Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

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CHAPITRE 3. ÉTUDE DES MODÈLES M 1 tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013 Si l’on note T 0,n i la température dans la limite de diffusion, un développement asymptotique du schéma (3.40) dans cette limite donne : Z 0,n+1 i = Z 0,n i +c 2 ∆t avec Z = ρC v T +aT 4 , ∆x 2 ( Z 0,n i+1 −Z0,n i κ i+ 1 2 − Z0,n i −Z 0,n i−1 κ i− 1 2 où κ i+ 1 = cσ m . 2 i+ 1 2 On voit bien que ce schéma approche une équation de diffusion mais pas pour le coefficient ) , (3.42) qui apparaît dans l’équation de diffusion du modèle (3.1). Il faut donc modifier le schéma pour qu’il admette la bonne limite dans ce régime asymptotique. Dans cet objectif, une correction du schéma est proposée en introduisant un nouveau paramètre ¯κ positif dans le terme source de la manière suivante : si bien que le modèle se réécrit : κ(R(U)−U) = κ(R(U)−U)+(¯κ− ¯κ)U, c 3σ 0 ∂ t U +∇F(U) = (¯κ+κ)(¯R(U)−U). (3.43) Les coefficients ¯κ et κ étant positifs, ¯R est en fait une combinaison convexe de R(U) et U : ¯R(U) = κ ¯κ R(U)+ κ+ ¯κ κ+ ¯κ U. Ainsi, si U et R(U) sont dans l’espace A, alors ¯R est admissible et le schéma (3.40) est bien applicable au modèle (3.43). Le schéma issu de cette correction reste le même que (3.40) avec une nouvelle définition de la discrétisation du terme source et du paramètre α relativement à l’introduction du paramètre ¯κ : α i+ 1 2 S − i+ 1 2 S + i− 1 2 = = c = c 2c 2c+∆x(κ i+ 1 2 κ i+ 1 2 κ i+ 1 2 + ¯κ i+ 1 2 κ i− 1 2 κ i− 1 + ¯κ 2 i− 1 2 + ¯κ i+ 1) , 2 (R(U n i )−U n i )−F(U n i ), (R(U n i )−Un i )+F(Un i ). Avec cette correction, la limite asymptotique du schéma devient : Z 0,n+1 i = Z 0,n i +c 2 ∆t avec Z = ρC v T +aT 4 . Il en résulte que le paramètre ¯κ i+ 1 2 schéma. En effet, en posant : ¯κ i+ 1 2 = 3cσ 0 i+ 1 2 ( Z 0,n ∆x 2 κ i+ 1 i+1 −Z0,n i 2 + ¯κ i+ 1 2 − Z0,n i −Z 0,n i−1 κ i− 1 2 + ¯κ i− 1 2 ) , (3.44) peut être fixé de manière à modifier la limite de diffusion du T (1+ρC n ) i+1 −Tn i v a(Ti+1 n )4 −a(Ti n)4 −κ i+ 1, 2 qui est bien positif dès que 3σ 0 ≥ κ i+ 1 i+ 1 où σ 0 est donné par (3.41), la limite asymptotique 2 2 i+ 1 2 du schéma est bien une discrétisation de l’équation limite du modèle M 1 (3.1) : ρC v T 0,n+1 i +a(T 0,n+1 i ) 4 = ρC v T 0,n i +a(T 0,n i ) 4 ⎛ −c ∆t ⎝ a((T0,n i+1 )4 −(T 0,n i ) 4 ) ∆x 2 3σ 0 i+ 1 2 − a((T0,n i ) 4 −(T 0,n 3σ 0 i− 1 2 i−1 )4 ) ⎞ ⎠. 98
3.2. Modèle M 1 gris Cependant, le régime asymptotique de l’équation de diffusion à l’équilibre (limite physique) est donné par (3.1) où le coefficient de diffusion n’est plus σ 0 mais la moyenne de Rosseland σ R définie par : ∫ ∞ σ R 0 ∂ t B ν (T)dν = 1 σ ν ∂ t B ν (T)dν . (3.45) ∫ ∞ 0 Étant donné que le paramètre ¯κ i+ 1 ≥ 0 peut être choisi librement, il est possible de modifier 2 la limite asymptotique du schéma pour qu’il dégénère non plus vers la limite mathématique du système discrétisé, mais vers la limite physique du modèle. Pour cela, on peut choisir : ¯κ i+ 1 2 = 3cσ R i+ 1 2 T (1+ρC n ) i+1 −Tn i v a(Ti+1 n )4 −a(Ti n)4 −κ i+ 1, 2 où σ R i+ 1 2 est la moyenne de Rosseland définie par (3.45). Extension du schéma en 2D tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013 On s’intéresse à présent à l’extension de ce schéma en 2D sur des maillages non-structurés. Par un abus de notation, on appelle de nouveau A l’espace des états physiquement admissibles : A = {(E R ,F R ) ∈ R×R 2 ,E R > 0,f = ‖F R‖ cE R ≤ 1}. On écrit le modèle M 1 en 2D en respectant le formalisme (3.30) : avec : ⎛ ⎞ ⎛ E R F U = ⎜FR x R x ⎝F y ⎟ ⎠ ,F(U) = ⎜c 2 D xx ⎝ R c 2 D xy T 0 où κ = cσ m est donné par : ∂ t U +∂ x F(U)+∂ y G(U) = κ(R(U)−U), (3.46) R E R R E R ⎞ ⎛ F y R ⎟ ⎠ ,G(U) = ⎜c 2 D xx ⎝c 2 D yy 0 R E R R E R σ m = max (σ a ,σx,σ f y, f σe aT 3 ) . ρC v ⎛ ⎞ ⎟ ⎠ ,R(U) = ⎜ ⎝ σ e aT 4 +σ 1 E R σ m σ 2 F x R σ m σ 3 F y R σ m σ a E R ρCv +σ 4T σ m ⎞ ⎟ ⎠ , de telle sorte qu’il existe quatre coefficients positifs σ 1 ,σ 2 ,σ 3 ,σ 4 définis par : σ 1 = σ m −σ a , σ 2 = σ m −σ f x, σ 3 = σ m −σ f y , σ 4 = σ m − σe aT 3 ρC v . Pour approcher les solutions de (3.46), on suppose que le domaine est discrétisé par un maillage non-structuré composé des polygones K de centre c K . On note |K| l’aire de ce polygone et Γ K l’ensemble de ses voisins. On introduit également ̺KL pour désigner le segment commun aux cellules K et L et |̺KL | la longueur de ce segment. On appelle −→ n KL = (n KL x ,n KL y ) la normale unitaire sortant deK au segment ̺KL (voir figure 3.6). 99
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Thèse de Doctorat Mémoire présen
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Remerciements Pour compléter le co
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2 Schémas numériques pour le mod
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