mokhtari salim - Université du 20 août 1955 de Skikda

République Algérienne Démocratique Et Populaire
Ministère De L'enseignement Supérieur Et De La Recherche
Scientifique
UNIVERSITE 20AOUT - SKIKDA –
FACULTE DES SCIENCES ET SCIENCES DE L’INGENIEUR
DEPARTEMENT DE GENIE-CIVIL
MEMOIRE DE MAGISTER
Spécialité : GENIE CIVIL
Option : STRUCTURES
Présenté par :
MOKHTARI SALIM
INSTABILITE PAR FLAMBAGE ELASTIQUE
DES PLAQUES STRATIFIEES MUNIES DUNE
SINGULARITE GEOMETRIQUE
Promotion 2006/2007

REMERCIMENT
Je voudrais tout d'abord exprimer ma profonde reconnaissance a monsieur,
professeur GUENFOUD MOHAMED qui m'a encadré durant ce travail et pour
ses conseils et son suivi pour l'élaboration de ce travaille qu'il trouve ici
témoignage de ma profonde gratitude.
Et je remerciée en particulier monsieur .docteur TATI Abdelouaheb, pour nous
avoir prêté ce programme de flambage des plaques stratifiée.
Je tiens a remercie également le président de jury et les membre du jury. Je
tiens aussi a remercier tous ceux qui m'ont aidés de prés ou loin pour
l'élaboration de ce travaille
Enfin mes remerciements vont à l’ensemble du corps enseignant de l'institut
génie civil et mécanique à Biskra skikda. Constantine à Guelma.
MOKHTARI.SALIM

DEDICACE
Je dédie ce travail à :
Mes très chers parents.
Toute ma famille.
Tout mes amie : Samir, Bacha, Larbi, chergui, guidiri, bellili,
daha,bouziane,
A tout ceux qui ont une bonne impression dans mon coeur.
Toute la promotion post graduation 2006
Mokhtari. Salim

Résumé
Le présent travail concerne l'analyse de l'instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées
menues de singularité géométrique.
Le flambage des plaques stratifiées en matériaux composite est un phénomène très complexe,
pour l'analyse du flambage des plaques minces stratifiées, nous avons employé un élément de
quatre nœuds 32 degré de liberté, la formulation a été basée sur la théorie de Kirchhoff étendue
au plaque stratifiées en adoptant l'approche mono couche équivalente. Nous présentons en suite la
formulation du problème d'instabilité en élisant le principe de la variation seconde de l'énergie
potentielle pour la construction des matrices de rigidité.
Une série d'exemples a été testé au flambage des plaque mince isotropes et stratifiées, les
résultats obtenus et comparés a ceux disponible dans la littérature, ont montré la rapidité de
convergence et la bonne performance de l'élément.
Une étude paramétrique a été entreprise pour mettre en évidence l'effet de certains paramètres sur
le comportement de flambage des plaques minces munies d'ouvertures carré isotrope et stratifiées
ont montre que la charge critique de flambage augmente avec l'augmentation de l'ouverture pour
certaines condition aux limites.
Mots clés : Stratifié, Composite, Flambage, Instabilité, Plaque, Singularité Géométrique, Elément
fini

Abstract
This work relates to the analys is of the instability with elastic buckling small laminated
plates of geometrical singularity. The buckling of the plates laminated out of materials composite
is a very complex phenomenon, for the analysis of the buckling of the laminated thin sections, we
employed an element of four nodes 32degré of freedom, the formulation was based on the theory
of kirchoff extended to the plate laminated by adopting the mono approach sleep equivalent.
We present in continuation the formulation of the problem of instability in the principle of the
variation second of the potential energy for construction of the matrices of rigidity.
A series of examples was tested with the buckling of the thin section isotropic and
laminated, the results obtained and compared has those available in the literature, showed the
speed of convergence and the good performance of the element.
A parametric study was undertaken to highlight the effect of certain parameters on the
behavior of buckling of the thin sections provided with openings square isotropic and laminated
have watch which the critical load of buckling increases with the increase in the opening for
certain boundary condition.
Keys Words : Lamina, Composite, Buckling, Instability, Plate, Geometrical singularity, Finite
Element

خلاصة
عدم من ھو analys الى العمل ھذا ویتصل
الطابع ذات لوحات مرقق الصغیرة التواء مرونة مع الاستقرار
المواد اصل من مرقق للوحات التواء فان ‏.والتفرد الھندسي
مرقق من للإلتواء لتحلیل ، للغایة معقدة ظاھرة ھو المركبھ
العقد اربعة عناصر من عنصرا العاملین ونحن ، الابواب رقیقة
كیرتشوف لمدد نظریة صیاغھ الى ویستند ، للحریة 32degré
‏.یعادلھا ما النوم آحادي نھج باعتمادھا مرقق اللوحھ
مبدأ في الاستقرار عدم مشكلة صیاغھ استمرار ھذا في ونحن
البناء أجل من الطاقة امكانات من الثانیة الاختلاف
‏.الصلابھ للمصفوفات
رقیقة التواء مع اختبارھا تم الامثلھ من مجموعة
الحصول تم التي والنتائج ، ومرقق الخواص موحد الباب من
سرعة اظھر ، الادب في لھ المتاحة تلك ومقارنة علیھا
‏.للعنصر الجید والاداء التقارب
بعض تأثیر على الضوء لتسلیط دراسة اجریت وقد حدودي أ
الفتحات زودت ابواب من رقیقة التواء سلوك على المعالم
من حمل التي الحرجھ مشاھدة وقد مرقق الخواص وموحد المربعھ
‏.لبعض شرطا الحدود فتح في زیادة مع تزید التواء
الاستقرار وعدم ، التواء ، مركب ، lamina : الكلمات مفاتیح
عناصر من محدود ، والتفرد الھندسي الطابع ذات لوحة ،

NOTATION
X . Y.
Z
Coordonnées cartésiennes
h .t
épaisseur
V ..
S f . S m
Volume et les aires
V m
Fraction volumique de la matrice
V f
Fraction volumique des fibres
E m
Module d élasticité de la matrice
E f
Module d élasticité des fibres
m
Le cœfficient de poisson de la matrice
f
Le cœfficient de poisson des fibres
S f
Aire des fibres
S m
Aire de la matrice
f
Déformation dans les fibres
m
Déformation dans la matrice
E L
E T
Module d élasticité longitudinale
Module d élasticité transversale
G . G
Module de cisaillement
12 G23
.
21
ij
Le cœfficient de poisson
m
Cisaillement de la matrice
f
Cisaillement des fibres

x. y
Rotation autour des axes x.y
d u v w
Déplacement suivant x.y.z
x . y
Rotation de la normale autour x.y.z
0
xl
0
yl
0
xyl
Déformation membranaire
k
Déformation flexionnelle
0
xnl
0
ynl
0
xynl
Déformation non linéaire de membrane
Q ij
cœfficient de rigidité réduite
A ij
rigidité extensionnelle
B ij
Rigidité de couplage
D ij
Rigidité flexionnelle
S ijkl
Coefficient de la matrice de souplesse
M M M
Effort des moments de flexion par unité de
x
y
xy
………………………………………………...longueur
N N N
Effort des efforts internes par unité de
x
y
xy
…………………………………………………..longueur
Contrainte
S Matrice qui relier les déformation avec le
……………………………………………………vecteur de déplacement
S k
Matrice qui relier les courbure avec le
……………………………………………………vecteur de déplacement
a
a
b
Coefficient qui dépend du rapport a/b
largeur de la plaque
longeur de la plaque

d
F cr
s
largeur de trou
L'intensité de la charge critique
La charge critique
sinus
c
e
cosinus
K 1 Matrice de rigidité élémentaire membrane
e e
K
K 2 . 3
Matrice de rigidité de couplage membrane
……………………………………………………flexion
l
g
K Matrice géométrique élémentaire
U
l'énergie potentielle de déformation
V
l'énergie potentielle due aux charges
……………………………………………………extérieures
/
V
L'énergie potentielle due aux charges
……………………………………………………transversale
L'énergie potentielle totale
.
Coordonnées de l élément de référence
N
Fonction d'interpolation
J
. J
1 detJ
matrice jacobien , son inverse , et son
……………………………………………………déterminent
m ,n
nombre de demi-monde sinusoïdales
……………………………………………………caractérisant le flambement

LISTE DES FIGUIRES
FigureII.1: Traction longitudinale ............................................................................................ 11
FigureII.2: Traction transversale .............................................................................................. 12
FigureII.3: Essai de cisaillement longitudinal .......................................................................... 14
FigureII.4: Axes principaux et axes de référence d'une couche stratifié .................................... 17
FigureII.5: Schématisation des résultantes en membrane des actions exercées sur un stratifié
FigureII.6: Schématisation des résultantes de cisaillement ....................................................... 21
FigureII.7: Schématisation des moments de flexion et de torsion ............................................. 21
FigureII.8:Schématisation des déformations dans le cas de la théorie
classique des stratifiés ................. ………………………………………………......22
FigireIII.1: Elément membranaire............................................................................................ 29
FigureIII.2: L'élément plaque .................................................................................................. 32
FigureIII.3: Schématisation des déformations dans le cas de la théorie
Classique des stratifiés ......................................................................................... 33
Figure. (V.1): Condition géométrique en élasticité plan simuler les types
de sollicitation ................................................................................................... 45
Figure (IV.1.a): La variation de Ncr en fonction de nombre d'élément
a/b=1.5 pour une plaque isotrope simplement appuyée ................. …...……....46
Figure (IV.1.b): la variation de Ncr en fonction de nombre d'élément
(a/b=1et2 )pour une plaque isotrope simplement .
. appuyée…………………………………………………………… ................ ..46
Figure. (V.2): Condition géométrique en élasticité plansimuler les tupes
de sollicitation…………………… ................... ……………… …………..........47
Figure (IV.2.a): La variation de Ncr en fonction de nombre d'élément
(a/b=1 )pour une plaque isotrope simplement appuyée
sollicité par une Compression biaxialle………… .................. ………………….48
Figure. (V.3): Condition géométrique en élasticité plansimuler les tupes
de sollicitation…………………………………… ................. …………..........49
Figure (IV.3.a): la variation de Ncr en fonction de nombre d'élément
(a/b=1 )pour une plaque isotrope simplement appuyée
sollicité par une Cisaillement pur ……..…… ..................…………………...…50

Figure (IV.3.b): La variation de Ncr en fonction de nombre d'élément
(a/b=2 )pour une plaque isotrope simplement appuyée
sollicité par une Cisaillement ……………………… ................ ……………...50
Figure (IV.3.c): La variation de Ncr en fonction de nombre d'élément
(a/b=1.5)pour une plaque isotrope simplement appuyée
sollicité par une Cisaillement pur………………………… ................………..51
Figure (IV.4): la plaque stratifié avec une orientation (90,-90,0,0,-90,90)……....................…..52
Figure. (IV.5): condition géométrique en élasticité plan simuler les types
de sollicitation…………………………………… ………..................…..........52
Figure (IV.5.a): La variation de Ncr en fonction de nombre
d'élément a/b=1 ,a/b =1.5 ,a/b=2 pour une plaque
isotrope simplement appuyéesollicité par une
compression simple ………………………………… ............... ………….......53
Figure (IV.6.a): La variation de Ncr en fonction de nombre d'élément
(a/b=1 )pour une plaque orthotrope simplement appuyée
Sollicité par une Compression biaxialle…..……… ................ ……….………...55
Figure (IV.7.a): La variation de Ncr en fonction de nombre d'élément
(a/b=1 ) et (a/b=1.5 ) , (a/b=2 )pour une plaque orthotrope
simplement appuyée sollicité par une Cisaillement pur...… ...................…….....57
Figure (IV.8):Type de sollicitation utilisé pou étude de flambage avec
singularité………………………………………………… .....................……..58
Figure (V.10): La discrétisation de la plaque carré…………………………… ..................……63
Figure (IV.12): La variation Fcr en fonction de d/b pour a/b=1 , le cas isotrope………........….64
Figure (IV.13): La variation Fcr en fonction d/b 5 pour a/b=1.5, le cas isotrope…………..... 64
Figure (IV.14): La variation Fcr en fonction d/b pour a/b=1 pour le cas orthotrope…… .…. 65
Figure (IV.15): La variation Fcr en fonction de d/b pour a/b=1.5 ,le cas orthotrope……… .... ..65

