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SIMULATIONS DES GRANDES ÉCHELLES. LE CODE AVBP
ν t est appelée la viscosité de sous-maille. On retrouve une formule analogue au terme de dissipation
visqueux, en remplaçant la viscosité moléculaire par la viscosité de sous-maille. Le problème de fermeture
est dans ce cas décalé vers ν t et consiste à évaluer ν t en fonction des grandeurs résolues et du filtre.
Chacun des modèles utilisés dans ce manuscrit (Smagorinsky ou WALE), propose une modélisation pour
ν t .
Le modèle de Smagorinsky
Le modèle de Smagorinsky, développé dans les années 1960 (Smagorinsky, 1963), est le modèle le
plus classique pour la SGE. Il consiste à supposer ν t de la forme :
ν t = (C S △) 2 √2 ˜S ij ˜S ij , (3.30)
où △ est la taille caractéristique du filtre. Ce modèle fait intervenir la partie symétrique du tenseur des
gradients de vitesse. C S est la constante du modèle. Elle a été déterminée analytiquement par Lilly
(1967) pour une Turbulence Homogène Isotrope (THI). Des valeurs classiques de cette constante sont
C S = 0.18 pour la THI et C S = 0.10 pour le canal turbulent (Deardorff, 1970). En réalité, la constante de
Smagorinsky n’est pas une véritable constante. Comme on l’a vu, elle dépend de l’écoulement considéré,
mais également du temps et de l’espace. Le modèle de Smagorinsky simple est bien adapté pour les
simulations dans lesquelles le comportement des petites échelles correspond bien à une dissipation, et
que ce comportement est connu, comme dans le cas de la THI. En revanche, il est souvent qualifié de
trop dissipatif dans d’autres cas, ce qui pousse notamment Moin & Kim (1982) à utiliser une constante
de C S = 0.065 dans leur SGE de canal turbulent.
Le modèle de Smagorinsky est satisfaisant pour étudier les écoulements turbulents, tant que l’on ne
s’intéresse pas à l’écoulement proche paroi. Il montre des statistiques tout à fait satisfaisantes pour les
SGE de canal turbulent avec loi de paroi (§ 3.3.3) de Schmitt et al. (2007). La constante de Smagorinsky
est alors fixée à C S = 0.10. C’est donc le modèle qui sera utilisé dans les simulations de validation des
modèles de parois multi-perforées (chapitre 6), avec C S = 0.10.
Dans la formulation utilisée par AVBP, le terme en trace de S ij dans l’équation 3.28 est négligé. Cela
revient à négliger les effets de compressibilité dans les fermetures de sous-maille.
Le modèle de Smagorinsky présente plusieurs défauts bien connus :
– La constante dépend de l’écoulement,
– Du fait de sa formulation, le modèle de Smagorinsky donne une viscosité de sous-maille non nulle
dans les cas laminaires qui présentent un cisaillement. Notamment, le modèle de Smagorinsky est
connu pour ne pas permettre la transition vers la turbulence,
– Le comportement du modèle est faux en proche paroi.
La dépendance de la constante à l’écoulement considéré a toujours été un problème pour la communauté
des utilisateurs de la SGE. Pour répondre à ce problème, Germano et al. (1991) proposent une
approche qui permet de déterminer localement et dynamiquement la constante de Smagorinsky. Le principe
de l’approche dynamique est de considérer que les échelles non-résolues ont un comportement très
proche de celui des plus petites échelles résolues. Basés sur une hypothèse de similarité d’échelles, les
modèles dynamiques permettent de prendre en compte la réalité de l’écoulement sans devoir présumer
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