Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 3. ÉTUDE DES MODÈLES M 1
Or H(β) est positif quel que soit β et P(β) est positif pour tout β et β R sont dans ] − 1;1[. En
conséquence, F 1 est décroissante pour toutβ dans]−1;1[. On s’intéresse alors aux limites deF 1 .
Quand β tend vers β L , on a :
lim H(β) = 1 et
β→β L
lim P(β) = P(β L ),
β→β L
d’où
lim F 1 (β) = P(β L ).
β→β L
Lorsque β tend vers 1, on remarque que le numérateur N(β) =
dans l’expression deP vérifie :
[ √∆(β,βR
)+2(β R −β)] 2
Ainsi, au voisinage deβ = 1, on a :
N(1) = 0, N ′ (1) = 0, N ′′ (1) ≠ 0.
P(β) ∼
1
N ′′ (1)
3(1+β)(1−β)(1−β 2 R ),
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
H(β) ∼
1
K(1−β) 2 √
3.
On en déduit que la limite de F 1 quand β tend vers 1 est alors :
lim F 1(β) = 0.
β→1
De plus, comme F 1 est décroissante, pour assurer l’existence et l’unicité d’une solution à l’équation
(3.16) il reste à montrer que :
ou de façon équivalente :
On remarque que :
F 1 (β L ) > Π R
Π L
,
Π L P(β L ) > Π R .
Π L P(β L ) = Π S2 (β R ,β L ).
Comme dans cette zone on aΠ L > Π ∗ , il en résulte que :
Π S2 (β R ,β L ) > Π S2 (β R ,β ∗ ) = Π R .
On en déduit immédiatement que l’équation F 1 (β) = Π R
Π L
admet bien une unique solution β ∗
dans cette zone. Il existe donc un unique état intermédiaire W ∗ qui connecte les états W L et W R
respectivement par une 1-détente à gauche et un 2-choc à droite.
Zone 2 : 1-détente, 2-détente
On cherche β ∗ solution de (3.17). Pour montrer que cette équation admet une unique solution, on
montre tout d’abord que F 2 est monotone décroissante puis finalement qu’elle passe bien par Π R
Π L
.
En dérivant la fonction F 2 , on obtient :
F ′ 2 (β) = − 8
√
3(1−β 2 ) F 2(β).
Or F 2 (β) est positive pour tout β, donc F ′ 2 (β) est négative pour β dans ]−1;1[ et F 2 est décroissante.
On s’intéresse aux limites de F 2 :
lim F 2 (β) = F 2 (β L ), et
β→β L
lim F 2 (β) = 0.
β→1
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