Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 3. ÉTUDE DES MODÈLES M 1
Courbes de choc
Pour U L un état constant donné dans A, on cherche tous les états U ∈ A qui puissent être
connectés à U L par une onde de choc, respectivement un 1-choc ou un 2-choc. Une discontinuité
de type choc doit vérifier les relations de Rankine-Hugoniot qui ici trouvent la forme suivante :
{
−S[E R ]+[F R ] = 0,
−S[F R ]+c 2 (3.12)
[χE R ] = 0,
où S est la vitesse de propagation du choc et [U] = U −U L désigne le saut.
En réécrivant les relations (3.12) en fonction des variables (β,Π), on obtient :
⎧
[ 3+β
2
]
⎪⎨ −S
1−β 2Π
⎪⎩ −S
[ ] 4cΠβ
+
1−β 2
[ ] [ 4cΠβ 3β
1−β 2 +c 2 2 ]
+1
1−β 2 Π
= 0,
= 0.
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
En posantz = Π
1−β 2 et en substituant la première équation dans la seconde, on obtient une équation
quadratique d’inconnueβ. En choisissant la racine dans l’espace]−1,1[, on en déduit une relation
entre les états W et W L donnée par :
β = c2 −3S 2 +2cSβ L
3c 2 β L −S 2 β L −2cS ,
Π = Π L
3
(Sβ L −c) 2 −9(S −cβ L ) 2
(1−βL 2)(S2 −c 2 .
)
Concernant la vitesse S, on remarque ainsi qu’elle doit être solution de l’équation quadratique
suivante :
S 2 (β L β −3)+2cS(β +β L )+c 2 (1−3β L β) = 0.
Cette équation admet deux solutions données par :
avec
S ± = c(β L +β)± √ ∆(β,β L )
3−ββ L
,
∆(β,β L ) = 3(ββ L −1) 2 +(β −β L ) 2 ≥ 0. (3.13)
Afin de sélectionner la vitesse de propagation, d’après le théorème 4.1, page 61 dans [60], on
utilise le critère suivant :
lim S 1 (β) = λ − (β L ),
β→β L
lim S 2 (β) = λ + (β L ),
β→β L
On en déduit immédiatement que les vitesses des chocs sont :
S 1 (β) = c (β +β L)− √ ∆(β,β L )
3−ββ L
S 2 (β) = c (β +β L)+ √ ∆(β,β L )
3−ββ L
dans un 1-choc,
dans un 2-choc.
De plus, on dit que la discontinuité est entropique au sens de Lax si S 1 et S 2 vérifient :
λ − (W R ) < S 1 < λ + (W R ), S 1 < λ − (W L )
λ + (W R ) < S 2 , λ − (W L ) < S 2 < λ + (W L ).
82