Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

2.6. Schémas numériques existants
L’indice de régularité est alors défini par :
IS j =
Pour r = 2, l’indice de régularité est :
∑ (
r−1 ∑l
)
l=1 k=1 (∆r−l [ū j−r+k ]) 2 .
l
IS j = (∆[ū j−1 ]) 2 ,
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
et pour r = 3 :
IS j = ∆[ū j−2] 2 +∆[ū j−1 ] 2
2
+(∆ 2 [ū j−2 ]) 2 .
Si u(x,t) est discontinue sur le stencil S j , alors l’indicateur de régularité IS j ≃ O(1), et si la
solution est assez régulière, l’indicateur de régularité est IS j ≃ O(∆x 2 ).
Contrairement au schéma ENO qui consiste à choisir le polynôme p j (x) le plus régulier pour approcher
la solution, le schéma WENO consiste à approcher la solution par une combinaison convexe
der polynômes d’interpolation {p ′ j+k (x)}r−1 k=0 sur les stencils correspondants {S j+k(x)} r−1
k=0
où les poids sont attribués en fonction de l’indicateur de régularité {IS j+k (x)} r−1
k=0 .
Pour chaque intervalle C j , on considère les r stencils :
{S j+k (x)} r−1
k=0 = {x j+k−r+ 1 2
,x j+k−r+
3
2
,...,x j+k+
1},
2
qui incluent tous les points x j−
1 et x
2 j+
1 deC j .
2
Ainsi le polynôme d’interpolationR j peut s’écrire comme une combinaison convexe des{p ′ j+k (x)}r−1 k=0 :
R j (u,x) =
∑r−1
k=0
α j k
∑ r−1
p ′
l=0 αj j+k (x),
l
où α j k > 0 pour tout k = 0,1,...,r −1. Le polynôme R j vérifie alors la propriété ”ENO”, qui
permet d’augmenter l’ordre d’approximation dans les singularités, si lesα j k
satisfont les propriétés
suivantes :
1. si le stencil S j+k est dans une région régulière, les coefficients α j k
correspondants vérifient :
α j k
∑ r−1
l=0 αj l
= O(1),
2. si le stencil S j+k est dans une région où u(x,t) est discontinue, les coefficients α j k correspondants
vérifient :
α j k
∑ r−1
l=0 αj l
≤ O(∆x r ).
Les coefficients α j k sont définis par : α j k = C j k
(ε+IS j+k ) r,
où les coefficients C j k sont tels que : Cj k = O(1) et Cj k > 0 pour assurer au polynôme R j de
vérifier la propriété ”ENO”. Afin d’améliorer l’ordre d’approximation de la solution u(x,t) par le
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