Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

3.2. Modèle M 1 gris
On remarque qu’avec ce choix de paramètre α, quand κ = 0, α vaut 1, et ainsi on retrouve
bien le schéma HLL pour le système de transport. Puis, lorsque κ tend vers l’infini, U ∗ tend vers
R.
À présent, on substitue la solution du problème de Riemann par le solveur de Riemann modifié
(3.38) sur chaque interface x i−
1 . La juxtaposition des solveurs de Riemann n’interagissent pas
2
sous la condition CFL (3.35). La solution au temps t n +t est alors approchée par :
( x−xi+
)
Ũ h (x,t n 1
+t) = Ũ∗ 2
R ;Ui n t
,Un i+1 , si x ∈ [x i ,x i+1 ] et t ∈]0,∆t[.
Pour calculer la solution approchée au temps t n +∆t, on projette cette solution sur l’espace des
fonctions constantes par morceaux :
U n+1
i
= 1
∆x
∫ xi+ 1
2
x i−
1
2
Ũ h (x,t n +∆t)dx.
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Un calcul long mais direct de cette intégrale donne la forme développée suivante :
Ui
n+1 = Ui n − ∆t ( )
α
∆x i+
1F 2 i+
1 −α
2 i−
1F 2 i−
1
2
+ ∆t [
]
(1−α
∆x i−
1
2)S + +(1−α
i− 1 i+
1
2 2)S − ,
i+ 1 2
où S est une discrétisation du terme source donnée par :
S − i+ 1 2
S + i− 1 2
et F est le flux numérique HLL (3.37).
= c(R(U n i )−U n i )−F(U n i ),
= c(R(U n i )−U n i )+F(U n i ),
(3.40)
Remarque 1. En régime de transport, l’équation matière sur la température est couplée du système
de rayonnement. On choisira comme solveur de Riemann approché pour les deux premières
équations le solveur HLL et on considère un flux nul pour l’équation de température.
Théorème 3.2. On suppose que tous les états U n i sont dans A pour tout i ∈ Z. On suppose de
plus que le pas de temps est limité par la condition CFL (3.35) et que le schéma (3.36) préserve
les états admissibles. Alors, pour tout i ∈ Z, l’état U n+1
i
défini par (3.40) est dans l’ensemble A.
On remarque que la condition CFL est la même que pour le schéma homogène et est donc
indépendante du terme source.
Le schéma (3.47) présenté ici ne préserve pas en général l’asymptotique. Un contre-exemple sera
brièvement donné dans la suite. Dans le paragraphe suivant, on propose alors une correction asymptotique
du schéma lui permettant d’avoir la bonne limite diffusive.
Correction asymptotique
À présent, une correction asymptotique va être mise en place afin de forcer le schéma à restituer
le régime asymptotique physique attendu. En effet, on rappelle que la limite asymptotique du
modèle M 1 est donnée par :
∂ t
(
ρCv T +aT 4) −∂ x
( c
3σ 0∂ x(aT 4 )
)
= 0, (3.1)
où σ 0 est la moyenne d’opacité définie par :
∫ ∞
σ 0 0
σ(ν)∂ t B ν (T)dν
= ∫ ∞ . (3.41)
0
∂ t B ν (T)dν
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