Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 2. SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LE MODÈLE SN
TABLE 2.4 – Comparaison des temps de calcul pour une approximation de qualité fixée
mailles CFL temps CPU
33332 13 13.47
66498 20 25.02
133179 30 50.02
FIGURE 2.19 – Solution zoomée et courbes de niveau de 0.1, 0.5, 0.9 pour k = 2 avec une CFL
de 0.5 (gauche) et 10 (droite)
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
avec une donnée initiale carrée :
u 0 (x,y) =
{
1, si (x,y) ∈ [0.2,1.2] ×[0.5,1.5]
0, sinon.
Les résultats pour k = 2 sont présentés à un temps t = 3.6s sur la figure 2.19. À nouveau, on
observe que cette approximation est très proche de la solution exacte et plus particulièrement, on
voit que les angles sont préservés.
2.5 Méthode de projection GRP espace-temps pour le modèle S N en
dimension 1
Dans les paragraphes précédents, un schéma numérique pour l’équation de transport basé sur
les méthodes de type GRP a été présenté. On a montré que ce schéma qui n’impose aucune restriction
sur le pas de temps, est d’ordre k+1 en temps et en espace. On souhaite à présent approcher
le modèle d’ordonnées discrètes du transfert radiatif détaillé dans le paragraphe 1.3. On remarque
que ce modèle s’écrit sous la forme d’un système de transport avec un terme source. Une
première idée pour discrétiser ce système serait alors d’introduire directement le terme source
dans le schéma GRP espace-temps développé pour les systèmes de transport. En particulier, afin
de préserver les régimes limites, on pourrait considérer une méthode qui préserve l’asymptotique
(asymptotic preserving) [63, 29, 19, 79]. La seconde option que l’on retient dans ce paragraphe
et de développer un nouveau schéma de type GRP espace-temps pour le modèle d’ordonnées discrètes
S N . En effet, on remarque que la forme particulière du terme source dans le modèle permet
de calculer à nouveau l’intensité radiative exacte. Grâce à cette propriété, l’étape d’évolution dans
le schéma pourra donc être exacte.
Par souci de simplicité pour la présentation du schéma, on s’affranchit de la discrétisation fréquentielle
en intégrant le modèle sur tout le spectre de fréquence et en supposant l’opacité σ constante.
On considère ainsi le problème mixte pour le modèle d’ordonnées discrètes en dimension un sur
le domaine [x L ,x R ] :
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