Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 3. ÉTUDE DES MODÈLES M 1
Zone 3 : 1-choc, 2-choc
On suppose que l’état W R se trouve dans la zone 3. On cherche W ∗ = (β ∗ ,Π ∗ ) tel queW ∗ soit
connecté àW L par un 1-choc et tel que W R soit connecté àW ∗ par un 2-choc.
On s’intéresse tout d’abord à la courbe de 1-choc issue de l’état constant W L . On cherche W ∗ sur
la courbe S 1 (W L ) issue de W L caractérisée par (3.14), c’est-à-dire que W ∗ doit vérifier :
[ √∆(β ] 2
∗ ,β L )+2(β ∗ −β L )
Π ∗ = Π S1 (β ∗ ,β L ) = Π L
3(1−βL 2 ,
)(1−β∗2 )
où ∆(β ∗ ,β L ) est caractérisé par (3.13) et β L > β ∗ . Puis on cherche W ∗ tel que W R soit sur la
courbe S 2 (W ∗ ) issue deW ∗ caractérisée par (3.15) c’est-à-dire que W ∗ doit vérifier :
[
( √ ] 2
∆(β ∗ ,β R )+2(β ∗ −β R )
Π S2 (β R ,β ∗ ) = Π ∗ 3(1−β ∗,2 )(1−βR 2) ,
avec β ∗ > β R .
Finalement, s’il existe, l’état W ∗ est caractérisé par :
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Π R
Π L
=
[ √∆(β ] 2 [ √∆(β 2
∗ ,β L )+2(β ∗ −β L ) ,β R )+2(β ∗ −β R )]
9(1−βL 2)(1−β∗,2 ) 2 (1−βR 2) . (3.18)
Pour simplifier les notations, on introduit la fonction F 3 telle que :
F 3 (β) =
de manière à réécrire (3.18) sous la forme :
[ √∆(β ] 2 [ √∆(β 2
∗ ,β L )+2(β −β L ) ∗ ,β R )+2(β −β R )]
9(1−βL 2)(1−β2 ) 2 (1−βR 2) ,
Π R
Π L
= F 3 (β ∗ ) avec β L > β ∗ > β R .
Zone 4 : 1-choc, 2-détente
On suppose que l’état W R se trouve dans la zone 2. On cherche W ∗ = (β ∗ ,Π ∗ ) tel queW ∗ soit
connecté àW L par un 1-choc et tel que W R soit connecté àW ∗ par une 2-détente.
On s’intéresse tout d’abord à la courbe de 1-détente issue de l’état constant W L . On cherche W ∗
sur la courbe R 1 (W L ) issue de W L caractérisée par (3.14), c’est-à-dire que W ∗ doit vérifier :
[ √∆(β ] 2
∗ ,β L )+2(β ∗ −β L )
Π ∗ = Π S1 (β ∗ ,β L ) = Π L
3(1−βL 2 ,
)(1−β∗2 )
où ∆(β ∗ ,β L ) est défini par (3.13).
De plus, par décroissance de Π S1 (β,β L ), on en déduit que pour β L > β ∗ :
Π ∗ > Π L .
Puis on cherche W ∗ tel que W R soit sur la courbe R 2 (W ∗ ) issue de W ∗ caractérisée par (3.11)
c’est-à-dire que W ∗ doit vérifier :
( )
4
Π R2 (β R ,β ∗ ) = Π S1 (β ∗ ,β L )exp √3 (argthβ R −argthβ ∗ ) .
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