Liste des tableaux
Tableau IV.1
Tableau IV.2
Tableau IV.3
Tableau IV.4
Tableau IV.5
Tableau IV.6
Tableau IV.7
Tableau IV.8
Tableau IV.9
Tableau IV.10
charge critique de flambage d'une plaque isotrope simplement 45
appuyée
Variation de Ncr en fonction de nombre d'élément a /b=1 Pour une
plaque isotrope simplement appuyée sollicitée Par une compression
biaxiale 47
charge critique de flambage d'une plaque isotrope Sollicitée Par un
cisaillement pur 49
charge critique de flambage d'une plaque orthotrope stratifiée
simplement Appuyée Sollicitée par une compression uniaxiale 53
charge critique de flambage d'une plaque orthotrope stratifiée
simplement appuyée Sollicitée par une compression biaxiale 54
charge critique de flambage d'une plaque orthotrope stratifiée
simplement Sollicitée par Cisaillement pur 56
Cas isotrope la variation Fcr en fonction de la position de trou en
Compression uniaxiale 61
Cas orthotrope la variation Fcr en fonction de la position de trou en
compression uniaxiale 61
Cas isotropela variation Fcr en fonction de la position de trous en. 62
cisaillement pur
Cas orthotrope la variation Fcr en fonction de la position de trous en 62
cisaillement pur

INTRODUCTION GENERALE
1. INTRODUCTION :
L'évolution actuelle de la technologie a amené l'ingénieur à réaliser des projets de plus
en plus complexes, coûteux et soumis à des contraintes de sécurité de plus en plus sévères. La
grande utilisation des plaques, avec ou sans ouverture, en matériaux composites stratifiés dans
plusieurs types de structures ; aérospatiale, aéronautique, marine.
Les ingénieurs civils ont exploité les avantages d'utilisation des matériaux composites et
spécialement les plaques renforcées par des fibres de verre (F.R.P) parmi ces avantages on
cite:
Rapport résistance/ poids optimale
La légèreté
La résistance a la corrosion
Faible conductivité électrique et thermique
Le besoin d'avoir des ouvertures dans les composantes des structures est d'une considération
pratique, par exemple dans l'aéronautique, l'industrie automobile et aussi dans les sous marins,
les ouvertures sont nécessaires pour l'accès des lignes hydrauliques et pour empêcher des
dommages éventuels.
Dans certaines applications les éléments structuraux doivent résister au flambage et dans
d’autres au post-flambage et ainsi pour économiser le poids.
Les plaques avec ouverture sont souvent soumises aux charges de compression induites
mécaniquement ou thermiquement et qui peuvent causer le flambage de ces derniers.
Alors, le comportement de ce type de structures vis-à-vis de la stabilité, doit être bien connu
lors de leur conception.
2. Recherche bibliographique :
Les travaux sur le comportement du flambage des plaques en matériaux composites
stratifiées ont débuté depuis les années 70.
En 1972, Martin [1] a publié ce qui apparaît être parmi les premières études du flambage et
du post-flambage des plaques en composite avec ouvertures soumises à un chargement
uniaxial de compression. Son travail était basé sur la méthode Rayleigh Rite dans laquelle la
double intégrale a été effectuée numériquement et des travaux expérimentaux ont été faits en
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies de singularité géométrique 1

INTRODUCTION GENERALE
parallèle pendant cette période, et les résultats analytiques et expérimentaux se sont révélés
concordants.
En 1978, Knauss, Starnes et Henneke [2] ont présenté une investigation expérimentale du
comportement de flambement et des caractéristiques de rupture d'une plaque rectangulaire en
graphite–époxy, possédant une ouverture circulaire et soumise à un chargement de
compression.
Dans ce travail, les auteurs ont étudié le cas de deux plaques de 24 et 48 couches avec une
ouverture de dimension b/d = 0,3
En 1982, Herman [3] a présenté ce qu'on peut considérer comme la première investigation du
comportement du flambage des plaques soumises au cisaillement avec une ouverture centrale
de forme circulaire. Il a utilisé la méthode des éléments finis pour étudier le flambage des
plaques en graphite–époxy.
En 1983, Nemeth et ses collègues [4.5] ont présenté une analyse approximative pour le
flambement des plaques rectangulaires soumises à la compression avec une ouverture
centrale. Leur étude approximative était basée sur la méthode variationnelle de Kontorovitch.
En 1984 et 1985, Marshall, Little et Eltayeb, [6.7] ont présenté une investigation analytique
et expérimentale du comportement du flambage des plaques rectangulaires orthotropes
soumises à un chargement de compression avec des ouvertures circulaires. Ils ont fait une
analyse approximative en utilisant la méthode de Rayleigh Ritz. Dans ce travail expérimental,
les résultats obtenus concernent une plaque carrée, simplement appuyée en verre époxy sans
ouverture et avec ouverture jusqu'a d/b= 0,7. Les résultats analytiques et expérimentaux se
sont révélés concordants, spécialement les cas où d/b = 0,5 et où les dimensions des
ouvertures d/b < 0,5.
En 1986 Marshall, Lite, El Tayeb et William [8] ont présenté des résultats de flambage des
plaques orthotropiques avec des ouvertures circulaires. Le travail était analytique,
parallèlement à un travail expérimental pour des plaques carrées avec des ouvertures de
dimension d/b = 0,3 et 0,5.
Il y a eu une bonne concordance entre les résultats analytiques et ceux obtenus par la méthode
expérimentale utilisée.
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies de singularité géométrique 2

INTRODUCTION GENERALE
3. PROBLEMATIQUE
Pour répondre aux besoins d'accès et de services, il est toujours nécessaire d'avoir des
singularités (ouvertures) au centre ou bien loin du centre de la plaque. Cela est souvent le cas
de récipients contenant des liquides où il est nécessaire de permettre le passage du liquide
d'une chambre à une autre à travers des valves positionnées près du fond de la partition. La
présence de pareilles ouvertures mène à une distribution non uniforme des contraintes de
compression, et par conséquent, il en résulte un changement dans la charge critique de
flambement.
Les structures composites minces (plaques stratifiées) qui sont largement utilisées de nos
jours, deviennent instables lorsqu'elles sont sujettes à des chargements de nature mécanique
ou thermique, et flambent dans la zone élastique. Par conséquent, le flambage présente une
très grande importance lors de la conception de ce type de structures.
L'objectif de ce travail est la contribution dans l'étude du flambage des plaques multicouches
avec singularité en matériaux composite stratifié et isotrope, en utilisant la méthode des
élément finis [MEF], et donner un aperçu sur l'importance et la précision des résultats obtenus
grâce à l'utilisation de la [M.E.F] et à la méthode du calcul numérique pour la résolution des
problèmes.
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies de singularité géométrique 3

INTRODUCTION GENERALE
4. PLAN DE TRAVAIL
Le travail est organisé en quatre chapitres :
Nous avons présenté, en premier lieu, la théorie de l'instabilité élastique. Dans le second
chapitre nous faisons un bref rappel de la théorie des plaques stratifiées.
Le troisième chapitre, est consacré à la modélisation des problèmes d'instabilité par élément
finis:
Elément utilisé (TATI, DHAT)
Rigidité de membrane (membrane)
Rigidité de flexion (plaque)
Elément coque
14 15
Cas des multicouches (la loi de comportement)
Problème de flambage
Matrice des contraintes initiales
K g
Le dernier chapitre est consacré la validation des différents éléments au flambage des
plaques isotropes et multicouches avec et sans singularité, en faisant une comparaison avec
des méthodes analytiques et numériques.
Enfin, ce travail se termine par une conclusion générale qui met en valeur les résultats
obtenus.
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies de singularité géométrique 4

CHAPITRE I
LA THEORIE DE L'INSTABILITE ELASTIQUE-CAS DES PLAQUES
I. INSTABILITE DES PLAQUE
I.1 Généralités
Le but de ce chapitre est de formuler les équations de base pour représenter les
problèmes liés à la flexion, aux effets de membrane et à l'instabilité élastique des plaques
minces. Nous définissons également, l'énergie potentielle, sa première et seconde variation
pour chacun des cas.
I.2 formulation générale
Les développements qui suivent peuvent être retrouvés dans les ouvrages d'Almroth9 ,
Timoshenko
10 , Chajes
11 .
Avant de formuler le problème spécifique de l'instabilité des plaques, nous allons formuler
celui de l'instabilité en général, d'après Rubinstein 12 .
Notons l'état d'une structure en équilibre sous l'action de charges externes comme l'état
d'équilibre 1, pour vérifier si c' est un état d'équilibre stable , nous cherchons d'abord l'énergie
potentielle d'un autre état, disons 2 , produit par une perturbation arbitraire.
Par exemple pour une structure à un degré de liberté (w) nous représentons les états 1 et 2
comme suite :
Etat 1 : w
, Π(w)
Etat 2 : w +δw, Π( w w
) où ( w )est la perturbation ainsi définie.
La variation de l'énergie potentielle ΔΠ est:
ΔΠ= Π(w+ δw) - Π(w) (1.1)
En utilisant la série de Taylor, ΔΠ peut être écrite sous la forme:
Dans la quelle :
δΠ=
ΔΠ= δ Π+
w
w
2
Π + 0 3
(1.2)
2
2
2
2
w w
(1.3)
0(
3
) sont les termes d'ordre supérieur ou égale à trois que nous négligeons.
Pour l'équilibre à l'état 1,
w
doit être stationnaire d’où
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 5

CHAPITRE I
LA THEORIE DE L'INSTABILITE ELASTIQUE-CAS DES PLAQUES
w
=0 où 0
w
Pour que cet équilibre 1 soit stable,
l'équilibre 1, la seconde variation
Equilibre stable :
2
0 où 0
2
w
pour w 0
(1.4)
w
doit être minimum. Pour garantir cette stabilité de
2 doit être définie positive d’où:
2
puisque w 2 est positif (1.5)
Pour un équilibre instable au stade 1, la structure ne tendra pas à retourner vers le stade1,
quand une perturbation vers le stade 2 survient .ceci a lieu quand la seconde variation du
potentiel
2 est nulle ou négative. La ligne de démarcation, ou bifurcation entre la condition
de stabilité et d'instabilité de l'équilibre, correspond à :
2
= 0, d’où pour un équilibre instable 2
= 0 ou 0
2
w
2
(1.6)
Nous constatons donc que l'étude d'équilibre se limite à l'étude de la première variation et
2
celui de l'instabilité à la seconde variation .
I. 3 Instabilité élastique des plaques minces
Nous avons un système d'axes tel que celui de la figure (II.5) la plaque est soumise à un
chargement d'intensité arbitraire dans le plan xy qui provoque une compression de la plaque.
Par l'élasticité plane, et pour ce chargement d'intensité arbitraire, nous trouvons en chaque
point de coordonnées x, y, z un vecteur d'effort internes N
N est défini ci-dessous:
par unité de longueur, où
N
N
x
N
y
N
xy
h
2
h
2
x
y
xy
dz
(1.7)
Où h est l'épaisseur de la plaque,
, , sont les contraintes planes dans le plan x, y et
x
y
xy
N x ,
N , N
y xy les efforts internes correspondants, par unité de longueur.
Afin d'étudier l'instabilité élastique des plaques, pour laquelle l'intensité du chargement axial
lors du flambement est inconnue, nous considérons qu'au flambement, cette intensité est
représentée par λ fois l'intensité arbitrairement choisie qui donne le vecteur
une constante.
Notre plaque est maintenant soumise à une distribution d'efforts internes
N , étant
N
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 6

