étude ostéo-morphométrique des tortues marines de ... - Seaturtle.org

Les travaux de Kuhl et Giardana (1982, dans Frieß et Baylac, 2003) décrivent une
méthode fondée sur les séries de Fourier qui permet de répondre correctement à cette
problématique : l’utilisation des Fourier elliptiques. Contrairement à d’autres approches
fondées sur d’autres modèles mathématiques comme les fonctions de Bézier, les Fourier
simple sur rayons, les Fourier simple sur tangentes, les Fourier elliptiques apportent de
nombreux avantages. Elles permettent notamment de simplifier la prise des points,
d’envisager une normalisation par rapport à la taille et aussi d’obtenir des fonctions qui
s’ajustent plus aisément aux contours, qu’ils soient simples ou complexes (Rohlf et Archie,
1984 ; Crampton, 1995, dans Claude, 2008 ; Loy et al., 2000 ; Schmittbuhl et al., 2002 ; Frieß
et Baylac, 2003 ; Claude, 2008).
La modélisation par les Fourier elliptiques consiste à décomposer la forme du contour
en une somme d’ellipses (appelées « harmoniques ») de formalisation mathématique plus
simple. Plus le nombre d’harmoniques est élevé et plus l’ajustement au contour est précis et
en théorie l’ajustement parfait correspond à un nombre infini d’harmoniques.
Le contour se définit par le vecteur fonction :
V
() t
où tx, )( (tyet ) )
=
a0
tx )( = +
2
c0
ty )( = +
2
e0
tz )( = +
2
H
h=
1
H
h=
1
H
h=
1
2hπt
2hπt
ah
cos
+ bh
sin
T T
2hπt
2hπt
c +
h
cos dh
sin
T T
2hπt
2hπt
e
+
h
cos
fh
sin
T T
(tzsont les coordonnées de x, y et z à l’abscisse curviligne t, avec t [ ,0 T ]
∈ ,
T, le périmètre du contour, H le nombre total d’harmoniques et (a 0 , c 0 , e 0 ), (a h , b h ), (c h , d h ), et
(e h , f h ) les coefficients de Fourier avec h [ ,1 H ]
∈ .
La résolution des coefficients donne pour (a h , b h ) :
T
h t
ah =
2 2
tx dt
T
( )cos
π
T
0
T
h t
bh =
2 2
tx dt
T
( )sin
π
T
0
On obtient les mêmes expressions en y(t) et z(t) pour (c h , d h ) et (e h , f h ).
Dans notre cas où le contour d’une épiphyse (ou des facettes articulaires) est synthétisé
par un nombre fini de P points, l’intégrale de 0 à P peut être remplacée par une somme
discrète.
68