Université Paul Sabatier Corrigé du devoir Exercice 1. Soit A un ...
Université Paul Sabatier Corrigé du devoir Exercice 1. Soit A un ... Université Paul Sabatier Corrigé du devoir Exercice 1. Soit A un ...
6 Lorsque M = A n , on a Hom A (A n ,N) ≃ N n , et Hom S −1 A (S−1 A n ,S −1 N) ≃ (S −1 N) n , de sorte que u M,N est bijective dans ce cas : il s’agit essentiellement de l’isomorphisme canonique (S −1 N) n ≃ S −1 (N n ). Considérons la classe C des A-modules M tels que l’application u M,N soit bijective pour tout A-module N. Soit M ′ → M → M ′′ → 0 suite exacte à droite de A-modules, telle que M ′ et M soient dans C . Montrons que M ′′ est dans C . On a une suite exacte à gauche 0 → Hom A (M ′′ ,N) → Hom A (M,N) → Hom A (M ′ ,N) et comme le foncteur de localisation est exact, on a aussi une suite exacte à gauche 0 → S −1 Hom A (M ′′ ,N) → S −1 Hom A (M,N) → S −1 Hom A (M ′ ,N). De même, comme le foncteur de localisation est exact, on a une suite exacte à droite d’où une suite exacte à gauche S −1 M ′ → S −1 M → S −1 M ′′ → 0 0 → Hom S −1 A (S−1 M ′′ ,S −1 N) → Hom S −1 A (S−1 M,S −1 N) → Hom S −1 A (S−1 M ′ ,S −1 N). En conclusion, on obtient un diagramme commutatif 0 S −1 Hom A (M ′′ ,N) S −1 Hom A (M,N) S −1 Hom A (M ′ ,N) u M ′′ ,N u M,N u M ′ ,N 0 Hom S −1 A (S−1 M ′′ ,S −1 N) Hom S −1 A (S−1 M,S −1 N) Hom S −1 A (S−1 M ′ ,S −1 N) dans lequel les lignes sont des suites exactes à gauche, avec u M,N et u M ′ ,N des isomorphismes. On en déduit aussitôt que u M ′′ ,N est un isomorphisme. Pour conclure, il suffit de prouver que tout A-module de type fini est dans C . Soit M un A-module de type fini. On choisit une application A-linéaire surjective de la forme u : A n → M, et on pose K = ker(u). Comme A est noethérien, A n est noethérien, et donc son sous-module K est de type fini. On peut donc choisir une nouvelle fois une application A-linéaire surjective de la forme w : A m → K. Soit v : A m → A n l’application composée de w et l’inclusion K ⊂ A n . On a alors Im(v) = K = ker(u), avec u surjective. Autrement dit, on a une suite exacte à droite A m v −→ A n u −→ M → 0. Comme A m et A n sont dans C , il en résulte que M est dans C . En particulier, u M,N est alors bijective pour tout A-module N. Exercice 7. Soit A un anneau noethérien. (a) Si M = A m et N = A n pour deux entier m, n ∈ N, alors on a Hom A (M,N) ≃ A mn . En particulier, si M et N sont deux A-modules libres de rang fini, il en est de même de Hom A (M,N). Considérons deux A-modules localement libres M et N. En particlulier, ils sont de type fini (voir la fin de la correction de l’exercice 5). Il résulte donc de l’exercice 6 qu’on a un isomorphisme canonique Hom A (M,N) p ≃ Hom Ap (M p ,N p )
7 pour tout idéal premier p ⊂ A. Cela implique que Hom A (M,N) p est libre de rang fini pour tout p, ce qu’il fallait démontrer. (b) Si M = A m et N = A n , alors on a M ⊗ A N ≃ A mn . En particulier, si M et N sont libres de rang fini, alors il en est de même de M ⊗ A N. En général, pour deux A-modules M et N, pour tout idéal premier p de A, on a des isomorphismes canoniques M p ⊗ Ap N p ≃ (A p ⊗ A M) ⊗ Ap (A p ⊗ A N) ≃ ((A p ⊗ A M) ⊗ Ap A p ) ⊗ A N ≃ (A p ⊗ A M) ⊗ A N ≃ A p ⊗ A (M ⊗ A N) ≃ (M ⊗ A N) p , d’où on déduit que les A-modules localement libres sont stables par produit tensoriel sur A. (c) Soient M et N deux A-modules localement libres. On a une application canonique v = v M,N : M ∧ ⊗ A N → Hom A (M,N) définie par v(ϕ ⊗ y) = (x → ϕ(x)y) pour toute application A-linéaire ϕ : M → A et tout élément y ∈ N. Lorsque M et N sont des A-modules localement libres, il est facile de voir que v M,N est une bijection : en procédant comme dans les questions précédentes, on voit qu’il suffit de le vérifier dans le cas où A est un anneau local, auquel cas M et N sont libres de rang fini. Si M = a m et N = A n , on a alors des isomorphismes canoniques M ∧ ⊗ A N ≃ A mn ≃ Hom A (M,N). Exercice 8. Soit A un anneau noethérien. Montrons qu’un A-module de type fini est localement libre si et seulement s’il est projectif. Soit M un A-module de type fini. Dire que M est projectif équivaut à dire que, pour toute application A-linéaire surjective u : N → P, l’application induite u ∗ : Hom A (M,N) → Hom A (M,P) est