Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

3.2. Modèle M 1 gris
En conséquence, les deux champs du système (3.2) ou de manière équivalente dans (3.4) sont
Vraiment Non Linéaires. Dans la suite, on note W L = W(U L ) et W R = W(U R ) si bien que la
solution du problème de Riemann est composée de trois états constants U L ,U ∗ ,U R séparés par
deux ondes qui seront soit des ondes de choc, soit des détentes [60]. Dans la suite, on suppose que
tous les états considérés sont admissibles.
Courbes de détente
Définition 3.1. On appelle onde de détente une solution faible autosimilaire de (3.4) ou de façon
équivalente de (3.2) qui connecte un état W L à un état W R de la manière suivante :
⎧
⎪⎨ W L , si x t ≤ λ± (W L ),
W(x,t) = V ( x
t)
, si λ
⎪⎩
± (W L ) ≤ x t ≤ λ± (W R ),
W R , si x t ≥ λ± (W R ).
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
où V ( x
t)
est une fonction continue solution de (3.4).
De plus, dans une onde de détente, les invariants de Riemann restent constants. On rappelle
que les invariants de Riemann associés au champ caractéristique (λ,r) sont des fonctions ϕ(W)
vérifiant :
avec r = r ± , un vecteur propre défini par (3.7).
∇ϕ.r = 0.
Invariants de Riemann
Pour définir les invariants de Riemann, on cherche ϕ tel que :
ce qui donne
∇ϕ.r = 0,
± √ 3(1−β 2 ) ∂ϕ
4 ∂β +Π∂ϕ ∂Π = 0.
Cette EDP du premier ordre admet une unique intégrale première [27] définie par :
et donc :
dβ
± √ 3(1−β 2 ) = dlnΠ ,
4
d (argth(β)− ±√ 3
4
lnΠ) = 0.
Finalement, on en déduit que l’invariant de Riemann pour chaque champ (λ − ,r − ) et (λ + ,r + )
est :
√
3
ϕ − = argthβ +
4 lnΠ,
√
3
ϕ + = argthβ −
4 lnΠ.
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