Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 3. ÉTUDE DES MODÈLES M 1
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Si l’on note T 0,n
i
la température dans la limite de diffusion, un développement asymptotique du
schéma (3.40) dans cette limite donne :
Z 0,n+1
i
= Z 0,n
i
+c 2 ∆t
avec Z = ρC v T +aT 4 ,
∆x 2 ( Z
0,n
i+1 −Z0,n i
κ i+
1
2
− Z0,n i
−Z 0,n
i−1
κ i−
1
2
où κ i+
1 = cσ m .
2 i+ 1 2
On voit bien que ce schéma approche une équation de diffusion mais pas pour le coefficient
)
,
(3.42)
qui apparaît dans l’équation de diffusion du modèle (3.1). Il faut donc modifier le schéma pour
qu’il admette la bonne limite dans ce régime asymptotique.
Dans cet objectif, une correction du schéma est proposée en introduisant un nouveau paramètre ¯κ
positif dans le terme source de la manière suivante :
si bien que le modèle se réécrit :
κ(R(U)−U) = κ(R(U)−U)+(¯κ− ¯κ)U,
c
3σ 0
∂ t U +∇F(U) = (¯κ+κ)(¯R(U)−U). (3.43)
Les coefficients ¯κ et κ étant positifs, ¯R est en fait une combinaison convexe de R(U) et U :
¯R(U) = κ ¯κ
R(U)+
κ+ ¯κ κ+ ¯κ U.
Ainsi, si U et R(U) sont dans l’espace A, alors ¯R est admissible et le schéma (3.40) est bien
applicable au modèle (3.43). Le schéma issu de cette correction reste le même que (3.40) avec une
nouvelle définition de la discrétisation du terme source et du paramètre α relativement à l’introduction
du paramètre ¯κ :
α i+
1
2
S − i+ 1 2
S + i− 1 2
=
= c
= c
2c
2c+∆x(κ i+
1
2
κ i+
1
2
κ i+
1
2
+ ¯κ i+
1
2
κ i−
1
2
κ i−
1 + ¯κ
2 i−
1
2
+ ¯κ i+
1) ,
2
(R(U n i )−U n i )−F(U n i ),
(R(U n i )−Un i )+F(Un i ).
Avec cette correction, la limite asymptotique du schéma devient :
Z 0,n+1
i
= Z 0,n
i
+c 2 ∆t
avec Z = ρC v T +aT 4 .
Il en résulte que le paramètre ¯κ i+
1
2
schéma. En effet, en posant :
¯κ i+
1
2
= 3cσ 0 i+ 1 2
( Z
0,n
∆x 2 κ i+
1
i+1 −Z0,n i
2
+ ¯κ i+
1
2
− Z0,n i
−Z 0,n
i−1
κ i−
1
2
+ ¯κ i−
1
2
)
,
(3.44)
peut être fixé de manière à modifier la limite de diffusion du
T
(1+ρC n )
i+1 −Tn i
v
a(Ti+1 n )4 −a(Ti n)4
−κ i+
1,
2
qui est bien positif dès que 3σ 0 ≥ κ
i+ 1 i+
1 où σ 0 est donné par (3.41), la limite asymptotique
2 2 i+ 1 2
du schéma est bien une discrétisation de l’équation limite du modèle M 1 (3.1) :
ρC v T 0,n+1
i
+a(T 0,n+1
i
) 4 = ρC v T 0,n
i
+a(T 0,n
i
) 4
⎛
−c ∆t ⎝ a((T0,n i+1 )4 −(T 0,n
i
) 4 )
∆x 2
3σ 0 i+ 1 2
− a((T0,n i
) 4 −(T 0,n
3σ 0 i− 1 2
i−1 )4 )
⎞
⎠.
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