Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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3.2. Modèle M 1 gris<br />
Cependant, le régime asymptotique de l’équation de diffusion à l’équilibre (limite physique) est<br />
donné par (3.1) où le coefficient de diffusion n’est plus σ 0 mais la moyenne de Rosseland σ R<br />
définie par :<br />
∫ ∞<br />
σ R 0<br />
∂ t B ν (T)dν<br />
=<br />
1<br />
σ ν<br />
∂ t B ν (T)dν . (3.45)<br />
∫ ∞<br />
0<br />
Étant donné que le paramètre ¯κ i+<br />
1 ≥ 0 peut être choisi librement, il est possible de modifier<br />
2<br />
la limite asymptotique du schéma <strong>pour</strong> qu’il dégénère non plus vers la limite mathématique du<br />
système discrétisé, mais vers la limite physique du modèle. Pour cela, on peut choisir :<br />
¯κ i+<br />
1<br />
2<br />
= 3cσ R i+ 1 2<br />
T<br />
(1+ρC n )<br />
i+1 −Tn i<br />
v<br />
a(Ti+1 n )4 −a(Ti n)4<br />
−κ i+<br />
1,<br />
2<br />
où σ R i+ 1 2<br />
est la moyenne de Rosseland définie par (3.45).<br />
Extension du schéma en 2D<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
On s’intéresse à présent à l’extension de ce schéma en 2D sur <strong>des</strong> maillages non-structurés.<br />
Par un abus de notation, on appelle de nouveau A l’espace <strong>des</strong> états physiquement admissibles :<br />
A = {(E R ,F R ) ∈ R×R 2 ,E R > 0,f = ‖F R‖<br />
cE R<br />
≤ 1}.<br />
On écrit le modèle M 1 en 2D en respectant le formalisme (3.30) :<br />
<strong>avec</strong> :<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
E R F U = ⎜FR<br />
x R<br />
x ⎝F y ⎟<br />
⎠ ,F(U) = ⎜c 2 D xx<br />
⎝<br />
R<br />
c 2 D xy<br />
T 0<br />
où κ = cσ m est donné par :<br />
∂ t U +∂ x F(U)+∂ y G(U) = κ(R(U)−U), (3.46)<br />
R E R<br />
R E R<br />
⎞ ⎛<br />
F y R<br />
⎟<br />
⎠ ,G(U) = ⎜c 2 D xx<br />
⎝c 2 D yy<br />
0<br />
R E R<br />
R E R<br />
σ m = max<br />
(σ a ,σx,σ f y, f σe aT 3 )<br />
.<br />
ρC v<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ ,R(U) = ⎜<br />
⎝<br />
σ e aT 4 +σ 1 E R<br />
σ m<br />
σ 2 F x R<br />
σ m<br />
σ 3 F y R<br />
σ m<br />
σ a E R<br />
ρCv +σ 4T<br />
σ m<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ ,<br />
de telle sorte qu’il existe quatre coefficients positifs σ 1 ,σ 2 ,σ 3 ,σ 4 définis par :<br />
σ 1 = σ m −σ a ,<br />
σ 2 = σ m −σ f x,<br />
σ 3 = σ m −σ f y ,<br />
σ 4 = σ m − σe aT 3<br />
ρC v<br />
.<br />
Pour approcher les solutions de (3.46), on suppose que le domaine est discrétisé par un maillage<br />
non-structuré composé <strong>des</strong> polygones K de centre c K . On note |K| l’aire de ce polygone et Γ K<br />
l’ensemble de ses voisins. On introduit également ̺KL <strong>pour</strong> désigner le segment commun aux<br />
cellules K et L et |̺KL | la longueur de ce segment. On appelle −→ n KL = (n KL<br />
x ,n KL<br />
y ) la normale<br />
unitaire sortant deK au segment ̺KL (voir figure 3.6).<br />
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