Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 3. ÉTUDE DES MODÈLES M 1
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Finalement, en reprenant la condition de consistance (3.34), le schéma HLL usuel pour l’équation
homogène est donné sous forme conservative par :
Ui
n+1 = Ui n − ∆t ( )
F
∆x i+
1 −F
2 i−
1 , (3.36)
2
où F est le flux numérique HLL défini par :
F i+
1
2
= F(U n i ,Un i+1 ) = F(Un i )+F(Un i+1 )
2
− c 2 (Un i+1 −Un i ). (3.37)
À présent, l’objectif est de modifier le solveur de Riemann approché (3.33) afin de prendre en
compte le terme source de façon adéquate. Ici, le schéma résultant devra restituer une discrétisation
pertinente des régions asymptotiques. La modification du solveur de Riemann consiste à obtenir
une combinaison convexe entre l’état intermédiaire initial U ∗ et le terme source :
⎧
U L ,
si x t
( x
) ⎪⎨
< −c,
ŨR
∗ t ;U αU ∗ +(1−α)R(U L ), si −c < x
L,U R =
t < 0,
αU ∗ +(1−α)R(U R ), si 0 < x t
⎪⎩
> c,
(3.38)
U R , si x t > c,
où une définition possible du coefficient α > 0 est donnée par :
α =
2c
2c+κ∆x . (3.39)
Pour que cet état intermédiaire définisse bien un solveur de Riemann approché robuste, on doit
avoirαU ∗ +(1−α)R(U) ∈ A pourU dansA. En effet, puisqueα ∈ [0,1], les états intermédiaires
sont une combinaison convexe entre U ∗ et R(U). Puisque A est convexe, il suffit que R(U) soit
dans A pour que les états intermédiaires soient aussi dans A.
Lemme 3.2.1. Si U ∈ A et si
σ a < σ f ,
alors R(U) = ( σe aT 4 +σ 1 E R
σ
, σ σ a E R
2F R ρCv m σ
,
+σ 3T
m σ
) T ∈ A.
m
Démonstration. On suppose que U est dans l’espace des états admissibles défini par (1.12) :
On cherche donc à montrer :
A = {(E R ,F R ,T) ∈ R 3 ,E R ≥ 0,f = |F R|
cE R
≤ 1,T > 0}.
(i) R 1 (U) ≥ 0,
(ii)
|R 2 (U)|
cR 1 (U) ≤ 1,
(iii) R 3 (U) > 0.
Les propriétés (i) et (iii) sont immédiates car toutes les quantités sont positives.
Pour la propriété (ii), on a :
|R 2 (U)|
cR 1 (U) = |(σ 2 F R )|
c(σ e aT 4 +σ 1 E R ) ,
=
(σ m −σ f )|F R |
c(σ e aT 4 +(σ m −σ a )E R ) ,
≤ (σm −σ f )|F R |
(σ m −σ a )E R ) .
Or σm −σ f x
σ m −σ a ≤ 1 car σ a < σ f et |F R|
cE R
≤ 1 car U ∈ A, ce qui complète la preuve.
96