'operateurs de quantication de
la LDO qui contient les quanticateurs classiques, les operateurs de quantication
proposes par J.P. Descles ( ? et ? { la theorie star{ [Des98b]) et nous analysons
leur rapport [Pas98a].
La quantication de la logique classique s'y retrouve, mais, de surcro^t, ce
systeme permet d'analyser des phrases de la langue qui ne peuvent ^etre formalisees
adequatement avec la theorie classique de la quantication.
En premier lieu, nous presentons la theorie de la quantication dans la theorie
des modeles et dans la theorie de la demonstration (deduction naturelle) pour
avoir une comparaison au niveau epistemologique de ces deux approches.
Dans le paragraphe 7.3 nous presentons une approche fonctionnelle : la quantication
dans le cadre applicatif de la logique combinatoire de Curry [Cur58].
Nous analysons la semantique des operateurs classiques de quantication et
nous proposons la LDO comme systeme de categorisation pour une nouvelle
semantique de ces operateurs (paragraphe 7.5). La LDO comme systeme de
base determine l'introduction de nouveaux operateurs ( fort
2
, faible
2
).
Le systeme des operateurs de quantication, leurs denitions syntaxiques, leur
semantique sont presentes dans le sous-chapitre 7.6.

Introduction 193
La logique mathematique moderne est actuellement representee par deux
grandes directions de developpement:
la theorie des modeles
la theorie de la demonstration
Les deux directions sont appeles par Dirk van Dalen [VDa91] la forme \profane"
et la forme \sacree" de la logique :
La logique appara^t dans une forme \sacree" la forme sacree
est dominante dans la theorie de la demonstration la forme \profane"
dans la theorie des modeles. Le phenomene est familier en
mathematique on peut observer cette dichotomie dans d'autres domaines
comme la theorie des ensembles et la theorie de la recursivite.
La theorie de la demonstration construit les formules bien formees en posant
les regles d'introduction et d'elimination des connecteurs et des quanticateurs
[Gen55]. Une inference logique est une suite obtenue a partir d'un element appartenant
a un alphabet de base par une application successive des regles d'introduction
ou d'elimination.
La theorie des modeles presente un systeme logique par la paire syntaxesemantique.
Le systeme syntaxique ou la description syntaxique est represente
par :
le systeme qui engendre le langage formel des formules bien formees
(FBF)
les axiomes
les regles de deduction.
Une inference logique est une suite de formules bien formees obtenues a partir
d'un axiome en appliquant soit des axiomes soit des regles de deduction.
Une semantique algebrique pour un systeme logique est un ensemble A muni
d'une structure algebrique telle qu'a chaque formule bien formee corresponde un
element dans cet ensemble. La correspondance se fait par une fonction d'interpretation
ou valuation. La fonction d'interpretation est un homomorphisme,
autrement dit elle preserve la compositionnalite entre les formules du langage et
les elements structures de l'algebre :
i : FBF ;! A
i(f 1 f 2 ) = i(f 1 ) i(f 2 )
ou est un operateur de composition des FBF et est une operation de l'ensemble
A. Les connecteurs logiques et les quanticateurs se retrouvent sous le symbole
.
L'ensemble A s'appelle un modele pour le systeme logique. Pour la logique
classique, ce modele est muni d'une structure d'algebre de Boole, pour la logique
intuitionniste il est muni d'une structure d'algebre de Heyting.

194 La quantication
Pour la plupart des systemes logiques (la logique classique, la logique intuitionniste)
des semantiques ont etedenies en termes de classes d'objets (semantiques
ensemblistes). Pour la logique classique la semantique en termes de classes d'objets
est donnee par le theoreme de Stone [DGl96a], pour la logique intuitionniste
par un theoreme qui permet de plonger toute algebre de Heyting dans un espace
topologique [DGl96a].
Dans la theorie des modeles on denit l'inference syntaxique p ` q et l'inference
semantique p j= q pour les FBF p,q .
Les notions de completude et correction sont :
completude : si p ` q, alors p j= q
correction : si p j= q, alorsp ` q.
7.2 Les operateurs de quantication dans la presentation
traditionnelle de la logique classique
:
Quine [Qui50] presente la theorie de la quantication de la maniere suivante
La quantication est la formalisation dans la logique classique des
idiomes de la langue tels que :
Tout homme est mortel.
Il y a des livres ennuyeux.
La formalisation en est :
8x(x : homme x ! mortel x)
9x(x : livre x ^ ennuyeux x)
Les symboles 8 et 9 denotent le quanticateur universel et le quanticateur
existentiel.
Quine [Qui50] arme que les prexes 8x et 9x representent \le point focal"
de la logique neoclassique parce que ces prexes sont relies a lafoisalavariable
x qui se trouve sous leur \portee" et a l'expression qui depend de x. .
La theorie de la quantication, d'apres lui, est representee par :
les deux foncteurs 8, 9
le carre d'Aristote (voir gure 7.1).
la portee d'un quanticateur : 8x(:::x:::) 9x(:::x:::)
D'apres Quine on considere m^eme aujourd'hui, dans des manuels de logique
que :

Les operateurs classiques de quantication 195
A
q
Tout F est G
8x(Fx! Gx)
q
E
Aucun F n'est G
8x(Fx!:Gx)
I
q
9x(Fx^ Gx)
Il y a des F qui sont G
q
9x(Fx^:Gx)
O
Il y a des F qui ne sont pas G
Figure 7.1: Le carre d'Aristote
{ f(x) est une forme propositionnelle ou une fonction propositionnelle
{ f(a) est une proposition
{ (9x)f(x)et(8x)f(x) sont des propositions ou (9x)et(8x)sontdesprexes.
Au niveau des langues naturelles ces deux operateurs ne sont pas totalement
satisfaisants. Les encodages dans la langue ordinaire par "tout" et "il y a des"
necessitent parfois une analyse semantique profonde. Par exemple :
Marie a danse avec plusieurs garcons alaf^ete et tous l'ont trouvee interessante.
Il peut geler pendant tout le mois d'avril.
Quine considere cependant que ces deux quanticateurs permettent de representer
certains usages du pronom en remarquant que les exemples :
(1) Sadie vole quelque chose a Emporium et l'echange contre une chemise.
(2) Si Sadie veut quelque chose, elle reussit a l'avoir.
se formalisent par :
(1 0 )(9x) (( Sadie vole x a Emporium) ^ ( Sadie echange x contre une chemise ))
(2 0 )(8x) (( Sadie veut x) ! (Sadie reussit a avoir x))
plut^ot que par :
(1 00 )(9x) (( Sadie vole x a Emporium ) ^ (Sadie le change pour une chemise ))
(2 00 )((9x) (( Sadie veut x) ^ (Sadie reussit a l'avoir))

196 La quantication
Il s'agit ici de la formalisation avec les deux quanticateurs du pronom,
considere comme etant une variable liee.
Il y a au moins deux problemes dans cette approche :
{ Il faut imposer la contrainte : Ext f 6= ?
{ Il faut denir le statut de la variable liee.
La LDO resout le premier par l'axiome A6 et le deuxieme par le statut
d'operateur donne au quanticateur et d'objet plus ou moins determine donne a
la variable.
7.2.1 Les operateurs de quantication dans la theorie des
modeles
Un systeme logique dans la theorie des modeles se presente sous la forme :
d'un volet syntaxique qui est la presentation d'un langage formel. On se
donne des axiomes et des regles d'inference.
d'un volet semantiquequiestunmecanisme d'association d'une valeur de
verite a chaque proposition.
Pour la logique classique (le calcul du premier ordre) le volet syntaxique est
le suivant :
La syntaxe du calcul propositionnel
On se donne :
des propositions atomiques P = fp i /i2 N g S f> ?g
ou > represente le \vrai" et ? le \faux".
des connecteurs C : _ (disjonction), ^ (conjonction), ! (implication),
: (negation), $ (equivalence)
des regles de formation de toutes les propositions PROP(P ):
(i) P PROP(P)
(ii) si p q 2 PROP(P) , alors p 2 PROP(P) ,ou 2 C
(iii) tout elementdePROP(P)resulte d'un nombre ni d'applications de (i) et (ii).
L'ensemble PROP(P) est l'ensemble des formules bien formees (FBF).
La syntaxe du calcul des predicats
On se donne :
des predicats : P 1 :::P n [f=gn2 N (denombrables)

Les operateurs classiques de quantication 197
g
des fonctions : f 1 :::f m
des constantes : c i ,pouri 2 I
des connecteurs C = f:, ^ , _, !, $, 8, (quel que soit) , 9 (il existe)
des variables : x 1 :::x n
les symboles : ( , )
On denit deux ensembles :
TERM - l'ensemble des termes est le plus petit ensemble possedant les proprietes
:
(i) c i 2 TERM i2 I) x j 2 T ERM j 2 N
(ii) si t 1 :::t m 2 TERM,alorsf i (t 1 :::t m ) 2 TERM
(iii) tous les termes se denissent par (i) et (ii)
FORM - l'ensemble des formules, le plus petit ensemble possedant les proprietes
:
(i) ?2FORM si t 1 :::t r 2 TERM, alors P i (t 1 :::t r ) 2 FORM pour tout
indice i
(ii) si et 2 FORM, alors ( ) 2 FORM ou 2f^, _, !, $g
(iii) si 2 FORM, alors : 2 FORM
(iv) si 2 FORM, alors ((8 x) (x)), ((9 x) (x)) 2 FORM
Une formule 2 FORM dans laquelle chaque variable x i est instanciee par
une constante c i devient une proposition de PROP(P ).
Le volet semantique pour la logique classique est deni par un mecanisme
d'interpretation.
Dirk Van Dalen [VDa91] decrit ce volet ainsi :
\L'art d'interpreter les propositions (mathematiques ou non) presuppose
une separation stricte entre \le langage" et \l'univers" des
entites. Les entites du langage sont des symboles ou des suites de
symboles, les entites mathematiques sont des nombres, des ensembles,
des fonctions, des triangles, etc."
Il se refere ici aux entites mathematiques, mais, en generalisant cette idee, les
entites ont un statut ontologique confere par le domaine auxquelles elles appartiennent,
s'il s'agit d'un domaine particulier. Sinon, leur statut ontologique est
celui confere par la philosophie ou par le sens commun. Ce statut ontologique
s'exprime toujours par une categorisation.
Un mecanisme d'interpretation est une structure [VDa91] :

198 La quantication
U =(A,f 1
:::f n , P 1 :::P n , f c i / i 2 I g )
f i sont des fonctions, P i des predicats c i sont des elements de A.
Une interpretation est une fonction denie pour les termes :
I : TERM ;! A satisfait :
(i) I(c i )=c i
(ii) I(x) =a pour a 2 A
(iii) I(f i (t 1 :::t n )) = f i (I (t 1 ):::,I(t n ))
et pour les formules :
I : FORM ;! f0,1g satisfait :
I(?)= 0
I(P )=P , P 2f0,1 g
I(P (x 1 :::x n )) = f P (a 1 :::a n )/a i 2 Ag
I( ^ ) = min(I(),I( ))
I( _ ) =max(I(),I( ))
I(:) =1-I()
I( ! ) = max(1-I(),I( ))
I( $ ) =1-j I()-I( ) j
I(8) = min fI((a)) = a 2 A g
I(9) = max fI((a)) =a 2 A g
j= denote I() = 1, pour tout I.
La theorie des modeles a comme caracteristique la \separation stricte", dans
un premier temps, entre le langage et l'univers d'interpretation suivi, dans un
deuxieme temps, d'un mecanisme permettant de les mettre en correspondance :
I: L ;! U
Cette approche ne correspond pas exactement aux mecanismes cognitifs parce
que les processus cognitfs ne dissocient pas les expressions langagieres de leur
reference. Du point de vue de la modelisation, cette approche est tout a fait
naturelle et intuitive.
Dans la theorie des modeles, la quantication se denit par le fonctionnement
des operateurs 8 (\quel que soit", \tout") et 9 (\il y a des", \il existe") :
{ au niveau syntaxique :
{ si 2 FORM, alors ((8x) (x)) 2 FORM et ((9x) (x)) 2 FORM
{ et, semantique :
{ I(8x(x)) = min fI((a))/ a 2 A g

Les operateurs classiques de quantication 199
{ I(9x(x)) = max fI((a))/ a 2 A g
{ la regle de substitution :
la substitution des termes par les variables dans les formules (le
terme t remplace la variable libre x):
(
8y[t=x] si x 6 y
(8y)[t=x]=
8y si x y
(
9y[t=x] si x 6 y
(9y)[t=x]=
9y si x y
la substitution des formules pour les propositions dans des formules
(la formule remplace la proposition p):
(8 y )[/p] = 8 y [/p]
(9 y )[/p] = 9 y [/p] ou p est une proposition
La logique classique se denit par les axiomes et les regles d'inference suivantes
:
Axiomes
A1. p ! (p ^ p)
A2. p ^ q ! q ^ p
A3. (p ! q) ! ((p ^ r) ! (q ^ r))
A4. ((p ! q) ^ ((q ! r)) ! (p ! r)
A5. p ! (q ! p)
A6. (p ^ (p ! q)) ! q
A7. p ! (p _ q)
A8. (p _ q) ! (q _ p)
A9. ((p ! r) ^ (q ! r)) ! ((p _ q) ! r)
A10. :p ! (p ! q)
A11. ((p ! q) ^ (p !:q)) !:p
A12. p _ (:p)
L'axiome 6 correspond a laregle d'inference dite du modus ponens notee
generalement:
p p ! q
Les axiomes portant sur les quanticateurs sont :
j= 8x (x) ssi j= (a) pour tout a 2 A
j= 9x (x) ssi il existe a tel que (a)
et les theoremes de base :
q

200 La quantication
j= :8x (x) ssi 9x :(x)
j= :9x (x) ssi 8x :(x)
j= 8x (x) ssi :9x:(x)
j= 9x (x) ssi :8x :(x)
Ce formalisme se lit :
8x (x) : toutes les entites de l'univers du discours verient la formule .
9x (x) : il existe une entite de l'univers de discours qui verie la formule .
Exemples :
Tout F est G.
1. Tout homme est mortel.
2. Tout mammifere est un vertebre.
3. Tout nombre pair est la somme de deux nombres impairs.
Il y a des F qui sont G. (Il existe un objet tel que...)
1. Il y a des oiseaux qui ne volent pas.
2. Il y a des hommes aux yeux bleus.
3. Il existe un nombre reel dont le carre est 2.
Si les schemas du type :
Tout F est G.
Il existe un (des) F qui est (sont) G.
sont satisfaisants pour les assertions mathematiques, les assertions du langage
commun ont des nuances qui ne peuvent ^etre captees adequatement par ces
operateurs :
Tout homme admire Socrate.
Les Alsaciens boivent de la biere.
Les generaux meurent dans leur lit.
Un general meurt dans son lit.
Dans ces exemples l'objet x ne couvre pas entierement l'univers de discours
parce que le bon sens nous dicte que :
Il y des gens (atypiques) qui n'admirent pas Socrate.
On peut certainement trouver des alsaciens qui ne boivent pas de biere.
Il y a des generaux morts sur le champ de bataille (les generaux atypiques).
Dans le premier exemple \tous" n'encode pas la quantication universelle
exprimeepar8. Dans le deuxieme et le troisieme exemple \les" encode l'extension
typique du concept \^etre alsacien" et, respectivement, \^etre general". Dans le
quatrieme exemple \un" encode l'objet typique f.
Voila des problemes qui ne peuvent pas ^etre resolus avec les quanticateurs
classiques. En francais, il existe par exemple l'expression : \tous, sans exception"

Les operateurs classiques de quantication 201
pour specier que tous est utilise dans le sens du quanticateur mathematique 8.
Dans les langues naturelles, il y a des phenomenes de quantication qui expriment
des phenomenes cognitifs que les mathematiques et la logique classique
n'ont pas pris en compte. Parmi ces phenomenes on trouve la typicalite (respectivement
l'atypicalite).
Les operateurs de quantication que nous introduisons dans le sous-chapitre
7.5 prennent en compte cet aspect et ils representent donc un outil plus n pour
l'analyse du langage que la quantication classique.
7.2.2 Presentation de la quantication par la deduction
naturelle
Qu'est que la deduction naturelle?
Si l'on considere la logique comme un codage du raisonnement, la deduction
naturelle peut ^etre vue comme etant la methode de presentation d'un systeme logique
qui reste le plus proche possible de la maniere dans laquelle se font les
inferences. Cette approche donne des regles de derivation, c'est-a-dire d'introduction
et d'elimination pour chaque connecteur (operateur) logique. L'interpretation
de chaque regle se trouve dans la regle m^eme et non dans un mecanisme
d'interpretation. Les regles de derivation sont censees [Gen55] rendre
la signication des connecteurs aussi proche que possible du sens intuitif. Ces
regles expriment le sens constructif des connecteurs, aspect qui est exploite par
la logique intuitioniste.
Regles d'introduction et d'elimination des connecteurs logiques:
^
[i-^ ]
^
,
^
[e-^ ]
_
_
[i-_ ]
.
. [e-_ ]
_ r r
r

202 La quantication
. [i-! ]
!
[e-! ]
!
Regles pour la negation :
:
. [i-: ] . [e-: ] Reductio
?
?
Ad Absurdum
:
Regles pour les quanticateurs :
i) quanticateur universel :
(x)
8x (x)
[i-8 ]
8x (x)
(t)
[e-8 ]
t etant une variable libre pour x dans (x).
La regle d'introduction du quanticateur universel a l'explication intuitive
suivante [VDa91] : si un objet arbitraire x possede la propriete , alors tout objet
possede cette propriete.
Le probleme est qu'aucun objet connu ne peut ^etre considere comme \arbitraire".
Pour surmonter ce probleme on considere que dans le contexte de la
derivation un objet x est \arbitraire" si rien n'a ete \presuppose" en ce qui le
concerne. Plus techniquement, un objet x est considere comme arbitraire dans
une derivation si cette derivation ne contient pas d'hypotheses sur x.
ii) quanticateur existentiel :

Les operateurs classiques de quantication 203
(t)
9x (x)
[i-9 ]
9x(x)
(x)
. [e-9 ]
avec la condition : x n'appara^t pas libre en .
La regle d'introduction signie intuitivementquesi est veriee par un objet
t, alors il existe x tel que (x). Celle d'elimination signie que, si du fait qu'il
existe x tel que (x) on peut inferer une proposition qui ne depend plus de x,
alors on a .
Dans la presentation de la quantication par la deduction naturelle on travaille
uniquement avec des objets totalement determines. Le probleme du caractere
"arbitraire" de la variable x n'est pas assez claire. La LDO propose une solution
pour l'interpretation de \arbitraire" et \quelconque" par la categorisation qu'elle
donne aux objets (voir le chapitre 6).
Nous considerons que l'objet x de la regle d'introduction du quanticateur 8
est l'objet totalement indetermine quelconque . Il n'a aucune determination,
rien n'est presuppose sur lui. Cette regle exprime l'idee que si tombe sous ,
alors tout objet totalement determine ou plus ou moins determine a la propriete
. Conformementa l'axiome A6 il existe de tels objets. Cette interpretation est
etroitement liee a lasemantique proposee dans le paragraphe 7.5 de ce chapitre.
Par contre la lettre t dans la regle d'elimination de 8 designe un objet quelconque
dont on conna^t les determinations. Il est un des objets de Etendue ou de Ext
.
Dans la regle d'introduction du quanticateur 9, t est un objet determine,
de Ext f, mais x est un objet indetermine (plus ou moins determine) dont la
determination est inconnue par l'enonciateur. On a les m^emes caracteristiques
pour x de la regle d'elimination de 9.
La terminologie de la logique classique est assez confuse. La LDO, par sa
categorisation la rend plus explicite.
Un objet \arbitraire" pour la LDO sera un objet parmi les objets plus ou
moins determines, donc un element de Etendue f un objet \quelconque" est
le f comprenant sa capacite d'engendrer toute la classe Etendue f un objet
\indetermine" est un objet dont on ne conna^t pas toutes les determinations.

204 La quantication
7.3 Les operateurs de quantication de Curry
La theorie de la quantication de Curry [Cur58] est representee par les operateurs
de quantication 1 , 1 , 2 , 2 . Dans la logique combinatoire, Curry intitule
\theorie illative" cette partie.
Les quanticateurs de Curry sont des operateurs appliques a des predicats.
Ces operateurs sont denis par les regles suivantes :
Pour 1 :
1 f
(f x)
. [i- 1 ] (1)
1 f
(f x)
[e- 1 ] (2)
Intuitivement : si on a (f x) pour l'objet quelconque x, alors 1 f et si on a
1 f, alors (f x) pour tout x. 1 f se lit : Tout est f (tout objet de l'univers du
discours est f).
Pour 1 :
1 f
(f a)
. [i- 1 ] (3)
Intuitivement : si on a (f a) pour un a determine, alors on a 1 f.
1 f (f a) ` B
B
[e- 1 ] (4)
Intuitivement : si de 1 f et de (f a)oninfere une proposition B qui ne
depend pas de a, alors on a B.
1 f se lit : Il existe un x tel que (f x).

