Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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3.2. Modèle M 1 gris<br />
3.2.3 Difficultés de l’extension en 2D<br />
Si l’on s’intéresse au système en 2D, on peut projeter ce système dans la direction normale à<br />
l’interface courante et ainsi se ramener à la résolution d’un système 1D :<br />
⎧<br />
⎪⎨ ∂ t E +∂ x F x = 0,<br />
∂ t F x +c<br />
⎪⎩<br />
2 ∂ x P xx = 0,<br />
(3.27)<br />
∂ t F y +c 2 ∂ x P xy = 0.<br />
L’algèbre de ce système est connue ainsi que la nature <strong>des</strong> champs [23]. On sait que la solution<br />
du problème de Riemann associé à ce système est composée de trois états constants séparés par<br />
trois on<strong>des</strong> : une première onde de choc ou de détente, une onde de contact et une onde de choc ou<br />
de détente. De plus, on sait que les invariants de Riemann sur le champ Linéairement Dégénéré,<br />
associé à la valeur propre λ = cβ x , correspondant à l’onde de contact sont :<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
Π = 1−χ(f) E,<br />
2<br />
(3.28)<br />
β x = 3χ(f)−1 F x<br />
cE.<br />
2 ‖F x ‖<br />
(3.29)<br />
Toutefois, la prise en compte de ces invariants de Riemann β et Π ne permet pas d’exhiber explicitement<br />
les courbes de détente et les courbes de choc comme cela a pu être fait dans le cas 1D.<br />
En conséquence, la solution du problème de Riemann <strong>pour</strong> le modèle M 1 reste inconnue. Cependant,<br />
la connaissance de l’algèbre du système et <strong>des</strong> invariants de Riemann dans l’onde de contact<br />
permet par exemple d’écrire <strong>des</strong> schémas <strong>numériques</strong> comme le schéma HLLC [14] qui consiste<br />
à définir deux états intermédiaires dans le solveur de Riemann approché caractérisés par la constance<br />
<strong>des</strong> invariants de Riemann dans l’onde de contact.<br />
On s’intéresse à présent à un schéma préservant l’asymptotique <strong>pour</strong> le modèle M 1 .<br />
3.2.4 Schéma préservant l’asymptotique <strong>pour</strong> le modèleM 1 gris<br />
On rappelle que le modèle M 1 gris est donné par :<br />
{<br />
∂ t E R +∇.F R = c(σ e aT 4 −σ a E R ),<br />
∂ t F R +c 2 ∇.(D R E R ) = −cσ f F R ,<br />
(1.22)<br />
complété de l’équation matière :<br />
ρC v ∂ t T = −c(σ e aT 4 −σ a E R ). (1.6)<br />
où les moyennes d’opacités σ e ,σ a et σ f sont données par (1.23).<br />
On a vu dans le paragraphe 1.4.1 que ce modèle possède de bonnes propriétés physiques et la<br />
bonne limite de transport. Dans le régime de diffusion, c’est-à-dire quand le produit σ ν t devient<br />
grand, le modèle dégénère vers l’équation :<br />
∂ t<br />
(<br />
ρCv T +aT 4) −∂ x<br />
( c<br />
3σ 0∂ x(aT 4 )<br />
où σ 0 est une moyenne d’opacité définie par :<br />
σ 0 = lim<br />
F R →0 σf<br />
∫ ∞<br />
0<br />
σ ν ∂ t B ν (T)dν<br />
= ∫ ∞<br />
0<br />
∂ t B ν (T)dν .<br />
93<br />
)<br />
= 0, (3.1)