CHAPITRE I
LA THEORIE DE L'INSTABILITE ELASTIQUE-CAS DES PLAQUES
Appliquons maintenant un chargement de flexion transversale, et regardons l'équilibre pour
une position légèrement fléchie de la plaque, en supposant que :
Le vecteur
N
reste constant durant la flexion. Cet état d'équilibre correspond à l'état
d'équilibre 1 que nous avons défini au paragraphe (I.1) pour savoir si cet état d'équilibre est
stable ou non, nous allons évaluer la seconde variation de l'énergie potentielle
l'état 1 , et un état d'équilibre voisin obtenu par légère perturbation de l'état 1.
2 entre
I.3.1 Evaluation de l'énergie potentielle pour l'état d'équilibre 1
Dans l'évaluation de l'énergie potentielle, nous négligeons, pour les plaques minces
l'énergie interne due aux déformations de cisaillement. Les relations qui suivent sont établies
pour une position fléchie de la plaque.
I.3.1.a Relation déformations -déplacements
Les déformation x y xy pour un point de coordonnées x, y, z qui s'est déplacé de u,
v, w suivant les axes x, y et z, respectivement, sont :
Où est le vecteur de déformation total
m + nl +z K (1.8a)
(1.8b)
m = x y xy
m =
u
x
v
y
u
v
y
x
(1.8c)
m Est le vecteur de déformations linéaires de membrane
nl Est le vecteur de déformations non linéaires de membrane
1
nl =
2
2
w
x
2
w
y
w
w
x
y
(1.8d)
K Est le vecteur de déformations de flexion
K =
x
x
y
y
x
y
y
x
(1.8e)
Tel que :
w
x ; y
x
w
y
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 7

CHAPITRE I
LA THEORIE DE L'INSTABILITE ELASTIQUE-CAS DES PLAQUES
x et
y étant les rotations des plans yz et xz autour de x et y, respectivement .
Les équations (1.8) sont les relations cinématique de la plaque.
Les variation u, v, w,
xy.
x ,
y sont fonction de x et y seulement et se référent au plan moyen
I.3.1.b Evaluation de l'énergie potentielle
L'énergie interne U est
U
1
2
v
D
1
2
v
U= m D m dv
+ nl D m dv
+ z K D m
1
1
2
v
v
2
dv +
v
2
nl D
nl dv
+ z K D nl d
v + z K D K
4
v
Nous cherchons la deuxième variation
5
2 U
Si nous considérons les notations suivantes :
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 8
3
(1.9)
1
2
dv
(1.10)
v
6
pour une perturbation w , et on ne garde que les
termes quadratiques de (w) et de ses dérivées afin de linéariser le problème de l'instabilité. Par
conséquent, le terme (1) de l'équation (1.10) qui ne contient pas de termes de w ou de ses
dérivées est abandonné.
Les termes (3) et (5) sont nuls pour une matrice D constante ou symétrique par rapport au
plan moyen car :
h
2
h
2
zdz 0
Le terme (4) qui est du quatrième ordre est négligé.
Pour des plaques minces orthotropes ou isotropes, l'énergie U qui varie avec w se réduit
donc aux termes (2) et (6), qui pour une intégrale sur l'aire A devient:
U = nl Dm
mdA
+ K D
f K
A
Comme N
=D où
m
m
2
1
2
dA
(1.11)
A
6
N est défini par l'équation (1.7) nous obtenons:
U= nl N
dA
K D
f KdA
1
(1.12)
2
A
A

CHAPITRE I
LA THEORIE DE L'INSTABILITE ELASTIQUE-CAS DES PLAQUES
w
w
N x N xy
n
Et N
(1.13)
x
y
N yx N y
L'équation (1.11) devient:
1 1
K D K dA
U=
n N
n dA
2
A
2
Pour un matériau isotrope, l'expression (1.11) devient :
A
f
(1.14)
U= 1 w
1 w
1 w
w
N x N y N xydA
x
y
2
+
2
2
x
y
A
2
2
(1.15)
Eh
3
2
24(1 )
A
2
x
x
y
y
2
x
2
x
y
y
1
+ x
y
2
y
x
2
dA
Nous avons vu au paragraphe (I.1) que l'état d'équilibre est instable si :
2
2
2
U 0
(1.16)
Mais comme les charges externes sont conservatives alors :
Utilisons la relation (1.13), l'équation (1.14) :
2
2
0
(1.17)
N
dA
K
D
KdA
0
(1.18)
A
n
n
A
La discrétisation de la plaque par éléments finis permet de mettre l'équation (1.18) sous la
forme d'un problème de valeur propre.
Où
K et
géométrique.
n
K G
U 0
G
n
f
K (1.19)
K sont respectivement, la matrice de rigidité de flexion et la matrice
U Représente les vecteurs déplacements correspondant au mode de flambement dont
l'intensité de la charge critique est donné par
I.4 Conclusion :
Nous avons présenté dans ce chapitre la résolution de problème d'instabilité par la
seconde variation de l'énergie potentielle pour le cas d'un seul degré de liberté, mais notre
but et d'étudie l'instabilité d'une plaque stratifiée avec un vecteur de déplacement
va le rencontré dans le chapitre précédant suivant.
qi
qu'on
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 9

CHAPITRE II
LA THEORIE DES STRATIFIES
II. LATHEORIE DES STRATIFIE
II .1 INTRODUCTION
Le matériau composite est un assemblage d'au moins deux matériaux non miscibles (mais ayant
une forte capacité d'adhésion). Le nouveau matériau ainsi constitué possède des propriétés que
les éléments seuls ne possèdent pas.
Ce phénomène, qui permet d'améliorer la qualité de la matière face à une certaine utilisation
(légèreté, rigidité à un effort, etc.), explique l'utilisation croissante des matériaux composites,
dans différents secteurs industriels. Néanmoins, la description fine des composites reste
complexe du point de vue mécanique.
La cellule élémentaire du matériau est considérée comme constitué d'une fibre entourée d'un
cylindre de matrice à base circulaire ou hexagonal L. Cette cellule possède un axe de révolution
noté l'axe 1 ou l'axe longitudinal L. Les directions normales aux fibres sont appelées directions
transversales. Le composite est considéré comme étant isotrope transverse c'est –à – dire qu'il est
isotrope dans le plan normal à la direction 1. Le plan transverse est repéré par les deux directions
équivalentes 2 et 3 notées aussi T et
.
II. 2 LOI DE COMPORTEMENT DE LA MONOCOUCHE
'
T
II.2.1 Approches théoriques à la détermination des modules d'élasticité
Le problème de détermination des modules d'élasticité d'un matériau composite
unidirectionnel consiste à rechercher des expressions de ces modules (5 modules indépendants)
en fonction des caractéristiques mécaniques et géométriques des constituants; modules
d'élasticité des fibres, de la matrice, fraction volumique des fibres, longueurs des fibres, etc. Les
propriétés mécanique et géométriques des fibres et de la matrice seront caractérisées par leurs
modules d'élasticité, coefficients de poisson et de fractions volumiques notés respectivement Ef,
Em, Uf, Um, Vf et Vm.
La résolution du problème est plutôt complexe à cause des possibilités multiples et variées
d'arrangements des fibres dans le composites. (Figure II.1).
Dans ce qui suit on donne quelques expression simplifiée des modules élastiques du composite
unidirectionnel en fonction des caractéristiques des constituants.
II.2.1.1 Module de Young longitudinal
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 10

CHAPITRE II
LA THEORIE DES STRATIFIES
Le module de Young est déterminé par un essai de traction longitudinale figure (II.1). On
suppose que les fibres et la matrice subissent une déformation identique et uniforme. Si ΔL est
l'allongement de la cellule du composite, la déformation longitudinale imposée à la cellule est:
l
L = l
(2.1)
2
h
h
1
Matrice
fibre
1
1
Matrice
L
L
FigureII.1: Traction longitudinale
Où L est longueur initiale de la cellule considérée.
La déformation dans la fibre et la matrice est:
f = m =
L
(2.2)
Les contraintes dans la fibre et la matrice sont exprimées par:
E
(2.3)
f
f
f
E
(2.4)
m
m
m
La charge totale appliquée est : F1= σƒSƒ+ σƒSm (2.5)
Où Sƒ et Sm sont respectivement les aires des sections droites de la fibre et de la matrice.
Si S est l'aire de la section droite de la cellule moyenne, la contrainte moyenne
σ1= F1/S (2.6)
σ1= σƒ Sƒ+ σm (1-Vƒ) (2.7)
Cette contrainte moyenne est liée a la déformation de la cellule par le module
d'Young Longitudinal par:
1 =EƒVƒ+ Em (1-Vƒ) (2.8)
La relation précédentes, conduisent a' léxpression du module d'Young longitudinale
EL = Eƒ Vƒ+ Em (1-Vƒ) (2.9)
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 11

CHAPITRE II
LA THEORIE DES STRATIFIES
Cette expression est connue sous le non de loi de mélange pour le module d'Young dans la
direction des fibres.
II.2.1.2 Module de Young transversal
Le module d'Young transversal est déterminé dans un essai de traction transversal ou le
composite est chargé suivant la direction normale aux fibres (figure II.2).
2
2
hm/2
h f
hm/2
Matrice
fibre
Matrice
1
2
FigureII.2: Traction transversale
La charge F 2
imposée suivant dans la direction transversal est transmise dans les fibres et la
matrice et impose des contraintes égales soit.
σm = σƒ = σ2
Il en résulte que les déformations respectives des fibres et de la matrice dans la direction
transversale sont:
f =
2
f
(2.10)
m =
2
E m
(2.11)
La déformation transversale est donnée par:
ε 2= εƒVƒ+εm (1-Vƒ) (2.12)
la déformation est liée a la contrainte imposé à la cellule par:
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 12

CHAPITRE II
LA THEORIE DES STRATIFIES
E
(2.13)
2 T 2
la combinaison des relation précédente conduit à léxpression du module d'Young
Transversale.
1
E
f
V
E
f
f
1V
E
m
f
(2.14)
II.2.1.3 Coefficient de poison longitudinal
Le coefficient de poisson longitudinal, est déterminé par essai de traction longitudinale.
Les déformations transversales respectives des fibres et de la matrice sont donnée par:
2m
m1
et
2 f
f
1
L'allongement transversal de la cellule élémentaire est:
Lt
m1hm
f
1
La déformation transversale st donnée par:
h
f
L
[
(2.15)
t
2
m
(1
f
)
f
f
]
h
f
hm
D’où l'expression du coefficient de poisson
1
LT
1
)
(2.16)
f
f
m
(
f
Cette expression est la loi des mélanges pour le coefficient de poisson longitudinal.
II.2.1.4 Module de cisaillement longitudinal
Le module de cisaillement longitudinal
GLT
est déterminé dans un essai de cisaillement
longitudinal (figure II.3) Les contraintes de cisaillement dans les fibres et la matrice sont égales
du fait des contraintes de cisaillement imposées à la cellule. Les déformations en cisaillement de
la fibre et de la matrice sont donnée par:
f
Gf
m
G
m
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 13

CHAPITRE II
LA THEORIE DES STRATIFIES
2
hm/2
h f
Matrice
fibre
1
hm/2
Matrice
FigureII.3: Essai de cisaillement longitudinal
Les déformations induites dans la fibre et la matrice sont donnée par:
h
f
La déformation totale de la cellule est:
f
f
f
m
f
h
f
m
m
m
m
m
h h
(2.17)
Alors l'angle de cisaillement de la cellule est donné par l'expression:
( f
V
f
m
1V
f
)
(2.18)
h h
f
m
Cet angle de cisaillement est liée a la contrainte de cisaillement par le module de cisaillement
(2.19)
G LT
De la combinaison des relations précédentes, on obtient:
1
G
LT
V
G
f
f
1V
G
M
f
(2.20)
II.2.2 Matrice de rigidité et de souplesse
Le comportement élastique d'un matériau composite unidirectionnel peut être d'écrite en
introduisant soit la matrice de rigidité notée c ij
, soit la matrice de souplesse Sij
La loi de Hooke s'écrit suivant l'une des deux formes :
C
Ou bien sous forme explicite:
(2.21)
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 14

CHAPITRE II
LA THEORIE DES STRATIFIES
1 c
2
c
3
c
4 c
5
c
6
c
11
21
31
41
51
61
c
c
c
c
c
c
12
22
32
42
52
62
c
c
c
c
c
c
13
23
33
43
53
63
c
c
c
c
c
c
14
24
34
44
54
64
c
c
c
c
c
c
15
25
35
45
55
65
c
c
c
c
c
c
16
26
36
56
56
66
1
2
3
4
5
6
(2.22)
S
(2.23)
1 S
2
S
3
S
=
4 S
5
S
6
S
11
21
31
41
51
61
S
S
S
S
S
S
12
22
32
42
52
62
S
S
S
S
S
S
13
23
33
43
53
63
S
S
S
S
S
S
14
24
34
44
54
64
S
S
S
S
S
S
15
25
35
45
55
65
S
S
S
S
S
S
16
26
36
46
56
66
1
2
3
4
5
6
(2.24)
Avec C matrice d élasticité et S matrice de souplesse
Pour un matériau orthotrope les matrices d élasticité et de souplesse s'écrivent :
C
c
c
c
0
0
0
11
21
31
c
c
c
12
22
32
0
0
0
c
c
c
13
23
33
0
0
0
0
0
0
c
44
0
0
0
0
0
0
c
55
0
0
0
0
0
0
c66
(2.25)
S
S
S
S
0
0
0
11
21
31
S
S
S
12
22
32
0
0
0
S
S
S
13
23
33
0
0
0
0
0
0
S
44
0
0
0
0
0
0
S
55
0
0
0
0
0
0
S
66
(2.26)
Les constantes de rigidité et de souplesse sont liées aux modules d'élasticité EL, ET, GLT et
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 15

