Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

3.2. Modèle M 1 gris
Puis, par croissance de Π R2 (β,β ∗ ), on en déduit que pour β R > β ∗ :
Π R2 (β ∗ ,β ∗ ) = Π ∗ < Π R2 (β R ,β ∗ ).
Finalement, s’il existe, l’état W ∗ est caractérisé par :
( 4
[√∆(β ] 2
exp √3 (argthβ R −argthβ )) ∗
Π ∗ ,β L )+2(β ∗ −β L )
R
=
Π L 3(1−βL 2 , (3.19)
)(1−β∗,2 )
Pour simplifier les notations, on introduit la fonction F 4 telle que :
F 4 (β) =
( 4
[√∆(β ] 2
exp √3 (argthβ R −argthβ)) ∗ ,β L )+2(β −β L )
3(1−βL 2 ,
)(1−β2 )
de manière à réécrire (3.19) sous la forme :
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Π R
Π L
= F 4 (β ∗ ) avec β L > β ∗ > β R .
Théorème 3.1. Si U L et U R sont deux états constants de l’espace des états admissibles A, alors
le problème de Riemann (3.2)-(3.3) admet une unique solution.
Dans la suite, on notera U R ( x t ;U L,U R ) cette solution.
Démonstration. On a caractérisé précédemment les équations à résoudre pour déterminer l’état
intermédiaire W ∗ dans chacune des quatre zones. Il faut donc vérifier que ces équations admettent
une unique solution.
Zone 1 : 1-détente, 2-choc
On cherche β ∗ solution de (3.16). Pour simplifier les notations, on pose
avec :
F 1 (β) = H(β)P(β),
( )
4
H(β) = exp √3 (argthβ L −argthβ) ,
[ √∆(β,βR
)+2(β R −β)] 2
P(β) =
3(1−β 2 )(1−β 2 R ) ,
avec ∆(β,β R ) caractérisé par (3.13).
On a vu que l’équation (3.16) peut se réécrire :
F 1 (β) = Π R
Π L
.
Pour montrer que cette équation admet une unique solution, on montre tout d’abord que F 1 est
monotone décroissante puis finalement qu’elle passe bien par Π R
. Un calcul direct de la dérivée
Π L
donne :
[
]
F 1(β) ′ ββ R −1
= 4P(β)H(β)
(1−β 2 ) √ ∆(β,β R ) − 1
√ . 3(1−β 2 )
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