Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 2. SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LE MODÈLE SN
1. Sur chaque maille C j , ∀x ∈ C j , le polynôme R j (x) est une approximation d’ordre r de la
solution u(x,t) :
∀x ∈ C j , u(x,t) = R j (u,x)+O(∆x r ),
et d’ordre k +1 sur les bords de la maille :
u(x j−
1
2
,t) = R j (u,x j−
1
2
)+O(∆x r+1 ), u(x j+
1
2
,t) = R j (u,x j+
1)+O(∆x r+1 ).
2
2. R j (u,x) est conservative :
∫
1
R j (u,x)dx = ū j ∀j.
∆x C j
3. Pour tout j, R j (u,x) vérifie la propriété “ENO” définie plus loin.
Soit W t (x), la primitive de la solution u(x,t) définie par :
W t (x) =
∫ x
x j ′ − 1
2
u(s,t)ds,
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
oùx j ′ − 1 est une interface quelconque du domaine. Par définition, la dérivée deW par rapport à x
2
est égale à la solution u(x,t) :
u(x,t) = W t(x).
′
La fonction W t évaluée sur les interfaces x j+
1
2
moyenne ū i,j ′ ≤i≤j de la solution u(x,t) :
On définit ensuite le stencil :
W t (x j+
1) =
2
S j = (x j−r+
1
2
du maillage s’écrit donc en fonction de la valeur
j∑
,x j−r+
3
2
i=j ′ ∆xū i .
,...,x j+
1), (2.72)
2
pour a > 0. Puis on introduit le polynôme p j de degré r qui interpole W t (x) sur chaque point du
stencil S j :
∀l = j −r,...,j, p j (x l+
1) = W t (x
2 j+
1).
2
Ainsi, le polynôme p ′ j de degré r −1 est une approximation d’ordre r de la solution :
u(x,t) = p ′ j(x)+O(∆x r ).
Puis, pour chaque stencil S j , on définit un indicateur de régularité IS j de la solution u(x,t) sur
ce stencil. On introduit pour cela un tableau de différences des moyennes ū j :
∆[ū j−r+1 ],∆[ū j−r+2 ],...,∆[ū j−1 ],
∆ 2 [ū j−r+1 ],∆ 2 [ū j−r+2 ],...,∆ 2 [ū j−2 ],
.
∆ r−1 [ū j−r+1 ],
avec
∆[ū l ] = ū l+1 −ū l et ∆ k [ū l ] = ∆ k−1 [ū l+1 ]−∆ k−1 [ū l ].
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