Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

v n+1 2
h
(x i+
1
2
),
⎡⎛
k∑
∫
1 t n + ∆x
cµ
⎣⎝
∆t t n
⎡⎛
+ 1 ∆t
∫ t n+1
t n + ∆x
cµ
(
t−t n+1 2
j=0
k∑
⎣⎝
j=0
∆t
α n,j
i
β n+1 2 ,j
i− 1 2
CHAPITRE 2. SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LE MODÈLE SN
) r
> n =
⎞ ⎤
( ) 1
2 − cµ(t−tn ) j
−aT 4 ⎠e −cσ(t−tn) +aT 4 ⎦
∆x
⎛
⎝
t−
∆x
cµ −tn+1 2
∆t
⎞j ⎞
−aT 4
⎠
⎤
∆x
−cσ ⎠e cµ +aT 4 ⎦
( ) r
t−t n+1 2
dt
∆t
( ) r
t−t n+1 2
dt.
∆t
Comme pour le cas explicite, les termes exponentiels sont approchés par la somme de leur développement
en série jusqu’à ) l’ordre k + 1 et réécrits pour faire apparaître respectivement les variables
( x−xi
)
∆x et
(t−t n+1 2
∆t
. Les seconds membres deviennent :
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
( ) l
< u h i(t n x−xi
+∆t), > i = e −σ∆x 2µ
∆x
< v n+1 2
h
(x i+
1
2
),
(
t−t n+1 2
∆t
k∑
j=0
∑k+1
−e −σ∆x 2µ aT 4
β n+1 2 ,j ∑k+1
1
i− 1 2 p! J im(j,p+l)
p=0
(
p=0
− σ∆x
µ
)
+aT 4 1 1 l+1
(1−(−1)
l+1( l+1 )
2
= b u (l),
) r k∑
> n =
s=0
[e −aσ∆t
2 α n,s
i
+e −σ∆x µ β n+1 2 ,s
i− 1 2
∑k+1
−e −cσ∆t 2 aT 4
−aT 4 e −σ∆x µ
p=0
+aT 4 1
r +1
( 1
2
= b v (r),
(
− σ∆x
µ
) p
) p )
1 1 l+p+1
(1−(−1)
p!(p+l+1)( l+p+1 )
2
∑k+1
(−cσ∆t) p
Kim 1 p!
(s,p+r)
p=0
]
Kim 2 (s,r) [ (
(−cσ∆t) p ∆x
p!(p+r +1) cµ∆t − 1 ) p+r+1 ( ]
1
p+r+1
−
2 2)
) r+1 ( ∆x
−
cµ∆t − 1 ) ] r+1
2
[ (1
1
r +1 2
) r+1
(1−(−1) r+1 )
où les coefficientsJ im ,Kim 1 ,K2 im sont les mêmes que dans le schéma pour l’équation d’advection
en remplaçant la vitesse a par cµ.
Notons que dans le cas où la direction µ est négative, il suffit de remplacer µ par |µ| dans les
intégrales et les exponentielles impliquées dans les schémas explicites et implicites.
Finalement, les étapes du schéma sont identiques au cas linéaire :
• Au temps initial, la solution u 0 i (x) est connue sur chaque cellule du maillage, et la solution
v 1 2(t) est connue sur la frontière du domaine correspondante (gauche si µ > 0, droite si
µ < 0).
• Si µ > 0, le maillage est parcouru de la gauche vers la droite, et si µ < 0, le maillage est
parcouru de la droite vers la gauche.
• Dans chaque volume espace-temps Ki n , il faut résoudre deux systèmes de taille k+1 pour
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