Enoncé - IUT d'Arles

A la découverte de Maple - Sylvain Damour - Editions Ellipses, 2005 1
http://www.iut-arles.up.univ-mrs.fr/damour/a-la-decouverte-de-maple
Sujet de travaux pratiques supplémentaire
Transformations géométriques d’un objet 3D - Partie I
c○ 2005 Sylvain Damour
Introduction
Le but de ce sujet est de créer un objet géométrique 3D simple, par exemple un cube, puis de l’animer
par des transformations géométriques comme des rotations et homothéties.
Il faudra utiliser les paquetages LinearAlgebra, plots et plottools.
1 Tracer un polygone 3D
Les objets géométriques que nous manipulerons seront représentés par des polygones. D’où l’importance
de la commande polygon, qui permet de tracer un polygone 3D. Elle s’utilise de la façon suivante :
> P := polygon([[x1,y1,z1], [x2,y2,z2], [x3,y3,z3], ...]);
> display(P);
où [x1,y1,z1] sont les coordonnées du premier sommet du polygone, [x2,y2,z2] sont les coordonnées
du deuxième sommet, et ainsi de suite. . .
◮
Tracer un triangle grâce à la commande polygon.
2 Tracer un objet 3D
Pour tracer un objet géométrique 3D représenté par des polygones, il faut tout d’abord définir ces
polygones par : P1 := polygon(...), P2 := polygon(...), P3 := polygon(...), etc. On doit ensuite
définir l’objet sous la forme d’une liste de ces polygones : OBJET := [P1, P2, P3, ...]. Enfin, pour
tracer l’objet, on utilise : display(OBJET).
⋆ Il est conseillé de définir tout d’abord tous les sommets de l’objet : S1 := [x1,y1,z1], S2 :=
[x2,y2,z2], S3 := [x3,y3,z3], etc. Puis on définit les polygones à partir de ses sommets, par exemple
P1 := [S1,S2,S3].
◮
Tracer un tétraèdre.
3 Animer un objet 3D
Pour animer un objet géométrique 3D, on définit tout d’abord les différentes images, c’est-à-dire les
différentes positions de cet objet : O1 := display([P11 ,P12, P13, ...]), O2 := display([P21
,P22, P23, ...]), O3 := display([P31 ,P32, P33, ...]), etc. Puis, on crée l’animation sous la
forme d’une liste d’images ou d’objets : ANIM := [O1, O2, O3, ...]. Enfin, pour visualiser l’animation,
on utilise : display(ANIM, insequence=true).
◮ Animer le tétraèdre précédent en trois images, par exemple en déplaçant légèrement un de ces
sommets.

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4 Transformations géométriques d’un cube
On considère un cube C centré en O(0, 0, 0). On souhaite lui appliquer une transformation géométrique,
définie par sa matrice M de taille 3 × 3.
◮ Ecrire une procédure cube qui prend comme arguments une matrice M et un entier naturel n. La
procédure anime le cube C par la transformation de matrice M. Le cube initial est C 0 = C. Puis on
applique la transformation M et on obtient le cube suivant C 1 . Et ainsi de suite pour les cubes C 2 , C 3 ,
. . ., C n . Finalement, on crée l’animation ANIM := [C0, C1, C2, ..., Cn], et on l’affiche.
⋆ Pour passer du type Vector , nécessaire au calcul matriciel, au type list [x,y,z],
nécessaire à l’affichage, on utilise la commande convert(..., list). Inversement, on utilise la commande
convert(..., Vector).
5 Tests
◮ Tester la procédure cube sur les transformations géométriques suivantes :
⎛
⎞
cos α − sin α 0
1 o ) La rotation autour de l’axe (Oz) et d’angle α = π/40, avec n = 80 : R z = ⎝sin α cos α 0⎠ .
0 0 1
⎛
⎞
cos α 0 sin α
2 o ) La rotation autour de l’axe (Oy) et d’angle α = π/40, avec n = 80 : R y = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
− sin α 0 cos α
⎛
1 0 0
⎞
3 o ) La rotation autour de l’axe (Ox) et d’angle α = π/40, avec n = 80 : R x = ⎝0 cos α − sin α⎠ .
0 sin α cos α
⎛
k 0
⎞
0
4 o ) L’homothétie de centre O et de rapport k = 1.03, avec n = 80 : H = ⎝0 k 0⎠ .
0 0 k
5 o ) La mise à l’échelle de centre O et⎛de rapports k = 1.015 pour les x, l = 0.99 pour les y et m = 1.01
pour les z, avec n = 80 : M = ⎝ k 0 0
⎞
0 l 0 ⎠ .
0 0 m
6 o ) La rotation autour du vecteur ⃗u = (a, b, c), avec a = 1/ √ 3, b = 1/ √ 3 et c = 1/ √ 3, et d’angle
θ = π/40, avec n = 80 :
⎛
⎞
R = ⎝ a2 + (1 − a 2 ) cos θ ab(1 − cos θ) − c sin θ b sin θ + ac(1 − cos θ)
ab(1 − cos θ) + c sin θ b 2 + (1 − b 2 ) cos θ −a sin θ + bc(1 − cos θ) ⎠ .
−b sin θ + ac(1 − cos θ) a sin θ + bc(1 − cos θ) c 2 + (1 − c 2 ) cos θ
7 o ) La composée A de la rotation R z et de l’homothétie H, avec n = 80.
◮ Peut-on modéliser une translation avec la procédure cube, en donnant sa matrice ?

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6 Coordonnées homogènes
Soit M un point de R 3 de coordonnées cartésiennes (x, y, z). Des coordonnées homogènes du point M sont
[x; y; z; 1]. Inversement, soit N un point de R 3 de coordonnées homogènes [x; y; z; w]. Les coordonnées
cartésiennes du point N sont alors (x/w, y/w, z/w).
Les matrices agissant sur les vecteurs de coordonnées homogènes sont les suivantes :
⎛
⎞
1 0 0 a
– La translation de vecteur ⃗u = (a, b, c) : T = ⎜0 1 0 b
⎟
⎝0 0 1 c⎠ .
0 0 0 1
⎛
⎞
cos α − sin α 0 0
– La rotation autour de l’axe (Oz) et d’angle α : R z = ⎜sin α cos α 0 0
⎟
⎝ 0 0 1 0⎠ .
0 0 0 1
⎛
⎞
cos α 0 sin α 0
– La rotation autour de l’axe (Oy) et d’angle α : R y = ⎜ 0 1 0 0
⎟
⎝− sin α 0 cos α 0⎠ .
0 0 0 1
⎛
⎞
1 0 0 0
– La rotation autour de l’axe (Ox) et d’angle α : R x = ⎜0 cos α − sin α 0
⎟
⎝0 sin α cos α 0⎠ .
0 0 0 1
⎛
⎞
k 0 0 0
– L’homothétie de centre O et de rapport k : H = ⎜0 k 0 0
⎟
⎝0 0 k 0⎠ .
0 0 0 1
◮ Transformer la procédure cube en une procédure cube4 pour qu’elle accepte une matrice 4 × 4,
représentant une transformation géométrique en coordonnées homogènes.
◮ Tester cette nouvelle procédure sur la translation de vecteur ⃗u = (0, 0, 0.05) avec n = 80, puis sur
la composée A = T RH de la translation T de vecteur ⃗u = (0, 0, 0.1), de la rotation autour de (Oz) et
d’angle π/40 et de l’homothétie de rapport 1.02, avec n = 80.