Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 3. ÉTUDE DES MODÈLES M 1
R 1 : 1-détente
SoitW L donné dansA ′ . On cherche tous les étatsW ∈ A ′ qui peuvent être connectés àW L par
une 1-détente associée au champs caractéristique (λ − ,r − ). Puisque l’invariant de Riemann reste
constant dans la détente, on en déduit que W L et W vérifient :
argthβ +
√
3
4 lnΠ = argth(β L)+
De plus, la vitesse caractéristique de l’onde de détente implique :
λ − (W L ) < λ − (W).
√
3
4 lnΠ L. (3.8)
Sachant que λ − définie par (3.6) est croissante enβ ∈]−1,1[, cette dernière condition devient :
β L < β.
La relation (3.8) donne l’expression de Π en fonction deβ :
lnΠ = 4 √
3
[I L −argthβ],
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
où I L = argth(β L )+
√
3
4 lnΠ L. Il en résulte :
[ ] 4
Π = exp √3 (I L −argthβ) .
Finalement, on introduit la courbe suivante paramétrée par β :
{ [ ] }
4
R 1 (W L ) = Π R1 (β,β L ) = Π L exp √3 (argthβ L −argthβ) ;β L < β . (3.9)
Cette courbe R 1 (W L ) caractérise l’ensemble des états admissibles qui peuvent être connectés à
W L à droite par une 1-détente.
On étudie ensuite les propriétés de cette courbe de détente R 1 qui seront importantes pour la résolution
complète du problème de Riemann.
Étude deR 1
Dans ce paragraphe, on montre que la courbe Π R1 (.,β L ) : ] − 1;1[→ R, définie par (3.9) est
décroissante et convexe. En effet, on voit tout d’abord que Π R1 est définie, continue, deux fois
dérivable sur ]−1;1[ et positive. Sa dérivée est :
Π ′ 4
R 1
(β,β L ) = Π L
(−√ 3(1−β 2 )
)
exp
[ ]
4 √3 (argthβ L −argthβ) ,
et sa dérivée seconde :
4
= −√ 3(1−β 2 ) Π R 1
(β,β L ) < 0,
Π ′′ 8β
R 1
(β,β L ) = −√ 3(1−β 2 ) 2Π R 1
(β,β L )−
=
[
4
√
3(1−β 2 )
[ ]
8β 2
√
3(1−β 2 ) 2Π R 1
(β,β L ) √3 −β .
]
4
−√ 3(1−β 2 ) Π R 1
(β,β L ) ,
Comme on a −1 < β < 1 et Π R1 (β,β L ) > 0, Π ′′ R 1
(β,β L ) est positive. On en déduit que la
courbe R 1 est convexe.
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