Analyse de quelques préverbes et prépositions français et ... - LaLIC

Aspects formels de la Grammaire Applicative et Cognitive
Une expression est en forme normale quand elle ne comporte pas de combinateur 3 . Il
existe deux stratégies de réduction d’une expression applicative jusqu’à sa forme normale – la
réduction selon l’ordre normal et la réduction selon l’ordre inverse 4 . Le corollaire du
théorème de Church-Rosser garantit l’identité du résultat selon chacune des deux voies et
postule qu’à chaque fois que l’expression est réductible, l’ordre normal réussit. 5
Algèbre des combinateurs
Une opération binaire produit (notée °) telle que (X°Y) x 1 x 2 … x n > y 1 y 2 … y n
consiste à appliquer d’abord X sur x 1 x 2 …x n et puis Y sur le résultat obtenu. Si X est un
combinateur régulier (X°Y) = def BXY.
On définit la puissance d’un combinateur X n qui itère l’action de X de façon que
X 1 = def X et X n+1 = def (X n ° X) pour tout n ≥ 0. Donc, pour chaque combinateur régulier, la
puissance est définissable à l’aide du combinateur B : X 3 = def B(BXX)X. Par exemple :
B 1 f a b c d → f (a b) c d
B 2 f a b c d → f (a b c) d
B 3 f a b c d → f (a b c d)
Pour tout n ≥ 0 et pour chaque combinateur régulier X, un combinateur à distance est
défini comme suit : X 0 = X, X 1 = BX, X 2 = B(BX), X (n+1) = BX n . En effet, le combinateur agit
à distance et diffère son action de n pas – il agit sur son (n+2)-ème opérande 6 . Par exemple :
B 2 C a b c d e → C (a b c) d e → a b c e d
3 On parle de forme paranormale quand une expression ne comporte que des combinateurs et si elle ne peut pas
être réduite à une expression différente. (KKK se réduit à sa forme paranormale K).
4 Dans certains cas, seule la stratégie en ordre normal est possible (ex. CBxyz-> Byxz->y(xz) et C(Bx)yz->Bxzy-
>x(zy) ).
5 Le théorème de Church-Rosser assure que quand plusieurs stratégies de réduction sont possibles, il existe une
expression commune et terminale à laquelle se réduit la suite initiale sans égard de la stratégie et des étapes
intermédiaires. Et son corollaire postule que si une expression combinatoire a une forme normale, elle n’en a
qu’une.
6 Le combinateur I à distance reproduit sans modification la suite.
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