Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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2.6. Schémas <strong>numériques</strong> existants<br />
calculer les solutions u n+1<br />
i<br />
(x) et v n+1 2(t) si a > 0 :<br />
ou v n+1 2(t) si a < 0 :<br />
i− 1 2<br />
i+ 1 2<br />
A u α n+1<br />
i<br />
= b + u, (2.47)<br />
A v β n+1 2<br />
i+ 1 2<br />
A u α n+1<br />
i<br />
= b − u ,<br />
A v β n+1 2<br />
i− 1 2<br />
= b + v , (2.48)<br />
= b − v .<br />
À la fin de l’itération, les deux approximations u n+1 (x) et v n+1 2(t) de la solution de (2.36)<br />
sont bien dans leurs espaces de polynômes respectifs P k C et Pk I<br />
par construction.<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
Comme les matricesA u etA v <strong>des</strong> <strong>systèmes</strong> linéaires (2.42)-(2.43) sont les mêmes que dans<br />
le cas d’advection, elles peuvent de nouveau être calculées et inversées une seule fois au<br />
début de l’algorithme.<br />
Ce schéma numérique est ainsi simple à écrire et à implémenter. De plus, l’approximation<br />
d’ordre k +1 <strong>des</strong> exponentielles permet de passer facilement du cas linéaire au cas linéaire <strong>avec</strong><br />
<strong>terme</strong> source. En effet, les mêmes intégrales J et K apparaissent dans l’expression <strong>des</strong> seconds<br />
membres <strong>des</strong> <strong>systèmes</strong> linéaires.<br />
En pratique, la température T n’est pas constante. En effet, elle est régie par l’équation (2.33) et<br />
varie donc au cours du temps. Pour les applications <strong>numériques</strong>, on supposera que la température<br />
reste constante au cours d’un pas de temps∆t raisonnable devant l’échelle considérée. À la fin de<br />
chaque itération, il faut donc mettre à jour aT 4 <strong>pour</strong> l’intégrer dans le schéma GRP espace-temps.<br />
Pour cela, on discrétise l’équation en température (2.33) <strong>avec</strong> un schéma d’Euler semi-implicite.<br />
En supposant T suffisamment régulière, l’opérateur en espace qui apparaît dans le second membre<br />
est discrétisé par une méthode de différences finies :<br />
Le schéma d’Euler semi-implicite est alors :<br />
T n+1<br />
i<br />
= T n<br />
i +<br />
∂ xx (λ c T) ≃ T i+1 −2T i +T i−1<br />
(∆x) 2 .<br />
∆tcσ (<br />
E<br />
n<br />
ρC p (Ti n+1 i −a(T n+1<br />
)<br />
i<br />
) 4) +λ c (Ti<br />
n+1<br />
)∆t Tn i+1 −2Tn<br />
(∆x) 2 ρC p (T n+1<br />
i +Ti−1<br />
n<br />
i<br />
)<br />
Une méthode de Newton peut être utilisée <strong>pour</strong> résoudre l’équation non-linéaire ainsi obtenue.<br />
Finalement, <strong>pour</strong> illustrer ce schéma, un cas-test portant sur l’évolution d’un véhicule de rentrée<br />
atmosphérique est présenté dans la section 5.1.<br />
2.6 Schémas <strong>numériques</strong> existants<br />
Dans ce paragraphe, on rappele le principe de trois métho<strong>des</strong> <strong>numériques</strong> considérées à titre<br />
de comparaison : le schéma décentré amont <strong>pour</strong> discrétiser le modèle d’ordonnées discrètes, le<br />
schéma DG (Galerkin Discontinu) et WENO (Weighted Essentially Non-Oscillatory) discrétisant<br />
l’équation de transport. Ces schémas ont servi notamment à comparer les résultats <strong>numériques</strong><br />
donnés par le schéma GRP espace-temps, tant au niveau précision qu’au niveau <strong>des</strong> performances<br />
<strong>des</strong> algorithmes.<br />
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