Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 2. SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LE MODÈLE SN
Résumé de la méthode en dimension 2 En pratique, la méthode peut être résumée de la manière
suivante :
• Au temps initial, la solution u 0 (x,y) est connue dans chaque triangle T i et la solution
v j Γ(t,ω) est connue sur les interfaces s Γ j de la frontière pour lesquelles le flux entre dans le
domaine :⃗n s Γ ·Ω < 0, avec⃗n
j s Γ la normale sortante au segment s Γ j j .
• Un ordre de parcours des interfaces est défini pour s’assurer que les solutions exactes
peuvent être calculées. En effet, il faut que la solution temporelle sur les interfaces par
lesquelles le flux entre soit connue. Pour cela, on met en place un algorithme déterminant
l’ordre de parcours des interfaces détaillé dans l’appendice 1.
• Sur chaque interface I n+1 2
j
, le système linéaire de taille (k+1)(k+2)
2
:
k∑
p+q=0
β n+1 2 ,p,q
j
A j (p,q,l,m) = b j (l,m) ∀l+m = 0,...,k,
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
doit être résolu afin de calculer la solution temporelle v n+1 2
j
(t,ω).
• Finalement, dans chaque celluleT i au tempst n+1 , la solutionu n+1
i
(x,y) au tempst = t n+1
est obtenue en résolvant le système linéaire de taille (k+1)(k+2)
2
suivant :
k∑
p+q=0
α n+1,p,q
i
A i (p,q,l,m) = b i (l,m) ∀ l+m = 0,...,k.
On remarque que les matrices A i ne dépendent pas du temps. Sur chaque cellule, la matrice A i
peut donc être calculée et inversée une seule fois pour tout le calcul. De même sur les interfaces,
les matrices ne dépendent pas de l’espace. À chaque pas de temps, une seule matrice A j devra
donc être calculée et inversée pour toutes les interfaces.
De la même manière qu’en dimension un, on peut prouver que ce schéma est d’ordre k + 1 en
temps et en espace.
Théorème 2.2. Le schéma préserve exactement les polynômes de degré k.
Démonstration. La preuve est similaire au cas uni-dimensionnel.
Finalement, le schéma obtenu est d’ordre k +1 en temps et en espace. De plus, selon la taille
des cellules, il traite simultanément des cas implicites et explicites. D’un point de vue numérique,
la principale difficulté vient du calcul des intégrales dans les matrices et les seconds membres des
systèmes linéaires. Pour simplifier ces calculs, des méthodes de quadrature d’ordre 2k peuvent
être utilisées.
Pour illustrer la méthode, quelques résultats de convergence sont présentés dans le paragraphe
suivant. Un autre cas-test pour le modèle d’ordonnées discrètes est également exposé dans le
paragraphe 5.2.1.
2.4.1 Résultats numériques en dimension 2
Convergence des solutions régulières
Dans ce premier cas-test, on chercher à évaluer numériquement l’ordre de la méthode, de la même
manière qu’en dimension un. On considère ainsi la fonction u(x,y,t) = sin(π(x − t)) sur le
domaine [0,1] 2 ×[0,1.5]. Les états initiaux et les conditions aux limites sont définis par :
u 0 (x,y) = sin(πx) et u(0,y,t) = sin(−πt),
54