Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

2.6. Schémas numériques existants
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
la valeur moyenne de la solution sur l’intervalle C j .
En intégrant (2.68) sur la maille C j , cette moyenne vérifie l’équation différentielle du premier
ordre suivante :
∂ t ū j (.,t) = − a [ ]
u(x
∆x j+
1,t)−u(x 2 j−
1,t)
. (2.70)
2
Pour connaître ∂ t ū j (.,t), il faut donc évaluer u sur les interfaces x j+
1 et x
2 j−
1 .
2
Soit R j (x) une approximation polynomiale de degré r −1 de la solution u(x,t) sur la maille C j .
Sur l’interfacex j+
1 , on a alors deux approximations de la solution :R j (u,x
2
j+
1) etR j+1 (u,x
2 j+
1).
2
On définit ensuite un flux lipschitzien monotone ˜h(.,.) croissant par rapport à sa première variable
et décroissant par rapport à la deuxième. On peut considérer par exemple le flux d’Engquist-Osher.
Ainsi, le flux au(x j+
1,t) est approché par ˜h(R j (u,x
2
j+
1),R j+1 (u,x
2 j+
1)). On peut donc approcher
l’équation (2.70) par :
2
∂ t ū j (.,t) ≃ − a [˜h(Rj (ū,x
∆x j+
1),R j+1 (ū,x
2 j+
1))−˜h(R j (ū,x
2 j−
1
2
On considère ici le flux du schéma décentré amont :
{
b 1 si a > 0,
˜h(b 1 ,b 2 ) =
b 2 sinon.
La fonction L j pour a > 0 est donc :
L j (ū) = − a
∆x
[
]
R j (ū,x j+
1)−R j−1 (ū,x
2 j−
1)
.
2
]
),R j−1 (ū,x j−
1))
= L j (ū).
2
(2.71)
Une fois la fonction L j définie sur chaque cellule C j du maillage, une approximation d’ordre r
(r +1 sur les nœuds du maillage) en espace est donnée par la solution de l’équation différentielle
du premier ordre (2.71). Pour une approximation d’ordre élevé en temps, il faut alors choisir une
méthode d’ordre r + 1, comme par exemple le schéma Runge-Kutta TVD développé par Shu et
Osher dans [94]. Le schéma correspondant d’ordre 3 (r = 2) est donné par :
ū (0)
j
= ū n j ,
ū (1)
j
= ū (0)
j
+∆tL j (ū (0) ),
ū (2)
j
= 3 4ū(0)
j
+ 1 4ū(1)
j
+ ∆t
4 L j(ū (1) ),
ū (n+1)
j
= 1 3ū(0)
j
+ 1 3ū(2)
j
+ ∆t
3 L j(ū (2) ).
Le schéma d’ordre 4 (r = 3) est présenté par Gottlieb et Shu dans [65] :
ū (0)
j
= ū n j ,
ū (1)
j
= ū (0)
j
+ 1 2 ∆tL j(ū (0) ),
ū (2)
j
= 649
1600ū(0)
j
− 10890423
25193600 ∆tL j(ū (0) )+ 951
1600ū(1)
j
+ 5000
7873 ∆tL j(ū (1) ),
ū (3)
j
= 2500000ū(0) 53989
j
− 102261
5000000 ∆tL j(ū (0) )+ 20000000ū(1) 4806213
j
− 5121
20000 ∆tL j(ū (1) )+ 23619
32000ū(2)
j
+ 7873
10000 ∆tL j(ū (2) ),
ū (n+1)
j
= 1 5ū(0)
j
+ ∆t
10 L j(ū (0) )+ 6127
30000ū(1)
j
+ ∆t
6 L j(ū (1) )+ 7873
30000ū(2)
j
+ 1 3ū(3)
j
+ ∆t
6 L j(ū (3) ).
Il reste alors à définir une procédure de reconstruction du polynôme R afin qu’ils vérifient les
propriétés suivantes :
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