Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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3.2. Modèle M 1 gris<br />
On remarque qu’<strong>avec</strong> ce choix de paramètre α, quand κ = 0, α vaut 1, et ainsi on retrouve<br />
bien le schéma HLL <strong>pour</strong> le système de transport. Puis, lorsque κ tend vers l’infini, U ∗ tend vers<br />
R.<br />
À présent, on substitue la solution du problème de Riemann par le solveur de Riemann modifié<br />
(3.38) sur chaque interface x i−<br />
1 . La juxtaposition <strong>des</strong> solveurs de Riemann n’interagissent pas<br />
2<br />
sous la condition CFL (3.35). La solution au temps t n +t est alors approchée par :<br />
( x−xi+<br />
)<br />
Ũ h (x,t n 1<br />
+t) = Ũ∗ 2<br />
R ;Ui n t<br />
,Un i+1 , si x ∈ [x i ,x i+1 ] et t ∈]0,∆t[.<br />
Pour calculer la solution approchée au temps t n +∆t, on projette cette solution sur l’espace <strong>des</strong><br />
fonctions constantes par morceaux :<br />
U n+1<br />
i<br />
= 1<br />
∆x<br />
∫ xi+ 1<br />
2<br />
x i−<br />
1<br />
2<br />
Ũ h (x,t n +∆t)dx.<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
Un calcul long mais direct de cette intégrale donne la forme développée suivante :<br />
Ui<br />
n+1 = Ui n − ∆t ( )<br />
α<br />
∆x i+<br />
1F 2 i+<br />
1 −α<br />
2 i−<br />
1F 2 i−<br />
1<br />
2<br />
+ ∆t [<br />
]<br />
(1−α<br />
∆x i−<br />
1<br />
2)S + +(1−α<br />
i− 1 i+<br />
1<br />
2 2)S − ,<br />
i+ 1 2<br />
où S est une discrétisation du <strong>terme</strong> source donnée par :<br />
S − i+ 1 2<br />
S + i− 1 2<br />
et F est le flux numérique HLL (3.37).<br />
= c(R(U n i )−U n i )−F(U n i ),<br />
= c(R(U n i )−U n i )+F(U n i ),<br />
(3.40)<br />
Remarque 1. En régime de transport, l’équation matière sur la température est couplée du système<br />
de rayonnement. On choisira comme solveur de Riemann approché <strong>pour</strong> les deux premières<br />
équations le solveur HLL et on considère un flux nul <strong>pour</strong> l’équation de température.<br />
Théorème 3.2. On suppose que tous les états U n i sont dans A <strong>pour</strong> tout i ∈ Z. On suppose de<br />
plus que le pas de temps est limité par la condition CFL (3.35) et que le schéma (3.36) préserve<br />
les états admissibles. Alors, <strong>pour</strong> tout i ∈ Z, l’état U n+1<br />
i<br />
défini par (3.40) est dans l’ensemble A.<br />
On remarque que la condition CFL est la même que <strong>pour</strong> le schéma homogène et est donc<br />
indépendante du <strong>terme</strong> source.<br />
Le schéma (3.47) présenté ici ne préserve pas en général l’asymptotique. Un contre-exemple sera<br />
brièvement donné dans la suite. Dans le paragraphe suivant, on propose alors une correction asymptotique<br />
du schéma lui permettant d’avoir la bonne limite diffusive.<br />
Correction asymptotique<br />
À présent, une correction asymptotique va être mise en place afin de forcer le schéma à restituer<br />
le régime asymptotique physique attendu. En effet, on rappelle que la limite asymptotique du<br />
modèle M 1 est donnée par :<br />
∂ t<br />
(<br />
ρCv T +aT 4) −∂ x<br />
( c<br />
3σ 0∂ x(aT 4 )<br />
)<br />
= 0, (3.1)<br />
où σ 0 est la moyenne d’opacité définie par :<br />
∫ ∞<br />
σ 0 0<br />
σ(ν)∂ t B ν (T)dν<br />
= ∫ ∞ . (3.41)<br />
0<br />
∂ t B ν (T)dν<br />
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