Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

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Étude des modèles M 1
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
3.1 Introduction
Dans ce chapitre, on s’intéresse aux modèles M 1 gris et multigroupe. On a vu dans le paragraphe
1.4.1 que la particularité de ces modèles vient de leur fermeture basée sur un principe de
minimisation d’entropie. On rappelle que le modèle M 1 gris est donné par le système suivant :
{
∂ t E R +∇.F R = c(σ e aT 4 −σ a E R ),
∂ t F R +c 2 ∇.(D R E R ) = −cσ f (1.22)
F R ,
et que le modèle M 1 multigroupe est donné par :
{
∂ t E q +∇.F q = c(σ e qaθ 4 q(T)−σ a qE q ),
∂ t F q +c 2 ∇.(D q E q ) = −cσ f qF q .
On rappelle que les opacités moyennes sont définies par (1.23)-(1.28) :
σ e = < σ νB(T) >
aT 4 , σq e = < σ νB(T) > q
,
< B(T) > q
σ a = < σ νI >
, σq a = < σ νI > q
,
E R E q
σ f F R = c < σ ν ΩI >, σ f q = c < σ νΩI > q
F q
,
∀1 ≤ q ≤ Q (1.31)
où B(T) est donnée par (1.1) et l’intensité radiative est remplacée par I donnée par (1.30). Ces
modèles sont couplés avec une équation régissant la température matière donnée par exemple dans
le cas gris par :
ρC v ∂ t T = −c(σ e aT 4 −σ a E R ). (1.6)
Ces modèles possèdent de nombreuses propriétés, dont notamment la positivité de l’énergie radiative
E R > 0 et la limitation du flux F R ≤ cE R . Ils possèdent également les bons régimes
asymptotiques. En effet, quand les opacités tendent vers 0, ils possèdent la bonne limite de transport
donnée par exemple pour le modèle gris par :
{
∂ t E R +∇.F R = 0,
∂ t F R +c 2 ∇.(D R E R ) = 0.
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