Les operateurs de quantication de Curry 205
Pour 2 :
(f x)
(g x)
2 fg
. [i- 2 ] (5)
Intuitivement : si de (f x) on peut deduire (g x), x etant arbitraire, alors
2 fg. La notion \arbitraire" est la m^eme que celle dans le sous-chapitre 7.2.2.
2 fg(f x)
(g x)
[e- 2 ] (6)
Intuitivement : si de tout (f x)ondeduit (g x) et si l'on a (f x) , alors on a
(g x).
2 fgse lit : Tout f est g.
Pour 2 :
(f a) ^ (g a)
2 fg
[i - 2 ] (7)
Intuitivement : si pour un objet particulier a ona(fa)et(ga), alors 2 fg.
2 fg(f a) ` B (g a) ` B
B
[e- 2 ] (8)
Intuitivement : s'il existe un objet a qui verie f et g et si cet objet est tel
quede(fa)et(ga) on infere une proposition B qui ne depend pas de a, alors
on a B.
2 fgse lit : Il existe un x tel que (f x)et(gx).
Curry donne les relations entre 2 , 1 et un autre combinateur appele constructeur
de types et note par F .
Il introduit d'abord l'operateur E par :

206 La quantication
` EX pour tout objet X.
C'est l'armation dans la logique combinatoire du fait que X est un objet
\arbitraire" de l'univers du discours 1 .
Curry introduit aussi l'operateur F - le constructeur des types :
XU, Y(ZU)
F XYZ
i-F
F XYZ, XU
Y(ZU)
e-F
et il etablit les relations 2 :
F = B 2 2 (KB)
1 = 2 E
2 = B 2 1 ( )
ou represente l'implication logique 3 .
7.4 La semantique de la quantication
Une semantique en termes de classes d'objets pour les operateurs 1 , 2 , 1 , 2
est la semantique classique extentionnelle.
Elle est decrite en utilisant les extensions des concepts. Soient f et g des
concepts. Alors l'interpretation des operateurs de quantication est:
1 f : U Extf, Uetant l'univers de discours (condition Ext f 6= ?)
L'interpretation de cette relation est : tous les objets de l'univers du
discours tombent sous f.
La notion d'objet consideree ici est la notion d'objet \fregeen", c'est-a-dire
celle d'objet totalement determine et d'operande absolu.
1 La notion d'objet ici est prise dans le sens de Curry les objets sont les objets de Curry,
c'est-a-dire les elements de la classe Obs.
2 Les demonstrations de ces relations sont donnees en [Des90b]
3 A partir de maintenant on utilisera le symbole pour l'implication logique.

La semantique de la quantication 207
q
A
; E
2 fg
2 f(N 1 g)
q; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
S
N 0 N 0
S
I
q
@
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
@
2 fg
q
O
2 f(N 1 g)
Figure 7.2: Le carre d'Aristote pour les operateurs illatifs de quantication
2 fg:
Extf Extg
L'interpretation de cette relation est : tous les objets qui tombent sous
f tombentegalement sous g .
1 f : Extf \ U 6= ?
L'interpretation de cette relation est : il existe au moins un objet de
l'univers du discours qui tombe sous f .
2 fg: Extf \ Extg 6= ?
L'interpretation de cette relation est : il existe au moins un objet qui
tombe simultanement sous f et sous g .
Le carre d'Aristote est celui de la gure 7.2.
On a les relations :

208 La quantication
Si Ext g 6= ?
Si Ext N 1 g 6= ?
2 fg 2 fg
2 f(N 1 g) 2 f(N 1 g)
N 0 ( 2 fg)= 2 f(N 1 g)
N 0 ( 2 f(N 1 g)) = 2 fg
7.5 Proposition d'une nouvelle semantique
Dans le chapitre 6 nous avons deni les classes Etendue(f) et Etendue(f).
Faisons l'hypothese (tres forte) que \tout ce qui est constructible est deductible
et inversement" c'est-a-dire :
Etendue(f) = Etenduef
Les relations suivantes sont alors veriees :
Theoreme 7.1 1. Etendue f Etendue g =) Ext f Ext g
2. Ess f Ess g () Etendue g Etendue f
3. Ess f Ess g =) Ext g Ext f
4. Ext f T Ext g 6= ? =) Etendue f T Etendue g 6= ?
La demonstration de ce theoreme est donnee dans l'annexe C.
Ce theoreme montre que les assertions suivantes ne sont pas equivalentes :
\Tous les objets totalement determines de f sont des objets totalement determines
de g."
et
"Tous les objets de f sont des objets de g."
Cette idee conduit a la possibilite de munir l'operateur 2 d'une autre semantique
en denissant deux operateurs correspondant a la quantication universelle.
Nous appelons ces deux operateurs, l'operateur de quantication universelle fort
note ( fort
2
)etl'operateur de quantication universelle faible note ( faible
2
).Ils
sont denis par :
Pour la quantication existentielle :
fort
2
fg : Etendue f Etendue g
faible
2
fg :Extf Extg

Une nouvelle theorie de la quantication 209
fort
2
fg : Etendue f \ Etendueg 6= ?
On remarque que :
et que
faible
2 fg :Extf \ Extg 6= ?
faible
2
2
faible
2
2
fort
2
fg =) faible
2
fg
faible
2
fg =) fort
2
fg
Du point de vue cognitif, on remarque que l'interpretation des operateurs
de quantication peut varier entre une borne inferieure (donnee par l'extension)
et une borne superieure (donnee par l'etendue). On ne possede pas de moyen
epistemique de prouver l'adequation cognitive de l'une ou de l'autre.
Un deuxieme axe cognitif de variation de l'interpretation des operateurs de
quantication est la typicalite. Cet aspect sera traite dans le paragraphe 7.6.1.
7.6 Une nouvelle theorie de la quantication
7.6.1 La denition des operateurs ? et ?
La nouvelle theorie de la quantication proposee par J.-P. Descles consiste en la
denition syntaxique et semantique d'autres operateurs de quantication universelle
et existentielle.
Partons de ces exemples :
1. Les alsaciens sont des buveurs de biere.
2. Tout francais conna^t la Marseillaise.
L'exemple 1. exprime le fait que :
Tout alsacien typique est buveur de biere.
l'exemple 2 le fait que:
Tout francais typique conna^t la Marseillaise.
La formalisation dans la logique classique est :
(8x) [(alsacien x) (buveur de biere x)]
respectivement:

210 La quantication
(8x) [(francais x)
(conna^tre la Marseillaise x)]
La version illative est :
2 (^etre alsacien)(^etre buveur de biere)
2 (^etre francais)(conna^tre la Marseillaise)
Dans les deux exemples \les" et \tous les" representent \tous les...typiques".
Les operateurs 8 et 2 n'expriment pas la typicalite dans leur semantique.
La denition de l'operateur 2 souleve deux problemes [Des98f] :
L'operateur de quantication doit s'appliquer au syntagme nominal et non
pas a toute la phrase, ce qui est une contrainte linguistique. Cette contrainte est
issue de l'analyse syntaxique et de la structure Sujet { Predicat de la proposition.
L'operateur de quantication doit prendre en compte la typicalite.
J.P.Descles ([Des98f]) a introduit un nouveau quanticateur note parQ ? (ce
peut ^etre ? ou ? ). Comparons les deux inferences :
Q 2 : F(FJH)(F(FJH)H)
f : FJH
Q 2 f:F(FJH)H
g:FJH
Q 2 fg:H
et
Q ? : F(FJH)J
f : FJH
g : FJH Q ? f :J
g(Q ? f): H
Q ? et Q 2 ont des types dierents.
On remarque que syntaxiquement les manipulations de la logique combinatoire
transforment l'expression applicative g (Q ? f)enQfgpar :
1. g (Q ? f)
2. C ? (Q ? f) g 1., i - C ?
3. BC ? Q ? fg 2., i - B
4. (B C ? )Q ? fg
En comparant 4. aQ ? fgon deduit l'expression de l'operateur Q ? par rapport
a Q 2 :
[Q = (B C ? )Q ? ]

Une nouvelle theorie de la quantication 211
L'operateur Q ? est plus primitif que l'operateur Q.
Semantiquement, les traces de la typicalite se retrouvent en Q ? ou Q 2 en
fonction du type de la quantication : universelle ou existentielle. L'operateur
Q ? repond au premier probleme formule ci-dessus : il s'applique au syntagme
nominal. L'operateur Q ? n'est pas une simple variante notationnelle de Q 2 .Ilest
plus primitif que Q 2 Q 2 se denit en fonction de Q ? .Ona:
Q 2
fg =) red g(Q? f)
7.6.1.1 Denitions des operateurs ? et ?
Pour la quantication universelle :
2 est l'operateur de quantication universelle general
? est l'operateur de quantication universelle typique deni par l'equation
de la logique combinatoire :
2 =(BC ? ) ?
On a les regles de passage de 2 a ? ils ne sont pas equivalents 2 est plus
grossier que ? , donc ce dernier capte quelque chose de plus n que 2 .Ondonne
des regles et on pose la typicalite comme etant la dierence entre l'un et l'autre.
Pour l'operateur de quantication existentielle les m^emes manipulations conduisent
a:
2 =(BC ? ) ?
En ce qui concerne la quantication existentielle ? est l'operateur de quantication
existentielle et 2 est l'operateur de quantication typique. On remarque
que l'existence d'un objet se prouve generalement en construisant l'objet. Les
moyens de construction conduisent, en general, aux objets typiques et non pas
aux objets atypiques. S'il existe un objet typique, alors il en existe un (pas
necessairement typique) et, comme ? derive de 2 , c'est 2 l'operateur \typique".
Conformement, J.-P.Descles [Des98f] propose que ? soit l'operateur de
quantication existentiellegeneral et 2 l'operateur de quantication existentielle
typique.
On a les implications syntaxiques suivantes 4 :
et
2 fg =) red g(? f)
4 La relation de reduction est notee par =) red .

212 La quantication
2 fg =) red g(? f)
Ces implications ne representent pas une equivalence entre les deux operateurs
a cause de leurs semantiques dierentes (voir 7.6.1.2). La dierence semantique
decoule de la dierence syntaxique.
Pour l'operateur de quantication universelle typique ? les regles d'introduction
et d'elimination sont :
TYPIQUE(f)(x) (fx) ` (gx)
g( ? f)
(9)
ou
TYPIQUE(f) (x)
(f x)
. [i- ? ] (10)
g( ? f)
(g x)
Si x est un objet typique engendrea partir de f et si de (f x) on infere (g x),
alors g( ? f).
g( ? f)TYPIQUE (f) (x) (f x)
(g x)
[e- ? ] (11)
Si g( ? f)et(fx), alors x est un objet typique engendre a partir de f et
(g x).
g( ? f) se lit : tout objet typique de f est un objet de g, abregeentout
ftypique est g
Pour l'operateur de quantication existentielle ? les regles d'introduction
et d'elimination sont :
(f a) ^ (g a)
[i- ? ] (12)
g( ? f)

Une nouvelle theorie de la quantication 213
g( ? f) (f a) ` B(g a) ` B
B
[e- ? ] (13)
Pour l'operateur de quantication existentielle typique 2 les regles d'introduction
et d'elimination sont :
TYPIQUE (f) (a) (f a) ^ (g a)
[i- 2 ] (14)
2 fg
TYPIQUE (f) (a) 2 fg(f a) ` B(g a) ` B
B
[e- 2 ] (15)
g( ? f) se lit : il existe un f qui est g.
2 fg se lit : il existe un f typique qui est g.
Une premiere asymetrie entre et est due a l'asymetrie de en f et g et la
symetrie de en f et g :
(8x)((fx) (gx))
ou
(9x)((fx) ^ (gx))
(9x)((gx) ^ (fx))
Cette asymetrie engendre la deuxieme asymetrie entre les operateurs et en
ce qui concerne la typicalite : quel est l'operateur entre et ? et, respectivement,
et ? qui englobe la typicalite.
L'operateur de quantication universelle generale est celui de la logique classique
2 et ? est celui qui porte la typicalite pour cette quantication, alors que,
pour la quantication existentielle l'operateur de la logique classique 2 porte la
typicalite comme information sous-jacente et ? est l'operateur general. La proposition
de ces traits syntaxiques et semantiques est due a J.-P. Descles. Le changement
des traits semantiques par rapport a la typicalite entre 2 et ? est une
hypothese qui provient du fait que l'existence d'un objet est prouvee generalement
en donnant une construction de cet objet. Or les moyens de construction conduisent
en general, aux objets typiques et non pas aux objets atypiques. En appliquant
? a f on arme l'existence d'un f (pas forcement typique). La preuve de
g( ? f) est de construire un objet typique ou non qui tombe sous f et qui verie
g. La preuve de 2 fg est un objet typique de f qui verie g.

214 La quantication
2 fg
g( ? f)
GENER(f)
q
?q
;
;
3
)
-q
@ 1 ;
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@R ;
;
;
;
;
;
;
( ? ;
f)4 5 ; 6
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
?q
g( ? f)
2 ( ? f)
2 fg
TYPIQ(f)
Figure 7.3: L'espace total et l'espace typique
Il y a une partition de l'espace total (typique et non-typique) en sous-espace
typique et sous-espace non typique.
Le carre de l'espace total donne toutes les implications entre les quatre operateurs
(voir gure 7.3) 5
Les regles d'introduction et d'elimination pour l'operateur ? 1
sont :
TYPIQUE (f) (x)
? 1f
[i- ? 1
] (16)
? 1 f
TYPIQUE (f) (x)
[e- ? 1
] (17)
5 L'implication 4 fonctionne sous la condition Extf 6= ?. L'implication (2) fonctionne sous
la condition Ext f 6= ?

Une nouvelle theorie de la quantication 215
? 1
se lit : tout objet de l'univers de discours est un f typique .
Pour les operateurs ? 1 et 1 nous proposons :
(f a)
. [i- 1 ] (18)
1 f
1 f(f a) ` B
B
[e- 1 ] (19)
1 se lit : il existe un objet qui est f.
TYPIQUE (f) (a)
? 1f
[i- ? 1
] (20)
? 1f(f a) ` B
B
[e- 1 ] (21)
? 1f se lit : il existe un objet qui est f typique.
On peut obtenir ? a partir de ? 1 par :
TYPIQUE(f) (x)
? 1f (f x) ` (g x)
g( ? 1 f)
et ? a partir de ? 1
:

216 La quantication
TYPIQUE(f) (a)
? 1f (g a)
? 1 fg
7.6.1.2 La semantique des operateurs ? et ?
La semantique en termes de classes d'objets de l'operateur ? est :
L'expression g ( ? f) signie Ext f Ext g
Par analogie avec les operateurs fort
2
et faible
2
on peut introduire les operateurs
? fort et ? faible par :
g( ? fort f) signie : Etendue f Etendue g
et
g( ? faible f) signie : Ext f Ext g
? 1 f signie : U=Ext f, Uetant l'univers de discours.
? 1fort f signie :
U = Etendue f.
? 1faible f signie : U = Ext f.
Pour les operateurs de quantication existentielle :
1 f signie : Ext f 6= ?,
? 1 f signie : Ext f 6= ?,
g ( ? f) signie : Ext f \ Ext g 6= ?,
2 fgsignie : Ext f \ Ext g 6= ?.
Par leur semantique les operateurs ? et 2 repondent au deuxieme probleme
formule en 7.6.1: ils expriment la typicalite.
7.6.2 Autres operateurs de quantication
Les quanticateurs implicites QL et QL*

Une nouvelle theorie de la quantication 217
Le quanticateur implicite 6 ([Som82]) note QL est equivalent a la quantication
determinee par :
(9x)(fx) (8x)(fx)
La semantique associee a QLf est : il y a un seul objet x qui verie (fx)ou
encore j Extf j= 1
La semantique associee a QLfgest : le seul objet de f qui est un g
Les regles d'introduction et d'elimination de ce quanticateur sont :
g ( ? f) ` 2 fg
QL fg
[i-QL]
g.
Si d'un f qui est g on infere que tous les f sont g, alors il y a un seul f qui est
g ( ? f) QL fg
2 fg
[e-QL]
S'il y a des f qui sont g et en plus un seul, alors tous les f sont g.
La semantique en termes de classes d'objets est:
j Ext f j = 1 et Ext f Ext g
Le quanticateur implicite typique QL ? a les regles d'introduction et d'elimination :
2 fg` g( ? f)
g(QL ? [i-QL ? ]
f)
Si du fait qu'il y a un f qui est g on infere que tout f typique est g, alors il
y a ub seul f typique qui est g.
g(QL ? f) 2 fg
g( ? f)
[e-QL ? ]
S'ilyaunseulf typique qui est g, alors tout f typique est g.
et la semantique en termes de classes d'objets :
j Ext f j = 1 et Ext f Ext g
6 Ce quanticateur correspond au (iota) de Russell : (x)(fx) , ((9x)(fx)) ^ (8y)(fy) )
(y = x)).

218 La quantication
g (QL ? f) se lit : le seul objet typique de f et un g.
La typicalite eng
Pour exprimer la typicalite par rapport a g on utilise les operateurs et le
predicat TYPIQUE:
2 f(TYPIQUE g)selit:tout f est un g typique .
(TYPIQUE g)( ? f) se lit : il existe un f qui est un g typique.
7.6.3 Le comportement des operateurs de quantication
versus la negation classique
Nous avons notelanegation classique propositionnelle par N 0 et la negation d'un
operateur par N 1 . la relation (voir Annexe 5) entre elles est :
[N 1 = B N 0 ]
Les theoremes suivants dont la demonstration est presentee en Annexe 5
equivalent aux regles d'introduction et d'elimination pour la negation des operateurs
de quantication.
Pour les operateurs 1 , 1 , ? 1, ? 1
:
? 1 (N 1 f)
N 0 ( 1 f)
[i-N 1 ] (22)
N 0 ( 1 f)
? 1
(N 1 f)
[e-N 1 ] (23)
1 (N 1 f)
N 0 ( ? 1
f)
[i-N ? 1
] (24)
N 0 ( ? 1 f)
? 1
(N 1 f) _ [(g x) ^ TYPIQUE (g) (x) =?]
[e-N ? 1
] (25)
? 1
(N 1 f)
N 0 ( 1 f)
[i-N 1 ] (26)

Une nouvelle theorie de la quantication 219
N 0 ( 1 f)
? 1
(N 1 f) _ [(g x) ^ TYPIQUE (g) (x) =?]
[e-N 1 ] (27)
1 (N 1 f)
N 0 ( ? 1
f)
[i-N ? 1] (28)
N 0 ( ? 1 f)
1 (N 1 f)
[e - N ? 1
] (29)
Pour les operateurs 2 , 2 , ? et ? :
2 f (N 1 g)
N 0 (g ( ? f))
[i-N ? ] (30)
N 0 (g ( ? f))
2 f (N 1 g)
[e-N ? ] (31)
(N 1 g)( ? f)
N 0 ( 2 fg)
[i-N 2 ] (32)
N 0 ( 2 fg)
(N 1 g)( ? f)
[e-N 2 ] (33)
(N 1 g)( ? f)
N 0 ( 2 fg)
[i-N 2 ] (34)
N 0 ( 2 fg)
(N 1 g)( ? f)
[e-N 2 ] (35)
2 f (N 1 g)
N 0 (g ( ? f))
[i-N ? ] (36)

220 La quantication
q
; q
Tout f typique est g
Tout f typique n'est pas g
g( ? f) @@I
(N 1 g)( ? f)
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@R
@
;
@
;
@
;
@
;
@
;
@
;
@
;
@ ;
N @ ; N
@;
;@
; @
; @
;
@
;
@
;
@
;
@
;
@
;
;
; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; @
@
@
?q
2 fg
Il y a des f typiques qui sont g
?q
2 f(N 1 g)
Il y a des f typiques qui ne sont pas g
Figure 7.4: Le carre d'Aristote pour les operateurs ? et 2
N 0 (g ( ? f))
2 f (N 1 g)
[e-N ? ] (37)
Pour la typicalite/atypicalite eng :
N 0 ( 2 f(TYPIQUE(g)))
(AT Y P IQUE g)( ? f) _ (N 1 g)( ? f)
(38)
N 0 (TYPIQUE(g))( ? f))
2 f(AT Y P IQUE g) _ 2 f(N 1 g)
(39)
Le carre d'Aristote pour les operateurs ? et 2 est dans la gure 7.4
Le systeme d'operateurs de quantication donne un cube sur le modele du
carre aristotelien (voir gure 7.5):

Une nouvelle theorie de la quantication 221
7.6.4 Exemples
Il y a dans les langues des traces de typicalite. Ces traces sont exprimees explicitement
ou non dans la syntaxe, mais il reste toujours un degre d'ambigute
semantique qui ne peut ^etre completementresolu, ni au niveau de la proposition,
ni en contexte.
Dans ce paragraphe nous presentons quelques exemples qui peuvent ^etre formalises
par les quanticateurs du systeme que nous avons presente. En premier
lieu nous donnons quelques exemples pour chaque operateur de quantication
introduit. Puis, pour des phrases qui peuvent avoir plusieurs interpretations en
fonction du contexte, nous mettons en evidence ces interpretations.
L'operateur 2
L'operateur 2 est le quanticateur avec lequel on peut formaliser des propositions
mathematiques qui contiennent une quantication universelle ainsi que
des assertions generales du langage courant.
Il est en general exprime par les pronoms \tout,toute", \tous, toutes" ou les
articles \un, une" et \le, la, les", mais aussi par chaque, chacun. Sa negation
est souvent encodee par \personne, rien, aucun". Il peut ^etre precise par des
locutions telles que \tous, sans exception" , \absolument tout"....
1. Tout homme est mortel.
2 (^etre homme)(^etre mortel)
2. Tous les hommes sont mortels.
2 (^etre homme)(^etre mortel)
Si l'exemple 1 peut avoir eventuellement l'interpretation :
(^etre mortel)( (^etre homme))
l'exemple 2, a cause du pluriel a plut^ot l'interpretation d'un 2 .
3. L'homme est mortel.
peut avoir les deux interpretations :
2 (^etre homme)(^etre mortel)
(^etre mortel)( (^etre homme))
4. La somme des angles d'un triangle est egale a 180 .
2 (^etre triangle)(avoir la somme des angles egale a 180 )
5. Un carre a4c^otes egaux.

