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UN MODÈLE ADIABATIQUE POUR LA MULTI-PERFORATION Région Flux total Modèle Terme convectif Frottement ∫ ∫ ∫ Expression (−ρUV + τ S W 12) n 2 dxdz modèle −ρUV n S 2 dxdz τ h S 12 n 2 dxdz W Injection 7.21 × 10 −1 6.74 × 10 −1 8.23 × 10 −1 −1.02 × 10 −1 Aspiration −2.83 × 10 −1 −2.94 × 10 −1 −2.45 × 10 −1 −0.38 × 10 −1 TAB. 6.1 - Evaluation des flux de quantité de mouvement longitudinale ρU. Les valeurs données par le modèle sont comparées au flux total et à la contribution non-visqueuse (terme convectif). d’estimer le flux total de quantité de mouvement longitudinale ρU avec une erreur de 6 % côté injection et 4 % côté aspiration. Cependant, le modèle proposé est censé évaluer le terme convectif (troisième colonne). La comparaison entre la deuxième et la troisième est beaucoup moins avantageuse. Les erreurs sont cette fois de l’ordre de 20 %. Dans notre cas, le modèle des termes convectifs donne donc une bonne évaluation du flux total. Les erreurs de modélisation se compensent, donnant ainsi un résultat final meilleur qu’il ne devrait l’être. Pour améliorer le modèle, il est indispensable de revoir chacune des hypothèses suivantes. – Négliger le terme de frottement revient à surestimer le flux côté injection et à le sous-estimer côté aspiration. L’erreur induite est de l’ordre de 13 %. – Négliger la corrélation spatiale entre les vitesses longitudinale et verticale en entrée et sortie de perforation mène à sous-estimer le flux côté injection et à le surestimer côté aspiration. L’erreur induite est de l’ordre de 10 %. – Les hypothèses d’évaluation de la vitesse tangentielle moyenne ont le même effet. L’erreur est de l’ordre de 10 %. Au final, négliger le frottement compense les deux autres erreurs. Dans notre cas, améliorer l’une des trois hypothèses énoncée ci-dessus dégrade l’évaluation du flux total. Il sera donc nécessaire de reprendre les trois hypothèses en même temps pour améliorer la modélisation et la rendre plus robuste. Evaluation a priori du modèle de multi-perforation : flux de ρV En terme de flux de quantité de mouvement verticale ρV , l’hypothèse d’une pression constante dans la couche limite semble bonne. La figure 6.1 présente le profil de pression moyennée sur des plans horizontaux (x,z). La pression est adimensionnée par le saut de pression à travers la paroi et vaut 1 dans le canal d’aspiration et 0 dans le canal d’injection. La figure 6.1 montre que la pression ne subit de variation qu’à l’intérieur de la perforation. Ainsi, utiliser la pression loin de la paroi (typiquement à 10 d de la paroi) pour évaluer la pression à la paroi semble justifié. Conclusion sur la modélisation isotherme de la multi-perforation Le modèle proposé permet d’évaluation la contribution non-visqueuse des flux de quantité de mouvement avec une très bonne confiance pour la quantité de mouvement verticale (erreur inférieure à 1%) et une erreur de l’ordre de 20 % sur la quantité de mouvement longitudinale. 164
20 15 10 y/d 5 0 -5 -10 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Pression moyenne sur un plan horizontal FIG. 6.1 - Profil vertical de pression moyennée sur des plans horizontaux (x,z). La pression est adimensionnée par le saut de pression à travers la paroi et vaut 1 dans le canal d’aspiration et 0 dans le canal d’injection. Pour améliorer la modélisation de ce dernier terme, il est nécessaire d’évaluer la corrélation spatiale entre les vitesses longitudinale et verticale, comme le montrent les résultats de l’article du chapitre 5. Il est également nécessaire de proposer une meilleure évaluation de la vitesse longitudinale moyenne à l’entrée et à la sortie des perforations. En revanche, l’amélioration de ces deux hypothèses conduira à des erreurs plus importantes par rapport au flux de quantité de mouvement total. Il faut donc proposer également un modèle pour le frottement pariétal. 165
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UNIVERSITE MONTPELLIER II SCIENCES
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