Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 2. SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LE MODÈLE SN
Pour alléger les notations, on pose u j+
1
2
Après intégration par parties, le système (2.55) devient :
∂
∂t u(l) j + 1 [ ]
∆x l+1 ∆ + (v (j)
l
(x j−
1)au 2 j−
1)
− 1 ∫
2 ∆x l+1
avec :
= u h (x j+
1,t).
2
∆ + v j = v j+1 −v j .
C j
au h (x,t) ∂
∂x v(j) l
(x)dx = 0, ∀l = 0,...,k
(2.56)
Il reste alors à caractériser au j−
1 , car la solution n’est, a priori, pas définie sur l’interface x
2
j−
1 .
2
Pour cela, on introduit un fluxhapprochant au définie de la manière suivante :
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
au j+
1
2
Ainsi, le schéma (2.56) devient :
d
dt u(l) j + 1 [ ]
∆x l+1 ∆ + (v (j)
l
(x j−
1)h 2 j−
1)
2
= h(u − ,u + j+ 1 j+ 1 2 2)
= h j+
1.
2
− 1
∆x l+1 ∫
C j
au h (x,t) d
dx v(j) l
(x)dx = 0 ∀l = 0,...,k.
(2.57)
Puis, par définition de u h (x,t), donnée par (2.53), la solution de chaque côté de l’interface u − j+ 1 2
et u + est donnée par :
j+ 1 2
k = 0 u − j+ 1 2
k = 1 u − j+ 1 2
k = 2 u − j+ 1 2
= u + j+ 1 2
= u (0)
j
,
= u (0)
j
+6u (1)
j
; u + j+ 1 2
= u (0)
j
−6u (1)
j
,
= u (0)
j
+6u (1)
j
+30u (2)
j
; u + j+ 1 2
= u (0)
j
−6u (1)
j
+30u (2)
j
.
En remplaçant les expressions (2.57)-(2.52), les trois premières équations s’écrivent :
d
dt u(0) j
+ 1
∆x (h j+ 1 2
d
dt u(1) j
+ 1
2∆x (h j+ 1 2
d
dt u(2) j
+ 1
6∆x (h j+ 1 2
−h j−
1) = 0,
2
+h j−
1)− 1 ∫
2 ∆x 2
au h (x,t)dx = 0,
C j
−h j−
1)− 2 ∫
2 ∆x 3 au h (x,t)v (j)
C j
1 (x)dx = 0. (2.58)
Grâce à la linéarité de l’équation (2.49), les intégrales peuvent être calculées explicitement. Notons
que dans le cas d’un flux f(u) non linéaire, les intégrales sont en général approchées par des
méthodes de quadrature.
En remplaçant u h (x,t) par sa décomposition dans la base des polynômes (2.53), le système (2.58)
devient :
d
j
+ 1
∆x (h j+ 1 2
d
dt u(1) j
+ 1
2∆x (h j+ 1 2
d
dt u(2) j
+ 1
6∆x (h j+ 1 2
dt u(0)
−h j−
1) = 0,
2
+h j−
1)− 1
2 ∆x au(0) j
= 0,
−h j−
1)− 2
2 ∆x au(1) j
= 0,
où u (0)
j
et u (1)
j
sont définis par (2.54).
Afin d’assurer des propriétés de stabilité, les étatsu ± sont modifiés en introduisant des limiteurs
j+ 1 2
locaux de projection :
u − j+ 1 2
= u (0)
j
+ũ j , u + j− 1 2
= u (0)
j
−ũ j . (2.59)
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