Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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CHAPITRE 2. SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LE MODÈLE SN<br />
polynôme R j sur les nœuds du maillage x j+<br />
1 , une étude basée sur l’erreur de troncature donne,<br />
2<br />
<strong>pour</strong> une vitesse a > 0, l’expression suivante <strong>pour</strong> les coefficients C j k :<br />
1 si a<br />
⎧⎪ j k (x j+ 1 ) = 0,<br />
⎨<br />
2<br />
C j k = ∆x r<br />
si a j η p|a j k (x j+ 2)| 1 k (x j+ 1 > 0,<br />
2)<br />
⎪ ⎩<br />
∆x r<br />
η n|a j k (x j+ 1 )|<br />
2<br />
si a j k (x j+ 1 2) < 0,<br />
<strong>avec</strong><br />
⎛<br />
r∑ r∏<br />
a j k (x) = ⎝<br />
(x−x j+k−l+<br />
1<br />
2<br />
s=0 l=0,l≠s<br />
⎞<br />
) ⎠,<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
η p le nombre de <strong>terme</strong>s positifs dans {a j k (x j+ 1 )} r−1<br />
2<br />
)} r−1<br />
k=0 .<br />
Dans le cas a < 0, le point x j+<br />
1<br />
2<br />
{a j k (x j+ 1 2<br />
est remplacé par x j−<br />
1 .<br />
2<br />
k=0 et η n le nombre de <strong>terme</strong>s négatifs dans<br />
Finalement le schéma obtenu est d’ordre r en espace et en temps à condition d’utiliser un schéma<br />
en temps adapté. On peut de plus montrer que le schéma est d’ordre r+1 en espace sur les nœuds<br />
du maillage. Ce schéma (d’ordre 3) est utilisé <strong>pour</strong> <strong>des</strong> comparaisons <strong>avec</strong> le GRP espace-temps<br />
dans le paragraphe 2.3.<br />
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