CHAPITRE II
LA THEORIE DES STRATIFIES
LT
Par les relation suivantes:
Constante de souplesse
S
S
S
11
22
44
1
, S
E
1
1
, S
E
2
1
G
23
12
23
, S
55
E
E
12
23
2
1
,
1
G
13
, S
S
, S
13
33
66
E
13
1
E
3
1
1
G
12
Constantes d'élasticité
C
11
1
23
E E
1
2
32
,
C
12
12
E E
1
23
3
32
, C
13
13
12
E E
1
2
23
C
22
113
E E
1
3
31
,
C
23
23
21
E E
1
2
13
, C
33
112
E E
1
2
21
Avec
C
44
G23
C55
G13
,
1
, C G
1
2
3
66
12
21
3113
2
E E
E
21
12
32
13
II.2.3 Matériau composite en-dehors de ses axes principaux
Les stratifié sont élaborés par lémpilement de couche successible dont la direction
des fibres et variable d'une couche a l'autre. Pour faire l'étude du comportement élastique de tels
stratifiés, il est nécessaire de prendre un système d'axe de référence pour l'ensembles du
stratifiée, et de rapporter le comportement élastique de chaque couche à ce système de référence.
On considère une couche (figureII.4) de matériau unidirectionnel de directions principales
1, 2, 3 le plan 1,2 est confondue avec le plan de la couche et la direction 1 est confondue avec la
direction des fibre .il est question de caractériser les propriétés élastique de la couche en les
exprimant dans le système d'axes de référence (1'.2'.3 ') du stratifié, la direction des fibres fait un
angle ( ) avec la direction1',
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 16

CHAPITRE II
LA THEORIE DES STRATIFIES
3 3'
1'
1
2
2'
FigureII.4: Axes principaux et axes de référence d'une couche stratifié
Les matrices d'élasticité C' et de souplesse S' dans le système de refèrence sont obtenues en
appliquant au matrices d'élasticité et de souplesse C et S les relation de changement de base
Suivantes:
Et
C
C
T
1
T
(2.27)
S
' T
1 S
T
(2.28)
Avec T est la matrice de changement de base, donné par:
T =
cos
2
2
sin
0
0
0
sin cos
sin
2
cos
0
0
0
sin cos
0
0
1
0
0
0
0
0
0
cos
sin
0
0
0
0
sin
cos
0
2sin cos
2sin cos
0
0
0
2
2
cos sin
(2.29)
Les matrice C' et S' s'écrivent de la forme
P
P
P
0
0
P
P
P
P
0
0
P
P
P
P
0
0
P
0
0
0
P
P
0
0
0
0
P
P
0
0
0
0
0
0
P
(2.30)
Avec
ij
'
ij
'
ij
P C ou S
II.2.3.1 Etat de contraintes planes
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 17

CHAPITRE II
LA THEORIE DES STRATIFIES
Dans le cas ou le problème d'élasticité peut être ramené a un problème d'élasticité a deux
dimensions , les relation établies dans le cas général se simplifient l'étude du problème de
contraintes de rigidité réduites dans les axes principaux par:
Avec:
Q11
Q12
0
Q
Q21
Q22
0
(2.31)
0 0 Q
66
Q
11
1
E L
LT
TL
Q
22
1
E T
LT
TL
Q
12
Q
21
LTTL
1
LT
TL
Q66
G LT
La matrice de rigidité réduite hors axes est donnée par l'expression:
Avec
__
Q
T
1
Q
T
(2.32)
T
2
cos
2
sin
sin cos
sin
cos
2
2
sin cos
2sin cos
2sin cos
2
2
cos sin
Les composantes de la matrice s'écrivent explicitement et en posant:
sin s
cos
c
__
Q
11
c
4
Q
11
s
4
Q
11
2 2
2(
Q12
2Q66
) s c
__
Q
12
( Q
11
Q
22
4Q
66
2
) s c
2
Q
12
( c
4
s
4
)
__
Q
16
3
3
( Q Q 2Q
) sc ( Q Q 2Q
) s c
(2.33)
11
12
66
11
12
66
__
Q
22
s
4
Q
11
c
4
Q
22
2 2
2(
Q12
2Q66
) s c
__
Q
26
3
3
( Q11
Q12
2Q66
) s c ( Q11
Q12
2Q66
) sc
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 18

CHAPITRE II
LA THEORIE DES STRATIFIES
__
Q
66
2 2
4 4
Q
Q 2( Q Q ) s c Q ( s c )
11
22
12
66
66
II.3. la théorie des plaques stratifiées
La théorie élémentaire des plaques faites l'hypothèse que les contraintes normales
33
sont négligeables dans le volume de la plaque, par rapport aux composantes 11 , 22 , 12 cette
hypothèse est généralement vérifiée dans la pratique, et dans ce cas la loi de Hooke Généralisé
hors axes principaux d'une couche s'écrit:
11
22
33
Q
Q
Q
__
11
__
21
__
31
__
Q
12
__
Q
22
__
Q
32
__
Q
13
__
Q
23
__
Q
33
11
22
33
(2.34)
Où
__
Q
ij
sont les coefficients de la matrices de rigidité d'une couche k donné.
La discontinuité des matrices de rigidité d'une à l'autre entraîne la discontinuité des contraints au
passage d'une couche à l'autre.
II.3.1 Résultantes en membrane
Le vecteur résultantes en membrane noté N ( x,
y)
et défini par:
h
2
N(
x,
y)
k
dz
(2.35)
h
2
Où
k
est la matrice en membrane
Le vecteur N ( x,
y)
peut s'écrire
x
y
N
N(
x,
y)
N
N
xy
x
y
xy
h
2
h
2
, , dans la couche k
xx
yy
xy
xx
yy
xy
(2.36)
N , N , etN Sont les résultantes par unité de longueur:des contraintes suivant x, y et des
contraintes de cisaillement respectivement,
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 19

CHAPITRE II
LA THEORIE DES STRATIFIES
z
N x
y
N xy
N y
N xy
N y
N xy
N xy
x
N x
FigureII.5: schématisation des résultantes en membrane des actions exercées sur un stratifié
La discontinuité des contraintes d'une couche à l'autre conduit à la relation précédente sous la
forme:
N
N
N
x
y
xy
n
h
k
k 1
h
x
y
xy
k 1
dz
(2.37)
II.3.2 résultantes en cisaillement
Le vecteur force en cisaillement est définie de la même manière par :
Q
xy
Q
Q
x
y
n
k 1
h
k
k 1
xz
yz
dz
(2.38)
Comme les résultantes en membrane, les résultantes en cisaillement sont définies par unité de
longueur du stratifié,
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 20

CHAPITRE II
LA THEORIE DES STRATIFIES
z
Q y
Q x
x
Q x
Q y
y
FigureII.6:schématisation des résultantes de cisaillement
II.3.3 Moment de flexion et de torsion
Les moments de flexion et de torsion exercés sur un élément du stratifiée sont définis par:
M
M ( x,
y)
M
M
X
Y
XY
n
k
k 1
hk
1
xx
yy
xy
zdz
(2.39)
z
M xy
M x
M xy
y
M y
Mxy
M y
M x
M x
x
FigureII.7:schématisation des moments de flexion et de torsion
II.3.4 Théorie classique des stratifiés
La théorie classique des stratifiés utilise les modèles du premier du premier ordre à savoir les
modèles de love-kirchhoff.Les rotations de la section suivant les axe X et Y s'écrivent:
w0
x
( x,
y)
(2.40)
x
w0
y
( x,
y)
y
Le champ des déplacements s'écrie alors:
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 21

CHAPITRE II
LA THEORIE DES STRATIFIES
w0
u(
x,
y,
z)
u0 ( x,
y)
z ( x,
y)
x
w0
v(
x,
y,
z)
v0 ( x,
y,
z)
z ( x,
y)
(2.41)
y
w( x,
y,
z)
w0 ( x,
y)
u0
Et v0
sont les déplacements membranaires de la feuille moyenne de la plaque w
0
Est le déplacement hors plan feuille moyenne de la plaque.
y
z y
z
z
A
M
H
x
w 0
y
B
u 0
x
-z x
z
z
A
M
H
y
w 0
x
B
v 0
FigureII.8:schématisation des déformations dans le cas de la théorie classique des stratifiés
II.3.4.1 Champ des déformations
Le champ des déformations s'écrit :
xx
u
0
x
w
z
x
0
2
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 22

CHAPITRE II
LA THEORIE DES STRATIFIES
yy
v0
y
w
z
y
0
2
(2.42)
xy
xz
u
0
y
yz
2
v0
w0
2z
x
xy
0
Le tenseur des déformations en un point M est donnée par:
xx
xy
0
( M )
yx
yy
0
(2.43)
0 0 0
La matrice des déformation se réduit a trois composantes non nulles:
xx
( M )
yy
(2.44)
xy
Le champ des déformation st la superposition des déformations en membrane donnée par:
u
0
0
v x
xx
0
0
m
( M )
yy
(2.45)
y
0
xy u0
v0
y
x
Et les déformation en flexion donnée par :
2
w
0
2
f
x
xx
2
f w0
f
( M )
yy
(2.46)
2
y
f
xy
2
w
0
2
xy
Généralement, les déformations en flexion et en torsion s'expriment suivant la relation:
En posant:
( M ) zk(
x,
y)
(2.47)
f
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 23

CHAPITRE II
LA THEORIE DES STRATIFIES
2
w
0
2
x
k
x
2
w
0
k( x,
y)
k
y
(2.48)
2 2
y
k
xy 2
w0
2
xy
La matrice k(x, y) est appelée matrice des courbures de la plaque stratifiée en flexion.
Les angles de rotation de la déformée du plan moyen au point H(x, y, o) s'expriment en fonction
du déplacement transversal w0(x, y) de se point par:
w0
x
y
w0
y
x
Finalement le champ des déplacements s'écrit:
xx
yy
xy
Ou sous la forme:
0
xx
0
yy
0
xy
k
zk
k
xx
yy
xy
(2.49)
(2.50)
( M )
m
( x,
y)
zk(
x,
y)
(2.51)
II.3.4.2 Champ de contraintes
Le champ de contrainte en un point est donné par:
xx
xy
0
( M )
yx
yy
0
(2.52)
0 0 0
Le champ de contraintes se réduit au composantes en membrane donnée par:
xx
( M )
yy
(2.53)
xy
Les contrainte dans une couche k sont données par:
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 24

CHAPITRE II
LA THEORIE DES STRATIFIES
xx
yy
xy
Q
Q
Q
__
11
__
21
__
16
Q
12
__
Q
22
__
Q
__
26
Q
16
__
Q
26
__
Q
__
66
xx
yy
xy
(2.54)
Cette relation peut s'écrire :
xx
yy
xy
Q
Q
Q
__
11
__
21
__
16
__
Q
12
__
Q
22
__
Q
26
__
Q
16
__
Q
26
__
Q
66
0
0
0
xx
yy
xy
Q
z
Q
Q
__
11
__
21
__
16
Q
12
__
Q
22
__
Q
__
26
Q
16
__
Q
26
__
Q
__
66
k
k
k
xx
yy
xy
(2.55)
Où
__
__
( M ) ( x,
y,
z)
Q ( x,
y)
z Q k(
x,
y)
(2.56)
k
k
k
k
(M ) Représente la matrices contrainte dans la couche k : hk1
z hk
réduite
Q __
k
m
k
, la matrice de rigidité
varie d'une couche à l'autre .il en résulte donc une discontinuité du champ des
contraintes dans les couches successives.
II.3.4.3 Expression des résultantes et des moments
II.3.4.3.a Résultantes en membrane
L'expression (2.44) conduit à L'expression des résultantes en membrane:
n hk
__
N( x,
y)
Q
k
k1
hk
1
m
__
( x,
y)
z Q
k
k(
x,
y)
dz
n __
hk
n __
hk
N( x,
y)
Qk
m
( x,
y)
dz
Qk
k( x,
y)
zdz
(2.57)
k1
h
k 1
k 1
h
k 1
n
__
n
__
1
2 2
N( x,
y)
hk
hk
1
Qk
m
x,
y
hk
hk
1
Q k ( x,
y)
k 1
2
k 1
Soit, en définitive:
N( x,
y)
A m
( x;
y)
Bk(
x,
y)
(2.58)
Les matrice, A, B s'écrivent:
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 25

