Mesure des angles et trigonométrie

Thierry Ciblac
Mesure d’angles et trigonométrie
Mesure de l’angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine.
- Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi 360
points régulièrement espacés. On définit le degré comme étant l’angle entre deux demidroites
passant par le centre du cercle et deux points successifs de division. Le degré
joue donc un rôle d’étalon de mesure. La mesure d’un angle en degrés exprimera une
proportion par rapport à cet angle élémentaire. Le degré est utile pour un usage
pratique de relevé et de report de mesure d’angles, cependant il revêt un caractère
arbitraire (dépendant du nombre de divisions) qui est gênant pour usage mathématique.
- Mesures en radians : La définition du radian permet de s’affranchir de l’arbitraire du
nombre de divisions en se ramenant à une construction géométrique.
Construisons un cercle de rayon R centré sur l’origine des demi-droites. Notons L la
longueur de l’arc délimité par les deux demi-droites. L’angle α exprimé en radian est
égal à L/R.
α = L/R rad
Pour un angle donné, le rapport est constant, ce qui signifie bien que sa valeur le
caractérise. Si R=1, alors α=L (ainsi dans un cercle trigonométrique, la valeur de
l’angle en radian correspond à la longueur de l’arc). Une conséquence directe est que
360° correspond à un tour complet donc à une circonférence de 2πR et ainsi à un angle
de 2π rad.
Mesure d’angles et trigonométrie 1

Remarque : l’angle défini par un rapport de longueur a une mesure positive. On ne
donne une valeur algébrique à un angle que si l’on définit un sens positif et un axe de
référence.
- Relations entre degrés et radians : 360° = 2π rad.
- Mesure algébrique d’un angle : Un sens conventionnel permet de donner un signe
(positif ou négatif ) à un angle en fonction de l’axe de référence.
Ainsi l’angle (Ox, OX) se mesure positivement si l’on parcourt l’arc dans le sens
positif pour aller de Ox à OX, et négativement dans le sens contraire.
Le sens trigonométrique est positif dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
- Propriété importante : La position relative des axes est inchangée si on ajoute une
nombre entier de tours donc si on ajoute à une mesure d’angle, avec k entier relatif
(c’est-à-dire positif ou négatif) : k.360 degrés ou k.2π radians.
Trigonométrie
- Définition des sinus, cosinus et tangente et cotangente dans le triangle rectangle.
Dans un triangle rectangle soit α un angle autre que l’angle droit. On appelle hypoténuse
le côté ne supportant pas l’angle droit, le côté opposé, le côté opposé à l’angle α, le côté
adjacent le côté formant l’angle α avec l’hypoténuse.
sin α = côté opposé / hypoténuse
cos α = côté adjacent / hypoténuse
tan α.= côté opposé / côté adjacent
cotan α.= côté adjacent / côté opposé
Ces définitions dans le triangle concernent des angles positif compris entre 0 et π/2.
Mesure d’angles et trigonométrie 2

On étend cette définition à toutes valeurs de α réel en introduisant le cercle
trigonométrique.
Propriétés immédiates :
tan α = sin α/ cosα,
cotan α = 1/ tan α
Le cercle trigonométrique : Cercle orienté de rayon 1. Sens trigonométrique : inverse de
celui des aiguilles d'un montre.
Soit M un point sur le cercle trigonométrique. On définit α = (Ox, OM).
Soit Mx la projection orthogonale de M sur Ox, My la projection orthogonale de M sur
Oy.
Soit Oy’ l’axe parallèle à Oy passant par le point (1,0). Mt est le point d’intersection de
OM et Oy’. M1 est le point (1,0).
Cercle trigonométrique
cos α = OMx
sin α = OMy
tan α = M1 Mt
Dans le cas de la figure ci-après, quels sont les signes de sin α, cosα et tan α ?
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- Valeurs particulières : utilisation du théorème de Pythagore et du cercle trigonométrique
α 0 π/6 π/4 π/3 π/2
_________________________________________________________________
sin α 0 1/2 2 / 2 3 /2 1
cosα 1 3/2 2 / 2 1/2 0
tan α 1 3 /3 1 3 non
défini
Tableau de valeurs (exactes) particulières
- Relations fondamentales en trigonométrie (elles se déduisent facilement de
l’observation du cercle trigonométrique)
cos 2 α + sin 2 α = 1 (elle se démontre en utilisant le théorème de Pythagore)
- Période :
On a l’égalité : cos(α + 2π) = cosα. La période de la fonction cosinus est de 2π.
On a plus généralement cos(α + k2π) = cosα pour tout k appartenant à Z.
La fonction sinus a la même période (2π).
On en déduit que la fonction tangente est telle que tan(α + 2π) = tan α.
Mesure d’angles et trigonométrie 4

- α π - α π/2 - α α + π/2 α + π
_______________________________________________________________________________________________________
sin −sin α sin α cosα cosα − sin α
cos cosα −cosα sin α −sin α − cos α
tan −tan α −tan α cotan α − cotan α tan α
Sinus, cosinus et tangentes de -α, π - α, π/2 - α et α + π/2 en
fonction de sin α, cosα, et tan α.
Remarque : tan(α + π) = tan α. On en déduit que la période de la fonction tangente est π.
- Formules d'addition
Soit a et b deux angles quelconques. On a les relations suivantes :
sin (a+b) = sin a cosb + sin b cos a
cos (a+b) = cos a cos b - sin a sin b
tan a + tan b
tan (a + b) =
1 − tan a tan b
sin (a-b) = sin a cosb - sin b cos a
cos (a-b) = cos a cos b + sin a sin b
tan a − tan b
tan (a − b) =
1 + tan a tan b
- Relations avec l'arc double
sin 2α = 2 sin α cosα
cos 2α = cos 2 α - sin 2 α = 2 cos 2 α - 1 = 1 - 2 sin 2 α
sin 2 α = 1 ( 1 - cos 2α )
2
cos 2 α = 1 ( 1 + cos 2α)
2
En posant t = tan ( α ) on a les relations suivantes :
2
2t
sin α = , cos α = 1 − t2
2t
, tan α =
1+ t 2 1 + t 2 1− t 2
- Relations entre sommes et produits
Transformation de produits en sommes Transformation
cos a cos b = 1 [ cos (a+b) + cos (a-b) ]
2
sin a sin b = 1 [ cos (a-b) - cos (a+b) ]
2
sin a cos b = 1 [ sin (a+b) + sin (a-b) ]
2
de sommes en produits
sin p + sin q = 2 sin p + q
2
cos p + cos q = 2 cos p − q
2
sin p - sin q
= 2 sin p − q
2
cos p - cos q = - 2 sin p − q
2
cos p − q
2
cos p + q
2
cos p + q
2
sin p + q
2
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