222 La quantication
2 (^etre carre)(avoir 4 c^otes egaux)
Les exemples 4 et 5 sont des propositions de geometrie et leur enonce est
realise plut^ot avec l'article indeni qu'avec le pronom \tout" :
Dans tout triangle la somme des angles est egale a 180 .
Tout carre a4c^otes egaux.
6. Tous les francais boivent du vin.
2 (^etre francais)(^etre buveur de vin)
Dans l'exemple 6 le pronom suivi de l'article donne plut^ot le sens de 2 que
de ? .
L'operateur ?
L'operateur ? est le quanticateur avec lequel on peut formaliser les propositions
du langage commun qui contiennent des predications portant sur des
representants objectaux typiques (quelconques). En general il est encode dela
m^eme maniere que 2 , parfois par \Les f sont g" (Les f typiques sont g). La typicalite
peut eventuellement^etre precisee par des locutions comme "en general",
\sauf exception"...
7. L'homme (typique) est un bipede.
(^etre bipede) ( ? (^etre homme))
8. Un homme est bipede.
(^etre bipede) ( ? (^etre homme))
ou
(^etre bipede) ( (^etre homme))
9. Tout alsacien boit de la biere. (G. Kleiber)
(^etre buveur de biere) ( ? (^etre alsacien))
10. Un alsacien boit de la biere.
(^etre buveur de biere) ( ? (^etre alsacien))
ou
(^etre buveur de biere) ( (^etre alsacien))
11. Tout general (typique) meurt dans son lit. (J.P.Descles)
(mourir dans son lit) ( ? (^etre general))

Une nouvelle theorie de la quantication 223
12. Un general meurt dans son lit.
(mourir dans son lit) ( ? (^etre general))
ou
(mourir dans son lit) ( (^etre general))
13. Marie (8 ans) veut epouser un cow boy.
(((vouloir epouser) ( ? ^etre cow boy)) Marie)
par contre dans la phrase : Marie (jeune lle) veut epouser un milliardair,
la quantication serait plut^ot 2 .
14. Les francais boivent du vin.
(^etre buveur de vin)( ? (^etre francais)
15. Tout enfant est le chef d'oeuvre desamere. (d'apres A. Joly)
(^etre le chef d'oeuvre de sa mere)( ? (^etre enfant))
Un enfant typique est le chef d'oeuvre de sa mere.
Quantication universelle et typicalite eng
Les propositions du langage courant qui contiennent une quantication universelle
sur les objets typiques de g contiennent un quanticateur generalement
exprime par le pronom \tout,toute" soit \tous, toutes". C'est le contexte qui
decide son emploi.
16. Dans un probleme d'agregation toute fonction est integrable (typiquement).
2 (^etre fonction)(TYPIQUE (^etre integrable))
Le contexte est ici \dans un probleme d'agregation"
17. Ceux qui vont a la messe le dimanche sont de bons chretiens.
2 (^etre bon chretien)(T Y P IQUE(aller a la messe le dimanche))
18. La b^uche de Noel est la b^uche glacee.
? (^etre b^uche de Noel)(T Y P IQUE(^etre b^uche glacee))
19. Tous mes etudiants sont recus (typiquement) a l'examen.
( 2 (^etre etudiant de Anca)(TYPIQUE(^etre recus a l'examen))
L'operateur ?
L'operateur ? est le quanticateur avec lequel on peut formaliser les propositions
du langage commun qui contiennent une une quantication existentielle.
Il est encode par l'article \un" ou les expression \il y a un (une), il y a des", \il
existe" .

224 La quantication
20. Un voleur m'a derobe mon sac.
(derober le sac de...)( ? (^etre voleur))
Un ^etre particulier, mais completement indetermine aderobe mon sac. Le
mot \un voleur" exprime ici un objet (typique ou non) indetermine.
21. Il y a des etudiants qui arrivent en retard a mon cours.
(^etre en retard au cours de..)( ? (^etre etudiant))
Il y a au moins un etudiant, qu'il soit typique ou non, qui arrive en retard.
22. Il existe un nombre premier pair.
(^etre pair)( ? (^etre nombre premier))
L'operateur 2
L'operateur 2 est le quanticateur avec lequel on peut formaliser les propositions
du langage commun qui contiennent une quantication existentielle sur les
objets typiques.
23. Il y a des oiseaux qui sont de bons voiliers.
2 (^etre oiseau)(^etre un bon voilier)
Il y a des oiseaux (typiques) qui planent bien dans le vent
24. Il existe une fonction continue qui n'est pas derivable
2 (^etre fonction continue)(^etre non-derivable)
Il y a au moins une fonction continue qui est non derivable et cette fonction est
typique vis-a-vis de ces deux proprietes.
25. Le paysan breton existe encore.
2 (^etre paysan breton)(exister maintenant)
Quantication existentielle et typicalite eng
La quantication existentielle sur les objets typiques de g est exprimee par
l'expression \il y a des..." et par d'autres elements du contexte.
26. Il y a un etudiant qui est toujours en retard a mon cours.
TYPIQUE (arriver en retard au cours de ...)( ? (^etre etudiant))
L'adverbe \toujours" est le marqueur de la typicalite surg : = arriver en retard
au cours de....
27. Il n'existe plus de cow boy.

Une nouvelle theorie de la quantication 225
N 0 (TYPIQUE(^etre cow boy)( ? (^etre personne)))
Les phrases de l'^ane
Les phrases de l'^ane connues dans la litterature sont :
28. Pedro possede un ^ane.
29. Si Pedro possede un ^ane, il est heureux.
30. Si Pedro possede un ^ane, il le bat.
Le probleme souleve par des logiciens est de donner la forme logique de chacune
de ces phrases :
La formalisation dans la logique classique :
28' (9 x) [(^ane x) ^ ((poss x) Pedro)]
29' [(9 x) [(^ane x) ^ ((poss x) Pedro)]] (heureux Pedro)
30' (8 x) [[(^ane x) ^ ((poss x) Pedro)]] ((bat x) Pedro)
On remarque qu'a l'article indeni \un" correspond dans la forme logique la
variable x et la quantication existentielle en 28' et la variable x et la quantication
universelle en 29'.
Quelle est la vraie valeur de \un" dans les trois phrases? Quelle est la valeur
des pronoms \il" et \le"?
La formalisation dans la logique combinatoire est :
28" 2 (^etre ^ane)((C ? poss Pedro) ^ane)
29"(( ) 2 (^etre ^ane)((C ? poss Pedro) ^ane))(heureux Pedro)
30" 2 ((^etre ^ane) ^ ((C ? poss Pedro) ^ane))(battre ^ane Pedro)
Cette representation ne contient aucune trace de typicalite.
La formalisation dans la LDO :
f := ^etre ^ane, P 1 := ((posseder y) x), P 2 := ((battre y) x)
2 (f ^ P' 1 )P' 2
28"' 2 (^etre ^ane)((C ? poss Pedro) ^ane)
29"' (( ) 2 (^etre ^ane)((C ? poss Pedro) ^ane))(heureux Pedro)
30"' (TYPIQUE P' 2 )( 2 (f ^ P' 1 )
ou P 0 1
= ((posseder y) Pedro) et P 2 ' = ((battre y) Pedro)
Dans la phrase 30"' la typicalite porte sur le concept g qui est exprime par
P 0 2.

226 La quantication
7.6.5 Exemples de textes
7.6.5.1 Textes philosophiques
Descartes - Meditations metaphysiques - G. Flammarion 1979
1 ere meditation
Tout ce que j'ai recu jusqu'a present pour le vrai et assure, je l'ai appris des
sens ou par les sens. ( ? )
Certes ce n'est pas peu si toutes ces choses appartiennent a ma nature. ( ? )
Tout cela me fait assez conna^tre que jusqu'a cette heure ce n'a point etepar
un jugement certain et premedite, mais seulement par une aveugle et temeraire
impulsion. ( 2 )
2 eme meditation
Je suppose donc que toutes ( ? ) les choses que je vois sont fausses je me
persuade que rien n'a jamais ete detout ( ? ) ce que ma memoire remplie de
mensonges me represente.
Je suis, j'existe est necessairement vraie, toutes ( 2 ) les fois que je la prononce,
ou que je la concois en mon esprit.
3 eme meditation
Et d'autant plus longuement et soigneusement j'examine toutes ( 2 )ces
choses, d'autant plus clairement et distinctement je connais qu'elles sont vraies.
Quant aux idees claires et distinctes que j'ai des choses corporelles, il y en a
quelques-unes ( 2 ) qu'il semble que j'ai pu tirer de l'idee que j'ai de moi-m^eme
comme celle que j'ai de la substance, de la duree, du nombre et d'autres choses
semblables.
Cette m^eme idee est aussi fort claire et fort distincte, puisque tout ( ? ) ce que
mon esprit concoit clairement et distinctement dereel et de vrai, et qui contient
en soi quelque perfection ( 2 ) est contenu et renferme tout entier ( 1 )dans
cette idee.
7.6.5.2 Textes de la presse
Le Monde -samedi 9 septembre 2000 - L'honneur perdu de la otte du Nord

Une nouvelle theorie de la quantication 227
Dans un sous-marin, ou tout ( ? 1) va bien, ou on est tous ( 1 )morts.
Tous ( 2 ) nos commandants peuvent le dire.
A 11 h 33, ils ont probablement deja tous ( 2 )peri.
\... on ne tire pas au hasard des torpilles, c'est programme, soigneusement
minute, tous ( 2 ) les autres navires sont a l'ecoute. Et on entend tout ( 1 ).
Un sous-marin peut instantanement identier le bruit d'une crevette."
\ Une situation non standard, m'a-t-il ete dit, eectivement les militaires pensaient
qu'ils avaient en mains tous ( ? ) les moyens de sauvetage."
A la sortie, le president parle, entoure de savants, de l'ancien premier ministre
et ex-responsable du KGB Evgueni Primakov, et de quelques ( 2 ) ministres.
Sous le soleil de Sotchi, tous ( 2 ) portent d'identiques polos ou chemisettes
claires. Tous ( 2 ou ? ), sauf le president, sourient a la camera.
\Tout ( ? ) le monde savait a Vidiaevo que le Koursk avait coule!"
\Les commandants vous ont menti, M. le President, ils nous ont tous ( ? )
menti."
7.6.6 Les quanticateurs de plusieurs arguments
Nous partons de deux concepts f et g et d'un predicat de deux variables (P, x 2
x 1 ) [Des98f]. Exemples :
1. Tous les etudiants analysent toutes les possibilites.
2. Chaque garcon aime une lle.
2'. Toute pensee est la pensee d'un homme.
3. Il y a un eleve qui a lu tous les livres recommandes.
3'. Un triangle rectangle a un angle droit.
4. Il existe une suite qui converge vers un nombre reel.
Les formules dans la logique classique correspondent aux formules suivantes :
1: (8 x 1 )[(f x 1 ) [(8 x 2 )[(g x 2 ) (P x 2 x 1 )]]]
2: (8 x 1 )[(f x 1 ) [(9 x 2 )[(g x 2 ) (P x 2 x 1 )]]]

228 La quantication
2 0 : (8 x 2 )[(f x 2 ) [(9 x 1 )[(g x 1 ) ^ (P x 2 x 1 )]]]
3: (9 x 1 )[(f x 1 ) ^ [(8 x 2 )[(g x 2 ) (P x 2 x 1 )]]]
3 0 : (9 x 2 )[(f x 2 ) ^ [(8 x 1 )[(g x 1 ) (P x 2 x 1 )]]]
4: (9 x 1 )[(f x 1 ) ^ [(9 x 2 )[(g x 2 ) ^ (P x 2 x 1 )]]]
La formule 1 se transforme dans la logique combinatoire en :
ou
ou
(8 x 1 )[(f x 1 ) 2 g (P' x 1 )]
2 f( 2 g P')
B 2 fgP'
On denit le combinateur X = B et on a :
X 2 fgP'
On denit un quanticateur note 3 par l'equation combinatoire :
3 fgP X 2 fgP'
ou par les regles d'introduction et d'elimination :
(f x)
. [i- 3 ]
(g x) (P x 2 x 1 )
3 fgP
ou
(f x 1 ) ` ((g x 2 ) ` (P x 2 x 1 ))
3 fgP
3 fgP (f x 1 ) (g x 2 )
(P x 2 x 1 )
[e- 3 ]

Une nouvelle theorie de la quantication 229
3 fgPselit:tout objet x 1 qui tombe sous f est tel que pour tout
objet x 2 qui tombe sous g, ona(Px 2 x 1 ).
Deux operateurs de quantication typique peuvent ^etre denis :
? 3
par la semantique : tout objet typique x 1 de f est tel que pour tout
objet x 2 qui tombe sous g ona(Px 2 x 1 ).
? 3 par la semantique : tout objet de f, x 1 est tel que pour tout objet
typique qui tombe sous g, x 2 il y a (Px 2 x 1 ).
Les autres quanticateurs de deux arguments peuvent ^etre obtenus de la m^eme
maniere.
Generalisation
Soient :
(P x n x n;1 .....x 2 x 1 ) un predicat n-aire
f 1 ,....,f n des predicats 1-aires (concepts)
q i le quanticateur correspondant a lavariable x i q i 2f8 9g
Q i 2f 2 2 g
2f ^g.
La forme generale d'une phrase du type 1.-4. est :
(q 1 x 1 )[(f 1 x 1 )[(q 2 x 2 )[(f 2 x 2 ) [..... [(f n x n )(Px n x n;1 .....x 2 x 1 )]]....]]]
ou
Q 1 f 1 (Q 2 f 2 (.....(Q n f n P n ))....) ou P n est obtenu de P par currication (voir
Annexe C)
Cette forme peut ^etre reduite a:
YQf 1 ,....,f n P n si Q 1 =Q 2 =.....= Q n =Q(ou)
et a la forme
Z 2 2 f 1 ,....,f n P n si Q i 2f 2 2 g.
Par ailleurs, cette expression est :
Q n f 1 ::: f n P
soit
() n f 1 ::: f n P
d'ou les equations
YQf 1 ::: f n P n Q n f 1 ::: f n P
et
Z 2 2 f 1 ::: f n P n () n f 1 ::: f n P

230 La quantication
represententlesequations combinatoires qui denissent les operateurs de quantication
de n+1 arguments Q n et () n .
La logique combinatoire et implicitement la LDO permettent des manipulations
qui ne peuvent ^etre realisees ni dans la theorie des modeles, ni par la
deduction naturelle.
7.7 Proposition d'une nouvelle theorie generalisee
D'autres processus cognitifs comme le denombrement ou l'estimation numerique
sont souvent consideres en linguistique comme quantication (voir le chapitre 5).
Le rapport entre la quantication logique et la quantication en linguistique
peut donner naissance a une unication des deux approches. Nous essayons une
esquisse.
Nous partons de la question suivante:
Est-ce legitime de considerer tout determinant comme un quanticateur?
Les caracteristiques generales cognitives de deux \operations" qualication et
quantication sont:
determiner ou construire des classe en appliquant des proprietes.
determiner ou construire des classes, mais d'une facon particuliere et notamment
en comparant leurs dimensions.
En plus, un quanticateur generalise dans le sens de Keenan n'est pas un
operateur de quantication dans le sens logique. On ne peut pas considerer tout
determinant comme un operateur de quantication. Si on accepte la denition
d'un determinant comme etant un operateur qui s'applique a un ensemble de
fonctions en donnant une fonction, alors on constate qu'il y a des determinants
qui ne sont pas des operateurs de quantication.
Ce sont les raisons pour lesquelles la reponse a la question ci-dessus est non.
En considerant la LDO comme categorisation de base, notre point de vue est le
suivant:
La qualication est l'application d'une determination ou d'une cha^ne de
determinations a un objet plus ou moins determine. Le resultat est un autre
objet mieux determine:
y =(x)

Proposition d'une nouvelle theorie generalisee 231
La qualication s'applique aux objets{elements de O
La quantication est l'application d'un operateur de quantication ( , ,
? , ? ,..) a unconceptf (f 2F). Le resultat est l'armation d'une relation
entre Etendue(f) et une autre classe d'objets.
Les autres operations de \denombrement" exprimees par l'application d'un
operateur de \denombrement" a un concept f, leresultat etant toujours l'armation
d'une relation entre des classes d'objets plus ou moins determines. Les
operateurs de \denombrement" sont des operateurs particuliers. Ils s'appliquent
aux concepts en etablissant des relations particulieres (cardinalite, taux, pourcentage,....)
entre des sous-classes de Etendue(f) et d'autres classes d'objets.
La plupart des determinants decrits par Keenan peuvent ^etre exprimes comme
operateurs de \denombrement" (dans le sens ci-dessus). Leur semantique peut
^etre etudiee dans la LDO. Mais c'est un probleme qui depasse le cadre de cette
these.
Nous nous contentons ici d'esquisser un possible developpement de la theorie,
en donnant une denition de l'operateur de \denombrement" basee sur la LDO
comme systeme de categorisation.
Denition 7.1 Un operateur de denombrement note OD 1-aire (a une place) est
un operateur qui s'applique a un concept f ( f 2F), (OD f) et par sa semantique
il exprime une relation veriee par j Extf j.
Denition 7.2 Un operateur de denombrement note OD n-aire (a n places)
est un operateur qui s'applique a n concepts f 1 ,..,f n (..(OD f 1 )...f n )etparsa
semantique il exprime une relation entre j Extf 1 j, ...., j Extf n j.
Une classication possible des determinants est:
Les determinants qui encodent l'operateur de determination :
de Jean mon rouge soit de Jean, soit de Marie.
Les determinants qui encodent un operateur de \denombrement"
deux moitie 10 % pas un seul pas plus que dix dix au plus un nombre ni.
Les determinants qui encodent un operateur de quantication
tous il y a des un le.

