Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

2.5. Méthode de projection GRP espace-temps SN 1D
⎧
⎪⎨ ∀1 ≤ l ≤ N ∂ t I l +cµ l ·∂ x I l = cσ(aT 4 −I l ), forallx ∈ [x L ,x R ],
I l (x,0) = Il ⎪⎩
0(x),
I l (x = x L ,t) = Il L(t) si µ l > 0, I l (x = x R ,t) = Il R (t) si µ l < 0,
avec I l = ∫ +∞
0
I(x,t,µ l ,ν)dν > 0 l’intensité radiative et µ l = cos(Ω l ).
Pour une température T fixée, la solution exacte de (2.32) est connue :
(2.32)
I l (x,t) = aT 4 + ( I 0 l (x−cµ lt)−aT 4) e −cσt .
La résolution de cette équation est détaillée dans le paragraphe suivant.
Ce système est couplé avec une équation régissant la température matière. Par exemple on considère
une équation de la forme :
où λ c est la conductivité et E d = 1 c
ρC p (T)∂ t T = −cσ(E d −aT 4 )+∂ xx (λ c (T) T),
T(x,0) = T 0 (x),
∑
l I lω l est l’énergie radiative discrète du système.
(2.33)
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Le schéma GRP espace-temps pour ce système est basé sur le même principe que dans le cas
de l’équation linéaire : en supposant connues deux approximations polynomiales de degré k de la
solution au tempst = t n , une en espace sur chaque cellule et une en temps sur chaque interface, on
fait évoluer de manière exacte ces approximations et on les reprojette dans leurs espaces respectifs.
Dans un premier paragraphe, la résolution de l’équation (2.32) est détaillée, puis la méthode GRP
espace-temps pour cette équation est présentée dans un second paragraphe.
2.5.1 Résolution de l’équation du transfert radiatif (2.32)
Si l’on fixe une direction dans l’équation (2.32), en omettant l’indice l, on obtient le problème
mixte suivant :
⎧
⎪⎨ ∂ t I +cµ∂ x I = cσ(aT 4 −I),
I(x,0) = I 0 (x),
⎪⎩
I(x = x L ,t) = I L (t) si µ > 0, I(x = x R ,t) = I R (t) si µ < 0.
On suppose que cµ,σ et T sont constants.
De plus, on suppose que I est assez régulière sur [x L ;x R ]×[0,+∞[. Soit la fonction f définie à
partir de la fonction I par :
f(y,s) = I(cµs+y,s),
donc on a
I(x,t) = f(x−cµt,t). (2.34)
Avec cette définition de f en fonction de I, il suffit alors de connaître f pour en déduire I. On
dérive f par rapport à sa seconde variable s :
la fonction f est ainsi donnée par :
∀y, ∂ s f(y,s) = ∂ t I(cµs+y,s)+c∂ x I(cµs+y,s),
= cσ ( aT 4 −I(cµs+y,s) ) ,
= cσ ( aT 4 −f(y,s) ) ,
f(y,s) = aT 4 + ( I 0 (y)−aT 4) e −cσs .
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