Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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CHAPITRE 3. ÉTUDE DES MODÈLES M 1<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
Si l’on note T 0,n<br />
i<br />
la température dans la limite de diffusion, un développement asymptotique du<br />
schéma (3.40) dans cette limite donne :<br />
Z 0,n+1<br />
i<br />
= Z 0,n<br />
i<br />
+c 2 ∆t<br />
<strong>avec</strong> Z = ρC v T +aT 4 ,<br />
∆x 2 ( Z<br />
0,n<br />
i+1 −Z0,n i<br />
κ i+<br />
1<br />
2<br />
− Z0,n i<br />
−Z 0,n<br />
i−1<br />
κ i−<br />
1<br />
2<br />
où κ i+<br />
1 = cσ m .<br />
2 i+ 1 2<br />
On voit bien que ce schéma approche une équation de diffusion mais pas <strong>pour</strong> le coefficient<br />
)<br />
,<br />
(3.42)<br />
qui apparaît dans l’équation de diffusion du modèle (3.1). Il faut donc modifier le schéma <strong>pour</strong><br />
qu’il admette la bonne limite dans ce régime asymptotique.<br />
Dans cet objectif, une correction du schéma est proposée en introduisant un nouveau paramètre ¯κ<br />
positif dans le <strong>terme</strong> source de la manière suivante :<br />
si bien que le modèle se réécrit :<br />
κ(R(U)−U) = κ(R(U)−U)+(¯κ− ¯κ)U,<br />
c<br />
3σ 0<br />
∂ t U +∇F(U) = (¯κ+κ)(¯R(U)−U). (3.43)<br />
Les coefficients ¯κ et κ étant positifs, ¯R est en fait une combinaison convexe de R(U) et U :<br />
¯R(U) = κ ¯κ<br />
R(U)+<br />
κ+ ¯κ κ+ ¯κ U.<br />
Ainsi, si U et R(U) sont dans l’espace A, alors ¯R est admissible et le schéma (3.40) est bien<br />
applicable au modèle (3.43). Le schéma issu de cette correction reste le même que (3.40) <strong>avec</strong> une<br />
nouvelle définition de la discrétisation du <strong>terme</strong> source et du paramètre α relativement à l’introduction<br />
du paramètre ¯κ :<br />
α i+<br />
1<br />
2<br />
S − i+ 1 2<br />
S + i− 1 2<br />
=<br />
= c<br />
= c<br />
2c<br />
2c+∆x(κ i+<br />
1<br />
2<br />
κ i+<br />
1<br />
2<br />
κ i+<br />
1<br />
2<br />
+ ¯κ i+<br />
1<br />
2<br />
κ i−<br />
1<br />
2<br />
κ i−<br />
1 + ¯κ<br />
2 i−<br />
1<br />
2<br />
+ ¯κ i+<br />
1) ,<br />
2<br />
(R(U n i )−U n i )−F(U n i ),<br />
(R(U n i )−Un i )+F(Un i ).<br />
Avec cette correction, la limite asymptotique du schéma devient :<br />
Z 0,n+1<br />
i<br />
= Z 0,n<br />
i<br />
+c 2 ∆t<br />
<strong>avec</strong> Z = ρC v T +aT 4 .<br />
Il en résulte que le paramètre ¯κ i+<br />
1<br />
2<br />
schéma. En effet, en posant :<br />
¯κ i+<br />
1<br />
2<br />
= 3cσ 0 i+ 1 2<br />
( Z<br />
0,n<br />
∆x 2 κ i+<br />
1<br />
i+1 −Z0,n i<br />
2<br />
+ ¯κ i+<br />
1<br />
2<br />
− Z0,n i<br />
−Z 0,n<br />
i−1<br />
κ i−<br />
1<br />
2<br />
+ ¯κ i−<br />
1<br />
2<br />
)<br />
,<br />
(3.44)<br />
peut être fixé de manière à modifier la limite de diffusion du<br />
T<br />
(1+ρC n )<br />
i+1 −Tn i<br />
v<br />
a(Ti+1 n )4 −a(Ti n)4<br />
−κ i+<br />
1,<br />
2<br />
qui est bien positif dès que 3σ 0 ≥ κ<br />
i+ 1 i+<br />
1 où σ 0 est donné par (3.41), la limite asymptotique<br />
2 2 i+ 1 2<br />
du schéma est bien une discrétisation de l’équation limite du modèle M 1 (3.1) :<br />
ρC v T 0,n+1<br />
i<br />
+a(T 0,n+1<br />
i<br />
) 4 = ρC v T 0,n<br />
i<br />
+a(T 0,n<br />
i<br />
) 4<br />
⎛<br />
−c ∆t ⎝ a((T0,n i+1 )4 −(T 0,n<br />
i<br />
) 4 )<br />
∆x 2<br />
3σ 0 i+ 1 2<br />
− a((T0,n i<br />
) 4 −(T 0,n<br />
3σ 0 i− 1 2<br />
i−1 )4 )<br />
⎞<br />
⎠.<br />
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