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3.2 Simulations des Grandes Echelles : principe et équations
3.2 Simulations des Grandes Echelles : principe et équations
Comme précisé en introduction, la simulation dite des Grandes Echelles introduit une discrimination
sur la taille caractéristique des mouvement résolus. Dans ce type de simulations, on ne résout que
les structures de « grande taille ». Contrairement aux approches RANS, seule une partie des structures
turbulentes, les plus petites, sont modélisées.
La capacité de la SGE à traiter des problèmes inaccessibles à la SND, en termes de nombre de Reynolds
notamment, en fait un outil prisé des chercheurs. Preuve du grand intérêt que lui porte la communauté
de la mécanique des fluides numérique, de nombreux articles généraux sont régulièrement
consacrés à la SGE, et passent en revue les derniers développements la concernant (Rogallo & Moin
(1985), Reynolds (1989), Lesieur & Métais (1996), Meneveau & Katz (2000), Pope (2004) ou encore
Pitsch (2006) pour les écoulements réactifs). De plus, le développement des moyens de calcul permet
maintenant des temps de restitution qui deviennent compatibles avec la demande industrielle. Dans les
prochaines années, les organes de recherche industriels vont de plus en plus utiliser conjointement des
approches RANS et SGE. La SGE est une approche en plein développement car elle profite actuellement
d’un intérêt à la fois académique et industriel.
Les principes de base et les équations de la SGE sont rappelés ici. Pour plus de détails, on renvoie
le lecteur aux ouvrages spécialisés (Sagaut (2002), Lesieur, Métais & Comte (2005) ou encore Lesieur
(1997) et Pope (2000)).
Soit ¯. l’opérateur de filtrage. f est alors la quantité filtrée résolue d’une grandeur f et f ′ = f − f est
la composante dite de sous-maille. La terminologie employée (sous-maille) s’explique par l’utilisation
de la cellule de calcul (la maille) comme filtre spatial (voir § 3.3.6). Elle représente la partie non résolue
de la grandeur f. Pour des écoulements à densité variable, on introduit classiquement une pondération
par la masse. Le filtre est alors appelé filtre de Favre. Avec ρ la masse volumique du fluide, la moyenne
filtrée de f au sens de Favre, ˜f, s’écrit
ρ ˜f = ρf. (3.12)
Les équations de la SGE dans le cas d’un fluide compressible, mono-espèce, en l’absence de réactions
chimiques et de forces volumiques sont obtenues en appliquant l’opérateur de filtrage au sens de Favre
aux équations 3.1, 3.2 et 3.3 :
∂ρ
∂t + ∂ (ρ
∂x Ṽj) = 0, (3.13)
j
∂ρ Ṽi
∂t
+ ∂ (ρ
∂x Ṽi Ṽj) = −
∂ [P δ ij − τ ij − τ t ij ], (3.14)
j ∂x j
∂ρ Ẽ
∂t
+ ∂ (ρ
∂x Ẽ Ṽj) = −
∂ [V i (P δ ij − τ ij ) + q j + q t j ]. (3.15)
j ∂x j
La répétition d’indices implique la sommation sur cet indice (convention d’Einstein). Avec l’introduction
du filtrage, de nouveaux termes apparaissent par rapport aux équations (3.1) à (3.3).
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