Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

3.2. Modèle M 1 gris
3.2.3 Difficultés de l’extension en 2D
Si l’on s’intéresse au système en 2D, on peut projeter ce système dans la direction normale à
l’interface courante et ainsi se ramener à la résolution d’un système 1D :
⎧
⎪⎨ ∂ t E +∂ x F x = 0,
∂ t F x +c
⎪⎩
2 ∂ x P xx = 0,
(3.27)
∂ t F y +c 2 ∂ x P xy = 0.
L’algèbre de ce système est connue ainsi que la nature des champs [23]. On sait que la solution
du problème de Riemann associé à ce système est composée de trois états constants séparés par
trois ondes : une première onde de choc ou de détente, une onde de contact et une onde de choc ou
de détente. De plus, on sait que les invariants de Riemann sur le champ Linéairement Dégénéré,
associé à la valeur propre λ = cβ x , correspondant à l’onde de contact sont :
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Π = 1−χ(f) E,
2
(3.28)
β x = 3χ(f)−1 F x
cE.
2 ‖F x ‖
(3.29)
Toutefois, la prise en compte de ces invariants de Riemann β et Π ne permet pas d’exhiber explicitement
les courbes de détente et les courbes de choc comme cela a pu être fait dans le cas 1D.
En conséquence, la solution du problème de Riemann pour le modèle M 1 reste inconnue. Cependant,
la connaissance de l’algèbre du système et des invariants de Riemann dans l’onde de contact
permet par exemple d’écrire des schémas numériques comme le schéma HLLC [14] qui consiste
à définir deux états intermédiaires dans le solveur de Riemann approché caractérisés par la constance
des invariants de Riemann dans l’onde de contact.
On s’intéresse à présent à un schéma préservant l’asymptotique pour le modèle M 1 .
3.2.4 Schéma préservant l’asymptotique pour le modèleM 1 gris
On rappelle que le modèle M 1 gris est donné par :
{
∂ t E R +∇.F R = c(σ e aT 4 −σ a E R ),
∂ t F R +c 2 ∇.(D R E R ) = −cσ f F R ,
(1.22)
complété de l’équation matière :
ρC v ∂ t T = −c(σ e aT 4 −σ a E R ). (1.6)
où les moyennes d’opacités σ e ,σ a et σ f sont données par (1.23).
On a vu dans le paragraphe 1.4.1 que ce modèle possède de bonnes propriétés physiques et la
bonne limite de transport. Dans le régime de diffusion, c’est-à-dire quand le produit σ ν t devient
grand, le modèle dégénère vers l’équation :
∂ t
(
ρCv T +aT 4) −∂ x
( c
3σ 0∂ x(aT 4 )
où σ 0 est une moyenne d’opacité définie par :
σ 0 = lim
F R →0 σf
∫ ∞
0
σ ν ∂ t B ν (T)dν
= ∫ ∞
0
∂ t B ν (T)dν .
93
)
= 0, (3.1)