Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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CHAPITRE 2. SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LE MODÈLE SN<br />
TABLE 2.4 – Comparaison <strong>des</strong> temps de calcul <strong>pour</strong> une approximation de qualité fixée<br />
mailles CFL temps CPU<br />
33332 13 13.47<br />
66498 20 25.02<br />
133179 30 50.02<br />
FIGURE 2.19 – Solution zoomée et courbes de niveau de 0.1, 0.5, 0.9 <strong>pour</strong> k = 2 <strong>avec</strong> une CFL<br />
de 0.5 (gauche) et 10 (droite)<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
<strong>avec</strong> une donnée initiale carrée :<br />
u 0 (x,y) =<br />
{<br />
1, si (x,y) ∈ [0.2,1.2] ×[0.5,1.5]<br />
0, sinon.<br />
Les résultats <strong>pour</strong> k = 2 sont présentés à un temps t = 3.6s sur la figure 2.19. À nouveau, on<br />
observe que cette approximation est très proche de la solution exacte et plus particulièrement, on<br />
voit que les angles sont préservés.<br />
2.5 Méthode de projection GRP espace-temps <strong>pour</strong> le modèle S N en<br />
dimension 1<br />
Dans les paragraphes précédents, un schéma numérique <strong>pour</strong> l’équation de transport basé sur<br />
les métho<strong>des</strong> de type GRP a été présenté. On a montré que ce schéma qui n’impose aucune restriction<br />
sur le pas de temps, est d’ordre k+1 en temps et en espace. On souhaite à présent approcher<br />
le modèle d’ordonnées discrètes du transfert radiatif détaillé dans le paragraphe 1.3. On remarque<br />
que ce modèle s’écrit sous la forme d’un système de transport <strong>avec</strong> un <strong>terme</strong> source. Une<br />
première idée <strong>pour</strong> discrétiser ce système serait alors d’introduire directement le <strong>terme</strong> source<br />
dans le schéma GRP espace-temps développé <strong>pour</strong> les <strong>systèmes</strong> de transport. En particulier, afin<br />
de préserver les régimes limites, on <strong>pour</strong>rait considérer une méthode qui préserve l’asymptotique<br />
(asymptotic preserving) [63, 29, 19, 79]. La seconde option que l’on retient dans ce paragraphe<br />
et de développer un nouveau schéma de type GRP espace-temps <strong>pour</strong> le modèle d’ordonnées discrètes<br />
S N . En effet, on remarque que la forme particulière du <strong>terme</strong> source dans le modèle permet<br />
de calculer à nouveau l’intensité radiative exacte. Grâce à cette propriété, l’étape d’évolution dans<br />
le schéma <strong>pour</strong>ra donc être exacte.<br />
Par souci de simplicité <strong>pour</strong> la présentation du schéma, on s’affranchit de la discrétisation fréquentielle<br />
en intégrant le modèle sur tout le spectre de fréquence et en supposant l’opacité σ constante.<br />
On considère ainsi le problème mixte <strong>pour</strong> le modèle d’ordonnées discrètes en dimension un sur<br />
le domaine [x L ,x R ] :<br />
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