Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

2.5. Méthode de projection GRP espace-temps SN 1D
Comme la solution exacte de ce système (2.37) a été calculée dans le paragraphe précédent, on peut
faire évoluer de manière exacte les approximations polynomiales de la solution par la méthode des
caractéristiques. Dans le cas µ > 0 et λ = cµ∆t
∆x
< 1 (cas explicite), la solution exacte en espace
est donnée par :
⎧
)
[ ( ]
x−xi− 1
⎪⎨
−cσ(
u h i (x,tn +∆t) = v n+1 2
t n+1 − x−x 2
i− 1
i− 1 2
cµ
)−aT 4 cµ
e +aT 4 , si (x−x i−
1) 1 (cas implicite), elles sont données par :
[
u h i(x,t n +∆t) =
⎧
⎪⎨
v n+1 2
h
(t,x i+
1) =
2 ⎪⎩
v n+1 2
i− 1 2
v n+1 2
i− 1 2
)
(
t n+1 − x−x ]
x−xi− 1
i−
−σ(
2
1
2
)−aT 4 µ
e +aT 4 ,
cµ
[
u n i (x i+ 1 −cµ(t−t n ))−aT
]e 4 −cσ(t−tn) +aT 4 , si (t−t n )> ∆x
[ 2
( )−aT
]e 4 ∆x
−σ µ
+aT 4 , sinon.
t− ∆x
cµ
Les solutions exactes étant connues, il reste alors à les projeter dans l’espace d’approximation P k C .
Étape de projection : les solutions exactes sont projetées dans leurs espaces respectifs : P k C
et P k I . La solution exacte en espace est projetée sur l’espace Pk C sur la cellule C i au temps t n+1
et la solution exacte temporelle est projetée sur l’espace P k I sur l’interface x i+ 1 2
×(t n ,t n+1 ). Ces
projections se traduisent par la résolution des deux problèmes de minimisation suivants :
‖u n+1
i
‖v n+1 2
i+ 1 2
−u h i(t n +∆t)‖ i = inf ‖p−u h i(t n +∆t)‖ i , (2.38)
p∈P k C
−v n+1 2
h
(x i+
1
2
)‖ n = inf ‖q −v n+1 2
q∈P k I
h
(x i+
1
2
cµ ,
)‖ n . (2.39)
Grâce aux conditions de Petrov-Galerkin, ces problèmes de minimisation (2.38)-(2.39) peuvent se
réécrire de la façon suivante :
∀l = 0,...,k n =0. (2.41)
2 ∆t
Puis en remplaçant u n+1
i
et v n+1 2(t) par leur décomposition dans leur base de polynômes respectifs
i+ 1 2
:
u n+1
i
(x) =
v n+1 2
i+ 1 2
(t) =
k∑
j=0
k∑
s=0
α n+1,j
i
( ) j x−xi
,
∆x
) s
,
(
β n+1 2 ,s t−t n+1 2
i+ 1 2 ∆t
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