Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

3.2. Modèle M 1 gris
On rappelle que la pression radiativeP R = χ(
FR
E R
)E R est obtenue par minimisation de l’entropie
radiative où χ(f) est le facteur d’Eddington donné par :
3+4f 2
χ(f) =
5+2 √ (1.21)
4−3f2. On suppose que la solution appartient à l’espace des états admissibles suivant :
A = {(E R ,F R ) ∈ R 2 ,E R > 0,f = |F R|
cE R
≤ 1}.
Le système (3.2) est complété par une donnée initiale :
{
U L si x < 0,
U(x,t = 0) = U 0 (x) =
U R si x > 0,
où U L et U R sont deux états constants dans A :
U L = (E R,L ,F R,L ) T ,U R = (E R,R ,F R,R ) T .
(3.3)
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Pour résoudre le problème de Riemann (3.2)-(3.3), dans un premier temps l’algèbre du système
est déterminée. Sachant que l’algèbre d’un système d’EDP du premier ordre de la forme
∂ t U + ∂ x f(U) = 0 n’est pas modifiée par un changement de variables, on introduit un nouveau
jeu de variables qui va simplifier la résolution du problème. Une fois les champs déterminés et leur
nature caractérisée, les invariants de Riemann seront calculés. Les courbes de choc et de détente
pourront alors être détaillées et conduiront à la résolution exacte du problème de Riemann (3.2)-
(3.3).
Algèbre du système
On introduit de nouvelles variables Π > 0 et β ∈]−1,1[ suggérées dans [25] et définies par :
Π = E R(1−β 2 )
3+β 2 ,
F R = 4cE R
3+β 2β.
Les variables conservatives (E R ,F R ) se réécrivent alors sous la forme :
La pression trouve alors l’expression suivante :
E R = 3+β2
1−β 2Π,
F R = 4cΠ
1−β 2β.
P R = E R χ = 3β2 +1
1−β 2 Π.
En introduisant ces variables dans le système (3.2), on obtient :
⎧
⎪⎨ ∂ t β + 2cβ
3−β 2∂ xβ + 3c(1−β2 ) 2
4Π(3−β 2 ) ∂ xΠ = 0,
⎪⎩
∂ t Π+ 4cΠ
3−β 2∂ xβ + 2cβ
3−β 2∂ xΠ = 0.
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