Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

2.6. Schémas numériques existants
dans un espace de polynômes. L’ordre d’approximation de la solution en espace dépend ainsi
du choix du degré des polynômes. Toutefois et à la différence des méthodes d’éléments finis
usuelles, les schémas Garlerkin discontinus n’imposent pas la continuité de la solutions aux interfaces.
Cette propriété permet de mieux gérer les discontinuités qui peuvent apparaître au cours
du temps lorsque des problèmes hyperboliques sont considérés.
La méthode présentée ici est celle décrite par Cockburn et Shu dans [34] dans le cas particulier
de l’équation linéaire en dimension un d’espace. Les calculs seront donnés de manière générale et
détaillés pour k = 0,1 et 2, k étant le degré des polynômes d’approximation.
On considère l’équation de transport en dimension un :
avec a une vitesse constante et la donnée initiale :
∂ t u+a∂ x u = 0, (2.49)
u(x,0) = u 0 (x). (2.50)
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Le domaine I est discrétisé en sous-intervalles C j = [x j−
1,x 2 j+
1] de même longueur ∆x.
2
L’espace d’approximation de la solution, dans lequel aucune continuité n’est imposée aux interfaces,
est donné par :
}
Vh {p k = ∈ BV(R) : p Cj
∈ P k (C j ) . (2.51)
où BV(R) est l’ensemble des fonctions à variation bornée. À cet espace est associée une base de
polynômes orthogonaux {v (j)
l
(x),l = 0,...,k} sur chaque intervalle C j telle que :
∫
v (j)
l
(x)v p (j) (x)dx = e l δ lp , et e l ≠ 0,
C j
où δ lp désigne le symbole de Kronecker.
À titre d’exemple, on peut considérer la base des polynômes de Legendre :
v (j)
0 (x) = 1,
v (j)
1 (x) = x−x j,
v (j)
2 (x) = (x−x j) 2 − 1
12 ∆x2 .
(2.52)
Soit u h (x,t) une approximation de la solution u(x,t) dans V k h . Cette approximation uh (x,t) se
décompose dans la base des polynômes :
u h (x,t) =
où les coefficients sont donnés par :
k∑
l=0
c l u (j)
j
(t)v (j)
l
(x) pour x ∈ C j (2.53)
u (l)
j
= u (l)
j (t) = 1 ∫
∆x l+1 u h (x,t)v (j)
l
(x)dx,
C j
c l =
∆x l+1
∫C j
(v (j)
l
(x)) 2 dx ∀l = 0,...,k. (2.54)
L’approximation u h (x,t) est donc entièrement déterminée par la donnée des coefficients u (l)
j .
Par ailleurs, on cherche u h (x,t) comme solution du problème variationnel approché suivant :
∫ ( ) (
∂
C j
∂t uh (x,t) v h (x)dx+ a
∫C ∂ )
j
∂x uh (x,t) v h (x)dx = 0 ∀v h ∈ Vh k . (2.55)
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