Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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3.2. Modèle M 1 gris<br />
En conséquence, les deux champs du système (3.2) ou de manière équivalente dans (3.4) sont<br />
Vraiment Non Linéaires. Dans la suite, on note W L = W(U L ) et W R = W(U R ) si bien que la<br />
solution du problème de Riemann est composée de trois états constants U L ,U ∗ ,U R séparés par<br />
deux on<strong>des</strong> qui seront soit <strong>des</strong> on<strong>des</strong> de choc, soit <strong>des</strong> détentes [60]. Dans la suite, on suppose que<br />
tous les états considérés sont admissibles.<br />
Courbes de détente<br />
Définition 3.1. On appelle onde de détente une solution faible autosimilaire de (3.4) ou de façon<br />
équivalente de (3.2) qui connecte un état W L à un état W R de la manière suivante :<br />
⎧<br />
⎪⎨ W L , si x t ≤ λ± (W L ),<br />
W(x,t) = V ( x<br />
t)<br />
, si λ<br />
⎪⎩<br />
± (W L ) ≤ x t ≤ λ± (W R ),<br />
W R , si x t ≥ λ± (W R ).<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
où V ( x<br />
t)<br />
est une fonction continue solution de (3.4).<br />
De plus, dans une onde de détente, les invariants de Riemann restent constants. On rappelle<br />
que les invariants de Riemann associés au champ caractéristique (λ,r) sont <strong>des</strong> fonctions ϕ(W)<br />
vérifiant :<br />
<strong>avec</strong> r = r ± , un vecteur propre défini par (3.7).<br />
∇ϕ.r = 0.<br />
Invariants de Riemann<br />
Pour définir les invariants de Riemann, on cherche ϕ tel que :<br />
ce qui donne<br />
∇ϕ.r = 0,<br />
± √ 3(1−β 2 ) ∂ϕ<br />
4 ∂β +Π∂ϕ ∂Π = 0.<br />
Cette EDP du premier ordre admet une unique intégrale première [27] définie par :<br />
et donc :<br />
dβ<br />
± √ 3(1−β 2 ) = dlnΠ ,<br />
4<br />
d (argth(β)− ±√ 3<br />
4<br />
lnΠ) = 0.<br />
Finalement, on en déduit que l’invariant de Riemann <strong>pour</strong> chaque champ (λ − ,r − ) et (λ + ,r + )<br />
est :<br />
√<br />
3<br />
ϕ − = argthβ +<br />
4 lnΠ,<br />
√<br />
3<br />
ϕ + = argthβ −<br />
4 lnΠ.<br />
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