Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 3. ÉTUDE DES MODÈLES M 1
1
Valeurs propres λ − et λ + adimensionnees par c en fonction de β
0.8
0.6
λ − /c
λ + /c
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
β
FIGURE 3.1 – Valeurs propres deA(W) adimensionnées par c en fonction de β
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Pour simplifier les notations, on écrit ce dernier système sous la forme condensée :
∂ t W +A(W)∂ x W = 0, (3.4)
où les notations suivantes ont été introduites :
⎛ ⎞
( 2cβ 3c(1−β
β W = , A(W) = ⎜3−β Π)
2 ) 2
2 4Π(3−β 2 )
⎟
⎝ 4cΠ 2cβ ⎠ . (3.5)
3−β 2 3−β 2
L’espace des états admissibles, compris en terme de variables W , devient :
A ′ = {(β,Π) ∈ R 2 ,−1 < β < 1,Π > 0}.
On remarque que la fonction W = W(U) définit une bijection deAversA ′ , si bien que pour tout
U ∈ A, le vecteur associé W sera également admissible et réciproquement. À présent, on s’intéresse
à l’algèbre associé au système (3.4). Par un calcul direct, on peut déterminer les éléments
propres de la matrice A(W). Ses valeurs propres sont :
avec les vecteurs propres associés :
λ ± = 2cβ ±√ 3c(1−β 2 )
3−β 2 , (3.6)
r ± =
⎛
⎝ ±√ 3(1−β 2 )
4
1
⎞
⎠. (3.7)
Puisque les valeurs propres λ ± , représentées sur la figure 3.1, sont toutes réelles distinctes, le
système est bien strictement hyperbolique sur A ′ . De plus, avec (β,Π) ∈ A ′ , on en déduit la
nature des deux champs caractéristiques. En effet, on a :
√
3c(1−β
∇λ ± .r ± 2 )
= ±
2(β + √ 3) ≠ 0, ∀(β,Π) ∈ 2 A′ .
78