Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

3.2. Modèle M 1 gris
Étant donné que λ ± = λ ± (β) est croissante, ces deux conditions se ramènent à la condition
équivalente suivante :
β < β L .
Finalement, en substituant l’expression de la vitesse S dans la définition de Π, on en déduit
les ensembles d’Hugoniot :
{ [√
∆(β,βL )−2(β −β L ) ] }
2
S 1 (W L ) = Π S1 (β,β L ) = Π L
3(1−βL 2 ;β L > β , (3.14)
)(1−β2 )
S 2 (W L ) =
{
[√
∆(β,βL )−2(β L −β) ] 2
Π S2 (β,β L ) = Π L
3(1−βL 2 ;β L > β
)(1−β2 )
}
. (3.15)
La courbe S 1 (W L ) est donc l’ensemble des états admissibles qui peuvent être connectés à W L à
droite par un 1-choc et la courbe S 2 (W L ) est l’ensemble des états admissibles qui peuvent être
connectés àW L à droite par un 2-choc.
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Étude des courbes de choc
Dans ce paragraphe, on montre que la courbe de 1-choc est décroissante et que la courbe de 2-
choc est croissante. Pour cela, on étudie les variations des fonctionsΠ S1 (β,β L ) etΠ S2 (β,β L ). On
voit tout d’abord que Π S1 (β,β L ) et Π S2 (β,β L ) sont définies, continues et dérivables sur ]−1;1[.
En dérivant, on a :
Π ′ 4(ββ L −1)
S 1
(β,β L ) =
(1−β 2 ) √ ∆(β,β L ) Π S 1
(β,β L ).
Or on sait queΠ S1 (β,β L ) est positive quel que soitβ etβ L ∈]−1;1[ et queβ L > β. On en déduit
que Π ′ S 1
(β,β L ) est négative et ainsi que Π S1 (β,β L ) est décroissante.
De même en dérivant la fonction Π S2 (β,β L ), on a :
Π ′ S 2
(β,β L ) =
4(1−ββ L )
(1−β 2 ) √ ∆(β,β L ) Π S 2
(β,β L ).
Sachant que Π S2 (β,β L ) est positive pour tout β et β L ∈] − 1;1[ et que β L > β pour un choc
entropique, on en déduit que Π ′ S 2
(β,β L ) est positive, et ainsi que Π S2 (β,β L ) est croissante.
Résolution du problème de Riemann
La dérivation précédente des courbes de choc et de détente permet d’exhiber la solution du problème
de Riemann (3.2)-(3.3). Afin de résoudre le problème de Riemann (3.2)-(3.3), on cherche,
s’il existe, un état intermédiaire W ∗ = (β ∗ ,Π ∗ ) T tel que la solution soit composée des trois états
constantsW L ,W ∗ etW R séparés par deux ondes de choc ou de détente. Sur les figures 3.2-3.3, on
représente ces quatre courbes R 1 (W L ),R 2 (W L ),S 1 (W L ) et S 2 (W L ) issues du point W L dans le
plan (β,Π). Ces courbes divisent le plan (β,Π) en quatre zones numérotées de1à4.
On étudie à présent les courbes d’Hugoniot dans chacune des zones.
Zone 1 : 1-détente, 2-choc
On suppose que l’étatW R se trouve dans la zone 1. On chercheW ∗ = (β ∗ ,Π ∗ ) tel queW ∗ soit
connecté àW L par une 1-détente et tel que W R soit connecté àW ∗ par un 2-choc.
On s’intéresse tout d’abord à la courbe de 1-détente issue de l’état constant W L . On cherche W ∗
sur la courbe R 1 (W L ) issue deW L caractérisée par (3.9), c’est-à-dire que W ∗ doit vérifier :
( )
4
Π ∗ = Π R1 (β ∗ ,β L ) = Π L exp √3 (argthβ L −argthβ ∗ ) .
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