Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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2.5. Méthode de projection GRP espace-temps SN 1D<br />
Comme la solution exacte de ce système (2.37) a été calculée dans le paragraphe précédent, on peut<br />
faire évoluer de manière exacte les approximations polynomiales de la solution par la méthode <strong>des</strong><br />
caractéristiques. Dans le cas µ > 0 et λ = cµ∆t<br />
∆x<br />
< 1 (cas explicite), la solution exacte en espace<br />
est donnée par :<br />
⎧<br />
)<br />
[ ( ]<br />
x−xi− 1<br />
⎪⎨<br />
−cσ(<br />
u h i (x,tn +∆t) = v n+1 2<br />
t n+1 − x−x 2<br />
i− 1<br />
i− 1 2<br />
cµ<br />
)−aT 4 cµ<br />
e +aT 4 , si (x−x i−<br />
1) 1 (cas implicite), elles sont données par :<br />
[<br />
u h i(x,t n +∆t) =<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
v n+1 2<br />
h<br />
(t,x i+<br />
1) =<br />
2 ⎪⎩<br />
v n+1 2<br />
i− 1 2<br />
v n+1 2<br />
i− 1 2<br />
)<br />
(<br />
t n+1 − x−x ]<br />
x−xi− 1<br />
i−<br />
−σ(<br />
2<br />
1<br />
2<br />
)−aT 4 µ<br />
e +aT 4 ,<br />
cµ<br />
[<br />
u n i (x i+ 1 −cµ(t−t n ))−aT<br />
]e 4 −cσ(t−tn) +aT 4 , si (t−t n )> ∆x<br />
[ 2<br />
( )−aT<br />
]e 4 ∆x<br />
−σ µ<br />
+aT 4 , sinon.<br />
t− ∆x<br />
cµ<br />
Les solutions exactes étant connues, il reste alors à les projeter dans l’espace d’approximation P k C .<br />
Étape de projection : les solutions exactes sont projetées dans leurs espaces respectifs : P k C<br />
et P k I . La solution exacte en espace est projetée sur l’espace Pk C sur la cellule C i au temps t n+1<br />
et la solution exacte temporelle est projetée sur l’espace P k I sur l’interface x i+ 1 2<br />
×(t n ,t n+1 ). Ces<br />
projections se traduisent par la résolution <strong>des</strong> deux problèmes de minimisation suivants :<br />
‖u n+1<br />
i<br />
‖v n+1 2<br />
i+ 1 2<br />
−u h i(t n +∆t)‖ i = inf ‖p−u h i(t n +∆t)‖ i , (2.38)<br />
p∈P k C<br />
−v n+1 2<br />
h<br />
(x i+<br />
1<br />
2<br />
)‖ n = inf ‖q −v n+1 2<br />
q∈P k I<br />
h<br />
(x i+<br />
1<br />
2<br />
cµ ,<br />
)‖ n . (2.39)<br />
Grâce aux conditions de Petrov-Galerkin, ces problèmes de minimisation (2.38)-(2.39) peuvent se<br />
réécrire de la façon suivante :<br />
∀l = 0,...,k n =0. (2.41)<br />
2 ∆t<br />
Puis en remplaçant u n+1<br />
i<br />
et v n+1 2(t) par leur décomposition dans leur base de polynômes respectifs<br />
i+ 1 2<br />
:<br />
u n+1<br />
i<br />
(x) =<br />
v n+1 2<br />
i+ 1 2<br />
(t) =<br />
k∑<br />
j=0<br />
k∑<br />
s=0<br />
α n+1,j<br />
i<br />
( ) j x−xi<br />
,<br />
∆x<br />
) s<br />
,<br />
(<br />
β n+1 2 ,s t−t n+1 2<br />
i+ 1 2 ∆t<br />
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