232 La quantication
La vraie valeur d'un determinant permettant de le positionner dans une de
ces trois classes est donnee par le contexte.
7.8 Conclusions
Nous pouvons maintenant apporter des precisions en ce qui concerne la quantication
:
La quantication est un processus cognitif qui a partir d'un concept permet
de preciser la portee denotative de ce concept :
{ existe-t-il des objets qui tombent sous ce concept? si oui il y en a un seul
ou plusieurs?
{ tous les objets de l'univers du discours tombent-ils sous ce concept ou non?
L'expression de la portee denotative se fait avec un quanticateur. Elle s'exprime
par rapport a une categorisation : la categorisation des objets. Pour Frege
le quanticateur est un operateur. Les objets etaient satures (par opposition aux
fonctions), mais determines, typiques et existants. Il voyait les objets comme des
\operandes absolus".
La quantication de la logique classique exprime :
soit que toute la classe est comprise dans une autre :
Ext(f) Ext(g)
soit que la partie commune des deux classes n'est pas vide :
Ext(f) \ Ext(g) 6= ?
Elle considere sous l'etiquette de \variable" toujours des objets determines,
typiques et existants. Quand x est \arbitraire" l'explication sur la nature de
l'objet n'est pas claire.
La LDO montre que la portee denotative du concept doit ^etre exprimee par
rapport a la categorisation qu'elle donne : l'objet est un f,unobjetindetermine
de Etendue f, ouunobjetdetermine de Ext f. En plus, il s'agit des objets
typiques ou atypiques par rapport au concept f. L'operateur de quantication
doit specier ces informations. C'est la raison de l'introduction de plusieurs
operateurs de quantication qui forment un systeme.
Cette theorie est une nouvelle theorie de la quantication avec une semantique
en termes de classes d'objets dont les caracteristiques sont :

Conclusions 233
Cette theorie est basee sur le systeme de categorisation de la LDO.
Les operateurs de quantication proposes tiennent compte de la typicalite/atypicalite.
L'interpretation des operateurs de quantication se deploie sur deux axes
cognitifs :
- le rapport entre l'intention et l'extension.
- la typicalite.
Cette etude est une etude theorique de logique, au niveau des fondements de
la cognition.
Il reste de nombreux problemes ouverts dans ce domaine, de niveau theorique
(logique) ou applicatif (linguistique). Deux de ces problemes sont :
L'etude du systeme des operateurs de quantication (typiques et generaux)
dans d'autres systemes logiques comme la logique intuitionniste ou les logiques
paraconsistantes [DCo97], [DCo97]
L'identication des mots et des expressions qui representent l'encodage des
operateurs de quantication dans une langue naturelle, dans des grands corpus
de texte.

234 La quantication
Tout f est g
2 fg
Aucun f n'est g
2 f(N 1 g)
;
;
;
;
;
;
;;
;;
;
;
;
;
;
;
;
;
g( ? f) ? (N 1 g)( ? f) ?
Un f typique est g
Aucun f typique n'est g
A
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
A
? Il existe un f
?
typique qui est g
2 fg
Il existe un f
typique qui n'est pas g
2 f(N 1 g)
;
;
;
;;
;
;
;
;
g( ? f)
Il existe un f qui est g
;
;
;
;;
;
;
;
;
(N 1 g)( ? f)
Il existe un f qui n'est pas g
Figure 7.5: Le cube de J.-P. Descles

Chapitre 8
La description syntaxique de la
LDO
8.1 Caracterisation generale des regles de deduction
La Logique de la Determination d'Objets (LDO) est un systeme applicatif type
applique aux objets (O). Ses regles de deduction sont classiees en deux grandes
classes :
{ 1. La partie des regles qui correspondent aux regles de la logique classique
dans sa presentation par la deduction naturelle.
{ 2. La partie des regles propres a la LDO.
Pour la premiere partie les regles sont:
{ R1.1 Modus ponens :
p p q
{ R1.2 les regles d'introduction et d'elimination des connecteurs logiques .
q
La deuxieme partie modelise :
{ l'heritage par typicalite ou atypicalite et la construction des objets.
{ le systeme des quanticateurs decrit dans le chapitre 7.

236 La description syntaxique de la LDO
Les regles appartenant a cette partie doivent decider :
- si un objet construit d'une certaine maniere reste ou non typique.
- si un objet caracterise par certains predicats (proprietes) est typique ou non
et, eventuellement donner sa construction.
-modeliser l'action des quanticateurs.
Plus precisement,
{ On se donne la construction d'un objet et on decide sa typicalite.
{ On se donne la typicalite d'un objet et on infere sa construction.
{ L'heritage.
{ l'heritage en general (le mode de transmission des proprietes)
{ l'heritage de la typicalite/atypicalite (le fait que l'objet reste typique/atypique
quand il est de plus en plus determine) .
{ Le rapport entre la typicalite par determination et la typicalite des quanticateurs.
8.2 Une description de la LDO{la formalisation
du systeme
La LDO est une logique applicative typee ([Cur58]). Nous decrivons cette logique
a partir des composantes d'un systeme applicatif ([Cur58]).
La partie morphologique
{ Les primitives sont :
{ (F !)
{ pour tout f 2F: Ess f, Ness f, Ness f, Comp f
{ O = O det [O ind
{ les operateurs et
{ Les predicats sont :
{ les elements de F
{ le predicat TYPIQUE
{ le predicat ATYPIQUE
{ le predicat Prop

Les regles de la LDO 237
{ pour tout fg 2F (Comp i gf),i =1:::5
{ Les operateurs de la logique classique : ^ _ : .
{ Les operateurs de quantication.
La partie deductive (les axiomes et les regles d'inference)
{ Les axiomes sont: les axiomes de la logique classique plus
A 1A2A3A4A5A6.
{ Les regles : R1 { R21.
La theorie des types T (voir le sous-chapitre 6.9).
8.3 Les regles de la LDO
Les regles d'inference propres a la LDO sont :
R3.1
{ Essence et genericite
h 2 Ess f(f x)
(h x)
R3.2
? 1 f
f(f)
{ Typicalite
R3.3
R3.4
R3.5
x =((f)) -compatible
TYPIQUE (f)(x)
T Y P IQUE (f)(x)
9 -compatible x=((f))
x =((f))TYPIQUE (f)(x)
-compatible
R3.6
{ Typicalite etheritage
x =(y) TYPIQUE(f)(y) -compatible
TYPIQUE (f)(x)
R3.7
TYPIQUE (f)(x) TYPIQUE(f)(y) x=(y)
-compatible

238 La description syntaxique de la LDO
{ Atypicalite
R3.8
R3.9
x =((f)) -compatible
AT Y P IQUE (f)(x)
AT Y P IQUE(f)(x)
9 x=((f)) -compatible
{ Atypicalite etheritage
R3.10
x =(y) y=((f)) ATYPIQUE(f)(y)
AT Y P IQUE(f)(x)
{ Quantication universelle generale
R3.11
R3.12
(fx) ` (gx)
2 fg
2 fg (f x)
(g x)
{ Quantication universelle typique
R3.13
R3.14
TYPIQUE (f)(x) (f x) ` (g x)
g( ? f)
g( ? f)TYPIQUE (f)(x)
(g x)
{ Quantication existentielle generale
R3.15
R3.16
(f x) ^ (g x)
g( ? f)
g( ? f) (f x) ` R (g x) ` R
R
{ Quantication existentielle typique
R3.17
R3.18
R3.19
2 fg (f x) ` R (g x) ` R
R
TYPIQUE (f)(x) (f x) ^ (g x)
2 fg
2 fg
g( ? f)

Les regles de la LDO 239
R3.20
R3.21
2 fg
g( ? f)
(f x) ((N 1 g) x) g( ? f)
AT Y P IQUE(f)(x)
Les regles presentees sont les regles propres a la LDO. Dans le dernier chapitre
nous donnons des exemples de quelques inferences en LDO.

240 La description syntaxique de la LDO

Chapitre 9
Une semantique pour la LDO
Dans la theorie des modeles un systeme logique est decrit par sa syntaxe et sa
semantique. Sa syntaxe est un langage { le langage des formules bien formees,
avec les axiomes et les regles de deduction. Sasemantique algebrique est denie
par une structure S mise en correspondance avec le langage par une fonction
d'interpretation (ou fonction de valuation).
La LDO en tant que systeme applicatif construit un langage qui est est un
sous-ensemble des expression applicatives. Par la nature de cette logique, le
systeme syntaxique capte lui-m^eme une partie de la semantique, parce que le
sens d'une expression applicative est donne par la construction m^eme de cette
expression. C'est la partie qu'on appelle la semantique fonctionnelle au passage
de l'expression concatenee d'une phrase a l'expression applicative associee
[Des96a] par l'analyse syntaxique. Par consequence, une semantique algebrique
pour la LDO sera un ensemble de structures algebriques et une organisation
particuliere des classes des concepts F et des objets O telle que les operations
primitives comme f, f aient des correspondants en termes relationnels dans
cette organisation.
Ce point de vue n'est pas tout a fait le point de vue classique de la theorie de
modeles, mais il nous semble que les proprietes structurelles dont on peut munir
localement la classe O peuvent contribuer a sonetude.
9.1 Quelques notions de base de la theorie des
treillis
Dans ce paragraphe nous rappelons les notions de base de la theorie des treillis
d'apres [Ras63]
Denition 9.1 (Ordre partiel ) Soit A un ensemble quelconque et R une relation
binaire. La relation R s'appelle un ordre partiel sur A si, pour tous x y 2 Aon

242 Une semantique pour la LDO
a:
{ 1. xRx (reexivite)
{ 2. Si x R y et y R z, alors x R z (transitivite)
{ 3. Si x R y et y R z, alors x = y (antisymetrie)
Le symbole generique pour l'ordre partiel est le symbole \6 ". Dans ce paragraphe
nous utilisons ce symbole pour designer un ordre partiel. Dans les paragraphes
suivants nous designerons par ce symbole une relation d'ordre partiel
particuliere.
Denition 9.2 (Ensemble partiellement ordonne )
Soit A un ensembleet6 une relation binaire sur A. La structure ( A, 6 )est
appellee ensemble partiellement ordonne si6 est un ordre partiel sur A.
Denition 9.3 (Majorant )
Soit ( A, 6 ) un ensemble partiellement ordonne, S un sous-ensemble de A (S
A) et a 2 A. L'element a s'appelle un majorant de S si la condition suivante
est veriee :
pour tout s, s 2 S, s 6 a
Denition 9.4 (Minorant )
Soit ( A, 6 ) un ensemble partiellement ordonne, S un sous-ensemble de A (S
A) et a 2 A. L'element a s'appelle un minorant de S si la condition suivante
est veriee :
pour tout s, s 2 S, a 6 s
Denition 9.5 ( Le plus grand element )
Soit ( A, 6 ) un ensemble partiellement ordonne, S un sous-ensemble de A
(S A). Le plus grand element de S est l'unique element de S note g(S) (s'il
existe) qui verie :
{ g(S) 2 S.
{ pour tous s 2 S, s 6 g(S).
Denition 9.6 ( Le plus petit element )
Soit ( A, 6 ) un ensemble partiellement ordonne, S un sous-ensemble de A ( S
A). Le plus petit element de S est l'unique element de S note p(S) (s'il existe)
qui verie :
{ p(S) 2 S.

Quelques notions de base de la theorie des treillis 243
{ pour tous s 2 S, p(S) 6 s.
Denition 9.7 ( Supremum )
Soit ( A, 6 ) un ensemble partiellement ordonne, S un sous-ensemble de A (S
A) et a un element deA.L'element a s'appelle le supremum de S note sup(S)
s'il est son plus petit majorant.
Denition 9.8 ( Inmum )
Soit ( A, 6 ) un ensemble partiellement ordonne, S un sous-ensemble de A (S
A) et a un element de A. L'element a s'appelle l'inmum de S note inf(S) s'il
est son plus grand minorant.
Denition 9.9 (Demi-treillis inferieur)
Un ensemble partiellement ordonne (A,6 ) s'appele demi-treillis inferieur
(superieur) si la condition suivante est veriee :
pour tous x,y 2 A il existe inf(fx,yg)(sup(fx,yg)).
Denition 9.10 (Treillis)
Un ensemble partiellement ordonne (A,6 ) s'appele treillis si:
pour tout x et tout y 2 A il existe inf(fx,yg).
pour tout x et tout y 2 A il existe sup(fx,yg).
Denition 9.11 (Treillis complet)
Un treillis ( A, 6 ) s'appele treillis completsi tout ensemble S, non-vide de A
possede un supremum et un inmum (sup(S) et inf(S)).
Tout treillis induit une structure d'algebre latticielle avec les operations ^ , _
denis par :
Denition 9.12 a ^ b = inf(fa,bg) (intersection), a _ b = sup(fa,bg) (union)
Denition 9.13 (Treillis distributif) Soit T un treillis et S T, S 6= ?.
s'appelle distributif si :
pour tous x,y,z 2 T
S
x ^ (y _ z) =(x ^ y) _ (x ^ z)
x _ (y ^ z) =(x _ y) ^ (x _ z)
Denition 9.14 (Treillis avec un plus petit (plus grand element)) Un treillis T
s'appelle treillis avec le plus petit element (0) (le plus grand element (1))si T
admet un plus petit element (un plus grand element).

244 Une semantique pour la LDO
Denition 9.15 (Treillis complemente)
Un treillis T avec unpluspetit element et un plus grand element s'appelle
treillis complemente si pour tout x 2 T, il existe x 2 T tel que
x ^ x =0x _ x =1
Denition 9.16 (AlgebredeBoole) Un treillis B complemente et distributif s'appelle
algebre deBoole.
Denition 9.17 (Filtre)
Soit T un demi-treillis inferieur. Un ensemble F T s'appelle ltre si les
deux conditions suivantes sont veriees:
{ pour tous x,y 2 F, x ^y 2 F.
{ pour tous x 2 F et tout y tels que x 6 y, y 2 F.
Denition 9.18 (Ideal)
Soit T un demi-treillis superieur. Un ensemble I T s'appelle ideal si les
deux conditions suivantes sont veriees:
{ pour tous x, y 2 F, x _ y 2 I.
{ pour tout x 2 I et tout y tels que y 6 x, y 2 I.
Propriete 9.1 Si F 1 ,F 2 (I 1 ,I 2 ) sont deux ltres (ideaux) de T, alors F 1
T
F2
(I 1
T
I2 ) est un ltre (ideal) de T.
Denition 9.19 (Filtre (resp. Ideal) engendre par un ensemble M)
Soit T un demi-treillis inferieur (resp.superieur) et M T. Le ltre (resp.ideal)
engendre par M ,noteF M (resp. I M ) est le plus petit ltre (ideal) qui contient
M.
SiM=fxg, alors :
F x = fy=x 6 yg
I x = fy=y 6 xg
Si on considere l'algebre de Boole prototypique P(X) { l'ensemble des parties
d'un ensemble X : fP(X), S T ?, Xg et un sous-ensemble M de X alors :
F M = fY 2P(X)=M Yg =
\
F
F ltreM2F
I M = fY 2P(X)=Y Mg =
\
I idealM2I
I

Espace pretopologique, topologique et locologique 245
Denition 9.20 (Quasi-ltre (resp. quasi-ideal))
Soit T un demi-treillis inferieur (resp. superieur). Un sous-ensemble F T
(resp. I T) s'appelle quasi-ltre(resp. quasi-ideal) si une seule condition de la
denition d'un ltre (resp. ideal) est veriee :
pour tout x 2 F (resp. I) et y tel que x 6 y (resp. y 6 x),y2 F (resp. I).
9.2 Espace pretopologique, topologique et locologique
Dans ce paragraphe nous presentons les notions de base de pretopologie, topologie,
locologie qui s'averent^etre utiles pour la semantique de la LDO.
Denition 9.21 (Pretopologie)
Soit X un ensemble et soit une famille P de sous-ensembles de X (P P
(X)). La famille P s'appelle pretopologie si les deux conditions suivantes sont
veriees:
{ ?, X2P.
{ Si A, B 2P, alors A T B 2P.
Denition 9.22 (Topologie)
Soit X un ensemble et soit une famille T de sous-ensembles de X (T P (X).
La famille T s'appelle topologie si les trois conditions suivantes sont veriees:
{ ?, X2T.
{ Si A, B 2T, alors A T B 2T.
{ Si fA i g i2I est telle que A i 2Tpour tout i, alors S i2I A i 2T.
Denition 9.23 (Espace topologique (resp. pretopologique)
Un ensemble X muni d'une topologie T (resp. pretopologie P), note (X, T )
(resp. (X, P)) s'appelle espace topologique (resp. pretopologique).
Une topologie peut ^etre denie a l'aide de l'un de deux operateurs suivants.
Denition 9.24 (Operateur d'interieur)
Soit X un ensemble. Un operateur I : P (X) ;! P(X) avec les proprietes:
{ I 1 I(X)=X
{ I 2 pour tout A, I(A) A.

246 Une semantique pour la LDO
{ I 3 pour tout A et tout B I(A T B) = I(A) T I(B)
{ I 4 pour tout A I(I(A)) = I(A)
s'appelle operateur d'interieur.
Denition 9.25 (Operateur de fermeture)
Soit X un ensemble. Un operateur C : P (X) ;! Pavec lesproprietes:
{ C 1 C(?) =?
{ C 2 pour tout A, A C(A)
{ C 3 pour tout A et tout B , C(A [ B) = C(A)[ C(B)
{ C 4 pour tout A C(C(A)) = C(A)
s'appelle operateur de fermeture.
Si I est un operateur d'interieur, alors l'ensemble f I(A) / A 2P(X) g est une
topologie sur X.
Si C est un operateur de fermeture, alors l'ensemble fC(A) g 1 est une topologie
sur X.
Les proprietes C 1 ,C 2 ,C 3 ,C 4 sont connues sous le nom des axiomes de Kuratowsky
[Mar96]. Les deux operateurs (d'interieur et de fermeture) sont idempotents
(les proprietes I 4 et C 4 ).
Denition 9.26 (Algebre de Heyting)
Une algebre de Heyting est un quintuplet( H, ^, _, :, ))
ou
{ (i)(H,^, _ ) est un treillis distributif avec 0 le plus petit element.
{ (ii) pour tout (a,b) 2 H H il existe un element appele le pseudo-complement
de a relatif a b, note a) bdeni par:
a ) b= W f c 2 H/a^ c 6 b g
{ (iii) : a=(a) 0) = W f c 2 H/a^ c 6 0 g
Propriete 9.2 :: a > a
a _: a 6 1
(a) b) 6 ( : a ):b)
: a _:b 6 : (a ^ b)
1 A denote le complement en X de A, c'est-a-dire X-A / A 2P(X)

Espace pretopologique, topologique et locologique 247
Le modele d'algebre de Heyting est l'espace topologique (X, T ). On pose pour
tout A, B 2T :
{ A ^ B=A T B
{ A _ B=A S B
{ (A ) B) = I ( A T B)
{ : A=(A) ?) =I(A )
(T T S ) :) est une algebre de Heyting.
Denition 9.27 (Locologie [DGl96b])
Soit X un ensemble et une relation binaire sur X. La relation s'appelle
locologie si les trois conditions suivantes sont veriees:
pour tout x 2 X, x 2 (x) (reexive)
pour tout x 2 X, tel que (x) ) fxg (non-maigre)
il existe 0 , 0 symetrique, reexive et non-maigre.
Denition 9.28 (Espace locologique)
Un ensemble X muni d'une locologie s'appelle espace locologique, note (X,
).
Deux operateurs peuvent ^etre denis sur un espace locologique : l'operateur
de cur et l'operateur de l'ombre.
Denition 9.29 Soit A X. Le cur de A est deni par : h(A) = f x 2 X/
(x) A g.
L'ombre de A est denie par : s(A) = f x 2 X/ (x) T A 6= ? g
Les proprietes de l'operateur h sont:
Propriete 9.3 h: P(X) ;! P(X)
H1. h(A) A.
H2. Si A B, alors h(A) h(B).
H3. h(A S B) h(A) S h(B).
H4. h(A T B) h(A) T h(B).
H5. h(h(A)) h(A).
Les proprietes de l'operateur s sont:

248 Une semantique pour la LDO
Propriete 9.4 s: P(X) ;! P(X)
S1. s(A) A.
S2. Si A B, alors s(A) s(B).
S3. s(A T B) s(A) T s(B).
S4. s(A S B) = s(A) S s(B).
S5. s(s(A)) s(A).
Si on se donne un operateur h avec les proprietes H 1 , :::,H 5 , alors
L = f h(A) / A X g est un espace locologique.
De m^eme, si on se donne un operateur s avec les proprietes S 1 , :::,S 5 , alors
L = f s(A) /A X g est un espace locologique.
9.3 Le ltre engendre par f
Nous introduisons sur l'ensemble O trois relations d'ordre partiel:
Denition 9.30 Soient x y 2O, tels que 9f x,y 2 Etenduef.
x 6 y ssi il existe une cha^ne de determinations telle que y =(x))
.
Un objet plus ou moins determine y est superieur a un autre objet x si et
seulement siy s'obtient de x par une cha^ne de determination.
x 6 y ssi x 6 y et(TYPIQUE x y)=>
L'objet y est un typique superieur a x si et seulement siy s'obtient de x et y
est un objet typique de x 2 .
x 6 y ssi x 6 y et(TYPIQUE x y)=?
L'objet y est un atypique superieur a x si et seulement siy s'obtient de x et
y est un objet atypique de x.
Theoreme 9.1 Si (TYPIQUE x, y )=> et si x c et y c existent, alors
(i) Ness
y c Ness x c
et (1)
2 (T Y P IQU E yx)=(T Y P IQU E y c x)
(ii) Ess y c Ess x c [ Ness x c