surjective. Notons Q le conoyau de u ∗ . Pour tout idéal premier p de A, on a une suite exacte de la forme Hom A (M,N) p u ∗ p −→ Hom A (M,P) p → Q p → 0. Comme M est de type fini, en vertu de l’exercice 6, cette suite exacte est isomorphe à la suite exacte Hom Ap (M p ,N p ) u∗ p −→ Hom Ap (M p ,P p ) → Q p → 0. Si M est localement libre, comme M p est un A p -module libre, il est projectif, et on en déduit que Q p ≃ 0 pour tout idéal premier p de A (car l’application u p : N p → P p est encore surjective pour tout p). Il s’en suit que Q ≃ 0, ce qui montre que M est un A-module projectif. Réciproquement, si M est projectif et de type fini, il est en particulier plat et de type fini, ce qui implique que M p est un A p -module plat et de type fini pour tout idéal premier p (pour la platitude, cela résulte de la question (b)
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Lorsque M = A n , on a Hom A (A n ,N) ≃ N n , et Hom S −1 A (S−1 A n ,S −1 N) ≃ (S −1 N) n , de<br />
sorte que u M,N est bijective dans ce cas : il s’agit essentiellement de l’isomorphisme<br />
canonique (S −1 N) n ≃ S −1 (N n ).<br />
Considérons la classe C des A-mo<strong>du</strong>les M tels que l’application u M,N soit bijective<br />
pour tout A-mo<strong>du</strong>le N. <strong>Soit</strong><br />
M ′ → M → M ′′ → 0<br />
suite exacte à droite de A-mo<strong>du</strong>les, telle que M ′ et M soient dans C . Montrons que<br />
M ′′ est dans C .<br />
On a <strong>un</strong>e suite exacte à gauche<br />
0 → Hom A (M ′′ ,N) → Hom A (M,N) → Hom A (M ′ ,N)<br />
et comme le foncteur de localisation est exact, on a aussi <strong>un</strong>e suite exacte à gauche<br />
0 → S −1 Hom A (M ′′ ,N) → S −1 Hom A (M,N) → S −1 Hom A (M ′ ,N).<br />
De même, comme le foncteur de localisation est exact, on a <strong>un</strong>e suite exacte à droite<br />
d’où <strong>un</strong>e suite exacte à gauche<br />
S −1 M ′ → S −1 M → S −1 M ′′ → 0<br />
0 → Hom S −1 A (S−1 M ′′ ,S −1 N) → Hom S −1 A (S−1 M,S −1 N) → Hom S −1 A (S−1 M ′ ,S −1 N).<br />
En conclusion, on obtient <strong>un</strong> diagramme commutatif<br />
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0 S −1 Hom A (M ′′ ,N) S −1 Hom A (M,N) S −1 Hom A (M ′ ,N)<br />
u M ′′ ,N<br />
u M,N<br />
u M ′ ,N<br />
0 Hom S −1 A (S−1 M ′′ ,S −1 N) Hom S −1 A (S−1 M,S −1 N) Hom S −1 A (S−1 M ′ ,S −1 N)<br />
dans lequel les lignes sont des suites exactes à gauche, avec u M,N et u M ′ ,N des isomorphismes.<br />
On en dé<strong>du</strong>it aussitôt que u M ′′ ,N est <strong>un</strong> isomorphisme.<br />
Pour conclure, il suffit de prouver que tout A-mo<strong>du</strong>le de type fini est dans C .<br />
<strong>Soit</strong> M <strong>un</strong> A-mo<strong>du</strong>le de type fini. On choisit <strong>un</strong>e application A-linéaire surjective<br />
de la forme u : A n → M, et on pose K = ker(u). Comme A est noethérien, A n est<br />
noethérien, et donc son sous-mo<strong>du</strong>le K est de type fini. On peut donc choisir <strong>un</strong>e<br />
nouvelle fois <strong>un</strong>e application A-linéaire surjective de la forme w : A m → K. <strong>Soit</strong> v :<br />
A m → A n l’application composée de w et l’inclusion K ⊂ A n . On a alors Im(v) = K =<br />
ker(u), avec u surjective. Autrement dit, on a <strong>un</strong>e suite exacte à droite<br />
A m v −→ A<br />
n u −→ M → 0.<br />
Comme A m et A n sont dans C , il en résulte que M est dans C . En particulier, u M,N<br />
est alors bijective pour tout A-mo<strong>du</strong>le N.<br />
<strong>Exercice</strong> 7. <strong>Soit</strong> A <strong>un</strong> anneau noethérien.<br />
(a) Si M = A m et N = A n pour deux entier m, n ∈ N, alors on a<br />
Hom A (M,N) ≃ A mn .<br />
En particulier, si M et N sont deux A-mo<strong>du</strong>les libres de rang fini, il en est de même<br />
de Hom A (M,N).<br />
Considérons deux A-mo<strong>du</strong>les localement libres M et N. En particlulier, ils sont de<br />
type fini (voir la fin de la correction de l’exercice 5). Il résulte donc de l’exercice 6<br />
qu’on a <strong>un</strong> isomorphisme canonique<br />
Hom A (M,N) p ≃ Hom Ap (M p ,N p )
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