Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
3.2. Modèle M 1 gris<br />
R 2 : 2-détente<br />
Soit W L donné dans A ′ . On cherche tous les états W ∈ A ′ qui peuvent être connectés à W L<br />
par une 2-détente. Puisque l’invariant de Riemann reste constant dans la détente, on en déduit que<br />
W L et W vérifient :<br />
√ √<br />
3 3<br />
argthβ −<br />
4 lnΠ = argth(β L)−<br />
4 lnΠ L. (3.10)<br />
De plus, la vitesse caractéristique de l’onde de détente implique :<br />
λ + (W L ) < λ + (W).<br />
Sachant que λ + est croissante en β ∈]−1,1[, cette condition devient :<br />
β L < β.<br />
La relation (3.10) donne l’expression de Π en fonction deβ :<br />
lnΠ = 4 √<br />
3<br />
[argthβ −I L ],<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
√<br />
3<br />
où I L = argth(β L )−<br />
4 lnΠ L. Il en résulte :<br />
] 4√3<br />
Π = exp[<br />
(argthβ −I L ) .<br />
Finalement, on introduit la courbe suivante paramétrée par β :<br />
{ [ ] }<br />
4<br />
R 2 (W L ) = Π R2 (β,β L ) = Π L exp √3 (argthβ −argthβ L ) ;β L < β . (3.11)<br />
Cette courbe R 2 (W L ) est donc l’ensemble <strong>des</strong> états admissibles qui peuvent être connectés àW L<br />
à gauche par une 2-détente.<br />
On étudie maintenant les propriétés de cette courbe de détente R 2 .<br />
Étude deR 2<br />
Dans ce paragraphe, on montre que la courbe Π R2 (.,β L ) : ] − 1;1[→ R, définie par (3.11)<br />
est croissante et convexe. En effet, on voit tout d’abord que Π R2 est définie, continue, deux fois<br />
dérivable sur ]−1;1[ et positive. Sa dérivée est :<br />
(<br />
Π ′ 4<br />
R 2<br />
(β,β L ) = Π L √<br />
3(1−β 2 )<br />
)<br />
exp<br />
[ ]<br />
4 √3 (argthβ −argthβ L ) ,<br />
=<br />
4<br />
√<br />
3(1−β 2 ) Π R 2<br />
(β,β L ) > 0,<br />
et sa dérivée seconde :<br />
Π ′′ 8β<br />
R 2<br />
(β,β L ) = −√ 3(1−β 2 ) 2Π R 2<br />
(β,β L )+<br />
=<br />
4<br />
√<br />
3(1−β 2 )<br />
[ ]<br />
8β 2<br />
√<br />
3(1−β 2 ) 2Π R 2<br />
(β,β L ) √3 −β .<br />
[ ]<br />
4<br />
√<br />
3(1−β 2 ) Π R 2<br />
(β,β L ) ,<br />
Comme on a −1 < β < 1 et Π R2 (β,β L ) > 0, Π ′′ R 2<br />
(β,β L ) est positive. On en déduit que la<br />
courbe R 2 est convexe.<br />
Les figures 3.2-3.3 proposent une représentation de R 1 et R 2 .<br />
81