Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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3.2. Modèle M 1 gris<br />
solution U n i est constante sur chaque cellule C i .<br />
Dans le paragraphe 3.2.2, on a vu que le solveur exact de Godunov <strong>pour</strong> le modèleM 1 sans <strong>terme</strong><br />
source consiste à résoudre de manière exacte une juxtaposition de problèmes de Riemann :<br />
<strong>pour</strong> la donnée initiale :<br />
∂ t U +∂ x f(U) = 0, (3.31)<br />
U(x,t = t n ) = Ui n si x ∈ [x i−<br />
1,x 2 i+<br />
1]. (3.32)<br />
2<br />
Étant donnée la complexité de la solution exacte de ce problème de Riemann et ainsi le coût de<br />
calcul engendré, on choisit d’utiliser un solveur de Riemann approché. Puisque les valeurs propres<br />
du système (3.30) sont comprises entre−c etc, un solveur de Riemann approché en dimension un<br />
<strong>pour</strong> le modèle de transport est donné par :<br />
⎧<br />
Ū R ( x ⎪⎨ U L , si x t < −c,<br />
t ;U L,U R ) = U<br />
⎪⎩<br />
∗ (U L ,U R ), si −c < x t < c,<br />
(3.33)<br />
U R , si x t > c,<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
oùU L ,U R sont les états gauche et droit et l’état intermédiaireU ∗ ∈ A, qui peut éventuellement être<br />
une fonction sophistiquée dépendant de x et t. Toutefois, on adopte ici la version la plus simple<br />
proposée par Harten, Lax et Van Leer [70] où U ∗ est une constante. Afin d’assurer la consistance<br />
du schéma de type Godunov dérivant du solveur approché (3.33), celui-ci doit satisfaire la<br />
condition suivante :<br />
1<br />
∆x<br />
∫<br />
C i<br />
Ū R ( x t ;U L,U R )dx = 1<br />
∆x<br />
∫<br />
C i<br />
U R ( x t ;U L,U R )dx.<br />
En intégrant le système homogène associé à (3.30) sur le volume de contrôle ( − ∆x<br />
la solution exacte du problème de Riemann (3.31)-(3.32) satisfait :<br />
2 , ∆x<br />
2<br />
)<br />
×(0,∆t),<br />
∫ ∆x<br />
1 2<br />
U R ( x ∆x − ∆x t ;U L,U R )dx = 1 2 (U L +U R )− ∆t<br />
∆x (F(U R)−F(U L )). (3.34)<br />
2<br />
On déduit ainsi la définition suivante de l’état intermédiaire :<br />
U ∗ = U R −U L<br />
2<br />
− 1 2c (F(U R)−F(U L )).<br />
On approche alors la solution exacte du problème de Riemann par ce solveur approché sur chaque<br />
interface x i−<br />
1 . Toutefois, <strong>pour</strong> éviter que les on<strong>des</strong> issues <strong>des</strong> nœuds x<br />
2<br />
i−<br />
1 et x<br />
2 i+<br />
1 ne s’intersectent<br />
et ainsi que ces approximations <strong>des</strong> problèmes de Riemann locaux n’interagissent pas, on<br />
2<br />
suppose que le pas de temps est limité par la condition CFL suivante :<br />
c∆t<br />
∆x ≤ 1 2 . (3.35)<br />
La solution au temps t n +test alors approchée par :<br />
( x−xi+<br />
)<br />
U h (x,t n 1<br />
2<br />
+t) = U R<br />
t n ;Ui n +t<br />
,Un i+1 , si x ∈ [x i ,x i+1 ].<br />
La mise à jour Ui<br />
n+1 à la date t n + ∆t est obtenue en projetant cette solution sur l’espace <strong>des</strong><br />
fonctions constantes par morceaux de la façon suivante :<br />
U n+1<br />
i<br />
= 1<br />
∆x<br />
∫ xi+ 1<br />
2<br />
x i− 1<br />
2<br />
U h (x,t n +∆t)dx.<br />
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