Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 2. SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LE MODÈLE SN
2.6.1 Schéma décentré amont pour le modèle d’ordonnées discrètes
Dans ce paragraphe, on présente un schéma décentré amont pour le modèle d’ordonnées discrètesS
N en dimension 2. On rappelle que ce modèle, décrit dans le paragraphe 1.3, est donné par
le système d’équations suivant :
∀1 ≤ l ≤ N,1 ≤ q ≤ Q,
{ (
∂t I S N
l,q +cΩ l.∇I S N
l,q
= cσ
B q −I S N
l,q
ρC v ∂ t T = −cσ ∑ l,q (B q −I l,q )ω l θ q ,
)
,
(1.11)
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
où Ω l est une direction fixée.
On considère un maillage non-structuré formé des polygones K. L’aire de la cellule K est notée
|K| et l’ensemble des segments frontières deK est notéΓ K . L’intensité radiativeI l,q est supposée
connue sur chaque maille K du maillage au temps t = t n .
Pour alléger les notations, on omet les indices l,q de l’intensité radiative I, soit I = I l,q .
Le schéma volumes finis explicite pour le modèle (1.11) est donné par :
avec
(
I
n+1
K
) ∑
−In K |K|+c∆t |̺KL |F n ·−→ KL n KL = cσ∆t(B(TK)−I n K),
n
̺∈Γ K
T n+1
K
ρC −Tn K v
∆t
= −cσ ∑ k,l
(B(T n K )−In k )θ lω q ,
̺KL : segment séparant la maille K de la maille L,
F KL ·−→ n KL : le flux sortant de la maille K vers la maille L,
−→ n KL : la normale sortant de ̺KL .
Le produit scalaire flux-normale peut se réécrire :
FKL n ·−→ ∫ ∫
n KL = Ω l ·∇I = Ω l ·nIdσ,
K Γ K
( ) Ω
x
avec Ω l = l
soit Ω l ·n = Ω x l n x +Ω y l n y.
Ω y l
Le flux décentré amont s’écrit alors :
{
FKL n ·−→ (Ω x l
n KL =
n x +Ω y l n y)I K si Ω ·−→ l n KL > 0,
(Ω x l n x +Ω y l n y)I L sinon.
Pour l’équation en température, on utilise un schéma d’Euler explicite. Finalement, le schéma pour
le système (1.11) s’écrit :
⎛
⎞
(
I n+1
K
= In K 1− cσ∆t )
− c∆t ⎝σB(T K n |K| |K|
)− ∑
|̺KL |F n ·−→ KL n⎠,
̺∈Γ K
( )
B q (TK n )−In K(l,q)
ω l θ q
T n+1
K
= Tn K − ∆t
ρC v
σ ∑ l,q
2.6.2 Schéma Galerkin discontinu pour l’équation de transport linéaire
Les méthodes de Galerkin discontinues permettent d’allier les méthodes d’éléments finis et
de volumes finis. Comme dans les méthodes classiques d’éléments finis, on cherche la solution
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