Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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3.2. Modèle M 1 gris<br />
Puis, par croissance de Π R2 (β,β ∗ ), on en déduit que <strong>pour</strong> β R > β ∗ :<br />
Π R2 (β ∗ ,β ∗ ) = Π ∗ < Π R2 (β R ,β ∗ ).<br />
Finalement, s’il existe, l’état W ∗ est caractérisé par :<br />
( 4<br />
[√∆(β ] 2<br />
exp √3 (argthβ R −argthβ )) ∗<br />
Π ∗ ,β L )+2(β ∗ −β L )<br />
R<br />
=<br />
Π L 3(1−βL 2 , (3.19)<br />
)(1−β∗,2 )<br />
Pour simplifier les notations, on introduit la fonction F 4 telle que :<br />
F 4 (β) =<br />
( 4<br />
[√∆(β ] 2<br />
exp √3 (argthβ R −argthβ)) ∗ ,β L )+2(β −β L )<br />
3(1−βL 2 ,<br />
)(1−β2 )<br />
de manière à réécrire (3.19) sous la forme :<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
Π R<br />
Π L<br />
= F 4 (β ∗ ) <strong>avec</strong> β L > β ∗ > β R .<br />
Théorème 3.1. Si U L et U R sont deux états constants de l’espace <strong>des</strong> états admissibles A, alors<br />
le problème de Riemann (3.2)-(3.3) admet une unique solution.<br />
Dans la suite, on notera U R ( x t ;U L,U R ) cette solution.<br />
Démonstration. On a caractérisé précédemment les équations à résoudre <strong>pour</strong> déterminer l’état<br />
intermédiaire W ∗ dans chacune <strong>des</strong> quatre zones. Il faut donc vérifier que ces équations admettent<br />
une unique solution.<br />
Zone 1 : 1-détente, 2-choc<br />
On cherche β ∗ solution de (3.16). Pour simplifier les notations, on pose<br />
<strong>avec</strong> :<br />
F 1 (β) = H(β)P(β),<br />
( )<br />
4<br />
H(β) = exp √3 (argthβ L −argthβ) ,<br />
[ √∆(β,βR<br />
)+2(β R −β)] 2<br />
P(β) =<br />
3(1−β 2 )(1−β 2 R ) ,<br />
<strong>avec</strong> ∆(β,β R ) caractérisé par (3.13).<br />
On a vu que l’équation (3.16) peut se réécrire :<br />
F 1 (β) = Π R<br />
Π L<br />
.<br />
Pour montrer que cette équation admet une unique solution, on montre tout d’abord que F 1 est<br />
monotone décroissante puis finalement qu’elle passe bien par Π R<br />
. Un calcul direct de la dérivée<br />
Π L<br />
donne :<br />
[<br />
]<br />
F 1(β) ′ ββ R −1<br />
= 4P(β)H(β)<br />
(1−β 2 ) √ ∆(β,β R ) − 1<br />
√ . 3(1−β 2 )<br />
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