Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

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TABLE DES MATIÈRES 4 Équations et schémas numériques pour la radiothérapie 115 4.1 Généralités sur la radiothérapie et modèle utilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.2 Schémas numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.2.1 Méthode avec changement de variables en 1D . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.2.2 Méthode avec projections en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.2.3 Méthode avec projections en dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5 Résultats numériques 135 5.1 Résultats en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.1.1 Schéma GRP espace-temps pour l’équation d’advection . . . . . . . . . 135 5.1.2 Schéma GRP espace-temps pour le modèle d’ordonnées discrètes . . . . 137 5.2 Résultats en dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.2.1 Schéma GRP espace-temps pour l’équation d’advection . . . . . . . . . . 141 5.2.2 Schéma préservant l’asymptotique pour le modèle M 1 multigroupe . . . . 141 5.2.3 Calcul de Dose en radiothérapie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013 A Appendice 149 A.1 Schéma GRP transport en dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 A.1.1 Étape d’évolution et de projection dans les cas deux cibles explicite, deux cibles implicite et une cible explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 A.1.2 Algorithme de parcours des interfaces pour la méthode GRP espace-temps 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 A.2 Précalculs du facteur d’Eddington et des opacités pour le modèle M 1 multigroupe 159 A.2.1 Calcul des coefficients de Ξ au sens des moindres carrés . . . . . . . . . 159 A.2.2 Approximation de l’intégrale première E 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 A.3 Obtention du modèle M 1 de la radiothérapie à partir des équations de Fokker- Planck et CSD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 A.3.1 Fokker-Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 A.3.2 CSD (Continuous Slowing Down) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 8
Introduction tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013 La simulation numérique de phénomènes physiques relatifs au transfert radiatif reste un défi majeur dans de nombreuses applications. Dans cette étude, on s’emploiera à développer des méthodes précises et efficaces pour prédire l’impact du rayonnement dans des configurations physiques extrêmes. En effet, le rayonnement peut devenir prépondérant dans certaines applications. Il est donc clair que la connaissance de ce phénomène physique est cruciale et que la mise en œuvre de schémas adaptés et efficaces est un point fondamental dans la réalisation de prédictions numériques. Afin d’illustrer d’une part, le rôle essentiel joué par le transfert radiatif dans certains régimes d’écoulements et d’autre part, les difficultés numériques majeures sous-jacentes à ce phénomène physique, considérons par exemple le cas de la rentrée atmosphérique superorbitale d’un véhicule spatial. En effet, pour ce type d’écoulements en régime hypersonique, une onde de choc détachée se propage à l’avant du véhicule. Le phénomène compressif engendre une augmentation de la température qui peut atteindre des valeurs extrêmement importantes derrière cette onde de choc. Les températures deviennent suffisamment élevées pour provoquer une dissociation des particules et ainsi créer un plasma. Le retour à l’équilibre s’accompagne de divers échanges d’énergie au cours desquels des photons sont émis ou absorbés par le milieu ambiant et dépend de paramètres de caractérisation optique de la matière : les opacités. Le rayonnement résulte de toutes les émissions et absorptions. L’énergie associée au rayonnement peut, dans certaines configurations extrêmes, influencer notablement l’écoulement environnant. Plus précisément, dans l’exemple considéré, le rayonnement modifie fortement la position et l’épaisseur de la couche de choc. À travers cet exemple, on constate qu’un phénomène physique relatif au rayonnement, se propageant à la vitesse de la lumière, est en mesure de modifier l’écoulement d’un fluide autour d’une sonde superorbitale. En d’autres termes, deux phénomènes physiques dont le rapport des vitesses caractéristiques est sans commune mesure, peuvent être fortement couplés. D’un point de vue numérique, ce couplage de physiques impliquant des vitesses d’ordres de grandeur très différents engendre généralement de grandes pertes de précision dans l’évaluation des phénomènes de plus grande vitesse. Il existe différents niveaux de modélisation du transfert radiatif. Dans l’étude qui nous motive ici, seuls seront considérés les modèles cinétiques et méso/macroscopiques. Dans ce cadre, l’équation de référence est appelée équation du transfert radiatif. Cette équation cinétique gouverne l’évolution de l’intensité radiative. Cette dernière dépend du temps, de l’espace, de la direction de propagation et de la fréquence. Contrairement à d’autres équations cinétiques telles que l’équation de Boltzmann ou celle de Fokker-Planck, les variables supplémentaires de direction de fréquence ne sont pas de même nature. D’un point de vue physique, la dépendance en fréquence est particulièrement non-triviale. La variation du terme de collision en fonction de la fréquence est singulièrement complexe. En effet, le terme de collision retranscrit le caractère discret des niveaux d’énergie pour lesquels un photon peut être émis ou absorbé. En fonction de la composition chimique du milieu, le nombre de ces niveaux discrets est potentiellement gigantesque. Les méthodes d’approximation numérique de cette équation, dans les configurations considérées ici, engendrent un coût de calcul inaccessible par les machines actuellement disponibles. En conséquence, des modélisations alternatives doivent être adoptées. 9
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