Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

3.2. Modèle M 1 gris
On en déduit par décroissance de Π R1 (β,β L ) que pour β L < β ∗ :
Π L > Π ∗ .
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Puis on cherche W ∗ tel que W R soit sur la courbe S 2 (W ∗ ) issue de W ∗ caractérisée par (3.15)
c’est-à-dire que W ∗ doit vérifier :
[
( √ ] 2
∆(β ∗ ,β R )+2(β ∗ −β R )
Π R = Π S2 (β R ,β ∗ ) = Π ∗ 3(1−β ∗2 )(1−βR 2) ,
où ∆(β ∗ ,β R ) est défini par (3.13).
Finalement, l’état W ∗ , s’il existe, est caractérisé par :
exp
Π R
=
Π L
( 4 √3 (argthβ L −argthβ ∗ )) [√∆(β ∗ ,β R )+2(β ∗ −β R )
3(1−β ∗,2 )(1−β 2 R ) . (3.16)
Pour simplifier les notations, on introduit la fonction F 1 telle que :
( ) 4
[√∆R
exp √3 (argthβ L −argthβ) +2(β −β R ) ] 2
F 1 (β) =
3(1−β 2 )(1−βR 2) ,
de manière à réécrire (3.16) sous la forme :
Π R
Π L
= F 1 (β ∗ ).
Zone 2 : 1-détente, 2-détente
On suppose que l’étatW R se trouve dans la zone 2. On chercheW ∗ = (β ∗ ,Π ∗ ) tel queW ∗ soit
connecté àW L par une 1-détente et tel que W R soit connecté àW ∗ par une 2-détente.
On s’intéresse tout d’abord à la courbe de 1-détente issue de l’état constant W L . On cherche W ∗
sur la courbe R 1 (W L ) issue deW L caractérisée par (3.9), c’est-à-dire que W ∗ doit vérifier :
( )
4
Π ∗ = Π R1 (β ∗ ,β L ) = Π L exp √3 (argthβ L −argthβ ∗ ) ,
avec β ∗ > β L .
Puis on cherche W ∗ tel que W R soit sur la courbe R 2 (W ∗ ) issue de W ∗ caractérisée par (3.11)
c’est-à-dire que W ∗ doit vérifier :
( )
4
Π R2 (β R ,β ∗ ) = Π ∗ exp √3 (argthβ R −argthβ ∗ ) ,
] 2
avec β > β ∗ .
Finalement, s’il existe, l’état W ∗ est caractérisé par :
Π R
Π L
= exp
( 4 √3 (argthβ L +argthβ R −2argthβ ∗ )
Pour simplifier les notations, on introduit la fonction F 2 telle que :
( )
4
F 2 (β) = exp √3 (argthβ L +argthβ R −2argthβ) ,
de manière à réécrire (3.17) sous la forme :
Π R
Π L
= F 2 (β ∗ ), avec β L < β ∗ < β R .
85
)
. (3.17)