Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

2.6. Schémas numériques existants
En remplaçant u (0)
j
dans leur décomposition (2.53) par (2.59), on en déduit la valeur des coefficients
ũ j et ũ j :
ũ j =
k∑
l=1
c l u (l)
j v(j)
soit pour les trois premiers ordres :
l
(x j+
1
2
), ũ j =
k∑
l=1
c l u (l)
j v(j)
l
(x j−
1
2
), (2.60)
k = 0 ũ j = ũ j = 0
k = 1 ũ j = ũ j = 6u (1)
j
k = 2 ũ j = 6u (1)
j
+30u (2)
j
, ũ j = 6u (1)
j
−30u (2)
j
.
Pour assurer au schéma de satisfaire une proprié´té TVD et pour conserver la précision du schéma
même dans les points critiques, les états ũ j sont modifiés de la façon suivante :
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
ũ (mod)
j
= ˜m(ũ j ,∆ + u (0)
j
,∆ − u (0)
j
),
ũ (mod)
j
= ˜m(ũ j ,∆ + u (0)
j
,∆ − u (0)
j
), (2.61)
où ˜m est un limiteur dérivé du limiteur classique minmod m :
{
a 1 si |a 1 | ≤ M∆x 2 ,
˜m(a 1 ,...,a n ) =
minmod(a 1 ,...,a n ) sinon,
avec :
minmod(a 1 ,...,a n ) =
Ici, M est une constante vérifiant :
{
s.min|a i | si sign(a 1 ) = ... = sign(a n ) = s,
0 sinon.
M ≥ 3 2 max |∂ xx u 0 |, (2.62)
J
avec J un voisinage des points critiques de la donnée initiale u 0 (x).
De la même manière que pour les limiteurs locaux de projection, les états u ±(mod) sont définis
j+ 1 2
par :
u −(mod) = u (0)
j+ 1 j
+ũ (mod)
j
,
2
u +(mod) = u (0)
j− 1 j
−ũ (mod)
j
,
2
(2.63)
soit en remplaçant dans (2.53) :
k = 0 ũ (mod)
j
k = 1 ũ (mod)
j
= ũ (mod)
j
= 0,
= ũ (mod)
j
= 6u (1)
j
,
k = 2 ũ (mod)
j
= 6u (1)
j
+30u (2)
j
, ũ (mod)
j
= 6u (1)
j
−30u (2)
j
.
Les flux du schéma (2.57) sont alors donnés par :
h j+
1
2
= h(u −(mod)
j+ 1 2
,u +(mod) ) =
j+ 1 2
⎧
⎨
⎩
au −(mod)
j+ 1 2
au +(mod)
j+ 1 2
si a > 0,
sinon.
(2.64)
Les flux étant définis, le schéma revient à résoudre sur chaque intervalle C j un système de k +1
équations différentielles du premier ordre donné par (2.57). Sous forme vectorielle, le système
s’écrit :
∂ t u j = L(u j ,t), (2.65)
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