Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

2.4. Méthode de projection GRP espace-temps transport 2D
Les membres de gauche s’écrivent :
( ) p ( ) x−xi y q ( ) l ( ) −yi x−xi y m −yi
< , > i
V i V i V i V i
<
( ) p
t−t n+1 2
ω q t−t
,(
n+1 2
∆t ∆t
= 1 ∫∫ ( ) p+l ( ) x−xi y q+m −yi
dx dy,
V i T i
V i V i
= A i (p,q,l,m),
) l
ω m > n
= 1 ∆t
=
∫∫
I n+1 2
j
(
t−t n+1 2
∆t
1
(p+l+1)(q+m+1)
[ (1
2
= A j (p,q,l,m).
) p+l
ω q+m dt dω,
) p+l+1
−(
− 1 ) ] p+l+1
,
2
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
De même, les seconds membres s’écrivent :
( ) l ( )
i =
V i V i
< v n+1 2
h
(ω j3 ),
(
t−t n+1 2
∆t
) l
ω m > n =
où les coefficients sont donnés par :
J p,q,l,m
im,j1
= 1 V i
∫∫
J p,q,l,m
im,j2
= 1 V i
∫∫
K p,q,l,m
im,i
K p,q,l,m
im,j1
= 1 ∆t
K p,q,l,m
im,j2
= 1 ∆t
F 1 j1
D 1 j1
k∑
p+q=0
= b i (l,m),
k∑
(
p+q=0
= b j3 (l,m),
(
t 1 (x,y)−t n+1 2
∆t
(
t 2 (x,y)−t n+1 2
(
β n+1 2 ,p,q
j1
J p,q,l,m
α n,p,q
i
K p,q,l,m
im,i
) p
ω 1 (x,y) q ( x−xi
im,j1
+β n+1,p,q
j2
+β n+1 2 ,p,q
j1
K p,q,l,m
)
J p,q,l,m
im,j2
,
im,j1 +βn+1,p,q j2
V i
) l ( y −yi
V i
) m
dx dy
) p
ω 2 (x,y) q ( x−xi
V i
) l ( y −yi
V i
) m
dx dy
Fj2
1 ∆t
= 1 ∫∫ ( )
x1 (t,ω)−x p ( ) (
i y1 (t,ω)−y q
i
∆t D i
V i V i
∫∫ ( ) p (
t 3 (t,ω)−t n+1 2
ω 3 (t,ω) q t−t n+1 2
∆t
∆t
∫∫
D 1 j2
(
t 4 (t,ω)−t n+1 2
∆t
) p
ω 4 (t,ω) q (
t−t n+1 2
∆t
) l
ω m dt dω
∆t
) l
ω m dt dω
t−t n+1 2
) l
ω m dt dω.
)
K p,q,l,m
im,j2
,
Ces nombreux coefficients peuvent paraître compliqués, mais les calculs sont très similaires. En
effet, une fois que l’on connaît les changements de variables et les aires des différentes zones pour
les solutions exactes, ces intégrales sont toutes obtenues de la même manière.
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