CHAPITRE II
LA THEORIE DES STRATIFIES
n
k 1
Avec A A ij
Et
Et
__
A ( hk
hk
1)
Q
(2.59)
A
i j
Avec B B ij
B
ij
n
__
( hk
hk
1)
Qk
k 1
(2.60)
n
__
1 2 2
( hk
hk
1
) Qk
(2.61)
2
k 1
L'expression développée des résultantes s'écrit :
N
N
N
x
y
xy
=
A
A
A
11
21
16
A
A
A
12
22
26
A
A
A
16
26
66
xx
yy
xy
B
+
B
B
11
21
16
B
B
B
12
22
26
B
B
B
16
26
66
k
k
xx
yy
xy
(2.62)
II.3.4.3.b Moment de flexion et de torsion
L'expression (2.44) conduit à l'expression des moments de flexion et de torsion:
Ou :
Soit :
h
n k
__
2
M ( x,
y)
z Qk
( x,
y)
z Qk
k(
x,
y)
dz
(2.63)
k 1
h
M
k
n
n
1
2 2 1
3 3
( x,
y)
h k
h k 1
( x,
y)
hk
hk
1
k(
x,
y)
2
k 1
(2.64)
3
k 1
M ( x,
y)
B ( x,
y)
D k(
x,
y)
(2.65)
L'expression de la matrice D:
k 1
3
___
k 1
Qk
n
1 3
D hk
h
(2.66)
3
__
3 3
Dij
( hk
hk
1
)( Qij
k
D )
(2.67)
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 26

CHAPITRE II
LA THEORIE DES STRATIFIES
L'expression développée des moments s'écrit sous la forme:
M
M
M
x
y
xy
B
B
B
11
21
16
B
B
B
12
22
26
B
B
B
16
26
66
xx
yy
xy
D
+
D
D
11
21
16
D
D
D
12
22
26
D
D
D
16
26
66
k
k
xx
yy
xy
(2.68)
II.4 Conclusion :
Dans ce chapitre la théorie des matériaux composites stratifiés a été présentée .cette théorie
va être comptée au la théorie d'instabilité élastique pour se permettre d'analyser la stabilité des
plaques multicouches, chose qui va faire le sujet du chapitre III
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 27

CHAPITRE III
MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS
III. MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS
III.I INTRODUCTION
Les modèles concernant le calcul des stratifiés se rapportent tous au problème de
dépendance ou d'indépendance des rotations des normales aux feuillets moyens des
différentes couches. On suppose dans tous les cas qu'il n'y a pas de glissement aux interfaces.
On distingue :
Les modèles basés sur l'approche monocouche équivalente.
Les modèle basés sur l'approche par couche.
Dans ce chapitre, nous présentons un élément fini sur la base d'un des modèles de la première
catégorie basé sur la théorie de kirchhoff.
On suppose que la théorie de kirchoff est vérifiée dans chacune des couches .cela revient
évidemment à supposer que cette hypothèse est vérifiée globalement dans toute l'épaisseur de
la plaque. Cette approche se justifié dans le cas d'une plaque mince, les couches constituant la
plaque sont composées de matériaux assez peu différents, et possèdent les modules de
cisaillement transverse du même ordre de grandeur que les autre modules
C'est-à-dire possède peu d'anisotropie. Pour que cette approche donne de bons résultats, une
autre condition s'ajoute aux autres :le chargement est condition aux limites n'occasionnant que
peu de flexion.
Dans ce travaille, tout les condition pour l'adoption de cette approche sont remplies.
En effet les plaques étudiées sont minces et constituées de couche identique d'autant plus, le
flambage n'occasionne que peut de flexion. L'élément de A.TATI 15 est un élément basé
sur un modèle issu de l'approche monocouche équivalent.
L'élément est issu d'une combinaison de deux élément quatre nœuds chacun bidimensionnels
Chacun:
le premier est un élément quadrilatéral membranaire isoparamétrique bilinéaire
le deuxième est un élément plaque rectangulaire de haute précision, de premier ordre, de
type Hermite, qui sera transformé en un élément quadrilatéral.
III.2 L'ELEMENT MEMBRANAIRE
III.2.1 Approximation nodale des coordonnées
Les cordonnées paramétrique sont noté et .les coordonnées x ( ,
)
et y ( , )
d'un
point quelconque sont définies par:
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'unesingularité géométrique 27

CHAPITRE III
MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS
4
x ( ( , )
= N
i
( , )
xi
i1
(3.1)
4
y ( , )
= N
i
( , )
yi
i1
Ou ( x ) sont les coordonnées du nœud i, et les fonction d'interpolation linéaire sont donné
par
(
i, yi
13 et 14
N
1 (
1
, )
1
4
1
1
N
2
( ,
)
1
1
(3.2)
4
N
N
4
3 (
1
,
)
1
4
1
1
( ,
)
1
4
1
III.2.2 Champ des déplacements
Comme l'élément est isoparamétrique, l'approximation nodale pour le champ des
déplacements dans le plan de l'élément s'écrie en utilisant les mêmes fonctions de formes que
l'approximation géométrique soit:
4
u ( , )
N i
( ,
)
u
i1
i
(3.3)
4
v ( ,
)
N i
( , )
v
i1
i
Où u ( ,
)
et v ( , )
sont les déplacements membranaires d'un point quelconque
( ,
)
et u
i
, vi
sont les déplacements d'un nœud i (figure III.1)
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'unesingularité géométrique 28

CHAPITRE III
MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS
(u 4 , v 4 )
+1
(u 3 , v 3 )
y
(u 4 , v 4 )
(u 3 , v 3 )
IV
III
-1
+1
I II
(u 1 , v 1 ) -1 (u 2 , v 2 )
(u 1 , v 1 )
(u 2 , v 2 )
x
a) Élément de référence b) Élément réel
FigireIII.1: Elément membranaire
III.3 L'ELEMENT PLAQUE
III.3.1 Fonction d'interpolation de l'élément de référence
L'approximation nodale du champ du déplacement hors plan w ( ,
)
d'un point de
coordonnées ( ,
)
et d'un élément rectangulaire de haute précision de type Hermite de
premier ordre est donné par: Dhatt
14 et TATI 15
Où
2
wi
wi
wi
w ( , )
= H
00
wi
H10
H
01
H11
(3.4)
1
2
H 00 ( 0
) 0
0
16
2
2
2
1
2
H 10 ( 0 ) 0
0 0
16
2
1
2
1
2
H 01 ( 0
) 0 0 0 0
16
2
2
1
1
2
H 10 0
( 0
) 0 0 0 0
16
2
1
1
(3.5)
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'unesingularité géométrique 29

CHAPITRE III
MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS
III.3.2 Fonction d'interpolations de l'élément réel
suivante:
Les dérivées des fonctions d'interpolation géométriques seront calculées par la formule
N i
x
N i
y
Ou sous la forme matricielle par:
Les dérivées
Inversée
N
x
N
y
, , et
x
y
x
i
i
N
i
Ni
=
x
x
N
i
N
i
=
y
y
=
x
y
x
y
N
i
N
i
se déterminent à partir de la matrice Jacobienne
1
J la matrice Jacobienne est donnée par:
(3.6)
(2.7)
x
J=
x
y
y
4
=
i1
N
i
xi
N
i
xi
N
i
y
N
i
y
i
i
(3.8)
Les fonctions d'interpolation de l'élément plaque réel quadrilatérale sont déterminées à
partir des fonctions d'interpolation de l'élément de référence en introduisant les fonctions
d'interpolation géométrique.
w =
w =
w
x
w
y
x
y
w
x
w
y
x
y
(3.9)
2
w
2
w x
x
2
x
2
w y
y
2 w
+
y
xy
+
2
x
y
y
x
+
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'unesingularité géométrique 30

CHAPITRE III
MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS
2
w
x w
x
+
y
2
y
En traduisant les expressions (3.9) dans l'expression (3.4) en aboutit à:
w
x
w
y
W(x,y) = H
00w
i
H10
x
y
+ H 01
w
x
w
y
+
x
y
2
w x
x
x
H11
2
2
w y
y
2 w
+
y
xy
+
2
x
y
y
x
+ (3.10)
2
2
w
x w
y
x
y
L'expression du déplacement hors w(x,y) d'un point quelconque de coordonnées(x,y)
l élément réel est donnée par: A. TATI15
2
2
2
wi
wi
wi
wi
W(x, y)= Lwwi
L xwi
Ly
Lxy
Lxx
L
2 yy
(3.11)
2
y
xy
x
y
Ou
L
w
w(x,y)= L
w
L
x
x
, Ly
, Lxy
, Lxx
,
L
y
yy
L
xy
L
xx
L
yy
wi
w
i
w x i
y
2
wi
xy
2
w
i
2
x
2
w
i
2
y
, L
L sont les fonctions d'interpolation de l'élément réel par:
L w
H 00
x
H
x
H
x
2
L
x
H10
01
11
y
H
y
H
x
2
L
y
H10
01
11
x
y
x
y
L
xy
H 11
(3.12)
L
xy
H 11
x
x
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'unesingularité géométrique 31

CHAPITRE III
MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS
L
yy
H 11
y
y
Comme on peut le remarquer les fonctions d'interpolation de l'élément réel sont fonction des
coordonnés
x
i ,
etyi
des nœuds (i=1.2.3.4) figure (III.2).
(w 4 ,w 4, ,w 4, ,w 4,, )
+1
(w 3,w 3, ,w 3,,w 3,,)
y
4
3
-1
+1
2
(w 1 ,w 1, ,w 1, ,w 1,, ) -1
(w 2 ,w 2, ,w 2, ,w 2,, )
1
(w i ,w i,x ,w i,y ,w i,x,y ,w ,x,x ,w ,y,y )
avec i =1,2,3,4;
x
Élément de référence
Élément réel
FigureIII.2: L'élément plaque
III.4 CONSTUCTION DE L'EMENT COMBINE
La combinaison des deux éléments permet d'obtenir un élément de type coque a quatre
noeud de huit degrés de liberté chacun, soit un élément de 32 degrés avec un vecteur de
déplacement:
q
T
ui
,
w
,
x
w
,
y
2
w
xy
2
vi
, wi
,
, ,
2
2
i i
i xi
w
2
x
Avec i=1.2.3.4
yi
III.4.1 Relation cinématiques
La théorie utilisée est la théorie classique des stratifiés, basée sur le modèle classique de
Kirchhoff dans laquelle on suppose que la normale au feuilles moyen reste après déformation
en plus elle néglige les déformation dues au cisaillement transverse .les déplacement selon
cette approche s'écrie:
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'unesingularité géométrique 32

CHAPITRE III
MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS
y
z y
z
z
A
M
H
x
w 0
y
B
u 0
x
-z x
z
z
A
M
H
y
w 0
x
B
v 0
FigureIII.3:schématisation des déformations dans le cas de la théorie classique des stratifiés
w0
u(
x,
y,
z)
u0 ( x,
y)
z ( x,
y)
x
w0
v(
x,
y,
z)
v0 ( x,
y,
z)
z ( x,
y)
(3.13)
y
w( x,
y,
z)
w0 ( x,
y)
u0
Et v0
sont les déplacements membranaires de la feuille moyenne de la plaque w
0
Est le déplacement hors plan feuille moyenne de la plaque
Le champ des déformations pou le cas de grandes déformations est donné par:
x
0
x
zk
x
0 zky
(3.14)
y
y
xy
0
xy
zk
xy
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'unesingularité géométrique 33

