Dialogue essais-simulation et identification de lois de comportement ...
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Partie B – Chapitre 7 : Identification des paramètres du comportement superélastique du NiTi La déformation totale (Equation 6-77) peut être réécrite en fonction de ce vecteur de paramètres à la température : (7.30) Les éléments de la première ligne de la matrice de sensibilité analytique, liés aux paramètres, calculés à partir de la composante de déformation ( ) sont les suivants : (7.31) (7.32) pastel-00910076, version 1 - 27 Nov 2013 (7.33) (7.34) (7.35) (7.36) Toutes les dérivées des autres composantes de sont identiques, à l’exception des dérivées par rapport à et , en tenant compte de la composante appropriée de définie dans l’Equation 6-79. Pour une identification basée sur des données expérimentales correspondant à températures différentes, le nombre de composantes du vecteur paramètres est . Par conséquent, la taille de la matrice de sensibilité augmente avec . Pour déterminer les valeurs de et , il est nécessaire d’effectuer des essais au moins à deux températures différentes. Lorsque plus de deux températures sont utilisées, ces paramètres sont déterminés au moyen d’une régression linéaire au sens des moindres carrés en fonction des valeurs identifiées des et . 190
Partie B – Chapitre 7 : Identification des paramètres du comportement superélastique du NiTi L’algorithme d’optimisation utilisé est capable de minimiser la fonction objectif à partir d’un jeu initial de paramètres même si ce dernier est loin de la solution finale. Toutefois une condition s’impose : il faut que ce jeu de paramètres provoque au cours du chargement simulé une transformation de phase suffisante. Dans le cas contraire, la matrice de sensibilité pourrait être singulière et l’identification deviendrait impossible. Plusieurs jeux de paramètres initiaux ont été utilisés pour trouver l’ensemble final des paramètres matériau et ainsi valider la procédure d’identification. La procédure d'identification peut être évaluée en fonction de deux critères : 1. Elle converge pour tout jeu de paramètres (stabilité), 2. L'ensemble final de paramètres ne dépend pas de l'ensemble de paramètres initiaux (robustesse de l’algorithme). pastel-00910076, version 1 - 27 Nov 2013 Le Tableau 7-1 présente les valeurs initiales des cinq jeux de paramètres qui ont été utilisés pour valider la procédure d’identification. Les valeurs initiales de ces paramètres ont été choisies pour représenter une grande variété de comportements fondamentalement différents du comportement de l’alliage étudié. Jeu E (MPa) υ H f (MPa) b d (MPa/°C) b r (MPa/°C) M s (°C) A f (°C) 1 70 000 0,3 4 0,05 9,9 9,9 -13 17 2 70 000 0,3 4 0,05 5 5 -23 -3 3 30 000 0,2 6 0,02 3 3 -73 -58 4 20 000 0,5 0,5 0,02 8 8 -3 17 5 100 000 0,4 1 0,06 12 12 17 27 Tableau 7-1 : Valeurs initiales des cinq jeux de paramètres utilisées pour la validation de la procédure d’identification. La Figure 7-3 montre les réponses des essais simulés avec ces paramètres, comparés à celles des essais thermomécaniques réalisés à trois températures : 30°C, 43°C et 50°C dans la direction de laminage (sens L) (cf. chapitre A – 4). Un cycle de traction charge-décharge pour chaque température a été effectué ce qui permet l’identification de l’ensemble des paramètres superélastiques du modèle . La décharge est indispensable pour la détermination des paramètres de la transformation inverse. 191
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Partie B – Chapitre 7 : I<strong>de</strong>ntification <strong>de</strong>s paramètres du <strong>comportement</strong> superélastique du NiTi<br />
La déformation totale (Equation 6-77) peut être réécrite en fonction <strong>de</strong> ce vecteur <strong>de</strong><br />
paramètres à la température :<br />
(7.30)<br />
Les éléments <strong>de</strong> la première ligne <strong>de</strong> la matrice <strong>de</strong> sensibilité analytique, liés aux paramètres,<br />
calculés à partir <strong>de</strong> la composante <strong>de</strong> déformation ( ) sont les suivants :<br />
(7.31)<br />
(7.32)<br />
pastel-00910076, version 1 - 27 Nov 2013<br />
(7.33)<br />
(7.34)<br />
(7.35)<br />
(7.36)<br />
Toutes les dérivées <strong>de</strong>s autres composantes <strong>de</strong> sont i<strong>de</strong>ntiques, à l’exception <strong>de</strong>s<br />
dérivées par rapport à <strong>et</strong> , en tenant compte <strong>de</strong> la composante appropriée <strong>de</strong> définie dans<br />
l’Equation 6-79.<br />
Pour une <strong>i<strong>de</strong>ntification</strong> basée sur <strong>de</strong>s données expérimentales correspondant à températures<br />
différentes, le nombre <strong>de</strong> composantes du vecteur paramètres est . Par conséquent,<br />
la taille <strong>de</strong> la matrice <strong>de</strong> sensibilité augmente avec .<br />
Pour déterminer les valeurs <strong>de</strong> <strong>et</strong> , il est nécessaire d’effectuer <strong>de</strong>s <strong>essais</strong> au<br />
moins à <strong>de</strong>ux températures différentes. Lorsque plus <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux températures sont utilisées, ces<br />
paramètres sont déterminés au moyen d’une régression linéaire au sens <strong>de</strong>s moindres carrés en<br />
fonction <strong>de</strong>s valeurs i<strong>de</strong>ntifiées <strong>de</strong>s <strong>et</strong> .<br />
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