Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

2.4. Méthode de projection GRP espace-temps transport 2D
où t 1 ,ω 1 ,t 2 et ω 2 sont les changements de variables suivants :
ω 1 (x,y) = Ω x(y −y pj1 −aΩ y (t n +∆t))−Ω y (x−x pj1 −aΩ x (t n +∆t))
,
Ω x (y qj1 −y pj1 )−Ω y (x qj1 −x pj1 )
⎧
⎨x pj1 +ω 1 (x,y)(x qj1 −x pj1 )−x
aΩ
t 1 (x,y) =
x
+t n +∆t, si Ω x ≠ 0,
⎩
+t n +∆t, sinon,
y pj1 +ω 1 (x,y)(y qj1 −y pj1 )−y
aΩ y
ω 2 (x,y) = Ω x(y −y pj2 −aΩ y (t n +∆t))−Ω y (x−x pj2 −aΩ x (t n +∆t))
,
Ω x (y qj2 −y pj2 )−Ω y (x qj2 −x pj2 )
⎧
⎨x pj2 +ω 2 (x,y)(x qj2 −x pj2 )−x
aΩ
t 2 (x,y) =
x
+t n +∆t, si Ω x ≠ 0,
⎩
+t n +∆t, sinon.
y pj2 +ω 2 (x,y)(y qj2 −y pj2 )−y
aΩ y
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
• La solution temporelle exacte sur l’interface I n+1 2
j3
est donnée par :
⎧
u ⎪⎨
n i (x 1(t,ω),y 1 (t,ω)), si (t,ω) ∈ D i ,
v n+1 2
h
(t,ω j3 ) = v n+1 2
j1
(t 3 (t,ω),ω 3 (t,ω)), si (t,ω) ∈ Dj1 1
⎪⎩
, (2.27)
v n+1 2
j2
(t 4 (t,ω),ω 4 (t,ω)), si (t,ω) ∈ Dj2 1 ,
avec :
x 1 (t,ω) = x pj3 +ω(x qj3 −x pj3 )−aΩ x (t−t n ),
y 1 (t,ω) = y pj3 +ω(y qj3 −y pj3 )−aΩ y (t−t n ),
t 3 (t,ω) = c1 3 (y p j1
−y qj1 )+c 2 3 (x q j1
−x pj1 )
d 3
,
ω 3 (t,ω) = ac2 3 Ω x −ac 1 3 Ω y
d 3
,
c 1 3 = x pj3 −x pj1 +ω(x qj3 −x pj3 )−aΩ x t,
c 2 3 = y p j3
−y pj1 +ω(y qj3 −y pj3 )−aΩ y t,
d 3 = aΩ x (y qj1 −y pj1 )−aΩ y (x qj1 −x pj1 ),
t 4 (t,ω) = c1 4 (y p j2
−y qj2 )+c 2 4 (x q j2
−x pj2 )
d 4
,
ω 4 (t,ω) = ac2 4 Ω x −ac 1 4 Ω y
d 4
,
c 1 4 = x p j3
−x pj2 +ω(x qj3 −x pj3 )−aΩ x t,
c 2 4 = y pj3 −y pj2 +ω(y qj3 −y pj3 )−aΩ y t,
d 4 = aΩ x (y qj2 −y pj2 )−aΩ y (x qj2 −x pj2 ).
Une fois que l’on a fait évolué de manière exacte les approximations polynomiales de la solution,
on les projette dans leurs espace de polynômes respectifs.
Étape de projection : Les solutions exactes (2.26)-(2.27) sont maintenant projetées sur l’espace
d’approximation P k : dans la cellule T i au temps t n+1 , la fonction u h i est projetée sur Pk C et
sur les interfaces I n+1 2
j
, la fonction v n+1 2
h
est projetée sur P k I
. Pour le cas une cible implicite, cette
projection se traduit par deux problèmes de minimisation suivants :
‖u n+1
i
−u h i (tn +∆t)‖ i = inf ‖p−u h
p∈P k i (tn +∆t)‖ i , (2.28)
C
‖v n+1 2
j3
−v n+1 2
h
(ω j3 )‖ n = inf ‖q −v n+1 2
q∈P k h
(ω j3 )‖ n . (2.29)
I
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