Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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2.6. Schémas <strong>numériques</strong> existants<br />
dans un espace de polynômes. L’ordre d’approximation de la solution en espace dépend ainsi<br />
du choix du degré <strong>des</strong> polynômes. Toutefois et à la différence <strong>des</strong> métho<strong>des</strong> d’éléments finis<br />
usuelles, les schémas Garlerkin discontinus n’imposent pas la continuité de la solutions aux interfaces.<br />
Cette propriété permet de mieux gérer les discontinuités qui peuvent apparaître au cours<br />
du temps lorsque <strong>des</strong> problèmes <strong>hyperboliques</strong> sont considérés.<br />
La méthode présentée ici est celle décrite par Cockburn et Shu dans [34] dans le cas particulier<br />
de l’équation linéaire en dimension un d’espace. Les calculs seront donnés de manière générale et<br />
détaillés <strong>pour</strong> k = 0,1 et 2, k étant le degré <strong>des</strong> polynômes d’approximation.<br />
On considère l’équation de transport en dimension un :<br />
<strong>avec</strong> a une vitesse constante et la donnée initiale :<br />
∂ t u+a∂ x u = 0, (2.49)<br />
u(x,0) = u 0 (x). (2.50)<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
Le domaine I est discrétisé en sous-intervalles C j = [x j−<br />
1,x 2 j+<br />
1] de même longueur ∆x.<br />
2<br />
L’espace d’approximation de la solution, dans lequel aucune continuité n’est imposée aux interfaces,<br />
est donné par :<br />
}<br />
Vh {p k = ∈ BV(R) : p Cj<br />
∈ P k (C j ) . (2.51)<br />
où BV(R) est l’ensemble <strong>des</strong> fonctions à variation bornée. À cet espace est associée une base de<br />
polynômes orthogonaux {v (j)<br />
l<br />
(x),l = 0,...,k} sur chaque intervalle C j telle que :<br />
∫<br />
v (j)<br />
l<br />
(x)v p (j) (x)dx = e l δ lp , et e l ≠ 0,<br />
C j<br />
où δ lp désigne le symbole de Kronecker.<br />
À titre d’exemple, on peut considérer la base <strong>des</strong> polynômes de Legendre :<br />
v (j)<br />
0 (x) = 1,<br />
v (j)<br />
1 (x) = x−x j,<br />
v (j)<br />
2 (x) = (x−x j) 2 − 1<br />
12 ∆x2 .<br />
(2.52)<br />
Soit u h (x,t) une approximation de la solution u(x,t) dans V k h . Cette approximation uh (x,t) se<br />
décompose dans la base <strong>des</strong> polynômes :<br />
u h (x,t) =<br />
où les coefficients sont donnés par :<br />
k∑<br />
l=0<br />
c l u (j)<br />
j<br />
(t)v (j)<br />
l<br />
(x) <strong>pour</strong> x ∈ C j (2.53)<br />
u (l)<br />
j<br />
= u (l)<br />
j (t) = 1 ∫<br />
∆x l+1 u h (x,t)v (j)<br />
l<br />
(x)dx,<br />
C j<br />
c l =<br />
∆x l+1<br />
∫C j<br />
(v (j)<br />
l<br />
(x)) 2 dx ∀l = 0,...,k. (2.54)<br />
L’approximation u h (x,t) est donc entièrement déterminée par la donnée <strong>des</strong> coefficients u (l)<br />
j .<br />
Par ailleurs, on cherche u h (x,t) comme solution du problème variationnel approché suivant :<br />
∫ ( ) (<br />
∂<br />
C j<br />
∂t uh (x,t) v h (x)dx+ a<br />
∫C ∂ )<br />
j<br />
∂x uh (x,t) v h (x)dx = 0 ∀v h ∈ Vh k . (2.55)<br />
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