Le ltre engendre parf 249
Theoreme 9.2 (i) La relation 6 est une relation d'ordre.
(ii) La relation 6 est une relation d'ordre.
(iii) La relation 6 n'est pas reexive, mais elle est transitive.
Nous introduisons trois ensembles pour chaque x 2O:
Denition 9.31
F x = fy 2O=x 6 yg
F x
= fy 2O=x 6 yg
F x
Remarque 9.1 Si x = f, alors:
F f = Etendue (f)
F f
= Etendue (f)
= Etendue (f)
F f
= fy 2O=x 6 yg
Theoreme 9.3 (i) L'ensemble (Etendue(f), 6 ) est un demi-treillis inferieur
avec le plus petit element f.
(ii) L'ensemble (Etendue (f), 6 ) est un demi-treillis inferieur avec le plus
petit element f.
Localement l'ensemble O peut ^etre structure par la relation 6.
Theoreme 9.4 (i) Etendue (f) = Etendue (f) [ Etendue (f)
(ii) Ext (f) = Ext (f) [ Ext (f)
Theoreme 9.5 (i) F x estunltre de Etendue(f).
(ii) F
x est un ltre de Etendue (f).
(iii) F
x est un quasi-ltre de Etendue (f).
Denition 9.32 On denote par sup F x l'ensemble de tous les plus petits majorants
des elements de F x .
Theoreme 9.6
Ext(f)=sup Etendue(f)
Ext (f)=sup Etendue (f)
Ext (f)=sup Etendue (f)

250 Une semantique pour la LDO
Remarque 9.2 Comme Etendue(f) est un demi-treillis (et non pas un treillis)
inffx yg n'est pas deni pour chaque paire (x y) 2 Etendue(f) Etendue(f).
Remarque 9.3 Si x 2 Ext(f) alors F x = fxg
La structure de ltres de l'Etendue (f) est representee par (Cf. gure 9.1)
Soit l'ensemble des ltres de Etendue (f):
Fil = fF x =x 2 Etendue(f)g
On peut facilement verier que Fil est une pretopologie.
Theoreme 9.7 (Etendue (f), Fil) est un espace pretopologique muni d'une
pretopologie de ltres.
Remarque 9.4 Les ltres de type F x sont des ultraltres pour la relation d'inclusion.
Le theoreme d'immersion de Stone [DGl96a] est represente dans ce cas
particulier par le diagramme (Cf. gure 9.2):
ou
v(x) =F x
f(F x )=fU=Uest un ultraltre F x Ug
^v = fU=Uest un ultraltre F x Ug
et U(Fil) represente l'ensemble des ultraltres de Fil.
9.4 Une locologie sur Etendue(f): h(Ext( f))
= Ext (f)
On denit:
Etendue(f) Etendue(f)
par
1. objet typique : Si x 2 Etendue(f), alors (x )=fx g S Etendue (f)
2. objet atypique : Si x 2 Etendue(f), alors (x )=fx g S Etendue (f)
3. objet typique determine: Si x 2 Ext(f), alors (x ) = Ext(f)
4. objet atypique determine: Si x 2 Ext(f), alors (x )=fx g S F x
0

La semantique locale de Kripke pour l'Etendue(f) 251
ou x 0 est le premier objet atypique dans la cha^ine , telle que x 0 =( (f))
(Cf. gure 9.3).
D'abord il faut prouver que est une locologie:
(1) est evidemment reexive.
(2) Il existe 0 qui est symetrique: 0 = (Etendue (f)-Ext (f))
(Etendue (f) - Ext (f)).
(3) est non-maigre ( (x ) fx / x 2 Etendue (f)-Ext(f)).
On remarque que n'est pas transitive :
Si x 2 Ext(f)etx 0 un atypique de Etendue(f) tel que x x 0 . alors x 0 f
et pourtant on n'a pas x (f).
On prouve :
Ext (f) = h(Ext(f))
Par denition h(Ext(f)) = f x 2 Etendue (f)/(x) 2 Ext(f) g
Si x 2 Ext (f), alors (x) = Ext(f) Ext(f), donc x 2 h(Ext(f)).
Si x 2 h(Ext(f)), alors (x) Ext(f), donc x doit ^etre un x .
9.5 La semantique locale de Kripke pour l'Etendue(f)
Soit (I, 6 ) un ensemble partiellement ordonne, A I s'appele hereditaire si
pour tout i 2 Aetj> ionaj2 A. Soit I l'ensemble de tous les sous-ensembles
hereditaires de I. Pour tout A,B Iondenit:
{ A ^ B=A\ B
{ A _ B=A[ B
On pose [i) = f j 2 I,j> i g pour tout i 2 I. On verie facilement que A \
BetA[ B restent des ensembles hereditaires et que I est un treillis distributif.
On denit:
A ) B f i 2 I/A[ [i) B g
: A=(A) ?) =f i 2 I/A[ [i) = ? g
On verie que ( I , ^, _, ), : ) est une algebre de Heyting. Considerons
l'ensemble Fil de tous les ltres de Etendue(f). Tout ensemble hereditaire de
Etendue(f)est:
soit F x
soit S x2Etendue(f) F x
Soit Fil = f S x2A F x /A Etendue(f)g

252 Une semantique pour la LDO
l'ensemble Fil represente l'ensemble de tous les sous-ensembles hereditaires
de Etendue(f). Alors ( Fil , ^, _, ), : ) est une algebre de Heyting. A
chaque expression applicative correspondant a un objet o 2 O nous mettons en
correspondance une union d'ensembles hereditaires.
Fil est une topologie sur Etendue(f). Le diagramme represente un cas
particulier de la contrepartie intuitionniste du theoreme de Stone [DGl96a] (Cf.
gure 9.4):
ou
v(x) = [ F x
f(F x )=fU=Uest un ultraltre de Fil g
La semantique locale de Kripke correspond dans ce cas au fait qu'a unobjet
donne x on fait correspondre tous les objets plus ou moins determines et tous les
objets totalement determines qu'il est possible d'engendrer a partir de cet objet
x.
9.6 L'intension d'un concept et les ideaux
Considerons Int-caract f = f f 1 , :::, f n g.Alors
l'ideal engendre par f 1 , :::, f n .
Intf =I f1 :::fn
Theoreme 9.8 Int f est un demi-treillis superieur avec le plus grand element f.
Pour chaque concept g 2 Int f on peut considerer l'ideal I g engendre parg.
Alors
I g Int f. Soit I = f I g /I g Int f g
Theoreme 9.9 (Int f, I) est une pretopologie.
Pour l'instant on ne peut rien armer de plus sur la structure de Ess f,
Ness f, Ness f.
???
La semantique algebrique decrite en termes de ltres et d'ideaux dans ce
chapitre represente du point de vue algebrique un prolongement de la loi du Port
Royal. C'est un essai de donner une explication formelle a ladualite intensionextension
explication qui est restee assez oue jusqu'a maintenant.

L'intension d'un concept et les ideaux 253
s
F x1
F y
x
f
B T
BBBBBBBBBBBBBBBBBBN TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT
g 1
g 2
s
s
x1
x2
L LS LLLLLLLLLLLLLLLLLLL LLLLLLLLLLLLLLLLLLL
SSSSSSSSSSSSSSSSSSS
s?
A y
AAAAAAA
A
s
Ext(f)
F x2
Figure 9.1: La structure de ltres de Etendue(f)
T
TTTTT

254 Une semantique pour la LDO
r
Etendue(f)
v -
@
@@@@@@@@@@@@R
r
Fil
^v
f
r
? P(U(Fil))
Figure 9.2: Theoreme d'immerssion pour Etendue (f)
r f
A
AAAAAAAAAAAA
r
A
AA
r
x'
typique
rx' atypique
Figure 9.3: Une locologie sur Etendue(f)
r
Etendue(f)
v -
@
@@@@@@@@@@@@R
r
Fil
^v
f
r
? P(U(Fil ))
Figure 9.4: Fil est une topologie sur Etendue(f)

Chapitre 10
Les hierarchies d'heritage et la
LDO
10.1 Exemples
Nous presentons trois exemples traites dans la LDO. Les deux premiers sont
connus de la litterature sur les reseaux semantiques. Le troisieme est notre
exemple.
{ 1. Le probleme de l'autruche
{ 2. Le diamant de Nixon
{ 3. Le jour du 1 er mars a Brest
10.1.1 Le probleme de l'autruche
Soient les armations suivantes :
1. Tous les oiseaux sont des ^etres vivants.
2. Toutes les autruches sont des oiseaux.
3. Les oiseaux savent voler.
4. Les canaris sont des oiseaux.
5. Les autruches ne savent pas voler.
6. Kiki est un canari.
7. Julie est une autruche.
8. Rita est une autruche.
9. Rita sait voler.

256 Les hierarchies d'heritage et la LDO
A ces declarations on peut faire correspondre un graphe, appelereseau semantique,
dont les sommets representent des concepts et la eche la relation de comprehension
directe entre concepts 1 .
Nous avons (on considere seulement une partie du reseau semantique (Cf.
gure 10.1):
Int-caract (^etre-vivant) = ?
Int-caract (^etre-animal) = f ^etre-vivant, ^etre-animal g
Int-caract (^etre-oiseau) = f ^etre-animal, voler g
Int-caract (^etre-autruche) = f ^etre-oiseau, ne pas voler
Int-caract (^etre-canari) = f ^etre-oiseau g
Int-caract (^etre-Julie) =f ^etre-autruche g
Int-caract (^etre-Rita) = f ^etre-autruche, voler g
Int-caract (^etre-Kiki) =f ^etre-canari g
Int (^etre-vivant) = f ^etre-vivant g
Int (^etre-animal) = f ^etre-vivant, ^etre-animal g
Int (^etre-oiseau) = f^etre-oiseau, ^etre-animal, ^etre-vivant, voler g
Int (^etre-autruche)=f^etre-autruche, ^etre-animal, ^etre-vivant, ^etreoiseau,
voler, ne pas voler g
Int (^etre-canari) = f^etre-canari, ^etre-oiseau, ^etre-animal, ^etre-vivant,
voler g
Int (^etre-Julie) = f^etre-Julie, ^etre-autruche, ^etre-animal, ^etre-vivant,
^etre-oiseau, ne pas voler g
Int (^etre-Rita) = f^etre-Rita, ^etre-autruche, ^etre-animal, ^etre-vivant,
^etre-oiseau, voler g
Int (^etre-Kiki)=f ^etre-Kiki, ^etre-canari, ^etre-animal, ^etre-vivant,
^etre-oiseau, voler g
On remarque que le reseau semantique tel qu'il se presente est insusant pour
choisir entre les deux proprietes \voler " et \ne pas voler" pour \^etre autruche".
La LDO par la construction des objets rend compte de la typicalite.
La construction des objets dans la LDO se voit dans la gure 10.2
Les cha^nes de determination sont presentees dans la gure 10.3.
Nous presentons les deductions suivantes dans la LDO :
Rita est une autruche atypique (par rapport alapropriete de \voler").
Rita est un oiseau atypique.
Les 9 hypotheses sont :
1 Un tel graphe est appele souvent \graphe d'heritage

Exemples 257
F
^etre vivant
6
contradiction
ne pas voler
^etre animal
6
voler
6
>
>
^etre oiseau
Z}
Z
*
Z
Z Z
^etre autruche
^etre canari
QQk
6
Q
Q
> Q
^etre Julie
^etre Rita
^etre Kiki
Figure 10.1: Le reseau semantique pour le probleme de l'autruche
1. 2 oiseau (^etre vivant)
2. 2 autruche oiseau
3. voler( ? oiseau)
4. 2 canari oiseau
5. ne pas voler( ? autruche)
6. canari(Kiki)
7. autruche(Julie)
8. autruche(Rita)
9. voler(Rita)

258 Les hierarchies d'heritage et la LDO
1.
.
9.
10. TYPIQUE(autruche)(Rita) hypothese
11. voler(Rita) reiteration 9
12. ne pas voler ( ? autruche) reiteration 5
13. autruche(Rita) reiteration 8
14. ne pas voler (Rita) 10,12,13 R3.14
15. 11,14 contradiction
16. AT Y P IQUE (autruche)(Rita)
On peut obtenir directement, par R3.21 :
(autruche Rita)((N 1 non-voler) Rita)(non-voler ( ? autruche))
AT Y P IQUE (autruche)(Rita)
Pour la deuxieme deduction :
1.
.
9.
10.(autruche)(Rita)
8, reiteration
11. ne pas voler( ? autruche) 5, reiteration
12. voler ( ? oiseau) 3, reiteration
13. AT Y P IQUE(oiseau)(autruche)11,12 R3.21
14. AT Y P IQUE(oiseau)(Rita) 10,13 R3.10
10.1.2 Le diamant de Nixon
Un autre exemple classique est le diamant de Nixon. Le president Nixon etait
quaker et republicain. Les quakers sont pacistes, les republicains ne le sont pas.
Et pourtant Nixon etait un republicain paciste. Le reseau semantique est (Cf.
gure 10.4):
La construction des objets par des cha^nes de determinations est presentee
dans la gure 10.5):
g := ^etre-paciste
g 2 Ness (^etre-republicain)

Exemples 259
La cha^ne de determination 1 contient toutes les determinations qui transforment
f (\ un homme ") en x ((\ un republicain") et qui sont comprises
dans
Ess x c (elles sont considerees comme proprietes essentielles pour \un republicain")
Les autres proprietes distribuees dans Ness x c et Ness x c comme g := ^etrepaciste,
respectivementN 1 g := ne pas ^etre-paciste peuvent engendrer les etendues
typique et atypique de x c2 :Etendue x c et Etendue x c . Par consequent,
y 2 Etendue x c
et
y 0 2 Etendue x c
Soient les hypotheses suivantes :
Les quakers sont pacistes.
Les republicains ne sont pas pacistes.
3. Nixon republicain et quaker.
4. Nixon est paciste.
On deduit :
C1. Nixon est un quaker typique.
C2. Nixon est un republicain atypique.
Les hypotheses sont :
1. paciste( ? quakers)
2. non- paciste( ? republicains)
3. republicain(Nixon) ^ quaker(Nixon)
4. paciste(Nixon)
La deduction de C1 dans la LDO est:
2 Dans ce cas x c existe et x c = x

260 Les hierarchies d'heritage et la LDO
1.
.
4.
5. paciste( ? quakers) 1, reiter.
6. republicain(Nixon) ^
3, reit.
quaker(Nixon)
7. quaker(Nixon) 6, ^ -e
8. paciste(Nixon) 4, reiter.
9. AT Y P IQUE(quaker) hyp.
(Nixon)
10. non-paciste(Nixon) 9, R3.9
11. paciste(Nixon) 4, reiter.
12. 10,11, contrad.
13. TYPIQUE(quaker)(Nixon)
M^eme raisonnement pour C2.
10.1.3 Le jour du 1 er mars a Brest
Les jours de printemps en general sont ensoleilles. Les jours de printemps sont
pluvieux a Brest. Le 1 mars il pleut souvent a Brest. Le jour du 1 er mars a Brest
est un jour typique ou non comme jour de printemps et comme jour de printemps
a Brest?
Soit les hypotheses suivantes :
1. Les jours de printemps sont pluvieux a Brest.
2. Les jours de printemps sont non-pluvieux.
3. Le jour du 1 er mars a Brest est pluvieux.
4. 1 mars est un jour de printemps.
En LDO elles sont :
1. pluvieux ( ? ( Brest (printemps jour)))
2. non-pluvieux ( ? (printemps jour))
3. pluvieux ( Brest (1 mars))
4. printemps (1 mars)
On deduit :
C1. 1 er mars a Brest est un jour de printemps atypique.
C2. 1 er mars a Brest est un jour typique (comme jour de printemps a Brest).

Les hierarchies d'heritageetlaLDO 261
1.
.
4.
5. TYPIQUE(print. (Brest hyp.
(1 mars)))
6. non-pluvieux ( ? print. j) 2, reiter.
7. print. j (1 mars) 4, reiter.
8. print. j (Brest(1 mars)) 3, reiter.
9. non-pluvieux (Brest(1 6,8, R3.14
mars))
10. pluvieux (Brest(1 mars)) 3, reiter.
11. 9,10 contrad.
12. AT Y P IQUE(print.j)(Brest (1 mars))
Pour C2 :
1.
.
4.
5.x:= 1 mars a Brest, f : = un
jour a Brest, x= (f),
compatible
6. TYPIQUE(a Brest) (1 mars)
1-4,R3.3
Le deuxieme exemple montre qu'on a des deductions qui se font exclusivement
par les moyens de la construction : c'est ici l'apport de la LDO.
10.2 Les hierarchies d'heritage et la LDO
Nous presentons une formalisation logique des hierarchies d'heritage [Cro95] vis-
a-vis de la formalisation par la LDO.
10.2.1 La formalisation logique des hierarchies d'heritage
En intelligence articielle on designe par hierarchie d'heritage une classication
quelconque. Les hierarchies d'heritage sont denies en termes de graphes et
constituent des procedes techniques de stockage d'information. Leur construction

262 Les hierarchies d'heritage et la LDO
et, donc, leur interpretation, ne semble pas ^etre regie par des principes generaux,
mais leur structure n'est pas neutre par rapport aux problemes generaux de la
classication. Cette structure elimine la distinction entre concepts et objets plus
ou moins determines: \^etre oiseau", \un oiseau" et \avoir la propriete de voler"
sont traites comme des noeuds de la hierarchie. Elle elimine aussi la distinction
typique-atypique et confond la relation de comprehension (!) entre les concepts
avec la relation de determination entre les objets (6). Ainsi, le problemedelaformalisation
logique des hierarchies d'heritage para^t mal engage des le depart, car
l'objet m^eme de la formalisation ne semble pas bien deni. Soit la formalisation a
comme objet la representation de toutes les strategies possibles de parcours d'un
graphe, soit elle impose une interpretation particuliere dicile a evaluer en l'absence
d'une analyse claire de ce qu'une hierarchie represente. Neanmoins les solutions
logiques a l'interpretation des hierarchies d'heritage demeurent interessantes
pour deux raisons. En premier, les limites des solutions logiques peuvent nous
montrer les raisons d'une surestimation frequente des t^aches qui peuvent ^etre
menees a bien par la logique. Elles nous fournissent des elements d'analyse sur
les limites et sur la nature des logiques non-classiques. En second, toute formalisation
entra^ne un choix interpretatif des liens de classication et donc une
selection parmi les parcours possibles de la hierarchie. Ainsi les alternatives des
formalisations possibles nous parlent a leur tour de la nature de l'instrument
taxinomique.
Une formalisation du probleme de l'heritage doit constituer un cadre d'interpretation
general, simple et logique de ce probleme. Dans [Cro95] on remarque
trois caracteristiques d'un tel formalisme :
{ Le formalisme doit ^etre \general" au sens ou la solution n'avantage pas un
type particulier de hierarchie
{ Le formalisme doit ^etre \simple" de telle sorte que les notions d'individu et
d'espece et de lien conserve un certain caractere intuitif
{ Le formalisme doit ^etre \logique" dans le sens ou il fait eectivement usage
des moyens deductifs de la logique.
Il nous semble que la LDO remplit ces trois conditions.
10.2.2 Une analyse par la LDO des quelques hierarchies
d'heritage
Denition 10.1 Une hierarchie d'heritage [Cro95] est un graphe oriente acyclique
ayant comme noeuds un ensemble d'entites.
Les entites noeuds sont de deux types:

Les hierarchies d'heritageetlaLDO 263
- les individus qui representent les feuilles du graphe notes par a,b,c :::
- les especes correspondant a des abstraits, notes par p, q, r :::
Les variables qui varient sur un ensemble des entites de ce type sont notees
par x, y, z,v,w.
Le graphe contient deux types de liens:
les liens positifs x ! ylu\xestuny"
les liens negatifs x 9 y lu \x n'est pas un y "
L'entite y doit ^etre une espece.
Denition 10.2 Deux liens s'appelent conictuels s'ils sont de la forme:
a ! peta9 p
ou
x ! yetx9 y
Parmi les suites possibles de liens, les chemins constituent des parcours admissibles
dans le graphe.
Denition 10.3 Un chemin est deni par:
tout lien est un chemin.
si est un chemin, :x 1 ! x 2 ! ::: x n et x n ! y est un lien ,alors !
y est aussi un chemin.
si est un chemin, :x 1 ! x 2 ! ::: x n et x n 9 y est un lien ,alors 9
y est aussi un chemin.
Denition 10.4 Deux chemins s'appelent conictuels s'ils ont la forme: x !
! yetx! 9 y
Un chemin du graphe correspond a une cha^ne de raisonnement. De maniere
intuitive on peut dire que l'armation \x est un y" est supportee par une
hierarchie s'il existe un chemin dans la hierarchie de x a y. En presence du
conit, une hierarchie peut toutefois supporter des armations contradictoires.
Il est alors necessaire de mettre en oeuvre des strategies. L'un des mecanismes
des plus connus de resolution de conits est le mecanisme ditde la specicite.
Etant donnes deux chemins contradictoires un critere de preference base sur des
considerations relatives a la forme de la hierarchie, resout le conit en faveur de
l'un d'eux. Le critere de preference est le suivant: soit y et z les noeuds de depart
des derniers liens de deux chemins contradictoires, partant de x. S'il est possible
d'etablir que l'entite y est plus specique que l'entite z, la contradiction est levee
en faveur du chemin passant par y. De maniere intuitive, une entite y est plus
specique qu'une entite z par rapport a x, s'il existe un chemin menant de x a z
qui passe par y.

