Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

2.6. Schémas numériques existants
calculer les solutions u n+1
i
(x) et v n+1 2(t) si a > 0 :
ou v n+1 2(t) si a < 0 :
i− 1 2
i+ 1 2
A u α n+1
i
= b + u, (2.47)
A v β n+1 2
i+ 1 2
A u α n+1
i
= b − u ,
A v β n+1 2
i− 1 2
= b + v , (2.48)
= b − v .
À la fin de l’itération, les deux approximations u n+1 (x) et v n+1 2(t) de la solution de (2.36)
sont bien dans leurs espaces de polynômes respectifs P k C et Pk I
par construction.
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Comme les matricesA u etA v des systèmes linéaires (2.42)-(2.43) sont les mêmes que dans
le cas d’advection, elles peuvent de nouveau être calculées et inversées une seule fois au
début de l’algorithme.
Ce schéma numérique est ainsi simple à écrire et à implémenter. De plus, l’approximation
d’ordre k +1 des exponentielles permet de passer facilement du cas linéaire au cas linéaire avec
terme source. En effet, les mêmes intégrales J et K apparaissent dans l’expression des seconds
membres des systèmes linéaires.
En pratique, la température T n’est pas constante. En effet, elle est régie par l’équation (2.33) et
varie donc au cours du temps. Pour les applications numériques, on supposera que la température
reste constante au cours d’un pas de temps∆t raisonnable devant l’échelle considérée. À la fin de
chaque itération, il faut donc mettre à jour aT 4 pour l’intégrer dans le schéma GRP espace-temps.
Pour cela, on discrétise l’équation en température (2.33) avec un schéma d’Euler semi-implicite.
En supposant T suffisamment régulière, l’opérateur en espace qui apparaît dans le second membre
est discrétisé par une méthode de différences finies :
Le schéma d’Euler semi-implicite est alors :
T n+1
i
= T n
i +
∂ xx (λ c T) ≃ T i+1 −2T i +T i−1
(∆x) 2 .
∆tcσ (
E
n
ρC p (Ti n+1 i −a(T n+1
)
i
) 4) +λ c (Ti
n+1
)∆t Tn i+1 −2Tn
(∆x) 2 ρC p (T n+1
i +Ti−1
n
i
)
Une méthode de Newton peut être utilisée pour résoudre l’équation non-linéaire ainsi obtenue.
Finalement, pour illustrer ce schéma, un cas-test portant sur l’évolution d’un véhicule de rentrée
atmosphérique est présenté dans la section 5.1.
2.6 Schémas numériques existants
Dans ce paragraphe, on rappele le principe de trois méthodes numériques considérées à titre
de comparaison : le schéma décentré amont pour discrétiser le modèle d’ordonnées discrètes, le
schéma DG (Galerkin Discontinu) et WENO (Weighted Essentially Non-Oscillatory) discrétisant
l’équation de transport. Ces schémas ont servi notamment à comparer les résultats numériques
donnés par le schéma GRP espace-temps, tant au niveau précision qu’au niveau des performances
des algorithmes.
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