Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 2. SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LE MODÈLE SN
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
avecu j = (u (0)
j
,u (1)
j
,...,u (k)
j
) T le vecteur des inconnues. Pourk = 0,1,2, le second membre de
(2.65) s’écrit :
⎧ {
k = 0 L0 (u ⎪⎨
j ,t) = − 1
∆x
k = 1
(h j+ 1 −h
2 j−
1),
2
k = 2 L 1 (u j ,t) = − 1
2∆x
⎪⎩
(h j+ 1 +h
2 j−
1)+ 1
2 ∆x au(0) j
,
L 2 (u h j ,t) = − 1
6∆x (h j+ 1 −h
2 j−
1)+ 2
∆x au(1) j
.
Pour discrétiser chaque ligne du système (2.65) en temps, on peut utiliser par exemple un schéma
Runge-Kutta TVD d’ordre r décrit dans [94] :
avec :
∑i−1
[ ( )]
u (i) = α il u (l) +β il ∆tL u (l) ,t n +d l ∆t
l=0
2
∀i = 1,...,r (2.66)
u (0) = u n et u (r) = u n+1 (2.67)
Les schémas correspondants d’ordre 2 et 3 sont donnés par :
⎧
⎪⎨ u (0) = u n ,
r = 2 : u
⎪⎩
(1) = u (0) +∆tL ( u (0) ,t n) ,
u n+1 = 1 2 u(0) + 1 2 u(1) + 1 2 ∆tL( u (1) ,t n +∆t ) ,
⎧
u (0) = u n ,
⎪⎨
u (1) = u (0) +∆tL ( u (0) ,t n) ,
r = 3 :
u (2) = 3 4
⎪⎩
u(0) + 1 4 u(1) + 1 4 ∆tL( u (1) ,t n +∆t ) ,
u n+1 = 1 3 u(0) + 2 3 u(2) + 2 3 ∆tL( u (2) ,t n + 1 2 ∆t) .
Pour illustrer ce schéma, il sera comparé au schéma GRP espace-temps dans le paragraphe 2.3.
2.6.3 Schéma WENO pour l’équation de transport linéaire
Les schémas WENO (weighted essentially non oscillating) développés par Liu et al. dans [89]
sont une extension des schémas ENO introduits par Harten et al. dans [69]. Dans le cas multidimensionnel,
des extensions d’ordre élevé ont également été développées (voir par exemple [78, 2, 46]).
Comme dans les méthodes de volumes finis, on cherche à approcher la solution moyenne sur
chaque cellule. Le principe est de se ramener sur chaque maille à la résolution d’une équation
différentielle du premier ordre en temps dont le second membre est une approximation du bilan
de flux. Sur chaque cellule, la solution moyenne est approchée par une combinaison convexe de
polynômes d’interpolation, interpolés sur les cellules voisines de la cellule concernée.
La méthode présentée ici est celle décrite par Liu, Osher et Chan dans [89] dans le cas particulier
de l’équation linéaire en dimension un d’espace.
On considère le problème de Cauchy pour l’équation d’advection :
∂ t u+a∂ x u = 0,
u(x,0) = u 0 (x),
(2.68)
où a est une vitesse constante.
Le domaine est discrétisé par un maillage uniforme formé des cellules C j = [x j−
1,x 2 j+
1] de
2
même longeur ∆x. On note x j le milieu de la cellule C j . On définit :
ū j (.,t) = 1
∆x
∫
70
C j
u(x,t)dx, (2.69)