étude ostéo-morphométrique des tortues marines de ... - Seaturtle.org
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Les travaux <strong>de</strong> Kuhl et Giardana (1982, dans Frieß et Baylac, 2003) décrivent une<br />
métho<strong>de</strong> fondée sur les séries <strong>de</strong> Fourier qui permet <strong>de</strong> répondre correctement à cette<br />
problématique : l’utilisation <strong><strong>de</strong>s</strong> Fourier elliptiques. Contrairement à d’autres approches<br />
fondées sur d’autres modèles mathématiques comme les fonctions <strong>de</strong> Bézier, les Fourier<br />
simple sur rayons, les Fourier simple sur tangentes, les Fourier elliptiques apportent <strong>de</strong><br />
nombreux avantages. Elles permettent notamment <strong>de</strong> simplifier la prise <strong><strong>de</strong>s</strong> points,<br />
d’envisager une normalisation par rapport à la taille et aussi d’obtenir <strong><strong>de</strong>s</strong> fonctions qui<br />
s’ajustent plus aisément aux contours, qu’ils soient simples ou complexes (Rohlf et Archie,<br />
1984 ; Crampton, 1995, dans Clau<strong>de</strong>, 2008 ; Loy et al., 2000 ; Schmittbuhl et al., 2002 ; Frieß<br />
et Baylac, 2003 ; Clau<strong>de</strong>, 2008).<br />
La modélisation par les Fourier elliptiques consiste à décomposer la forme du contour<br />
en une somme d’ellipses (appelées « harmoniques ») <strong>de</strong> formalisation mathématique plus<br />
simple. Plus le nombre d’harmoniques est élevé et plus l’ajustement au contour est précis et<br />
en théorie l’ajustement parfait correspond à un nombre infini d’harmoniques.<br />
Le contour se définit par le vecteur fonction :<br />
V<br />
() t<br />
où tx, )( (tyet ) )<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a0<br />
tx )( = +<br />
2<br />
c0<br />
ty )( = +<br />
2<br />
e0<br />
tz )( = +<br />
2<br />
H<br />
<br />
h=<br />
1<br />
H<br />
<br />
h=<br />
1<br />
H<br />
<br />
h=<br />
1<br />
2hπt<br />
2hπt<br />
<br />
ah<br />
cos<br />
+ bh<br />
sin<br />
<br />
T T <br />
2hπt<br />
2hπt<br />
<br />
c + <br />
<br />
h<br />
cos dh<br />
sin<br />
T T <br />
<br />
2hπt<br />
2hπt<br />
<br />
e<br />
+<br />
<br />
h<br />
cos<br />
fh<br />
sin<br />
<br />
T T <br />
<br />
(tzsont les coordonnées <strong>de</strong> x, y et z à l’abscisse curviligne t, avec t [ ,0 T ]<br />
∈ ,<br />
T, le périmètre du contour, H le nombre total d’harmoniques et (a 0 , c 0 , e 0 ), (a h , b h ), (c h , d h ), et<br />
(e h , f h ) les coefficients <strong>de</strong> Fourier avec h [ ,1 H ]<br />
∈ .<br />
La résolution <strong><strong>de</strong>s</strong> coefficients donne pour (a h , b h ) :<br />
T<br />
h t <br />
ah =<br />
2 2<br />
tx dt<br />
T<br />
( )cos<br />
π <br />
T <br />
0<br />
T<br />
h t <br />
bh =<br />
2 2<br />
tx dt<br />
T<br />
( )sin<br />
π <br />
T <br />
0<br />
On obtient les mêmes expressions en y(t) et z(t) pour (c h , d h ) et (e h , f h ).<br />
Dans notre cas où le contour d’une épiphyse (ou <strong><strong>de</strong>s</strong> facettes articulaires) est synthétisé<br />
par un nombre fini <strong>de</strong> P points, l’intégrale <strong>de</strong> 0 à P peut être remplacée par une somme<br />
discrète.<br />
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