264 Les hierarchies d'heritage et la LDO
Les exemples suivants sont consideres comme classiques dans la litterature.
Ils ont ete analyses par plusieurs outils taxinomiques.
Exemple 1 (L'autruche)(Cf. gure 10.6)
L'entite p est plus specique que l'entite o. Le chemina! p 9 v sera prefere
au chemin a ! o ! v.
Cet exemple est traite par la LDO (Cf. gure 10.7):
La LDO donne la construction: v ! o ! o ! p ! a ! a
En plus elle donne l'information qu'une autruche qui ne vole pas est typique
en tant qu'autruche et atypique en tant qu'oiseau.
Exemple 2 [Cro95] (Le diamant de Nixon)(Cf. gure 10.8)
Dans ce cas la lemecanisme delaspecicite n'est plus applicable parce que
pour les chemins n ! q ! petn! r 9 p les noeuds q et r sont egalement
speciques.
La LDO analyse cet exemple par (Cf. gure 10.9):
Les deux chemins p ! q ! n et p ! r ! n montrent que Nixon est
un quaker typique (parce qu'il est paciste) et un republicain atypique pour la
m^eme raison.
Exemple 3 [Cro95]
Soit la hierarchie (Cf. gure 10.10):
Le reseau est lu:
Les p ont la propriete non r: p 9 r.
Les q ont la propriete r: q! r.
Les a sont des p avec la propriete non r: a ! p 9 r.
Les a sont des q avec la propriete r: a! q ! r.
Les p sont des s avec la propriete non u: p ! s 9 u.
Les p sont des t avec la propriete u: p! t ! u.
Les u sont des q : u ! q.
Tous les chemins de a a r et leurs interpretations sont:
Les a sont des p avec non r: a ! p 9 r.
Les a sont des p, donc des t avec u , donc des q avec r:
a ! p ! t ! u !q ! r.
Les a sont des q avec r: a ! q ! r.
Le chemin a ! p 9 r sera prefere au chemin a! q ! r dans l'extension
contenant le chemin a ! p ! t ! u ! q. Mais il existe une extension contenant
le chemin a ! p ! s 9 u dans laquelle p n'est pas plus specique que q car elle
ne contient pas de chemins menant a q et passant par p.
Cette hierarchie est traitee par la LDO (Cf. gure 10.11):
Un a est un p atypique qui a la propriete r.
et

Conclusions 265
Un a est un q typique qui a la propriete r.
soit
Un a est un p typique qui n'a pas la propriete r.
et
Un a est un q atypique qui n'a pas la propriete r.
10.3 Conclusions
La LDO comme systeme de categorisation est un systeme qui prend en compte
les deux dimensions cognitives suivantes:
le conceptuel exprime par l'organisation de l'ensemble F.
l'objectal exprime par l'organisation de l'ensemble O.
Ella represente toute une autre demarche par rapport aux categorisations
traditionnelles. La LDO a comme point de depart les elements suivants:
la structuration des concepts et ses implications sur la construction des
objets.
la construction des objets totalement determines se fait progressivement en
passant par des objets plus ou moins determines.
dans cette construction intervient l'operateur de determination. Cet operateur
aete totalement ignore par la logique classique, mais toujours thematise par la
grammaire.
La LDO comme systeme de categorisation n'est plus une categorisation de
type extensionnelle. Elle engendre des objets plus ou moins determines en considerant
a chaque moment les deux structures (F !) et(O6).
Comme systeme logique, la LDO a deux parties:
la partie inferentielle, au niveau des concepts
la partie constructiviste, au niveau des objets.
La macrostructure est dierente de la logique classique. Elle raisonne sur des
objets. L'articulation entre inferentiel et constructiviste est realiseeparlebiais
de la structure applicative.
Son infrastructure represente une modelisation beaucoup plus ne de certaines
valeurs semantiques attribuees par la cognition a deux de ses primitives:
la determination
la typicalite.
Cette infrastructure est une representation de ce que Curry considerait comme
la morphologie d'un systeme applicatif : la construction des objets du systeme.
La comparaison entres les hierarchies d'heritage et les constructions de la LDO
montre les possibilites des extensions vers l'implementation et de la construction
des algorithmes pour les problemes lies a l'heritage.

266 Les hierarchies d'heritage et la LDO
O
un ^etre vivant
?
un animal
?
un oiseau
)
un oiseau qui vole
H HHHHHj
un oiseau qui ne vole pas
?
?
un canari
une autruche
?
)
Q QQ
Qs
Kiki
une autruche
qui ne vole pas
une autruche
qui vole
?
?
Julie
Rita
Figure 10.2: Le probleme de l'autruche en LDO

Conclusions 267
u
u
u
vivant
;
H HHHHHHHHHHHHHHHj
;
;
voler
;
;
; non-voler
;
;
A un vivant
AAAAAAAAAAAAAAAU
qui ne vole pas
/
oiseau
u
voler
u
? autruche
- une autruche
Q QQQQQQQQs
u
Julie
u
?
u
un vivant qui vole
oiseau
u
?
@ un oiseau
@@@@@@@@@@@@@R
un oiseau
qui ne vole pas
une autruche qui vole
voler
voler
canari
u
un
canari
Julie Rita Kiki
u
?
Kiki
Figure 10.3: Le probleme de l'autruche en LDO-les determinations

268 Les hierarchies d'heritage et la LDO
Z}
Z
Z
ne pas ^etre pacifiste
Z
Z
^etre pacifiste
contradictionZ
Z
@I
@
Z
; ;;;;;; Z 3
^etre republicain
^etre homme
^etre quaker
Z} Z
Z
Z
*
Nixon
Figure 10.4: Le reseau semantique pour le probleme de Nixon

Conclusions 269
f:= un homme
1
Z ZZ
Z~
2
g
x:= un republicain
y
Z ZZ
N 1 g Z~
y'
N 1 g
y''
x':= un quaker
Q QQQQs
y'''
g
P PPPPPPPPPPPPP
3
Pq
4
)
Nixon
y:= un republicain pacifiste
y':= un republicain non pacifiste
y'':= un quaker non pacifiste
y''':= un quaker pacifiste
Figure 10.5: Le probleme de Nixon en LDO

270 Les hierarchies d'heritage et la LDO
r
r
r
r
6
6
6
v = (voler)
o=(^etre oiseau)
p=(^etre phasianide)
a=(^etre autruche)
Figure 10.6: Le probleme de l'autruche
r
o
(un oiseau qui vole)
(une autruche
qui ne vole pas)
v (un volant)
A AAAAU
ra
r
r
r
r
o (un oiseau qui ne vole pas)
? p (un phasianide)
? a (une autruche)
;@ ;
@@R
a (une autruche qui vole)
r
r
Figure 10.7: Le probleme de l'autruche en LDO
p(^etre paciste)
@I
@
@
;@
r
@
r
; ;;;;;; ^etre quaker
@
@ ^etre republicain
@I q
r
@
@
@
@
r
@
@; ;;;;;; ^etre nixon
n
Figure 10.8: Le diamant de Nixon

Conclusions 271
un quaker
paciste
;
;
r
p un paciste
; A@ ; AAAAU @@@@@R
r r r r
;;
J q q r r
un un
quaker republicain
non-paciste paciste
JJJJJJJ^ n
r
un republicain
non-paciste
Figure 10.9: Le diamant de Nixon en LDO
p
r
;
r@@
t
r r
; ;;;;;; Q
@@I QQQs
r 3 @
@u
@@I
@
@
@
@
Q QQQs
@
r
3 @
-@
;
@
@
@
s
@
@
@
r ; ;;;;;;;
a
q
Figure 10.10: Exemple de reseau semantique

272 Les hierarchies d'heritage et la LDO
r
r
@
@@@@@@@@@@@@R
;
'
r
&
$
p
@
@@@@@@@@@@@@R
%
r
r
r
t
s
;
a
r
u
'
r
&
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
q
$
%
Figure 10.11: Le reseau semantique de la g 10.10 en LDO

Chapitre 11
Conclusions
L'utilisation des modelisations-objet pour representer les connaissances a connu
un important developpement en informatique. Cette evolution provoque un
regain d'inter^et pour la notion d'objet, dans le domaine de la logique.
Cette etude represente la formalisation de la Logique de la Determination
d'Objets (LDO) a partir des concepts de J.-P. Descles.
L'idee d'etudier les particularites mises en evidence par la logique et par la
linguistique dans le but de les integrer dans une theorie unitaire appartient a J.-P.
Descles qui a initie cette etude. Cette \unication" conduit a une extension de
la quantication traditionnelle.
Nous avons tout d'abord realise uneetude critique des notions de quantication
et de categorisation chez divers auteurs et dans diverses theories. Cette
synthese nous a permis de faire une analyse de la quantication et de la categorisation
et de relever les points forts et les points faibles de diverses theories, dans
le but de les completer et de les integrer dans une theorie plus generale.
En partant de l'idee que la quantication comme processus cognitif repose
sur un systeme de categorisation, nous avons \couple" les deux notions. Nous
avons etudie la categorisation du point de vue de l'aspect \d'arriere plan" de la
quantication.
Comme ces deux notions apparaissent egalement dans la logique et dans la
linguistique, nous sommes partis d'une analyse de chacune dans les deux domaines
: comment la quantication a ete construite dans la logique et quelle est
sa categorisation sous-jacente. C'est en eet la logique qui, la premiere, parle
explicitement de la quantication. La maniere dont la linguistique voit la quantication
est distincte de celle de la logique.
Cette etude realise d'abord une analyse de la quantication et de la categorisation
sous-jacente par rapport aux problemes souleves par la logique et par la
linguistique.
La possibilite de la construction d'un systeme formel qui capte les \traits de

274 Conclusions
nature logique" et de \nature linguistique" est une preuve de la pertinence de cette
demarche. Elle a abouti et s'est concretisee dans le developpementdelaLDOet
de son systeme de quanticateurs. La LDO est un systeme de categorisation qui
tient compte de la determination et de la typicalite, son systeme de quanticateurs
represente une theorie de la quantication. La LDO repond a certains problemes
linguistiques et logiques et donne plus de lumiere dans des zones assez obscures
jusqu'a maintenant de la cognition :
{ La LDO donne a lavariable le statut d'objet plus ou moins determine, avec,
comme initiateur l'objet totalement indetermine typique.
{ La LDO decrit le processus de qualication par une cha^ne de determinations
dont la primitive est l'operateur de determination .
{ La dimension cognitive de la typicalite est representee par l'operateur de
typication ().
{ La quantication est representee par un systeme d'operateurs de quantication
plus riche que le systeme classique (la theorie star). Les quanticateurs
s'appliquent aux concepts et non pas a la proposition entiere comme dans la
logique classique. C'est l'equivalent formel de la construction du syntagme
nominal dans la grammaire.
{ Le pronom est un operateur.
{ Les connecteurs de la logique classique sont des operateurs, mais une semantique
du langage doit prendre en compte d'autres operateurs comme l'operateur
de typication et l'operateur de determination ( et ).
{ Le paradigme sujet-predicat appartenant a la grammaire est utilise ounon
selon le cas et le niveau d'analyse.
Cette etude a deux parties :
{ L'analyse de la categorisation et de la quantication
{ La formalisation de la LDO.
La demarche suivie dans la formalisation est de veiller constamment a l'adequation
du modele par rapport au domaine qui est dans ce cas le langage et la
cognition. Nous avons appliquelamethode conformementa laquelle les constructions
formelles developpees ne sont pas developpees \pour elles-m^emes", sans que
l'on se preoccupe de leur domaine d'application eventuelle. Cette modelisation

275
part des problemes linguistiques, comme la structure du syntagme nominal quantie,
et cognitifs, comme la prise en compte de la typicalite, et les formalise.
La LDO est une logique qui rend mieux compte des notions d'objet et de
concept. Elle est a la fois une ontologie formelle et un systeme logique. Elle etend
la notion fregeenne d'objet a l'objet \plus ou moins determine". La construction
de ces objets se fait a partir d'un \representant objectal" du concept { l'objet
typique totalement indetermine { par l'operation de determination. Ces notions
sont traduites dans le formalisme par des operateurs primitifs. Une autre dimension
de la connaissance prise en compte par la LDO est la typicalite : les objets
de la LDO sont typiques ou atypiques. Les inferences se font sur ces objets. C'est
ici l'aspect d'ontologie formelle de la LDO.
La LDO contient un systeme compose de quatre quanticateurs de base. Par
rapport a la quantication classique construite avec deux quanticateurs, universel
et existentiel, la LDO propose un quanticateur universel general et un
quanticateur universel typique et un quanticateur existentiel general et un
quanticateur existentiel typique. La portee de deux de ces quanticateurs est le
syntagme nominal.
La LDO represente par ses regles d'inference un systeme d'analyse de la transmission
des proprietes d'heritage dans un reseau semantique. Le parallele entre la
structure de concepts et la structure d'objets permet la construction d'algorithmes
d'heritage plus facilement qu'avec des outils existants dans la representation des
connaissances de l'I.A.
La LDO ne s'eloigne pas de la logique classique. Elle n'est pas une logique de
l'etrangete et du paradoxal. Elle explore au niveau des fondements conceptuels
de la logique sans pour autant rejeter la formalisation. Elle part du point de
vue formel d'une \prelogique" { un systeme applicatif. Elle prend en compte le
rapport syntaxe{semantique, ce que la deduction naturelle ne fait pas. La LDO
est une logique applicative typee.
Ses caracteristiques sont :
{ Elle est un systeme de categorisation et notamment le systeme de categorisation
sous-jacent a la quantication presentee dans cette etude.
{ Elle est une logique non-classique dediee a la construction des objets.
{ Elle est un systeme applicatif dans le sens de Curry.
Les contributions originales de ce travail sont :
{ Nous avons fait une analyse critique des contributions principales a la
theorie de la quantication dans les chapitres 1 a 5.
{ Nous avons formalise la LDO comme systeme logique dans le chapitre 6.

276 Conclusions
{ Le systeme formel (les operateurs primitifs).
{ Les regles de deduction.
{ Les axiomes des operateurs.
{ Dans le chapitre 6 nous avons fait une discussion critique sur le choix des
axiomes et sur leur apport informationnel.
{ Une analyse de la notion de \propriete" d'un objet par rapport a deux
notions sous-jacentes : \^etre un..." (^etre engendre a partir de ...) et \avoir
la popriete de ..." est realisee dans le chapitre 6.
{ La comparaison entre la LDO et les reseaux semantiques, en ce qui concerne
la typicalite, est faite dans le chapitre 10.
{ Quelques tentatives, plus techniques, sur la structure concept-objet sont
presentees dans le chapitre 9 : l'etude du rapport entre les notions de ltre,
espace topologique, espace locologique et Etendue(f) l'etude de la notion
d'ideal pour modeliser la classe Int f.
{ Une semantique du type Kripke pour la LDO est construite dans le chapitre
9.
{ Les regles d'introduction et d'elimination des operateurs de quantication
typique et leurs proprietes formelles sont donnes dans le chapitre 7.
{ D'autres operateurs de quantication (les operateurs fort
2
et faible
2
) et leur
signication cognitive sont presentes dans le chapitre 7.
{ Nous proposons une denition pour la quantication qui delimite les operateurs
de quantication des autres operateurs comme ceux de \denombrement
ou de mesure" dans le chapitre 7.
{ Nous presentons des exemples sur l'encodage en francais des operateurs de
typcation () etdedetermination () et sur la construction des objets
determines dans le chapitre 6.
{ Nous presentons des exemples sur l'encodage en francais des operateurs de
quantication dans le chapitre 7.
Nous croyons que le but de cette etude, tel qu'il a ete enonce dans l'introduction,
a ete accompli. Mais beaucoup de problemes restent du domaine des
recherches futures. Nous allons en citer quelques-uns, en les regroupant par
categorie.

Il y a d'une part les problemes de nature theorique de conceptualisation et de
formalisation.
{ Dans le domaine de la conceptualisation :
277
{ Developper des variantes de la LDO en introduisant d'autres formulation
de l'axiome qui relie l'appartenance de l'objet typique a l'etendue
par des conditions autres que l'existence des objets typiques totalement
determines (l'axiome A6).
{ Denir un systeme pour des objets d'un type dierent du type J \objet
individuel".
{ Etudier d'autres operateurs de quantication { en prenant en compte
des dimensions cognitives autres que la typicalite et les integrer dans
le systeme de quantication.
{ Etudier les operateurs de \denombrement et mesure".
{ Dans le domaine de la formalisation :
{ Denir d'autres variantes formelles de la LDO en variant les hypotheses
sur la compatibilite des concepts et en variant les regles d'heritage.
D'autre part, il y a les problemes des applications pour lesquels cette theorie
aete concue : les applications de l'intelligence articielle et les applications
linguistiques.
{ Dans le domaine des applications de la LDO a l'I.A.:
{ Approfondir les possibilites d'application de la LDO dans l'etude des
reseaux semantiques et les problemes souleves par ces derniers.
{ Donner des algorithmes d'heritage bases sur la LDO.
{ Implementer la construction des objets par la LDO, c'est-a-dire construire
un outil informatique qui realise automatiquement cette construction.
{ Dans le domaine des applications a la linguistique :
{ Etudier l'encodage de la typicalite dans les langues naturelles.
{ Etudier l'encodage de la quantication dans les langues naturelles.
{ Etudier l'encodage des operateurs de \denombrement et mesure" dans
les langues naturelles.

278 Conclusions
Notre opinion est que la LDO et son systeme de quantication est un outil
puissant en tant que logique non-classique et en tant qu'instrument d'analyse du
langage.
Nous considerons que l'importance de la LDO est double:
comme logique elle represente un modele theorique pour la modelisation {
objet en intelligence articielle, concurrent aux autres logiques non-classiques.
comme systemedecategorisation elle permet de denir une nouvelle theorie
de la quantication beaucoup plus adequate pour les langues naturelles que la
quantication du calcul des predicats.
Le rapport de la LDO avec d'autres logiques non-classiques du point de vue
formel merite d'^etre approfondi.
Cette etude represente une premiere etape en ce qui concerne la formalisation
vers une implementation informatique. La deuxieme etape est d'ecrire des
algorithmes bases sur la LDO pour l'analyse des reseaux semantiques et de les
englober dans un outil informatique qui realise une telle analyse. Le travail de
cette these est continue dans ce sens par une autre these en cours de redaction (J.
Cardot) elaboree au sein de l'equipe Logique, Langage, Informatique et Cognition
(LALIC) de l'Institut de Sciences Humaines Appliquees (ISHA) de l'Universite
de Paris-Sorbonne.

