Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

3.2. Modèle M 1 gris
solution U n i est constante sur chaque cellule C i .
Dans le paragraphe 3.2.2, on a vu que le solveur exact de Godunov pour le modèleM 1 sans terme
source consiste à résoudre de manière exacte une juxtaposition de problèmes de Riemann :
pour la donnée initiale :
∂ t U +∂ x f(U) = 0, (3.31)
U(x,t = t n ) = Ui n si x ∈ [x i−
1,x 2 i+
1]. (3.32)
2
Étant donnée la complexité de la solution exacte de ce problème de Riemann et ainsi le coût de
calcul engendré, on choisit d’utiliser un solveur de Riemann approché. Puisque les valeurs propres
du système (3.30) sont comprises entre−c etc, un solveur de Riemann approché en dimension un
pour le modèle de transport est donné par :
⎧
Ū R ( x ⎪⎨ U L , si x t < −c,
t ;U L,U R ) = U
⎪⎩
∗ (U L ,U R ), si −c < x t < c,
(3.33)
U R , si x t > c,
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
oùU L ,U R sont les états gauche et droit et l’état intermédiaireU ∗ ∈ A, qui peut éventuellement être
une fonction sophistiquée dépendant de x et t. Toutefois, on adopte ici la version la plus simple
proposée par Harten, Lax et Van Leer [70] où U ∗ est une constante. Afin d’assurer la consistance
du schéma de type Godunov dérivant du solveur approché (3.33), celui-ci doit satisfaire la
condition suivante :
1
∆x
∫
C i
Ū R ( x t ;U L,U R )dx = 1
∆x
∫
C i
U R ( x t ;U L,U R )dx.
En intégrant le système homogène associé à (3.30) sur le volume de contrôle ( − ∆x
la solution exacte du problème de Riemann (3.31)-(3.32) satisfait :
2 , ∆x
2
)
×(0,∆t),
∫ ∆x
1 2
U R ( x ∆x − ∆x t ;U L,U R )dx = 1 2 (U L +U R )− ∆t
∆x (F(U R)−F(U L )). (3.34)
2
On déduit ainsi la définition suivante de l’état intermédiaire :
U ∗ = U R −U L
2
− 1 2c (F(U R)−F(U L )).
On approche alors la solution exacte du problème de Riemann par ce solveur approché sur chaque
interface x i−
1 . Toutefois, pour éviter que les ondes issues des nœuds x
2
i−
1 et x
2 i+
1 ne s’intersectent
et ainsi que ces approximations des problèmes de Riemann locaux n’interagissent pas, on
2
suppose que le pas de temps est limité par la condition CFL suivante :
c∆t
∆x ≤ 1 2 . (3.35)
La solution au temps t n +test alors approchée par :
( x−xi+
)
U h (x,t n 1
2
+t) = U R
t n ;Ui n +t
,Un i+1 , si x ∈ [x i ,x i+1 ].
La mise à jour Ui
n+1 à la date t n + ∆t est obtenue en projetant cette solution sur l’espace des
fonctions constantes par morceaux de la façon suivante :
U n+1
i
= 1
∆x
∫ xi+ 1
2
x i− 1
2
U h (x,t n +∆t)dx.
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