Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 2. SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LE MODÈLE SN
Grâce aux conditions de Petrov-Galerkin, les deux problèmes de minimisation (2.28)-(2.29) peuvent
se réécrire de la manière suivante :
( ) l (
∀ l+m = 0,...,k < u n+1
i
−u h x−xi y −yi
i (tn+1 ),
V i
∀ l+m = 0,...,k < v n+1 2
j3
−v n+1 2
h
(ω j3 ),
(
t−t n+1 2
∆t
) m
> i = 0, (2.30)
V i
) l
ω m > n = 0. (2.31)
Puis, en utilisant leurs décompositions dans leurs bases de polynômes respectives :
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
u n+1
i
(x,y) =
v n+1 2
j1
(t,ω) =
v n+1 2
j2
(t,ω) =
v n+1 2
j3
(t,ω) =
k∑
p+q=0
k∑
p+q=0
k∑
p+q=0
k∑
p+q=0
( ) p ( )
α n+1,p,q x−xi y q −yi
i
,
V i V i
( ) p
β n+1 2 ,p,q t−t n+1 2
j1
ω q ,
∆t
( ) p
β n+1 2 ,p,q t−t n+1 2
j2
ω q ,
∆t
( ) p
β n+1 2 ,p,q t−t n+1 2
j3
ω q ,
∆t
les problèmes de minimisation (2.30)-(2.31) se ramènent à la résolution des deux systèmes linéaires
de taille (k+1)(k+2)
2
suivants :
k∑
k∑
p+q=0
( ) p ( ) x−xi y q −yi
i
< ,
V i V i
α n+1,p,q
β n+1 2 ,p,q
j3
<
p+q=0
( x−xi
(
i =
) l ( ) y m −yi
> i ∀l+m = 0,...,k,
V i V i
) l
ω m > n =
( ) l
< v n+1 t−t n+1 2
2
h
(ω j3 ), ω m > n ∀l+m = 0,...,k.
∆t
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