Annexe A
Demonstrations du chapitre 2
I. Le paradoxe de l'extension Ext f d'un concept dans la theorie fregeenne :
Le concept () est deni par :
() =^etre l'extension d'un concept sous lequel cette extension ne tombe pas
La loi V est interpretee par Frege dans le sens suivant : il existe une certaine
fonction du second niveau qui attribue a tout concept du premier niveau une
extension et cette fonction attribue la m^eme extension a deux concepts dierents
si et seulement si exactement les m^emes objets tombent sous eux :
{ 1. du second niveau telle que (f) = Ext(f)
{ 2. (f) =(g) ssi Ext(f) = Ext(g)
Nous avons, alors deux conditions sur cette fonction du deuxieme niveau :
{ (Va) Si les concepts () et () du premier niveau sont tels que exactement
les m^emes objets tombent sous eux, la fonction du deuxieme niveau leurs
attribue la m^eme extension.
{ (Vb) Si les concepts () et () du premier niveau ne sont pas tels que
exactement les m^emes objets tombent sous eux, la fonction du deuxieme
niveau leur attribue des extensions dierentes.
Avec les remarques ci-dessus nous pouvons prouver :
Si (Ext()) = > , alors (Ext()) = ?
et
Si (Ext()) = ? , alors (Ext()) = >
La fonction du second niveau attribue au concept () une extension
Ext(). On se demande si cette extension tombe ou ne tombe pas sous (elle
etant un objet) :

280 Demonstrations du chapitre 2
Supposons que Ext () tombe sous :
Alors elle est l'extension d'un concept sous lequel elle ne tombe pas. Mais,
par (Vb), elle ne peut tomber sous aucun concept auquel elle est associee comme
extension, et ainsi, elle ne tombe pas sous () et (Ext()) = ? _
Supposons que Ext ()ne tombe pas sous :
Alors elle n'est pas l'extension attribuee a un concept sous lequel elle ne tombe
pas. Mais, dans ce cas, par (Vb, comme elle doit tomber sous tout concept auquel
elle est associee, donc elle tombe sous et (Ext()) = >.
II. Le paradoxe du Russell :
Soit U l'ensemble
U = fx=x 62 xg
ou x est un ensemble. Alors U est un ensemble paradoxal :
Demonstration
Si U2U alors U est un x, donc U62U.
Si U62U, alors U est un x, donc U2U.
d'ou le paradoxe.
III. L'expression dans la logique combinatoire de l'assertion d'un contenu propositionnel
et de sa negation d'apres Frege (l'operateur de jugement de Frege):
Soient :
A une proposition
C l'operateur qui construit le
contenu propositionnel de A
J
l'operateur d'assertion (il arme
J(C(A))
un contenu propositionnel)
on arme (on fait le jugement du)
le contenu propositionnel de A
Nous avons :
1. J(C A )
2. B JCA 1.,i- B
Pourlanegation (notee par \non") :
1. J(non (C A ))
2. J(B non C A) 1., i- B
3. B 3 J B nonCA 2., i- B 3
4. CB 3 J B non C A 3., i- C
5. C 2 CB 3 B non J C A 4., i- C 2
6. X JCA on note X = C 2 CB 3 B

Annexe B
Demonstrations du chapitre 3
(2) Les lois de l'associativite
(i) + +( + ) =(+ ) +
(ii)-- - - (- - --) = - -(- -- -) +--
(ii)
Le membre de gauche :
(8x)((:(x)) :(:((8x):((x)) :(:((x))))))
(8x)(:(x) ((8x)(:(x) (x))))
(8x)((x) _ (x) _ (x))
Le membre de droite:
:((8x)(:(x) :(:((x))))) :(:(x))
:((8x)(:(x) (x))) (x)
(8x)((x) _ (x) _ (x))
double negation
p q p _:q
p q p _:q
double negation
p q p _:q
p q p _:q

282 Demonstrations du chapitre 3

Annexe C
Demonstrations des theoremes
du chapitre 7
Theoreme 7.1 1. Etendue f Etendue g =) Ext f Ext g
2. Ess f Ess g () Etendue g Etendue f
3. Ess f Ess g =) Ext g Ext f
4. Ext f T Ext g 6= ? =) Etendue f T Etendue g 6= ?
Demonstration
On suppose que Etendue f = Etendue f
1. Si x 2 Etendue f implique x 2 Etendue g, alors l'implication reste valide
pour un objet totalement determine x2 O det , donc Ext f ^Ext g.
Le contre-exemple pour l'implication inverse: c'est le cas des concepts ayant
deux intensions dierentes, mais la m^eme extension. Par exemple une conique
est une courbe denie par:
ou par
ax 2 + by 2 +2cxy +2dx +2ey +2f =0
\l'intersection d'un plan avec un c^one."(voir gure C.1)
Ext f Ext g et pourtant Etendue (f) Etendue (g). Mais on peut
remarquer qu'il existe x 2 Etendue (f) \ Etendue (g), tel que Ext x c =Ext
f.
2.Si Essf = f f 1 ,f 2 ,....f n gEssg = f f 1 ,f 2 ,....f n , f, g 1 ,g 2 ,....g m ,g g, alors il
existe tel que g = ((f)), donc Etendue g Etenduef.

284 Demonstrations des theoremes du chapitre 7
q
f
@ ;
@@@@@@@@@@@@@@ ;
;
;
;
;
x ;
;
Etendue f;
Etendue g
;
;
;
;
q q
;
Extf
q
;
q
g
Figure C.1: Contre-exemple du theoreme 7.1
Si on suppose Etendue g Etenduef et Ess f 6 Ess g, il existe f i 2 Ess f
qui n'est pas en Ess g.
Par ailleurs, tout objet x de Etendue f est un point xe pour f i :
((f i ) x) =x (1)
Mais il existe y en Etendue g tel que:
Comme y 2 Etendue f on a par (1):
((f i ) y) 6= y (2)
donc, contradiction entre (2) et (3).
((f i ) y) =y (3)
3. L'armation 3. est une consequence directe de 1. et 2.
4. L'implication" =) " est triviale. L'autre implication n'existe pas conformement
au contre-exemple de la gure C.2 :
Ext f \ Ext g = ? et
Etendue f \ Etendue g 6= ?

285
f
g
r
B
B
B BBBBBBBBBBBBBBBB
B
B
B
Q B
QQQQQQQQ B Etendue g
B
B
B
B
B
r B
Etendue f B
B
B
B
Extf
Extg
Figure C.2: Contre-exemple dutheoreme 7.1

286 Demonstrations des theoremes du chapitre 7
Les operateurs de quantication de plusieurs arguments.
L'expression:
1: (8 x 1 )[(f x 1 ) [(8 x 2 )[(g x 2 ) (P x 2 x 1 )]]]
peut ^etre formalisee par:
2 f( 2 g P')
# i-B
B( 2 f)( 2 g) P'
# i-
B 2 fgP'
ou P' s'obtient par currication de P:
((P x 2 ) x 1 ) (P' x 1 )
En general:
(P x n x n;1 :::x 1 ) (((P x n ) x n;1 ) ::: x 1 ) (P n x 1 )
Par ailleurs l'expression 1. est: 3 f gP'. Donc: 3 f gP X 2 fgP'
avec X = B
L'expression:
est
2: (8 x 1 )[(f x 1 ) [(9 x 2 )[(g x 2 ) (P x 2 x 1 )]]]
Elle peut ^etre formalisee aussi par:
() 3 fgP
2 f( 2 g P')
# i-B

287
B( 2 f)( 2 g) P'
# i-B
B(B( 2 f)) 2 gP'
# i-B
BBB( 2 f)) 2 gP'
# i-B
B(BBB) 2 f 2 gP'
# i-C 2
d'ou
X=C 2
B (B BB)
C 2 B(BBB) 2 f 2 gP'
Pour Q n la demonstration se fait par recurrence:
On suppose que toute expression applicative Q 1 f 1 (Q 2 f 2 (.....(Q n f n P n ))....)
peut ^etre transformee en introduisant les combinateurs en X Q f 2 ...f n P n .
Alors,
Q f 1 (X Q f 2 ::: f n P n )
# i-B n+1
B n+1 (Q f 1 )XQf 2
::: f n P n
# i-B
BB n+1 Qf 1 XQ f 2
::: f n P n

288 Demonstrations des theoremes du chapitre 7
# i-C 1 C 3
C 3 C 1 BB n+1 f 1 XQQf 2 ::: f n P n
# i-W 5
W 5 C 3 C 1 BB n+1 f 1 XQf 2
::: f n P n
# i-C 4 C 6
C 6 C 4 W 5 C 3 C 1 BB n+1 XQf 1 f 2
::: f n P n
d'ou
Y=C 6 C 4 W 5 C 3 C 1 BB n+1 X

LES DEMONSTRATIONS ET LES CALCULS POUR LA
SEMANTIQUE DE ∏ * ET ∑ * , ET DE π * ET ε *
(chapitre 7)
289
Toutes les démonstrations utilisent les règles de la logique combinatoire ( L comb ) et de la
logique classique ( L c ).
I. Théorème 1 ( L comb )
⇒β exp
(N 0
(f x))
≡
⇐β réd
(((B N 0
) f) x) d’ou N 1 = déf B N 0
La négation N 0
est notée simplement N.
Le prédicat TYPIQUE (f) ( x) est noté ((Typ 2
f) x) et (f x) ∧ (TYPIQUE (f) (x) = ⊥ par
((Atyp 2
f) x)
II. Les relations entre ∏ 2 , ∏ * et ∑ 2 , ∑ *
∏
L'implication sémantique (L c ) ∏ 2 f g ⇒ g(∏ * f)
1. ∏ 2 f g hypothèse
1.1 ((Typ2 f) x), (f x) hypothèse
1.2 ∏ 2 f g 1, réitération
1.3 (g x) 1.1, 1.2 ∏ 2 - e
1.4 g(∏ * f) 1.1 - 1.3, ∏ * -i
2. g(∏ * f) 1, 1.2 - 1.4 ⊃ - e
Les deux implications dans L comb ∏ 2 f g ⇒β réd g(∏ * f)
g(∏ * f) ⇒β exp ∏ 2 f g

290 Demonstrations des theoremes du chapitre 7
1. ∏ 2 f g
2. (B C * ) ∏ * f g 1, ∏ 2 définition
3. C * (( ∏ * f) g) 2, B - e
4. (g (∏ * f)) 3, C * - e
∑
L'implication sémantique (L c ) ∑ 2 f g ⇒ g(∑ * f)
1. ∑ 2 f g hypothèse
1.1 ∑ 2 f g 1, réitération
1.2 ((typ2 f) a),(f a)∧ (g a) 1.1, ∑ 2 - e
1.3 (f a) ∧ (g a) 1.2, ∧- e
1.4 g(∑ * f) 1.2 - 1.3, ∑ * -i
2. g(∑ * f) 1, 1.1 - 1.4 ⊃ - e
Les deux implications dans L comb ∑ 2 f g ⇒β réd g(∑ * f)
g(∑ * f) ⇒β exp ∑ 2 f g
1. ∑ 2 f g
2. (B C * ) ∑ * f g 1, ∑ 2 définition
3. C * (( ∑ * f) g) 2, B - e
4. (g (∑ * f)) 3, C * - e
III La négation des opérateurs ∏ 1 , ∑ 1 , ∏ 1
* et ∑1
*
.
La démonstration de (23):
(N( ∏ f))
1
*
∑ (N 1
f) N∏ 1 - e (23)
1
1. (N (∏ 1 f)) hypothèse
1.1 N (∑ 1
* (N1 f)) hypothèse
1.1.1 a, ((N 1 f) a) hypothèse
1.1.2 N (∑ 1 * (N 1 f)) 1.1, réitération

291
1.1.3 N ((N 1 f) a) 1.1.2, ∑ * 1 - e
1.1.4 (f a) 1.1.3, th L c
1.2. x, (f x) 1.1.1 - 1.1.4, N - i
1.3. ∏ 1 f 1.2, ∏ 1 - i
1.4. (N (∏ 1 f)) 1, réitération
2. *
(N (N ∑ 1 (N1 f))) 1.1 - 1.4, N - i
3. *
∑ 1 (N1 f) 2, N - e / N
La démonstration de (22)
*
∑ (N f)
1
(N( ∏ f)) N∏ 1 - i (22)
1
1. ∑ 1
* (N1 f) hypothèse
1.1. ∏ 1 f hypothèse
1.2. x, (f x) 1.1, ∏ 1 - e
1.3 ∑ 1
*
(N 1 f) 1, réitération
1.4 a, ((N 1 f) a) 1.3, ∑ * 1 - e
1.5 a, (f a) 1.2, ∀ -e
2. (N (∏ 1 f)) 1.1- 1.4,1.5, N - i
La démonstration de (25):
*
(N( ∏ f))
1
∑ * 1
((N 1
f)∨ (Atyp 2
f) N∏ * 1 - e (25)
1. (N (∏ 1
*
f)) hypothèse
2. (N (Typ 2 f) x) *
1, ∏ 1 - e
3. a, (N (Typ 2 f) a) 2, N ∀ - e
4. *
∑ 1 (N 1 (Typ 2 f)) 3, ∑ * 1 - i
5. *
∑ 1 ((N1 f) ∨ (Atyp 2 f)) 4, th.2
La démonstration de (24):
∑ 1
(N 1
f)
*
(N ( ∏ f)) N∏ * 1 - i (24)
1

292 Demonstrations des theoremes du chapitre 7
1. ∑ 1 (N 1 f) hypothèse
1.1. ∏ * 1 f hypothèse
1.2. x, ((Typ 2 f) x), (f x) *
1.1, ∏ 1 - e
1.3 ∑ 1 (N 1 f) 1, réitération
1.4 ((Typ 2 (N 1 f)) a),((N 1 f) a) 1.3, ∑ 1 - e
1.5 ((Typ 2 f) a) 1.2, ∀ - e
2. (N (∏ * 1 f)) 1.1- 1.4,1.5, N - i
(N ( ∑
1
f))
*
∏ ((N 1
f)∨ (Atyp 2
f) N∑ 1 - e (27)
1
La démonstration de (27):
1. (N (Σ 1 f)) hypothèse
2. (N (Typ 2 f) a) 1, Σ 1 - e
3. a, (N (Typ 2 f) x) 2, N ∃ - e
4. Π 1 (N 1 (Typ 2 f)) 3, Π 1 - i
5. Π 1 ((N 1 f) ∨ (Atyp 2 f)) 4, th.2
La démonstration de (26):
*
∏ (N 1
f)
1
(N( ∑ f)) N∑ 1 - i (26)
1
1. ∏ 1 * (N 1 f) hypothèse
1.1. ∑ 1 f hypothèse
1.2. ((Typ 2 f) a), (f a) 1.1, ∑ 1 - e
1.3 ∏ 1 * (N 1 f) 1, réitération
1.4 ((Typ 2 (N 1 f)) x),((N 1 f) x) 1.3, ∏ * 1 - e
1.5 ((Typ 2 f) a) 1.2, ∀ - e
2. (N (∑ 1 f)) 1.1- 1.4, 1.5, N - i

*
(N( ∑ f)
1
*
∏ ((N 1
f)∨ (Atyp 2
f) N∑ * 1 - e (29)
1
293
La démonstration de (29):
1. (N (∑ 1
* f)) hypothèse
1.1 N N((∑ 1 * f) (N 1 f)) hypothèse
1.1.1 x, ((N 1 f) x) hypothèse
1.1.2 N (∏ 1 (N 1 f)) 1.1, réitération
1.1.3 x, N ((N 1 f) x) 1.1.2, Π 1 - e
1.1.4 x, (f x) 1.1.3, th L c
1.2. a, (f a) 1.1.1 - 1.1.4, N - i
1.3. *
∑ 1 f 1.2,
* Σ1 - i
1.4. (N (∑ * 1 f)) 1, réitération
2. (N (N ∏ 1 (N 1 f))) 1.1 - 1.4, N - i
3. ∏ 1 (N 1 f) 2, N - e / N
∏
*
1
(N 1
f)
*
(N( ∑ f)) N∑ * 1 - i (28)
1
La démonstration de (28):
1. Π 1 (N 1 f) hypothèse
1.1.
*
Σ 1 f hypothèse
1.2. a, (f a) 1.1, Π 1 - e
1.3 Π 1 (N 1 f) 1, réitération
1.4 x, ((N 1 f) x) 1.3, Π 1 - e
1.5 a, ((N 1 f) a) 1.2, ∀ - e
2. (N (Σ * 1 f)) 1.1- 1.4,1.5, N - i
*
N(g( ∏ f))
f(N 1
g)
∑
2
N ∏ * - e (31)
La démonstration de (31):
1 N (g (∏ * f)) hypothèse

294 Demonstrations des theoremes du chapitre 7
1.1 N(∑ 2 f(N 1 g)) hypothèse
1.1.1 (Typ 2 f) x), hypothèse
(f x)∧(N(g x))
1.1.2 (∑ 2 f(N 1 g)) 1.1.1, ∑ 2 -i
1.1.3 N(∑ 2 f (N 1 g)) 1.1, réit.
1.2 (∏ 1 (Typ 2 f)∧
(N((f x)∧(N(g x)))))
1.1.1-1.1.3,
N - i
∨
∏ 1 (N (Typ 2 f))
1.3 ∏ 1 (Typ 2 f),
∏ 1 (N(Typ 2 f))
N((fx)∧(N(g x))
1.4 ∏ 1 (Typ 2 f), 1.3, la loi de g (∏ * f)) 1.3, prop. L c
(N(f x))∨ (g x) De Morgan
1.5 ∏ 1 (Typ 2 f), 1.4, th. L c N (g (∏ * f)) 1, réit.
(f x) (g x)
1.6 g (∏ * f)) 1.5, ∏ * - i
1.7 N (g (∏ * f)) 1.réitération
2. (N(N(∑ 2 f(N 1 g)) 1.1-1.7, N - i
3. ∑ 2 f (N 1 g) 2, N - e / N
Le passage de 1.3 à 1.4 utilise: ∏ 1 (N(Typ 2 f)) ⇒ g (∏ * f)) de L c .
N(∑ 2
fg)
*
(N 1
g)( ∏ f)
N∑ 2 - e (33)
La démonstration de (33):
1. N (∑ 2 f g) hypothèse
1.1. N ((N 1 g)(∏ * f)) hypothèse
1.2. ∑ 2 f (N 1 (N 1 g)) 1.1, N ∏* - e
1.3 ∑ 2 f g 1.2, th Lc et Lcomb
1.4 N (∑ 2 f g) 1, réitération
2. N (N ((N 1 g)(∏ * f))) 1.1,1.3,1.4, N- i
3. ((N 1 g)(∏ * f)) 2, N- e / N

∑ 2
f(N 1
g)
N(g( ∏
*
f))
N ∏ * - i (30)
295
La démonstration de (30):
1. ∑ 2 f (N 1 g) hypothèse
1.1 hypothèse
1.2 ∑ 2 f (N 1 g) 1, réitération
1.3 (Typ 2 f) a),(f a) 1.2, ∑ 2 - e
∧ (N (g a))
1.4 (Typ 2 f) a), (N(g a)) 1.3, ∧ - e
1.5 (Typ 2 f) a), (f a) 1.3, ∧ - e
1.6 (g a) 1.1-1.5, ∏ * - e
2. N (g (∏ * f)) 1.1, 1.4-1.6, N- i
Le théorème 1 est utilisé dans le passage de 1.2 à 1.3.
*
(N 1
g)( ∏ f)
N(∑ 2
fg)
N∑ 2 - i (32)
La démonstration de (32):
1. ((N 1 g) (∏ * f)) hypothèse
1.1 ∑ 2 f g hypothèse
1.2 (Typ 2 f) a),(f a)∧ (g a) 1.1, ∑ 2 -e
1.3 ((N g) (∏ * f)) 1, réitération
1.4 (Typ 2 f) a), (N (g a)) 1.3, ∏ * - e
1.5 (Typ 2 f) a), (g a) 1.2, ∧ - e
1.6 (N (g a)) 1.4, ∧ - e
1.7 (g a) 1.5, ∧ - e
2. N (∑ 2 f g) 1.1-1.7, N- i
N( ∏ f g)
2
(N 1
g)(∑ * f)
N ∏ - e (35)
La démonstration de (35):
1 N (∏ 2 f g) hypothèse

296 Demonstrations des theoremes du chapitre 7
1.1 N(N 1 g)(∑ * f) hypothèse
1.1.1 a, (f a)∧ (N(g a)) hypothèse
1.1.2 (N g) (∑ * f) 1.1.1, ∑ * -i
1.1.3 N (N 1 g)(∑ * f) 1.1, réitération
1.2 N ((f x)
1.1.1-1.1.3, N - i
∧ (N(g x)))
1.3 (N (f x))∨ (g x) 1.2, la loi de De
Morgan
1.4 (f x) (g x) 1.3, th Lc
1.5 ∏ 2 f g 1.4, ∏ 2 - i
1.6 N (∏ 2 f g) 1, réitération
2. NN(N 1 g)(∑ * f) 1.1-1.5,1.6, N - i
3. (N 1 g)(∑ * f) 2., N - e / N
Remarque: Les démonstration 31 et 35 diffèrent par le choix de l’objet x: typique ou
atypique.
N(g(∑ * f))
∏ f (N 1
g) N∑ * - e (37)
2
La démonstration de (37):
1. N (g (∑ * f) hypothèse
1.1 N ∏ 2 f (N 1 g) hypothèse
1.2 (N N g)(∑ * f) 1.1, N ∏ 2 - e
1.3 (g (∑ * f)) 1.2, N - e / N
1.4 N (g (∑ * f) 1,réitération
2. N N ∏ 2 f (N 1 g) 1.1-1.4, N - i
3. ∏ 2 f (N 1 g) 2, N - e / N
(N 1
g)(∑ * f))
N( ∏ f g)
2
N ∏ - i (34)
La démonstration de (34):
1. (N 1 g) (∑ * f) hypothèse
1.1 ∏ 2 f g hypothèse

