Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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2.6. Schémas <strong>numériques</strong> existants<br />
L’indice de régularité est alors défini par :<br />
IS j =<br />
Pour r = 2, l’indice de régularité est :<br />
∑ (<br />
r−1 ∑l<br />
)<br />
l=1 k=1 (∆r−l [ū j−r+k ]) 2 .<br />
l<br />
IS j = (∆[ū j−1 ]) 2 ,<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
et <strong>pour</strong> r = 3 :<br />
IS j = ∆[ū j−2] 2 +∆[ū j−1 ] 2<br />
2<br />
+(∆ 2 [ū j−2 ]) 2 .<br />
Si u(x,t) est discontinue sur le stencil S j , alors l’indicateur de régularité IS j ≃ O(1), et si la<br />
solution est assez régulière, l’indicateur de régularité est IS j ≃ O(∆x 2 ).<br />
Contrairement au schéma ENO qui consiste à choisir le polynôme p j (x) le plus régulier <strong>pour</strong> approcher<br />
la solution, le schéma WENO consiste à approcher la solution par une combinaison convexe<br />
der polynômes d’interpolation {p ′ j+k (x)}r−1 k=0 sur les stencils correspondants {S j+k(x)} r−1<br />
k=0<br />
où les poids sont attribués en fonction de l’indicateur de régularité {IS j+k (x)} r−1<br />
k=0 .<br />
Pour chaque intervalle C j , on considère les r stencils :<br />
{S j+k (x)} r−1<br />
k=0 = {x j+k−r+ 1 2<br />
,x j+k−r+<br />
3<br />
2<br />
,...,x j+k+<br />
1},<br />
2<br />
qui incluent tous les points x j−<br />
1 et x<br />
2 j+<br />
1 deC j .<br />
2<br />
Ainsi le polynôme d’interpolationR j peut s’écrire comme une combinaison convexe <strong>des</strong>{p ′ j+k (x)}r−1 k=0 :<br />
R j (u,x) =<br />
∑r−1<br />
k=0<br />
α j k<br />
∑ r−1<br />
p ′<br />
l=0 αj j+k (x),<br />
l<br />
où α j k > 0 <strong>pour</strong> tout k = 0,1,...,r −1. Le polynôme R j vérifie alors la propriété ”ENO”, qui<br />
permet d’augmenter l’ordre d’approximation dans les singularités, si lesα j k<br />
satisfont les propriétés<br />
suivantes :<br />
1. si le stencil S j+k est dans une région régulière, les coefficients α j k<br />
correspondants vérifient :<br />
α j k<br />
∑ r−1<br />
l=0 αj l<br />
= O(1),<br />
2. si le stencil S j+k est dans une région où u(x,t) est discontinue, les coefficients α j k correspondants<br />
vérifient :<br />
α j k<br />
∑ r−1<br />
l=0 αj l<br />
≤ O(∆x r ).<br />
Les coefficients α j k sont définis par : α j k = C j k<br />
(ε+IS j+k ) r,<br />
où les coefficients C j k sont tels que : Cj k = O(1) et Cj k > 0 <strong>pour</strong> assurer au polynôme R j de<br />
vérifier la propriété ”ENO”. Afin d’améliorer l’ordre d’approximation de la solution u(x,t) par le<br />
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