Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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2.5. Méthode de projection GRP espace-temps SN 1D<br />
⎧<br />
⎪⎨ ∀1 ≤ l ≤ N ∂ t I l +cµ l ·∂ x I l = cσ(aT 4 −I l ), forallx ∈ [x L ,x R ],<br />
I l (x,0) = Il ⎪⎩<br />
0(x),<br />
I l (x = x L ,t) = Il L(t) si µ l > 0, I l (x = x R ,t) = Il R (t) si µ l < 0,<br />
<strong>avec</strong> I l = ∫ +∞<br />
0<br />
I(x,t,µ l ,ν)dν > 0 l’intensité radiative et µ l = cos(Ω l ).<br />
Pour une température T fixée, la solution exacte de (2.32) est connue :<br />
(2.32)<br />
I l (x,t) = aT 4 + ( I 0 l (x−cµ lt)−aT 4) e −cσt .<br />
La résolution de cette équation est détaillée dans le paragraphe suivant.<br />
Ce système est couplé <strong>avec</strong> une équation régissant la température matière. Par exemple on considère<br />
une équation de la forme :<br />
où λ c est la conductivité et E d = 1 c<br />
ρC p (T)∂ t T = −cσ(E d −aT 4 )+∂ xx (λ c (T) T),<br />
T(x,0) = T 0 (x),<br />
∑<br />
l I lω l est l’énergie radiative discrète du système.<br />
(2.33)<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
Le schéma GRP espace-temps <strong>pour</strong> ce système est basé sur le même principe que dans le cas<br />
de l’équation linéaire : en supposant connues deux approximations polynomiales de degré k de la<br />
solution au tempst = t n , une en espace sur chaque cellule et une en temps sur chaque interface, on<br />
fait évoluer de manière exacte ces approximations et on les reprojette dans leurs espaces respectifs.<br />
Dans un premier paragraphe, la résolution de l’équation (2.32) est détaillée, puis la méthode GRP<br />
espace-temps <strong>pour</strong> cette équation est présentée dans un second paragraphe.<br />
2.5.1 Résolution de l’équation du transfert radiatif (2.32)<br />
Si l’on fixe une direction dans l’équation (2.32), en omettant l’indice l, on obtient le problème<br />
mixte suivant :<br />
⎧<br />
⎪⎨ ∂ t I +cµ∂ x I = cσ(aT 4 −I),<br />
I(x,0) = I 0 (x),<br />
⎪⎩<br />
I(x = x L ,t) = I L (t) si µ > 0, I(x = x R ,t) = I R (t) si µ < 0.<br />
On suppose que cµ,σ et T sont constants.<br />
De plus, on suppose que I est assez régulière sur [x L ;x R ]×[0,+∞[. Soit la fonction f définie à<br />
partir de la fonction I par :<br />
f(y,s) = I(cµs+y,s),<br />
donc on a<br />
I(x,t) = f(x−cµt,t). (2.34)<br />
Avec cette définition de f en fonction de I, il suffit alors de connaître f <strong>pour</strong> en déduire I. On<br />
dérive f par rapport à sa seconde variable s :<br />
la fonction f est ainsi donnée par :<br />
∀y, ∂ s f(y,s) = ∂ t I(cµs+y,s)+c∂ x I(cµs+y,s),<br />
= cσ ( aT 4 −I(cµs+y,s) ) ,<br />
= cσ ( aT 4 −f(y,s) ) ,<br />
f(y,s) = aT 4 + ( I 0 (y)−aT 4) e −cσs .<br />
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