Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

3.2. Modèle M 1 gris
R 2 : 2-détente
Soit W L donné dans A ′ . On cherche tous les états W ∈ A ′ qui peuvent être connectés à W L
par une 2-détente. Puisque l’invariant de Riemann reste constant dans la détente, on en déduit que
W L et W vérifient :
√ √
3 3
argthβ −
4 lnΠ = argth(β L)−
4 lnΠ L. (3.10)
De plus, la vitesse caractéristique de l’onde de détente implique :
λ + (W L ) < λ + (W).
Sachant que λ + est croissante en β ∈]−1,1[, cette condition devient :
β L < β.
La relation (3.10) donne l’expression de Π en fonction deβ :
lnΠ = 4 √
3
[argthβ −I L ],
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
√
3
où I L = argth(β L )−
4 lnΠ L. Il en résulte :
] 4√3
Π = exp[
(argthβ −I L ) .
Finalement, on introduit la courbe suivante paramétrée par β :
{ [ ] }
4
R 2 (W L ) = Π R2 (β,β L ) = Π L exp √3 (argthβ −argthβ L ) ;β L < β . (3.11)
Cette courbe R 2 (W L ) est donc l’ensemble des états admissibles qui peuvent être connectés àW L
à gauche par une 2-détente.
On étudie maintenant les propriétés de cette courbe de détente R 2 .
Étude deR 2
Dans ce paragraphe, on montre que la courbe Π R2 (.,β L ) : ] − 1;1[→ R, définie par (3.11)
est croissante et convexe. En effet, on voit tout d’abord que Π R2 est définie, continue, deux fois
dérivable sur ]−1;1[ et positive. Sa dérivée est :
(
Π ′ 4
R 2
(β,β L ) = Π L √
3(1−β 2 )
)
exp
[ ]
4 √3 (argthβ −argthβ L ) ,
=
4
√
3(1−β 2 ) Π R 2
(β,β L ) > 0,
et sa dérivée seconde :
Π ′′ 8β
R 2
(β,β L ) = −√ 3(1−β 2 ) 2Π R 2
(β,β L )+
=
4
√
3(1−β 2 )
[ ]
8β 2
√
3(1−β 2 ) 2Π R 2
(β,β L ) √3 −β .
[ ]
4
√
3(1−β 2 ) Π R 2
(β,β L ) ,
Comme on a −1 < β < 1 et Π R2 (β,β L ) > 0, Π ′′ R 2
(β,β L ) est positive. On en déduit que la
courbe R 2 est convexe.
Les figures 3.2-3.3 proposent une représentation de R 1 et R 2 .
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