297
1.1.1 (N 1 g) (∑ * f) 1,réitération
1.1.2 x,
1.1.1, ∑ * - e
(f x)∧ (N (g x))
1.1.3 (N(g x)) 1.1.2, ∧ - e
1.1.4 (f x) 1.1.2, ∧ - e
1.1.5 ∏ 2 f g 1.1, réitération
1.1.6 (g x) 1.1.4,1.1.5, ∏ 2 - e
1.2 N((N 1 g)(∑ * f)) 1.1.1-1.1.3,1.1.6,
N- i
1.3 (N 1 g)(∑ * f) 1,réitération
2 N(∏ 2 f g) 1.1-1.2,1.3, N- i
∏ 2
f(N 1
g)
N(g(∑ * f))
N∑ * - i (36)
La démonstration de (36):
1. ∏ 2 f (N 1 g) hypothèse
1.1 g (∑ * f) hypothèse
1.2 a, (f a) ∧ (g a) 1.1,∑ * - e
1.3 ∏ 2 f (N 1 g) 1,réitération
1.4 (f a) 1.2, ∧ - e
1.5 (N (g a)) 1.3,1.4, ∏ 2 - e
1.6 (g a) 1.2, ∧ - e
2 N( g (∑ * f)) 1.1- 1.5,1.6, N - i
La démonstration des théorèmes (38) et (39) :
La démonstration de (38):
Pour cette démonstration on procédera en deux étapes:
et
(N (g (π * f))) ((N 1 (Typ 2 g)) (∑ * f))) (a)
((N 1 (Typ 2 g)) (∑ * f))) (((Atyp 2 g)(∑ * f)) ∨ ((N 1 g)(∑ * f))) (b)
en utilisant le théorème :
Théorème 2.(L comb )
((N 1 (Typ 2 g)) x) ≡ ((Atyp 2 g) x) ∨ ((N 1 g) x) ≡ Φ (Φ ∨) Atyp 2 N 1 g x

298 Demonstrations des theoremes du chapitre 7
1. (N (g (π * f))) hypothèse
1.1 (fx) ((Typ 2 g) x) hypothèse
1.2 (g (π * f)) 1.1, π * - i
1.3 (N (g (π * f))) 1.réitération
2. (f a) ∧ (N ((Typ 2 g) a)) 1.1,1.2,1.3, N - i
3. (f a) ∧ ((N 1 (Typ 2 g)) a)) 2, th 1
4. ((N 1 (Typ 2 g)) (∑ * f))) 3, ∑ * - i
5. (f a) ∧ ((N 1 (Typ 2 g)) a)) 4, ∑ * - e
6. (f a) ∧ (((Atyp 2 g) a) ∨ ((N 1 g) a)) 5, th. 2
7. ((f a) ∧ ((Atyp 2 g) a))∨ ((f a)∧ ((N 1 g) a)) 6, distributivité
8. (((Atyp 2 g)(∑ * f))∨ ((N 1 g)(∑ * f))) 7, ∑ * - i
La démonstration de (39) utilise les théorèmes 3. et 4. :
Théorème 3.(L comb )
((Atyp 2 g) x) ⇒ N((Typ 2 g) x)
Démonstration du théorème 3:
1. ((Atyp 2 g) x) hypothèse
1.1 ((Typ 2 g) x) hypothèse
1.2 x=(δ g 1 )o... o ((δ g n )(τ g)) 1.1, Typ 2 - e
1.3 ((Atyp 2 g) x) 1, réitération
1.4 x=(δ a)o(δ g 1 )o... o ((δ g n )(τ g)) 1.3, Atyp 2 - e
2 N((Typ 2 g) x) 1.1, 1.2, 1.4 N - i
Théorème 4.(L comb )
((N 1 g) x) ⇒ (N ((Typ 2 g) x))
La démonstration de (46):
1. (N (g (ε * f))) hypothèse
1.1 a,(f a) ∧ ((Typ 2 g) a) hypothèse
1.2 (g (ε * f)) 1.1,ε * - i
1.3 (N (g (ε * f))) 1.réitération

299
2. N ((f a) ∧ ((Typ 2 g) a)) 1.1,1.2,1.3, N - i
3. (f x) (N ((Typ 2 g) x)) 2, th L c
4. (f x) ((N 1 (Typ 2 g)) x)) 3,th.1
5. (f x) ((Atyp 2 g) x))∨
((N 1 g) x))
4, th.2
6. ∏ 2 f ((Atyp 2 g) ∨ N 1 g)) 5, ∏ 2 - i

300 Demonstrations des theoremes du chapitre 7

Annexe D
Demonstrations des theoremes
du chapitre 9
Theoreme 9.1 Si (TYPIQUE x, y )=>, alors
(i) Ness
y c Ness x c
et (1)
(ii) Ess y c Ess x c [ Ness x c
Demonstration
Soit y =(x)
(i) Si g 2 Ness y c est une propriete qui fait partie des proprietes non-essentielles
typiques de x c mais qui n'est pas entree dans la cha^ne permetant le passage
de x a y, donc g 2 Ness x c .
(ii) Si g 2 Essy c , alors g est soit une propriete de Ness x c qui a ete utilisee
dans la cha^ne , soit elle est de Essx c et elle est heritee pary c .
Theoreme 9.2 (i) La relation 6 est une relation d'ordre.
(ii) La relation 6 est une relation d'ordre.
(iii) La relation 6 n'est pas reexive, mais elle est transitive.
Demonstration
(i) On prouve que pour tout x, y 2O:
(1) x 6 x
(2) si x 6 y et y 6 x, alors x = y
(3) si x 6 y et y 6 z, alors x 6 z
(1) x =( x)ou est la cha^ne vide.
(2) Si x =(y) et y =( 0 x), alors on ne peut qu'avoir= 0 = et,
donc x = y

302 Demonstrations des theoremes du chapitre 9
(3) Si x =(y) ety =( 0 z) alors z =(( 0 )x)
(ii)
(1) x 6 x parce que x =( x) et on considere que la cha^ne vide est formee
par des determinations typiques.
(2) Si x 6 y et y 6 z, alors x = y Si x =( y) ety =( 0 x), alors
= 0 = , donc x = y
(3) Si x 6 y et y 6 z, alors x 6 z. Si x = ( y) et y = ( 0 z)
et 0 contient que des determinations typiques, alors 0 contiendra que
des determinations typiques. Donc x 6 z.
(iii)
Evidement x 6 x, donc 6 n'est pas reexive.
Pour la transitivite, soit x 6 y et y 6 z. Pour simplication on suppose :
et
y =((g)x) etg 2 Ness x c
z =((h)y) eth 2 Ness y c
On a deux cas:
(a) h 6= N 1 g (b) h = N 1 g
(a) Si g est une instance atypique de x obtenue par l'application de g ,
alors d'autant plus z sera une instance atypique de x en etant obtenu par deux
determinations atypiques g et h. Exemple : un homme unijambiste qui est
borgne.
(b) Si z =((N 1 g)(g)x). L'application de la determination construite avec
la propriete contraire N 1 g n'annule pas l'atypicalite. Exemple : x := un oiseau
y := une autruche z := une autruche qui vole.
Theoreme 9.3 (i) L'ensemble (Etendue(f), 6 ) est un demi-treillis inferieur
avecle plus petit element f.
(ii) L'ensemble (Etendue (f), 6 ) est un demi-treillis inferieur avec leplus
petit element f.
Demonstration
(i) Soient x, y 2 Etendue (f). On a trois cas:
(a) x 6 y, alors inffx yg = x
(b) y 6 x, alors inffx yg = y
(c) x y sont incompatibles. Alors il existe z (au pire f) tel que z 6 x et z 6 y
et pour tout z 0 , tel que z 0 6 x et z 0 6 y on a z 0 6 z (le plus grand minorant), donc
inffx yg = z. Comme f 6 x 8x 2 Etendue(f), f est le plus petit element.
(ii) M^eme demonstration.

303
Theoreme 9.5 (i) F x est un ltre de Etendue (f).
(ii) F x est un ltre de Etendue (f).
(iii) F x est un quasi-ltre de Etendue (f).
Demonstration
(i) Soit x 2 Etendue(f)ety z 2 F x tels que y =(x)z =(x). Si et
0 n'ont pas des determinations communes, alors y ^ z = x. Si \ 0 = 00 ,
alors v =( 00 x) est tel que v = y ^ z.
(ii) M^eme raisonnement.
(iii) Pour l'ensemble F x on peut prouver que :
8y 2 F x et z, tel que y 6 z on a z 2 F x . La premiere condition de la
denition d'un ltre ne se verie pas pour F x .
Theoreme 9.6
Ext(f)=sup Etendue(f)
Ext (f)=sup Etendue (f)
Demonstration
L'inclusion
Ext (f)=sup Etendue (f)
Ext(f) sup Etendue(f)
resulte du fait que si x 2 Ext(f), alors
(i) x > f
et
(ii) Si x 0 2 sup Etendue(f) est comparable avec x , tel que x 0 > x, alors
x 0 = x.
L'inclusion inverse resulte de : Si x 2 sup Etendue(f), alors x > f et
8y y 2 Etendue(f) soit x > y, soit x et y sont incomparable, donc x ne peut
plus ^etre determine, donc x 2 Ext( f).
La demonstration du fait que Fil est une pretopologie:
(1) ? , Etendue ( f) 2 Fil.
(2) Soit F x et F y 2 Fil, alors F x
S
Fy =F z 2 Fil. (L'intersection de deux
ltres est un ltre.)
La demonstration du fait que T ltre est une topologie.
(1) ? =F f
? Etendue(f)=F f
f .
(2) Soit F f
F 1
et F f
F 2
. Alors, F f
F 1
T F
f
F 2
=F f
F 1\F 2.

304 Demonstrations des theoremes du chapitre 9
(3) Si fF f
Fi g i2I ,alors
Si2I F f
Fi
=F f
F ou F est le plus petit ltre tel que F S i2I F i .

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318 Bibliographie

Table des matieres
1 Introduction 3
1.1 Pourquoi categorisation et quantication? : : : : : : : : : : : : : 4
1.2 L'ontologie de l'objet : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5
1.2.1 Un apercu historique sur l'ontologie de l'objet : : : : : : : 6
1.2.2 L'ontologie de l'objet de la LDO : : : : : : : : : : : : : : : 11
1.3 Categorisation et quantication en logique : : : : : : : : : : : : : 14
1.4 Categorisation et quantication en linguistique : : : : : : : : : : : 16
1.5 Categorisation en sciences cognitives : : : : : : : : : : : : : : : : 18
1.6 Categorisation et quantication dans la LDO : : : : : : : : : : : : 19
1.7 Description de ce travail : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 21
2 La categorisation et la quantication dans la tradition logicophilosophique
29
2.1 Introduction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 29
2.2 L'ideographie fregeenne : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 30
2.2.1 La description de l'ideographie fregeenne : : : : : : : : : : 33
2.2.2 La theorie fregeenne de la quantication : : : : : : : : : : 42
2.2.3 Le systeme conceptuel fregeen : : : : : : : : : : : : : : : : 49
2.3 La categorisation et la quantication de Peirce : : : : : : : : : : : 62
2.4 La quantication de Russell : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 65
2.5 La quantication de Peano : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 67
2.6 Conclusions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 68
3 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des
ante-fregeens 71
3.1 Introduction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 71
3.2 Presentation du systeme de F. Sommers : : : : : : : : : : : : : : 73
3.2.1 Y a-t-il des propositions atomiques? : : : : : : : : : : : : 73
3.2.2 La theorie a deux termes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 77
3.2.3 Le statut du pronom : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 80
3.2.4 A-t-on besoin de l'identite? : : : : : : : : : : : : : : : : : 89

320 Table des matieres
3.3 L'algebre de la LFT : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 92
3.3.1 Expressions :categoremes, syncategoremes : : : : : : : : : : 93
3.3.2 La description formelle de la LTP : : : : : : : : : : : : : 99
3.3.3 L'algebre de la LFT (logique formelle des termes) : : : : : 101
3.3.4 Exemples d'analyse en LFT : : : : : : : : : : : : : : : : : 105
3.4 Conclusions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 107
4 Critique de la quantication fregeenne par les arguments des
post-fregeens 111
4.1 Introduction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 111
4.2 Les problemes de categorisation-les traces lingustiques de la typicalite112
4.3 Les problemes souleves par la logique : : : : : : : : : : : : : : : : 114
4.3.1 Le statut de la variable : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 114
4.3.2 Le statut du paradigme sujet-predicat : : : : : : : : : : : 115
4.3.3 Y a-t-il d'autres operateurs que les connecteurs logiques? : 116
4.3.4 Le statut de la quantication : : : : : : : : : : : : : : : : 116
4.4 La logique combinatoire : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 117
4.4.1 Cadre general : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 117
4.4.2 Combinateurs : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 120
4.4.3 L'algebre des combinateurs : : : : : : : : : : : : : : : : : : 125
4.4.4 Solutions des quelques problemes par la logique combinatoire126
4.5 Conclusions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 128
5 La quantication en linguistique 129
5.1 Introduction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 129
5.2 Quanticateurs generalises : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 130
5.2.1 Bref apercu sur la theorie des types de R. Montague : : : : 130
5.2.2 La theorie des quanticateurs generalises : : : : : : : : : : 131
5.2.3 L'interpretation operationnelle de la theorie des quanticateurs
generalises : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 141
5.3 Critique de la theorie de E.Keenan : : : : : : : : : : : : : : : : : 141
5.4 Conclusions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 143
6 La categorisation 145
6.1 Introduction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 145
6.2 Concepts et objets plus ou moins determines : : : : : : : : : : : : 150
6.2.1 Theorie des types : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 152
6.2.2 Classe structuree des concepts : : : : : : : : : : : : : : : : 154
6.2.3 Classe structuree d'objets : : : : : : : : : : : : : : : : : : 155
6.2.4 Application des concepts aux objets : : : : : : : : : : : : : 157
6.3 Operateurs de typicalite etdedetermination associes a un concept 159

Table des matieres 321
6.4 La structure de la classe Intf : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 160
6.5 Compatibilite - incompatibilite : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 163
6.6 Typique - atypique : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 170
6.7 Engendrement a partir de l'objet typique : : : : : : : : : : : : : : 171
6.8 Les axiomes des operateurs et : : : : : : : : : : : : : : : : : : 177
6.9 La theorie des types de la LDO : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 188
7 La quantication 191
7.1 Introduction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 191
7.2 Les operateurs classiques de quantication : : : : : : : : : : : : : 194
7.2.1 Les operateurs de quantication dans la theorie des modeles 196
7.2.2 Presentation de la quantication par la deduction naturelle 201
7.3 Les operateurs de quantication de Curry : : : : : : : : : : : : : : 204
7.4 La semantique de la quantication : : : : : : : : : : : : : : : : : 206
7.5 Proposition d'une nouvelle semantique : : : : : : : : : : : : : : : 208
7.6 Une nouvelle theorie de la quantication : : : : : : : : : : : : : : 209
7.6.1 La denition des operateurs ? et ? : : : : : : : : : : : : 209
7.6.2 Autres operateurs de quantication : : : : : : : : : : : : : 216
7.6.3 Le comportement des operateurs de quantication versus
la negation classique : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 218
7.6.4 Exemples : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 221
7.6.5 Exemples de textes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 226
7.6.6 Les quanticateurs de plusieurs arguments : : : : : : : : : 227
7.7 Proposition d'une nouvelle theorie generalisee : : : : : : : : : : : 230
7.8 Conclusions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 232
8 La description syntaxique de la LDO 235
8.1 Caracterisation generale des regles de deduction : : : : : : : : : : 235
8.2 Une description de la LDO{la formalisation du systeme : : : : : : 236
8.3 Les regles de la LDO : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 237
9 Une semantique pour la LDO 241
9.1 Quelques notions de base de la theorie des treillis : : : : : : : : : 241
9.2 Espace pretopologique, topologique et locologique : : : : : : : : : 245
9.3 Le ltre engendre par f : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 248
9.4 Une locologie sur Etendue(f) :h(Ext( f)) = Ext (f) : : : : : : 250
9.5 La semantique locale de Kripke pour l'Etendue(f) : : : : : : : : 251
9.6 L'intension d'un concept et les ideaux : : : : : : : : : : : : : : : : 252

322 Table des matieres
10 Les hierarchies d'heritage et la LDO 255
10.1 Exemples : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 255
10.1.1 Le probleme de l'autruche : : : : : : : : : : : : : : : : : : 255
10.1.2 Le diamant de Nixon : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 258
10.1.3 Le jour du 1 er mars a Brest : : : : : : : : : : : : : : : : : 260
10.2 Les hierarchies d'heritage et la LDO : : : : : : : : : : : : : : : : : 261
10.2.1 La formalisation logique des hierarchies d'heritage : : : : : 261
10.2.2 Une analyse par la LDO des quelques hierarchies d'heritage 262
10.3 Conclusions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 265
11 Conclusions 273
A Demonstrations du chapitre 2 279
B Demonstrations du chapitre 3 281
C Demonstrations des theoremes du chapitre 7 283
D Demonstrations des theoremes du chapitre 9 301

Liste des gures
1.1 Les objets determines dans la LDO : : : : : : : : : : : : : : : : : 25
1.2 La modelisation en linguistique d'apres J.-P. Descles : : : : : : : : 26
1.3 La quantication linguistique : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 27
1.4 Une classication epistemologique des logiques : : : : : : : : : : : 28
2.1 L'univers conceptuel de Frege : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53
3.1 La classication du pronom d'apres Sommers : : : : : : : : : : : : 88
6.1 Le probleme de l'autruche : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 149
6.2 La compatibilite de type redondant : : : : : : : : : : : : : : : : : 164
6.3 La compatibilite detypeC 2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 165
6.4 La compatibilite detypeC 3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 165
6.5 La compatibilite detypeC 4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 166
6.6 La compatibilite detypeC 5 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 166
6.7 Les classes Int f et Comp f : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 169
6.8 L'etendue et l'extension d'un concept : : : : : : : : : : : : : : : : 173
6.9 La distribution des concepts entre Ess f et Ness f : : : : : : : : : 175
6.10 La distribution des concepts entre Ess f et Ness f : : : : : : : : : 176
6.11 Exemple 1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 180
6.12 Exemple 2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 180
6.13 Exemple 3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 181
6.14 Exemple 4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 181
6.15 Le carre engeometrie-1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 183
6.16 Le carre engeometrie-2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 183
6.17 Le triangle equilateral : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 184
6.18 La construction de racine(2) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 186
7.1 Le carre d'Aristote : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 195
7.2 Le carre d'Aristote pour les operateurs illatifs de quantication : : 207
7.3 L'espace total et l'espace typique : : : : : : : : : : : : : : : : : : 214
7.4 Le carre d'Aristote pour les operateurs ? et 2 : : : : : : : : : : 220
7.5 Le cube de J.-P. Descles : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 234

324 Liste des gures
9.1 La structure de ltres de Etendue(f) : : : : : : : : : : : : : : : 253
9.2 Theoreme d'immerssion pour Etendue (f) : : : : : : : : : : : : : 254
9.3 Une locologie sur Etendue(f) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 254
9.4 Fil est une topologie sur Etendue(f) : : : : : : : : : : : : : : : 254
10.1 Le reseau semantique pour le probleme de l'autruche : : : : : : : 257
10.2 Le probleme de l'autruche en LDO : : : : : : : : : : : : : : : : : 266
10.3 Le probleme de l'autruche en LDO-les determinations : : : : : : : 267
10.4 Le reseau semantique pour le probleme de Nixon : : : : : : : : : : 268
10.5 Le probleme de Nixon en LDO : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 269
10.6 Le probleme de l'autruche : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 270
10.7 Le probleme de l'autruche en LDO : : : : : : : : : : : : : : : : : 270
10.8 Le diamant de Nixon : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 270
10.9 Le diamant de Nixon en LDO : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 271
10.10Exemple de reseau semantique : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 271
10.11Le reseau semantique de la g 10.10 en LDO : : : : : : : : : : : : 272
C.1 Contre-exemple du theoreme 7.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 284
C.2 Contre-exemple du theoreme 7.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 285