Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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CHAPITRE 2. SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LE MODÈLE SN<br />
1. Sur chaque maille C j , ∀x ∈ C j , le polynôme R j (x) est une approximation d’ordre r de la<br />
solution u(x,t) :<br />
∀x ∈ C j , u(x,t) = R j (u,x)+O(∆x r ),<br />
et d’ordre k +1 sur les bords de la maille :<br />
u(x j−<br />
1<br />
2<br />
,t) = R j (u,x j−<br />
1<br />
2<br />
)+O(∆x r+1 ), u(x j+<br />
1<br />
2<br />
,t) = R j (u,x j+<br />
1)+O(∆x r+1 ).<br />
2<br />
2. R j (u,x) est conservative :<br />
∫<br />
1<br />
R j (u,x)dx = ū j ∀j.<br />
∆x C j<br />
3. Pour tout j, R j (u,x) vérifie la propriété “ENO” définie plus loin.<br />
Soit W t (x), la primitive de la solution u(x,t) définie par :<br />
W t (x) =<br />
∫ x<br />
x j ′ − 1<br />
2<br />
u(s,t)ds,<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
oùx j ′ − 1 est une interface quelconque du domaine. Par définition, la dérivée deW par rapport à x<br />
2<br />
est égale à la solution u(x,t) :<br />
u(x,t) = W t(x).<br />
′<br />
La fonction W t évaluée sur les interfaces x j+<br />
1<br />
2<br />
moyenne ū i,j ′ ≤i≤j de la solution u(x,t) :<br />
On définit ensuite le stencil :<br />
W t (x j+<br />
1) =<br />
2<br />
S j = (x j−r+<br />
1<br />
2<br />
du maillage s’écrit donc en fonction de la valeur<br />
j∑<br />
,x j−r+<br />
3<br />
2<br />
i=j ′ ∆xū i .<br />
,...,x j+<br />
1), (2.72)<br />
2<br />
<strong>pour</strong> a > 0. Puis on introduit le polynôme p j de degré r qui interpole W t (x) sur chaque point du<br />
stencil S j :<br />
∀l = j −r,...,j, p j (x l+<br />
1) = W t (x<br />
2 j+<br />
1).<br />
2<br />
Ainsi, le polynôme p ′ j de degré r −1 est une approximation d’ordre r de la solution :<br />
u(x,t) = p ′ j(x)+O(∆x r ).<br />
Puis, <strong>pour</strong> chaque stencil S j , on définit un indicateur de régularité IS j de la solution u(x,t) sur<br />
ce stencil. On introduit <strong>pour</strong> cela un tableau de différences <strong>des</strong> moyennes ū j :<br />
∆[ū j−r+1 ],∆[ū j−r+2 ],...,∆[ū j−1 ],<br />
∆ 2 [ū j−r+1 ],∆ 2 [ū j−r+2 ],...,∆ 2 [ū j−2 ],<br />
.<br />
∆ r−1 [ū j−r+1 ],<br />
<strong>avec</strong><br />
∆[ū l ] = ū l+1 −ū l et ∆ k [ū l ] = ∆ k−1 [ū l+1 ]−∆ k−1 [ū l ].<br />
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