Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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CHAPITRE 3. ÉTUDE DES MODÈLES M 1<br />
R 1 : 1-détente<br />
SoitW L donné dansA ′ . On cherche tous les étatsW ∈ A ′ qui peuvent être connectés àW L par<br />
une 1-détente associée au champs caractéristique (λ − ,r − ). Puisque l’invariant de Riemann reste<br />
constant dans la détente, on en déduit que W L et W vérifient :<br />
argthβ +<br />
√<br />
3<br />
4 lnΠ = argth(β L)+<br />
De plus, la vitesse caractéristique de l’onde de détente implique :<br />
λ − (W L ) < λ − (W).<br />
√<br />
3<br />
4 lnΠ L. (3.8)<br />
Sachant que λ − définie par (3.6) est croissante enβ ∈]−1,1[, cette dernière condition devient :<br />
β L < β.<br />
La relation (3.8) donne l’expression de Π en fonction deβ :<br />
lnΠ = 4 √<br />
3<br />
[I L −argthβ],<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
où I L = argth(β L )+<br />
√<br />
3<br />
4 lnΠ L. Il en résulte :<br />
[ ] 4<br />
Π = exp √3 (I L −argthβ) .<br />
Finalement, on introduit la courbe suivante paramétrée par β :<br />
{ [ ] }<br />
4<br />
R 1 (W L ) = Π R1 (β,β L ) = Π L exp √3 (argthβ L −argthβ) ;β L < β . (3.9)<br />
Cette courbe R 1 (W L ) caractérise l’ensemble <strong>des</strong> états admissibles qui peuvent être connectés à<br />
W L à droite par une 1-détente.<br />
On étudie ensuite les propriétés de cette courbe de détente R 1 qui seront importantes <strong>pour</strong> la résolution<br />
complète du problème de Riemann.<br />
Étude deR 1<br />
Dans ce paragraphe, on montre que la courbe Π R1 (.,β L ) : ] − 1;1[→ R, définie par (3.9) est<br />
décroissante et convexe. En effet, on voit tout d’abord que Π R1 est définie, continue, deux fois<br />
dérivable sur ]−1;1[ et positive. Sa dérivée est :<br />
Π ′ 4<br />
R 1<br />
(β,β L ) = Π L<br />
(−√ 3(1−β 2 )<br />
)<br />
exp<br />
[ ]<br />
4 √3 (argthβ L −argthβ) ,<br />
et sa dérivée seconde :<br />
4<br />
= −√ 3(1−β 2 ) Π R 1<br />
(β,β L ) < 0,<br />
Π ′′ 8β<br />
R 1<br />
(β,β L ) = −√ 3(1−β 2 ) 2Π R 1<br />
(β,β L )−<br />
=<br />
[<br />
4<br />
√<br />
3(1−β 2 )<br />
[ ]<br />
8β 2<br />
√<br />
3(1−β 2 ) 2Π R 1<br />
(β,β L ) √3 −β .<br />
]<br />
4<br />
−√ 3(1−β 2 ) Π R 1<br />
(β,β L ) ,<br />
Comme on a −1 < β < 1 et Π R1 (β,β L ) > 0, Π ′′ R 1<br />
(β,β L ) est positive. On en déduit que la<br />
courbe R 1 est convexe.<br />
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