CHAPITRE III
MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS
0
x
u
1 w
x
2 x
2
2
0 v
1 w
x
(3.15)
y
2 y
0
xy
Ou sous forme suivante:
0
x
y
u
w
w
x
y
x
y
0
xl
0
xnl
0
y
(3.16)
0
yl
0
ynl
0
xy
0
xyl
0
xynl
Ou sous forme matricielle:
.et
0
0
xl
0 0
l
nl
=
yl +
0
0
xyl
0 0 0
nxl
nyl
nxyl
(3.17)
k
k
k
x
y
xy
2
w
2
x
2
w
2
y
2
w
2
xy
qui peut s’écrire sous la forme :
k
x
k
k
y
(3.18)
k
xy
III.4.2 Loi de comportement d'un stratifié
Le stratifié est constitué d'un nombre de couches ou plies unidirectionnelles en
négliges les contraintes dans le sens d'épaisseur de chaque couche, les relation contraintes
déformation dans le système de coordonnées locales des fibres, sont données par:
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'unesingularité géométrique 34

CHAPITRE III
MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS
Q
1
2
Q
3 0
11
21
Q
Q
12
0
22
0
1
0
2
Q
3
33
(3.19)
Les composantes de la rigidité Qij sont donnée par:
E1
E1
Q
11
=
2 2
112
E
21
2 2
1
12
E
1
Q
22
E
1
2
2
12
2
21
E
E
2
1
Q
11
(3.20)
Q
12
E
1
12 2
2 2
12
21
Q
12
22
Q33 G 12
Dans les quelles E1 , E2
,
12
, G12
sont les caractéristiques mécaniques d'une couche.
Les relation contraintes _déformation dans le repère globale du stratifié, sont données par:
xx
yy
xy
Q
Q
Q
__
11
__
21
__
31
Q
12
__
Q
__
22
__
Q
32
__
Q
13
__
Q
23
__
Q
33
xx
yy
xy
(3.21)
Les efforts et le moment de la plaque sont liés aux déformations et aux courbures par les
expressions suivantes:
N
N
N
M
M
M
x
y
xy
x
y
xy
A
A
A
B
B
B
11
21
31
11
21
31
A
A
A
B
B
B
12
22
32
12
22
32
A
A
A
B
B
B
13
23
33
13
23
33
B
B
B
D
D
D
11
21
31
11
21
31
B
B
B
D
D
D
12
22
32
12
22
32
B
B
B
D
D
D
13
23
33
13
23
33
0
x
0
y
0
xy
k
x
k
y
k
xy
(3.22)
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'unesingularité géométrique 35

CHAPITRE III
MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS
Et en peut écrire cette expression sous la forme:
A
M
B
N
0
B
D
K
(3.23)
En notant par les contraintes dans le plan, on peut écrire:
ij
N
M
ij
ij
h
2
h
2
dz
h
2
h
2
ij
zdz
ij
Les rigidité extensionnelle, flexionnelle et de couplage sont définies par:
(3.24)
A
ij
h
2 __
h
2
Q
ij
dz
h
2 __
B Q zdz
(3.25)
ij
h
2
ij
D
ij
h
2 __
h
2
Q
ij
z
2
dz
III.4.3. Energie potentielle de déformation:
Energie potentielle de déformation d'une plaque est donnée par:
U
1
2
v
T
dv
Ou v et le volume de la plaque.
(3.26)
En utilisant les relations contraintes –déformations et les relations constituves des stratifiés,
l'énergie potentielle de déformation peut s'écrire:
U
0 T 0 0 T T 0 T
A
B k K
B
k
D kd
(3.27)
l
l
l
L
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'unesingularité géométrique 36

CHAPITRE III
MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS
Puisque la plaque est supposée être chargées par les résultantes des contrainte
N , N , N ,l'énergie potentielle due a une charge extérieures membranaires est donnée par:
x
y
xy
V
1
2
2
2
w
w
N
x N
y 2N
x
y
xy
ww
d
x
y
(3.28)
L'énergie potentielle due à une charge transversale P repartie sur la surface de la plaque est
donné par:
V' p w(x,y) d
(3.29)
En traduisant les relations (3.22) dans les expressions de l'énergie, on obtient:
U
1
2
1 1
11
T T
T
T
q S
A S
S
BS
S
B S
T
S
D S
q
J d
d
K
K
K
K
(3.30)
V
1
2
1 1
T T
q G N
0
G
qJ
dd
11
(3.31)
Ou' J est la matrice Jacobienne
0
l
S
q
k
S
q
k
(3.32)
(3.33)
w
x
G
(3.34)
w
y
q
N N
N 0
(3.35)
N
xy
N
y
x xy
L'énergie potentielle totale d'une plaque Π est la somme des énergies potentielles de
déformation, et celle des charges extérieures
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'unesingularité géométrique 37

CHAPITRE III
MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS
Dans le cas de la flexion de la plaque due à un chargement transversale L'énergie potentielle
de déformation donné par:
'
U V
(3.36)
Dans le cas de grand déformation et l'existence d'un chargement membranaire l'énergie
potentielle totale donné par:
Π = U V
' V
(3.37)
III.4.4 PROBLEME DE FLAMBAGE
Problèmes de flambage des plaques, la détermination en avance de la distribution des
contraintes à travers la plaque n'est pas nécessaire. Cependant dans le cas générale et lorsque
les contraintes normales sont non uniformément distribués à travers la plaque, notamment
lorsque la plaque renferme des ouvertures ou subit une variation non uniforme de température
, il sera nécessaire de déterminer la distribution des efforts membranaire comme première
étape dans l'analyse.
Il faut donc déterminer la distribution des efforts membranaire dans il éléments en résolvant
l'équation:
X
F
K (3.38)
F est le vecteur force global du à un chargement membranaire dans le plan appliqué sur les
bords de la plaque.
Les efforts dans l'élément sont donnés par:
N
AS
BS
q
'
Où N
N
, N , N
(3.39)
x
y
xy
k
Dans ce cas la plaque est soumise à un chargement membranaire et le champ des efforts
membranaires dans un élément est donnée par:
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'unesingularité géométrique 38

CHAPITRE III
MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS
N
N
0
'
x xy
N
N
xy
N
N
y
(3.40)
Avec est le paramètre de charge
L'énergies potentielle totale de la plaque données par:
Π=U+V (3.41)
L'équilibre critique signifié de la deuxième variation de l'énergie potentielle totale
Soit:
Soit :
Avec:
e
e
1 1
1
1
1 1
11
2 2 2
Π = V 0
U (3.42)
T T
T T
q S
AS
S
BS
S
BS
T
S
D S
q
J d
d
K
K
q J dd
2 T T
q G
N
G
0
e e e e e
K
K
K
K
K
1 2 3
4
1 1
e
T
K
S
A J dd
1
11
1 1
e
T
K
2
S
B S
J dd
11
k
1 1
e
T
K
3
S
B S
J dd
11
k
1 1
e
T
K
S
D S
J dd
4
11
K 1
: Matrice de rigidité élémentaire
k
k
K
e
K 2 Et K 3
: Matrice de rigidité élémentaire de couplage membrane flexion
e
K 4
: Matrice de rigidité élémentaire flexionnelle
En remplaçant la matrice des efforts
0
K
N de l'équation (3.43) par la matrice N
'
(3.43)
, on obtient:
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'unesingularité géométrique 39

CHAPITRE III
MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS
e
K
q
K
q
0
(3.44)
g
et :
e
g
1 1
e
T '
K
G
N
G J dd
g
11
K et la matrice géométrique élémentaire
e e
L'assemblage des matrices élémentaires, K
propres suivant :
g
(3.45)
K , perme d'obtenir le problème aux valeurs
K X
+ X
=0 (3.46)
K g
Cette relation est nulle quelle que soit le vecteur des déplacements X alors sa résolution et
sa nulle le déterminant de l'expression c'est-à-dire :
DET
K
0
K (3.47)
g
La résolution de l'équation (3.47) permet d'obtenir les valeurs propres i
.
La plus petite des valeurs de i
correspondre au coefficient de la charge critique cr
.
la matrice des efforts critiques Nocrest égale
cr
la charge critique extérieur appliquée telle que :
P cr =
cr
.P
'
Avec Pcr
est la charge critique membranaire par unité de longueur.
N et par conséquent on peut déterminer
III.5 Conclusion:
Une fois que l'élément développé par Tati15 est mis en route. Il est adapté a l'analyse
des instabilités par flambement et cela par son enrichissement avec une matrice des couplage
membrane- flexion nécessaire pour les problèmes des multicouches initiales ainsi que par la
matrice des contrainte initiales k
.Dans le prochain chapitre nous allons validé cet élément
par des exemples le mettant en valeur.
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'unesingularité géométrique 40

CHAPITRE IV
INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE
. GEOMETRIQUE
IV.INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUE MINCES SANS OUVERTURE
Dans ce chapitre nous avants testé sur plusieurs exemples. La fiabilité de
L'élément a 4noeuds pour le calcul des efforts externes en élasticité plane,
Nous vérifions dans cette section l’efficacité de ce programme sur plusieurs exemples de
flambement de plaque pour le calcule la charge critique de flambage.
IV.1 présentation de problèmes
Les plaques étudiées sont des plaques isotropes ou des plaques orthotropes stratifiées,
simplement supportées, les chargements utilisés sont : la compression uniaxiale, la
compression bi axiale et le cisaillement pur.
Avec des sections carrées et rectangulaires a/b = (1, 1.5, 2), les caractéristiques géométriques
a=20cm et b = 20 cm, un'épaisseur de la plaque h = 20 mm et avec des caractéristiques
7
mécaniques pour le cas isotrope E = 2x 10 N / cm , G = 7692307.7N/cm2 et 0. 3
2
Mais pour le cas stratifié, les caractéristiques mécaniques sont :
E2 123x10
N/ cm
5
2
5
, E2 8.2x10
N/ cm , G =
2
5
4.1x10
N/ cm et 0. 25 .
2
Cette plaque est composée de six couches avec une épaisseur h = 1,75 mm. Les orientations
des fibres comme suit : des fibres comme suit : [90 2 /0]s, et les chargement utilisés sont : la
compression uni axiale, la compression bi axiale et le cisaillement pur, définis à la figure
(IV.1a). L'état de distribution des efforts internes
N , N , N (fig IV.1a) se calcule par le
programme d'élasticité plane en utilisant l'élément à 4 noeuds.
Pour les plaques stratifiées orthotropes, nous avons étudié les cas d'une plaque orthotrope
simplement supportée, avec des sections carrées et rectangulaires, les chargements utilisés
sont la compression unie axiale, la compression bi axiale et le cisaillement pur.
Pour chacun des problèmes étudiés, nous avons calculé la charge critique, la convergence de
cette charge critique vers la solution exacte en fonction de nombre N d'élément utilisés, en
comparant les solutions analytiques (Timoshenko et Gere) 16 avec celles obtenues par la
méthode des éléments finis.
Les maillages N généralement utilisés dans cette section sont N=2*4, 4*4,5*5 ,8*8, 10*10
X
Y
XY
IV.1.a Le cas isotrope :
Les solutions analytiques des charges critiques
présentées sous forme :Timonchenko et Gere16 :
N
cr
pour les cas étudiés peuvent être
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 41

CHAPITRE IV
INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE
. GEOMETRIQUE
N
cr
2
D
a
Timonchenko et Gere16
(4.1)
2
b
Où
a
est un coefficient qui dépend du rapport
l'anisotropie de la plaque.
a , du chargement, des conditions d'appui et
b
3
h
D: la rigidité flexionnelle des la plaque D=
2
12(1 )
b: est le cote de la plaque perpendiculaire ou chargement
a: est le cote de la plaque parallèle ou chargement
Les valeurs de dans Timoshenko et Gere16 sont parfois données sous forme
a
littérale,parfois en valeur numidique; voici les formules littérales que nous avons pu relever
pour les plaques isotropes simplement supportées, soumise au chargement suivantes :
- compression uniaxiale (fig. IV.1a)
2
2
b n a
a
m
Timoshenko et Gere16
(4.2)
a m b
- Compression biaxiale N
x
N
Y
(fig IV.1b)
2
2 b 2
a
m n
2
Timoshenko et Gere16
(4.3)
a
- Cisaillement pur (fig IV.1c)
a
3
ab
32
m n p q
m1 n1
a
mn
a
a
mn
qp
m
a
2
2
( m
2
2
n
2
b
mnpq
2
n ) ( q
2
2
n )
(4.4)
Ou m q et n q sont des entiers impaire (Timoshenko et Gere16 )
m, n Représentent dans la formule ci-dessus le nombre de demi-mondes sinusoïdaux
respectivement dans les directions parallèles et perpendiculaires au chargement.
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 42

