Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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CHAPITRE 3. ÉTUDE DES MODÈLES M 1<br />
Courbes de choc<br />
Pour U L un état constant donné dans A, on cherche tous les états U ∈ A qui puissent être<br />
connectés à U L par une onde de choc, respectivement un 1-choc ou un 2-choc. Une discontinuité<br />
de type choc doit vérifier les relations de Rankine-Hugoniot qui ici trouvent la forme suivante :<br />
{<br />
−S[E R ]+[F R ] = 0,<br />
−S[F R ]+c 2 (3.12)<br />
[χE R ] = 0,<br />
où S est la vitesse de propagation du choc et [U] = U −U L désigne le saut.<br />
En réécrivant les relations (3.12) en fonction <strong>des</strong> variables (β,Π), on obtient :<br />
⎧<br />
[ 3+β<br />
2<br />
]<br />
⎪⎨ −S<br />
1−β 2Π<br />
⎪⎩ −S<br />
[ ] 4cΠβ<br />
+<br />
1−β 2<br />
[ ] [ 4cΠβ 3β<br />
1−β 2 +c 2 2 ]<br />
+1<br />
1−β 2 Π<br />
= 0,<br />
= 0.<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
En posantz = Π<br />
1−β 2 et en substituant la première équation dans la seconde, on obtient une équation<br />
quadratique d’inconnueβ. En choisissant la racine dans l’espace]−1,1[, on en déduit une relation<br />
entre les états W et W L donnée par :<br />
β = c2 −3S 2 +2cSβ L<br />
3c 2 β L −S 2 β L −2cS ,<br />
Π = Π L<br />
3<br />
(Sβ L −c) 2 −9(S −cβ L ) 2<br />
(1−βL 2)(S2 −c 2 .<br />
)<br />
Concernant la vitesse S, on remarque ainsi qu’elle doit être solution de l’équation quadratique<br />
suivante :<br />
S 2 (β L β −3)+2cS(β +β L )+c 2 (1−3β L β) = 0.<br />
Cette équation admet deux solutions données par :<br />
<strong>avec</strong><br />
S ± = c(β L +β)± √ ∆(β,β L )<br />
3−ββ L<br />
,<br />
∆(β,β L ) = 3(ββ L −1) 2 +(β −β L ) 2 ≥ 0. (3.13)<br />
Afin de sélectionner la vitesse de propagation, d’après le théorème 4.1, page 61 dans [60], on<br />
utilise le critère suivant :<br />
lim S 1 (β) = λ − (β L ),<br />
β→β L<br />
lim S 2 (β) = λ + (β L ),<br />
β→β L<br />
On en déduit immédiatement que les vitesses <strong>des</strong> chocs sont :<br />
S 1 (β) = c (β +β L)− √ ∆(β,β L )<br />
3−ββ L<br />
S 2 (β) = c (β +β L)+ √ ∆(β,β L )<br />
3−ββ L<br />
dans un 1-choc,<br />
dans un 2-choc.<br />
De plus, on dit que la discontinuité est entropique au sens de Lax si S 1 et S 2 vérifient :<br />
λ − (W R ) < S 1 < λ + (W R ), S 1 < λ − (W L )<br />
λ + (W R ) < S 2 , λ − (W L ) < S 2 < λ + (W L ).<br />
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