CHAPITRE IV
INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE
. GEOMETRIQUE
IV.1.b la plaque stratifiée orthotrope
Pour la plaque stratifiée orthotrope simplement supportée, soumise a' une compression
uniforme sur chaque coté, de résultantes
( q 0 ). (fig IV.1a), la valeur analytique F
cr
d'après witney 17 :
N et N , aucune charge latérale n'étant exercé
x
y
- compression uniaxiale (fig.IV.1a)
N cr
4
2 2
4
2 D11m
2D12
2D66
m
n R D22n
R
witney
a
2
m
2
n
2
R
2
17 (4.5)
R: b
a est le rapport longueur sur largeur de la plaque
m; nombre de demi onde sinusoïdales dans la direction parallèle au chargement
n; nombre de demi onde sinusoïdales dans la direction perpendiculaire au chargement
b: est le cote de la plaque perpendiculaire ou chargement
a: est le cote de la plaque parallèle ou chargement
La charge critique de flambement correspond aux valeur de m et n, conduisant au valeur les
plus faible de
-compression unaxiale
N
cr
nous étudiant plusieurs type de chargement
a D22
Dans le cas d'une compression uniaxiale suivant x, nous avant α =0, et que
3
b D11
et A A 0, B 0
16 26
witney 17
ij
ij
, la charge critique et calculé par l'expression suivante:
N cr
4
2 2 2
4 4
D m 2D
D m
n R D n R witney
m
2
2
a
2
11
12
66
22
17 (4.6)
Pour m donné, la plus faible valeur de
N
cr
est donné pour n=1
2
2 2
D
22 2 D11
b D12 2D66
1 a
Nxcr m 2
2
2
b D
22 a
D
22 m b
witney 17 (4.7)
a
b
D
D
22
11
3
et A A 0 0
16 26
B
ij
ij
, la charge critique et calculé par
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 43

CHAPITRE IV
INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE
. GEOMETRIQUE
L'expression suivante: witney 17
N cr
K D11D22
2
C D
D witney
b
2
12
66
17 (4.8)
K=19.7, C=2
K et C : cœfficient Dépend des condition d'appuis
- compression biaxiale
Dans le cas d'une plaque carrée soumise à une compression biaxiale sur les deux cotés,
nous avons α=1 et R=1 .l'expression (4.5) devient :
N cr
m
2
2
n
2
a
2
D
11
m
4
2 2
4
2 D12
D66
m n D22
n
witney 17 (4.9)
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 44

CHAPITRE IV
INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE
. GEOMETRIQUE
w
y
0
w
x
0
w
y
0
w
x
0
-Nx uniforme sur la plaque
-Ny=Nxy=0
Compression biaxial
Fig (IV.1) Conditions géométrique en élasticité plane pour simuler les
types de sollicitation
a/b Maillage 4x2 4x4 5x5 8x8 10x10 N cr analytique = a = a/b
(m,n)
1
1.4241 1.4401 1.4439 1.4459 1.4460 1.4461 4
1.5
N
cr
x10
3
(1.1)
N/cm 1.5015 1.5265 1.5533 1.5674 1.5686 1.569 4.34
(2.1)
2 1.3417 1.3605 1.4156 1.4430 1.4450 1.4461 4
(2.1)
Tableau IV.1 Charge critique de flambage d'une plaque isotrope simplement appuyée
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 45

CHAPITRE IV
INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE
. GEOMETRIQUE
1580
1570
1560
Ncr (N/cm)
1550
1540
1530
1520
1510
numérique
Analytique
1500
1490
0 16 32 48 64 80 96 112
Nombre d'élements
Fig (IV.1.a) Variation de Ncr en fonction de nombre d'élément. (a /b)=1.5
Pour une plaque isotrope simplement appuyée
1448
Ncr (N/cm)
1432
1416
1400
1384
1368
Ncr numérique a/b=1
Ncr numérique a/b=2
Ncr analytique
1352
1336
1320
0 16 32 48 64 80 96 112
Nombre d'élements
Fig (IV.1.b) Variation de Ncr en fonction de nombre d'élément a /b=1, a/b=2
Pour une plaque isotrope simplement appuyée sollicitée par une
Compression uniaxiale
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 46

CHAPITRE IV
INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE
. GEOMETRIQUE
w
y
0
w
x
0
w
y
0
w
x
0
Nx=Ny uniforme sur la plaque
-Compression biaxial
Fig (IV.2) Conditions géométrique en élasticité plane pour simuler les
types de sollicitation
a/b Maillage 4x2 4x4 8x8 10x10 N cr analytique a =a/b
(m,n)
1
N
cr
N/cm 713.51 721.45 723.00 723.04 723.04
2
(1.1)
Tableau IV.2: Variation de Ncr en fonction de nombre d'éléments a /b=1
Pour une plaque isotrope simplement appuyée sollicitée
Par une compression biaxiale
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 47

CHAPITRE IV
INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE
. GEOMETRIQUE
724
722
Ncr (N/cm)
720
718
716
Ncr numirique
Ncr analytique
714
712
0 16 32 48 64 80 96 112
Nombre d'élements
Fig (IV.2.a) Variation de Ncr en fonction de nombre d'éléments a /b=1
Pour une plaque isotrope simplement appuyée sollicitée Par une
Compression biaxiale
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 48

CHAPITRE IV
INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE
. GEOMETRIQUE
w
x
0
y
w
y
w
x
y
x
0
0
w
x
0
y
- Nxy uniforme sur la plaque
Nx=Ny=0
- Cisaillement pur
Fig (IV.3) Conditions géométrique en élasticité plane pour simuler les
types de sollicitation
a/b Maillage 4x4 8x8 10x10 10x16 Ncr analytique err
Tableau IV.3: Charge critique de flambage d'une plaque isotrope
Sollicitée Par une cisaillement pur
0
0
a =a/b
(m,n)
1
2.9565 3.34071 3.3594 3.3660 3.37682 -0.3 9.35
N
cr
x10
3
(1.1)
1.5 N/cm 2.11779 2.5336 2.5476 2.5734 2.55360 0.77 7.12
(2.1)
2 1.76651 2.3365 2.360 2.3657 2.34268 0.97 6.38
(2.1)
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 49

CHAPITRE IV
INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE
. GEOMETRIQUE
Ncr(N/cm)
3400
3350
3300
3250
3200
3150
3100
3050
3000
2950
2900
0 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160
Nombre d'élements
Ncr numérique
Ncr Analytique
Fig (IV.3.a) Variation de Ncr en fonction de nombre d'éléments a /b=1
Pour une plaque isotrope simplement appuyée sollicitée
Par une Cisaillement pur
3000
2500
Ncr (N/cm)
2000
1500
1000
Ncr numérique
Ncr Analytique
500
0
0 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160
Nombre d'élements
Fig (IV.3.b) Variation de Ncr en fonction de nombre d'éléments a /b=1,5
Pour une plaque isotrope simplement appuyée sollicitée Par
Une Cisaillement pur
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 50

CHAPITRE IV
INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE
. GEOMETRIQUE
2600
2150
Ncr (N/cm)
1700
1250
Ncr Numérique
Ncr Analytique
800
0 32 64 96 128 160 192
Nombre d'elements
Fig (IV.3.c) Variation de Ncr en fonction de nombre d'éléments a /b=2
Pour une plaque isotrope simplement appuyée sollicitée
Par une Cisaillement
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 51

CHAPITRE IV
INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE
. GEOMETRIQUE
Z
Y
X
-
Fig (IV.4)- La plaque stratifiée avec une orientation (90,-90, 0, 0,-90,90)
-
w 0
y
w
x
0
w
y
0
w
x
0
-Nx uniforme sur la plaque
-Ny=Nxy=0
-Compression biaxial
Fig (IV.5) Conditions géométrique en élasticité plane pour simuler les
types de sollicitation
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 52

CHAPITRE IV
INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE
. GEOMETRIQUE
a/b Maillage 4x2 4x4 5x5 8x8 10x10 Ncr analytique (m,n)
1
23.492 23.60966 23.808 23.8846 23.885 23.885 (2.1)
1.5
N
cr
N/cm
21.660 21.689 23.294 23.857 23.885 23.885 (3.1)
2 14.446 20.7088 20.713 23.714 23.850 23.229 (2.1)
(2.1)
Tableau IV.4: Charge critique de flambage d'une plaque orthotrope stratifiée simplement
appuyée Sollicitée par une compression uniaxiale
25
24
23
Ncr (N/cm)
22
21
20
19
Ncr numérique a/b=1
Ncr Analytique
Ncr numirique a/b=1,5
Ncr analytique
Ncr numérique a/b=2
Ncr Analytique
18
0 16 32 48 64 80 96 112
Nombre d'élements
(Fig IV.5.a) Variation de Ncr en fonction de nombre d'éléments a /b=1, a/b=2, a/b=1,5
Pour une plaque orthotrope stratifiée simplement appuyée sollicitée par
une compression uniaxiale
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 53

CHAPITRE IV
INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE
. GEOMETRIQUE
w
y
0
w
x
0
w
y
0
w
x
0
Nx=Ny uniforme sur la plaque
-Compression biaxial
(Fig IV.6) Conditions géométrique en élasticité plane pour simuler les
types de sollicitation
a/b Maillage 4x2 4x4 8x8 10x10 Ncr analytique (m, n)
1 N
cr
N/cm 18.106 18.107 18.1217 18.1218 18.1218
(1.1)
Tableau IV.5: Charge critique de flambage d'une plaque orthotrope stratifiée simplement
.. appuyée Sollicitée par une compression
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 54

CHAPITRE IV
INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE
. GEOMETRIQUE
Ncr (N/cm)
18,124
18,122
18,12
18,118
18,116
18,114
18,112
18,11
18,108
18,106
18,104
Ncr numérique
Ncr analytique
0 16 32 48 64 80 96 112
Nombre d'élements
Fig (IV.6.a) Variation de Ncr en fonction de nombre d'éléments a /b=1
Pour une plaque orthotrope stratifiée simplement appuyée
Sollicitée Par une compression biaxial
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 55

CHAPITRE IV
INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE
. GEOMETRIQUE
w
0
y
x
w
x
y
0
w
x
0
y
- Nxy uniforme sur la plaque
Nx=Ny=0
- Cisaillement pur
w
x
y
0
Fig (IV.7) Conditions géométrique en élasticité plane pour simuler les
types de sollicitation
a/b Maillage 4x4 8x8 10x10 10x16 analytique
1
62.383 77.695 78.341 78.6105 ---------
1.5
N
cr
N/cm
38.608 67.1602 67.976 69.0862 ---------
2 22.625 60.577 64.388 66.160 ----------
Tableau IV.6: Charge critique de flambage d'une plaque orthotrope stratifiée simplement appuyée
Sollicitée par Cisaillement pur
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 56

CHAPITRE IV
INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE
. GEOMETRIQUE
90
80
Ncr (N/cm)
70
60
50
40
30
20
10
0
0 30 60 90 120 150 180
Nombre d'elements
Ncr Numériqie a/b=1
Ncr Numérique a/b=1,5
Ncr Numérique a/b=2
Fig (IV.7.a) Variation de Ncr en fonction de nombre d'éléments a /b
Pour une plaque orthotrope stratifiée simplement appuyée sollicitée
Par une Cisaillement pur
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 57

CHAPITRE IV
INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE
. GEOMETRIQUE
VI.1.2Discussion et conclusion:
La figures (IV.1.a) présente la
nombre d’éléments pour
variation de la charge critique ( Ncr ) en fonction du
une plaque rectangulaire (a/b = 1.5) simplement supportée et
sollicitée par une charge uni axiale pour un type de matériau isotrope.
Les résultats obtenus, présentés sous forme de courbes, montrent que les résultats numériques
convergent vers la solution analytique. Cela ne nécessite pas d'un maillage N très grand,
généralement un maillage 10X10, et ceci correspond au deuxième mode de flambement.
Pour la figure (IV.1.b) présente la variation de la charge critique ( Ncr ) en fonction du
nombre d’éléments pour une plaque carrée et rectangulaire, (a/b = 1,2), simplement supportée
et sollicitée par une charge uni axiale pour un type de matériau isotrope.
En montre
que les résultats numériques convergent vers les solutions analytiques. La
convergence des résultats de la charge critique analytique et numérique correspond au premier
monde de flambement pour la section carré, mais par contre pour la section rectangulaire
(a/b = 2) elle correspond au deuxième mode de flambement, mais donne une charge critique
identique.
La figure (VI.2.a) présente la variation de la charge critique ( Ncr ) en fonction du nombre
d’éléments pour une section carrée (a/b = 1) dans le cas d'une plaque simplement supportée
avec un chargement bi axial. La convergence de la charge crique numérique est aussi rapide,
ce qui correspond au premier mode de flambement.
Les figures (VI.3a) (VI.3b) (VI.3c) présentes la variation de la charge critique ( Ncr ) en
fonction du nombre d’éléments pour le cas d'une plaque simplement supportée avec un
chargement de cisaillement pur. Il a fallu un Maillage N =16X10, pour obtenir une erreur de.
-0.3 0 0 , + 0.77 0 0 et +0.9 0 0 sur le calcul de la petite charge critique. Cette convergence peut
s'expliquer par la nature de la formule littérale de
a (équation (4.4)) qui nécessite la
somation sur plusieurs termes pour obtenir une approximation satisfaisante (Timoshenko et
Gere15 ).
La figure (IV.5.a), montre sous forme graphique la charge critique en fonction du nombre
d’éléments pour une plaque carrée (a/b = 1) et des plaques rectangulaires (a/b = 1.5) et (a/b =
2), simplement supportée, sollicitée par une charge uni axiale, pour un type de matériau
composite. Nous remarquons que les sections (a/b = 1) et (a/b = 1.5) convergent vers la même
petite charge critique de flambage et avec des modes différents.
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 58

CHAPITRE IV
INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE
. GEOMETRIQUE
Mais pour la plaque de section rectangulaire (a/b = 2), il y a divergence vers la solution
analytique des plaques (a/b=1) et (a/b=1.5). Ceci peut s'expliquer par la nature de la formule
littérale de Ncr en fonction des paramètres c et k qui dépendent de la nature du chargement
et de la nature des conditions d'appui.
La figure (VI.6.a) présente une section carrée (a/b = 1) pour le cas d'une plaque
simplement supportée, avec un chargement biaxial. La convergence de la charge crique
numérique est aussi rapide, ce qui correspond au premier mode de flambement.
La figures (VI.7.a) montre la variation de Ncr en fonction du nombre d'éléments a /b pour
une plaque orthotrope stratifiée simplement appuyée, sollicitée par un cisaillement pur. On
voit que la courbe converge lentement vers une valeur bien déterminée, et que le flambage
des plaques stratifiées est un sujet très compliqué, alors on ne trouve de solution analytique
que pour quelque cas de stratifiés.
Conclusion:
A la lumière des cas classiques étudiés, nous concluons que le programme qu'on a étilisé
pour l'étude de l'instabilité élastique des plaques minces isotropes et orthotropes stratifiés
donne de très bons résultats pour le calcul de la charge critique.
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 59

CHAPITRE IV
…..
INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE
GEOMETRIQUE
IV.2 LES PLAQUES AVEC OUVERTURE :
IV-2.1 INTRODUCTION:
Le besoin des ouvertures dans les sous composantes qui sont des plaques est nécessaire
pour des considérations pratiques. Par exemple les ouvertures dans les plaques composant les
structures spatiales sont utilisées comme des accès aux lignes hydrauliques. Il est toujours
nécessaire d'avoir des ouvertures loin du centre de la plaque.
Cela est souvent le cas des récipients contenant des liquides où il est nécessaire de permettre
le passage du liquide d'une chambre à une autre à travers des valves positionnées près du fond
de la partition. fig (IV.8 et 9)
IV.2.2 Présentation du problème :
Dans ce qui suit on analyse l'effet du degré d'excentricité d'un trou carré sur la charge
critique de flambage des plaques carrée (a/b = 1) et rectangulaire (a/b = 1,5) isotropes et
orthotropes stratifiées.
Pour les plaques carrée et rectangulaire avec une singularité carrée excentrée, nous avons
étudié le cas d'une plaque simplement supportée soumise à une compression uni axiale, et à
un cisaillement pur, fig. (IV. 8et9).
Pour chacun des problèmes étudiés, nous avons calculé la charge critique et comparé avec la
plaque sans défaut.
Le deuxième problème est l'étude de la variation de la charge critique de flambage d'une
plaque carrée et rectangulaire isotrope et orthotrope stratifiée avec une ouverture carrée
centrée. On considère le cas de chargement uni axiale pour les plaques simplement appuyées.
La taille de l'ouverture est exprimée par le paramètre non dimensionnel d/b, fig. (V.10) tel
que :
a - cote de la plaque parallèle au chargement.
d- longueur de l'ouverture perpendiculaire au chargement.
Remarque: on garde les mêmes caractéristiques géométriques et mécaniques des plaques
[chapitre (IV.4.1)]
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 60

CHAPITRE IV
…..
INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE
GEOMETRIQUE
1
2
- Nx uniforme sur la plaque avec une excentricité -Nx uniforme sur la plaque avec une excentricité
Position 1 position 2
-Compression uniaxiale
Fig (IV.8) Types de sollicitation utilise pour l étude de flambage avec singularité
a/b Position 1 Position 2
1 3
Fcrx10
2
N / cm
1.30333 1.30333
1.5 1.3884 1.3884
Tableau (IV.7)- Cas isotrope la variation Fcr en fonction de la position de trou en
. compression uniaxiale
a/b Position 1 Position 2
1 Fcr
2
N / cm
19.4951 19.4951
1.5 19.6664 19.6664
Tableau (IV.8) Cas orthotrope la variation Fcr en fonction de la position de trou en
. compression uniaxiale
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 61

CHAPITRE IV
…..
INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE
GEOMETRIQUE
1 2
Position 1 position 2
Cisaillement pur
Fig (IV.9) Types de sollicitation utilise pour l étude de flambage avec singularité
a/b Position 1 Position 2
1 3
Fcrx10
2
N / cm
1.8986 1.8986
1.5 1.7174 1.7174
Tableau (IV.9) Cas isotrope la variation Fcr en fonction de la position de trou en cisaillement pur
a/b Position 1 Position 2
1 Fcr
2
N / cm
36.1559 36.1559
1.5 33.915 33.915
Tableau (IV.10) Cas orthotrope la variation Fcr en fonction de la position de trou en Cisaillement pur
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 62

CHAPITRE IV
INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUE MUNIES D'UNE SINGULARITE
. . GEOMETRIQUE
Fig V.10 La discrétisation d'une plaque carré
Pour d/b=(0.2-0.4)
z
z
a
u= w = 0
h
y
a
h
y
b
v = w = 0
b
x
a) Simplement appuyée
x
b) Encastrée
u=v=w=0
Fig(V.11) Géométrie de la plaque et condition aux limites
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 63

CHAPITRE IV
INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUE MUNIES D'UNE SINGULARITE
. . GEOMETRIQUE
4000
3500
Fcr (N/cm)
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
simplement appuis
encastrement
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
b/d
Fig IV.12 La variation Fcr en fonction b/d pour le cas isotrope (a/b=1)
Fcr (N/cm)
5000
4500
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
simplement
appuis
Encastrement
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
b/d
Fig IV.13 La variation fcr en fonction b/d pour le cas isotrope a/b=1.5
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 64

CHAPITRE IV
INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUE MUNIES D'UNE SINGULARITE
. . GEOMETRIQUE
Fcr (N/cm)
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
simplement appuis
encastrement
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
b/d
Fig IV.14 La variation fcr en fonction b/d pour le cas stratifié a/b=1
80
70
60
Fcr (N/cm)
50
40
30
20
10
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
b/d
simplement
appuis
encastrement
Fig IV.15 La variation fcr en fonction b/d pour le cas stratifié (a/b=1.5)
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 65

CHAPITRE IV
INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUE MUNIES D'UNE SINGULARITE
. . GEOMETRIQUE
VI.2.2 Discussion et conclusion
Les tableaux (IV.7-8-9-10) montre l'effet du degré d'excentricité d'un trou carré sur la
charge critique de flambage d'une plaque carrée (a/b=1) et rectangulaire (a/b=1.2) isotrope et
orthotrope simplement supportée soumise a un chargement uniaxiale, et un cisaillement pur
on observe que la charge critique de flambement décroît dans le cas du degrés d'excentricité
e/b par apport a la plaque sont ouverture.
Les figures (IV.12) (IV.13) présente la variation de la charge critique en fonction de la
dimension de l'ouverture (d/b) pour le cas d'une plaque carré a/b=1 et rectangulaire a/b=1.5
simplement supportée et encastrée pour le cas isotrope les résultats montre pour le cas d'une
plaque carré simplement supporté avec l'ouverture d/b=0.2 la charge critique de flambage
croit d'une manière rapide puis elle décrois progressivement.
Mais par contre pour la plaque rectangulaire a/b=1.5 elle croit jusqu a quelle arrive d/b =0.6.
Le cas de l'encastrement les deux courbe présente les même allures elle décrois jusqu a
d/b=0.2 puis elle crois progressivement jusqu a d/b=0.6
Les figures (IV.14) (IV.15) présente la variation de la charge critique en fonction de la
dimension de l'ouverture (d/a) pour le cas d'une plaque carré a/b=1 et rectangulaire a/b=1.5
simplement supporté et encastre pour le cas des plaques orthotrope elle présente presque les
même allure que celle des plaques isotope sauf Pour la plaque a/b=1.5 simplement supportée
elle décroît de départ.
Conclusion:
Dans ce chapitre, on a une analyse de quelques cas des plaques munies des
singularités centrées et excentrées. Au cours de l'analyse, certains résultats montre que la
présence d'ouverture dans certaines conditions d'appuis augmente la charge critique de
flambement par rapport à celle relatives aux plaques pleines correspondantes. Les résultats ont
aussi montré que la position de l'ouverture peut avoir une influence directe sur la valeur de la
charge critique dans certaines mesures.
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 66

CONCLUSION GENERALE
Pour l'analyse du comportement de flambage des plaques minces stratifiées en
matériaux composites, on a présenté un élément fini de type coque à 4 nœuds et 32 degrés de
liberté. Pour établir le comportement, on a adopté le modèle monocouche équivalente qui
consiste à déterminer le comportement de la plaque à partir des caractéristiques mécaniques
des couches constituant cette plaque considérée comme une seule couche équivalente.
La cinématique adoptée est celle de la théorie classique des stratifiés qui est l'extension de la
théorie de kirshhoff. Cette théorie ne tient pas compte des déformations dues au cisaillement
transverse.
Les variables nodales sont divisées en deux types:
les déplacements membranaires dans le plan de l'élément membranaire
isoparamétrique, qui sont interpolés par des fonctions bilinéaires.
Le déplacement transversal hors plan et ses dérivées hors plan de l'élément et ses
dérivées hors plan de l'élément plaque de type Hermet.
Dans le quatrième chapitre l'élément a été testé dans l'analyse du comportement de flambage
des plaques isotropes et stratifiées. Les résultats obtenus à travers une série d'exemples et
comparés à ceux obtenus analytiquement ont montré la bonne performance de l'élément,
notamment dans le cas de la plaque stratifiée (a/b) = 2 . La charge critique de flambage
converge vers la valeur analytique de celle de la plaque (a/b) = 1et 1.5, mais avec un mode
différent, le cas d'une compression uniaxiale simplement supporté.
Nous avons montré que la précision pour le calcul de la charge critique, diminuant pour le cas
de la plaque a/b = 1 et augmentant dans le cas des plaques (a/b) = 1.5 ou 2, tend vers la
solution analytique en fonction du nombre de maillage N pour le cas des plaques soumise à du
cisaillement pur.
En suite, nous avons montré l'effet d'une ouverture carrée excentrée sur les plaques carrées
ou rectangulaires sollicitées par une compression uniaxiale. Au cisaillement pur, la charge
critique de flambage décroît.
Pour le cas des plaques stratifiées, l'effet de la dimension de l'ouverture dépend du type de
conditions aux limites. La charge critique de flambage croit avec l'augmentation de la
dimension de l'ouverture, bien qu’elle garde la même allure pour le cas des plaques
simplement appuyées.
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munis de singularité géométrique 67

Bibliographie
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